平行线与三角形内角和的综合应用（讲义）?课前预习
1.如图，在△ABC中，如果∠C=90°，∠A=30°，则∠B=_______，∠A+
∠B=_______，也就是∠A与∠B________（填“互余”、“互补”）．
2.在下面的括号内，填上推理的根据．
（1）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠1=30°，求∠2
的度数．
解：如图，
∵∠1=∠2 （_______________________）
∠1=30° （已知）
∴∠2=______ （_______________________）
（2）如图，已知∠AOC=∠BOD=90°，求证：∠AOD=∠BOC．
解：如图，
∵∠AOC=∠BOD=90° （_______________________）
∴∠AOD=∠BOC （_______________________）
?知识点睛
1.三角形的内角和等于__________．
已知：如图，△ABC．
求证：∠BAC+∠B+∠C=180°．
证明：_______，_____________________________________．
∵MN∥BC （已作）
∴∠B=∠1，∠C=∠2（_______________________）
∵∠BAC+∠1+∠2=180°（_______________________）
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（_______________________）
2.直角三角形两锐角___________．
?精讲精练
1.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°，BD是△ABC的一条角平分线，
求∠ABD的度数．
解：如图，
在△ABC中，∠A=50°，∠C=72°（已知）
∴∠ABC=180°- ____ - ____
=180°-____ - ____
B
D
A
C
A
C
B
A D
O
C B
2
1
D
C
B
O
A
A
M
B C
12
N
=____（_______________________）
∵BD 平分∠ABC （已知） ∴∠ABD =
∠ABC =×58° =29°（_______________________）
2. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C ，E 是AC 上一点，ED ⊥BC ，DF ⊥AB ，
垂足分别为D ，F ．若∠AED =140°，则∠C =_____，∠BDF =__________，∠A =__________．
3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，则
∠A 的余角是__________和__________，∠ACD =_________，∠BCD =__________．
4. 已知：如图，AE ∥BD ，∠1=110°，∠2=30°，则∠C =______．
5. 已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D
作DE ∥BC 交AC 于点E ．若∠A =75°，∠ADE =35°，则∠EDC =_________．
6. 已知：如图，BD ∥AE 交△ABC 的边AC 于点F ，∠CAE =95°，∠
CBD =30°，求∠C 的度数．
解：如图，
∵BD ∥AE （___________________________） ∴∠DFC =∠CAE （___________________________） ∵∠CAE =95° （___________________________） ∴∠DFC =95° （___________________________） ∴∠CFB =180°-∠DFC =180°-95°
=85° （ 平角的定义 ） 在△CBF 中，∠CBD =30°，∠CFB =85°（已知） ∴∠C =__________________ =______________
=________ （___________________________） 7. 8.
1
2
1
2
A
B
C
D
21
E
D
C B A E
D
C
A
A
C
D
E
F
F
E
D
C
A
9.已知：如图，∠BAC与∠GCA互补，∠1=∠2．
求证：∠E=∠F．
10.已知：如图，AB⊥BC，BC⊥CD，垂足分别为B，C，∠1=∠2．
求证：BE∥CF．
证明：如图，
∵AB⊥BC，BC⊥CD(__________________________)
∴_______=______=90°( 垂直的定义)
∵∠1=∠2 (__________________________)
∴∠EBC=∠BCF (__________________________)
∴______∥______(__________________________)
11.已知：如图，∠1+∠2=180°，∠3=∠B．
求证：∠AED=∠C．
证明：如图，
∵∠1+∠2=180°（_____________________________）∠1+∠DFE=180°（_____________________________）∴______=______ （_____________________________）
∴______∥______（_____________________________）
∴∠3=∠ADE（_____________________________）
∵∠3=∠B（_____________________________）
∴∠ADE=∠B（_____________________________）
∴______∥______（_____________________________）
∴∠AED=∠C （_____________________________）12.已知：如图，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：∠F=∠A．
证明：如图，
∵∠1=∠2（________________________________）∠1=∠DGF（________________________________）∴∠2=_______（________________________________）
∴____∥____ （________________________________）
C G
D
F
E
B
A
1
2
A B
C D
E
F
1
2
A
D
2
3
E
F1
C B
A B C
1
G
H
2
F
E
D
∴∠D=_______（________________________________）∵∠C=∠D （________________________________）∴______=∠C（________________________________）∴____∥____ （________________________________）∴∠F=∠A（________________________________）
【参考答案】
?课前预习
1.60°，90°，互余
2.（1）对顶角相等；30°；等量代换．
（2）已知；同角的余角相等．
?知识点睛
1.180°
如图，过点A作MN∥BC
两直线平行，内错角相等
平角的定义
等量代换
互余
?精讲精练
1.∠A，∠C
50°，72°
58°，三角形的内角和等于180°
角平分线的定义
2.50°，40°，80°
3.∠ACD，∠B，∠B，∠A
4.40°
5.35°
6.已知
两直线平行，同位角相等
已知
等量代换
∴∠C=180°-∠CBF-∠CFB
=180°-30°-85°
=65°（三角形的内角和等于180°）
7.∵∠BAC+∠GCA=180°（已知）
∴AB∥DG（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠BAC-∠1=∠DCA-∠2（等式性质）
即∠CAE=∠ACF
∴AE ∥CF （内错角相等，两直线平行） ∴∠E =∠F （两直线平行，内错角相等） 8. 已知
∠ABC ，∠BCD 已知
等角的余角相等
BE ，CF ；内错角相等，两直线平行 9. 已知
平角的定义
∠2，∠DFE ；同角的补角相等 AB ，EF ；内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 已知 等量代换
DE ，BC ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 10. 已知
对顶角相等 ∠DGF ，等量代换
CE ，BD ；同位角相等，两直线平行 ∠FEH ，两直线平行，同位角相等 已知
∠FEH ，等量代换
DF ，AC ；内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
平行线与三角形内角和的综合应用（随堂测试）
1. 已知：如图，AB ∥CD ，∠ABF =120°，CE ⊥BF ，垂足为E ，则∠ECF =___________．
2. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =40°，∠ADE =40°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ∥BA 交AC 于点E ，则∠C =_______．
A
B
