3.1 线性定常系统的能控性
线性系统的能控性和能观测性概念是卡尔曼在1960年首先提出来的。当系统用状态空间描述以后，能控性、能观测性成为线性系统的一个重要结构特性。这是由于系统需用状态方程和输出方程两个方程来描述输入-输出关系，状态作为被控量，输出量仅是状态的线性组合，于是有“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题，即能控性问题。并非所有状态都受输入量的控制，有时只存在使任意初态转移到确定终态而不是任意终态的控制。还有“能否由测量到的由状态分量线性组合起来的输出量来确定出各状态分量”的问题，即能观测性问题。并非所有状态分量都可由其线性组合起来的输出测量值来确定。能控性、能观测性在现代控制系统的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件，本章主要介绍能控性、能观测性与状态
空间结构的关系。
第一节线性定常系统的能控性
能控性分为状态能控性、输出能控性（如不特别指明便泛指状态能控性）。状态能控性问题只与状态方程有关，下面对定常离散系统、定常连续系统分别进行研究（各自又包含单输入与多输入两种情况）：
一、离散系统的状态可控性
引例设单输入离散状态方程为：
初始状态为：
用递推法可解得状态序列：
可看出状态变量只能在+1或-1之间周期变化，不受的控制，不能从
初态转移到任意给定的状态，以致影响状态向量也不能在作用下转移成任意给定的状态向量。系统中只要有一个状态变量不受控制，
便称作状态不完全可控，简称不可控。可控性与系统矩阵及输入矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面来进行一般分析。
设单输入离散系统状态方程为：
(3-1)
式中，为维状态向量；为纯量，且在区间是常数，其
幅值不受约束；为维非奇异矩阵，为系统矩阵；为维输入矩
阵：表示离散瞬时，为采样周期。
初始状态任意给定，设为；终端状态任意给定，设为，为研究方
便，且不失一般性地假定。
单输入离散系统状态可控性定义如
下：
在有限时间间隔内，存在无约束的阶梯控制信号，,
，能使系统从任意初态转移到任意终态，则称系统是状态完全可控的，简称是可控的。
由方程(3-1)的解
(3-2)
可导出可控性应满足的条件。按定义，令，且，方程两端左乘，给出：
(3-3) 令
(3
-4)
该阵为维。方程(3-3)表示非齐次线性方程组，含个方程，含个
未知数, 。根据线性方程组解存在定理可知，当矩阵的秩与增
广矩阵的秩相等时，方程有解，否则无解。在任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：能控阵满秩，即
(3-5)
或能控阵的行列式不为零
det (3-6)
或能控阵是非奇异的。这时，方程组存在唯一解，即任意给定，
可求出确定的，, 。
已知满秩矩阵与另一满秩矩阵相乘，其秩不变，故
ran rank
rank (3-7)
交换矩阵的列，且记为，其秩也不变，于是有：
ran rank (3-8) 使用该式判断能控性比较方便，不必进行求逆运算，式(3-5)至式(3-8)均称为能
控性判据。，均称为单输入离散系统能控性矩阵，由该式显见状态能控
性取决于系统矩阵及输入矩阵。
当rank 时，系统不可控，不存在能使任意转移到的控制。
从以上推导看出，当不受约束时，能使任意转移到，意味
着至多经过个采样周期便可完成转移，而乃是系统矩阵的阶数，或系统特征方程的阶次数。
以上研究假定了终态。若令终态为任意给定状态，则方程(3-2)
变为：
(3-9)
方程两端左乘，有
(3-10) 该式左端完全可看作任意给定的另一初态，其状态能控性条件能用以上推导方法
得出完全相同的结论，故假定是不失一般性的。
例3-1利用递推法研究下列离散系统
初态为，试选择，，使系统状态在时转移到零。
解令0，1，2，得状态序列：
令，即解如下方程组：
系数矩阵即能控阵，当其非奇异时，可解出：
即取时，可在第三个采样周期瞬时使系统转移到零状态，因而系统是能控的。
若想研究可否在第二个采样周期内便使转移到零状态，只需研究时
是否存在令，解如下方程组：
容易看出系数矩阵的秩为2，但增广矩阵的秩为3，两个秩不等，故
无解，表示不能在第二个采样周期内使给定初态转移到零。对于某些系统则是可能的。
例3-2试用能控性判据判断例3-1的状态能控性。
解 ran rank rank；
或，故能控。
例3-3设同例3-1，，试判断能控性。
解 rank rank rank故不能控。
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为：
(3-11)
式中为维控制向量，为维输入矩阵。问题转化为能否求出
无约束的控制向量，, ，使系统从任意初态转移到
。
方程(3-11)的解为：
(3-12) 令，且两端左乘得：
(3-13) 令 (3-14)
该阵为维矩阵；同, 子列向量构成的控制列向量是
维的。式(3-13)含有个方程，个待求控制量。由于初态可任意给定，
根据解存在定理，唯有矩阵的秩为时，方程组才有解，于是多输入离散系统状态能控的充要条件是：
rank (3-15) 或
ran (3-16) 或
rank rank
rank (3-17) 或
rank rank (3-18) 式(3-15)至式(3-18)均称为多输入离散系统能控性判据。
一般多输入系统，式(3-13)所含的方程个数总少于未知数个数，方程组的解
不唯一，可以任意假定个控制量，其余个控制量才能唯一确定，这意味着控制序列的选择将有无穷多种方式。
例3-4试判断下列双输入三阶离散系统的状态可控性：
式中
解计算；
故
