力学（一）质点运动学的描述
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一、选择题
1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作
(A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向．
(B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向．
(C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向．
(D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． ［ ］
2、一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为
(A) 5m ． (B) 2m ．
(C) 0． (D) -2 m ．
(E) -5 m.
［ ］
3、几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上．若使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选
(A) 60°． (B) 45°．
(C) 30°． (D) 15°． ［ ］
4、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是
(A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (D) 匀速直线运
动． ［ ］
二、填空题
1、一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为
a = 3+2 t (SI) ,
如果初始时质点的速度v 0为5 m/s ，则当ｔ为3s 时，质点的速度
v = .
2、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s 的
时间间隔内，质点的位移大小为 ___________，在t 由0到4s 的时间间隔内质
点走过的路程为_________________．
3、灯距地面高度为h 1，一个人身高为h 2，在灯下以匀速率v 沿
水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M 点沿地面
移动的速度为 v M = ．
-12
)O
三、计算题
1、一质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x的关系为
a＝2＋6 x2 (SI)
如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度．
2、有一质点沿x轴作直线运动，t时刻的坐标为x = 4.5 t2– 2 t3(SI) ．试求：
(1)第2秒内的平均速度；
(2)第2秒末的瞬时速度；
(3)第2秒内的路程．
一、
DBBC
二、
23 m/s
8 m 10 m
h 1v /(h 1-h 2)
三、
解：设质点在x 处的速度为v ，
62d d d d d d 2
x t x
x t a +=?==v
v
()x x x d 62d 0
20??+=
v v v () 2 213 x x +=v
解：(1) 5.0/-==??t x v m/s
(2) v = d x /d t = 9t - 6t 2 v (2) =-6 m/s
(3) S = |x (1.5)-x (1)| + |x (2)-x (1.5)| = 2.25 m
重点高中物理运动学和力学知识点
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
A B Ⅰ。力的种类:（13个性质力） 力的种类:（13个性质力） 有18条定律、2条定理 1重力： G = mg (g 随高度、纬度、不同星球上不同) 2弹力：F= Kx 3滑动摩擦力：F 滑= μN 4静摩擦力： O ≤ f 静≤ f m (由运动趋势和平衡方程去判断) 5浮力： F 浮= ρgV 排 6压力: F= PS = ρghs 7万有引力： F 引 =G 2 2 1r m m 8库仑力： F=K 2 2 1r q q (真空中、点电荷) 9电场力： F 电=q E =q d u 10安培力：磁场对电流的作用力 F= BIL (B ⊥I) 方向：左手定则 11洛仑兹力：磁场对运动电荷的作用力 f=BqV (B ⊥V) 方向：左手定则 12分子力：分子间的引力和斥力同时存在,都随距离的增 大而减小,随距离的减小而增大,但斥力变化得快． 。 13核力：只有相邻的核子之间才有核力，是一种短程强力。 5种基本运动模型 1静止或作匀速直线运动（平衡态问题）； 2匀变速直、曲线运动（以下均为非平衡态问题）； 3类平抛运动； 4匀速圆周运动； 5振动。 1万有引力定律B 2胡克定律B 3滑动摩擦定律B 4牛顿第一定律B 5牛顿第二定律B 力学 6牛顿第三定律B 7动量守恒定律B 8机械能守恒定律B 9能的转化守恒定律． 10电荷守恒定律 11真空中的库仑定律 12欧姆定律 13电阻定律B 电学 14闭合电路的欧姆定律B 15法拉第电磁感应定律 16楞次定律B 17反射定律 18折射定律B 定理： ①动量定理B ②动能定理B 做功跟动能改变的关系 受力分析入手（即力的大小、方向、力的性质与特征，力的变化及做功情况等）。 再分析运动过程（即运动状态及形式，动量变化及能量变化等）。 最后分析做功过程及能量的转化过程； 然后选择适当的力学基本规律进行定性或定量的讨论。 强调：用能量的观点、整体的方法(对象整体，过程整体)、等效的方法(如等效重力)等解决 Ⅱ运动分类：（各种运动产生的力学和运动学条件及运动规律．．．．．．．．．．．．． ）是高中物理的重点、难点 高考中常出现多种运动形式的组合 追及(直线和圆)和碰撞、平抛、竖直上抛、匀速圆周运动等 ①匀速直线运动 F 合=0 a=0 V 0≠0 ②匀变速直线运动：初速为零或初速不为零， ③匀变速直、曲线运动(决于F 合与V 0的方向关系) 但 F 合= 恒力 ④只受重力作用下的几种运动：自由落体，竖直下抛，竖直上抛，平抛，斜抛等 ⑤圆周运动：竖直平面内的圆周运动(最低点和最高点)；匀速圆周运动(关键搞清楚是什么力提供作向心力) ⑥简谐运动；单摆运动； ⑦波动及共振；
