高三数学第二轮专题复习系列(8)-- 圆锥曲线
一、知识结构 1.方程的曲线
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线.
点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线 C 上?f(x 0,y 0)=0；
点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0
两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?
f 2(x 0,y 0) =0
方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲 线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程
圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2
圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2
(2)一般方程
当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0
叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2
E
，半径是
2
4F
-E D 22+.配方，将方程
x 2
+y 2
+Dx+Ey+F=0化为
(x+2D )2+(y+2
E )2=44
F -E D 22+
当D 2
+E 2
-4F=0时，方程表示一个点
(-2D ,-2
E
); 当D 2
+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.
点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则
｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内， ｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上， ｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2
02
0b)-(y a)-(x +.
(3)直线和圆的位置关系
①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法
(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=
2
2
C Bb Aa B
A +++与半径r 的大小关系来判
定.
3.椭圆、双曲线和抛物线
22a x +2
2
b y =1(a ＞b ＞0)
22a x -22
b
y =1(a ＞0,b ＞0)
y 2=2px(p ＞0)
O(0,0)
4.圆锥曲线的统一定义
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.
其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e ＞1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换
坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做
坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.
坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则
x=x′+h x′=x-h
(1) 或(2)
y=y′+k y′=y-k
公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程
中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.
二、知识点、能力点提示
(一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点
说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 .特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标.
三、考纲中对圆锥曲线的要求：
考试内容：
. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；
. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质；
. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；
考试要求：
. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；
. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；
. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；
. (4)了解圆锥曲线的初步应用。 四．对考试大纲的理解
高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。
求圆锥曲线的方程
【复习要点】
求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.
定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0).
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】
【例1】 双曲线22
24b
y x -=1(b ∈N )的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，
|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________.
解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y ),则 |PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2), 即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2,
又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|, 依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4, 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2
∴16+8c 2＜50+2c 2,∴c 2＜317
,
又∵c 2=4+b 2＜317
,∴b 2＜3
5,∴b 2=1.
答案：1
【例2】 已知圆C 1的方程为()()3
20
1222=
-+-y x ，椭圆C 2的方程为 12
22
2=+b y a x ()a b >>0，C 2的离心率为
2
2
，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。
解：由.,2,2
2,222222c b c a a c e ====
得 设椭圆方程为.1222
22=+b
y b x
设).1,2().
,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x
又
,12,
122
22
2
22
2
21
2
2
1
=+
=+
b
y b
x b
y b
x
两式相减，得
.022
2
2
212
22
21=-+
-b y y b x x
,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x
又.1.2.42
12
12121-=--=+=+x x y y y y x x 得
)..2(1--=-∴x y AB 的方程为直线
即3+-=x y 将得代入
,1232
2
22=++-=b y b x x y .021812322=-+-b x x
.07224.22>-=?∴b C AB 相交与椭圆直线
由.3
204)(222122121=
-+=-=x x x x x x B A 得.3
203
72
2422=
-?b 解得 .82
=b 故所有椭圆方程.18
162
2=+y x
【例3】 过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2
2
的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =
2
1
x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程.
解法一：由e =22=a c ,得21222=-a
b a ,从而a 2=2b 2
,c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得， (x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0,
.)
(2212
12121y y x x x x y y ++-=--
设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－0
2y x , 又(x 0,y 0)在直线y =21x 上，y 0=2
1x 0, 于是－
2y x =－1,k AB =－1, 设l 的方程为y =－x +1.
右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′),
???-='='???????++'-='=-''
b y x b x y b
x y 11 1
22
1解得则
由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=
8
9
,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2
291698y x + =1,l 的方程为y =－x +1.
解法二：由e =21,22222=-=a
b a a
c 得,从而a 2=2b 2
,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1),
将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,
则x 1+x 2=
2
2214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－
2
212k k +.
直线l ：y =21
x 过AB 的中点(2,22121y y x x ++),则2222122121k k k k +?=+-, 解得k =0，或k =－1.
若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一.
