高中数学求函数值域的
方法
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
求函数值域的7类题型和16种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则
①当函数用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；
②当函数用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数
y 的集合；
③当函数用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；
④当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。
一般地，常见函数的值域：
1.一次函数的值域为R.
2.二次函数，当时的值域为，当时的值域为.，
3.反比例函数的值域为.
4.指数函数的值域为.
5.对数函数的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型
题型一：一次函数的值域（最值）
1、一次函数： 当其定义域为，其值域为；
2、一次函数在区间上的最值，只需分别求出，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或等时，需结合函数图像来确定函数的值域。
()y f x =()y f x =()y f x =()y f x =()y f x =()0y kx b k =+≠()2
0y ax bx c a =++≠0a >24,4ac b a ??
-+∞??
??
0a <24,4ac b a ??
--∞ ???()0k
y k x
=
≠{}0y R y ∈≠()01x y a a a =>≠且{}0y y >()log 01a y x a a =>≠且[]1,1-()0y ax b a =+≠()0y ax b a =+≠R R ()0y ax b a =+≠[],m n ()(),f m f n (],n -∞[),m +∞
题型二：二次函数的值域（最值）
1、二次函数， 当其 定义域为时，其值域为
2、二次函数在区间上的值域(最值) 首先判定其对称轴与区间的位置关系 （1）若,则当时，是函数的最小值，最大值为中
较大者；当时，是函数的最大值，最大值为
中较小者。
（2）若,只需比较的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
②若给定的区间形式是等时，要结合图像来确函数的值域；
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。
例1：已知 的定义域为，则的定义域为 。 例2：已知，且，则的值域为 。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数的定义域为，值域为 2、形如：的值域：
（1）若定义域为时，其值域为 （2）若时，我们把原函数变形为，然后利用（即的有界性），便可求出函数的值域。
例3：函数的值域为 ；若时，其值域为
。 )0()(2≠++=a c bx ax x f )0()(2≠++=a c bx ax x f R ()()22
4 044 04ac b y a a
ac b y a a ?-≥>???-?≤
)0()(2≠++=a c bx ax x f [],m n 2b
x a
=-
[],m n [],2b m n a
-∈0a >()2b
f a -(),()f m f n 0a <()2b
f a
-(),()f m f n [],2b
m n a
-
?(),()f m f n [)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞()22f x x --[)3,-+∞()f x (],1-∞()211f x x -=+()3,4x ∈-()f x ()1,17)0(≠=
k x k
y {}0x x ≠{}0y y ≠cx d
y ax b
+=+b x R x a ??∈≠-????c y R y a ?
?
∈≠
????
[],x m n ∈d by
x ay c
-=-[],x m n ∈x 23321x x y -=-[)1,3,3?
?-∞+∞ ???[]1,2x ∈11,511??
-????
例4：当时，函数的值域 。 （2）已知
，且，则的值域为 。 例5：函数的值域为 ；若，其值域为 。 题型四：二次分式函数的值域
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。
例6：；
例7：；
例8：；
例9：求函数的值域
解：由原函数变形、整理可得：
求原函数在区间上的值域，即求使上述方程在有实数解时系数的取值范围
当时，解得： 也就是说，是原函数值域中的一个值 …① 当时，上述方程要在区间上有解，
即要满足或 解得： ……②
综合①②得：原函数的值域为：
题型五：形如
这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题，然后求其值域。
例10： 求函数在时的值域 题型六：分段函数的值域：
一般分别求出每一分段上函数的值域，然后将各个分段上的值域进行合并即可。如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出，从图像上便可很容易地得到函数的值域。
例11： 例12：
(]3,1x ∈--1321x y x -=
+34,2?
?--???
?()312x f x x -+=-[)3,2x ∈-()f x 6,5??-∞- ??
?2sin 13sin 2x y x -=
+[)1,3,5??-∞?+∞ ???3,
22
x ππ
??
∈????
12,23??-????
22dx ex c y ax bx c
++=++x 2216x x y x x +-=+-()21,,7?