显见由前三列组成的矩阵的行列式
det
故ran，系统可控。
显见出现全零行，rank，故不能控。
多输入系统能控阵，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若显见
矩阵的秩为，便不必把矩阵的所有列都写出。有时可通过计算的
秩是否为来判断多输入系统的能控性。这是因为，当非奇异时，必
非奇异，而为方阵，只需计算一次阶行列式即可确定能控性，但在计算时，可能需多次计算阶行列式。
在多输入系统中，使任意初态转移至原点一般可少于个采样周期。
见例3-4，令，可给出；
则
已知，若能唯一确定，便表示能在第一个采样周期将转移到原点。
一、连续系统的状态能控性
引例设单输入连续系统方程为：
其中，第二个方程只与状态变量本身有关，且与无关，是不能控状态
变量；受控制，是能控状态变量。显见可影响而不能影响，于是使状态微量不能在作用下任意转移，称状态不完全能控，简称不能控。
为导出连续定常系统的状态能控性矩阵，需应用凯莱-哈密尔顿定理的推论，故先介绍该定理。
关于凯莱-哈密尔顿定理及其推论
设阶矩阵的特征多项式为：
(3-19) 则矩阵满足
(3-20) 证明据逆矩阵定义有：
(3-21)
式中为元素埏是的伴随矩阵。方程(3-21)两端右乘得：
(3-22)
由于的元素代数余子式，均为次多项式，故据矩阵加法运算规则，可将其分解为个矩阵之和：
(3-23)
式中均为阶矩阵。将式(3-23)代入式(3-22)并展开两端：
(3-24)
利用两端同次项相等的条件有：
(3-25)
将式(3-25)按顺序两端右乘，可得：
(3-26) 将式(3-26)中各式相加有：
(3-27) 得证。
推论1矩阵可表为的次多项式：
(3-28)
故可一般表为的次多项式：
(3-29)
式中均与阵元素有关。
利用推论1可简化计算矩阵的幂。
例3-5已知，求
解为二阶矩阵，。
先列定的特征多项式：
据凯莱-哈密尔顿定理：
故
据数学归纳法有：
故：
推论2矩阵指数可表为的次多项式：
(3-30) 由于
(3-31) 式中
(3
-32)
均为幂函数，在时间区间内，不同时刻构成的向量组
是线性无关向量组，这是因为其中任一向理都不能表为其它向量的线性组合。
同理：
(3-33) 其中
(3-34) 设单输入连续系统状态方程为：
(3-35) 其状态能控性定义如下：
在有限的时间间隔内，存在无约束的分段连续控制函数,能使
系统从任意初态转移到任意终态，则称此系统是状态完全能控的，简称是能控的。
方程(3-19)的解为：
(3-36)
为状态转移矩阵。为导出能控性应满足的条件，仍可不失一般性地假定
，及，于是有：
故
(3-37)
利用凯莱-哈密尔顿定理，可推论出如下结果（证明见本问题末）：
(3-38)
即用无穷级数表示的可改用的次多项式来表示；并经证明，其
都是时间的不同幂函数，并且向量是线性无关向量。于是有：
(3-39)
令
(3-40) 为纯量；则
3.2 线性定常系统的能观测性
一、离散系统的能观测性
引例设单输入离散系统动态方程为
用递推法求解第采样时刻的输出量：
可看出在已知的情况下，在第步便可由输入、输出确定，
而输出中始终不含有，于是不能由输出量观测到，是不能观测的状态变
量。系统中只要有一个状态变量不能由输出量观测到，就称该系统不完全可观测，简称不能观测。能观测特性与系统矩阵及输出矩阵密切相关，是系统的一种固有特性。下面只对多输出情况进行一般分析。
离散系统能观测性定义如下：
已知输入的情况下，通过在有限个采样周期内量测到的输出
，能唯一地确定任意初始状态的n个分量，则称系统是
完全能观测的，简称是能观测的。
设多输入-多输出离散系统动态方程为：
状态方程的解：
(3-70) 则
(3-71)
既然均为已知，研究能观测性问题时可不失一般性地简化动态方程为：
(3-72)
(3-73)
其状态方程的解：
(3-74) 及
(3-75)
若将式(3-71)右边后两项移至左边合并起来，仍为已知量，其方程性质同式
(3-75)。展开式(3-75)有：
(3-76)
式中各代表个方程，共计个方程，含有个未知量。写成矩阵向量形式：
(3-77) 令
(3-78)
式(3-78)为维能观测性矩阵。在式(3-75)的个方程中若有个独立方程，便可确定唯一的一组，故系统能观测的充要条件是：
(3-79)
由于，故系统能观测的充要条件通常表示为：
(3-80)
为离散系统能观测性矩阵，显见只与矩阵有关
例3-11 判断下列系统的能观测性：
式中
解计算能观测性矩阵：
⑴
，故系统可观测。
⑵
显见矩阵出现全零行，故，系统不能观测。
本例看出，输出矩阵为时，第步便同输出确定了；当
时便可确定；当
时便可确定，对三阶系统来说，在三
步以内能由，，测得全部状态，故能观测。而输出矩阵为时，
即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&
2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II 考试类型：闭卷考试时间：120 分钟 学号年级专业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分 评阅人 1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2 上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分） 解：（1）由电路原理得： 1 1 2 2 12 1 111 2 22 11 1 11 L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =--+ =-+ =- 22 2 R L u R i = 11 22 1 11 1 2 22 1 01 1 00 11 L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? --?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? =-+?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? - ???? ?????? ?? ?? g g g
