分式的混合运算
1.约分
把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分.约分的依据是分式的基本性质. 若分式的分子、分母是多项式，必须先把分子、分母分解因式，然后才能约去公因式. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，又叫做既约分式.分式的运算结果一定要化为最简分式.
2.分式的乘法
3.分式的除法
4.分式的乘方
求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b
a )n
. 分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：
例1、下列分式a
bc 1215，a b b a --2
)(3，)(222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ).
A.1
B.2
C.3
D.4
例2.计算：3234)1(x y y x ? a
a a a 2122)2(2+?-+ x y xy 22
63)3(÷
4
1441)4(222--÷+--a a a a a 例3、 若432z
y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值.
例4、计算
（1）3
3
22）（c b a - （2）43222)()()(x y x y y x -÷-?- （3）2
33
2
)3()2(c
b a b
c a -
÷- （4）232222)()()(x y xy xy x y y x -?+÷-
例6.计算：20
181
19171531421311?+
?++?+?+?Λ
例7、已知
2
1)2)(1(12++-=+-+x B
x A x x x ,求A. B 的值。
计算下列各题:
（1）2
222223223x y y
x y x y x y x y x ----+--+ （2）111132
2+-+--+a a a a .
(3)296
31a a --+ (4) 21x x -－x －1 (5)3a a --263a a a +-+3a
，
(6)x y y y x x y x xy --++-222 ⑺b a b b a ++-22 ⑻2
93
261623x
x x -+--+
⑼xy y x y x y x 2
211-????
? ??+-- ⑽ 222x x x +--2144x x x --+（11）a a a a a a 4)22(2-?+--．
2．已知x 为整数，且9
18
232322
-++-++x x x x 为整数，求所有的符合条件的x 的值的和．
3、混合运算：
⑴2239(1)x x x x ---÷ ⑵232224
x
x x x x x ??-÷ ?+--?? ⑶ a a a a a a 112112
÷+---+
⑷ 444)1225(222++-÷+++-a a a a a a ⑸
)1x 3
x 1(1
x 1x 2x 22+-+÷-+-
⑹ )25
2(23--+÷--x x x x ⑺
221111121
x x x x x +-÷+--+
⑻2224421142x x x x x x x -+-÷-+-+ ⑼2211xy x y x y x y ??
÷- ?--+??
⑽ (ab b a 22++2)÷b a b a --2
2 ⑾2
2321113
x x x x x x x +++-?--+
(12) x
x x x x x x x x 416
)44122(2222+-÷+----+ (13)、22234()()()x y y y x x -?-÷-
(14))2
5
2(423--+÷--m m m m （15）
、x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222
（16）、 ()32122
21221------??? ??b a c b b a （17）、??? ??---÷???
? ??+--x x x x x 2344182322
4．计算：x x
x x x x x x -÷+----+4)4
4122(2
2，并求当3-=x 时原式的值．
5、先化简，x x x x x x
11132-?
??
? ??+--再取一个你喜欢的数代入求值：
6、有这样一道题：“计算22211x x x -+-÷21
x x x
-+-x 的值，其中x=2 004”甲同学把“x=2 004”错
抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回事？ 7、计算、)1(1+a a ＋)2)(1(1++a a ＋)3)(2(1++a a ＋…＋)
2006)(2005(1
++a a 。
8、已知)5)(2(14--+x x x =5-x A ＋2
-x B
，求A 、B 的值.
9、已知y 1=2x ，y 2=1
2y ，y 3=22y ，…，y 2006=20052y ，求y 1·y 2006的值.
10、.已知x y =4
3，求y x x +＋y x y -－222
y x y -的值.
11.若x ＋y=4，xy=3，求x y +y x 的值. 12、若x ＋x
1
=3,求1242++x x x 的值.
13、⑴已知：b a b a +=
+111则=+b a a b 。 ⑵已知：a 2－3a+1=0则a 2
+21a
= a 4
+
41
a
= . 14、已知x 2
+4y 2
-4x+4y+5=0，求224
42y xy x y x -+-·2
2y xy y x --÷(y y x 22+)2的值.