?+∞?-∞ ??
?222
1x x y x +-=-{}1y R y ∈≠432+=x x y 33,44??
-????
()21
1,21
x y x x x -=∈-+∞++()22110yx y x y +-++=()1,-+∞()1,-+∞y 0y =()11,x =∈-+∞0y =0y ≠()1,-+∞()10f -<0
211
2y y ≥??
-?->-??
108y <≤10,8??
????
y ax b =+±x x y -+=142[]8,1x ∈-[]4,4-21++-=x x y [)3,+∞241y x x =-++(],5-∞
题型七：复合函数的值域
对于求复合函数的值域的方法是：首先求出该函数的定义域，然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。 例13： 例14：
四、函数值域求解的十六种求法 （1）直接法（俗名分析观察法）：
有的函数结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值
域。即从自变量的范围出发，推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。注意此法关键是定义域。
例1：已知函数，，求函数的值域。
例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。 例4：求函数
（2）配方法：
二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域。对于形如或
类的函数的值域问题，均可使用配方法。
例1．求函数的值域。
分析与解答：因为，即，，于是：
，。
例2．求函数在区间的值域。
分析与解答：由配方得：， 当
时，函数是单调减函数，所以； 当时，函数是单调增函数，所以。
所以函数在区间的值域是。
)11y x =
-≤≤[]0,2y =50,2??
????
x ()y f x =()112
--=x y {}2,1,0,1-∈x {}1,0,3-1y =[1,)+∞()1y x =≥)
+∞y =[)1,+∞()20y ax bx c a =++≠()()()()2
0F x a f x bf x c a =++≠????322+--=x x y 0322≥+--x x 13≤≤-x 4)1(2++-=x y 44)1(02≤++-≤x 20≤≤y x x x y 422++=]4,4
1
[∈x x x x y 422++=62242
+????
??-=++=x x x x y 241≤≤x 24++=x x y 4
1
186≤≤y 42≤≤x 24
++=x
x y 76≤≤y ]4,41[∈x 4
1
186≤≤y
（3）最值法：
对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值，求函数的值域的方法。 例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。
解：由3-2x -x 2≥0，解出定义域为［-3，1］。 函数y 在［-3，1］内是连续的，在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4，最小值为0。 ∴函数的值域是［0,2］
例2：求函数，的值域。
例3：求函数的值域。
（4）反函数法（逆求或反求法）：
利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。即通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围。对于形如的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。
例1：求函数的值域。
解：由解得，
∵，∴
，∴ ∴函数的值域为。 （5）分离常数法：
分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函
数法。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量
的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。 例1：求函数的值域。
解：∵， 2x y =[]2,2x ∈-1,44??
????2256y x x =-++73,8?
?-∞ ??
?y x x y )0(≠++=
a b
ax d
cx y 1212x
x
y -=+1212x x y -=+121x
y y -=+20x >101y
y
->+11y -<<1212
x
x
y -=+(1,1)y ∈-)0(≠++=c d
cx b
ax y ?
??
???
≠
c a y y )(bc a
d d cx c ad
b c a y ≠+-
+
=125
x
y x -=+177(25)112222525225
x x y x x x -++
-=
==-++++
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
第 二章 函数 一．函数 1、函数的概念： （1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中 的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则 （3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定 义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域： （1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。 （2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 （3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数 例1． 求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。 例2． 求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域 已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域 已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 （2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）
最新精题高一数学必修一函数的值域 2配方法]?3，5x??x2x?(求函数y?3例1. 的值域； 2的表达式，f(a)，记∈[0，1]f(a)为其最小值，求－练习已知函数y＝－3x＋2ax1，x 的最大值并求f(a) 2?6x?5x函数y??求2. 的值域；例 ，的函数为常数d?且a0)、、、(????yaxbcxdabc 换元法：形如；常用换元法求值域x?y214x?? 3. 例的值域求函数 利用函数的单调性求函数的值域2?y6] 上的最大值和最小值．在区间例4求函数[2，1x?