C D E
F
3. 已知：如图，点E ，F 分别在AB ，CD 上，AD 交CE 于点G ，交BF 于点H ，且∠1=∠2，∠B =
∠C ．
求证：∠A =∠D ．
证明： ∵∠1=∠2
（______________________________） ∠CGD =∠1 （______________________________） ∴______=______ （______________________________） ∴CE ∥BF （______________________________） ∴_____=∠3 （______________________________） ∵∠B =∠C
（______________________________） ∴∠3=_________ （______________________________） ∴_____∥_____ （______________________________） ∴∠A =∠D （______________________________）
【参考答案】
1．30° 2．60° 3．已知 对顶角相等
∠CGD ，∠2；等量代换 同位角相等，两直线平行 ∠C ；两直线平行，同位角相等 已知
∠B ；等量代换
AB ，CD ；内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
平行线与三角形内角和的综合应用（习题）
E
D C B
A
C
F
D E B
A
G
H 123
? 例题示范
例1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上一点，PE ⊥AD 交BC 的延长线于点E ．若∠BAC =60°， ∠ACB =85°，则∠E 的度数为_____________．
解：如图， ∵AD 平分∠BAC
( ) ∴
( ) ∵∠BAC =60° ( ) ∴∠1=30°
( 等式性质 )
在△ACD 中，∠1=30°，∠ACB =85° ∴∠EDP =180°-∠1-∠ACB
=180°-30°-85° =65°
( ) ∵PE ⊥AD
( ) ∴∠EPD =90° ( )
∴
( )
①读题标注
②梳理思路
要求∠E 的度数，可以将∠E 放在Rt △PDE 中，利用直角三角形两锐角互余求解，由PE ⊥AD ，则∠EPD =90°，所以需要求出∠ADC 的度数．结合已知条件，把∠ADC 放在△ADC 中利用三角形内角和定理求出．
1P
C
B
D
F E
A 1
12BAC ∠=∠90E EDP ∠=?-∠9065=?-?25=?A E
F D
B C
P
130°85°？
30°
③过程书写 解：如图， ∵AD 平分∠BAC
（已知）
∴
（角平分线的定义） ∵∠BAC =60° （已知） ∴∠1=30°
（等式性质）
在△ACD 中，∠1=30°，∠ACB =85° ∴∠EDP =180°-∠1-∠ACB
=180°-30°-85° =65°
（三角形内角和等于180°） ∵PE ⊥AD
（已知）
∴∠EPD =90° （垂直的定义） ∴
（直角三角形两锐角互余）
? 巩固练习
1. 在△ABC 中，，则___，___．
2. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重
合，则图中∠1的度数为___________．
3. 如图，直线m ∥n ，在△ABC 中，∠C =90°．若∠1=25°，∠2=70°，则∠B =____________．
4. 已知：如图，△ABC ．
求证：∠A +∠B +∠ACB =180°．
1
12BAC ∠=∠90E EDP ∠=?-∠9065=?-?25=?123A B C =∠:∠:∠::A =∠B =∠
1
n
m
2
1
C
B
A
证明：如图，延长BC到点D，过点C作射线CE∥AB．
∵CE∥AB
∴∠A=_____（________________________）∠B=_____（________________________）∵∠1+∠2+∠ACB=180°（________________________）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（________________________）5.已知：如图，AB∥CD，∠BAE=∠DCE=45°．
求证：∠E=90°．
证明：如图，
∵AB∥CD（___________________________）∴∠BAC+______=180°（___________________________）∵∠BAE=∠DCE=45°（___________________________）∴∠1+∠2=180°-∠BAE-∠DCE
=180°-45°-45°
=______（等式性质）∴∠E=180°-(∠1+∠2)
=180°-90°
=90°（）
6.已知：如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3．
求证：CD∥HF．
证明：如图，
12
A
B C D
E
21
E
D
C
B
A
3
2
1
D E
A
B C
F
H
∵∠1=∠ACB （_______________________________） ∴______∥______ （_______________________________）
∴∠2=______ （_______________________________） ∵∠2=∠3
（_______________________________） ∴∠3=______
（_______________________________）
∴______∥______ （_______________________________）
7. 已知：如图，EF ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠B =∠ADE ．
求证：AD ∥EF ．
证明：如图， ∵EF ⊥BC
（___________________________） ∴∠EFB =90° （ 垂直的定义 ） ∴∠BEF +∠B=90° （ 直角三角形两锐角互余 ） ∵DE ⊥AB
（___________________________） ∴∠AED =90° （___________________________） ∴∠BAD +∠ADE=90° （___________________________）
∵∠B =∠ADE （___________________________） ∴∠BEF =∠BAD
（___________________________） ∴______∥______ （___________________________）
? 思考小结
1. 在证明过程中：
（1）由平行可以想_________相等、_________相等、________ 互补；
（2）要证平行，找_______角、_______角、_______角； （3）要求一个角的度数，如果看成三角形的内角，可以考虑 __________________________． 2. 阅读材料
等量代换与等式性质
在欧几里得公理体系中提到过5条公理．这5条公理是我们公认为正确的不证自明的“基本事实”，可以当做已知的大前提来进行使用．而其中的三条，是我们在几何证明中不经意间多次用到的，下面对它们来进行简单的解释． 当我们证明时，会遇到如下的推理：
F E
D
B C A
∵a=b，b=c
∴a=c
在这个推理过程中，我们很容易就理解它的正确性，但往往不知道它的依据是什么．其实，它的依据就是欧几里得公理体系中5条公理中的第一条：“（1）跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的．”这句话比较的生涩难懂，我们不妨来翻译一下，直观的意思就是“与同一个量相等的所有量都相等”，这就是我们在几何推理中经常用到的“等量代换”．
例如，我们经常这么写：
①∵a=b，b=5（已知）
∴a=5（等量代换）
②∵∠A+∠B=90°，∠B=∠C
∴∠A+∠C=90°（等量代换）
这里推理的依据就是第一条公理，我们把它简记为“等量代换”．“等量代换”还可以解释为把相等的量换掉．
与“等量代换”一样，经常用到的还有“等式性质”．
公理中第（2）（3）条的内容如下：
（2）等量加等量，总量仍相等．
（3）等量减等量，余量仍相等．
它们组合起来使用，就叫做“等式性质”，我们可以找一些例子来看一下．
例如：
∵a+b=10，c=5
∴a+b-c=10-5=5（等式性质）
再如：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+2∠1=90°
∴∠B+∠C=90°+2∠1（等式性质）
上述过程中的推理依据都是“等式性质”．一般地，我们利用代数运算进行推理时，其依据基本都是“等式性质”．
【参考答案】
?巩固练习
1.30°，60°
2.105°
3.45°
4.∠1；两直线平行，内错角相等
∠2；两直线平行，同位角相等
平角的定义
等量代换
5.已知
∠ACD；两直线平行，同旁内角互补
已知
90°
三角形的内角和等于180°
6.已知
DE，BC；同位角相等，两直线平行
∠BCD；两直线平行，内错角相等
已知
∠BCD，等量代换
CD，HF；同位角相等，两直线平行7.已知
已知
垂直的定义
直角三角形两锐角互余
已知
等角的余角相等
AD，EF；同位角相等，两直线平行?思考小结
1.（1）同位角，内错角，同旁内角；
（2）同位，内错，同旁内；