[]1222 00L R L c i u R i u ??????=?????????? 2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分） 322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&& 解：方法一： 12301233,2,10,1,2,1 a a a b b b b ======= ()001110221120331221300 1301 231201 13121102 b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-?==--=-?-?=-=---=-?--?-?= ()010100111232100x x u y x ?????? ? ?=+-? ? ?? ? ?---????? ?=?& 方法二：
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： 一．填空题（共27分，每空1.5分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T 为周期进行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为 __________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义 能量， V(x, t)称为___________。 8.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函
数的所有极点具有______。 9. 控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的_________、_________和较强的_________。 10. 所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的 系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 11. 实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r 维控 制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 12. _________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的 重要方法。 二． 判断题（共20分，每空2分） 1. 一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。 （×） 2. 传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。 （√） 3. 状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。 （×） 4. 对于任意的初始状态)(0t x 和输入向量)(t u ，系统状态方程的解存在并且 惟 一 。 （√） 5. 传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。 （×）
第三章习题 3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示： 图3.16 系统模拟结构图 解：由图可得： 3 43432112332 211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=???? 状态空间表达式为： []x y u x x x x d c b a x x x x 01 000001100 011000000 43214321=? ???????????+????????????????????????----=??????? ? ??????????? ? 由于? 2x 、?3x 、? 4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。 （3）系统如下式：
x d c y u b a x x x x x x ?? ????=??????????+????????????????? ???---=?????? ?????????? ?00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。 要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。 3-2时不变系统 X y u X X ?? ????-=?? ? ???+??????--=? 111111113113 试用两种方法判别其能控性和能观性。 解：方法一： []?? ?? ??==?? ????-=????? ?=??????--=2-2-1 12-2-1 1AB B M 1111,1111,3113C B A 系统不能控。 ,21<=rankM ??? ? ? ???????----= ??????=44221111CA C N 系统能观。,2=rankN 方法二：将系统化为约旦标准形。 ()4 20133113 A I 212 -=-==-+=+--+= -λλλλλλ，
