排列、组合、二项式定理与概率测试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、如图所示的是2008年北京奥运会的会徽,其中的“中国印”的外边是由四个色块构成,
可以用线段在不穿越另两个色块的条件下将其中任意两个色块连接起来(如同架桥),如果用三条线段将这四个色块连接起来,不同的连接方法共有 ( ) A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
2、从6名志愿者中选出4个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,其中甲乙两名志愿者不能从事翻译工作,则不同的选排方法共有( )
A .96种
B .180种
C .240种
D .280种
3、五种不同的商品在货架上排成一排,其中a 、b 两种必须排在一起,而c 、d 两种不能排在一起,则 不同的选排方法共有( )
A .12种
B .20种
C .24种
D .48种 4、编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是( )
A . 10种 B. 20种 C. 30种 D . 60种 5、设a 、b 、m 为整数(m >0),若a 和b 被m 除得的余数相同,则称a 和b 对模m 同余.记为a ≡b (mod
m )。已知a =1+C 120+C 220·2+C 320·22+…+C 2020·219,b ≡a (mod 10),则b 的值可以是( )
6、在一次足球预选赛中,某小组共有5个球队进行双循环赛(每两队之间赛两场),已知胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.积分多的前两名可出线(积分相等则要比净胜球数或进球总数).赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为( ) A .22种 B .23种 C .24种 D .25种
7、令1
)
1(++n n x a 为的展开式中含1
-n x
项的系数,则数列}1
{
n
a 的前n 项和为 ( )
A .
2)
3(+n n B .
2)
1(+n n C .
1+n n D .
1
2+n n
8、若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ,则0a = ( )
A .32
B .1
C .-1
D .-32
9、二项式2
3n
x ?
?
*()n N ∈展开式中含有常数项,则n 的最小取值是 ( )
A 5
B 6
C 7
D 8
10、四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,则不同的取法共有( )
A .150种
B .147种
C .144种
D .141种
11、两位到北京旅游的外国游客要与2008奥运会的吉祥物福娃(5个)合影留念,要求排成
一排,两位游客相邻且不排在两端,则不同的排法共有 ( ) A .1440 B .960 C .720 D .480 12、若x∈A 则
x 1∈A,就称A 是伙伴关系集合,集合M={-1,0,31,2
1
,1,2,3,4} 的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为( )
A .15
B .16
C .28
D .25
二、填空题(每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.四封信投入3个不同的信箱,其不同的投信方法有_________种. 14、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 .
15、已知数列{n a }的通项公式为121+=-n n a ,则01n C a +12n C a +Λ+33n C a +n
n n C a 1+=
16、对于任意正整数,定义“n 的双阶乘n!!”如下:对于n 是偶数时, n!!=n·(n-2)·(n-4)……6×4×2;对于n 是奇数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)……5×3×1.
现有如下四个命题:①(2005!!)·(2006!!)=2006!;②2006!!=21003·1003!;③2006!!的个位数是0;④2005!!的个位数是5.正确的命题是________.
三、解答题(本大题共6小题,前5小题每小题12分,最后1小题14分,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17、某学习小组有8个同学,从男生中选2人,女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法.那么该小组中男、女同学各有多少人?
18、设m,n∈Z+,m、n≥1,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中,x的系数为19.
(1)求f(x)展开式中x2的系数的最值;
(2)对于使f(x)中x2的系数取最小值时的m、n的值,求x7的系数.
19、7位同学站成一排.问:
(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种?
(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种?
(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起的排法有多少种?
20、已知(
n
x的展开式中前三项的系数成等差数列.
(Ⅰ)求n的值;(Ⅱ)求展开式中系数最大的项.
21、由0,1,2,3,4,5这六个数字。
(1)能组成多少个无重复数字的四位数?(2)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(3)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个?
22、规定=x(x-1)…(x-m+1),其中x∈R,m为正整数,且=1,这是排列数(n,m是正整数,且m≤n)的一种推广.
(1)求的值;
(2)排列数的两个性质:①,②.(其中m,n是正整数)是否都能推广到(x∈R,m 是正整数)的情形?若能推广,写出推广的形式并给予证明;若不能,则说明理由.
参考答案
1、C
2、C
3、C
4、B
5、 B
6、C
7、 D
8、 A
9、 C 10、D 11、B 12、A 具有伙伴关系的元素组有-1,1,
21、2,3
1
、3共四组,它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合,个数为C 1
4+ C 2
4+ C 3
4+ C 4
4=15, 选A .
13、34 14、1008 15、n n 32 16、①②③④ 点拨:(2005!!)×(2006!!)
17、解: 设男生有x 人,则女生有8-x 人,依题意,, ∴(8-x)·6=180,x 3-9x 2+8x +60=0,
x 3-5x 2-(4x 2-20x)-(12x -60)=0, (x -5)(x 2-4x -12)=0,
∴x 1=5,x 2=6,x 3=-2(舍去). ∴男生5人,女生3人;或男生6人,女生2人. 18、解: =19,即m +n=19.∴m=19-n
(1)设x 2的系数为T==n 2-19n +171 =(n -)2+171-.