（3）三角形的内角和等于180°．
平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2个 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是（ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0 270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720° 6.如图，OP ∥QR ∥ST ，则下列各式中正确的是（ ） A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB ∥DE ，那么∠BCD 于（ ） A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB ∥CD ，AF 平分∠CAB ，CF 平分∠ACD ．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________. 11.如图，AB ∥CD ，∠A=120°，∠1=72°，则∠D 的度数为__________． 12.如图，∠BAC=90°，EF ∥BC ，∠1=∠B ，则∠DEC=________. 13.如图，把长方形ABCD 沿EF 对折，若∠1=500，则∠AEF 的度数等于 14.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，则∠α=____ 三、计算证明题： 15.如图，在四边形ABCD 中，∠A=104°－∠2，∠ABC=76°+∠2，BD ⊥CD 于D ，EF ⊥CD 于F ，能辨认∠1=∠2吗？试说明理由． 16..如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎样的位置关系，为什么？ 17.已知：如图23，AD 平分∠BAC ，点F 在BD 上，FE ∥AD 交AB 于G ，交CA 的延长线于E ， 求证：∠AGE ＝∠E 。 18. 如图，AB ∥DE,∠1=∠ACB,∠CAB=2 1∠BAD,试说明：AD ∥BC.
人教版四年级下三角形内角和习题 1 、一个三角形有（ ）个顶点，（ ）个角和（ ）条边。 2、三角板上的三个角的度数分别是（ ）、（ ）、（ ）或（ ）、（ ）、（ ）。 3、一个等腰三角形的顶角是120o，它的底角是（ ）度，是（ ）三角形。 4、在一个等腰三角形中，顶角是一个底角的3倍，这个三角形三个角的度数分别为（ ）、（ ）、（ ）。 5、三角形三个内角的和等于 。在△ABC 中，∠C=70°，∠A=50°，则∠B= 度。 6、三角形按内角的大小分为三类，一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形？（1）30°和60° （ ） （2）40°和70° （ ） （3）50°和30° （ ） 7、直角三角形的两锐角相加等于（ ）度。 如上图， 在直角三角形ABC 中，∠A=2∠B ，则∠A= 度，∠B= 度。 8、在一个三角形中，∠1＝42°，∠2＝29°，∠3＝（ ）。这是一个（ ）三角形。 9、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是 （ ）三角形，又是（ ）三角形。 10、如右图，AD 垂直于BC ，∠1=40°，∠2=30°，则∠B= 度，∠C= 度 11、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”： （1） 如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形； （2）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形。 判断： 1、等腰三角形都是锐角三角形。 （ ） 4、任意一个三角形中，最大的一个内角一定比60o大。 （ ） 5、用长10㎝、4㎝和3㎝的三根小棒不能围成一个三角形。 （ ） 3、有一个角是锐角的三角形就是锐角三角形。 （ ） 6、直角三角形只有两个锐角。 （ ） A B C
。 直线与三角形 一、相关知识点复习： （一）平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角相等，两直线平行。 （4）垂直于同一直线的两直线平行。 3.性质： (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3)两直线平行，同位角相等。 (4)两直线平行，内错角相等。 (5)两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形 4.一般三角形的性质 (1)角与角的关系： 三个内角的和等于180°； 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2)边与边的关系： 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系： 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 5.几种特殊三角形的特殊性质 (1)等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直线是等腰三 角形的对称轴。 (2)等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。
。 (3) 直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③ 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 （其逆命题也成立）； ④ 直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6. 三角形的面积 (1) 一般三角形：S △ = 21 a h （ h 是a 边上的高 ） (2) 直角三角形：S △ = 21a b = 2 1 c h （a 、b 是直角边，c 是斜边，h 是斜边上的高） (3) 等边三角形： S △ = 4 3a 2 （ a 是边长 ） (4) 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三 角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7. 相似三角形 (1) 相似三角形的判别方法： ① 如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ② 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三 角形相似； ③ 如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2) 相似三角形的性质： ① 相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ② 相似三角形的周长比等于相似比； ③ 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS 、ASA 、AAS 、SSS ； ②直角三角形还有HL 二、巩固练习： 一、选择题： 1． 如图，若AB ∥CD ，∠C = 60o，则∠A ＋∠E ＝（ ） A ．20o B ．30o C ．40o D ．60o 2． 如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（ ） A ．AB ∥CD B ．AD ∥BC C ．∠B=∠D D ．∠3=∠4 3． 如图，AD ⊥BC ，DE ∥AB ，则∠B 和∠1的关系是（ ） A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 4．如图，下列判断正确的是（ ） A ．∠1和∠5是同位角； B ．∠2和∠6是同位角； C ．∠3和∠5是内错角； D ．∠3和∠6是内错角． 5．下列命题正确的是（ ） A ．两直线与第三条直线相交，同位角相等； B ．两直线与第三条直线相交，内错角相等； C ．两直线平行，内错角相等； D ．两直线平行，同旁内角相等。 6．如图，若AB ∥CD ，则（ ）
《相交线与平行线》证明题专项训练A 第一组---简简单单 1.如图，∠1=∠A，试问∠2与∠B相等吗？为什么？ 2.如图，已知OA⊥OB，∠1与∠2互补，求证：OC⊥OD. 3.如图，直线l ⊥,，∠1=∠2，求证：∠3=∠4. n m⊥ l 4.如图，AB∥CD，AE交CD于点C，DE⊥AE，垂足为E，∠A=37o，求∠D的度数．
第二组---相信自己 5.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度数. 6．如图，BD平分∠ABC，?DF?∥AB，?DE?∥BC，?求∠1?与∠2?的大小关系．7．如图，已知∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2，求证：∠3=∠4. 8．如图，已知∠ABC＋∠ACB=110°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过点O与BC平行，求∠BOC的度数.