第二章 质点运动学 思考题 2.1质点位置矢量方向不变，质点是否作直线运动？质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？ 答：质点位置矢量方向不变，质点沿直线运动。质点沿直线运动，质点位置矢量方向不一定不变。如图所示。 2.2若质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作何种运动？速度矢量的大小不变而方向改变作何种运动？ 答：质点的速度矢量的方向不变仅大小改变，质点作变速率直线运动；速度矢量的大小不变而方向改变作匀速率曲线运动。 2.3“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法是否正确？如何正确表述瞬时速度的定义？我们是否能按照瞬时速度的定义通过实验测量瞬时速度？ 答：“瞬时速度就是很短时间内的平均速度”这一说法不正确。因为瞬时速度与一定的时刻相对应。瞬时速度的定义是质点在t 时刻的 瞬时速度等于t 至t+△t 时间内平均速度t /r ?? ，当△t →0时的极 限，即 dt r d t r lim v 0t = ??=→?。很难直接测量，在技术上常常用很短时间内的平均速度近似地表示瞬时速度，随着技术的进步，测量可以达到很高的精确度。 2.4试就质点直线运动论证：加速度与速度同号时，质点作加速运动；加速度与速度反号时，作减速运动。是否可能存在这样的直线运动，质点速度逐渐增加但加速度却在减小？ 答： ,dt dv t v lim a x x 0 t x =??=→?加速度与速度同号时，就是说,0a ,0v 0a ,0v x x x x <<>>或以0a ,0v x x >>为例， 速度为正表示速度的方向与x 轴正向相同，加速度为正表示速度的
增量为正， t t ?+时刻的速度大于t 时刻的速度，质点作加速运动。 同理可说明 ,0a ,0v x x <<质点作加速运动。 质点在作直线运动中速度逐渐增加但加速度却在减小是可能存在的。例如初速度为x 0v ，加速度为 t 6a x -=，速度为 2 0t 0x 0x t 2 1t 6v dt )t 6(v v -+=-+=?， ,0v ,0a 6t x x >><时，速度逐渐增加。 2.5设质点直线运动时瞬时加速度=x a 常量，试证明在任意相等的 时间间隔内的平均加速度相等。 答：平均加速度 121 x 2x x t t v v a --= 由瞬时加速度 , dt a dv ,dt a dv ,dt dv a 2 1 2 x 1 x t t x v v x x x x x ??=== 得， 121x 2x x t t v v a --=，=x a 常量，即121 x 2x x t t v v a --= 为常 量。 2.6在参照系一定的条件下，质点运动的初始条件的具体形式是否与计时起点和坐标系的选择有关？ 答：有关。 例子，以地面为参照系，研究物体的自由下落。
大学物理第一章质 点运动学 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一章章节测试题 一、选择题（每小题3分，共计15分） 1．以下四种运动形式中，a 保持不变的运动是 （ ） (A) 单摆的运动 (B) 匀速率圆周运动 (C) 行星的椭圆轨道运动 (D) 抛体运动 2．一物体从某一确定高度以0v 的速度水平抛出，已知它落地时的速度为t v ， 那么它运动的时间是 （ ） (A) g t 0v v - (B) g t 20v v - (C) ()g t 2/120 2 v v - (D) ()g t 22/120 2 v v - 3．下列说法中，哪一个是正确的 （ ） (A) 一质点在某时刻的瞬时速度是2 m/s ，说明它在此后1 s 内一定要经过2 m 的路程 (B) 斜向上抛的物体，在最高点处的速度最小，加速度最大 (C) 物体作曲线运动时，有可能在某时刻的法向加速度为零 (D) 物体加速度越大，则速度越大 4．一质点沿x 轴运动，其运动方程为2353x t t =-，其中t 以s 为单位。当t=2s 时，该质点正在 （ ） （A ）加速 （B ）减速 （C ）匀速 （D ） 静止 5．下列关于加速度的说法中错误的是 （ ） （A ）质点加速度方向恒定，但其速度的方向仍可能在不断的变化着 （B ）质点速度方向恒定，但加速度方向仍可能在不断的变化着 （C ）某时刻质点加速度的值很大，则该时刻质点速度的值也必定很大 （D ）质点作曲线运动时，其法向加速度一般不为零，但也有可能在某时刻法向加速度为零
二、填空题（每空2分，共计20分） 1．一辆作匀加速直线运动的汽车，在6 s 内通过相隔60 m 远的两点，已知汽车经过第二点时的速率为15 m/s ，则汽车通过第一点时的速率v 1 =______________。 2．质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为 223t +=θ，则ｔ时刻质点的法向加速度大小为a n = 。 3．一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为：a = 3+2 t ，如果初始时刻质点的速度v 0为5 m/s ，则当ｔ为3s 时，质点的速度 v = 。 4．已知质点的运动学方程为：j t t i t t r )3 14()2125(32++-+=，当t = 2 s 时，速度的大小=v ，加速度的大小a = 。 5．在x 轴上作变加速直线运动的质点，已知其初速度为0v ，初始位置为x 0，加速度2Ct a =（其中C 为常量），则其速度与时间的关系为=v ，位置与时间的关系为x= 。 6．一质点从静止出发沿半径R =1 m 的圆周运动，其角加速度随时间t 的变化规律是β =12t 2-6t ，则质点的角速度ω =____________________。 7．已知质点的运动学方程为24t r = i +(2t +3)j ，则该质点的轨道方程为_______________。 8．一质点沿x 轴作直线运动，它的运动学方程为x =3+5t +6t 2-t 3 (SI)，则加速度为零时，该质点的速度=v __________________。 三、简答题（每题5分，共计25分） 1、分子的体积很小，所以可以看作质点，你认为这种说法对吗？为什么？ 2、质点运动过程中，其加速度为负值，则说明质点是减速运动的，你认为这种说法对吗？说明原因 3、一个质点在做匀速率圆周运动时，其切向加速度、法向加速度是否变化？ 4、瞬时速率是瞬时速度的大小，平均速率是平均速度的大小，这种说法对吗？举例说明
