二次函数练习题及答案
一、选择题
1． 将抛物线2
3y x =先向左平移2个单位，再向下平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 （ ） A 23(2)1y x =++ B.23(2)1y x =+- C.23(2)1y x =-+ D.2
3(2)1y x =-- 2．将抛物线22
+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是………………（ ） Ａ．32+=x y ； Ｂ．12+=x y ；Ｃ．2)1(2++=x y ； Ｄ．2)1(2
+-=x y ． 3．将抛物线y= （x -1）2
+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A ．y=（x -2）2
B ．y=（x -2）2+6
C ．y=x 2+6
D ．y=x 2
?
4．由二次函数1)3(22
+-=x y ，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．其图象的对称轴为直线3x =-
C ．其最小值为1
D ．当x<3时，y 随x 的增大而增大 5．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，﹣3），则此抛物线对应的二次函数有（ ）
A ．最大值1
B ．最小值﹣3
C ．最大值﹣3
D ．最小值1
6．把函数()y f x ==246x x -+的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（ ）
A ．2(3)3y x =-+
B ．2(3)1y x =-+
C ．2
(1)3y x =-+ D ．2
(1)1y x =-+
—
7．抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为，则b 、c 的值为
A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2
二、填空题
8．二次函数y=－2（x －5）2
＋3的顶点坐标是 ．
9．已知二次函数2
y x bx c =-++中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点11(,)A x y 、22(,)B x y 在函数图象上，当1201,23x x <<<<时，则1y 2y （填x 0
。
1
2
3 y
1-
2
-
3
2
c bx x y ++=2
322
--=x x y
10．在平面直角坐标系中，将抛物线2
23y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式为 ．
11．求二次函数2
245y x x =--的顶点坐标(＿＿＿)对称轴＿＿＿＿。 12．已知(－2,y 1),(－1,y 2),(2,y 3)是二次函数y=x 2
－4x+m 上的点, 则y 1,y 2,y 3从小到大用 “<”排列是 __________ . ?
13．（2011?攀枝花）在同一平面内下列4个函数；①y=2（x+1）2
﹣1；②y=2x 2
+3；③y=﹣2x 2
﹣1；④y=2/21x -的图象不可能由函数y=2x 2
+1的图象通过平移变换得到
的函数是 ．（把你认为正确的序号都填写在横线上）
14．已知抛物线2
21y x x =-+-，它的图像在对称轴______（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的
15．x 人去旅游共需支出y 元，若x,y 之间满足关系式y=2x 2
- 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。
16．若抛物线y=x 2
﹣4x+k 的顶点的纵坐标为n ，则k ﹣n 的值为 ____ ．
17．若二次函数y=（x-m ）2
-1，当x<1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______ *
三、解答题
18．已知二次函数2286y x x =-+-.
（1）求二次函数2286y x x =-+-的图象与两个坐标轴的交点坐标；
（2）在坐标平面上，横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y )称为整点. 直接写出二次函数
2286y x x =-+-的图象与x 轴所围成的封闭图形内部及边界上的整点的个数．
19．（8分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．
（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）
（2）当x 为何值时，S 有最大值并求出最大值．
20．如图，矩形ABCD 中，AB=16cm ，AD=4cm ，点P 、Q 分别
从A 、B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以2cm/s 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm/s 的速度匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为x 秒，△PBQ
的面积为y （cm 2
）.
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ）
（2）求△PBQ 的面积的最大值.
21．如图，已知二次函数的图象与轴相交
于两个不同的点、，与轴的交点为．设2
2)(m k m x y -++=x 1(0)A x ，
2(0)B x ，y C
的外接圆的圆心为点．
（1）求与轴的另一个交点D 的坐标； （2）如果恰好为的直径，且5ABC
S
=，求和的值． 22．已知关于x 的方程mx 2
+(3m+1)x+3=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；
（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y= mx 2
+(3m+1)x+3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请结合这个新的图象回答：当直线y=x+b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围． ~
23．已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，-1），点P 是抛物线y=
14
x 2
上的一个动点．
（1）求证：以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线y=-1的相切；
（2）设直线PM 与抛物线y=
14
x 2
的另一个交点为点Q ，连接NP ，NQ ，求证：∠PNM=∠QNM．
24．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x （吨）时，所需的全部费用y （万元）与x 满足关系式y=
110
x 2
+5x+90， 投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p 甲、p 乙（万元）均与x 满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额-全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售x 吨时，p 甲=-
1
20
x+14，请你用含x 的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润W 甲（万元）与x 之间的函数关系式； 》
（2）成果表明，在乙地生产并销售x 吨时，p 乙=-
1
10
x+n （n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n 的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1）、（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得最大的年利润
