第1章：圆的基本性质（1）
G E D A C F O B 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名： _________ 一、选择题 1、如图，正六边形ABCDEF 的边长的上a ，分别以C 、F 为圆心，a 为半径画弧，则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ）261a π （B ）231a π （C ）232a π （D ）23 4 a π 2、如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿? OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ） 3、如图所示，长方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交 AB 于E 点。取BC 的中点为F ，过F 作一直线与AB 平行，且交 D E 于G 点。求AGF =（ ） (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是( ) A B C D 5、已知锐角△ABC 的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（ ） P A O B s t O s O t O s t O s t A ． B ． C ． D ．
（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 6、（2013年温州中考题）在△ABC 中，∠C 为锐角，分别以AB ，AC 为直径作半圆，过点B ，A ，C 作 ，如图所示，若AB=4，AC=2，4 21π = -S S ，则4 3S S -的值是（ ） A. 429π B. 423π C. 4 11π D. 45π 7、如上图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=2，O 、H 分别为边AB 、AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A 1B 1C 1的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．77 π338 - B ．47 π338+ C ．π D ．4 π33 + 8 7 9 10 二、填空题 8、如图所示，扇形AOB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是 9、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π） 10、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B ，A ，C′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为 11、如图，圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则ABM S △∶AFM S △＝_________． 12、若线段AB=6，则经过A 、B 两点的圆的半径r 的取值范围是 13、如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4）、N （0，-10），函数y= k x （x<0）的图象过
精品 《圆的基本性质》单元复习题 (2014.10.26) 姓名： _________ 一、选择题 1、如图，正六边形 ABCDEF 的边长的上 a ，分别以 C 、F 为圆心， a 为半径画弧， 则图中阴影部分的面积是 （ ） （A ） 1 2 1 2 （ ） 2 2 （ D ） 4 2 6 a （B ） a C a a 3 3 3 2、如图， AB 是半圆 O 的直径，点 P 从点 O 出发，沿 OA ? BO 的路径运动一周．设 OP 为 s ， AB 运动时间为 t ，则下列图形能大致地刻画 s 与 t 之间关系的是（ ） P s s s s A B O t O O t O t O A ． B ． t C ． D ． 3、如图所示，长方形 ABCD 中，以 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交 AB 于 E 点。取 BC 的中点为 F ，过 F 作一直线与 AB 平行，且交 DE 于 G 点。求 AGF= （ ） (A) 110 (B) 120 (C) 135 (D) 150 4、如图， C 为⊙ O 直径 AB 上一动点，过点 C 的直线交⊙ O 于 D 、E 两点，且∠ACD=45 °，DF ⊥AB 于点 F,EG ⊥AB 于点 G,当点 C 在 AB 上运动时，设 AF= x ，DE= y ，下列中图象中，能表示 y 与 x 的 函数关系式的图象大致是 ( ) D A O G B F C E A B C D 5、已知锐角△ ABC 的顶点 A 到垂心 H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠ A 的度数是 （ ）
第六单元 圆 第二十四课时 圆的基本性质 基础达标训练 1. (xx 兰州)如图，在⊙O 中，AB ︵＝BC ︵ ，点D 在⊙O 上，∠CDB ＝25°，则∠AOB ＝( ) A. 45° B. 50° C. 55° D. 60° 第1题图 第2题图 2. (xx 长郡教育集团二模)如图，A 、D 是⊙O 上的两个点，BC 是直径．若∠D ＝32°，则 ∠OAC ＝( ) A. 64° B. 55° C. 72° D. 58° 3. (xx 泸州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AB ＝8，AE ＝1，则弦CD 的 长是( ) A. 7 B. 27 C. 6 D. 8 第3题图 第4题图 4. (xx 周南中学一模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB ＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为( ) A. 3 B. 3 C. 2 3 D. 4 5. (xx 宜昌)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 平分∠BAD ，则下列结论正确的是( ) A. AB ＝AD B. BC ＝CD C. AB ︵＝AD ︵ D. ∠BCA ＝∠DCA
第5题图第6题图 6. (xx广州)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥C D，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是( ) A. AD＝2OB B. CE＝EO C. ∠OCE＝40° D. ∠BOC＝2∠BAD 7. (xx广安)如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cos∠CDB＝4 5 ，BD＝5， 则OH的长度为( ) A. 2 3 B. 5 6 C. 1 D. 7 6 第7题图第8题图 8. (xx金华)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为( ) A. 10 cm B. 16 cm C. 24 cm D. 26 cm 9. (xx重庆B卷)如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB，BC. 若∠ABC ＝40°，则∠AOC＝________度．