第一章 质点运动学 1–1 描写质点运动状态的物理量是 。 解：加速度是描写质点状态变化的物理量，速度是描写质点运动状态的物理量，故填“速度”。 1–2 任意时刻a t =0的运动是 运动；任意时刻a n =0的运动是 运动；任意时刻a =0的运动是 运动；任意时刻a t =0，a n =常量的运动是 运动。 解：匀速率；直线；匀速直线；匀速圆周。 1–3 一人骑摩托车跳越一条大沟，他能以与水平成30°角，其值为30m/s 的初速从一边起跳，刚好到达另一边，则可知此沟的宽度为 （)m/s 102=g 。 解：此沟的宽度为 m 345m 10 60sin 302sin 220=??==g R θv 1–4 一质点在xoy 平面运动，运动方程为t x 2=，229t y -=，位移的单位为m ，试写出s t 1=时质点的位置矢量__________；s t 2=时该质点的瞬时速度为__________，此时的瞬时加速度为__________。 解：将s t 1=代入t x 2=，229t y -=得 2=x m ，7=y m s t 1=故时质点的位置矢量为 j i r 72+=（m ） 由质点的运动方程为t x 2=，229t y -=得质点在任意时刻的速度为 m/s 2d d ==t x x v ，m/s 4d d t t x y -==v s t 2=时该质点的瞬时速度为 j i 82-=v （m/s ） 质点在任意时刻的加速度为 0d d ==t a x x v ，2m/s 4d d -==t a y y v s t 2=时该质点的瞬时加速度为j 4-m/s 2 。
高三物理第一次周测练习 一、单选题(共8小题,每小题4.0分,共32分) 1.如图所示，汽车向右沿直线运动，原来的速度是v1，经 过一小段时间之后，速度变为v2，Δv表示速度的变化量。由 图中所示信息可知( ) A．汽车在做加速直线运动 2.质点做直线运动的位移x与时间t的关系为x＝5t＋t2(各物理量均采用国际单位 制单位)，则该质点( ) A．第1 s内的位移是5 m B．前2 s内的平均速度是6 m/s C．任意相邻的1 s内位移差都是1 m D．任意1 s内的速度增量都是2 m/s 3.物体A、B的x－t图象如图所示，由图可知( ) A．从第3 s起，两物体运动方向相同，且v A＞v B B．两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3 s才开始运动 C．在5 s内两物体的位移相同，5 s末A、B相遇 D．5 s内A、B的平均速度相等 4.一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度方向相同，但加速度 大小逐渐减小直至为零。在此过程中( ) A．速度逐渐减小，当加速度减小到零时，速度达到最小值 B．速度逐渐增大，当加速度减小到零时，速度达到最大值 C．位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大 D．位移逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值 5.把一条铁链自由下垂地悬挂在天花板上，放开后让铁链做自由落体运动，已知铁 链通过悬点下3.2 m处的一点历时0.5 s，取g＝10 m/s2，则铁链的长度为( ) A．1.75 m B．2.75 m C．3.75 m D．4.75 m 6.空军特级飞行员李峰驾驶歼十战机执行战术机动任务，在距机场54 km、离地 1 750 m高度时飞机发动机停车失去动力。在地面指挥员的果断引领下，安全迫降机场， 成为成功处置国产单发新型战机空中发动机停车故障、安全返航第一人。若飞机着陆后
一. 选择题: ［ C ］1、[基础训练1]如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的 运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 【提示】如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+，22dl dx l x dt dt =， dx l dl dl dt x dt x dt ==，0dl v dt =-， 2 2 0dx h x v i v i dt +==- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。 ［ B ］2、[基础训练2]一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. 【提示】质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 曲线下的面积的代数和。 4.50 (1 2.5)22(21)122()s x vdt m = =+?÷-+?÷=? ［ D ］3、[基础训练4] 质点作曲线运动，r 表示位置矢量，v 表示速度，a 表示加速度，s 表示路程，t a 表示切向加速度分量，下列表达式中， (1) a t = d /d v ， (2) v =t r d /d ， (3) d d /t =s v ， (4) t a t =d /d v ． (A) 只有(1)、(4)是对的． (B) 只有(2)、(4)是对的． (C) 只有(2)是对的． (D) 只有(3)是对的． 【提示】根据定义式d d t =s v ，d d t a t =v ，d d a a t ==v 即可判断。 ［ C ］4、[基础训练6]一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 -12