25．（12分）已知抛物线2
y x bx c =++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴相交于点C ，该抛物线的顶点为点D ．
（1）求该抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）连接AC ，CD ，BD ，BC ，设△AOC，△BOC，△BCD 的面积分别为1S ，2S 和3S ，用
ABC △P P ⊙y AB P ⊙m
k
等式表示1S ，2S 、3S 之间的数量关系，并说明理由；
（3）点M 是线段AB 上一动点（不包括点A 和点B ），过点M 作MN∥BC 交AC 于点N ，连接MC ，是否存在点M 使∠AMN=∠ACM 若存在，求出点M 的坐标和此时刻直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．
}
26．如图，抛物线2y ax bx c =++（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．
（1）求抛物线的表达式； （2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交线段AM 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标； （3）抛物线上是否存在一点P ，作PN 垂直x 轴于点N ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
·
如图①，在平面直角坐标系中，等腰直角△AOB 的斜边OB 在x 轴上，顶点A 的坐标为(3，3)，AD 为斜边上的高．抛物线y ＝ax 2
＋2x 与直线y ＝ 1 2x 交于点O 、C ，点C 的横
坐标为6．点P 在x 轴的正半轴上，过点P 作PE∥y 轴，交射线OA 于点E ．设点P 的横坐标为m ，以A 、B 、D 、E 为顶点的四边形的面积为S ． 27．求OA 所在直线的解析式 28．求a 的值
29．当m≠3时，求S 与m 的函数关系式． -
30．如图②，设直线PE 交射线OC 于点R ，交抛物线于点Q ．以RQ 为一边，在RQ 的右侧作矩形RQMN ，其中RN ＝ 3
2．直接写出矩形RQMN 与△AOB 重叠部分为轴对称图形时m
的取值范围．
O O A
A B B P D P D y y x x
、 图① 图②
参考答案
1.【答案】B
【解析】分析：根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
解答：解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=3x 2
先向左平移2个单位可得到抛物线
y=3（x+2）2
；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=3（x+2）2
先向下平移1个单位可得到抛物线y=3
（x+2）2
-1． 故选B ． 点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．D 【解析】此题考查抛物线的上下左右平移问题；
0||22
0||()k k k k y ax y a x k >
0||220||h h h h h y ax y ax >
所以将抛物线22
+=x y 向右平移1个单位后所得抛物线的解析式是2
(1)2y x =-+，选D
3．D. 【解析】试题分析：将y=（x-1）2+3向左平移1个单位所得直线解析式为：y=x 2
+3；
再向下平移3个单位为：y=x 2
． 故选D. 考点：二次函数图象与几何变换．
4．C ．【解析】试题分析：由二次函数1)3(22
+-=x y ，可知：
A ．∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B ．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C ．其最小值为1，故此选项正确；
D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而减小，故此选项错误． 考点：二次函数的性质．
5．B 【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，顶点P 的坐标是（1，﹣3），所以二次函数有最小值是﹣3．故选B ． 考点：二次函数的性质
6．C ．【解析】试题分析：抛物线2
2
46(2)2y x x x =-+=-+的顶点坐标为（2，2），把点（2，2）向左平移1个单位，向上平移1个单位得到对应点的坐标为（1，3），所以平移后的新图象的函数表达式为2(1)3y x =-+．故选C ． 考点：二次函数图象与几何变换．
7．B 【解析】 方法1， 由平移的可逆性可知将，的图像向左平移2个单位再向上平移3个单位， 所得图像为抛物线2
y x bx c =++的图像，又2
23y x x =-- 的顶点坐标（1，-4）向左平移2个单位再向上平移3个单位，得到（-1，-1），∴2
y x bx c
=++22(1)12x x x =+-=+，即b=2,c=0;
322
--=x x y
方法2，2
y x bx c =++的顶点24,2
4b b c ??
--- ??? 向右平移2个单位再向下平移3个单位，
得2
y x bx c =++的顶点（1，-4）即212
b
-+=∴b=2, 2444b c --=-,∴c=0, 故选B 8．(5,3).【解析】试题分析：因为顶点式y=a （x ﹣h ）2
+k,其顶点坐标是（h,k ）,对照求二
次函数y=－2（x －5）2
＋3的顶点坐标(5,3). 故答案是(5,3)． 考点：二次函数的顶点坐标. 9．（小于）【解析】试题分析：代入点（0，-1）（1,2）（2,3）有
21,112441
c b b y x x =--+-=?=?=-+-()()2
224144323y x x x x x =-+-=--++=--+，因为在0到1递增，所以y1的最
大值是2，y2的最小值是2，所以小于 考点：二次函数解析式
点评：本题属于对二次函数的解析式的顶点式的求法和递增、递减规律的考查 10．2
23y x x =-++（顶点式为2
(1)4y x =--+）．
【解析】试题分析： ∵2
2
23(1)2y x x x =++=++，∴顶点坐标为（﹣1，2），当x=0时，y=3，∴与y 轴的交点坐标为（0，3），∴旋转180°后的对应顶点的坐标为（1，4），∴旋转后的抛物线解析式为2
2
(1)423y x x x =--+=-++，即2
23y x x =-++．
考点： 二次函数图象与几何变换． 11．(1,-7) x=1
【解析】先把y=2x 2-4x-5进行配方得到抛物线的顶点式y=2（x-1）2
-7，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标和对称轴．
解：∵y=2x 2-4x-5=2（x 2-2x+1）-5=2（x-1）2
-7，
∴二次函数y=2x 2
-4x-5的顶点坐标为（1，-7），对称轴为x=1， 故答案为（1，-7），x=1． 12．y 3< y 2 【解析】由于点的坐标符合函数解析式，将点的坐标代入直接计算即可． 解：将（-2，y 1），（-1，y 2），（2，y 3）分别代入二次函数y=x 2 -4x+m 得， y 1=（-2）2-4×（-2）+m=12+m ， y 2=（-1）2-4×（-1）+m=5+m ， y 3=22 -4×2+m=-4+m ， ∵12＞5＞-4， ∴12+m＞5+m ＞-4+m ， ∴y 1＞y 2＞y 3． 按从小到大依次排列为y 3＜y 2＜y 1． 故答案为y 3＜y 2＜y 1． 13．③，④ 【解析】找到二次项的系数不是2的函数即可． 解：二次项的系数不是2的函数有③④．故答案为③，④． 考点：二次函数的变换问题．用到的知识点为二次函数的平移，不改变二次函数的比例系数． 14．右侧 【解析】本题实际是判断抛物线的增减性，根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题． 解：∵抛物线y=-x 2 -2x+1中，a=-1<0，抛物线开口向下， ∴抛物线图象在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小（下降）． 