第三组-----善于思考 9．如图，已知： DE∥AB，DF∥AC，试说明∠FDE=∠A. 10．如图，AB∥CD，∠NCM＝90°，∠NCB＝30°，CM平分∠BCE，求∠B的度数. 11．如图，AB∥CD，HP平分∠DHF，若∠AGH=80°，求∠DHP的度数. 12．如图，AC⊥AB，EF⊥BC，AD⊥BC，∠1=∠2，试问AC⊥DG吗？请写出推理过程.
第四组---转弯抹角 13．如图，M、N、T和A、B、C分别在同一直线上，且∠1=∠3，∠P=∠T，求证：∠M=∠R. 14．如图，已知∠1=∠2, ∠B=∠C，你能得出∠A=∠D的结论吗？ 15．如图，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E，且∠1=∠2，?∠3=80°．求∠BCA的度数 16．如图，AD⊥BC，FG⊥BC，且∠1=∠2，求证：∠BDE=∠C.
专训1 三角形内角和与外角和的几种常见应用类型名师点金：三角形内角和与外角和有着广泛的应用，利用它们可以解决有关角的很多问题，一般可用于直接计算角度、三角尺或直尺中求角度、与平行线的性质综合求角度、截角或折叠问题中求角度等． 直接计算角度 (第1题) 1．如图，在△中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在，的延长线上，则∠1＝．2．在△中，三个内角∠A，∠B，∠C满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝． 三角尺或直尺中求角度 3．【2015·咸宁】如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2的度数是( ) A．50°B．40°C．30°D．25° (第3题) (第4题) 4．一副三角尺和如图放置(其中∠A＝60°，∠F＝45°)，使点E落在边上，且∥，则∠的度数为． 5．一副三角尺如图所示摆放，以为一边，在△外作∠＝∠，边交的延长线于点F，求∠F的度数． (第5题) 与平行线的性质综合求角度
6．如图，∥，∠＝60°，∠D＝50°，求∠E的度数． (第6题) 截角和折叠综合求角度 7．如图，在△中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于( ) (第7题) A．360° B．250° C．180° D．140° 8．如图，将△沿着翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数． (第8题) 答案
1．80° 2.60°3 4.15° 5．解：因为∠＝90°，∠＝30°， 所以∠＝180°－∠－∠＝180°－90°－30°＝60°. 因为∠＝∠＝30°， 所以∠F＝180°－∠－∠＝180°－30°－60°＝90°. 6．解：因为∥， 所以∠＝∠＝60°. 因为∠D＝50°， 所以∠E＝∠－∠D＝60°－50°＝10°. 7．B 8．解：由折叠知∠1＋∠2＋2(∠＋∠)＝360°，即80°＋2(∠＋∠)＝360°， 所以∠＋∠＝140°， 所以∠B＝180°－(∠＋∠)＝180°－140°＝40°.
平行线与三角形内角和的综合应用（每日一题） 1． 如图，在△ABC 中，D 为BC 边上一点， DF ⊥AB 于F ，ED ∥AC ，∠A = ∠B ． 求证：∠EDF =∠BDF ． F E D C B A 2． 已知：如图，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∠1=∠2．求证：AB ∥DG ． 2 1 G F E D C B A 3． 在△ABC 中，∠ACB =90°， E 是BC 边上的一点，过C 作CF ⊥AE ，垂足为 F ，过B 作BD ⊥BC ，交CF 的延长线于D ．若∠EAC =25°，求∠D 的度数． F E D C B A
4． 已知：如图，AC 、EF 相交于点O ，∠E =∠F ，∠1=∠2． 求证：AB ∥DG ． O 2 1 C G D F E B A 5． 已知：如图，AD ∥EF ，BF ∥DG ，∠A =∠B =∠G =35°． 求∠EFG 的度数． G F E D C B A
【参考答案】 1.证明：如图， ∵DE∥AC （已知）∴∠A＝∠FED （两直线平行，同位角相等）∵∠A=∠B（已知）∴∠B＝∠FED （等量代换）∵DF⊥AB（已知）∴∠FED +∠EDF =∠B+∠BDF=90°（直角三角形两锐角互余）∴∠EDF=∠BDF（等角的余角相等）2.证明：如图， ∵EF⊥BC （已知） ∴∠B+∠1=90°（直角三角形两锐角互余） ∵AD⊥BC（已知） ∴∠2+∠CDG=90°（垂直的性质） ∵∠1=∠2 （已知） ∴∠B=∠CDG （等角的余角相等） ∴AB∥DG（同位角相等，两直线平行） 3.解：如图， ∵CF⊥AE（已知） ∴∠EAC +∠ACD=90°（直角三角形两锐角互余） ∵∠ACB=90° 即∠DCB+∠ACD=90°（已知） ∴∠DCB=∠EAC（等角的余角相等） ∵∠EAC=25°（已知） ∴∠DCB = 25°（等量代换） ∵BD⊥BC（已知） ∴∠D+∠DCB=90°（直角三角形两锐角互余） ∴∠D=90°-∠DCB =90°-25° = 65°（等式性质） 4.证明：如图， ∵∠E=∠F （已知）
平行线经典证明题 一、选择题: 1、如图,能与∠α构成同旁内角的角有( ) A. 5个 B.4个 C. 3个 D. 2个 α 2、如图,AB ∥CD,直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 与点F,GE ⊥MN,∠1=130°,则∠2等于 ( ) A.50° B.40° C.30° D.65° 3、如图,DE ∥AB,∠CAE= 3 1 ∠CAB,∠CDE=75°,∠B=65°则∠AEB 就是 ( ) A.70° B.65° C.60° D.55° 4、如图,如果AB ∥CD,则α∠、β∠、γ∠之间的关系就是( ) A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0270=∠+∠+∠γβα 5、如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A 、180° B 、360° C 、540° D 、720° 6、如图,OP ∥QR ∥ST,则下列各式中正确的就是( ) A 、∠1＋∠2＋∠3＝180° B 、∠1＋∠2－∠3＝90° C 、∠1－∠2＋∠3＝90° D 、∠2＋∠3－∠1＝180° 7、如图,AB ∥DE,那么∠BCD 于( ) A 、∠2－∠1 B 、∠1＋∠2 C 、180°＋∠1－∠2 D 、180°＋∠2－2∠1 二、填空题: 8、把一副三角板按如图方式放置,则两条斜边所形成的钝角α=_______度. α 45° 30° 9、求图中未知角的度数,X=_______,y=_______、 10、如图,AB ∥CD,AF 平分∠CAB,CF 平分∠ACD.(1)∠B+∠E+∠D=________;(2)∠AFC=________、
平行线与三角形(含答 案)