2）的取值范围是（在R上单调递增，且f(m )>f(-m)，则实数m1练习函数y=f(x) ) ∞,-1 )∪( 0,+C.(-1,0 ) D. (-∞A. (-∞,-1 ) B. ( 0,+∞) 2x+2-1-x 的最大值为，最小值为y= 。[0,1]2.已知x∈，则函数3．若函数y=f(x)的值域是[-2，3]，则函数y=∣f(x)∣的值域是（） A．[-2，3] B．[2，3] C．[0，2] D．[0，3] 2ax?bx?c；判别式法：形如111域y)的函数用判别式法求值不同时为零(a?，a 212ax?bx?c2221的值域；求函数例4 ?y?x x cx?d(a?0)y?分离常数法：形如的函数也可用此法求值域；bax?13x??y 例5求函数的值域；2x? 数形结合法。的值域?4|x?1|?|x|y? 6求函数（方法一可用到图象法）例
2xxxy( ) ，3]，的最大值、最小值分别为1．函数∈＝4[0－当堂检测3 0 (D)4，0 (B)2，0 (C)3，(A)4，1( ) ．函数的最小值为2?y2xx?1(D)4 (B)1 (A)(C)2 232)(xy??）〕上的最大值、最小值分别是（ 3、函数在区间〔0，52?x33333,,0,0 B.，无最小值。 D. A. C. 最大值72727）（ff(x)的值域为[a，b]，则(x+a)的值域为．定义域为4R的函数y = ] ba+[-a，a[0，b-a] C．[，b] D．[2A．a，a+b] B．） （-．函数5y=x+2x1的值域是11 0} |y≤．y．{y|y≤} C．{|y≥0} D{yB|A．{yy≥} 22252]?[?4,，则m，值域为的定义域为[0,m]的取值范围是（）6．若函数y=x-3x-44333),??[,4]],[3(]0(,4 D A B C 222 2xxyx (27．函数＝4－－1 ∈－．______3)2，的值域为2．______8．函数的值域为x?x2?y ???2。的值域是9、函数0,3??5(?xx?4xy x4?13??y2x?3。、函数的值域是10 2?(x)?4xf?4x?8．函数11 ．的值域为 x?3?x3?y?y)0x?(。；．函数的值域是12．函数的值域是 5x?2x?52x2?y?x?4 13函数的值域————————————312?xy?x?的值。．若函数14的定义域和值域都是[1,b](b>1)，求b22 15．求下列函数的值域：2x?x?y x?2?x?1y）（2）1 （21x?x? 2222? +x+3k+5=0(k的最大值。R)的两个实根，求．已知16x、x是方程x-(k-2)x+kx2211
求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞???? ，当0a <时的值域为 24,4ac b a ?? --∞ ??? .， 3.反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值）
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；
高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：
一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
高中函数值域的12种求法 一、观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y＝3＋√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3＋√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为[3，＋∞]。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y＝[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二、反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y＝(x＋1)/(x＋2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y＝(x＋1)/(x＋2)的反函数为:x＝(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y＝(10x＋10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y＜－1或y ＞1｝） 三、配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。 例3：求函数y＝√(－x2＋x＋2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2＋x＋2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2＋x＋2＝－(x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4]， ∴0≤√(－x2＋x＋2)≤3/2,函数的值域是[0，3/2]。 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y＝2x－5＋√(15－4x)的值域。（答案:值域为{y∣y≤3}） 四、判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y＝(2x2－2x＋3)/(x2－x＋1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x＋(y－3)＝0（＊） 当y≠2时,由Δ＝(y－2)2－4（y－2）(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y＝2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)＝0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可
君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2 、求函数y = 的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。
三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型） 对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+= x x y 的值域． 2、求函数2241x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x += ++的值域． 3、 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用 三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+）， 利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域．