填：右侧． 15．５【解析】考点：二次函数的应用． 分析：将y=2x 2-20x+1050变形可得：y=2（x-5）2 +1000，根据二次函数的最值关系，问题可求． 解答：解：由题意，旅游的支出与人数的多少有关系， ∵y=2x 2 -20x+1050， ∴y=2（x-5）2 +1000， ∴当x=5时，y 值最小，最小为1000． 点评：本题考查利用二次函数来求最值问题，将二次函数解析式适当变形即可． 16．4．【解析】试题解析：∵y=x 2-4x+k=（x-2）2 +k-4，∴k -4=n ，即k-n=4． 考点：二次函数的性质 17．m≥1.【解析】试题分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的自变量的取值范围． 试题解析：∵二次函数的解析式y=（x-m ）2 -1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m ，-1），∴当x≤m 时，即y 随x 的增大而减小； 而已知中当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴m≥1. 考点: 二次函数的性质． 18．（1）（1，0）和（3，0） （2）5 【解析】解: （1）令，则 ， ∴二次函数2 286y x x =-+-的图象与y 轴的交点坐标为（0，-6）.…………1分 令y=0，则2 286y x x =-+-，求得121,3x x ==， ∴二次函数2286y x x =-+-的图象与轴的交点坐标为(1,0)和(3,0)………3分 （2）5个 . …………4分 19．(1)S=-2x 2 +32x (2)x=8时最大值是128 【解析】考点：二次函数的应用。 分析：在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求最大值。 解答：（1）由题意，得S=AB ?BC=x （32-2x ），∴S=-2x 2 +32x 。 （2）∵a=-2＜0，∴S 有最大值．∴x=-b/2a=-32/2×(-2)=8时， 有S 最大=（4ac-b 2）/4a=-322 /4×(-2)=128。 ∴x=8时，S 有最大值，最大值是128平方米。 点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a 的绝对值是较小的整数时，用配方 法较好，如y=-x 2-2x+5，y=3x 2 -6x+1等用配方法求解比用公式法简便。 20．（1）y=-x 2+8x ，自变量取值范围：0 ． 【解析】试题分析：（1）根据矩形的对边相等表示出BC ，然后表示出PB 、QB ，再根据三角 0x =6y =-x 形的面积列式整理即可得解，根据点Q 先到达终点确定出x 的取值范围即可； （2）利用二次函数的最值问题解答． 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴BC=AD=4， 根据题意，AP=2x ，BQ=x ，∴PB=16-2x ， ∵S △PBQ = 1 2 PB QB ?，∴y=-x 2+8x 自变量取值范围：0 ． 考点：二次函数的最值． 21．（1）（0，1）；（2） 【解析】试题分析：（1）令x=0，代入抛物线解析式，即求得点C 的坐标．由求根公式求得点A 、B 的横坐标，得到点A 、B 的横坐标的和与积，由相交弦定理求得OD 的值，从而得到点D 的坐标． （2）当AB 又恰好为⊙P 的直径，由垂径定理知，点C 与点D 关于x 轴对称，故得到点C 的坐标及k 的值．根据一元二次方程的根与系数的关系式表示出AB 线段的长，由三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，可求得m 的值． （1）易求得点C 的坐标为 由题设可知12x x ，是方程即 的两根， 所以，所 ∵⊙P 与轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，设 它们的交点为点O ，连结DB ， ∴△AOC∽△DOC，则 由题意知点C 在轴的负半轴上，从而点D 在轴的正半轴上，所以点D 的坐标为（0，1）； （2）因为AB⊥CD， AB 又恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称， 所以点C 的坐标为，即 又， 所以解得 考点：一元二次方程求根公式，根与系数的关系，相交弦定理，垂径定理，三角形面积公式 点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，是中考常见题，如何表示OD 及AB 的长是本题中解题的关键． 22．（1）证明略；（2）m=1；（3）1＜b ＜3，b ＞ 134 ． 【解析】试题分析：（1）求出根的判别式总是非负数即可； （2）由求根公式求出两个解，令这两个解是整数求出m 即可； .2±=m 1-=k (0)k ，0)(2 2=-++m k m x 022=++k mx x 2122(2)4m m k x -±--= ，12122x x m x x k +=-?=，y .12 1===?= k k k x x OC OB OA OD y y (01)-， 1-=k 2 2 2 2 212112()4(2)4221AB x x x x x x m k m k m =-=+-=--=-=+211 211522 ABC S AB OC m = ?=?+=△.2±=m （3）先求出A、B的坐标，再根据图像得到b的取值范围． 试题解析：（1）证明：∵m≠0，∴mx2+(3m+1)x+3=0是关于x的一元二次方程. ∴△=(3m+1)2－12m =(3m－1)2．∵ (3m－1)2≥0，∴方程总有两个实数根. （2）解：由求根公式，得x1=－3，x2= 1 m -． ∵方程的两个根都是整数，且m为正整数，∴m=1． （3）解：∵m=1时，∴y=x2+4x+3． ∴抛物线y=x2+4x+3与x轴的交点为A（－3，0）、B（－1，0）． 依题意翻折后的图象如图所示． 当直线y=x+b经过A点时，可得b=3．当直线y=x+b经过B 点时，可得b=1．∴1＜b＜3． 当直线y=x+b与y=－x2－4x－3 的图象有唯一公共点时，可得x+b=－x2－4x－3， ∴x2+5x+3+b=0，∴△=52－4(3+b) =0，∴b=13 4 ．∴b＞ 13 4 ． 综上所述，b的取值范围是1＜b＜3，b＞13 4 ． 考点：根的判别式，求根公式的应用，函数的图像. 23．(1)证明见解析．（2）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）可先根据抛物线的解析式设出P点的坐标，那么可得出PM的长的表达式，P点到y=-1的长就是P点的纵坐标与-1的差的绝对值，那么可判断得出的表示PM 和P到y=-1的距离的两个式子是否相等，如果相等，则y=-1是圆P的切线． （2）可通过构建相似三角形来求解，过Q，P作QR⊥直线y=-1，PH⊥直线y=-1，垂足为R，H，那么QR∥MN∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得出QM：MP=RN：NH．（1）中已得出了PM=PH，那么同理可得出QM=QR，那么比例关系式可写成QR：PH=RN：NH，而这两组对应成比例的线段的夹角又都是直角，因此可求出∠QNR=∠PNH，根据等角的余角相等，可得出∠QNM=∠PNM． 试题解析：（1）设点P的坐标为（x0，1 4 x20），则PM=222 00 11 (1) 44 x x +-=x20+1； 又因为点P到直线y=-1的距离为，1 4 x20-（-1）= 1 4 x20+1 所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1相切．（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H，R． 由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR． 因为PH，MN，QR都垂直于直线y=-1， 所以，PH∥MN∥QR，于是QM MP RN NH =，所以 QR PH RN HN =，因此，Rt△PHN∽Rt△QRN． 于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM．考点：二次函数综合题． 24．