运动学和力学填空题 1．某物体的运动规律为2dv kv t dt =-，式中的k 为大于零的常数。当0t =时，初速为0v ，则速度v 与时间t 的函数关系是（ ）。 2. 质点的运动方程为22(1030)(1520)r t t i t t j =-++- ，则其初速度为（ ），加速度为（ ）。 3. 质点沿半径R 作圆周运动，运动方程为)SI (t 232+=θ，则t 时刻质点法向加速度大小（ ），角加速度（ ），切向加速度大小（ ）。 4. 半径为 1.5r m =的飞轮，初角速度1010rad s ω-=?，角加速度25rad s β-=-?，则在t =( )时角位移为零，而此时边缘上点的线速度( )。 5. 已知质点的运动方程为 2 3,2x t y t ==，x 和y 的单位为米，t 的单位为秒。t=1秒时，质点的速度大小是（ ）米/秒，加速度大小是（ ）米/秒2。 6. 一质点的运动方程为2()(35)(0.524)r t t i t t j =+++- （m ），则s t 2=时的速度大小 为（ ）m/s ；加速度（ ）m/s 2。 7. 已知质点的运动学方程是sin r =Rcost i+R t j ，则它的轨道方程是 （ ）。 8. 一质点沿半径为1m 的圆周运动，它通过的弧长按 2 2t t s +=的规律变化，则它在2秒末的法向加速度的大小为（ ）。速率大小为（ ），切向加速度大小为 （ ） 。 9. 一辆作匀加速直线运动的汽车，在6s 内通过相距60m 远的两点，已知汽车经过第二点时的速率为15/m s ，则汽车通过第一点时速率1v ＝（ ）；汽车的加速度a = （ ）。 10. 飞轮作加速转动时，轮边缘上的一点的运动方程为s = 0.1 t 3 ，飞轮半径为2m ，当此 点的速率v = 30 m/s 时，其切向加速度为（ ），法向加速度为（ ）。
第一章 《大学物理学》辅导答疑 质点运动学 ～3～ 第一章 质点运动学 一、教材系统的安排和教学目的 本章从如何描写质点的运动谈起引入描写平动的四个基本物理量：位置矢量、位移、速度和加速度，进而讨论常见的几种运动情况。关于直线运动，分别用数学公式和图线加以表示，着重阐明已知运动方程，可用微分法求出各时间内的位移、各个时刻的位置、速度和加速度；已知速度（或加速度）与时间的关系和初始条件，可用积分法求出位移公式和运动方程；以及研究质点运动问题的基本思路和步骤。关于平面曲线运动，着重阐明对曲线运动问题的处理方法，主要讲述直角坐标分析法和圆周运动自然坐标分析法。本章的教学目的是：使学生明确如何描写物体（质点）的运动，确切理解位置矢量、位移、速度和加速度概念，掌握匀变速直线运动和圆周运动的规律，以及研究运动学问题的思路和方法，为学习动力学打下良好的基础。 二、教学要求 1、理解描写质点运动的四个基本物理量。 （1）位置矢量是描写质点在空间中位置的物理量，是描写质点状态的一个参量。位置矢量是一个矢量，它具有矢量性；选取不同的参照系，以及在同一参照系中建立不同的坐标系，它的数值和方向是不同的，它的描述具有相对性；在质点运动过程中，位置矢量是随时间改变的，在各个时刻的大小和方向一般是不同的，它具有瞬时性。 （2）位移是描写质点在给定时间内位置变动的大小和方向的物理量，是个过程量。要明确它的矢量性和相对性，并明确位移与路程的区别。 （3）速度是描写质点位置变动的快慢和方向的物理量，是个状态量。要明确速度的瞬时性、矢量性和相对性的性质。 （4）加速度是描写质点运动速度变化快慢的物理量。要明确它的物理意义及其瞬时性、矢量性和相对性。 2、关于运动的图象（x-t 图，v-t 图）表示，要求学生明确图上每一点和每一条线都表示什么物理内容，并学会用x-t 图，v-t 图表示每种直线运动及位移、速度和加速度。 3、明确运动方程的物理内容，会由运动方程求位移、速度和加速度；由速度（或加速度）和初始条件求运动方程。 4、牢固掌握匀变速直线运动的速度公式和位移公式：v=v 0+at 和x-x 0=v 0t+(1/2)at 2。利用这两个公式的解题思路和步骤是： （1）根据题意，确定研究对象。同时，要明确研究对象的物理过程（即做什么运动），必要时，最好做一个草图； （2）选定坐标原点，建立坐标系（如果研究直线运动，就要规定正方向）； （3）根据运动过程的特征，列方程。有几个未知量，就是应列几个方程； （4）求解。必要时可进行分析、讨论 5、明确研究质点曲线运动的处理方法，并学会计算抛体运动和圆周运动的有关问题。平面曲线运动比直线运动要复杂些。作曲线运动的质点，不能用一个坐标的数值来描写它在空间中的位置，必须用两个坐标x,y 来描写。也可用另一种方法：从原点向质点所在位 置引有向线段 r ，如图1—1所示。 r 叫做位置矢量，简称为矢径。x,y 分别是位矢 r 在x,y
10自主招生 力学训练 一．运动学 1．如图所示，物体A 置于水平面上，A 前固定一滑轮B ，高台上有一定滑轮D ，一根轻绳一端固定在C 点，再绕过B 、D 。BC 段水平，当以速度v 0拉绳子自由端时，A 沿水平面前进，求：当跨过B 的两段绳子夹角为α时A 的运动速度v 解法一：应用微元法 设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BB ’，如图所示。 过B ’点作B ’E ⊥BD 。 当Δt →0时，∠BDB ’极小，在△BDB ’中，可以认为DE =B ’D 。 在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BB ’+BE ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度。 