15、（阅读理解题）请阅读下列解题过程并回答问题：
计算：2
2644x x x --+÷（x+3）·263x x x +-+． 解：2
26
44x x x
--+÷（x+3）·263x x x +-+ =
2
2644x x x --+·（x 2
+x －6）①
=
2
2(3)
(2)x x --·（x+3）（x －2）②
=22182
x x -- ③
上述解题过程是否正确？
如果解题过程有误，请给出正确解答
16.已知a 2
+10a+25=－│b －3│，求代数式42()b a b -·32232a ab a b b +-÷22
2
b a ab b
-+的值．
17、若311=-y x ，则=---+y xy x y xy x 33535 。
18、若0442
2
=+-y xy x ；则=+-y
x y
x 。 19、若
=-+=++9
641
8173212
2y x y x ，则 。 20、=-=n
m 1
1mn n -m ，则若 。 21、=-≠-+b
a a
b b a 1
1,011则互为倒数，且与若 。
22、=+=+-2
221
,015x x x x 则若 。 23、已知为：的代数式表示则用含y x y y x ,1
1
+-=
。 24、若=-+?+==4
42
2)(;2006,2005y
x y x y x y x 则 。 25、=-?-=20062005)(1,109x
y x x y x y ）则（若
。 26、若2
22
2,2b a b ab a b a ++-=则=
27、已知：
311=-b a ，求分式b
ab a b
ab a ---+232的值： 28. 甲、乙两人从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同向而行,则b 小时甲追上乙,那么
甲的速度是乙的速度的( )
A.
b b a +倍 B. b a b + C.a b a b -+倍 D. a
b a
b +-倍
29. 观察如图1的图形(每个正方形的边长均为1)和相应的等式,探究其中的规律:
① 1×
21=1－21 ② 2×32=2－32
③ 3×43=3－43
④4×54=4－5
4
……
(1) 写出第五个等式,并在图2给出的五个正方形上画出与之对应的图形; (2) 猜想并写出与第n 个图形相对应的等式.
(数形结合,根据规律画图,由特殊到一般找出分式的表达式)
30.观察下面一列有规律的数:
31，82，153，244，355，48
6…根据其规律可知第n 个数应是 _______________ (n 为整数)
31、一水池有甲乙两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a 小时、b 小时可注满空池；现两管同时打开，那么注满空池的时间是（ ）
（A ）
11a b + （B ）1ab （C ）
1a b + （D ）ab
a b
+ 32、汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v km ，t 小时可以到达，如果每小时多行驶2v km ，那么可
以提前到达的小时数为 （ ）
（A ）
212v t v v + （B ） 112v t v v + （C ）1212v v v v + （D ）1221
v t v t
v v -
33、在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为V 1(km/h)下坡时的速度为V 2，（km/h),则他在这段
路上、下坡的平均速度为（ ） A.
221v v + B.2121v v v v ++ C. 2
12
12v v v v + D. 无法确定 34、一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时.
A.
11a b + B.1ab C.1a b + D.ab a b
+
……
35、若已知分式
9
61|2|2
+---x x x 的值为0，则x －2
的值为（ ） A.91或－1 B. 9
1
或1 C.－1 D.1
一．解答题 1．计算： （1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算： 3．化简：． 4．（2007?双柏县）化简： 5．（2006?襄阳）计算：． 6．（2005?江西）化简?（x2﹣9） 7．（2007?北京）计算：． 8．（2005?宜昌）计算：+． 9．（2001?吉林）计算：（1）；（2）．10．（2001?常州）． 11．计算：
12．计算：﹣a﹣1． 13．计算： （1）（2） 14．计算：a﹣2+ 15．计算：． 16．化简：，并指出x的取值范围． 17．已知ab=1，试求分式：的值． 18．计算：﹣ 19．（2010?新疆）计算： 20．（2009?太原）化简： 21．（2009?上海）计算：． 22．（2009?眉山）化简： 23．（2009?江苏）计算：（1）；（2）．
24．（2009?东营）化简： 25．（2008?白银）化简：． 26．（2007?南昌）化简： 27．（2007?巴中）计算： 28．（2006?宜昌）计算：（）÷ ． 29．（2006?十堰）化简：． 30．（2006?南充）计算：﹣x ﹣2） 31．（2015?眉山）计算： 1 121222-+÷+--x x x x x x 32．（2015?宜昌）化简：12 1 122 2++-+-x x x x 33．（2015?厦门）计算：12 1++++x x x x 34．（2015?柳州）计算：a a a 1 1+- 35．（2015?佛山）计算：4 8 222---x x
36．（2015?福州）化简：2 22222)(b a ab b a b a +-++ 37．（2015?宜宾）化简：1 )1111(222--÷---a a a a a 38．（2015?青岛）化简：n n n n n 1 )12(2-÷++ 39．（2015?重庆）化简：1 22 )1112(2 ++-÷+-+-x x x x x x 40．（2015?泸州）化简：)11 1(1 22 2+-÷++m m m m 41．（2015?扬州）化简：)11 11(12---+÷-a a a a a 42．（2015?滨州）化简：)3 1 31(96262 +--÷+--m m m m m 43．（2015?广西）化简：2 1 )12(22-÷-+a a a a 44．（2015?连云港）化简：m m m m +-÷++224 )111( 45．（2015?成都）化简：2 1 )412(2+-÷ -++a a a a a 46．（2015?重庆）计算：y y y y y y ++-÷+--2 29 6)181( 47．（2015?南京）计算：b a a a b a b a +÷---)12(222