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
2.6 可控性与可观性 26 2.6.1 概述 经典控 制论中： 系统用传递函数描述。 只注重输入-输出间的直接关系！ 低阶系统，输出可控制亦可测量。 可控性与可观性不是问题。
现代控制论中： 系统描述：状态方程＋输出方程 由于状态?输入，输出?状态 所以要控制输出，首先要控制状态 并且使输出随状态发生变化输 （1）输入?状态间的问题： 输入是否使状态发生希望的变化？ ? 可控性问题 要使状态发生某种变化，输入？ 要使状态发生某种变化，输入＝？ ? 最优控制问题
（2）输出?状态间的问题： 状态可否从输出得到？ ? 可观测性问题 如何从输出得到？ ? 最优估计问题 &可控性、可观性为现代控制理论的基础，例如最优控制与最优估计的基础！ &如何处理可控性？可观测性？
可控性：系统输入对系统状态的有效控制能力 可观性：系统输出对系统状态的确切反映能力 问题： 状态可控？系统可控？ 状态不可控？系统不可控？ 状态可观测系统可测观 状态可观测？系统可测观？ 状态不可观测？系统不可观测？
个系统的可控性和可观测性 ?分析如下4个系统的可控性和可观测性：x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=???y x x 101/????+???????=u dt d x x 001/??+???=u dt d []x 01110=? ??y x 11110=?????????x x 0111/? ???+???=u dt d []y []x 0110=???????y
?x x 111001/????+??????=u dt d []x 11=? ??y x ∫ ?1 u y 1 2 x ∫ 1?
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。 解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流与电容上的电压作为状态变量的状态方程,与以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知:? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为: 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式与传递函数阵。 解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。 解:令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++= s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图 解:s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数
一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分） （1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。 解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。 （2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解： f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分 于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有
第一和第二讲小结 一、状态空间表达式的标准形式 能控标准形 能观测标准形 对角线标准形 Jordan标准形 二、矩阵的特征值及对角线化 矩阵是能控标准形时的变换矩阵求法（1）特征值互异 （2）重根 （3）一般情形 三、利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换 [A, B, C, D] = tf2ss (num, den) [num,den] = ss2tf [A,B,C,D,iu] 四、时域分析的基本概念 状态转移矩阵及其性质，凯莱-哈密尔顿定理 最小多项式 五、矩阵指数计算 级数法，对角线标准形与Jordan标准形法 拉氏变换法凯莱-哈密尔顿定理
II、分析部分 第三章线性多变量系统的能控性与能观测性分析 能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。 3.1 线性连续系统的能控性 3.1.1 概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。 例1．给定系统的描述为
u x x x x ??????+????????????-=??????2150042121 []?? ? ???-=2160 x x y 将其表为标量方程组的形式，有： u x x +=114 u x x 2522+-= 26x y -= 例3－2：判断下列电路的能控和能观测性 ) (t u + y C R ) (t u L y 2
