习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222??="
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表：
324
C 35= 32
4
C 35= 322
4
C 35= 11322
4
C C 12C 35=132
4
C 2C 35
= 21322
4
C C 6C 35
= 2324
C 3
C 35
=
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=?????≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
~
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域?
??
?
??≤<≤
<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636
F F F F --+
ππππππ
sin sin sin sin sin0sin sin0sin
434636
2
(31).
4
=--+
=-
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）=
?
?
?>
>
+
-
.
,0
,0
,0
,)4
3(
其他
y
x
A y
x
e
~
求：（1）常数A；
（2）随机变量（X，Y）的分布函数；
（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}.
【解】（1）由-(34)
00
(,)d d e d d1
12
x y
A
f x y x y A x y
+∞+∞+∞+∞
+
-∞-∞
===
????
得A=12
（2）由定义，有
(,)(,)d d
y x
F x y f u v u v
-∞-∞
=??
(34)34
00
12e d d(1e)(1e)0,0,
0,
0,
y x u v
x y
u v y x
-+--
??-->>
?
==
??
?
??
??
其他
(3) {01,02}
P X Y
≤<≤<
12
(34)38
00
{01,02}
12e d d(1e)(1e)0.9499.
x y
P X Y
x y
-+--
=<≤<≤
==--≈
??
》
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
?
?
?<
<
<
<
-
-
.
,0
,4
2,2
),
6(
其他
y
x
y
x
k
（1）确定常数k；
（2）求P{X＜1，Y＜3}；
（3）求P{X<}；
（4）求P{X+Y≤4}.
【解】（1） 由性质有
2
4
2
(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞
-∞
-∞
=--==??
?
?
故 1
8
R =
（2） 13
{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=
??
<
1
3
0213
(6)d d 88
k x y y x =
--=?? (3) 1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=
??
??如图
1.5
4
2127d (6)d .832
x x y y =
--=?
?
(4) 2
4
{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=??
??如图b
2
40
2
12d (6)d .83
x
x x y y -=
--=?
?
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=???>-.,
0,
0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. .
题6图
【解】（1） 因X 在（0，）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
1
,00.2,
()0.2
0,
.X x f x ?<
而
55e ,0,
()0,
.y Y y f y -?>=?
?其他 所以
(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立
5515e
25e ,00.20,0.20,0,y
y x y --???<<>?==??
???
且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y x
D
P Y X f x y x y x y -≤≤=
??
??如图
}
0.2
0.2
-550
-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.
x
y x x y x
-==-+≈???
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=?
??>>----.,0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度.
【解】(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+?>>?==?
???其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤???
其他
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
x
204.8(2)d 2.4(2),01,
=0,.0,
y x y x x x ??--≤≤?=??
????其他 !
()(,)d Y f y f x y x +∞-∞
=?
12y 4.8(2)d 2.4(34),01,
=0,.0,
y x x y y y y ?-?-+≤≤?
=??????其他
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=???<<-.,
0,
0,其他e y x y
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
e d e ,0,
=0,.0,
y x x y x +∞
--??>?=??
????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞
-∞
=?
（
0e d e ,0,
=0,.0,
y
y x x y y --??>?=??
????其他
题10图
10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=???≤≤.,
0,
1,22其他y x y cx
（1） 试确定常数c ；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
(,)d d (,)d d D
f x y x y f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
??
??如图
21
1
2-1
4
=
d d 1.21
x
x cx y y c =
=?
? 得
214
c =
. :
(2) ()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
2124
22121(1),
11,
d 84
0,0,
.x x x x x y y ??--≤≤??==???????其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞
=?
52
2217d ,01,
4
20,0,
.y y x y x y y -??≤≤??==???????其他 11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=??
?<<<.
,
0,
10,,1其他x x y
求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.
题11图
【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
?
]
1d 2,01,
0,
.x
x y x x -?=<
11
1d 1,10,
()(,)d 1d 1,01,0,
.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞
-∞
?=+-<
???
??
?其他
所以
|1
,||1,
(,)(|)2()0,
.Y X X y x f x y f y x x
f x ?<
?其他
|1
, 1,1(,)1
(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y
?<
?=
=-<
其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大
的号码为Y .
（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表 \
3 4 5
{}i P X x =
1 3
511C 10
= 3
522C 10
= ~
35
33C 10=
6
10
2
35
11C 10= 35
22
C 10= 3
10 3 0
,
2
511C 10
= 110
{}i P Y y =
110 310 610
(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010
P X P Y P X Y ===?=≠=== 故X 与Y 不独立 !