解法3：设椭圆方程为
)1()0(12
22
2>>=+
b a b
y a
x
直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2
1
=中点矛盾。 故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为
整理得：
消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2
222
2212b a k a k x x +=
+知：
代入上式得：
又k x x k y y 2)(2121-+=+ 21221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，21
22=--∴ka
b k k ，22=e 又 122)
(2222
222
2
-=+-=--
=-
=∴e a
c a a b k ，x y l -=∴1的方程为直线，
222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b
3
3
>
∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，
则b y x b x y b x y -=-????????+-==-11212
1000000
，， 得：
在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3
3
43>
=∴b ， 1692=
∴b ， 8
9
2=a 所以所求的椭圆方程为：116
9892
2=+y x
【例4】 如图，已知△P 1OP 2的面积为4
27
，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为
2
13
的双曲线方程. 解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2
22
2b
y a
x -
=1(a ＞0,b ＞0)
由e 2
=
2222
)213()(1=+=a b a
c ，得23
=a b . ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－2
3
x
设点P 1(x 1,
23x 1),P 2(x 2,－2
3
x 2)(x 1＞0,x 2＞0), 则由点P 分21P P 所成的比λ=2
1PP P
P =2,
得P 点坐标为(
22,
322
121x x x x -+), 又点P 在双曲线22
2294a
y a x -=1上，
所以2
2
2122219)2(9)2(a x x a x x --+=1, 即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2
=9a 2,整理得8x 1x 2=9a 2 ①
,4
271312
41321sin ||||2113
124
91232tan 1tan 2sin 2
13
4
9||,21349||21212112121222221212
1121=??=
??=∴=+?
=
+==+==+
=?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又
即x 1x 2= 2
9
②
由①、②得a 2=4,b 2=9
故双曲线方程为9
42
2y x -
=1. 【例5】 过椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
x a y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ，
A 、
B 为切点，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于M 、N 两点。(1) 已知P 点坐标为(x 0，y 0 )并且x 0y 0≠0，试求直线AB 方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且
16
25
||||2
22
2=
+
ON b OM a ，求椭圆C 的方程；(3) 椭圆C 上是否存在点P ，由P 向圆O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。 解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)
切线P A ：211b y y x x =+，P B ：222b y y x x =+
∵P 点在切线P A 、P B 上，∴2020220101b y y x x b y y x x =+=+ ∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x
(2)在直线AB 方程中，令y =0，则M(02x b ，0)；令x =0，则N(0，0
2
y b )
∴1625
)(||||2222
02202222
22=
=+=+b
a b x a y b a ON b OM a ① ∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25, b 2 =16
∴椭圆C 方程：)0(116
252
2≠=+xy x y （注：不剔除xy ≠0，可不扣分）
(3) 假设存在点P(x 0，y 0)满足P A ⊥P B ，连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知，
四边形P A O
B 为正方形，|OP|=2|O A | ∴22020
2b y x =+ ①
又∵P 点在椭圆C 上 ∴222
02202b a y b x a =+ ②
由①②知
x 2
2222
2
22222
0,
)2(b a b a y b a b a b -=
--=
∵a >b >0 ∴a 2 －b 2>0
(1)当a 2－2b 2>0，即a >2b 时，椭圆C 上存在点，由P 点向圆所引两切线互相垂直；
(2)当a 2－2b 2<0，即b <
b 时，椭圆C 上不存在满足条件的P 点
【例6】 已知椭圆C 的焦点是F 1（－3，0）、F 2（3，0），点F 1到相应的准线的距离为3
3，过F 2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，使得|F 2B|=3|F 2A|. （1）求椭圆C 的方程；（2）求直线l 的方程. 解：（1）依题意，椭圆中心为O （0，0），3=c
点F 1到相应准线的距离为133
3,322
=?=∴=b c b ，
a 2=
b 2+
c 2
=1+3=4
∴所求椭圆方程为14
22
=+y x
（2）设椭圆的右准线l '与l 交于点P ，作AM ⊥l '，AN ⊥l '，
垂足
分别为M 、N. 由椭圆第二定义， 得|||||
|||22AM e AF e AM AF =?= 同理|BF 2|=e|BN|
由Rt △PAM ～Rt △PBN ，得||2||2||2
1
||2AM e A F AB PA ===…
9分
l e
PA AM PAM ?=
?
===
∠∴3
3
232121
||||cos 的斜率2tan =∠=PAM k . ∴直线l 的方程062)3(2=---=y x x y 即
【例7】 已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；
（2）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.
（3）已知点A （m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2.求证：直线DE 过定点，并求出这个定点.
解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入
x
).