中考数学复习知识点专题训练 第六章 圆 第一节 圆的基本性质 姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟 1．(2019·柳州)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( ) A ．∠B B ．∠C C ．∠DEB D ．∠D 2．(2020·原创)如图，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵ ，∠AOB＝40°，则∠COD 的度数为( ) A ．20° B ．40° C ．50° D ．60° 3．(2020·原创)如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC 的度数等于( ) A ．50° B ．49° C ．48° D ．47° 4．(2019·吉林)如图，在⊙O 中，AB ︵所对的圆周角∠ACB＝50°，若P 为AB ︵ 上一点，
∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( ) A．30° B．45° C．55° D．60° 5．(2019·赤峰)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 6．(2020·原创)如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为( ) A．25° B．50° C．60° D．80° 7．(2019·广元)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为( ) A. 2 5 B．4 C．213 D．4.8 8．(2019·安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优
第一讲 圆的基本性质 一、知识点 圆的有关概念：特别注意：长度相等的弧是等弧吗? 圆的基本性质有： 1、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理 ? 如果弦长为2r ，圆的半径为R,那么弦心距为d . R 2 r 2. 2、垂径定理 ____________________________________ 及其推论. 此定理及推论，在证题中很重要，其内容不容易记忆，可这样理解：如果一条直线具备下 列条件中的2条，就具备其他3条。（1）经过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧。 3. 圆周角定理及其推论。 其中以下列两个结论应用最为广泛：（1）直径所对的圆周角是直角；（2）同弧所对的圆 周角相等。 二、基础训练 1. 下列结论正确的是（） A .弦是直径 B.弧是半圆 C .半圆是弧 D.过圆心的线段是直径 2、 .给出下列命题（I ）垂直于弦的直线平分弦；（2 ）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧；（3 ）平分弦的直线必过圆心（4 ）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。 其 中正确的命题有（） 3、下列命题中，真命题是（） B.2 C.3 D.4 AB 是O O 的直径，CD 是弦.若AB = 10cm, CD = 8cm 那么A , B 两 CD 的距离之和为（） A. 12cm B. 10cm C.8cm D.6cm B. 2个 C. 3个 D. 4个 4、 A .相等的圆心角所对的弧相等 C.度数相等的弧是等弧 下列命题中，真命题的个数为 ①顶点在圆周上的角是圆周角； ③90°的圆周角所对的弦是直径; B.相等的弦所对的弧相等 D .在同心圆中，同一圆心角所对的两条弧的度数相等 ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半; ④直径所对的角是直角； ⑤圆周角相等，贝U 它们所对的弧也相等；⑥同弧或等弧所对的圆周角相等. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5、直角二角形两直角边长分别为 .3和I ，那么它的外接圆的直径是（ A.1 &如图, 点到直线
圆的基本性质 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ． 1个 A2如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论①AB ⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C ，⑤ ,正确结论的个数是（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 A3．如图，点B 、C 在⊙O 上，且BO=BC ，则圆周角BAC ∠等于（ ） A ．60? B ．50? C ．40? D ．30? A4．如图，⊙O 的直径CD ⊥AB ，∠AOC =50°，则∠B 大小为 ( ) A ．25° B ．35° C ．45° D ．65° A5. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A ．2.5 B ．5 C ．10 D ．15 A6、如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2， 120=∠AOB ，则弦AB 的长是 （ ） （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）23 B7．如图２，△ABC 内接于⊙O ，若∠OA Ｂ＝２８°，则∠C 的大小是（ ） A ．６２° B ．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，且∠APB=50°若点M 是⊙O 上的动 点，要使△ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （第2题图） （第3题图） （第4题图）
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知平行四边形OABC 的三个顶点A 、B 、C 在以O 为圆心的半圆上，过点C 作CD ⊥AB ，分别交AB 、AO 的延长线于点D 、E ，AE 交半圆O 于点F ，连接CF ． （1）判断直线DE 与半圆O 的位置关系，并说明理由； （2）若半圆O 的半径为6，求AC 的长． 【答案】（1）直线CE 与半圆O 相切（2）4π 【解析】 试题分析：（1）结论：DE 是⊙O 的切线．首先证明△ABO ，△BCO 都是等边三角形，再证明四边形BDCG 是矩形，即可解决问题； （2）只要证明△OCF 是等边三角形即可解决问题，求AC 即可解决问题． 试题解析：（1）直线CE 与半圆O 相切，理由如下： ∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB ∥OC. ∵∠D=90°，∴∠OCE=∠D=90°，即OC ⊥DE ， ∴直线CE 与半圆O 相切． （2）由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF ， ∴△OCF 是等边三角形， ∴∠AOC=120° ∴AC 的长为 1206 180 π??=4π. 2．如图1 O ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O 于点D ． ()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长； ()2如图3，当DC AC =时，延长AB 至点E ，使12 BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O 的切线； ②求PC 的长．