2 5 8
:
（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表
2
5
8
P {Y=y i }
Y
X
X
Y
X
Y
"
…
{}
i
P X x
=
(2) 因{2}{0.4}0.20.8
P X P Y
===?0.160.15(2,0.4),
P X Y
=≠===
故X与Y不独立.
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为
f Y（y）=
??
?
?
?
>
-
.
,0
,0
,
2
12/
其他
y
y
e
（1）求X和Y的联合概率密度；
.
（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.
【解】（1）因
1,01,
()
0,
X
x
f x
<<
?
==?
?其他;
2
1
e,1,
()2
0,
y
Y
y
f y
-
?
>
?
==?
?
?其他.
故
/2
1
e01,0,
(,),()()2
0,.
y
X Y
x y
f x y X Y f x f y
-
?
<<>
?
=?
??
独立
其他
题14图
(2) 方程220
a Xa Y
++=有实根的条件是
2
(2)40
X Y
?=-≥
故X2≥Y，
从而方程有实根的概率为：
2
2
{}(,)d d
x y
P X Y f x y x y
≥
≥=??
[
2
1
/2001d e d 2
12[(1)(0)]0.1445.
x y
x y
π-==-Φ-Φ=??
15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从
同一分布，其概率密度为
f （x ）=?????>.,
0,1000,10002其他x x
求Z =X /Y 的概率密度.
【解】如图,Z 的分布函数(){}{
}Z X
F z P Z z P z Y
=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =
（2） 当0 1000 z ）(如图a) 336 6 102222101010()d d d d yz Z z x y z F z x y y x x y x y +∞≥ = =?? ?? 33610231010=d 2z z y y zy +∞ ??-= ???? ） 题15图 (3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ） 336 6 22 2210101010()d d d d zy Z x y z F z x y y x x y x y +∞≥ = =?? ?? 336231010101 =d 12y y zy z +∞ ??-=- ??? ? 即 11,1,2(),01,2 0, .Z z z z f z z ?-≥???=< 故 21 ,1,21 (),01,2 0, .Z z z f z z ?≥???=< 其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只， 求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202）， 从而 123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立 ' 34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-< 4 4 144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063. P X ?-? ??=-<=-Φ ?????? ?=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为 P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为 P {Z =i }= ∑=-i k k i q k p 0 )()(，i =0，1，2，…. 【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数， 所以 … {}{}Z i X Y i ==+= {0,}{1,1} {,0}X Y i X Y i X i Y =====-== 于是 0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0 {}{}i k P X k P Y i k ===-∑ ()()i k p k q i k == -∑ 18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参 数为2n ，p 的二项分布. 【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n . {}{,}k i P X Y k P X i Y k i =+====-∑ 00202(){} 2k i k i n i k i n k i i k k n k i k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-????= ? ?-???? ????= ???-???? ??= ??? ∑∑∑ 方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则 … X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′, 所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布. (1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； ` （4） 求W =X +Y 的分布律. 【解】（1）{2,2} {2|2}{2} P X Y P X Y P Y ===== = 5 {2,2} 0.051 ,0.252 {,2} i P X Y P X i Y ==== = ===∑ {3,0} {3|0}{0}P Y X P Y X P X ===== = 3 {0,3} 0.011 ;0.033 {0,} j P X Y P X Y j ==== = ===∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 10 {,}{,},i i k k P X i Y k P X k Y i -=== ==+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i = (3) {}{min(,)}P U i P X Y i === 3 5 1 {,}{,} {,}{,} k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i = =+==≥+>====+ ==∑∑ 0,1,2,3,i = 20.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }； （2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}. < 题20图 【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为 22221,, (,)π0, .x y R f x y R ?+≤?=???其他 （1）{0,} {0|}{} P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>= > 0(,)d (,)d y y x y x f x y f x y σσ >>>= ???? π 2π/405π42π/401 d d π1 d d πR R r r R r r R θθ=?? ?? 3/83 ;1/24 == (2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤ 00 131{0,0}1(,)d 1.44 x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=- =?? : 21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少 题21图 【解】区域D 的面积为 2 2e e 01 1 1 d ln 2.S x x x = ==? （X ,Y ）的联合密度函数为 2 11,1e ,0,(,)20,. x y f x y x ?≤≤<≤? =???