（1）（-1 20 x2+14x）万元；w甲=- 3 20 x2+9x-90．（2）n=15．（3）应选乙地． 【解析】试题分析：（1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W甲（万元）与x之间的函数关系式； （2）求出利润W 乙（万元）与x 之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元．求出n 的值； （3）分别求出x=18时，W 甲和W 乙的值，通过比较W 甲和W 乙大小就可以帮助投资商做出选择． 试题解析：（1）甲地当年的年销售额为（-120x+14）?x=（-120 x 2 +14x ）万元； w 甲=（- 120x 2+14x ）-（110x 2+5x+90）=-320 x 2 +9x-90． （2）在乙地区生产并销售时，年利润： w 乙=-110x 2+nx-（110x 2+5x+90）=-15 x 2 +（n-5）x-90． 由22 1 4()(90)(5)45144()5 n ac b a ?-?----= ?-=35，解得n=15或-5． 经检验，n=-5不合题意，舍去， ∴n=15． （3）在乙地区生产并销售时，年利润 w 乙=-15 x 2 +10x-90， 将x=18代入上式，得w 乙=25．2（万元）； 将x=18代入w 甲=-320 x 2 +9x-90， 得w 甲=23．4（万元）． ∵W 乙＞W 甲， ∴应选乙地． 考点：二次函数的应用． 25．（1）2 23y x x =--，D （1，﹣4）；（2）132S S S +=；（3）M （ 32，0）， 3 2 y x =-． 【解析】 试题分析：（1）把A 、B 的坐标代入即可求出抛物线的解析式，用配方法把一般式 化为顶点式求出点D 的坐标； （2）利用勾股定理的逆定理判断△BCD 为直角三角形，分别求出△AOC，△BOC，△BCD 的面积，计算即可得到答案； （3）假设存在，设点M 的坐标为（m ，0），表示出MA 的长，由MN∥BC，求出AN ，根据偶△AMN∽△ACM，求出m ，得到点M 的坐标，从而求出BC 的解析式，由于MN∥BC，设直线MN 的解析式为y x b =+，求解即可． 试题解析：（1）∵抛物线2 y x bx c =++经过A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴10 930b c b c -+=??++=? ， 解得：23 b c =-?? =-?，∴抛物线的解析式为：223y x x =--，∵223y x x =--=2 (1)4x --， ∴点D 的坐标为：（1，﹣4）； （2）132S S S +=．证明如下： 过点D 作DE⊥x 轴于点E ，DF⊥y 轴于F ，由题意得， ， BD= BC= 222CD BC BD +=，∴△BCD 是直角三角形，1S =12×OA×OC=32，2S =12×OB×OC=9 2 ，3S = 1 2 ×CD×BC=3， ∴132S S S +=； （3）存在点M 使∠AMN=∠ACM，设点M 的坐标为（m ，0），∵﹣1＜m ＜3，∴MA=m+1，AC=10， ∵MN∥BC，∴ AM AB AN AC = ，即110 m AN +=，解得，AN=10(1)m +，∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，∴△AMN∽△ACM，∴ AM AN AC AM = ，即2 10(1)10(1)m m +=?+，解得， 132m = ，21m =-（舍去），∴点M 的坐标为（3 2 ，0），设BC 的解析式为y kx b =+，把B （3，0），C （0，﹣3）代入得，303k b b +=?? =-?，解得1 3 k b =??=-?， 则BC 的解析式为3y x =-，又MN∥BC，∴设直线MN 的解析式为y x b =+，把点M 的坐标为（ 32，0）代入得，b=32-，∴直线MN 的解析式为3 2 y x =-． 考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．探究型；4．和差倍分；5．动点型；6．综合题；7．压轴题． 26．（1）21 2y x x 1 33 =--+ （2）点D 的坐标为3524?? - ??? ， （3）满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，5 3 -）、（10，﹣39）。 【解析】分析：（1）把点A 、B 、C 的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元 一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值。 （2）由（1）中的抛物线解析式易求点M 的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得 直线AM 的关系式为1y x 13=+。由题意设点D 的坐标为200012x x x 133?? --+ ??? ，，则点F 的 坐标为001x x 13?? + ??? ，，易求DF 关于0x 的函数表达式，根据二次函数最值原理来求线段DF 的最大值。 （3）对点P 的位置进行分类讨论：点P 分别位于第一、二、三、四象限四种情况。利用相似三角形的对应边成比例进行解答。 解：（1）把A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1）代入2y ax bx c =++得， 9a 3b c 0a b c 04a 2b c 1 -+=??++=? ?-+=?．解得1a 32b 3c 1 ?=-?? ? =-??=??? 。 ∴抛物线的表达式为212y x x 133 =--+。 （2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）。 设直线MA 的表达式为y=kx+b ， 则b 13k b 0=??-+=?，解得1k 3b 1? =???=?。 ∴直线MA 的表达式为1y x 13=+。 设点D 的坐标为200012x x x 133??--+ ??? ，，则点F 的坐标为001x x 13?? + ??? ，。 ∴2 220000*********DF x x 1x 1x x x 3333324?? ??=--+-+=--=-++ ? ??? ??。 ∴当03x 2=-时，DF 的最大值为34。 此时200125x x 1334--+= ，即点D 的坐标为3524??- ??? ，。 （3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似。 设P 212m m m 133?? --+ ??? ，， 在Rt△MAO 中，AO=3MO ，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限。 ①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM 。 ∴()212m m 13m 333 --+=+，即2m 11m 240++=，解得m=﹣3或m=﹣8。 ∵此时﹣3＜m ＜0，∴此时满足条件的点不存在。 ②当点P 在第三象限时， ∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM 。 ∴()212m m 13m 333?? ---+=-- ??? ，即2m 11m 240++=，解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。 当m=﹣8时，212m m 11533 --+=-，∴此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）。 ③当点P 在第四象限时， 若AN=3PN 时，则2123m m 1m 333?? ---+=+ ??? ， 即m 2 +m ﹣6=0。 解得m=﹣3（舍去）或m=2。 当m=2时，21 25m m 1333 --+=-， ∴此时点P 的坐标为（2，53 -）。 若PN=3NA ，则()212m m 13m 333?? ---+=+ ??? ，即m 2﹣7m ﹣30=0。 解得m=﹣3（舍去）或m=10。 当m=10时，21 2m m 13933 --+=-，∴此时点P 的坐标为（10，﹣39）。 