2,5(),5(1
2,0)2()5()2(),14(44
4424:).24,14(4),1(1
2:).24
,14(,242,048
4,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222----
=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-=
==-+-=-=-∴==过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将x k k y y x k y k k x k
k k k k y DE k k E x y x k
y AE k k
D k y y k
y k y x y x k y AD A m x y m A
),
1,(21
2
12,2,0)2(24),(),,(,,
14)2,()3(212211222211112≠=--?--∴=?=+-+?????=+=+===x x x y x y k k b x kb x k x
y b kx y y x E y x D b kx y DE m x y m A AE AD 得由的方程为设直线得代入将 )
2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).
2().
2(,)2(,)
2(2,02)2())(22()2(,222
2212
212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==
--=
+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k
b x x k
kb x x b x x k kb x x k b
kx y b kx y
【例8】 已知曲线3
3
2)0,0(12
22
2=
>>=-e b a b y a x 的离心率，直线l 过A （a ，0）、 B （0，－b ）两点，原点O 到l 的距离是.2
3 （Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?ON OM ，求直线m 的方程. 解：（Ⅰ）依题意，,0,1=--=-+ab ay bx b y a x l 即方程 由原点O 到l 的距离
为2
3，得
2
32
2
=
=
+c ab b
a a
b 又332==a
c e 3,1==∴a b
故所求双曲线方程为13
22
=-y x
（Ⅱ）显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y =k x －1，则点M 、N 坐标（11,y x ）、 （22,y x ）是方程组 ???
??=--=13
12
2y x kx y 的解
消去y ，得066)31(22=-+-kx x k ①
依设，,0312
≠-k 由根与系数关系，知1
36,13622
1221-=-=
+k x x k k x x
)1)(1(),(),(212121212211--+=+=?=?kx kx x x y y x x y x y x ON OM
=1)()1(21212++-+x x k x x k =11
3613)1(62
2
22+---+k k k k
=
11
362+-k
23-=? ∴
11
36
2
+-k =－23，k=±21
当k=±
2
1
时，方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为12
1,121--=-=x y x y 或
【例9】 已知动点P 与双曲线1322
2=-y x 的两个焦点1F 、
2F 的距离之和为定值，且
21cos PF F ∠的最小值为9
1
-．
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围． 解：（1）由已知可得： 5=c ，9
1
2)2(2
2
22-
=-+a c a a ∴ 4,
9
2222=-==c a b a
∴ 所求的椭圆方程为 14
92
2=+y x .
(2)方法一：
由题知点D 、M 、N 共线，设为直线m ，当直线m 的斜率存在时，设为k ，则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ①
由判别式 045)94(4)54(22≥?+?-=?k k ，得9
5
2≥k .
再设M (x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2)，则一方面有
))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x y x λλλλ，得
??
?-=-=)3(321
2
1y y x x λλ 另一方面有 2
219454k
k x x +-
=+，2
219445k
x x +=
②
将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得
94
)1(532422+=+k
λλ，由前面知， 536402≤ ) 1(532492≤+<λλ，解得 551<<λ. 又当直线m 的斜率不存在时，不难验证：55 1 ==λλ或, 所以 55 1 ≤≤λ为所求。 方法二:同上得 ?? ?-=-=)3(321 2 1y y x x λλ 设点M (3cos α，2sin α)，N (3cos β,2sin β) 则有? ??-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβλα 由上式消去α并整理得 )(125 1813sin 22λλλλβ-+-= , 由于1sin 1≤≤-β ∴ 1) (1251813122≤-+-≤ -λλλλ， 解得 55 1 ≤≤λ为所求. 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5，最小值为1. 进而推得λ的取值范围为55 1 ≤≤λ。 【求圆锥曲线的方程练习】 一、选择题 1．已知直线x +2y －3=0与圆x 2+y 2+x －6y +m =0相交于P 、Q 两点，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则m 等于( ) A.3 B.－3 C.1 D.－1 2．中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐 标为21 ，则椭圆方程为( ) 125 75D. 17525C.1252752B. 1752252A.22222222=+=+=+=+y x y x y x y x 二、填空题 3．直线l 的方程为y =x +3,在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_________. 4．已知圆过点P (4，－2)、Q (－1，3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为_________. 三、解答题 5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|= 3 10 4，试求椭圆的方程. 6．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长 . 7．已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1)2= 3 20 ,椭圆C 2的方程为 2 22 2b y a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率为 2 2 ，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭 圆C 2的方程. 参考答案 一、1.解析：将直线方程变为x =3－2y ,代入圆的方程x 2+y 2+x －6y +m =0, 得(3－2y )2+y 2+(3－2y )+m =0. 整理得5y 2－20y +12+m =0,设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2) 则y 1y 2=5 12m +,y 1+y 2=4. 又∵P 、Q 在直线x =3－2y 上， ∴x 1x 2=(3－2y 1)(3－2y 2)=4y 1y 2－6(y 1+y 2)+9 故y 1y 2+x 1x 2=5y 1y 2－6(y 1+y 2)+9=m －3=0，故m =3. 答案：A 2.解析：由题意，可设椭圆方程为：2 22 2b x a y + =1,且a 2=50+b 2, 即方程为 2 22 250b x b y + +=1. 将直线3x －y －2=0代入，整理成关于x 的二次方程. 由x 1+x 2=1可求得b 2=25,a 2=75. 答案：C 二、3.解析：所求椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0),2a =|PF 1|+|PF 2|. 欲使2a 最小，只需在直线l 上找一点P .使|PF 1|+|PF 2|最小，利用对称性可解. 答案：4 52 2y x + =1 4.解析：设所求圆的方程为(x －a )2+(y －b )2=r 2 则有??? ? ???