第五章能控性和能观性 5－1 离散时间系统的可控性 定义设单输入n阶线性定常离散系统状态方程为： ……………………………………………………………（5－1） 其中 X(k)__n维状态向量； u(k) __1维输入向量； G__n×n系统矩阵； h__n×1输入矩阵； 如果存在有限步的控制信号序列u(k)，u(k+1)，…，u(N-1)，使得系统第k步上的状态X(k) 能在第N步到达零状态，即X(N)＝0，其中N是大于k的有限正整数，那么就说系统第k步上的状态X(k)是能控的；如果第k步上的所有状态都能控，则称系统（5－1）在第k步上是完全能控的。进一步，如果系统的每一步都是可控的，那么称系统（5－1）完全可控，或称系统为能控系统。 定理1单输入n阶离散系统（5－1）能控的充要条件是，能控判别阵： 的秩等于n，即：
……………………………………（5－2） 【证】：因为系统为一线性系统，不妨设系统从任一初态X(0)开始，在第n步转移到零状态，即X(n)=0。根据离散状态方程的解： ……………………………………………………（5－3） 因为X(n)＝0，所以： 写成矢量形式： …………………………………（5－4） 从线性代数知识可知，上式中对于任意的初始状态X(0)，要求都存在一组控制序列u(0)，u(1)，…，u(n-1)的充要条件是阶系数矩阵 满秩，即
【例5－1】设离散系统状态方程为： 判断系统的可控性。 解： M是一方阵，其行列式为： 所以系统能控判别阵满秩，系统可控。 定理2考虑多输入离散系统情况，假如线性定常离散系统状态方程为： ………………………………………………………（5－5） 其中X为阶矢量，U为阶矢量，G为阶矩阵，H为n×r阶能控矩阵。那么离散系统（5－5）能控的充要条件是：能控判别阵 的秩等于n。 （证略）。
现代控制理论基础课程总结 学院:__机械与车辆学院_ 学号:____2120120536___ 姓名:_____王文硕______ 专业:___交通运输工程__ 《现代控制理论》学习心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法;学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定
性原理”,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线 性系统。线性系统和力学中质点系统一样,是一个理想模型,理想模型是研究复杂事物的主要方法,是对客观事物及其变化过程的一种近似反映。现代控制论从自然和社会现象中抽象出的理想模型,用状态空间方法表示,再作理论上的探讨。 线性系统理论是一门严谨的科学。抽象严谨是其本质的属性,一旦体会到数学抽象的丰富含义,再不会感到枯燥乏味。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的,它大量使用矩阵论中深奥的内容,比如线性变换、子空间等,是分析中最常用的核心的内容,要深入理解,才能体会其物理意义。比如,状态空间分解就是一种数学分析方法。在控制论中把实际系统按能控性和能观性化分成四个子空间,它们有着确切的物理概念。线性变换的核心思想在于:线性系统的基本性质(如能控性、能观性、极点、传递函数等在线性变换下都不改变,从而可将系统化为特定形式,使问题的研究变得简单而透彻。 在学习现代控制理论教材时,发现不少“引而未发”的问题。由于作者有丰富的教学经验与学术造诣,能深入浅出阐述问题,发人深省。因此,通过自己反复阅读教材,就能理解这些内容。比如,在探讨线性系统的传递函数的零极点相消时,如果潜伏着
湖南工业大学2014年现代控制理论（A卷闭卷） 适用专业年级：电气、测控考试时间100 分钟 一、（第1小题12分，第2小题8分，共20分） 1.如图所示R-L-C网络: C u c R i u L （1）以电容电压和回路电路i为系统的状态变量，电容电压为输出变量， 给出该系统的状态空间表达式。 （2）根据状态空间表达式从输入u到输出u c的传递函数。 2、已知两个子系统的传递函数矩阵分别为 （1）求两个系统并联联接时，系统的传递函数阵。 求两个系统串联联接时（G1(s)在前，G2(s)在后），系统的传递函数阵。 二、（20分） 有系统如图所示： 2 ∫ -3 -2 ∫ x2x1 u y （1）给出系统状态空间表达式 （2）求系统的单位阶跃响应（初始状态x(0)=（））。 （3）求出该系统的离散化空间表达式（采样周期为T）。 答案 三、（每题10分，共20分） 1.确定下列系统为状态完全能控和状态完全能观的特定 常熟a和b。 要点：
2、系统传递函数为 （1）建立系统能控标准形实现。（2）建立系统能观测标准形实现。 四、（每题10分，共20分） 1.设系统状态方程为： 1-试确定平衡状态的稳定性。 2、设线性离散系统状态方程为： 试确定在平衡点渐近稳定的条件。 五、（20分） 设系统传递函数为： )2 )( 1 ( 10 ) ( + + = s s s W （1）给出系统能控标准型的实现，在此基础上设计状态反馈控制器，使闭环极点特征配置在-1±j 上， 并给出闭环传递函数的结构图。 （2）给出系统能观标准型实现，并在此基础上设计全维观测器，使观测极点为-2 ，-3。
