弹性力学及有限元10级研究生课程试题
湖南工业大学研究生课程考试试题
课程名称：《弹性力学及有限元》（开卷）
适用专业年级：机械设计及理论、机械制造及其自动化 10级
注意事项：
1.答卷可采取打印或手写方式在A4打印纸上完成。如果手写，必须字迹工整，以便老师批阅；
2.下载《标准答卷模版》；
3.凡有相同答案的试卷均按零分计；
4.答卷于11月30日之前交机械工程学院研究生办公室，过期不交按缺考处理。
试题：本试卷共2大题，共100分。
一、撰写读书报告（60分）
读书报告应包含以下内容：
1、论述弹性力学研究的对象和分析问题的方法。
2、本门课程讲授了弹性力学的哪些内容？
3、任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题、轴对称问题？并举例说明平面应变问题、平面应力问题和轴对称问题。
4、你学习弹性力学和有限单元法以后最大的收获是什么？学习过程中遇到的最大困难是什么？你认为自己学懂了这门课程的知识没有？
二、结合你的研究课题，撰写一篇运用有限元进行仿真分析计算的报告（40分）。
分析报告要求如下：
1、问题的提出；
2、建立有限元模型；
3、施加载荷和边界条件；
4、求解，分析计算结果；
5、结论。
湖南工业大学研究生课程考试
《弹性力学及有限元》答卷
本人承诺：本试卷确为本人独立完成，若有违反愿意接受处理。签名：______________
学号：____________________专业：
__________________所在院（部）：
_________________
优良中差评阅人签字
成
绩
注：90~100分为优，70~89分为良，
60~69分为中，0~59分为差。
西安交通大学 级研究生课程考试试题 考试（查）科目：有限元方法（II ）时间 年 月 日下午 一、4 ) 4,4(),()5,5(),()2,6(),()2,2(),(4 4332211====y x ， y x ，y x ， y x 母体单元为22?的正方形，如图所示。 求：（1）单元坐标变换()(ξηξ,,, y y x x == （2）变换的Jacobi 行列式detJ 的解析表达式，并分析该变换是否存在奇异性（8分）。 二、分析以下两种单元的位移场是否具备收敛到真实解所需的各项条件。（30） （1） 13结点矩形平面应力单元 结点参数取为：)13~ 1( ,=i v u i i 位移场为： 3 132 2 123 113 102 92 83726524321xy y x y x y xy y x x y xy x y x u ααααααααααααα++++++++++++= 3 262 2 253 243 232 222 2132021918217161514xy y x y x y xy y x x y xy x y x v ααααααααααααα++++++++++++=（2） 6自由度三角形薄板弯曲单元 结点参数取为： ()3~1=i w i ()6~4=??? ????i n w i 位移场为： 2 652 4321y xy x y x w αααααα+++++= 三、13结点平面应力单元如图所示， 在计算单元刚度矩阵时取图示的9个 积分点。试分析在单元一级是否存在 出现零变形能位移模式的可能性。 ,u x 7 8 10 9 11 12 1 2 3 4 5 6
1．针对下图所示的3个三角形元，写出用完整多项式描述的位移模式表达式。 2．如下图所示，求下列情况的带宽: a)4结点四边形元； b)2结点线性杆元。 3．对上题图诸结点制定一种结点编号的方法，使所得带宽更小。图左下角的四边形在两种不同编号方式下，单元的带宽分别是多大 4．下图所示，若单元是2结点线性杆单元，勾画出组装总刚后总刚空间轮廓线。系统的带宽是多大按一右一左重新编号（即6变成3等）后，重复以上运算。
5．设杆件1－2受轴向力作用，截面积为A，长度为L，弹性模量为E，试写出 杆端力F 1，F 2 与杆端位移 2 1 ,u u之间的关系式，并求出杆件的单元刚度矩阵)(] [e k 6．设阶梯形杆件由两个等截面杆件○1与○2所组成，试写出三个结点1、2、3的 结点轴向力F 1，F 2 ，F 3 与结点轴向位移 3 2 1 , ,u u u之间的整体刚度矩阵[K]。 7．在上题的阶梯形杆件中，设结点3为固定端，结点1作用轴向载荷F 1 =P，求各结点的轴向位移和各杆的轴力。
8． 下图所示为平面桁架中的任一单元，y x ,为局部坐标系，x ，y 为总体坐标系，x 轴与x 轴的夹角为θ。 （1） 求在局部坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k （2） 求单元的坐标转换矩阵 [T]； （3） 求在总体坐标系中的单元刚度矩阵 )(][e k 9．如图所示一个直角三角形桁架，已知27/103cm N E ?=，两个直角边长度 cm l 100=，各杆截面面积210cm A =，求整体刚度矩阵[K]。
10．设上题中的桁架的支承情况和载荷情况如下图所示，按有限元素法求出各结点的位移与各杆的力。 11．进行结点编号时，如果把所有固定端处的结点编在最后，那么在引入边界条件时是否会更简便些 12．针对下图所示的3结点三角形单元，同一网格的两种不同的编号方式，单元的带宽分别是多大