=+=-+--=--+-2 22222222)32(||)3()1()2()4(r a r b a r b a ?????===?????===?2745130122r b a r b a 或 由此可写所求圆的方程. 答案：x 2+y 2－2x －12=0或x 2+y 2－10x －8y +4=0 三、5.解：|MF |ma x =a +c ,|MF |min =a －c ,则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2, ∴b 2 =4,设椭圆方程为142 22 =+y a x ① 设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m ② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2 =0 ③ 设M 1(x 1,y 1)、M 2(x 2,y 2),M 1M 2的中点为(x 0,y 0), 则x 0=21 (x 1+x 2)=224a m a +,y 0=－x 0+m =244a m +. 代入y =x ,得 2 2 2444a m a m a += +, 由于a 2 ＞4,∴m =0,∴由③知x 1+x 2=0,x 1x 2=－2 244a a +, 又|M 1M 2|=3 10 44)(221221= -+x x x x , 代入x 1+x 2,x 1x 2可解a 2 =5,故所求椭圆方程为：4 52 2y x + =1. 6.解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系， 如图，由题意知，|AB |=20，|OM |=4，A 、B 坐标分别为(－10，－4）、(10，－4） 设抛物线方程为x 2 =－2py ,将A 点坐标代入，得100=－2p ×(－4),解得p =12.5, 于是抛物线方程为x 2=－25y . 由题意知E 点坐标为(2，－4)，E ′点横坐标也为2，将2代入得y =－0.16,从而|EE ′|= (－0.16)－(－4)=3.84.故最长支柱长应为3.84米. 7.解：由e =22 ,可设椭圆方程为22222b y b x +=1, 又设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),则x 1+x 2=4,y 1+y 2=2, 又 2 222 222 212 212, 12b y b x b y b x + =+ =1,两式相减，得 2 2 2212 2 2212b y y b x x -+ -=0, 即(x 1+x 2)(x 1－x 2)+2(y 1+y 2)(y 1－y 2)=0. 化简得212 1x x y y --=－1,故直线AB 的方程为y =－x +3, 代入椭圆方程得3x 2－12x +18－2b 2=0. 有Δ=24b 2－72＞0,又|AB |=3 204)(221221= -+x x x x , 得3 20 9 72 2422= -?b ，解得b 2=8. 故所求椭圆方程为8 162 2y x + =1. 直线与圆锥曲线 【复习要点】 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能. 1.直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法. 2.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍. 【例题】 【例1】 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ， 且OP ⊥OQ ，|PQ |=2 10 ，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2) 由???? ?=++=1 1 2 2ny m x x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0, 由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴n m n n m n -- +-2)1(2+1=0,∴m +n =2 ① 又2 )2 10()(4=+-+n m mn n m 2 , 将m +n =2,代入得m ·n =43 ② 由①、②式得m =21,n =2 3或m =23,n =21 故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+2 1 y 2=1. 【例2】 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为 4 π 的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积. 解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0. 由方程组???? ?=+=x y m x y 42 ,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0……………① ∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ， ∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -. 点A 到直线l 的距离为d = 2 5m +. ∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2 =2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2( 3 5522m m m ++++-)3 =128. ∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82. 【例3】 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)。(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在. 解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1, 与曲线C 有一个交点. 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1), 代入C 的方程，并整理得 (2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0………………(*) (ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时 Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即3－2k =0,k =23 时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2 3 时，方程(*) 有两不等实根，l 与C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞ 2 3 时，方程(*)无解，l 与C 无交点. 综上知：当k =±2,或k =2 3 ，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜23 ,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞2 3 时，l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 即k AB =2 12 1x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在. 【例4】 如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列. (1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标； (3)设弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ， 求m 的取值范围. 解：(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得 所以b =22c a -=3. 故椭圆方程为 9 252 2 y x + =1. (2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=5 9 .为x = 425,离心率为54，根据椭圆定义，有|x 1),|F 2C |=54(4 25 －x 2)， 由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得 54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×5 9,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=2 2 1x x +=4. (3)解法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上. 