直线与三角形 一、相关知识点复习： （一）平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定： （1）同位角相等，两直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）同旁内角相等，两直线平行。 （4）垂直于同一直线的两直线平行。 3.性质： (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3)两直线平行，同位角相等。 (4)两直线平行，内错角相等。 (5)两直线平行，同旁内角互补。 （二）三角形 4.一般三角形的性质 (1)角与角的关系： 三个内角的和等于180°； 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何—个和它不相邻的内角。 (2)边与边的关系： 三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系： 在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 5.几种特殊三角形的特殊性质 (1)等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的 直线是等腰三角形的对称轴。 (2)等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60°； ②等边三角形外心、内心合一。 (3)直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
（其逆命题也成立）； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6.三角形的面积 (1)一般三角形：S △ = 2 1 a h（h是a边上的高） (2)直角三角形：S △ = 2 1 a b = 2 1 c h（a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的高） (3)等边三角形： S △ = 4 3 a2（a是边长） (4)等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7.相似三角形 (1)相似三角形的判别方法： ①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2)相似三角形的性质： ①相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形的周长比等于相似比； ③相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.全等三角形两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS； ②直角三角形还有HL 二、巩固练习： 一、选择题： 1．如图，若AB∥CD，∠C= 60o，则∠A＋∠E＝（） A．20o B．30o C．40o D．60o 2．如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（） A．AB∥CD B．AD∥BC C．∠B=∠D D．∠3=∠4 3．如图，AD⊥BC，DE∥AB，则∠B和∠1的关系是（） A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 不能确定 4．如图，下列判断正确的是（） A．∠1和∠5是同位角； B．∠2和∠6是同位角；C．∠3和∠5是内错角； D．∠3和∠6是内错角． 5．下列命题正确的是（） A．两直线与第三条直线相交，同位角相等；B．两直线与第三条直线相交，内错角相等；C．两直线平行，内错角相等； D．两直线平行，同旁内角相等。 6．如图，若AB∥CD，则（） A．∠1 = ∠4 B．∠3 = ∠5 C．∠4 = ∠5 D．∠3 = ∠4 7．如图，l1∥l2，则α= （） A．50° B．80° 第6题第7题 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
《三角形内角和》教学设计 教学内容：北师大版《数学》四年级下册第24、25页 教学思考： 一、为什么要学习三角形内角和。 “三角形内角和”内容小学、初中都要学习，小学三角形内角和属于实验何， 初中则是演绎几何。《课程标准（2011版）》所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”并在数学思考的目标表述中做了明确要求，指出：要“发展合情推理和演绎推理能力”。波利亚很早就注意到“数学有两个侧面……用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学。”因此，与之相适应，应该有两类推理：用合情推理获得猜想，发现结论；用演绎推理验证猜想，证明结论。课程标准强调通过多样化的活动培养学生的推理能力。如《课程标准（2011版）》提出：“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想”（第一学段），“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”（第二学段），“在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理能力”（第三学段）。可见，初中学习三角形内角和小学四年级学习三角形内角承载的功能与价值是有差异的。小学阶段侧重在观察、实验、猜想、验证等系列活动中体会与感知三角形内角和180度，属于演绎推理的范畴；初中进一步学习三角形内角和则是运用数学相关定理（平行线间
同位角、内错角相等）证明三角形内角和，属演绎推理的范畴。从而决定四年级三角形内角和的学习为实验几何，初中则才是演绎几何。 小学阶段平面几何的研究一般从边与角的维度展开，三角形属于平面几何图形较为基础、简单的模型，有必要对三角形“角”与“边”特征展开研究，为后继认识平面图形与立体图形研究维度埋下伏笔。任何实验需要经历猜想、实验、验证、检验等过程。 二、怎样学习三角形内角和。 1.教材编排清逻辑。北师大版教材将三角形内角和安排在四年级下册，之前学生初步认识长方形、正方形、三角形、圆，知道平行四边形的名称；认识角、直角、锐角与钝角、平角、周角；认识平行线与垂线；是之后学习三角形、平行四边形面积知识基础。本单元教材安排认识各种平面图形、图形分类、图形性质的探索等。分类活动中对三角形、四边形有一初步认识，通过探索活动，进而发现三角形三边关系和三角形内角和，深入理解图形性质。 教材分两个课时进行编排，第一课时主要探索三角形内角和，第二课时运用三角形内角和180度的结论解决一些问题。本课属于第一课时内容。教材首先创设了一个有趣的问题情境，大小不同的两个三角形对内角和的真论，引出对三角形内角和的探索活动。之后安排三个问题：第一个问题是通过不同三角形的量角及求和活动探索三角形内角和；第二个问题是结合上面活动结果，明晰三角形内角和是180度；第三个问题是进一步通过操作活动验证三角形内角和为180°，呈现两种学生可能的验证办法：第一种是将三角形三个内角撕下来，拼成