∵n ∈Z +,n ≥1, ∴当n=1或n=18时,T max =153,当n=9或10时,T min =81; (2)对于使f(x)中x 2的系数取最小值时的m 、n 的值, 即f(x)=(1+x)9+(1+x)10 从而x 7的系数为.
19、 (1)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有种.
(2)方法同上,一共有种.
(3)将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有种方法;将剩下的4个元素进行全排列有种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法.所以这样的排法一共有种方法.
(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素时.一共有2个元素,∴一共有排法种数: (种).
20、解:(Ⅰ)由题设,得 02
111C C 2C 42
n n n
+?=??, 即2980n n -+=,解得n =8,n =1(舍去).
(Ⅱ)设第r +1的系数最大,则1881188111C C 22
11C C .22r
r r r r r r r ++--???????≥,≥ 即1182(1)11.291
r r r ??-+????-?≥,≥ 解得r =2或r
=3.所以系数最大的项为5
37T x =,9
2
47T x =.
21、解:(1)1355300A A =g (2)31125244156A A A A +=(3) 3121
54431112A A A A +++=
22、(1) =(-15)(-16)(-17)=-4080; (2)性质①、②均可推广,推广的形式分别是: ①,②(x ∈R ,m ∈N +)
事实上,在①中,当m=1时,左边==x ,右边==x ,等式成立;
当m≥2时,左边=x(x -1)(x -2)…(x-m +1) =x[(x -1)(x -2)…((x-1)-(m -1)+1)]= 因此,①成立; 在②中,m=1时,左边==右边,等式成立; 当m≥2时,左边
=x(x -1)(x -2)…(x-m +1)+mx(x -1)(x -2)…(x-m +2)
=x(x -1)(x -2)…(x-m +2)[(x -m +1)+m] =(x +1)x(x -1)(x -2)…[(x+1)-m +1]
==右边, 因此②(x ∈R ,m ∈N +)成立.
可重复的排列求幂法 相邻问题捆绑法 相离问题插空法 元素分析法(位置分析法) 多排问题单排法 定序问题缩倍法(等几率法) 标号排位问题(不配对问题) 不同元素的分配问题(先分堆再分配) 相同元素的分配问题隔板法: 多面手问题(分类法---选定标准) 走楼梯问题(分类法与插空法相结合) 排数问题(注意数字“0”) 染色问题 “至多”“至少”问题用间接法或分类: 十三.几何中的排列组合问题: 排列组合常见题型及解题策略 排列组合问题是高考的必考题,它联系实际生动有趣,但题型多样,思路灵活,不易掌握,实践证明,掌握题型和解题方法,识别模式,熟练运用,是解决排列组合应用题的有效途径;下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略. 一.可重复的排列求幂法:重复排列问题要区分两类元素:一类可以重复,另一类不能重 复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”, 则通过“住店法”可顺利解题,在这类问题使用住店处理的策 略中,关键是在正确判断哪个底数,哪个是指数 【例1】(1)有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方法? (2)有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军,有多少种不同的结果? (3)将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则有多少种不同投法? 【解析】:(1)43(2)34(3)34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法?
【解析】:完成此事共分6步,第一步;将第一名实习生分配到车间有7种不同方案, 第二步:将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案,依次类推,由分步计数原理知共有6 7种不同方案. 【例3】 8名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有( )A 、3 8 B 、8 3 C 、3 8A D 、 38C 【解析】:冠军不能重复,但同一个学生可获得多项冠军,把8名学生看作8家“店”,3项冠 军看作3个“客”,他们都可能住进任意一家“店”,每个“客”有8种可能,因此共有3 8种 不同的结果。所以选A 二.相邻问题捆绑法: 题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组,当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人并排站成一排,如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边,那么不同的排法种数有 【解析】:把,A B 视为一人,且B 固定在A 的右边,则本题相当于4人的全排列,4 424A =种 【例2】(2009四川卷理)3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】: 间接法 6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有, 22223242C A A A =432 种 其中男生甲站两端的有1 2 2 2 2 23232A C A A A =144,符合条件的排法故共有288 三.相离问题插空法 :元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排 列,再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同的排法种数是 【解析】:除甲乙外,其余5个排列数为55A 种,再用甲乙去插6个空位有2 6A 种,不同的排法 种数是52 563600A A =种 【例2】 书架上某层有6本书,新买3本插进去,要保持原有6本书的顺序,有 种不同的插法(具体数字作答) 【解析】: 111 789A A A =504 【例3】 高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的