得??????=+?=+25 92592592592 2222121y x y x ①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0, 即9×)()2(25)2(2 12 12121x x y y y y x x --?+++=0(x 1≠x 2) 将 k x x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k 1)=0 (k ≠0) 即k = 36 25 y 0(当k =0时也成立). ① ② 由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m , 所以m =y 0－4k =y 0－925 y 0=－9 16y 0. 由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部， 得－59＜y 0＜59,所以－516＜m ＜5 16. 解法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为 y －y 0=－k 1 (x －4)(k ≠0) ③ 将③代入椭圆方程9 252 2y x + =1,得 (9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0 所以x 1+x 2=25 9)4(5020++k k =8,解得k =3625 y 0.(当k =0时也成立) (以下同解法一). 【例5】 已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2 2 10200x y x +-+=相 切．过 点()4,0P -作斜率为 1 4 的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2 PA PB PC ?=． （1）求双曲线G 的渐近线的方程； （2）求双曲线G 的方程； （3）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程． 解：（1）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =， 则由渐近线与圆2 2 10200x y x +-+= = 所以，1 2 k =± ． 双曲线G 的渐近线的方程为：12 y x =±． （2）由（1）可设双曲线G 的方程为：22 4x y m -=． 把直线l 的方程()144y x =+代入双曲线方程，整理得2 381640x x m ---=． 则8164, 33 A B A B m x x x x ++==- （＊） ∵ 2 PA PB PC ?=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上， ∴ ()()()2 P A B P P C x x x x x x --=-， 即：()()4416B A x x +--=，整理得：()4320A B A B x x x x +++= 将（＊）代入上式可解得：28m =． 所以，双曲线的方程为 22 1287 x y -=． （3）由题可设椭圆S 的方程为： (22 2 128x y a a +=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹． 设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则 22 11222 222 128128x y a x y a ?+=????+=??． 两式作差得：()() ()() 121212122 028 x x x x y y y y a -+-++ = 由于 12 124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y a -=， 所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，21 1122 a =．所以，256a =， 椭圆S 的方程为：22 12856 x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）． 【例6】 设抛物线过定点()1,0A -，且以直线1x =为准线． （1）求抛物线顶点的轨迹C 的方程； （2）若直线l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，且线段MN 恰被直线1 2 x =-平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y kx m =+，试求m 的取值范围． 解：（1）设抛物线的顶点为(),G x y ，则其焦点为()21,F x y -．由抛物线的定义可知： 12AF A x ==点到直线的距离＝． 2=． 所以，抛物线顶点G 的轨迹C 的方程为：2 2 14 y x += ()1x ≠． （2）因为m 是弦MN 的垂直平分线与y 轴交点的纵坐标，由MN 所唯一确定．所以，要求m 的取值范围，还应该从直线l 与轨迹C 相交入手． 显然，直线l 与坐标轴不可能平行，所以，设直线l 的方程为1 :l y x b k =-+，代入椭圆方 程得： 2222 41240k bx x b k k ??+-+-= ??? 由于l 与轨迹C 交于不同的两点,M N ，所以，()2 2222 441440b k b k k ??+?=--> ??? ，即：()222 410 0k k b k -+>≠．（＊） 又线段MN 恰被直线12x =- 平分，所以，2212241M N bk x x k ?? +==?- ?+?? ． 所以，241 2 k bk +=-． 代入（＊）可解得：() 0k k <<≠． 下面，只需找到m 与k 的关系，即可求出m 的取值范围．由于y kx m =+为弦MN 的垂直 平分线，故可考虑弦MN 的中点01,2P y ?? - ??? ． 在1:l y x b k =-+中，令1 2 x =-，可解得：2011412222k y b k k k k +=+=-=-． 将点1,22P k ?? -- ???代入y kx m =+，可得：32k m =-． 所以，0m m <<≠． 从以上解题过程来看，求m 的取值范围，主要有两个关键步骤：一是寻求m 与其它参数之 间的关系，二是构造一个有关参量的不等式．从这两点出发，我们可以得到下面的另一种解法： 解法二．设弦MN 的中点为01,2P y ?? - ??? ，则由点,M N 为椭圆上的点，可知： 22 22 44 44 M M N N x y x y ?+=??+=??． 两式相减得：()()()()40M N M N M N M N x x x x y y y y -++-+= 又由于011 21, 2, 2M N M N M N M N y y x x y y y x x k -??+=?-=-+=- ?-??＝，代入上式得： 2y k =- ． 又点01,2P y ?? - ???在弦MN 的垂直平分线上，所以， 01 2 y k m =-+． 所以，0013 24 m y k y =+=． 由点01,2P y ?? - ??? 在线段BB ’上（B ’、B 为直线12x =- 与椭圆的交点，如图），所以，'0B B y y y <<． 也即：0y << 所以，044 m m - <<≠ 点评：解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次 项系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便． 涉及弦中点问题，利用韦达定理或运用平方差法时（设而不求），必须以直线与圆锥曲线相 交为前提，否则不宜用此法． 从构造不等式的角度来说，“将直线l 的方程与椭圆方程联立所得判别式大于0”与“弦MN 的中点01,2P y ?? - ??? 在椭圆内”是等价的． 【例7】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点．又 M 是其准线上一点．试证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 证明 依题意直线MA 、MB 、MF 的斜率显然存在，并分别设为1k ，2k ，3k 点A 、B 、M 的坐标分别为A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），M （2 p -，m ） 由“AB 过点F （2p ，0）”得 AB l ：2 p ty x += 将上式代入抛物线px y 22=中得：0222=--p pty y 可知 221p y y -=? 又依“1212px y =及2222px y =”可知 ) (212222212 11p y p p p y p x +=+=+ )(22222222121 2142 22p y y p p py p p p y p x +=+=+=+ 因此 22221121p x m y p x m y k k + -+ +-=+ ) () (2)()(2221122 122112p y p m y p y p y p m y p +--++-=p m 2-= 而p m p p m k -=---=)2 (203 故3212k k k =+ 即直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列． 