分式精华练习题 一．解答题 1．计算： （1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算：3．化简：．4．化简：5．计算：． 6．化简?（x2﹣9）7．计算：． 8．计算：+．9．计算：（1）；（2）．10．． 11．计算：12．计算：﹣a﹣1． 13．计算： （1）（2）14．计算：a﹣2+15．计算：．16．化简：，并指出x的取值范围．17．17．已知ab=1，试求分式：的值．18．计算：﹣19．计算：20．化简 21．计算： 22．化简： 23．计算：（1）；（2）．24．化简： 25．化简：．26化简： 27．计算：28．计算：（）÷．29．化简．30．计算：﹣x﹣2）
1.在下列方程中，关于x 的分式方程的个数（a 为常数）有（ ） ①0432212=+-x x ②.4=a x ③.;4=x a ④.;1392=+-x x ⑤;62 1 =+x ⑥ 21 1=-+-a x a x . A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2. 关于x 的分式方程15 m x =-，下列说法正确的是（ ） A ．方程的解是5x m =+ B ．5m >-时，方程的解是正数 C ．5m <-时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程x x x -=++-13 15112 的根是（ ） A.x =1 B.x =-1 C.x =8 3 D.x =2 4.,04 412=+-x x 那么x 2的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 D.-1 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A. 11211-++=-x x x 去分母得，1)2)(1(1-+-=+x x x ； B. 1255 52=-+-x x x ，去分母得，525-=+x x ； C.242222-=-+-+-x x x x x x ，去分母得，)2(2)2(2 +=+--x x x x ； D. ,1 1 32-=+x x 去分母得，23)1(+=-x x ； 6. .赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半书时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A. 21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21 140 140++x x =14 D. 21 1010++x x =1 7.若关于x 的方程 01 11=----x x x m ，有增根，则m 的值是（ ） A.3 B.2 C.1 D.-1 8.若方程 ,) 4)(3(1 243+-+=++-x x x x B x A 那么A 、B 的值为（ ） A.2，1 B.1，2 C.1，1 D.-1，-1 9.如果,0,1≠≠= b b a x 那么=+-b a b a （ ） A.1-x 1 B.11+-x x C.x x 1- D.1 1 +-x x 10.使分式442-x 与6 52 632 2+++-+x x x x 的值相等的x 等于（ ） A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 满足方程 22 11-=-x x 的x 的值是___ 12. 当x =____时，分式x x ++51的值等于2 1. 13.分式方程 02 22=--x x x 的增根是 . 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时. 15. 农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走40分钟后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为 . 16.已知,54=y x 则=-+2 22 2y x y x . 17.=a 时，关于x 的方程 5 3 221+-=-+a a x x 的解为零. 18.飞机从A 飞到B 的路程S ’、速度是,1v ，返回的速度是2v ，往返一次的平均速度是 . 19.当=m 时，关于x 的方程 3 1 3292 -=++-x x x m 有增根. 20. 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m 的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度．若设原计划每小时修路x m ，则根据题意可得方程 . 三、解答题（共5大题，共60分） 21. .解下列方程 (1)x x x --=+-34231 (2) 2123442+-=-++-x x x x x （3）21124 x x x -=--． 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？ 24.小兰的妈妈在供销大厦用12.50元买了若干瓶酸奶，但她在百货商场食品自选室内发现，同样的酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜0.2元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果用去18.40元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 5 3 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？
分式的运算 例1、下列分式a bc 1215，a b b a --2 )(3，) (222b a b a ++，b a b a +-22中最简分式的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 例2.计算：3234)1(x y y x ? a a a a 2122)2(2+?-+ x y xy 2 2 63)3(÷ 41441)4(222--÷+--a a a a a 例3、 若4 32z y x ==,求222z y x zx yz xy ++++的值. 例4、计算 （1）3 3 22）（c b a - （2） 43222)()()(x y x y y x -÷-?- （3）2 33 2 )3()2(c b a b c a - ÷- （4）232222)()()(x y xy xy x y y x -?+÷- 例5计算：1 814121111842+-+-+-+--x x x x x 练习：1.计算：8 87 4432284211x a x x a x x a x x a x a --+-+-+-- 例6.计算：20 18119171531421311?+?++?+?+?Λ 练习1、()()()()()() ()() 1011001 431 321 211 +++ ++++ +++ ++x x x x x x x x Λ 例7、已知 2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A. B 的值。 计算下列各题: （1）2 222223223x y y x y x y x y x y x ----+--+ （2）11 11322+-+--+a a a a .