综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，53 -）、（10，﹣39）。 27．设直线OA 的解析式为y kx =. 点A 的坐标为（3，3）. 33k ∴=. 解得1k =. ∴直线OA 的解析式为y x = 28．当6x =时，11 6322 y x = =?=. C ∴点的坐标为(6，3)， 抛物线过点C （6，3） 33626a ∴=+?. 解得1 4 a =- 29．根据题意，()()3060D B ，，，. 点P 的横坐标m ，PE y ∥轴交OA 于点E ， ()E m m ∴，.当03m <<时，如图①， OAB OED S S =△△-S ＝113 6339222 m m ??-?=-+.…………7分 当3m >时，如图②， 11 63322 OBC ODA S S m ==??-??△△-S 9 3.2 m =- 30．33m =-或9 4 m = 或34m <≤. 提示： 如图③，RQ=RN 时，33m =-，……………………………………11分 图② 如图④，AD所在的直线为矩形RQMN的对称轴时，9/4 m=，…………………12分 如图⑤，RQ与AD重合时，重叠部分为等腰直角三角形，3 m=；………13分 如图⑥，当点R落在AB上时，m=4. 所以34 m ≤<.…………………14分 【解析】（1）已知了A点的坐标，即可求出正比例函数直线OA的解析式； （2）根据C点的横坐标以及直线OC的解析式，可确定C点坐标，将其代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值； （3）已知了A点的坐标，即可求出OD、AD的长，由于△OAB是等腰直角三角形，即可确定OB的长；欲求四边形ABDE的面积，需要分成两种情况考虑： ①0＜m＜3时，P点位于线段OD上，此时阴影部分的面积为△AOB、△ODE的面积差； ②m＞3时，P点位于D点右侧，此时阴影部分的面积为△OAB、△OAD的面积差； 根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法，可求出不同的自变量取值范围内，S、m的函数关系式； （4）若矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形，首先要找出其对称轴； ①由于直线OA的解析式为y=x，若设QM与OA的交点为H，那么∠QEH=45°，△QEH是等腰直角三角形；那么当四边形QRNM是正方形时，重合部分是轴对称图形，此时的对称轴为QN 所在的直线；可得QR=RN，由此求出m的值； ②以QM、RN的中点所在直线为对称轴，此时AD所在直线与此对称轴重合，可得PD=1/2RN=3/4，由OP=OD-PD即可求出m的值； ③当P、D重合时，根据直线OC的解析式y=x/2知：RD=3/2；此时R是AD的中点，由于RN∥x 轴，且RN=3/2=DB/2，所以N点恰好位于AB上，RN是△ABD的中位线，此时重合部分是等腰直角三角形REN，由于等腰直角三角形是轴对称图形，所以此种情况也符合题意，此时OP=OD=3，即m=3；当R在AB上时，根据直线OC的解析式可用m表示出R的纵坐标，即可得到PR、PB的表达式，根据PR=PB即可求出m的值；根据上述三种轴对称情况所得的m的值，及R在AB上时m的值，即可求得m的取值范围. 图③图④ 九年级数学 二次函数 单元试卷（一） 时间90分钟 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10题) 3.05m x y 2009年中考试题专题之13-二次函数试题及答案 一、选择题 1、向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。 2、在平面直角坐标系中，将二次函数2 2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 A ．222-=x y B ．222 +=x y C ．2)2(2-=x y D ．2 )2(2+=x y 3、抛物线3)2(2 +-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、二次函数2 (1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 23 6、抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ） A ．()m n ， B ．()m n -， C ．()m n -， D ．()m n --， 7、根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴（ ） x … －1 0 1 2 … y … －1 47- －2 4 7 - … A ．只有一个交点 B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D ．无交点 8、二次函数2 365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ） A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 9、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 10、抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2 -x-2 B 、y=12 1 212++-x C 、y=12 1 212+--x x D 、y=22++-x x 11、已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 则下列结论：0ac >①；②方程2 0ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 A ． B ． C ． D ． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 、选择题: 二次函数 抛物线y =(x-2)2 3的对称轴是( A.直线x = —3 B.直线x =3 二次函数y 二ax 2 在( ) A.第一象限 C.第三象限 已知二次函数 则一定有( 2 A. b —4ac 0 bx c 的图象如右图，则点 = ax 2 把抛物线y =x 2 ? bx B.第二象限 D.第四象限 C. M bx c ，且 a ::: 0，a -b c .0， 2 B. b -4ac =0 C. b 2 -4ac ：： 2 D. b —4ac < 0 c 向右平移3个单位，再向下平移 2个单位，所得图象的解析式是 2 y =x -3x 5，则有( A. b = 3 , c -1 C. b =3 , c =3 B. b = -9 , c = -15 D. b = —9 , c =21 下面所示各图是在同 一直 角 坐标 系内，二次 函数y 二ax 2 (a c)x c 与一次 函数 k 已知反比例函数y 的图象如右图所示，则二 x y =ax c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是( 11. 已知抛物线y =ax2 bx c与x轴有两个交点，那么一元二次方程ax2 bx 0的根的 情况是_______________________ 12. __________________________________________________________________ 已知抛物线 y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1，则a+c= _______________________________ 13. 请你写出函数y=（x+1）2与y=x2+1具有的一个共同性质：_____________________ . 14. 有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点：甲：对称轴是直线x =4 ； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15. 已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：________________________. A.x 二-2 B. x =2 C. 8. 二 欠 函 1 数y :=(x -1)2'2的最小值是（) A.