弹性力学及有限元法学习总结 摘要：本文就弹性力学的研究对象与方法，弹性力学的基本假设，研究方法，有限元法的基本思想，数学基础，有限元分析的基本步骤进行阐述。 正文：弹性力学是固体力学的一个分支学科，是研究固体材料在外部作用下（外 部作用一般包括：荷载、温度变化以及固体边界约束改变），弹性变形及应力状态的一门学科。 弹性力学的研究对象： 材料力学--研究杆件（如梁、柱和轴）材料力学的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。 结构力学--在材料力学基础上研究杆系结构结构力学（如桁架、刚架等）。弹性力学--研究各种形状的弹性体，如杆弹性力学件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。 弹性力学研究方法： 在研究方法上，弹力和材力也有区别：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立三套方程; 三套方程在边界s 上考虑受力或约束条件，建立边界条件并在边界条件下求解上边界条件; 边界条件述方程，得出较精确的解答。 弹性力学的基本假设： 1）连续性，假定物体是连续的。连续性因此，各物理量可用连续函数表示。 2）均匀性与各向同性假设假定固体材料是均匀的，并且在各个方向上物理特性相同，也即材料的物理性质在空间分布上是均匀的（或不变的）3）小变形假设假定固体材料在受到外部作用（荷载、温度等）后的位移（或变形）与物体的尺寸相比是很微小的，在研究物体受力后的平衡状态时，物体尺寸及位置的改变可忽略不计，物体位移及形变的二次项可略去不 计，由此得到的弹性力学微分方程将是线性的。 4）完全弹性假设假设固体材料是完全弹性的。 5）无初始应力假设假定外部作用（荷载、温度等）之前，物体处于无应力状态，由弹性力学所求得的应力仅仅是由外部作用（荷载、温度等）所 引起的。 有限元法的基本思想： 有限元是一种结构分析的方法，先把所有系统分解为他们的元件或单元，这些元件的行为已经被充分的了解，再把元件重新组装成原来的系统。及将连续的求解区域离散为一组由有限个单元组成并按一定方式相互连接在一起的单元组
1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（×） 2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。√ 3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×） 4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×） 5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（√） 6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数√ 7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。√ 8.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。√ 9.四边形单元的Jacobi行列式是常数。× 10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。√ 11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等√ 12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。√ 13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。√ 1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。 3.有限单元法的收敛性准则？完备性要求，协调性要求。位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。当结点位移由体位移引起时，弹性体内不会产生应变。包含单元的常应变。与位置坐标无关的应变。位移模式在单元内要连续，在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元的连续性总得到满足，单元的协调性就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。。 4.任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
《弹性力学及有限元基础》复习思考题 ★1．对弹性体所做的基本假设? 答：连续性假设；均匀性假设；各向同性假设；弹性假设；小变形假设； ★2．用D'Alember 原理由平衡方程推导运动微分方程? 答：微元体的平衡微分方程的表达式为： 31 112111 2332 122221 23 132333 31 23000f x x x f x x x f x x x σσσσσσσσσ????+++=?????????+++=? ????????+++=? ???? 根据D'Alember 原理，将运动物体看成是静止的，将惯性力22()u t ρ?-?当作体力加到微元体上，由上式 可以直接写出弹性动力学问题的运动微分方程： 23111211 12123232 12222221 2321323333321 23()()() u f x x x t u f x x x t u f x x x t σσσρσσσρσσσρ?????+++=????????????+++=? ???????????+++=?????? ☆3．什么是应力张量? 我们说一点的应力状态是什么涵义? 答：应力张量是一点应力状态的完整描述，它有面元方向和分解方向两个方向性，共有九个分量，由于存在对称性，其独立分量只有六个。应力张量是与坐标选择无关的不变量，但其分量与坐标有关，当已知某坐标系中的九个分量时，其他坐标系中的分量均可由应力转换公式确定。 一点的应力状态是一个具有双重方向性的物理量，其中第一个是面元的方向，用其法矢量ν表示，第二个是作用在该面元上的应力矢量方向，一般用其三个分量来表示。 4．在引出 Cauchy 应力公式时， 我们假设四面体处于平衡状态， 如不处在平衡状态则如何? 答：如果不处在平衡状态，Cauchy 应力公式仍然满足，关系式的成立与是否平衡无关。 5．在什么情况下剪应力互等定律不成立? 答：无论在变形体的内部或者表面上，若存在体力偶时，剪应力互等定律不成立。 6．任意斜截面上的正应变和剪应变的意义是什么? 答：应变张量的三个对角分量x ε、y ε、z ε称为正应变，分别等于坐标轴方向三个线元的单位伸长率，伸长为正，缩短为负。应变张量的三个非对角分量xy ε、yz ε、zx ε称为剪应变，分别等于变形前沿该分量下标所示两坐标方向的、相互正交的线元在变形后的夹角减小量之半。 7．刚性位移，刚性转动，刚体位移，刚体转动有何区别? 答：（1）刚性位移：物体内任意两点间无相对位移；（2）刚性转动：应变张量为0，转动张量不为0；（3）刚体位移：运动分为变形运动和刚体运动，每点都发生相同的位移就叫作刚体位移；（4）刚体转动：用刚性