《分式的乘除法》典型例题 例1 下列分式中是最简分式的是（） A ．264a b B ．b a a b --2)(2 C ．y x y x ++22 D ．y x y x --2 2 例2 约分 （1）36)(12)(3a b a b a ab -- （2）44422 -+-x x x （3）b b 2213432-+ 例3 计算（分式的乘除） （1）22563ab cd c b a -?- （2）42 2 643mn n m ÷- （3）2 33344222++-?+--a a a a a a （4）2 22 22222b ab a b ab b ab b ab a +-+÷-++ 例4 计算 （1）)()()(432 2xy x y y x -÷-?- （2）x x x x x x x --+?+÷+--36)3(446222 例5 化简求值 22232232b ab b a b b a ab a b a b +-÷-+?-，其中3 2=a ，3-=b . 例6 约分 （1）3286b ab ； （2）2 22322xy y x y x x --
例7 判断下列分式，哪些是最简分式？不是最简分式的，化成最简分式或整式. （1）44422-+-x x x ； （2）36 ) (4)(3a b b a a --； （3）22 2y y x -； （4）882122++++x x x x 例8 通分： （1）223c a b ， ab c 2-，cb a 5 （2）a 392 -， a a a 2312---，652+-a a a
参考答案 例1 分析：（用排除法）4和6有公因式2，排除A ．2)(a b -与)(b a -有公因式)(b a -，排除B ，22y x -分解因式为))((y x y x -+与)(y x -有公因式)(y x -，排除D. 故选择C. 解 C 例2 分析（1）中分子、分母都是单项式可直接约分.（2）中分子、分母是多项式，应该先分解因式，再约分.（3）中应该先把分子、分母的各项系数都化为整数，把分子、分母中的最高次项系数化为正整数，再约分. 解：（1）36)(12)(3a b a b a ab --)4()(3)()(3333-?--?-=b a a b b a b a a 3)(4 1b a b --= （2）4 4422-+-x x x )2)(2()2(2-+-=x x x 22+-=x x （3）原式2123486)22 1(6)3432(b b b b -+=?-?+=312482-+-=b b b b b b 634)12)(12(3)12(4-=-++-= 例3 分析（1）可以根据分式乘法法则直接相乘，但要注意符号.（2）中的除式是整式，可以把它看成1 64 mn .然后再颠倒相乘，（3）（4）两题都需要先分解因式，再计算. 解：（1）22563ab cd c b a -?-2253)6(ab c cd b a ?--=b ad 52= （2）422643mn n m ÷-7 43286143n m mn n m -=?-= （3）原式)2)(1)(3)(1()3)(2)(2(++----+=a a a a a a a 1 22--=a a （4）原式)()()()(2b a b a b b a b b a -+÷-+=2 2 22))((b b a b b a b a -=-+= 说明：（1）运算的结果一定要化成最简分式；（2）乘除法混合运算，可将除
16.2分式的混合运算练习题(１） 1、填空： (１)=-?-- x x x 1111 。 （2）若=+= +ab b a b a 则,1 1 。 (3）已知，n m y n m x -=+=1 ,1,那么=-y x 。 2、计算：（１)2322n m m n n m ???? ??÷- （2)2 32344835154b a x x b a -? （3)x x x x x x 3 9622-?+-- （４）4 222 2 a b a a ab ab a b a --÷+- 、 (５）1 1 11++-x x (6)y x y y xy x y x y x y x +-+++÷+-29632 222 （7)a a a a a a 2422-???? ??+--; （8） m m -+-32 9122 ； (9)2 222 2) )((2b a b a ab b a b a b a b a +-÷??? ??+---+ 3、化简求值。 2 1 ,2,222422 232222==+-÷++÷++-y x y x xy x y x y x y x y xy x y x 其中 4、已知，的值。 求y xy x y xy x y x 525232,511+++-=+
16.２分式的混合运算练习题(2) 一、填空 1、已知31=b a ,则222 232b ab a b ab a +---=_＿__＿______＿＿. ２、．在等号成立时,右边填上适当的符号: 22y x x y --=_____y x +1 ． 3、化简( )ab b a b ab -÷-2 的结果为_____＿＿___ 二、选择(４×７) ４、分式ax b ,23bx c ，35cx a 的最简公分母是（ ）A ．5cx 3 B.15ab ｃx C ． 15a ｂcx 2 D ．1５abcx 3 5、如果+-53m 35=-m A ，那么A 等于( )A ． m-8 B.2－ｍ C.１8-3m Ｄ. ３m-１２ 6、分式1 12----x x 约分之后正确的是( ）Ａ. 11+x Ｂ. 11-x C. 11 +-x D. 1 1-- x 7、下列分式中,计算正确的是 A.)(3)(2c b a c b +++=32+a ?B ．b a b a b a += ++2 22 C.22)()(b a b a +- =－1? D.x y y x xy y x -=---1222 8.甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做ａ个,甲做m 个所用的天数与乙做n 个所用的天数相等（其中ｍ≠ｎ)，设甲每天做ｘ个零件，则甲、乙两人每天所做零件的?数分别是( ) A. n m am -、n m an -? Ｂ． n m an -、n m am - Ｃ.n m am +、n m an +??D.m n am -、m n an - 三、计算题 ９、222 255a b ab a -- 10、412232---a a 11、x x x x x x x x 444122 2 2-÷?? ? ??+----+ 12、)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 13、 )1 1()(b a a b b b a a -÷--- 1４、 21x x --ｘ－1 1５ 先化简,再求值：3a a --263a a a +-+3a ，代入一个你喜欢的值，求值. 四、１6、有这样一道题:“计算22211x x x -+-÷2 1 x x x -+-x 的值，其中x=2 ００4”甲同学把“x=２ 004”错抄成“x=２ 04０”，但他的计算结果也正确,你说这是怎么回事？