-2 B. 2 C. D. 1 9. - 二- 次函数y =ax2bx c的图象如图所 M=4 a 2b c N = a —b c , P = 4a-b ,则（ A.M0 , N 0, P 0 B.M<0 ,N 0, P 0 C.M0, N ：： 0, P 0 D.M0 , N 0, P ：：：0 、 填空题: 7.抛物线y=x2 -2x 3的对称轴是直线（ ）x = —1 D. x =1 10.将二次函数y =x2 -2x 3配方成y =(x -h)2? k的形式，则y= ____________________ 二次函数单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 当-2≤ x ≦1,二次函数y=-（x-m ）2 + m 2 +1有最大值4，则实数m 值为（ ） A.-4 7 B. 3或-3 C.2或-3 D. 2或3或- 4 7 2. 函数 2 2y mx x m =+-（m 是常数）の图像与x 轴の交点个数为（ ） A. 0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 3. 关于二次函数 2 y ax bx c =++の图像有下列命题：①当0c =时，函数の图像经过原点；②当0c >，且函数の图像开口向下时，方程2 0ax bx c ++=必有两个不相等の实根；③函数图像最高点の纵坐标是 2 44ac b a -；④当0b =时，函数の图像关于y 轴对称．其中正确命题の个数是（ ） A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4. 关于x の二次函数 2 2(81)8y mx m x m =+++の图像与x 轴有交点，则m の范围是（ ） A ． 1 16m <- B ． 116m - ≥且0m ≠ C ． 1 16m =- D ． 1 16m >- 且0m ≠ 5. 下列二次函数中有一个函数の图像与x 轴有两个不同の交点，这个函数是（ ） A ．2 y x = B ．24y x =+ C ．2325y x x =-+ D ．2 351y x x =+- 6. 若二次函数2 y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（ ） A ．a c + B ．a c - C ．c - D ．c 7. 下列二次函数中有一个函数の图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ ） A ．1x y 2 —= B ．24y x =+ C ．1x 2x y 2+=— D ．2 351y x x =+- 8. 抛物线2 321y x x =-+-の图象与坐标轴交点の个数是（ ） A ．没有交点 B ．只有一个交点 C ．有且只有两个交点 D ．有且只有三个交点 9. 函数2 y ax bx c =++の图象如图所示，那么关于x の一元二次方程2 30ax bx c ++-=の根の情况是（ ） A ．有两个不相等の实数根 B ．有两个异号の实数根 2008年全国中考数学试题分类精编 二次函数专题一、选择题 1.（2008资阳市） 在平面直角坐标系中，如果抛物线y ＝2x 2 不动，而把x 轴、y 轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是 ( ) A ．y ＝2(x －2)2 + 2 B ．y ＝2(x + 2)2 －2 C ．y ＝2(x －2)2－2 D ．y ＝2(x + 2)2 + 2 2.（2008四川达州市）已知二次函数 2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当0y <时， x 的取值范围是（ ） A ．13x -<< B ．3x > C ．1x <- D ．3x >或1x <- 3．（2008泰州市）二次函数 342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得 到，下列平移正确的是( ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 4．（2008山西省）抛物线 5422---=x x y 经过平移得到22x y -=，平移方法是( ) A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 5．（2008年陕西省）已知二次函数 2y ax bx c =++（其中000a b c >><，，）， 关于这个二次函数的图象有如下说法： ①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6、（2008年吉林省长春市）抛物线 ()2 23y x =++的顶点坐标是 【 】 A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3） 7、（2008年吉林省长春市）二次函数 362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是【 】 A ．3 二次函数单元测试卷 、选择题（每小题 3分，共30 分） 4ac - b 2 4a ；④当b = 0时，函数的图像关于 y 轴对称.其中正确命题的个数是（ A. 1 个 B. a — c F 列二次函数中有一个函数的图像与坐标轴有一个交点，这个函数是（ 2 抛物线y - -3x - 2x -1的图象与坐标轴交点的个数是（ B .只有一个交点 C .有且只有两个交点 D .有且只有三个交点 1.当-2 < x = 1,二次函数 y=- (x-m ) 2 2 + m +1 有最大值4，则实数 m 值为（ 7 A.- 4 B. ,3 或-..3 C.2 或-..3 D. 2 或3或-- 4 2.函数y = mx ? x - 2m （ m 是常数） 的图像与 X 轴的交点个数为（ A. 0 个 1个或2个 3.关于二次函数 2 y = ax bx c 的图像有下列命题：①当c = 0时, 函数的图像经过原点；②当 c 0，且 函数的图像开口向下时，方程 2 ax bx 必有两个不相等的实根；③函数图像最高点的纵坐标是 2 9.函数y 二ax bx c 的图象如图所示，那么关于 x 的一元二次方程 A .有两个不相等的实数根 B.有两个异号的实数根 4. 关于X 的二次函数 2 y =2mx （8 m 1）x 8m 的图像与x 轴有交点，则 m 的范围是（ 1 m - 一 16 1 1 m > m 二一一 B . 16 且 m=0 C . 16 D . 1 m 空一 16且 m^O 5. F 列二次函数中有 个函数的图像与 x 轴有两个不同的交点，这个函数是 C. 2 y 二 3x -2x 5 D. y 二 3x 2 5x 「1 6. 若二次函数 2 =ax c ，当x 取 X 1、 x 2 （Xi = X2 ）时，函数值相等, 则当 x 取X 1 X 2时，函数值为 _c 7. 2 .y =x — 1 2 B . y =x 4 C. y =X 2 — 2X 1 2 D. y = 3x 5x -1 8. A .没有交点 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误． 砺智教育二次函数 一、选择题：(共30分) 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点), (a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） B x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 7. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 8. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 第22章二次函数单元测试题(A卷) (考试时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A．y=（x﹣1）（x+2）B．y=（x+1）2 C．y=2（x+3）2﹣2x2D．y=1﹣x2 2．二次函数y=2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（） A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）3．