其他 （X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为 1/20 1 1d ,1e ,()220, .x X y x f x x ?=≤≤?=????其他 所以1 (2).4 X f = 22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和 【解】因2 1 {}{,}j j i j i P Y y P P X x Y y ==== ==∑, 故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111 {,}.6824 P X x Y y === -= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====, 从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =? ==== 即：1111 {}/.2464 P X x === — 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 即 1,3111{},4248 P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223 {,}8 P X x Y y === 又 3 1 {}1j j P Y y ===∑,故3 111 {}1623P Y y ==--=. 同理23 {}.4 P X x == 从而 23313111 {,}{}{,}.3124 P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-= 故 - 23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率 为p （0 【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2, m m n m n P Y m X n p p m n n -===-≤≤=. (2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ====== e C (1) ,,0,1,2,.! m m n m n n p p n m n n n λλ--=-≤≤= ！ 24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~??? ? ??7.03.021 ，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ). 【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为 (){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤= 0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-= 由于X 和Y 独立，可见 ()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤- 0.3(1)0.7(2).F u F u =-+- 由此，得U 的概率密度为 ()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+- 0.3(1)0.7(2).f u f u =-+- < 25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}. 解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有 1, 03,()3 0, 0,3;x f x x x ?≤≤?=??<>? 1, 03, ()30, 0, 3. y f y y y ?≤≤?=??<>? 因为X ，Y 相互独立，所以 1 , 03,03, (,)9 0, 0,0,3, 3. x y f x y x y x y ?≤≤≤≤?=??<<>>? 推得 1{max{,}1}9 P X Y ≤= . 26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为 1 0 1 1 0 1 a 0 b 0 0.1 c 其中a ,（1） a ,b ,c 的值； （2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }. 解 (1) 由概率分布的性质知， a+b+c +=1 即 a+b+c = . 由()0.2E X =-，可得 0.1a c -+=-. X Y 再由 {0,0}0.1 {00}0.5{0}0.5 P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤= ==≤++, 得 0.3a b +=. 解以上关于a ，b ，c 的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为2，1，0，1，2， {2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=， {1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=， {0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=， {1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===， {2}{1,1}0.1P Z P X Y =====， 即Z 的概率分布为 Z 2 1 0 1 2 P (3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=. ; 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有 《概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或× 1．是取自总体的样本，则服从分布； 2．设随机向量的联合分布函数为，其边缘分布函数是； 3．设，，，则表示； 4．若事件与互斥，则与一定相互独立； 5．对于任意两个事件，必有； 6．设表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．为两个事件，则； 8．已知随机变量与相互独立，，则； 9．设总体， ,,是来自于总体的样本，则是的无偏估计量； 10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。 二、填空题 1．设是3个随机事件，则事件“和都发生而不发生”用表示为；2．设随机变量服从二项分布，则； 3．是分布的密度函数； 4．若事件相互独立，且，，，则= ； 5．设随机变量的概率分布为 -4-1024 则； 6．设随机变量的概率分布为 012 0.50.30.2 则的概率分布为 7．若随机变量与相互独立，，则； 8．设与是未知参数的两个估计，且对任意的满足，则称比有效；9．设是从正态总体抽得的简单随机样本，已知，现检验假设，则当时，服从； 10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平（），则犯第一类错误的概率是。 三、计算题 1.已知随机事件的概率，事件的概率，条件概率，试求事件的概率。 2.设随机变量，且，试求，。 3.已知连续型随机变量，试求它的密度函数。 4.已知一元线性回归直线方程为，且，，试求。 5.设总体的概率密度为 式中>－1是未知参数，是来自总体的一个容量为的简单随机样本，用最大似然估计法求的估计量。 6.设是取自正态总体的一个样本，其中未知。已知估计量是的无偏估计量，试求常数。 7.设有10个零件，其中2个是次品，任取2个，试求至少有1个是正品的概率。 四、证明题 1.设二维连续型随机向量的联合密度函数为 证明:与相互独立。 2. 1．若事件与相互独立，则与也相互独立。 2．若事件，则。 习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 概率论计算： 1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1) 45 2897108)1|2()1()21(=?==A A P A P A A P (2) 45 191102)1|2()1()2,1(=?= =A A P A P A A P (3) 45 169810292108)1|2()1()1|2()1() 21()21(=???