现代控制理论基础 １．一个线性系统的状态空间描述( B ) A．是唯一的； B．不是唯一的 C．是系统的内部描述；D．是系统的外部描述 2．设系统的状态空间方程为=X+u，则其特征根为（ D ） A． s1= -2,s2= -3；B． s1= 2,s2= 3；C． s1= 1,s2= -3；D．s1=-1,s2=-2 3．状态转移矩阵（t）的重要性质有（ D）。 A．φ（0）=0； B．φ-1（t）= -φ（t）； C．φk（t）=kφ（t）；D ．φ（t1+t2）=φ（t1）?φ（t2）4．系统矩阵A=,则状态转移矩阵φ（t）= （ C） A． ; B． ; C． ; D． ; 5. 设系统=X+u，y=x，则该系统( A )。 A．状态能控且能观测； B．状态能控但不能观测； C．状态不能控且不能观测 D．状态不能控且能观测； 6．若系统=X+u，y=x是能观测的，则常数a取值范围是（ C）。 A．a ≠ 1；B．a = 1；C．a ≠ 0；D．a = 0； 7. 线性系统和互为对偶系统，则（AD） A．C1=B2T；B． C1=B2；C． C1=C2；D．C1=B2T 8. 李雅普诺夫函数V(x)=（x1+x2）2，则V(x)是(C) A．负定的；B．正定的；C．半正定的；D．不定的 9.单位脉冲响应的拉氏变换为（B）
A．； B．; C． 0； D． 1 10.通过状态反馈能镇定的充分必要条件是，渐近稳定的子系统是（B） A．能控； B．不能控; C．能观测； D．不能观测 二.填空题（每空1分，10分） 11.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为内部描述。 12.已知系统矩阵，则特征多项式为S2-S+1 。 13.对于完全能控的受控对象，不能采用输出反馈至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 14.在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 15.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数等输入信号。 16.若已知线性系统的矩阵【A AB A2B】的秩为3，那么该系统是能控的。 17.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有负实部时，系统在平衡状态时渐近稳定的。 18.同一个系统，状态变量的选择不是唯一的。 19.控制系统的稳定性，包括外部稳定性和内部稳定性。 20.能观测性是反映输出对系统状态的判断能力。 三.名词解释（共20分） 21.状态空间描述（3分） 答：用状态变量构成输入，输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。 22. 零输入响应（3分） 答：是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 23.稳定（3分） 答：系统稳定性包括外部稳定和内部稳定；外部稳定是指系统在零初始条件下通过其外部状
第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据 一：能控性概念 定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 二：线性定常系统能控性判据 设系统动态方程为： x 2不能控 y 2则系统不能控 ，若2121,C C R R ==?? ?+=+=Du Cx y Bu Ax x
设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得： 即： 由凯莱-哈密尔顿定理： 令 上式变为： 对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： ?-+=f t f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ??---=--=-f f t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 0 1)()()()()()()0(τ ττφφτττφφ?--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1 )()(n k k k A A e τατφτ ∑??∑-=-=-=-=1 01 )()()()()0(n k t k k t n k k k f f d u B A d Bu A x τ τταττταk t k u d u f =? )()(ττταU Q u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k k k -=???? ? ?? ?????????-=-=--=∑ 321121 ],,,[)0(
实验三利用Matlab分析能控性和能观性 实验目的：熟练掌握利用Matlab中相关函数分析系统能控能观性、求取两种标准型、系统的结构分解的方法。 实验内容： 1、能控性与能观性分析中常用的有关Matlab函数有： Size(a,b) 获取矩阵的行和列的数目 Ctrb(a,b) 求取系统能控性判别矩阵 Obsv(a,c) 求取能观性判别矩阵 Rank(t) 求取矩阵的秩 Inv(t) 求矩阵的逆 [abar,bbar,cbar,t,k]=ctrbf(a,b,c) 对系统按能控性分解，t为变换阵，k为各子系统的秩[abar,bbar,cbar,t,k]=obsvf(a,b,c) 对系统按能观性分解 2、利用Matlab判定系统能控性和能观性 A、求取判别矩阵的秩，而判别矩阵可用两种方法得到： M=ctrb(a,b) 或者M=[b,a*b,a^2*b,……] B、将系统变换为对角线型或者约当标准型，根据结果直接判断。化为标准型可以使用第 一次实验中介绍的ss2ss、canon等函数。 3、化为能控标准型和能观标准型 如：>> a=[1 0 1;0 1 0;1 0 0]; >> b=[0 1 1]'; >> c=[1 1 0]; >> m=ctrb(a,b) m = 0 1 1 1 1 1 1 0 1 >> n=length(a);tc1=eye(n);tc2=eye(n); >> tc1(:,1)=m(:,3) tc1 = 1 0 0 1 1 0 1 0 1 >> tc1(:,2)=m(:,2) tc1 = 1 1 0 1 1 0 1 0 1