例1某三角形3节点单元，3个节点的坐标分别为(0, 0)、(3, 0)、(0, 4)o 作用在单元内的点(1, 1)处作用有一个大小等于10N、方向沿x轴正向的集中 力P。求该集中力的等效节点荷载。 解：(1)形函数及形函数矩阵计算 根据面积比或形函数公式，可计算得到各形函数为: Ar 5 Ar 4 3 A, = —、A 9——、A’ 3 =— 12 12 °12 形函数矩阵为: (2)等效节点荷载计算 例2图示三角形3节点单元，设13边的长度为3m,在13边作用有如图所示的分布荷载，求该分布荷载的等效节点荷载。 解：(1)形函数及形函数矩阵计算 在13边上，节点2的形函数％ = 0,设t为节点1到节点3的位置参数, 在节点1处取0，在节点3处取1,则在13边上有： A* =! —/■> M = t 1 O
-20此一10N3 - 20(1 -/- Wt lot - 20 =3f 1 -1 1 一 I 10￡ - 20 dt = 3 Jo d - t) (io* - 20)' o *(10* - 20) >d t 25 T o o o 20 5 1 - t0 0 0 Z 0 LA;J = 0 1 — f 0 0 0 匕 (2)分布荷载的参数表示 在13 边上，q v = 0 ,设 / = a + bt ,由: t = 0, q x = -20 t = 1 , q x = -10 可求得： a = -20 b = 10 于是有: lOt - 20 Cly 另外，由于在边上为一次函数，也可直接根据形函数插值建立分布函数: （3）等效节点荷载计算 \dl -25 - 20
《结构有限元分析》复习题（闭卷） 一、绪论 1.概述有限元法分析问题的过程。 二、平面问题 2.对平面问题T3单元，推导其位移模式。 3.对平面问题T3单元，证明形函数在本节点取值为1，在其它节点取值为0。 4.对平面问题T3单元，证明形函数在任意一点上取值之和为1。 5.对平面问题T3单元，证明边界上一点的形函数，与相对顶点的坐标无关。 6.对平面问题T3单元，证明边界上的位移协调性。 7.对平面问题T3单元，说明单元边界上无限点的约束等效于对该边节点的约束。 8.对平面问题T3单元，证明Li=Ni（i=i、j、m）。 9.对平面问题T3单元，证明∑NiXi=X，∑NiYi=Y。 10.对平面问题T3单元，利用最小势能原理，推导单元刚度矩阵的矩阵表达式。 11.说明刚度矩阵的性质和物理意义。 12.对平面问题T3单元，推导单元自重的等效节点力。 13.对平面问题T3单元，推导单元边界上均布压力的等效节点力。 14.对平面问题T3单元，推导单元边界上三角形分布压力的等效节点力。 15.对平面问题R4单元，推导其位移模式。 16.对平面问题R4单元，证明边界上的位移协调性。 17.试写出处理约束的两种方法（划0置1法，乘大数法）的过程。 三、空间问题和轴对称问题 18.对轴对称问题T3单元，推导其位移模式。 19.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导单元自重的等效节点力。 20.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导离心力的等效节点力。 21.对轴对称问题T3单元，采用简化计算，推导边界上梯形分布压力的等效节点力。 四、等参单元 22.对平面问题Q4等参单元，构造其位移模式。 23.对平面问题Q4等参单元，推导其几何矩阵。 24.对平面问题Q4等参单元，说明雅可比行列式的意义，并加以数学证明。 25.对平面问题Q4等参单元，证明其完备性、协调性。 26.对平面问题Q4-8变节点等参单元，构造其形函数。 27.对空间问题Hex8-20变节点等参单元，构造其形函数。
有限元法基础试题（A ） 一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵e T k B DBd Ω = Ω? 中，矩阵B 为__________，矩阵D 为___________。 1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功： ()(),,,,e x x xy y bx xy x y y by d W F u F v dxdy δστδτσδ??=+++++??+(),,,,x x y y xy y x u v u u dxdy σδσδτδδ??+++??的表达式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数1N +2N =_________。 1.5 ij k 数学表达式：令j d =_____，k d =_____，k j ≠，则力i ij F k =。 二、判断题（5×2分） 2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x 或y 的函数。 （ ） 三、简答题（26分） 3.1列举有限元法的优点。（8分） 3.2写出有限单元法的分析过程。（8分） 3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分） 3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分） 四、计算题（54分） 4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m ，单元②的弹簧常数为20000N/m ，单元③的弹簧常数为10000N/m ，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分） 4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E 为10GPa ，杆单元长L 均为2m ，横截面面积A 均为2×10-4m 2，弹簧常数为2000kN/m ，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ， 则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