分式运算的几种技巧 分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。 一、 整体通分法 例1 计算：2 11 ---a a a 【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把（-a -1）看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式. 【解】2222(1)(1)(1)(1)11(1)111111 +--+---=-+=-==------a a a a a a a a a a a a a a a a 二、 先约分后通分法 例2 计算2221 2324+-++-+x x x x x x 分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。 解：原式=)2)(1(1+++x x x +)2)(2()2(+--x x x x =21 +x +2+x x =21++x x 三、 分组加减法 例3计算21-a +12 +a -12-a -21+a 分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。 解：原式=（21-a -21+a ）+（12 +a -12-a ） =44 2-a +142--a =)1)(4(1222--a a 四、 分离整数法 例4 计算 3 x 4x 4x 5x 2x 3x 1x 2x -----+++-++ 方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。 解：原式= (1)1(2)1(4)1(3)11243 ++++-----+-++--x x x x x x x x =1111(1)(1)(1)(1)1243 +-++---++--x x x x =11111243--+++--x x x x =。。。 五、 逐项通分法
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) ４.幂的运算法则 【主要公式】１.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3．分式的乘法与除法：b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= ４.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法；a m ● a n =a m+ｎ; ａm ÷ a n =ａm －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = ａm b ｎ , （a m ) ｎ = a ｍn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解：平方差与完全平方式 (ａ+b ）(a-b ）= a 2 - b ２ ;(ａ±b ）2= a ２±2a ｂ+ｂ2 （一)、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： ． 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 (1) 44+-x x ?(2)2 32+x x (3） 1 22-x （4） 3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件
【例３】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1)3 1+-x x (2) 4 2 ||2--x x ?（3)653 222----x x x x 题型四:考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1)当x 为何值时，分式 x -84 为正； （２)当x 为何值时,分式2 )1(35-+-x x 为负； (３）当x 为何值时,分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1．当x 取何值时,下列分式有意义： （1) 3 ||61 -x (2） 1 )1(32++-x x ??（3) x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： (1）4 |1|5+--x x (2) 5 6252 2+--x x x 3．解下列不等式 (１） 01 2 ||≤+-x x （2) 03 252 >+++x x x (二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一:化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数． (1)y x y x 4 1313221+- (2) b a b a +-04.003.02.0 题型二:分数的系数变号 【例２】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）y x y x --+-? (2）b a a --- ?（３)b a --- 题型三:化简求值题 【例3】已知： 511=+y x ,求 y xy x y xy x +++-2232的值． 提示:整体代入,①xy y x 3=+，②转化出 y x 1 1+．
分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 1- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3 1 +-x x （2） 4 2||2--x x （3） 6 53222----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式 x -84 为正； （2）当x 为何值时，分式2 )1(35-+-x x 为负； （3）当x 为何值时，分式 3 2 +-x x 为非负数. 练习： 1．当x 取何值时，下列分式有意义： （1） 3 ||61 -x （2） 1 )1(32++-x x （3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4 | 1|5+--x x （2） 5 62522+--x x x 3．解下列不等式 （1） 01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：M B M A M B M A B A ÷÷= ??= 2．分式的变号法则： b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x y x 4 1313221+- （2） b a b a +-04.003.02.0