>> tc1(:,3)=m(:,1) tc1 = 1 1 0 1 1 1 1 0 1 >> qc=rank(m) qc = 3 >> den=poly(a) den = 1.0000 - 2.0000 0.0000 1.0000 >> tc2(2,1)=den(2) tc2 = 1 0 0 -2 1 0 0 0 1 >> tc2(3,2)=den(2);tc2(3,1)=den(3) tc2 = 1.0000 0 0 -2.0000 1.0000 0 0.0000 -2.0000 1.0000 >> tc3=tc1*tc2;tc4=inv(tc3); >> a1=tc4*a*tc3 a1 = -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0 1.0000 -1.0000 0.0000 2.0000 >> b1=tc4*b b1 = 0.0000 1.0000 >> c1=c*tc3 c1 = -2.0000 0 1.0000 参照该例，掌握其他标准型的求解办法。 4、系统的结构分解 A 、 找到变换矩阵c R 或者o R ，利用线性变换进行结构分解。
uy现代控制理论复习题 1.自然界存在两类系统：静态系统和动态系统。 2.系统的数学描述可分为外部描述和内部描述两种类型。 3.线性定常连续系统在输入为零时，由初始状态引起的运动称为自由运动。 4.稳定性、能控性、能观测性均是系统的重要结构性质。 5.互为对偶系统的特征方程和特征值相同。 6.任何状态不完全能控的线性定常连续系统，总可以分解成完全能控子系统和完全不能控子系统两部分。 7.任何状态不完全能观的线性定常连续系统，总可以分解成完全能观测子系统和完全不能观测子系统两部分。 8.对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，总可以将系统分解成能控又能观测、能控但不能观测、不能控但能观测、不能控又不能观测四个子系统。 9.对SISO系统，状态完全能控能观的充要条件是系统的传递函数没有零极点对消。 10.李氏稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 11.经典控制理论讨论的是在有界输入下，是否产生有界输出的输入输出稳定性问题，李氏方法讨论的是动态系统各平衡态附近的局部稳定性问题。 12.状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略。 13.综合问题的性能指标可分为优化型和非优化型性能指标。 14.状态反馈不改变被控系统的能控性；输出 反馈不改变被控系统的能控性和能观测性 实对称矩阵P为正定的充要条件是P的各阶顺序主子式均大于零。 15.静态系统：对于任意时刻t，系统的输出 唯一地却绝育同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。16.动态系统：对于任意时刻t，系统的输出 不仅和t有关，而且与t时刻以前的累积 有关，这类系统称为动态系统。 17.状态；状态方程：状态：系统运动信息的 合集。状态方程：系统的状态变量与输 入之间的关系用一组一阶微分方程来描 述的数学模型称之为状态方程。 18.状态变量：指能完全表征系统运动状态的 最小一组变量。状态向量：若一个系统 有n个彼此独立的状态变量x1（t），x2 （t）…xn（t），用它们作为分量所构成 的向量x（t），就称为状态向量。状态空 间表达式：状态方程和输出方程结合起 来，构成对一个系统动态行为的完整描 述。 19.x(t)=Φ(t-t0)x(t0)的物理意义：是自由运动 的解仅是初始状态的转移，状态转移矩 阵包含了系统自由运动的全部信息，其 唯一决定了系统中各状态变量的自由运 动。 20.状态方程解的意义：线定定常连续系统状 态方程的解由两部分相加组成，一部分 是由初始状态所引起的自由运动即零输 入相应，第二部分是由输入所引起的系 统强迫运动，与输入有关称为零状态相 应。 21.系统能控性：控制作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。 系统能观性：反应由能直接测量的输入输出的量测值来确定系统内部动态特征的状态的可能性。 22.对偶定理：设线性定常连续系统错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。（错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。）是互为对偶，则系统错误！未找到引用源。状态能控能控（能观测）性定价与系统错误！未找到引用源。的状态能测（能控）性。23.从传函的角度说明状态不完全能控和不 完全能观系统的原因。状态不完全能观 测系统的传递函数矩阵等于其能观测性 分解后能观测子系统的传递函数矩阵， 由于状态不完全能观测系统的传递函数 矩阵等于其能观测子系统的传递函数矩 阵，则其极点必少于n个，即系统存在