由图可知：BE = θ cos ' BB ① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物= t BB t s ???' =1 ② 人拉绳子的速度v 0=t BB t BE BB t s ????) cos +1('=+'=2α ③ 由①②③解之：v 物=θ cos +10 v 解法二：应用合运动与分运动的关系 物体动水平的绳也动，在滑轮下侧的水平绳缩短速度和物体速度相同，设为v 物。 根据合运动的概念，绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动。 也就是说“物体”的方向（更直接点是滑轮的方向）是合速度方向，与物体连接的BD 绳上的速度只是一个分速度，所以上侧绳缩短的速度是v 物cos a 因此绳子上总的速度为v 物+v 物cos =v 0，得到v 物=θ cos +10 v 解法三：应用能量转化及守恒定律 由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功 设该时刻人对绳子的拉力为F ，则人对绳子做功的功率为P 1=Fv 。 绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为分为2部分，BD 绳对物体做功的功率为P 2=Fv 0cos ，BC 绳对物体做功的功率为P 2’=Fv 0 由P 1=P 2+P 2’得到v 物= θ cos +10 v 2.如图所示，一个半径为R 的轴环O 1立在水平面上，另一个同样的轴O 2以速度v 从这个轴环旁边滑过，试求两轴环上部交叉点A 的速度V A 与两轴环中心之距离d 的关系，轴环很薄，且第二个轴环紧靠第一个轴环滑过． [解析]对本题而言，分解时可以引入圆心O 2交点对参照系，A 相对圆环 O 1的运动方向V A 可分解为A 相对圆心O 2的速度V ′和圆心O 2相对于圆心O 1的速度V 即有A V V V '=+ ［解］由于两圆环是相同的圆环，所以交点相对两环的速度大小相等。即由V 、V ′和V A 构成的三角形为等腰三角形。由几何关系可以得出：V A 与竖直方向 的夹角 等于21AO O ∠。 cos 2d R θ= ① 2sin A V V θ = ②
第1章 质点运动学 一、基本要求 1．理解描述质点运动的位矢、位移、速度、加速度等物理量意义； 2．熟练掌握质点运动学的两类问题：即用求导法由已知的运动学方程求速度和加速度，并会由已知的质点运动学方程求解位矢、位移、平均速度、平均加速度、轨迹方程；用积分法由已知的质点的速度或加速度求质点的运动学方程； 3．理解自然坐标系，理解圆周运动中角量和线量的关系，会计算质点做曲线运动的角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度和总加速度； 4．了解质点的相对运动问题。 二、基本内容 （一）本章重点和难点 重点：掌握质点运动学方程的物理意义，利用数学运算求解位矢、位移、速度、加速度、轨迹方程等。 难点：将矢量运算方法及微积分运算方法应用于运动学解题。（提示：矢量可以有黑体或箭头两种表示形式，教材中一般用黑体形式表示，学生平时作业及考试必须用箭头形式表示） （二）知识网络结构图 ? ?? ?? ??? ?? ? ??? ??? ?????? ?? ??相对运动 总加速度法向加速度切向加速度角加速度角速度曲线运动轨迹方程参数方程 位矢方程质点运动方程运动方程形式平均加速度加速度平均速度速度位移 位矢基本物理量,,,,:)(,,
（三）基本概念和规律 1．质点的位矢、位移、运动方程 （1）质点运动方程（)(t r ）：k t z j t y i t x t r )()()()(++=（描述质点运动的空间位置 与时间的关系式） （2）位矢（r ）：k z j y i x r ++= （3）位移（r ?）：k z j y i x r ?+?+?=? （注意位移r ?和路程s ?的区别，一般情况下：S r ?≠? ，r r r ??≠?或； 位移大小：()()222)(z y x r ?+?+?= ? ； 径向增量：2121212 2222212z y x z y x r r r r ++-++= -=?=? （4）参数方程：?? ? ??===)()() (t z z t y y t x x （5）轨迹方程：从参数方程中消去t ，得：0),,(=z y x F 2．速度和加速度 直角坐标系中
第一篇力 学 第一章质点运动学 1-1-1选择题： 1、用来描写质点运动状态的物理量是： （A ）位置和速度。 （B ）位置、速度和加速度。 （C ）位置和位移。 （D ）位置、位移、速度和加速度。 2、.一质点在平面上运动,已知质点位置矢量的表达式为 j bt i at r ??22+=ρ (其中a 、b 为常量), 则该质点作： (A) 匀速直线运动。 (B) 变速直线运动。 (C) 抛物线运动。 (D) 一般曲线运动. 3、质点在XOY 平面内作曲线运动，则对与质点速率有关的下列式子中： （1） dt dr v = （2） dt r d v ρ= （3）dt r d v ρ = （4） dt ds v = （5） 2 2?? ? ??+??? ??=dt dy dt dx v 正确的是： （A ）（1），（2）和（3）。 （B ）（2），（3）和（4）。 （C ）（3），（4）和（5）。 （D ）（2），（4）和（5）。 4、一小球沿斜面向上运动，其运动方程为：2 45t t s -+=（SI ）。小球运动到最高点 的时刻是： （A ）t = 4 s （B ）t = 2 s (C ) t = 8 s (D) t = 6 s 5、在质点的下列运动中，说法正确的是： （A ）匀加速运动一定是直线运动。 （B ）在直线运动中，加速度为负，质点必作减速运动。 （C ）在圆周运动中，加速度方向总指向圆心。 （D ）在曲线运动过程中，法向加速度必不为零（拐点除外）。 6、质点作半径为R 的变速圆周运动时加速度大小为 (v 表示任一时刻质点的速率)： （Ａ）dt dv (B) R v 2 (C) R v dt dv 2 + (D) 242 R v dt dv +?? ? ??