【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②． 【解析】 分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出 OBD 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==，求出答案即 可； ②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ， //OP PD PD AB ⊥，， 90POB ∴∠=， O 的直径12AB =， 6OB OD ∴==， 在Rt POB 中，30ABC ∠=， 3 tan30623OP OB ∴=?=? =， 在Rt POD 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=； ()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ， DC AC =，
2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优测试卷解析版 一、选择题（共10题；共30分） 1.已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（） A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆外 D. 不能确定 2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（） A. B. C. D. 3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（） A. 8cm B. 10cm C. 16cm D. 20cm 4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（） A. 40° B. 140° C. 160° D. 170° 5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° 6.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。若∠D=80°，则∠EAC的度数是( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（） A. 4 5B. 3 4 C. 2 3 D. 1 2 8.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（） A. 2π+2 B. 3π C. 5π 2D. 5π 2 +2 9.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=√2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（） A. π?1 B. π 2?1 C. π?1 2 D. π 2 ?1 2 10.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣1 2 x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x =上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x =于点M，BC边交x轴于点N（如图）. （1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数； （3）设MBN ?的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论. 【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析 【解析】 试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积； （2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数； （3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子． 试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°， ∴OA旋转了45°． ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为 2 452 3602ππ ? =． （2）∵MN∥AC， ∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°． ∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN． 又∵BA=BC，∴AM=CN． 又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN． ∴∠AOM=∠CON=1 2（∠AOC-∠MON）= 1 2 （90°-45°）=22.5°． ∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化． 证明：延长BA交y轴于E点， 则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM， ∴∠AOE=∠CON． 又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22) 第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆内等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98) 第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130) 每天进步一点点！ 坚持就是胜利！