7.2.1三角形的内角 教学目标 1 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理，能用平行线的性质推出这一定理 2 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题 重点：三角形内角和定理 难点：三角形内角和定理的推理的过程 课前准备 每个学生准备好二个由硬纸片剪出的三角形，在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码 一、创设情境 1、上节课我们已经学习了三角形的边，研究了三角形的三条边之间的关系。今天我们学习三角形的内角，研究三角形的三个内角之间又有怎样的关系。（板书：7.2.1三角形的内角） 2、出示课件： 有一△ABC（如图），由于老师一不小心将墨水洒落到∠A处，现测得∠B=50°、∠C=60°，你能帮助老师计算出∠A的度数吗？ 问：（1）谁能回答这个问题？说明你的理由。（利用三角形的内角和为180°得到的）（2）你们同意他的结论吗？ 问：三角形的内角和为180°这个结论是正确的吗？你是什么时候知道这个结论的？又是怎样验证这个结论的呢？（小学时学习的，是通过测量的方法验证的） 问：（1）你当时测量了多少个三角形的内角和的180°的呢？ （2）你当时对这一结论的正确性产生过怀凝吗？为什么？ 课件出示 通过测量的方法可以验证三角形的内角和是180°,但是由于形状不同的三角形有无数多个,我们不可能通过测量的办法一一验证。测量总有特殊性，不可能说明全部三角形的内角和都是1800。为了能够准确的论证“三角形的三个内角的和等于180°”这一命题的正确性。我们需要寻找一种能证明任意一个三角形的内角和等于180°的方法。（你们同意这种看法吗？）出示课件 什么叫证明呢？就是由题设（已知）出发，经过推理论证得出结论。 下面我们就来研究这一命题的证明方法。 出示课件 三角形的三个内角的和等于180° 二、探究过程
平行线与三角形复习材料 一、相关知识点复习： (一)平行线 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.判定： (1)同位角相等，两直线平行。 (2)内错角相等，两直线平行。 (3)同旁内角相等，两直线平行。 (4)垂直于同一直线的两直线平行。 3.性质： (1)经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 (2)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。 (3)两直线平行，同位角相等。 (4)两直线平行，内错角相等。 (5)两直线平行，同旁内角互补。 (二)三角形 4.一般三角形的性质 (1)角与角的关系：三个内角的和等于180 ° 一个外角等于和它不相邻的两个内角之和，并且大于任何一个和它不相邻的内角。 (2)边与边的关系：三角形中任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。 (3)边与角的大小对应关系：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边。 (4)三角形的主要线段的性质(见下表)： 5.几种特殊三角形的特殊性质 (1)等腰三角形的特殊性质： ①等腰三角形的两个底角相等； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高是同一条线段，这条线段所在的直 线是等腰三角形的对称轴。 (2)等边三角形的特殊性质： ①等边三角形每个内角都等于60 ° ②等边三角形外心、内心合一。 (3)直角三角形的特殊性质： ①直角三角形的两个锐角互为余角； ②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和 (其逆命题也成立)； ④直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半； ⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。 6.三角形的面积 (1) 一般三角形：S △= -a h ( 2 h 是a边上的高 ) ⑵直角三角形：S △= 1 —a b = 1 c h (a、b是直角边，c是斜边，h是斜边上的咼) 2 2 ⑶等边三角形： S △: ?2 = a ( a是边长) 4 ⑷ 等底等高的三角形面积相等；等底的三角形面积的比等于它们的相应的高的比；等高的三角形的面积的比等于它们的相应的底的比。 7.相似三角形 (1)相似三角形的判别方法： ①如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； ②如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果一个三角形的三边和另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 (2)相似三角形的性质： ①相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； ②相似三角形的周长比等于相似比； ③相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8.全等三角形 两个能够完全重合的三角形叫全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等，其他的对应线段也相等。 判定两个三角形全等的公理或定理： ①一般三角形有SAS、ASA、AAS、SSS; ②直角三角形还有HL 二、巩固练习：
平行线的证明典型题练习 1．命题“对顶角相等”的题设是:________＿_____＿__，结论是__ ＿ _______ ＿_＿_＿＿____ 2.下列命题：①对顶角相等;②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对 顶角；④同位角相等.其中错误的有 3. 如图,ＢＥ平分∠AＢＣ,DＥ∥BＣ,图中相等的角共有对 4. 如图,在△AＢC中,D是B C的延长线上的一点，Ｅ是CＡ的延长线上的一点,Ｆ在A B上，连 接E F，请你判断∠ＡC D∠AＦE． 5.如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下,则∠1= 6．如图，已知AB∥ＣＤ,∠B＝６５°，CＭ平分∠ＢCE,∠MＣN=90°,求∠DＣＮ＝ 第３题图第4题图第5题图第６题 图 7.如图,在△ＡBＣ中，∠A=α，∠ＡＢC的平分线与∠ＡCD的平分线交于点A１，得∠A1,∠A1BC 的平分线与∠A1CD的平分线交于点Ａ２，得∠A2，…,∠A201３ＢＣ的平分线与∠A20１3CD的平分线交于 点A２014，得∠A20１４ＣＤ，则∠A2０14＝______. 8. 如图,在△ABC中，AＢ=AD＝DC,∠BAD＝26°.∠Ｂ＝∠C= 9.如图所示．∠Ａ=1０°，∠ＡBC=9０°,∠ACB=∠DCE,∠ADＣ＝∠ＥDＦ，∠CE Ｄ=∠FＥＧ．则∠F ° 10．如图所示,CD是∠ACＢ的平分线，CＦ是△ABC的外角∠ACＢ的外角平分线，FD ∥BＣ交CF于点F.若∠Ａ=40°，∠Ｂ=60°,∠ＦCD＝，∠DFＣ ＝ 第7题图 第8题图 第9 题图第10题图 １1.已知如图所示，在△ABＣ中,AB＞AC，∠ＡEF＝∠AFＥ，延长EF与BC的延长 线交于点G，求证：∠Ｇ＝1／2(∠ＡCB－∠B)． 12.如图所示,BＥ与CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线,EＦ为∠BED的平分线． （1)试探索∠Ｆ与∠Ｂ,∠D之间的数量关系,并加以证明 （2)若∠B：∠D：∠F=２:4：x 求x的值 --
