《2018年高考文科数学分类汇编》
第十三篇：极坐标与参数方程
解答题
1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为xOy C 2cos 4sin x θy θ=??=?
，θl 1cos 2sin x t αy t α
=+??=+?，t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=?
，
θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P
4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
参考答案
解答题
1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=．
（2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．
当
1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故
43
k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43
k =-
时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当
2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43
k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43
k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23
y x =-+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116
42
2=+y x ． 当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得α
αα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．
3.解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是． cos 0α≠l tan 2tan y x αα=?+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2
απ=l O 2απ≠
tan k α=
l y kx =-l
O 1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44
π3π
（2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，
所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l 的极坐标方程为πsin()26
ρθ-=， 则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6
． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =
π2， 所以π4cos 236
AB ==． 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23．
l cos ,(2sin x t t y t αα
=???=-+??44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A B P t t t +=A t B t 222sin 10t t α-+=22sin A B t t α+=2sin P t α=P (,)x y cos ,2sin .P P
x t y t αα=???=-+??P 2sin 2,222cos 2x y αα?=????=--??(α44απ3π<<)