二项式定理测试题及答案 n 能使(n+i) 4 成为整数(B ) C.2 D.3 A A ; L L A ;J°,则S 的个位数字是(C ) -a ) 8展开式中常数项为1120,其 中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和 x A. 15 个 B. 33 个 C. 17 个 D. 16 个 是(C ) A.28 B.38 C.1 或38 D.1 或 28 5.在(2 3 5)100的展开式中,有理项的个数是( 6.在、x 1 3x 24 的展开式中,x 的幕指数是整数的项共有(C B . 4项 -x)6的展开式中,含 、5 A. 3项 7?在(1 - x)5- (1 A 、一 5 B 、5 C & (1 x)5 (1 x)3的展开式中x 3的系数为(A A . 6 B. -6 C. 9 9.若x==,则(3+2x) 10的展开式中最大的项为(B 2 A.第一项 C . 5项 3 x 的项的系数是(C 、一10 B. 、10 ) D . -9 第三项 C. 第六项 D. 第八项 A. 7 B. 12 C. 14 D . 5 11.设函数 f(x) (1 2x)10 ,则导函数 2 f (x)的展开式x 项的系数为(C ) A. 1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12 .在(x 1 5 -I)5 x '的展开式中,常数项为( B ) (A ) 51 (B ) -51 (C )- ii (D ) ii 13 .若(x n n 1) x L 3.2. ax bx L 1(n N ),且 a:b 3:1,则n 的值为(C ) A. 9 B . 10 C . ii D. 12 14 .若多项式x 2 10 x =a 0 a i (x 1) a 9(x i)9 a i0(x i)i0, 则 a 9 ( ) (A ) 9 (B ) 10 (C ) 9 (D ) 10 10.二项式 n 的最小值为( ) A 解:根据左边 1,易知 a io 10 X 的系数为 1,左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为 1 3 )n 的展开式中含有非零常数项,则正整数 3x 3 1.有多少个整数 A.0 B.1 2. 2 4 展开式中不含x 项的系数的和为(B ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3?若 S =A 1 4.已知(x (2x 4
一、选择题: 1. 将3个不同的小球放入 4个盒子中,则不同放法种数有 A . 81 B . 64 C . 12 D . 14 2. 5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 3 . a,b,c,d,e 共5个人,从中选1名组长1名副组长,但a 不能当副组长,不同的选法 总数是 A. 20 B . 16 C . 10 D . 6 4.现有男、女学生共 8人,从男生中选 2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化 学三科竞赛,共有 90种不同方案,那么男、女生人数分别是 A .男生2人女生6人 B .男生3人女生5人 C .男生5人女生3人 D .男生6人女生2人. 5 . 6 . .180 B . 90 C . 45 D . 360 6 . 由数字1、 2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于 50000的偶数共有 A . 60个 B . 48 个 C . 36 个 D . 24个 7 . 3张不同的电影票全部分给 10个人,每人至多一张 ,则有不同分法的种数是 A . .1260 B . 120 C . 240 D . 720 & n N 且n 55,则乘积(55 n)(56 n)L (69 n )等于 A . 55 n A 69 n B . A 59 n C . A 55 n D . A 14 n 9.从不同号码的5双鞋中任取4只,其中恰好有1双的取法种数为 A . 120 B . 240 C . 280 D . 60 10 .不共面的四个定点到面 的距离都相等,这样的面 共有几个 15 . 4名男生,4名女生排成一排,女生不排两端,则有 ___________ 种不同排法? (8640 ) 17 .在1,2,3,…,9的九个数字里,任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数, 这样的四位数有 ___________________ 个? ( 840) C . A 5 2 3 D . A>A 3 A 1 A 1 A 3 A 2 A 3 A 3 A . 3 B . 4 C . 6 11.设含有10个元素的集合的全部子集数为 的值为 20 15 16 A.- B . C .- 128 128 128 D . 7 S ,其中由3个元素组成的子集数为 T ,则T S 21 D . 128
例1. 从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列,这样的不同等差数列有________个。 分析:首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。 设a,b,c成等差,∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定, 又∵ 2b是偶数,∴ a,c同奇或同偶,即:分别从1,3,5,……,19或2,4,6,8,……,20这十个数中选出两个数进行排列,由此就可确定等差数列,C(2,10)*2*P(2,2),因而本题为180。 例2. 某城市有4条东西街道和6条南北的街道,街道之间的间距相同,如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M到N有多少种不同的走法? 分析:对实际背景的分析可以逐层深入 (一)从M到N必须向上走三步,向右走五步,共走八步。 (二)每一步是向上还是向右,决定了不同的走法。 (三)事实上,当把向上的步骤决定后,剩下的步骤只能向右。 从而,任务可叙述为:从八个步骤中选出哪三步是向上走,就可以确定走法数,∴本题答案为:=56。 2.注意加法原理与乘法原理的特点,分析是分类还是分步,是排列还是组合 例3.在一块并排的10垄田地中,选择二垄分别种植A,B两种作物,每种种植一垄,为有利于作物生长,要求A,B两种作物的间隔不少于6垄,不同的选法共有____ __种。 分析:条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数,组合数的式子表示,因而采取分类的方法。 第一类:A在第一垄,B有3种选择; 第二类:A在第二垄,B有2种选择; 第三类:A在第三垄,B有一种选择, 同理A、B位置互换,共12种。 例4.从6双不同颜色的手套中任取4只,其中恰好有一双同色的取法有_______ _。 (A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分析:显然本题应分步解决。 (一)从6双中选出一双同色的手套,有6种方法; (二)从剩下的十只手套中任选一只,有10种方法。 (三)从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只,有8种方法; (四)由于选取与顺序无关,因而(二)(三)中的选法重复一次,因而共240种。 例5.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数为_______。