【例8】 已知a =(x,0)，b =(1， y)((-⊥+ (1)求点P(x ，y)的轨迹C 的方程； (2)若直线l ：y=kx+m(km ≠0)与曲线C 交于A 、B 两端，D(0，－1),且有|AD|=|BD|，试求m 的取值范围。 解：（1 ）)3,3(),1(3)0,(y x y x +=+=+ )3,3(),1(3)0,(y x y x --=-=- ∵((-⊥+ ∴((-?+=0 ∴0)3(3)3)(3(=-?+-+y y x x 得13 22=-y x ∴P 点的轨迹方程为13 22 =-y x （2）考虑方程组??? ??=-+=132 2y x m kx y 消去y ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3=0(*) 显然1－3k 2 ≠0 △=（6km ）2－4(－3m 2－3)=12(m 2+1)－3k 2 >0 设x 1,x 2为方程*的两根，则2 21316k km x x -= + 22103132k km x x x -=+= ∴ 2 031k m m kx y -=+= 故AB 中点M 的坐标为(2313k km -，2 31k m -) ∴线段AB 的垂直平分线方程为：)313)(1(312 2k km x k k m y ---=-- 将D(0，－1)坐标代入，化简得：4m=3k 2 －1 故m 、k 满足?????-=>-+1 340312 22k m k m ，消去k 2得：m 2 －4m>0 解得：m<0或m>4 又∵4m=3k 2－1>－1 ∴m>－4 1 故m ),4()0,4 1 (+∞?-∈. 【直线与圆锥曲线练习】 一、选择题 1．斜率为1的直线l 与椭圆4 2 x +y 2=1相交于A 、B 两点，则|AB |的最大值为( ) A.2 B.554 C.5 10 4 D.5108 2．抛物线y =ax 2与直线y =kx +b (k ≠0)交于A 、B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1,x 2,直线与 x 轴交点的横坐标是x 3,则恒有( ) A.x 3=x 1+x 2 B.x 1x 2=x 1x 3+x 2x 3 C.x 1+x 2+x 3=0 D.x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=0 二、填空题 3．已知两点M (1，45)、N (－4，－45 )，给出下列曲线方程：①4x +2y －1=0, ②x 2+y 2 =3,③2 2x +y 2=1,④22x －y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP |=|NP |的所有曲线方程是 _________. 4．正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________. 5．在抛物线y 2=16x 内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_________. 三、解答题 6．已知抛物线y 2=2px (p ＞0),过动点M (a ,0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ，且|AB |≤2p . (1)求a 的取值范围. (2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ， 求△NAB 面积的最大值. 7．已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 的双曲线过点P (6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G M 、N ，问：是否存在直线l ,使G 平分线段MN 圆锥曲线基础测试题大 全 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 （北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆116 252 2=+ y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程 为 （ ） A ．116922=+ y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．2 5 B ．5 C ． 2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 11．椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率是 2 3 ，则它的长半轴的长是（ ） （A ）1 （B ）1或2 （C ）2 （D ）2 1 或1 13. 抛物线y =－8 x 2 的准线方程是（ ）。 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2 高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系； （2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围； （3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数， 通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。 （4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是 均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点 【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（） 圆锥曲线测试题及详细答案 一、选择题： 1、双曲线 22 1102x y -=的焦距为（ ） 2.椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ） A ． 2 3 B ．3 C ．27 D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|132 2-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 4．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 5、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三 角形，则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1 6．双曲线)0(12 2≠=-mn n y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ． 163 B ．83 C ．316 D ．3 8 7. 若双曲线22 21613x y p -=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ) (A)2 (B)3 (C)4 8．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 数学专题复习系列 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0； 点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0 两条曲线的交点 若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则 f 1(x 0,y 0)=0 点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点? f 2(x 0,y 0) =0 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2+y 2=r 2 (2)一般方程 当D 2+E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2+y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2E ，半径是2 4F -E D 22+.配方，将方程x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 高二数学圆锥曲线知识整理 知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?? ???