弹性力学及有限元试题 (一) 问答题（20分） 1、什么是圣维南原理？举例说明怎样把它应用于工程问题 的简化中。 2、什么叫做一点的应力状态？如何表示一点的应力状态（要 求具体说明或表达）。 3、何谓逆解法和半逆解法？它们的理论依据是什么？ 4、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。 5、要保证有限元方法解答的收敛性，位移模式必须满足那些条 件？ (二) (10分) 1.利用坐标变换从直角坐标的平衡方程推导极坐标下平衡方程（无体力）。 2.利用坐标变换从直角坐标下几何方程推导极坐标下几何方程。 （三）已知，其他应力分量为零，求位移场。（10分） （四）设有矩形截面的悬臂粱，在 自由端受有集中荷载F；体力可以不
计。试根据材料力学公式，写出弯应力σx和切应力τxy的表达式，并取挤压应力σy=0，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答（10分）。 （五）设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上力偶矩为M，试求应力分量（10分）。 提示：单位厚度上的力偶矩M的量纲是LMT-2，应力只能是M/ρ2的形式，所以可假设应力函数由：Φ=Φ(φ). (六) 铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图5—18，只受重力的作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为 用瑞利—里茨法求解（15分）。
（七）试按图示网格求解结点位移，取t =1m，μ= 0（15分）。 （八）用刚度集成法求下图所示结构的整体刚度矩阵K。（10分） 要求：单元刚度矩阵元素用e k形式表示；单元刚度矩阵用e K形式表 ij 示，其中e为单元号。
《弹性力学及有限元》教学大纲 大纲说明 课程代码：5125004 总学时：40学时（讲课32学时，上机8学时） 总学分：2.5学分 课程类别：必修 适用专业：土木工程专业（本科） 预修要求：高等数学、理论力学、材料力学 课程的性质、目的、任务： 本课程是土木工程专业限选修的一门专业基础课。本课程的教学目的，是使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上进一步掌握弹性力学的基本概念、原理和方法，了解弹性力学问题的求解思路、方法和解答，为学习相关专业课程打下初步的弹性力学基础。在此基础上，使学生掌握有限单元法的基本概念、理论、方法，了解和应用ANSYS大型结构分析程序求解简单的弹性力学问题。 课程教学的基本要求： 本课程教学环节主要包括：课堂讲授、习题课、作业、答疑、上机计算、考试。采用课堂授课方式，重点章节安排习题课。课后布置一定量的习题，以便掌握弹性力学与有限单元法的基本概念、原理和方法，用弹性力学的求解方法及大型结构分析有限单元程序求解简单的弹性力学问题。考试采用开卷方式。 大纲的使用说明： 本大纲适用于土木工程本科专业40课时的《弹性力学及有限元》课程. 大纲正文 第一章绪论学时：6学时（讲课6学时） 本章讲授要点：了解弹性力学的研究内容，理解体力、面力、应力、应变和位移等基本概念，熟悉体力、面力、应力、应变、位移等力学量的记号和符号的有关规定，理解弹性力学的基本假定；了解有限单元法的发展，掌握泛函、变分和泛函极值等基本概念；了解加权残值、里兹与伽辽金等方法。 重点：弹性力学中的应力、应变和位移等基本概念；泛函、变分、驻值等基本概念；加权残值、里兹与伽辽金等方法。 难点：应力、应变；泛函、变分、驻值；加权残值法、里兹法与伽辽金法。 第一节弹性力学的内容 第二节弹性力学中的几个基本概念 第三节弹性力学中的基本假定 第四节有限单元法的发展简介 第五节变分原理.泛函.变分.驻值 第六节加权残值法、里兹法与伽辽金法
重庆大学研究生有限 元大作业
课程研究报告 科目：有限元分析技术教师：阎春平姓名：色学号： 2 专业：机械工程类别：学术 上课时间： 2015 年 11 月至 2016 年 1 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师 (签名)
有限元分析技术作业 姓名: 色序号: 是学号: 2 一、题目描述及要求 钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。主梁和次梁之间是固接。试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa 的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。 二、题目分析 根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。 三、具体操作及分析求解 1、准备工作 执行Utility Menu：File → Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图1.1。选择GUI filter，执行 Main Menu: Preferences → Structural → OK，如图1.2所示