分式的化简 一、比例的性质： ⑴比例的基本性质：a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 二、基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? ( 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 】 知识点睛中考要求
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= ， 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、分式的化简求值 【例1】 先化简再求值： 2 11 1x x x ---，其中2x = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2010年，湖南郴州 ） 【解析】原式()()111x x x x x =---()11 1x x x x -==- 当2x =时，原式11 2x == 【答案】1 2 【例2】 已知：22 21()111 a a a a a a a ---÷?-++，其中3a = 【考点】分式的化简求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】 【解析】22 222 1(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷ ?=-=--++- 【答案】4- 【例3】 ！ 【例4】 先化简，再求值： 22144 (1)1a a a a a -+-÷ --，其中1a =- 【考点】分式的化简求值 例题精讲
分式混合运算练习50题（5月25 ，26，27日完成） （1）（2）（﹣2m2n﹣2）2?（3m﹣1n3）﹣3 2．计算：3．化简：．4．化简：5．计算：．6．化简?（x2﹣9）7．计算：．8．（2005?宜昌）计算：+．9．计算：（1）；
（2）．10．．11．计算：12．计算：﹣a﹣1．13．计算：（1）（2） 14．计算：a﹣2+15．计算：．16．化简：，并指出x的取值范围．
17．已知ab=1，试求分式：的值．18．计算：﹣19．计算：20．化简： 21.计算：．22．化简 23．计算：．24．化简：
25．化简：． 26．化简： 27．计算： 28．计算：（）÷． 29．化简：． 30．计算：﹣x ﹣2） 31．计算： 1121222-+÷+--x x x x x x 32．化简：12 1 122 2++-+-x x x x
33．121++++x x x x 34．计算：a a a 1 1+- 35．计算：4 8 222 ---x x 36．化简：2 22222)(b a ab b a b a +-++ 37．化简：1)1111(222--÷---a a a a a 38．化简：n n n n n 1)12(2-÷++ 39．化简：1 22 )1112(2 ++-÷+-+-x x x x x x 40．化简：)111(1222+-÷++m m m m 41．化简：)1111(12---+÷-a a a a a 42．化简：)3 1 31(96262+--÷+--m m m m m
分式的运算 （一）、分式定义及有关题型 题型一:考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,2 2 π,是分式的 有: ?. 题型二:考查分式有意义的条件 【例2】当x 有何值时,下列分式有意义 （1） 4 4+-x x (２) 2 32+x x （3） 1 22-x (4) 3 ||6--x x (5) x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当x 取何值时,下列分式的值为0. (1) 3 1 +-x x ? （2） 4 2||2 --x x ?（3) 6 5322 2----x x x x 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例４】(1）当x 为何值时，分式 x -84 为正; （2）当x 为何值时，分式 2 )1(35-+-x x 为负； (3）当x 为何值时，分式3 2 +-x x 为非负数. 练习: 1.当x 取何值时，下列分式有意义： (１） 3 ||61 -x ?（２） 1 )1(32++-x x (3） x 111+ 2．当x 为何值时，下列分式的值为零: （1）4 | 1|5+--x x ?(2） 5 62522+--x x x 3.解下列不等式 (1)01 2 ||≤+-x x （2） 03 252 >+++x x x
(二)分式的基本性质及有关题型 1.分式的基本性质: M B M A M B M A B A ÷÷=??= 2．分式的变号法则:b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数. （1)y x y x 4 1313221+-? （２）b a b a +-04.003.02.0 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （１） y x y x --+-? (2）b a a ---??（３）b a --- 题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x ，求 y xy x y xy x +++-2232的值. 【例4】已知:21=-x x ,求221 x x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241 -的值. 练习：