第1章 质点运动学 习题及答案 一、填空题 1.一质点沿Ox 轴运动,其运动方程为335x t t =-+,则质点在任一时刻的速度 为 ，加速度为 。 2.一质点沿Ox 轴运动，其运动方程为335x t t =+-，则质点在2t s =时的加速度大小 为 ，方向为 。 3. 一质点沿Ox 轴运动，其速度为22t υ=，初始时刻位于原点，则质点在2t s =时的位 置坐标x = ,加速度大小为 。 4.一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t A a ωωcos 2-=，在t=0 时， ,,0A x x ==υ其中ω,A 均为正常数，则此质点的运动方程是 。 5．一质点的运动学方程为cos sin R t R t =+r i j ，在任意时刻，切向加速度和法向加速度 的大小分别为 ， 。 6．质点作圆周运动的法向加速度反映了 的变化快慢，切线加速度反映了 的变化快慢。 7.一质点沿半径为R 的圆周按规律22 1bt t s o -=υ而运动, o υ,b 都是常数. t 时刻质点的总加速度为 ; t 为 时总加速度在数值上等于b ，当加速 度达到b 时,质点已沿圆周运行了 圈。 二、回答问题 1．｜r ?｜与r ? 有无不同?t d d r 和dr dt 有无不同? t d d v 和dv dt 有无不同?其不同在哪里?试举例说明． 解: ｜r ?｜与r ? 不同. ｜r ?｜表示质点运动位移的大小,而r ?则表示质点运动时其径向长度 的增量;t d d r 和dr dt 不同. t d d r 表示质点运动速度的大小,而dr dt 则表示质点运动速度的径向分量;t d d v 和dv dt 不同. t d d v 表示质点运动加速度的大小, 而dv dt 则表示质点运动加速度的切向分量. 2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线 运动？ 解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动. 3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是
习题1 √选择题 (1) 一运动质点在某瞬时位于矢径),(y x r 的端点处，其速度大小为 (A)dt dr (B)dt r d (C)dt r d | | (D) 22)()(dt dy dt dx + [答案：D] (2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度s m v /2=，瞬时加速度2 /2s m a -=，则一秒钟后质点的速度 (A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。 [答案：D] (3) 一质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 秒转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为 (A) t R t R ππ2, 2 (B) t R π2,0 (C) 0,0 (D) 0,2t R π [答案：B] √填空题 (1) 一质点，以1 -?s m π的匀速率作半径为5m 的圆周运动，则该质点在5s 内，位移的大小是 ；经过的路程是 。 [答案： 10 m ； 5π m] (2) 一质点沿x 方向运动，其加速度随时间的变化关系为a =3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v 0为5m ·s -1 ，则当t 为3s 时，质点的速度v = 。
[答案： 23 m ·s -1 ] (3) 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走。如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是 。 [答案： 0321=++V V V ] 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定： (1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。 解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动 （1）x =4t -3；（2）x =-4t 3 +3t 2 +6；（3）x =-2t 2 +8t +4；（4）x =2/t 2 -4/t 。 给出这个匀变速直线运动在t =3 s 时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x 单位为m ，t 单位为s ） 解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。 其速度和加速度表达式分别为 2 2484 dx v t dt d x a dt = =+== t =3 s 时的速度和加速度分别为v =20 m/s ，a =4m/s 2。因加速度为正所以是加速的。 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零 (1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。 解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；