图1.1清除当前数据库并开始新的分析 图1.2 设置GUI filter 2、选择单元类型。 执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。之后点击OK(回到Element Types window) →Close
姓名：色学号：2 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2015年11 月至2016 年 1 月考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
有限元分析技术作业 姓名: 色序号: 是学号: 2 一、题目描述及要求 钢结构的主梁为高160宽100厚14的方钢管，次梁为直径60厚10的圆钢管（单位为毫米），材料均为碳素结构钢Q235；该结构固定支撑点位于左右两端主梁和最中间。主梁和次梁之间是固接。试对在垂直于玻璃平面方向的2kPa的面载荷（包括玻璃自重、钢结构自重、活载荷（人员与演出器械载荷）、风载荷等）作用下的舞台进行有限元分析。 二、题目分析 根据序号为069，换算得钢结构框架为11列13行。由于每个格子的大小为1×1（单位米），因此框架的外边框应为11000×13000（单位毫米）。 三、具体操作及分析求解 1、准备工作 执行Utility Menu：Fi le→Clear＆start new 清除当前数据库并开始新的分析，更改文件名和文件标题，如图 1.1。选择GUI filter，执行Main Menu: Preferences→Structural→OK，如图1.2所示 图1.1清除当前数据库并开始新的分析 1
2 图1.2 设置GUI filter 2、选择单元类型。 执行Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add→ select→ BEAM188，如图2.1。之后点击OK(回到Element Types window) →Close 图2.1选择单元 3、定义材料属性 该钢结构材料为碳素结构钢Q235，其弹性模量为210GPa ，执行Main Menu→Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic ，此处协调单位制为mmkgs ，故EX 设为2.1E8, PRXY 设置
研究生课程有限元试题 笔试部分，50分 一、简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。 4、常用于大型结构有限元分析的方法有哪些？指出你所了解的现代有限元分析 商业软件系统。 二、分析计算题：（每题15分，共30分） 5、已知一矩形等截面（如右图示）弹性体扭转问题的泛函表达式为： ()dxdy y x I a a b b ?? --????????-???? ????+??? ????=φφφφ422 式中，φ为应力函数，且在边界上()0,=y x φ 试求： （1）求其泛函极值必要条件所应满足的微分方程。 （2）若选取φ的近似解形式为： ()() 222 2b y a x --=αφ ，求使泛函I 取极值的具体近似解（α为待定系数）。 6、如图a 所示为正方形薄板，其板厚度为t ，四边受到均匀荷载的作用，荷载集度为21/N m ，同时在y 方向相应的两顶点处分别承受大小为2/N m 且沿板厚度方向均匀分布的荷载作用。设薄板材料的弹性模量为E ，泊松比0ν=。
试求 （1）利用对称性，取图（b）所示1/4结构作为研究对象，并将其划分为4个面积大小相等、形状相同的直角三角形单元。给出可供有限元分析的计算模型（即根据对称性条件，在图（b）中添加适当的约束和荷载，并进行单元编号和结点编号）。 （2）设单元结点的局部编号分别为i、j、m，为使每个单元刚度矩阵e K相同，试在图（b）中正确标出每个单元的合理局部编号；并求单元刚度矩阵e K。（3）计算等效结点荷载。 （4）应用适当的位移约束之后，给出可供求解的整体平衡方程（不需要求解）。
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
弹性力学与有限元法分析 弹性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性固体在受外力作用、温度改变、边界约束或其他外界因素作用下而发生的应力、形变和位移状态的科学。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法。有限元法的基本思想就是化整为零，分散分析，再集零为整。即用结构力学方法求解弹性力学问题，实质是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，单元体之间仅仅通过结点相连，实现化无限自由度问题为有限稀有度问题，将连续场函数的（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题。 有限元方法经过近半个世纪的发展，目前已经成为各种工程问题特别是结构分析问题的标准分析方法，而有限元软件也已成为现代结构设计中不可缺少的工具。有限元软件是有限元理论通向实际工程应用的桥梁，它的应用极大地提高了力学学科解决自然科学和工程实际问题的能力，进一步促进了有限元方法的发展。ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，广泛用于机械制造、石油化工、航空航天、汽车交通、土木工程、造船、水利等一般工业及科学研究。 ANSYS软件的组成： （一）前处理模块 该模块为用户提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，可以方便的构造有限元模型，软件提高了100种以上的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。包括： 1.实体建模：参数化建模，布尔运算及体素库，拖拉、旋转、拷贝、蒙皮、倒角等。 2.自动网格划分，自动进行单元形态、求解精度检查及修正。 3.在集合模型上加载：点加载、分布载荷、体载荷、函数载荷。 4.可扩展的标准梁截面形状库。 （二）分析计算模块 该模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力。 （三）后处理模块 将计算结果以彩色等值线、梯度、矢量、粒子流、立体切片、透明及半透明等图形方式显示出来，也可以用图表、曲线形式显示或输出。 由于现在只是对ANSYS工程软件有初步的了解和掌握，所以本次作业仅以（1）结构静力学分析为例，运用ANSYS软件对汽车连杆进行受力分析；（2）