>=0e ,e d |PF ||P ，其中F 为定点，d 为P 到定直线的 距离，F ? ，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2＝2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1，F2是椭圆4x2 49 ＋ y2 6 ＝1的两个焦 点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2＋ y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点F交椭圆于A，B两点，P为右准线上任意一点，则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2，4b2]，则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 ， 3 2 ] B.[ 3 3 ， 2 2 ] C.[ 5 3 ， 2 2 ] D. [ 3 3 ， 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ，F 分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和左焦点，点B 为椭圆短轴的一个端点，若BF →·BA →＝0=0，则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的 右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧，那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的 左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2的顶点在原点，它的准线与双曲线C 1的左准线重合，若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2，则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的中心，右焦 点，右顶点，右准线与x 轴的交点依次为O ，F ，A ，H ，则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2＝x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ，则|FA | 数学圆锥曲线测试高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线 x 2a 2－ y 2 b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 221(6)106x y m m m +=<--与曲线22 1(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ） Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程． 2021-2022年高考数学二轮复习 攻克圆锥曲线解答题的策略 新人教版 摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 ②点到直线的距离 ③夹角公式： （3）弦长公式 直线上两点间的距离： =或 （4）两条直线的位置关系 ①=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程： 22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程： (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程： 距离式方程：2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M 满足则动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：122 tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 122cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减， 上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y + +抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设、，为椭圆的弦中点则有 ，；两式相减得 ()()03 4 2 22 1 2 2 2 1 =-+-y y x x ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-= 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数 的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A 、B 、F 共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k 存在。 例1、已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）. （1）若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; （2）若角A 为，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程. 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC 的斜率，从而写出直线BC 的方程。第二问抓住角A 为可得出AB ⊥AC ，从而得016)(14212121=++-+y y y y x x ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D 的轨迹方程； 解：（1）设B （,）,C(,),BC 中点为(),F(2,0) 锥曲线专题训练 一、定义 【焦点三角形】 1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点， 9 4 (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求的面积 2 2 2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点, (1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积 (2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积 2 2 3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的 a~ b~ 圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。 Y2 v2 4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？ V-2 V2V-2 V2 5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(- 。,0)、 a~ b~〃广 F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值. 二、方程 已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。 2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程) :—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心 的轨迹方程是什么？AA 题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切, 求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。. （2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。 3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。 已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0 三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦 长.弦长公式： （2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”. 3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有： ?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”. 