小学数学四年级三角形内角和的评课 评课人：王丽 刚才听了王老师的一节数学课，整节课程老师通过巧妙的设计，让学生经历了观察、发现、猜测、验证、归纳、概括等数学活动，切实体现了新课程的核心理念“以学生为本，以学生的发展为本”。具体体现在以下几个方面： 一、激趣导入,让学生乐于操作数学 王老师在《三角形内角和》的课堂教学中，从学生个体的经验出发，注重学生学习数学的态度、动机和兴趣，组织能够帮助学生获得经验的活动。采用“谜语激趣与导入”这一教学环节，激发学生学习兴趣和激活学生已有的经验和基本知识，来替代传统课堂教学中的“复习”这一环节。 通过让学生利用直角三角板，计算三角形的内角和，既激活了学生对三角形内角和的已有了解，初步感知三角形的内角和是180°这一数学规律，又激发了学生探索的积极性。 二、探索发现，让学生善于实验数学 数学的结论来源于学生的探索，对现象的观察，对数据的度量、统计与分析，对各种情况的归纳总结。王老师在本节课中非常重视学生的自主探究，让他们在经历探索三角形的内角和是180度的过程中，探讨和总结“三角形内角和”这一数学规律。
首先，学生利用量角器量出三角形三个内角的度数并算出三个内角的和，发现锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和都是180°。但同时在有误差的情况下，学生也提出了不同的看法，引起争论，进入第二层次的探索。 其次、利用学生引发的争议，让学生动手操作，想办法把三角形的三个内角拼成一个平角，并进行交流。这样，引导学生通过撕拼、折拼等多种方式把三个内角拼成一个平角，验证“三角形的内角和是180°”这一数学规律。课堂上学生自始至终保持着浓厚的探究兴趣，学生通过动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。 三、练习题迁移应用,让学生精于实践数学 学生的学习应强调应用数学的意识，让学生精于实践数学。在练习题环节，在学生探索发现数学规律后，王老师引导学生应用规律解决一些实际的问题，即求出三角形中未知角的度数。同时鼓励学生注意倾听他人的意见，把别人的思路同自己的想法联系起来。 四、拓展延伸环节，让学生勇于研究数学。在这次课堂教学中，拓展延伸部分解决了两个问题，让学生研究、交流，得出“不管是小三角形还是两个小三角形拼成的一个大三角形，三角形的内角和都是180°”；讨论“四边形、五边形、六边形的内角和是多少度为什么”这些题对发展学生的思维能
《平行线与三角形》中午小测 班级：姓名：座号：总分： 1．如图1，AB∥CD，直线l分别与AB、CD相交，若∠1＝130°，则∠2＝( ) A．40°B．50°C．130°D．140° 2、如图2，已知AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E等于( ) A. 60° B. 25° C. 35° D. 45° 3、图3把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED′等于( ) A．70°B．65°C．50°D．25° 4、图4△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于( ) A．100°B．120°C．130°D．150 (图1）（图2）（图3）（图4） 5、如图5知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( ） A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 6、已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为( ） A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50° 7、如图6边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为( ) A．2 3B．3 3 C. 4 3 D. 6 3 8、一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为( ) A．7 B．9 C．12 D．9或12 9、如图7在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合， 折痕为DE，则△ABE的周长为___________ （图5）（图6）（图7）（图8） 10、如图8，△AB C的两条高CD、BE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等腰三角形；
相交线与平行线经典题型汇总 班级: 姓名: 1. 如图，∠B=∠C ，AB ∥EF 求证：∠BGF=∠C 2.如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。求∠AGD 《 3.已知：如图ＡＢ∥ＣＤ，ＥＦ交ＡB 于G ，交CD 于F ，FH 平分∠EFD ，交AB 于H ，∠AGE=500 ，求：∠BHF 的度数。 4.已知：如图∠1=∠2，∠C=∠D ，那么∠A=∠F 吗试说明理由 & H G F E D C B A H G 2 1 F E D C B A G F E C B A
5. 已 知 ： 如 图 ， AB E F AB CD 1D ∠=∠2∠C ∠EC AF ⊥O //AB CD //AC BD //AB CD E ∠=∠1 F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥ . 8．如图13，AEB NFP ∠=∠，M C ∠=∠，判断A ∠与P ∠的大小关系，并说明理由. ^ 9．如图14，AD 是CAB ∠的角平分线，//DE AB ，//DF AC ，EF 交AD 于点O ． 请问：（1）DO 是EDF ∠的角平分线吗如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． （2）若将结论与AD 是CAB ∠的角平分线、//DE AB 、//DF AC 中的任一条件 交换，?所得命题正确吗 F E M P A C N 1 2 3 O B C D E
A D B C E F 1 2 3 · 4 ' 10.如图，AD 是∠EAC 的平分线，AD ∥BC ，∠B = 30°， 你能算出∠EAD 、∠DAC 、∠C 的度数吗 11. 如图, ∠1=∠2 , ∠3=1050， 求 ∠4的度数。 【 12．如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2，∠BAC = 70°。将求∠AGD 的过程填写完整。 因为EF ∥AD ，所以 ∠2 = 。 又因为 ∠1 = ∠2，所以 ∠1 = ∠3。 所以AB ∥ 。 所以∠BAC + = 180°。 又因为∠BAC = 70°， 所以∠AGD = 。 · 13．已知，如图，BCE 、AFE 是直线，AB ∥CD ，∠1=∠2，∠3=∠4。 AD 与BE 平行吗为什么。 ' d c 3 1 a b 2 4