求函数值域的解题方法总结（16种） 在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 一、观察法： 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例:求函数()x 323y -+=的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出 ()x 3-2的值域。 解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。 点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。 练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。（答案：{}5,4,3,2,1,0） 二、反函数法： 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例：求函数2 x 1x y ++=的值域。 点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数2 x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。 点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习:求函数x -x -x x 10101010y ++=的值域。（答案：{}1y 1-y |y 或）。 三、配方法： 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。 例：求函数() 2x x -y 2++=的值域。 点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。此时2x x -2++=
前言： 总有人求助如何学好数学，这个问题很宽泛，并非寥寥数语能够厘清。有一点很明确，学好数学的必要条件是了解数学。 高中数学可以归结为两个“三位一体” ：教学体系的三位一体和知识结构的三位一体。 知识结构的三位一体：数学思想，数学方法，典型习题。 三要素之间的关系：典型习题归纳数学思想，数学思想指导数学方法，数学方法解决典型习题。 数学思想举例：数形结合的思想等。 数学方法举例：配方法、反证法、倍差法等。 典型习题举例：恒成立问题、是否存在问题等。 教学体系的三位一体：教、学、练。 老师教什么：数学思想和数学方法。熟练掌握各种方法的是优秀学生，深入理解各种思想的是顶尖学生。 学生怎么学：课堂紧跟老师，课下善于提问。 如何做练习： 01，选题：中学数学最大的误区就是题海战术，有的老师不学无术只 会告诉你多做题。多做题没用，多做类型才有用。典型习题，做一顶
百。 02，做题：一题多解。对于选定的习题，运用尽量多的方法去解决，然后比较各个方法的优劣，归纳出某类型题对应的最佳方法。 03，总结：针对错题。大量统计表明，我们在考试中所犯的错误大多是重复性的。通过总结，避免两次踏入同一条水沟。 由上可知，我讲数学的特点是方法论、重总结。 工欲善其事，必先利其器：各种数学方法就是我们解决难题的利器。总喊看题就没思路的童鞋，回忆一下高中阶段你能说出多少种方法。说不出？有思路才怪！ 言归正传，今天我们就来总结一下“函数求值域的十种方法” （高中数学最重要就是函数，函数之于高中数学好比力学之于高中物理。 高中数学函数的要点无非：三要素，四变换，五常见，六性质。 三要素中的求值域就是本讲的主题） 方法一：配方法 用于解决二次函数值域问题，考试中几乎不会单独考察配方法（太简单），但常与其他方法综合使用。
一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为 . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。 点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。 练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。 五．最值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函域。 例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。 解：∵3x2+x+1＞0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。 当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
L S高一数学函数值域求法 及例题 The latest revision on November 22, 2020
函数值域（最值）的常用方法 姓名： 一、基本函数的值域： 一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ． 二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????， 当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ?? ?． 反比例函数()0k y k x =≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >． 对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ． 正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ． 二、其它函数值域 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域． 2、求函数 y =的值域． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域． 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制． 2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。 三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）
对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。 1、求函数1 2+=x x y 的值域． 2、求函数2241 x y x +=-的值域． 四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为 0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断） 1、求函数3 274222++-+=x x x x y 的值域． 2、求函数2122 x y x x +=++的值域． 五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等） 1、求函数x x y 41332-+-=的值域． 六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域） 1、求函数13y x x =-+-的值域。 七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如： ab b a ab b a 2,222≥+≥+），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．） 1、求函数1(0)y x x x =+>的值域． 注意：在使用此法时一定要注意 a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ． 八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式） 1、求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）
函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 1. 求函数 x 1 y = 的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 2. 求函数x 3y - =的值域。 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2 +-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 4. 求函数 22x 1x x 1y +++= 的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2 =-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2 ≥----=? 解得：2 3y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为?? ? ???23,21 5. 求函数)x 2(x x y -+ =的值域。 解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222 =++-（1） ∵R x ∈