若将函数y=3x2的图象向左平行移动1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为（） A．y=3（x﹣1）2﹣2 B．y=3（x+1）2﹣2 C．y=3（x+1）2+2 D．y=3（x﹣1）2﹣2 4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（） A．b2﹣4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D． 5．给出下列函数：①y=2x；②y=﹣2x+1；③y=（x＞0）；④y=x2（x＜﹣1）．其中，y随x 的增大而减小的函数是（） A．①②B．①③C．②④D．②③④6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（） A．B． C．D． 7．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分的对应值如下表，则y＞0时，x的取值范围是（） A．﹣1＜x＜2 B．x＞2或x＜﹣1 C．﹣1≤x≤2D．x≥2或x≤﹣1 8．抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（） A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点9．在半径为4cm的圆中，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下一个圆环的面积为ycm2，则y 与x的函数关系式为（） A．y=πx2﹣4 B．y=π（2﹣x）2C．y=﹣（x2+4）D．y=﹣πx2+16π10．如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），则二次函数的解析式是． 12．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值为． 13．抛物线y=x2+x﹣4与y轴的交点坐标为． 14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价元，最大利润为元． 二次函数单元测评 (试时间：60分钟，满分：100分) 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限 () A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图 象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的 图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 二次函数选择题难点大全 1．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示： 从上表可知，下列说法中，错误的是（） A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0） B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6） C．抛物线的对称轴是直线x=0 D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的 2．已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜﹣1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（） A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论： ①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0． 其中所有正确结论的序号是（） A．③④B．②③C．①④D．①②③ 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，其对称轴为直线x=﹣1，给出下列结果： （1）b2＞4ac；（2）abc＞0；（3）2a+b=0；（4）a+b+c＞0；（5）a﹣b+c＜0． 则正确的结论是（） A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）（5）C．（2）（3）（4）D．（1）（4）（5）6．如图：二次函数y=ax2+bx+c的图象所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b=0； ③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2，正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与X轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论： ①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a+c＜1；④b2+8a＞4ac， 第I卷（选择题） 1．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是 。 2．二次函数图象的顶点坐标是（） A．B．C．D． 3．抛物线的顶点坐标为（） A．（5 ，2）B．（－5 ，2）C．（5，－2）D．（－5 ，－2）4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=2，且经过点p(3?0).则a+b+c 的值为（） A、 1 B、 2 C、–1 D、 0 5．将抛物线y=x2向左平移两个单位，再向上平移一个单位，可得到抛物线（） A．y=(x－2) 2+1 B．y=(x－2) 2－1 C．y=(x+2) 2+1 D．y=(x+2) 2－1 6．已知，，是抛物线上的点，则（）A． B． C． D． 7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0 ②b<0 ③c>0 ④4a+2b+c=0, ⑤b+2a=0 ⑥其中正确的个数是( ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 8．二次函数的图象如图所示．当＜0时，自变量的取值范围是（ A．－1＜＜3 B．＜－1 C．＞3 D．＜－1或＞3 9．抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正 确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 10．二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是 A． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论错误的是( ) (A)ab＜0 (B)ac＜0 (C)当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小 (D)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2＋bx＋c 二次函数 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线 =x D. 直线 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点) ,(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数 c bx ax y ++=2，且0+-c b a ， 则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 已知反比例函数x k y = 的图象如右图所示，则二次函数222k x kx y +-=的图象大致为（ ） x 6. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 7.