分式混合运算（习题） ? 例题示范 例1：混合运算： 412222x x x x -??÷+- ?--?? ． 【过程书写】 22441222 41622 422(4)(4) 14 x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-?-+-=-+解：原式 例2：先化简(1)211x x x x x x +??+÷??--??，然后在22x -≤≤的范围内选取一个你认为合适的整数x 代入求值． 【过程书写】 2221122112x x x x x x x x x x x x ++--=?--=?-=-解：原式 ∵22x -≤≤，且x 为整数 ∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2 当x =2时，原式=-2 ? 巩固练习
1. 计算： （1）22 221244x y x y x y x xy y ---÷+++； （2）21 1121a a a a ??-÷ ?--+??； （3）22221a a b a ab a b ??-÷ ?--+??； （4）22869 11y y y y y y ??-+--÷ ?++??； （5）2221 122a ab b a b b a -+?? ÷- ?-??； （6）24421x x x x -+?? ÷- ???；
（7）2234221121 x x x x x x ++??-÷ ?---+??； （8）352242x x x x -??÷+- ?--??； （9）253263x x x x --??÷-- ?--?? ； （10）211(1)111x x x ??--- ?-+?? ； （11）22221113x y x y x y x xy x y ????--?÷-- ? ?+--???? ．
分式精华练习题 一．解答题 1．计算： （ 1） （2）（﹣ 2m 2 ﹣ 2 2 ﹣ 1 3 ﹣ 3 n ） ?（ 3m n ） 2．计算： 3．化简： ． 4．化简： 5． 计算： ． 6．化简 ?（ x 2 ﹣ 9） 7．计算： ． 8．计算： + ． 9．计算：（1） ； （2） ． 10． ． 11．计算： 12．计算： ﹣ a ﹣ 1． 13．计算： （ 1） （2） 14．计算： a ﹣ 2+ 15．计算： ． 16．化简： ，并指出 x 的取值范围． 17． 17．已知 ab=1，试求分式： 的值． 18．计算： ﹣ 19．计算： 20．化简 21．计算： 22．化简： 23．计算：（ 1） ； （ 2） ． 24．化简： 25．化简： ． 26 化简： 27．计算： 28．计算：（ ） ÷ ． 29．化简 ． 30．计算： ﹣x ﹣ 2） 1
1.在下列方程中，关于 x 的分式方程的个数（ a 为常数）有（ ） ① 1 x 2 2 x 4 0 ② . x 4 ③. a 4; ④ . x 2 9 1; ⑤ 1 2 3 a x x 3 x 2 ⑥ x 1 x 1 2 . A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 a a m 2. 关于 x 的分式方程 ） 1，下列说法正确的是（ x 5 A ．方程的解是 x m 5 B ． m 5 时，方程的解是正数 C ． m 5 时，方程的解为负数 D ．无法确定 3.方程 1 5 3 ） x 2 x 1 1 的根是（ 1 x A. x =1 B. x =-1 C. x = 3 D. x =2 8 4.1 4 4 0, 那么 2 的值是（ ） A.2 B.1 C.-2 x x 2 x 5.下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） 1 x 2 1 去分母得， x 1 ( x 1)( x 2) 1； A. 1 x 1 x x 5 1 ，去分母得， x 5 2x 5 ； B. 5 5 2x 2x C. x 2 x 2 x x ，去分母得， (x 2) 2 x 2 x(x 2) ； x 2 x 2 4 2 6; D.-1 1 x 1 1 1 A.1- B. 1 C. x D. x x x x x 1 10.使分式 4 与 3 2 的值相等的 x 等于（ ） x 6 x 2 x 2 4 x 2 5x 6 A.-4 B.-3 C.1 D.10 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 11. 满足方程 1 2 的 x 的值是 ___ 12. 当 x=____ 时，分式 1 x 的值等于 1 5 x . x 1 x 2 2 13.分式方程 x 2 2x 0 的增根是 . x 2 14. 一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶 v 1 千米， t 小时可到达，如果每小时多行驶 v 2 千米，那么 可提前到达 ________小时 . 15. 农机厂职工到距工厂 15 千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走 40 分钟后，其余人乘汽 车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的 3 倍，若设自行车的速度为 x 千米 /时， 则所列方程为 . 16.已知 x 4 , 则 x 2 y 2 . y 5 x 2 y 2 17. a 时，关于 x 的方程 x 1 2a 3 的解为零 . x 2 a 5 18.飞机从 A 飞到 B 的路程 S ’、速度是 v 1, ，返回的速度是 v 2 ，往返一次的平均速度是 . D. 2 1 , 去分母得， 2 ( x 1) x 3 ； 19.当 m 时，关于 x 的方程 m 2 1 有增根 . x 3 x 1 x 2 9 x 3 x 3 6. .赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完 .当他读了一半书时，发现平均每天要多 20. 某市在旧城改造过程中， 需要整修一段全长 2400m 的道路． 为了尽量减少施工对城市交通所造 读 21 页才能在借期内读完 .他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读 x 成的影响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 小时完成任务．求原计划每小时修路 页，则下面所列方程中，正确的是 ( ) 的长度．若设原计划每小时修路 x m ，则根据题意可得方程 . 140 140 =14 280 280 140 140 10 10 三、解答题（共 5 大题，共 60 分） A. x x 21 B. x =14 C. x 21 =14 D. =1 21. .解下列方程 x 21 x x x 21 7.