函数的定义域与值域 例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）. A. 1,x y y x == B. 11,y x y +C. ,y x y == 2||,y x y == 解： 变式训练1：下列函数中，与函数 y=x 相同的函数是 （ ） A.y= x x 2 x ) 2x D.y=x 2lo g 2 解： 变式训练2：下列是映射的是………………………………………（ ） (A)1、 2、 3 (B)1、 2、5 (C)1、 3、5 (D)1、2、3、5 变式训练3：下面哪一个图形可以作为函数的图象……………………（ ） (A) (B) (C) (D) 变式训练4：如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是…………（ ） (A )（－23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2 1 ） 例2.给出下列两个条件：（1）f(x +1)=x+2x (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式 解：（1）令t=x +1,∴t≥1，x=（t-1） 2 则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t 2-1,即f(x)=x 2 -1,x∈［1， （2）设f(x)=ax 2 ∴f(x+2)=a(x+2)2 +b(x+2)+c 则f(x+2)-
∴?? ?=+=2244 4b a a ， ?? ?-==1 1b a ，又f(0)=3?c=3,∴f(x)=x 2 - 变式训练2：（1）已知f （12+x ）=lgx ，求f （x ）； （2）已知f （x ）是一次函数，且满足3f （x+1）-2f （x-1）=2x+17，求f （x ） ； （3）已知f （x ）满足2f （x ）+f （x 1 ）=3x ，求f （x ） 解：(1)令 x 2+1=t ，则x=12 -t ， ∴f（t ）=lg 12 -t ，∴f（x ）=lg 1 2- x （2）设f （x ）=ax+b ，则 3f （x+1）-2f （x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17， ∴a=2，b=7，故f （x ）=2x+7. （3）2f （x ）+f （ x 1 ）=3x ， ① 把①中的x 换成 x 1，得2f （x 1）+f （x ）=x 3 ①×2-②得3f （x ）=6x- x 3，∴f（x ）=2x-x 1 . 变式训练3：求满足下列条件的函数解析式： ⑴2 1)11(x x x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数. 例3、已知函数f(x)=?? ?????<-=>. 0,1,0, 1,0,2x x x x x （1）画出函数的图象；（2）求f(1)，f(-1),f [])1(-f 的值. 解：（1）分别作出f(x)在x ＞0,x=0,x ＜0段上的图象，如图所示，作法略. （2）f(1)=12 =1,f(-1)=-,11 1 =-f [])1(-f =f(1)=1. 变式训练：?? ???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2 x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数 a= .
高中数学函数值域的解法有哪些 一。观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√2-3x 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√2-3x 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√2-3x≥0， 故3+√2-3x≥3. ∴函数的知域为。 点评：算术平方根具有双重非负性，即：1被开方数的非负性，2值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x]0≤x≤5的值域。答案：值域为：{0，1，2，3，4，5｝ 二。反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=x+1/x+2的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=x+1/x+2的反函数为：x=1-2y/y-1,其定义域为y≠1的实数，故函数y的值域为{y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=10x+10-x/10x-10-x的值域。答案：函数的值域为{y∣y<-1或y>1｝ 三。配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√-x2+x+2的值域。
点拨：将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。 解：由-x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[-1，2]。此时-x2+x+2=-x-1/22+9/4∈[0，9/4] ∴0≤√-x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制 约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x-5+√15-4x的值域。答案：值域为{y∣y≤3} 四。判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数，可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=2x2-2x+3/x2-x+1的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原 函数的值域。 解：将上式化为y-2x2-y-2x+y-3=0 * 当y≠2时，由Δ=y-22-4y-2x+y-3≥0，解得：2 当y=2时，方程*无解。∴函数的值域为2 点评：把函数关系化为二次方程Fx,y=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y=ax2+bx+c/dx2+ex+f及y=ax+b±√cx2+dx+e的函数。 练习：求函数y=1/2x2-3x+1的值域。答案：值域为y≤-8或y>0。 五。值法 对于闭区间[a,b]上的连续函数y=fx,可求出y=fx在区间[a,b]内的较值，并与边界值fa.fb作比较，求出函数的值，可得到函数y的值域。 例5已知2x2-x-3/3x2+x+1≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域。 点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数 的值域。 解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2， 又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x-1≤x≤3/2, ∴z=-x-22+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。