三角形内角和定理的应用 张水华 三角形内角和定理及其推论表明了三角形的内角之间、内角与外角之间的关系。这些关系对于解答有关三角形角的问题有着很重要的作用。下面举例说明它在解题中的若干应用。 1. 求三角形中角的度数 例1 已知△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：3：4，求各内角的度数。 分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的。我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决。设参数是个好方法。 解：设∠A 、∠B 、∠C 的大小分别为2x °、3x °、4x °. 根据三角形内角和定理，得180x 4x 3x 2=++ 解得x=20 ∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°。 例2 如图1，在△ABC 中，∠A=50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，求∠BOC 的度数。 图1 分析：在△BCO 中，若知道∠1与∠2的度数和，可求出∠BOC 的度数。在△ABC 中，已知∠A 的度数，可求出∠ABC 和∠ACB 的度数和，进而可求出∠1与∠2的度数和。 解：如图1，由三角形内角和定理，得 ∠ABC ＋∠ACB=180°－∠A=130° 又由题设知∠1= 21∠ABC ，∠2=21∠ACB ∴∠1＋∠2= 21∠ABC ＋21∠ACB = 21（∠ABC ＋∠ACB ） =2 1×130° =65° ∴∠BOC=180°－（∠1＋∠2）=180°－65°=115°。 2. 求特殊图形中某些角的度数之和
例3 如图2，求五角星的五个顶角的度数之和。 图2 分析：观察图2可发现，∠2=∠B ＋∠D ，∠1=∠E ＋∠C ，这样将五个角的度数集中到一个三角形中。 解：由三角形内角和定理的推论，得 ∠B ＋∠D=∠2，∠C ＋∠E=∠1 ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E =∠A ＋∠2＋∠1=180° 3. 确定角与角之间的关系 例4 如图3，AD 、BE 、CF 为△ABC 的三条角平分线，它们交于O 点，则∠DOC 与∠ABE 的关系是（ ） A. 相等 B. 互余 C. 互补 D. 无法判断 图3 分析：观察图3，∠1＋∠2＋∠ABE 是△ABC 内角和的一半，即90°。又∠DOC 是△OAC 的一个外角，所以∠DOC=∠1＋∠2，那么∠DOC ＋∠ABE=90°。 解：∵∠DOC=∠1＋∠2= 21∠BAC ＋21∠BCA =2 1（180°－∠ABC ） =90°－ 21∠ABC =90°－∠ABE ∴∠DOC ＋∠ABE=90°，即两角互余，故应选B 。
七年级数学平行线经典证明题
经典平行线经典证明题 一、选择题： 1.如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A ． 5个 B ．4个 C ． 3个 D ． 2 个 α 2.如图，AB ∥CD ，直线MN 与AB 、CD 分别交于点E 和点F ，GE ⊥MN ，∠1=130°，则∠2等于 ( ) A ．50° B ．40° C ．30° D ．65° 3.如图，DE ∥AB ，∠CAE=3 1∠CAB ，∠CDE=75°，∠B=65°则∠AEB 是 ( ) A ．70° B ．65° C ．60° D ．55° 4.如图，如果AB ∥CD ，则α∠、β∠、γ∠之间的关系是 （ ） A 、0180=∠+∠+∠γβα B 、0180=∠+∠-∠γβα C 、0180=∠-∠+∠γβα D 、0 270=∠+∠+∠γβα 5.如图所示,AB ∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( ) A.180° B.360° C.540° D.720°
6.如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（） A、∠1＋∠2＋∠3＝180° B、∠1＋∠2－∠3＝90° C、∠1－∠2＋∠3＝90° D、∠2＋∠3－∠1＝180° 7.如图，AB∥DE，那么∠BCD于（） A、∠2－∠1 B、∠1＋∠2 C、180°＋∠1－∠2 D、180°＋∠2－2∠1 二、填空题： 8.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 45° α 30° 9.求图中未知角的度数，X=_______，y=_______. 10.如图，AB∥CD，AF平分∠CAB，CF平分∠ACD．(1)∠B+∠E+∠D=________；(2)∠AFC=________.
三角形内角和 典题探究 一个 1、三角形的两个内角和是850，你知道这是一个什么三角形吗？ 2、在一个三角形中，已知∠1是∠2的2倍，∠2是∠3的31。这个三角形各个角是多少度？这是一个什么三角形？ 3、同学们知道三角形的内角和是1800，你能运用这个知识分别求出四边形、五边形、六边 形的内角和吗？ 4、如图，两个三角形都是等腰三角形，∠3是多少度？ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1．由三条( )围成的图形叫三角形。 2．三角形按角可分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。 3．三角形的内角和是( )。 4．等腰直角三角形中三个内角分别是( )，( )和( )。 5、判 断，(对的画“√”，错的画“X ”) (1)．一个三角形有一个锐角，那么，这个三角形就一定是锐角三角形。( ) (2)．直角三角形中只能有一个角是直角。( ) (3)．等边三角形一定是锐角三角形。( ) (4)．三角形共有一条高。( ) (5)．一个三角形中，最大的角是锐角，那么，这个三角形一定是锐角三角形。( ) (6)．两个底角都是280的三角形，一定是钝角三角形。( ) 6、选 择。 (1)．一个等腰三角形，其中一个底角是750，顶角是( ) A ．750 B ．450 C ．300 D ．600 (2)．任意一个三角形都有( )高。 A ．一条 B ．两条 C 三条 D ．无数条
(3)．( )个角是锐角的三角形，叫锐角三角形。 A．三 B．二 C．— (4)．三角形越大，内角和( ) A．越大 B．不变 C．越小 7、求下面三角形中／3的度数，并指出是什么三角形。 1．∠1＝300，∠2＝1080，∠3＝ ( )，它是( )三角形。 2．∠1＝900，∠2＝450，∠3＝( )，它是( )三角形。 3．∠1＝700，∠2＝700，∠3＝( )。它是( )三角形。 4．∠1＝900，∠2＝300，∠3＝( )，它是( )三角形。 8、一个三角形的两个内角和是1100，你知道这是一个什么三角形吗？ 9、在△ABC中，已知∠A是∠B的3倍，且∠A比∠B大600，这个三角形各个角是多少度？你知道这是一个什么三角形？ 10、一个等腰三角形的顶角是一个底角的2倍，这个三角形各个角是多少度？ B档（提升精练） 1、任意三角形的内角和是度；一个直角三角形的两个锐角的和是度。 2、正三角形的每一个内角是度。 3、一个三角形的两个角分别是30度和40度，那么这个三角形是 三角形。 4、判断题。 （1）、由三条线段一定可以组成三角形。（） （2）、最少要用3（） （3）、三角形两个内角和是115度，另一个角一定是75度。（） （4）、等腰三角形一定是锐角的三角形。（） （5）、等腰三角形可以是直角三角形。（） （6）、有一个锐角的三角形是锐角的三角形。（） （7）、有一个钝角的三角形是钝角三角形。（） 5、选择题。 5、等腰三角形的一个底角是70度，那么顶角是（）。 A、110度 B、40度 C、55度 6、所有的等边三角形都是（）。 A、直角三角形 B、钝角三角形 C、锐角三角形 7、平行四边形的内角和是（）。 A、180度 B、270度 C、360度 6、、求出下面图形中的角的度数。