力学（一）质点运动学的描述 专业 班级 学号 姓名 一、选择题 1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． ［ ］ 2、一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. ［ ］ 3、几个不同倾角的光滑斜面，有共同的底边，顶点也在同一竖直面上．若使一物体（视为质点）从斜面上端由静止滑到下端的时间最短，则斜面的倾角应选 (A) 60°． (B) 45°． (C) 30°． (D) 15°． ［ ］ 4、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (D) 匀速直线运 动． ［ ］ 二、填空题 1、一质点沿x 方向运动，其加速度随时间变化关系为 a = 3+2 t (SI) , 如果初始时质点的速度v 0为5 m/s ，则当ｔ为3s 时，质点的速度 v = . 2、一质点沿直线运动,其运动学方程为x = 6 t －t 2 (SI)，则在t 由0至4s 的 时间间隔内，质点的位移大小为 ___________，在t 由0到4s 的时间间隔内质 点走过的路程为_________________． 3、灯距地面高度为h 1，一个人身高为h 2，在灯下以匀速率v 沿 水平直线行走，如图所示．他的头顶在地上的影子M 点沿地面 移动的速度为 v M = ． -12 )O
质点运动学 .选择题： : C ] 1、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中 的船向岸边运动?设该人以匀速率 v 0收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A)匀加速运动. (B)匀减速运动. (C)变加速运动. (D)变减速运动. (E)匀速直线运 动. 提示：如图建坐标系，设船离岸边 X 米, 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化 提示：质点在x 轴上的位置即为这段时间内V-t 图 曲线下的面积的代数和。 4 ?5s x 二 vdt = (1 2.5) 2 2-(2 1) 1 2=2(m) [D : 3、一运动质点在某瞬时位于矢径 r x, y 的端点处，其速度大小为 (A ) d r dt (C ) dr dt (B) (D) d r dt /f d x^Jdy ^2 认 dt 丿idt 丿 2l dl =2x dX dt dt dx I dl x 2 h 2 dl dl dt x dt x dt (A) 5m . (B) 2m. (C) 0 . (D) -2 m. (E) -5 m. I 2 二 h 2 x 2 , 二 _v 0 4 dx ? J h 2 + x 2 4 dt dx dt x :B : 2、一质点沿x 轴作直线运动，其 v-t 曲线如图所示，如t=0时，质点位于 坐标原点，则t=4.5 s 时，质点在x 轴上的位 置为
:C :4、一飞机相对空气的速度 大小为 200 km/h,风速为56 km/h ，方向从 西向东.地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 (A)南偏西16.3°; (B)北偏东16.3°; (C)向正南或向正北； (D)西偏北16.3° ; (E)东偏南16.3 提示：根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式 v 机，地=盒痊气+V 空气，地，可以画出三个速度 之间的矢量关系，女口图所示 v 机庄气=200m/s, V 空气地 =56m/s, v 机，地 =192m/s ，根据余弦定理, 2 2 2 200 =56 192 -2 56 192cos 二，解得 cos*0，所以二=「. 2 [C ] 5、某物体的运动规律为dv/dt =-kv 2 t ，式 中的k 为大于零的常量.当t= 0 时，初速为 V 0,则速度v 与时间 t 的函数关系是 (A) v 」kt 2 v °. (B) v 兰一 ■- kt 2 v 2 2 1 kt 2 1 1 kt 2 1 (C)- + (D) + 5 — v 2 v ° v 2 v° :dv /dt = -kv ，分离变量并积分, v 0 dv ' /曰 1 kt 2 1 2 二-ktdt ，得 =——亠一 v v 0 v 2 v ° :B : 6、在相对地面静止的坐标系内， A 、B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船 沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向.今在 A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系 (x 、y 方向 单位矢用i 、j 表示)，那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度(以 m/s 为单位)为 提示: dt dy 扌 dt j ， dx2 dy 2 ,dt dt (A) 2 i + 2 j . (B) -2i + 2 j (C) — 2i — 2 j . (D) 2 i — 2 j
第一章 质点运动学 一. 选择题: ［ C ］1、如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中 的船向岸边运动．设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长、湖水静止，则小船的运动是 (A) 匀加速运动． (B) 匀减速运动． (C) 变加速运动． (D) 变减速运动． (E) 匀速直线运动． 提示：如图建坐标系，设船离岸边x 米， 222l h x =+，22dl dx l x dt dt =， 2 2 dx l dl x h dl dt x dt x dt +==，0dl v dt =-， 2 2 0dx h x v i v i dt x += =- 2203v h dv dv dx a i dt dx dt x ==?=- 可见，加速度与速度同向，且加速度随时间变化。 ［ B ］2、一质点沿x 轴作直线运动，其v t 曲线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t = s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) 2 m ． (E) 5 m. 提示：质点在x 轴上的位置即为这段时间内v-t 图曲线下的面积的代数和。 4.50 (1 2.5)22(21)122()s x vdt m = =+?÷-+?÷=? ［ D ］3、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为 1 4.5 4 32.52-1 1 2 t v (m/s) v x o x l h