4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用. 1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6 线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48 中点〃的长。 2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若 与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件 9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 10．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦与其中垂线性质（定值 3） 问题探究10 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 中垂线交x 轴于点D ，是否存在实常数λ，使1AB F D λ=恒成立？ 实验成果 动态课件 设椭圆焦点弦AB 的中垂线交长轴于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设双曲线焦点弦AB 的中垂线交焦点所在直线于点D ，则∣DF ∣与∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 设抛物线焦点弦AB 的中垂线与对称轴交于点D ，则∣DF ∣与 ∣AB ∣之比为离心率的一半（F 为焦点） 备用课件 （北师大版）高二数学《圆锥曲线》基础测试试题 一、选择题 1.已知椭圆 116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为 （ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 2. 椭圆32x 2+16 y 2 =1的焦距等于（ ）。 A ．4 B 。8 C 。16 D 。123 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 （ ） A ． 116922=+y x B ．1162522=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是 （ ） A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．两条射线 D ．一条射线 5．设双曲线的半焦距为c ，两条准线间的距离为d ，且d c =，那么双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．3 6．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 （ ） A ．25 B ．5 C ．2 15 D ．10 7. 抛物线y 2=8x 的准线方程是（ ）。 （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =－4 （D ）y =－2 8．已知抛物线的焦点是F (0，4)，则此抛物线的标准方程是( ) （A ）x 2＝16y （B ）x 2＝8y （C ）y 2＝16x （D ）y 2＝8x 9.经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（ ） （A ）y 2＝4x （B ）x 2＝ 21y (C ) y 2＝4x 或x 2＝2 1 y (D ) y 2＝4x 或x 2＝4y 10．若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 （ ） A ．(7, B ．(14, C ．(7,± D ．(7,-± 圆锥曲线大综合 第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） =+，存在实数，三角形（等边、等腰、题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m 直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分知识储备 一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,2x =二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = 或d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则 111 2 ,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程 第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。 高二圆锥曲线单元测试 姓名： 得分： 一、选择题： 1．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是（ ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对 2．设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ ） A. 1或5 B. 1或9 C. 1 D. 9 3、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形， 则椭圆的离心率是（ ）. A. B. C. 2 D. 1- 4．过点(2,-1)引直线与抛物线2 x y =只有一个公共点,这样的直线共有( )条 A. 1 B.2 C. 3 D.4 5．已知点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(y y x P =?满足，则点P 的轨迹是 ( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 6．如果椭圆 19 362 2=+y x 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 7、无论θ为何值，方程1sin 22 2=?+y x θ所表示的曲线必不是（ ） A. 双曲线 B.抛物线 C. 椭圆 D.以上都不对 8．方程02 =+ny mx 与)02+mx 的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ） C 二、填空题： 9．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19 72 2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③ 双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 ； 10．若直线01)1(=+++y x a 与圆022 2 =-+x y x 相切，则a 的值为 ； 11、抛物线2 x y -=上的点到直线0834=-+y x 的距离的最小值是 ； 12、抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标 ； 13、椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上， 那么|PF 1|是|PF 2|的 ； 14．若曲线 15 42 2=++-a y a x 的焦点为定点，则焦点坐标是 。 三、解答题： 15．已知双曲线与椭圆 125922=+y x 共焦点，它们的离心率之和为5 14，求双曲线方程.（12分） 16．P 为椭圆 19 252 2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若?=∠6021PF F （1）求△21PF F 的面积； （2）求P 点的坐标．（14分） 17、求两条渐近线为02=±y x 且截直线03=--y x 所得弦长为 3 3 8的双曲线方程.（14分） 18、知抛物线x y 42 =，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分） 19、某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口 A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？ 20、点A 、B 分别是椭圆 120 362 2=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥。 （1）求点P 的坐标； （2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到M 的距离d 的最小值。圆锥曲线基础测试题大全
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