若关于 x 的方程 m 1 x 0 ，有增根，则 m 的值是（ ） (1) 1 4 x (2) 4 x 3 x 1 x 1 1 x 1 x 1 2 3 x 4 x 2 x 2 （ 3） ． x 3 x 2 x 2 x 2 4 A.3 B.2 C.1 D.-1 A B 2 x 1 22. 有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期 3 天完成； 8.若方程 , 那么 A 、 B 的值为（ ） 现在先由甲、乙两队合做 2 天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日 x 3 x 4 ( x 3)( x 4) 期多少天？ A.2，1 B.1， 2 C.1， 1 D.-1 ， -1 24.小兰的妈妈在供销大厦用 12.50 元买了若干瓶酸奶， 但她在百货商场食品自选室内发现， 同样的 9.如果 x a 1,b a b （ ） 酸奶，这里要比供销大厦每瓶便宜 0.2 元钱，因此，当第二次买酸奶时，便到百货商场去买，结果 b 0, 那么 b 3 a 用去 18.40 元钱，买的瓶数比第一次买的瓶数多 倍，问她第一次在供销大厦买了几瓶酸奶？ 5 2
分式混合运算（习题） 例题示范 例1：混合运算： 412222x x x x -??÷+- ?--??． 【过程书写】 22441222 41622 422(4)(4) 14 x x x x x x x x x x x x x x ---=-÷----=-÷----=-?-+-=-+解：原式 例2：先化简(1)211x x x x x x +??+÷? ?--??，然后在22x -≤≤的范围内选取一个你认为合适的整数x 代入求值． 【过程书写】 2221122112x x x x x x x x x x x x ++--=?--=?-=-解：原式 ∵22x -≤≤，且x 为整数 ∴使原式有意义的x 的值为-2，-1或2 当x =2时，原式=-2 巩固练习
1. 计算： （1）22 221244x y x y x y x xy y ---÷+++； （2）21 1121a a a a ??-÷ ?--+??； （3）22221a a b a ab a b ??-÷ ?--+??； （4）22869 11y y y y y y ??-+--÷ ?-+??； （5）22 21122a ab b a b b a -+?? ÷- ?-??； （6）24421x x x x -+?? ÷- ???；
（7）2234221121 x x x x x x ++??-÷ ?---+??； （8） 352242x x x x -??÷+- ?--??； （9）253263x x x x --??÷-- ?--?? ； （10）211(1)111x x x ??--- ?-+?? ； （11）22221113x y x y x y x xy x y ????--?÷-- ? ?+--????．
__________ 时，分式 —有意义. 3 错解： x 3时原分式有意义. 【基础精讲】 、分式的概念 1、正确理解分式的概念: 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零 （2）不要随意用“或”与“且”。 例如当x _______ 时，分式坨）有意义？ 错解：由分母;;1 一，得， 3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制. 当x_时，分式——1 有意义.当x _时，分式——1 无意义.当x_时，分式 ------------------------- 1 值为0. - x —1 - x —1 — x —1 二、分式的基本性质： 1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 （1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程 基础，因此，我们要正确 理解分式的基本性质，并能熟练的运用它.理解分式的基本 性质时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中， M 0. ③ 分子、分母必须“同时”乘以 皿俨0），不要只乘分子（或分母）. ④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分 式的值是相等的。但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的. ⑵注意： ①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分 分式性质及运算 1 【例1】有理式（1）-; x （4）专；（5）古；（6） 1 丄中，属于整式的有: ；属于分式的有: （1）例如，当x 为
【例 4】 如果把分式 a b c 亘中的 2x y X , y 都扩大 3倍，那么分式的值一定 A.扩大3倍 2、约分 约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式化为最简分式或整式，根据是分式的基本性质 2 b 2 5】(1)化简的结果为()A. a 2 ab 【例 (2) 化简 B. 扩大9倍 C. 扩大6倍 D. 不变 ,约分过程实际是作除法 ,目的在于把分 (3) 化简 3、通分 *的结果() 2 △ 6 2LJ.的结果是() 2x 6 A.— 2 B . C. D. B. x 2 9 2 C. x 2 9 2 D. 3 通分的依据是分式的基本性质， 法确定： (1) 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； (2) 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积 三、分式 的运算 1、分式运算时注意： 通分的关键是确定最简公分母 .最简公分母由下面的方 (1)注意运算顺序.例如，计算 (3 a) ，应按照同一级运算从左到存依次 3 a 计算的法则进行.错解：原式 二(1 a) 1 (1 a)2 x x x 1 不能去分母 ［，出现了这样的解题错误：原式 ,不要同解方程的去分母相混淆; 式的值不变. ②分式的基本性质是一切分式运算的基础 ，分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于 零的整式，而不能同时加上(或减去)同一个整式 【例3】下列变形正确的是( ). (2)通分时不能丢掉分母.例如，计算 =x x 1 1 .分式通分是等值变形,