第1讲 二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏析 【例１】 （荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ ） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C 、D 含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（ ） A. A ．①,② B ．③,④ C ．①,③ D ．①,④ 【例２】(黔东南)方程480x -=，当y ＞0时，m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ≤2 【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x －8＝0，x －y －m ＝0.化为y ＝2－m ，则2－m ＞0，故选C. 【变式题组】 2．（宁波）若实数x 、y 2 (0y =，则xy 的值是__________. 3．2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－ 1 B ．1 C ．2 D ．3 4．（鄂州）使代数式4 x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3 B ．x ≥3 C ．x ＞4 D ．x ≥3且x ≠4 5.（怀化）2 2(4)0a c --=，则a －b －c ＝________. 【例３是同类二次根式的是（ ） A B C D 【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一
圆的基本性质培优（三） 一、经典例题 例1．如图所示，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为 ． 例2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长． 变式：如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ， 垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ． 例3．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E ． （1）若OC =5，AB =8，求tan ∠BAC ； （2）若∠DAC =∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明． N M O C B A
例4. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC； （2）证明：BF＝FD. 例5. 已知射线OF交⊙O于B，半径OA⊥OB，P是射线OF上的一个动点(不与O、B重合)，直线AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线交射线OF 于E. (1)如图所示是点P在圆内移动时符合已知条件的图形，请你在图中画出点P在圆外移动时符合已知条件的图形. (2)观察图形，点P在移动过程中，△DPE的边、角或形状存在某些规律，请你通过观察、测量、比较写出一条与△DPE的边、角或形状有关的规律. (3)点P在移动过程中，设∠DEP的度数为x，∠OAP的度数为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
浙江省文澜中学数学圆几何综合（培优篇）（Word版含解析） 一S初三数学圆易错题压轴题（难） 1.如图，二次函数y=×2-2mx+8m的图象与X轴交于A、B两点（点A在点B的左边且0A≠0B）,交y轴于点C,且经过点（m , 9m ） , OE过A、B、C三点。 （1）求这条抛物线的解析式： （2）求点E的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P不与B、C重合）作PQ丄X轴于点Q,是否存在这样的点P 使APBQ和ABOC相似？如果存在，求出点P的坐标：如果不存在，说明理由 【答案】（1） y二x'+2χ-8 （2）（-1, -- ）（3）（-8, 40）i（, ）r（- 2 4 16 4 —） 16 【解析】 分析：（1 ）把（加,9加）代入解析式，得：一2加2 +8,π = 9m ,解这个方程可求出m的值：（2）分别令尸0和x=0,求岀OA I OB I OC及处的长，过点E作EG丄X轴于点 G, EF丄y轴于点F涟接CE I陆设OF=GE=a,根据AE = CE ,列方过程求岀a的值，从而求出点F的坐标； （3）设点P（a l o2+2α-8）,则PQ = ?a2+2a-^BQ = ?a-2? t然后分△ PBQS /B O 时和厶PBQrBeo时两种情况，列比例式求岀α的值，从而求岀点P的坐标? 详解：⑴把（加,9加）代入解析式，得：m2 -2nr +Snι = 9m 解得：加1=_1,叫=0 （舍去） .β. y = x2 +2x-8
(2)由(1)可得：y = F+2x-8,当y = 0 时，x1 = -4, X2 = 2 ； T点A在点B的左边/. OA = 4, OB = 2 , .,.AB = OA + OB = 6 , 当X = O 时，y = -8 , ??. OC = S 过点E作EG丄X轴于点G1EF丄y轴于点F,连接CE , AE,则AG = -AB =-×6 = 3 I 2 2 OG = EF = OA-AG = 4-3=? 设OF = GE =则CF = OC-OF=Ia, 在RtMGE中，/f￡2= ∕1G2 + GE2=9÷Λ2> 在R他CEF中， CE l = EF2 +CF2=I + (8-a)? ?.? AE = CE I ??. 9 + /=1+(8-"F , 7 解得：6/ = -, 2 ?? T L^2J ； (3)设点%∕+2α-8), 则PQ = ?a2+2a-^,BQ = ?a-2?, a.当APBQ- ACBO 时， PQ CO/+2α-8 8 —=——,即_______________ = _ , BQ OBμ-2∣ 2 解得：5=0 (舍去)：
第15讲 圆的基本性质 知识纵横 到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意： 1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明 2.了解弧的特性及中介作用 3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化 例题求解 【例1】在半径为1的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2，则BAC 度数为_________ （黑龙江省中考题） 思路点拨 作出辅助线，解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。 【例2】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ ） （江苏省竞赛题） 5A 7B 10C 12D 思路点拨 过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直（为什么），可求得过点 P 点的弦长范围。
【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ⊥于M ，求证CM DC AM += （江苏省竞赛题） 思路点拨 用截长（截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。 【例4】如图，o Θ的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。 （1）求COA ∠和FDM ∠的度数； （2）求证：FDM ?~COM ?； （3）如图，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在弧EB 上，仍作直线CD 、 ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM ?~COM ??证明你的结 论。 （苏州市中考题） 思路点拨 （1）在C O G Rt ?中， 利用OC OA OG 2 1 21==；（2）证明FDM COM ∠=∠，FMD CMO ∠=∠； （3）利用图的启示思考。