硕士研究生课程考试试卷 （学年第学期） 考试科目：（A/B卷）考试班级： 考试形式：（开/闭卷）考试时间：分钟考试人数： 命题人签名：系分管领导签名： 一．判断题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) 1．用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数U的选择没有任何限制。（）2．四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（） 3.在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（） 4.利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可采用与位移插值函数不同结点的形函 数进行应力插值。 ( ) 5.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。 ( ) 6. 所有任意不规则几何对象都是在激活坐标系中创建的。（） 7. 在平面三结点三角形单元的共边界上应和应力均有突变。（） 8. 布尔运算对生成的实体模型进行加、减、粘接、互分等操作。（） 9. 平面问题三角常应变有限元中形函数Ni之和为1。（） 10. 布尔运算的集合对象必须没有划分单元网格，如果已经划分有单元网格，则必须 首先清除网格，才可以对其进行布尔运算。（）二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1. 在平面三节点三角形单元中，位移、应变和应力具有____特征。 （A）位移、应力呈线形变化，应变为常量；（B）位移、应变呈线形变化，应力量； （C）位移、应变和应力均呈线形变化；（D）位移呈线形变化，应力和应变为常量 2.在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为
____________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 3.ANSYS前处理器标识为____： （A）/PREP7 （B）/SOLU （C）/POST1 （D）/POST26 4.等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用___ 的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 5.节点自由度是随变化的。 （A）单元类型 B 单元坐标 C 单元形状 D 单元形函数 6.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与__________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 7.采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解 （C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 8.如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至 少是_____完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 9.与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用 进行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 10.扩展名为err的文件是指： （A）记录文件（B）错误文件（C）结果文件（D）图形文件三．简答题（共3题，每小题5分） 1.梁单元和杆单元的区别？ 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？
如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。 ① I 单元的整体编码为162 ② II 单元的整体编码为426 ③ II 单元的整体编码为246 ④ III 单元的整体编码为243 ⑤ IV 单元的整体编码为564 A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③⑤ 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。 其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部
最新弹性力学与有限元分析复习题及其答案 一、 填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、 形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。 4、物体受外力以后，其部将发生力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切 应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应 力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。