抛物线3 2 2+ - =x x y的对称轴是直线（） A. 2 - = x B. 2 = x C. 1 - = x D. 1 = x 8.二次函数2 )1 (2+ - =x y的最小值是（） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 9.二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所示，若 c b a M+ + =2 4c b a N+ - =，b a P- =4，则（） A. 0 > M，0 > N，0 > P B. 0 < M，0 > N，0 > P C. 0 > M，0 < N，0 > P D. 0 < M，0 > N，0 < P 二、填空题： 10.将二次函数3 2 2+ - =x x y配方成k h x y+ - =2) (的形式，则y=______________________. 11.已知抛物线c bx ax y+ + =2与x轴有两个交点，那么一元二次方程0 2= + +c bx ax的根的情况是______________________. 12.已知抛物线c x ax y+ + =2与x轴交点的横坐标为1 -，则c a+=_________. 13.请你写出函数2)1 (+ =x y与1 2+ =x y具有的一个共同性质：_______________. 14.有一个二次函数的图象，三位同学分别说出它的一些特点： 甲：对称轴是直线4 = x； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： 15.已知二次函数的图象开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函 数的解析式：_____________________. 二次函数经典测试题附答案 一、选择题 1．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（ ）． A ．①②④ B ．②③④ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 ①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误； ②由抛物线的开口方向向上可推出a>0； ∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a ->0， 又∵a>0， ∴b<0； 由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c<0， 故abc>0，故②错误； ③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确； ⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -=12 则2a=?2b ，故⑤正确； 故正确的有：③④⑤． 故选：C 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b + ＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0； 由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确） ：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确） 故选D ． 考点：二次函数图像与系数的关系. 3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 二次函数练习题 一、选择题 1、抛物线 y=12x 2 向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12(x+8)2+9 2、二次函数y ＝－3x 2－6x ＋5的图象的顶点坐标是( ) A ．(－1,8) B ．(1,8) C ．(－1,2) D ．(1，－4) 3、 抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 4、函数y ＝x 2－2x －2的图象如下图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．－1 二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ） A ．①③④ B ．①②3④ C ．①②③ D ．②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】 解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b a -＞0， ∴b ＞0， ∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2b a -＝1， ∴b ＝﹣2a ， ∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确； ③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ， 当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ， 即ax 2+bx≤a+b ，故③正确； ④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 2．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b +＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2 22ax bx +， 且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】 解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则- 2b a =1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0； 由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确） ：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误） ⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2 11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1- x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a a a -=-=2 （故⑤正确） 故选D ． 考点：二次函数图像与系数的关系. 3．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） 二次函数练习题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交 x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是() A. B. C. D. 二、填空题： 11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________. 12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________. 13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________. 14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的 情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)，(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；(2)求此二次函数的解析式；
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