百度文库- 让每个人平等地提升自我 圆的基本性质 一、选择题 A1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( ) A．4个B．3个C．2个D．1个 A2 如图，△ABC 内接于⊙ O，D 为线段 AB 的中点，延长OD 交⊙ O 于点 E，连接 AE ，BE ，则下列五个 结论① AB⊥ DE,② AE=BE,③ OD=DE,④∠ AEO=∠ C ，⑤, 正确 结论的个数是（） A 、2 个 B 、3 个 C 、4个 D 、5 个 A3．如图，点B、 C 在⊙O上，且 BO=BC，则圆周角BAC 等于（） A．60 B ． 50 C ． 40 D ． 30 A4．如图，⊙ O 的直径 CD ⊥ AB ，∠ AOC=50 °，则∠ B 大小为 ( ) A ．25°B．35°C． 45°D． 65° （第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图） A5. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为 A ．B． 5 C． 10 D． 15 A6 、如图， AB 是⊙ O 的弦，半径 OA=2 ，AOB 120 ，则弦 AB 的长是（）（A）2 2 （B）2 3 （C ） 5 （D）3 2 B7．如图２，△ ABC内接于⊙ O ，若∠ OA Ｂ＝２８°，则∠ C 的大小是（） A ．６２°B．５６° C ．２８° D ．３２° B8. 如图，点 A、 B、 P 在⊙ O 上，且∠ APB=50 °若点 M 是⊙ O 上的动 点，要使△ ABM 为等腰三角形，则所有符合条件的点M 有 A．1个B．2 个C．3 个D．4 个
圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印． 圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意： 1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化． 熟悉如下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系． 注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来． 圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性． 【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ． 2 5 C ．45 D ．16175 思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过设未知数求解． 【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求 证：AM=DC+CM ． 思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为 线段相等的证 明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它． ⌒ ⌒
【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG= 21OA=2 1 OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考． 注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)． 【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值； (3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝ AE EN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值． 注：本例的解答，需运用相似三角形、等腰三角形的判定、面积方法、代数化等知识方法思想，综合运用直线形相关知识方法思想是解与圆相关问题的关键． 学历训练 1．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD ＝3cm ，则过点D 的所有弦中，最小弦AB= ． 2．阅读下面材料： 对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖． ⌒ ⌒
第十八讲 圆的基本性质 到定点(圆心)等于定长(半径)的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印． 圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一中心对称图形．用圆的基本性质解题应注意： 1．熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圆或等圆中不同名称等量关系的转化． 熟悉如下基本图形、基本结论： 【例题求解】 【例1】在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 度数为 ． 作出辅助线，解直角三角形，注意AB 与AC 有不同的位置关系． 注： 由圆的对称性可引出许多重要定理，垂径定理是其中比较重要的一个，它沟通了线段、角与圆弧的关系，应用的一般方法是构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形知识结 合起来． 圆是一个对称图形，注意圆的对称性，可提高解与圆相关问题周密性． 【例2】 如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为( ) A ．2 B ． 25 C ．45 D ．16 17 5 思路点拨 所作最小圆圆心应在对称轴上，且最小圆应尽可能通过圆形的某些顶点，通过 设未知数求解．
【例3】 如图，已知点A 、B 、C 、D 顺次在⊙O 上，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，求证：AM=DC+CM ． 思路点拨 用截长(截AM)或补短(延长DC)证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关 键是促使不同量的相互转换并突破它． 【例4】 如图甲，⊙O 的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦C E ⊥AB ，在CB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F ，M ． (1)求∠COA 和∠FDM 的度数； (2)求证：△FDM ∽△COM ； (3)如图乙，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在EB 上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有△FDM ∽△COM? 证明你的结论． 思路点拨 (1)在Rt △COG 中，利用OG= 21OA=2 1 OC ；(2)证明∠COM=∠FDM ，∠CMO= ∠FMD ；(3)利用图甲的启示思考． 注：善于促成同圆或等圆中不同名称的相互转化是解决圆的问题的重要技巧，此处，要努力把圆与直线形相合起来，认识到圆可为解与直线形问题提供新的解题思路，而在解与圆相关问题时常用到直线形的知识与方法(主要是指全等与相似)． 【例5】 已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，以C 为圆心，CD 为半径的半圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD ＝4：3． (1)求证：AF ＝DF ； (2)求∠AED 的余弦值； (3)如果BD ＝10，求△ABC 的面积． 思路点拨 (1)证明∠ADE ＝∠DAE ；(2)作AN ⊥BE 于N ，cos ∠AED ＝ AE EN ，设FE=4x ，FD ＝3x ，利用有关知识把相关线段用x 的代数式表示；(3)寻找相似三角形，运用比例线段求出x 的值． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