=+=+A A P A P A A P A P A A P A A P (4) 5 19110292108)1|2()1()1|2()1() 2(=???=+=A A P A P A A P A P A P 2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？ 解：设Bi （I=1,2,3）表示任取一只是第I 厂产品的事件，A 表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式 0125 .003.005.001.080.002.05.0)3|()3()2|() 2()1|()1()(=?+?+?=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P （2）由贝叶斯公式 24 .00125.002.015.0) () 1|()1()|1(=?== A P B A P B P A B P 3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）12110 25== C C P ; （2） 1 10 24 ==C C P 4．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2……6，由等可能概型 5336 1224== C C C P 5．设随机变量X 具有概率密度???? ?≤>-=0, 00 , 3)(x x x ke x f 。（1）确定常数k ；（2）求P （X>0.1） 解：（1）由1)(=∞ -+∞ ?dx x f 有33 3303301==-+∞ =-+∞-??k k x d x e k dx x ke 所以（2） 7408 .0331 .0)1.0(=-+∞=>? dx x e x P 6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t ，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？ 解：由题意，以X 表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1） 0729.039.021.025 )2(===C X P （2） 9995 .051.0559.041.045[1)]5()4([1) 3(1)3()2()1()0()3(=+-==+=-=>-==+=+=+==≤C C X P X P X P X P X P X P X P X P <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,01 0,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2 +ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 《概率论与数理统计》 同步练习册 学号＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿ 专业＿＿＿＿＿＿＿＿ 班级＿＿＿＿＿＿＿＿ 省电子技术学校继续教育部二O一O年四月 练习一 一、选择题 1．设A，B，C表示三个随机事件，则A B C表示 （A）A，B，C中至少有一个发生；（B）A，B，C都同时发生；（C）A，B，C中至少有两个发生；（D）A，B，C都不发生。2．已知事件A，B相互独立，且P(A)=0.5，P(B)=0.8，则P（A B）＝ (A) 0.65 ; (B) 1.3; (C)0.9; (D)0.3。3．设X～B（n，p），则有 （A）E（2X－1）＝2np；（B）E（2X＋1）＝4np＋1；（C）D（2X＋1）＝4np（1－p）＋1；（D）D（2X－1）＝4np（1－p）。4．X的概率函数表（分布律）是 xi －1 0 1 pi 1/ 4 a 5/12 则a＝（） （A）1/3；（B）0；（C）5/12；（D）1/4。5．常见随机变量的分布中，数学期望和差一定相等的分布是 （A）二项分布；（B）标准正态分布；（C）指数分布；（D）泊松分布。 二、填空题 6．已知:A={x|x<3} ,B={x|2 7． 已知电路由电池A 与两个并联电池B 和C 串联而成，各电池工作与否相互独立。设电池A ，B ，C 损坏的概率均为0.2。则整个电路断电的概率是______________________. 三、证明题 8. 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ，即),()(x p x p -=证明：对任意的,0>a 有（1）-= -=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(； （2）P （1 )(2)-=ξ。 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?， （,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???， （,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0 概率论与数理统计 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2) (1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 习 题 三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>． ２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１） 确定常数k ． （２）求3}Y 1,P{X <<． （３）求 1.5}P{X <． （４）求4}Y P{X ≤+． ３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度． ４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律． ５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度． ６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度. 7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求 （１） 两周的需求量的概率密度． （２） 三周的需求量的概率密度． 一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时， 06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对a c b <<以及任意的正数0e >， 必有概率{}P c x c e <<+ ＝?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝ ，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中的最大号码。则X 的数学期望=)(X E 4.5 。 9、设随机变量(,)X Y 的分布律为 则条件概率 ===}2|3{Y X P 2/5 . 10、设121,,X X Λ来自正态总体)1 ,0(N , 2 129285241?? ? ??+??? ??+??? ??=∑∑∑===i i i i i i X X X Y ,当常数 k = 1/4 时，kY 服从2χ分布。 二、计算题（每小题10分，共70分） 1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求： （1）没有一台机器要看管的概率 （2）至少有一台机器不要看管的概率 （3）至多一台机器要看管的概率 解：以A j 表示“第j 台机器需要人看管”，j =1，2，3，则: ABC ABC ABC U U A . P(A B) =P(A) B . P AB 二 P A 概率论与数理统计习题 、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中) 1. 设 X~N(1.5,4)，且：?：」(1.25) =0.8944，.:」(1.75) = 0.9599，贝U P{-2概率论与数理统计第三章课后习题答案
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