(A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x 提示：, dx dy v i j v dt dt =+∴= ［ C ］4、一飞机相对空气的速度大小为 200 km/h, 风速为56 km/h ，方向从西向东．地面雷达站测得飞机速度大小为 192 km/h ，方向是 (A) 南偏西°；(B) 北偏东°； (C) 向正南或向正北； (D) 西偏北°； (E) 东偏南°． 提示：根据三个速率的数值关系，以及伽利略速度变换式 =+v v v →→→机地机空气空气地，可以画出三个速度之间的矢量关系，如图所示。 =200km/h, 56/, =192km/h km h v v v →→→=机空气空气地机地,根据余弦定理， ［ C ］5、某物体的运动规律为t k t 2 d /d v v -=，式中的k 为大于零的常量．当0=t 时，初速为v 0，则速度v 与时间t 的函数关系是 (A) 0221v v += kt , (B) 022 1 v v +-=kt , (C) 02121v v +=kt , (D) 0 21 21v v + -=kt ［ B ］6、在相对地面静止的坐标系内，A 、 B 二船都以2 m/s 速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向．今在A 船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系(x 、y 方向 v →机地 v →空气地 v →空气地 空气 v →机地
质点运动学和动力学习题参考答案 一、选择题 1、D；解析：题目只说明质点作直线运动，没有确定是匀加速还是变加速直线运动，故任意时刻的速度都不确定。 2、D。 3、B；解析：由题意知质点的运动轨迹为y=ax/b，加速度a=d2r/dt2=ai+bj，是一个常量，故质点作匀加速直线运动。 4、C；解析：有题目可知人与风运动速度可用下图表示，由速度合成得到可知人感受到的风高手刀锋来自西北方向。 5、B；解析：由题意知M水=0.04M地，R水=0.4R地；则由万有引力 f=GMm/R2≈mg可得 G M地m/ R地2=m地g地和G M水m/ R水2=m水g水，由此推得g水 =0.25g。 6、A；解析：物体收尾时作匀速运动，则其加速度为零，即mg=kv2，即得收尾速度为v=(mg/k1/2。 7、D； 8、A；解析：设绳中张力为T，则弹簧秤的读数为2T，因为A、B两物体的加速度大小相等，方向相反，可设加速度大小为a，对A、B两物体应用牛顿运动定律 m1g-T=m1a，T-m2g=m2a，可得。 二、填空题 1、，aτ=0，x2+y2=100；解析：有运动方程可知 x=10cos5t与y=10sin5t，则其运动轨迹为x2+y2=1， ，圆周运动的aτ=0。
2、变速曲线运动，变速直线运动；解析：aτ≠0与an≠0时在切向与法向上都具有位移，因此为变速曲线运动，而aτ≠0与an=0时只表示在切向上有位移，故为变速直线运动。 3、V=V0+Ct3/3，x=x0+V0t+Ct4/12； 解析：； 。 4、4.8m/s2，3.15rad； 解析：，；， 由可得，，。 5、；解析：由牛二律可知， 6、f0；解析：静摩擦力与所加压力无关。 7、16mt2/R；解析：v=ds/dt=4t，向心力Fn=16mv2/R。 8、V=V0+F0t/m+F0kt2/2m，x=V0t+F0t2/2m+F0kt3/6m； 解析： 。 三、计算题 1、解：由速度和加速度的关系式： ，，，
运动学、静力学、动力学概念 运动学 运动学是理论力学的一个分支学科，它是运用几何学的方法来研究物体的运动，通常不考虑力和质量等因素的影响。至于物体的运动和力的关系，则是动力学的研究课题。 用几何方法描述物体的运动必须确定一个参照系，因此，单纯从运动学的观点看，对任何运动的描述都是相对的。这里，运动的相对性是指经典力学范畴内的，即在不同的参照系中时间和空间的量度相同，和参照系的运动无关。不过当物体的速度接近光速时，时间和空间的量度就同参照系有关了。这里的“运动”指机械运动，即物体位置的改变；所谓“从几何的角度”是指不涉及物体本身的物理性质(如质量等)和加在物体上的力。 运动学主要研究点和刚体的运动规律。点是指没有大小和质量、在空间占据一定位置的几何点。刚体是没有质量、不变形、但有一定形状、占据空间一定位置的形体。运动学包括点的运动学和刚体运动学两部分。掌握了这两类运动，才可能进一步研究变形体(弹性体、流体等)的运动。 在变形体研究中，须把物体中微团的刚性位移和应变分开。点的运动学研究点的运动方程、轨迹、位移、速度、加速度等运动特征，这些都随所选的参考系不同而异；而刚体运动学还要研究刚体本身的转动过程、角速度、角加速度等更复杂些的运动特征。刚体运动按运动的特性又可分为：刚体的平动、刚体定轴转动、刚体平面运动、刚体定点转动和刚体一般运动。 运动学为动力学、机械原理(机械学)提供理论基础，也包含有自然科学和工程技术很多学科所必需的基本知识。 运动学的发展历史 运动学在发展的初期，从属于动力学，随着动力学而发展。古代，人们通过对地面物体和天体运动的观察，逐渐形成了物体在空间中位置的变化和时间的概念。中国战国时期在《墨经》中已有关于运动和时间先后的描述。亚里士多德在《物理学》中讨论了落体运动和圆运动，已有了速度的概念。