初三数学圆的综合的专项培优练习题附答案解析 一、圆的综合 1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 在△COF中， ∵∠OFC+∠OCF=90°， ∴∠HBC=∠OFC=∠AFH， 在△AEH和△AFH中，
∵ AFH AEH AHF AHE AH AH ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△AEH≌△AFH（AAS）， ∴EH=FH； （3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°， 作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°， ∵⊙O的半径为4， ∴CG=4， 连AG， ∵∠BCG=90°， ∴CG⊥x轴， ∴CG∥AF， ∵∠BAG=90°， ∴AG⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴AG∥CE， ∴四边形AFCG为平行四边形， ∴AF=CG=4． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°． （1）求∠AOC的度数； （2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由； （3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．
2020-2021浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质单元培优测试卷 一、选择题（共10题；共30分） 1.下列说法错误的是（） A. 等弧所对的圆心角相等 B. 弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数 C. 经过三点可以作一个圆 D. 三角形的外心到三角形各顶点距离相等 2.如图，将△AOB绕点O逆时针方向旋转45度后得到ΔA′OB′，若∠AOB=10°，则∠AOB′的度数是（） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 3.在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C．若OC：OB＝3 ：5，则DE的长为（） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 4.如图，⊙O中，弧AB=AC，∠ABC=70°．则∠BOC的度数为（） A. 100° B. 90° C. 80° D. 70° 5.如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC=38°，则锐角∠BDC的度数为（） A. 57° B. 52° C. 38° D. 26° 6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为弧BD 中点，∠BDC=60°，则∠ADB 等于（）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 7.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，点P 是 弧CD 上的任意一点，则∠APB 的大小是（ ） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 8.如图，半径为10的扇形 AOB 中， ∠AOB =90° ， C 为弧AB 上一点， CD ⊥OA ， CE ⊥OB ，垂足分别为 D 、 E .若 ∠CDE 为 36° ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 10π B. 9π C. 8π D. 6π 9.如图，放置在直线l 上的扇形OAB ．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB ＝45°，则点O 所经过的最短路径的长是（ ） A. 2π+2 B. 3π C. 5π2 D. 5π2 +2 10.如图，将矩形ABCD 绕着点A 逆时针旋转得到矩形AEFG ，点B 的对应点E 落在边CD 上，且 DE=EF ，若AD= √3 ，则弧CF 的长为( )
圆培优经典题 第七课圆的基本性质 几何定义：线段AB绕点A旋转一周得到的图形叫做圆，其中，点A为圆心，AB为半径。 集合定义：平面内到固定点等于定长的点的集合。 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧AC”或“弧 AC”．大于半圆的弧（如图所示ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示）AC或BC叫做劣弧．注意：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用． 圆心角：顶点在圆心，两边与圆相交的角，叫做圆心角。 弧度：圆弧所对应的圆心角。 有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，?相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，?那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角，叫做圆周角。 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弦所对的圆心角的一半． 圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 例1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD，点O是CD的圆心，?其中CD=600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径． 例2.有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图24-5所示，正常水位下水面宽AB=?60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．