2012华东理工大学高等数学（上册）阶段练习及答案
高等数学（上册）阶段练习及答案 一、单项选择题 1、函数)2
sin()(2π
-
=x x f 是 （ B ）
（A ）奇函数；（B ）偶函数；（C ）周期函数；（D ）单调函数
的值是、极限1)(;65)(;32)(;23)()
(21
lim 230 D C B A A x e x x -→
高阶的无穷小是比高阶的无穷小是比是等价无穷小与等价无穷小是同阶无穷小，但不是与时，则当），（、设.
x x D ; x x C ; x x B ; x x A A x x x x x )()()()()()()()()()()()()(02)(21ln )(322αββαβαβαβα→=+=
不存在但不是无穷大 为等于 等于的极限时，、当.
D ; C ;
B ; A D e x x f x x )()(0)(2)()
()1()(041
∞+=→
则常数处连续， ，在， ，、设函数1)(2)(1)(2)()
(11413132)(5--=
=??
?
??
=≠+-+-= D C B A a A x x x x x ax x f
1、
． ． 等于，则、设 6
1
)(6)(32)(23)()()0(13)
0()2(lim
10D C B A
A f x f x f x '=-→
解：
2
3
)0(1
3
2
2)0()2(lim 3)0()2(lim
00='∴=?-=-→→f x f x f x f x f x x
2、设x y +=1ln ，则)( C dx
dy
= （A ）
2x 11- （B ）2
)
x 1(1+- （C ）)1(21
x + （D ）x 11+- 3、设函数f （x ）在0x x =处可导，则)(x
)
x x (f )x x (f lim
000x C =+--→
（A ）)x ('f 20 (B) )x ('f 0 (C) )x ('f 20- (D) 0
)(,85441
434
A t t t S 其加速度为时则设其运动规律为、一质点沿直线运动，=+-= （A ）0 （
B ）1 （
C ） -1 （
D ）2
个不同的实根 有 有三个不同的实根 有唯一实根
无实根 则方程适合、设5)()()()()(0432,,53,,1352D C B A B c bx ax x b a b a =+++<
的驻点不是 但不是极值点的驻点 是的极小值点
是 的极大值点 是则点、设 )()(,,)()()()()()()
(,1)()()(lim
22
x f D x f C x f B x f A B a x a x a f x f a
x ==--→
()
的极值点必定不是 的极值点为 必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， 则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，、若)()()()())(()())(()()(,)(,)(300000000x f x D x f x C
x f x B x f x A
A x f y x f x =
极小值 极大值 极小值 极大值极大值 极小值 ，极大值 极小值的极值正确结论是、关于函数3
32
25
4
53,0)(0,81)(0
,81)(520)()()1()(4----=D C B A D x x x y x
x
D x x C x B x A
D x f x
x f -++--=11ln )(11ln
)(arctan )(arcsin )()
()(,12)(12
的一个原函数为则、设
[][][]
上的定积分，在 差上的积分与一个常数之，在
一个原函数
原函数一般表示式
的是，则 连续，，在、设b a D b a C B A B x f x F b x a t d x f x F b a x f x
a )()()()()
()()()()()()(2≤≤=?
π
πππ3
2)(3)(34)(5)()(,132 积轴旋转所得的旋转体体轴所围成的平面图形绕与直线、曲线D C B A
A V x x x x y ===
同阶但不等价无穷小
等价无穷小 高阶无穷小
低阶无穷小 的是时，，则当，、设)()()()()
()()(065)(sin )(46
50
2
2
D C B A B x g x f x x x x g dt t x f x →+==?
D C B A D f x x x t t x f x
则 ，
，、若6
1
)(32)(31)(1)()()0(0002d tan )(52
02
='????
???=≠=?
二、填空题 1、()[]{}=≠≠-=
x f f f )1x 0x (1
x x
)x (f ，则，设 解：[]f f x f x f x x ()()
()=
-=1
()[]
{}
从而f f f x f x x x ==
-()1
2、．
，则设____________8)21(lim ==+
∞
→a x
a x
x 解：2ln 2
3
8])21[(lim )21(lim 222===+=+∞→∞→a e x a x a a a a x
x x x ，
3、．____2
32123lim
2
2=+--+∞
→n n n n n
解：
2
3 4、函数)
1x (x x
x )x (f 22--=的间断点为 ；其中可去间断点为
解：x=-1，x=0，x=1；x=1
5、____________41
lim
20的值等于x
e x x -→ 解：
2
1 ==-++=dx dy
xy e y x x y y x 所确定，则由方程：、设函数0)(1222
解：)
1(222
--+=x y y e x dx dy x
＿＿＿＿
则时的等价无穷小为与、 若 ='→??-??-?+=?)(,0)
2cos (tan )()(200x f x x x x x f x x f y
解：
1)x 2cos x (tan )
x 2cos x (tan x y lim x y lim
)x ('f 0x 0x -=?-???-???=??=→?→?
3、设x
x y arctan )32(2
-=，则=dy
解：dx x x x x x dy )))(arctan 1()32(arctan )32(4(2
22
+---=
4、设x
y +=
11，则
=dx
dy
解：
)'1()1(12x x dx dy ++-= 22)
1(2121)1(1x x x x +-=?+-= 1、[]的大小顺序为，，，则上，
设在)0(f )1(f )1(f )0(f 0)x (f 10-''>'' 解：)0(f )0(f )1(f )1(f '>->'
2、_____________000)(2==??
?
??=≠-=a x x a x x
e e x
f x
x 处连续则 在， ，设 解：a =1
3、__________________,3
3sin 3
1sin )(==+=a x x x a x f 则处有极值在若π
解：2 4、_________________1
3cos ln lim
的值等于-→x x x
解：0
5、_____________1
)21(lim
30=-+→x
x x
解：6
6、_____________sin 21lim
20=--→的值x x x
e x x
解：2
1、x x x d 1
222?
++=____________.
解：.arctan c x x ++ 2、
__________
__________sin cos 2=?
π
π
-xdx x 解：43
3、
________________________11
arcsin 2
1
2
1
2
2=-+?
－
dx x
x x
解：
π3
4、，是连续函数，且 ，其中 ，，设1)0()(0
0sin )()(2
0=????
???=≠=?f x f x a x x tdt t f x F x
____________a 0x )x (F ==处连续时，在则当
解：
12
5、 _________)()0()()()()(ln 0
=''>=∞+-∞?x F x dt t f x
x F x f x
，则
可导，且，在设 解：x
x f x f )
(ln ')(ln +
6、[]___________________101
2)(02
上的最小值为，在函数 dt t t t
x f x
?+-=
解：0
三、解答下列各题
1、).0()1ln(lim >++∞
→a b a x
b ax x 为常数，且， 求极限
解：
ab x
b
ax x =?
=+∞
→lim 原式
2、[]设，，求及其定义域。f x x x x x f x ()()()=
+=+-1111
22?? 解：时有定义当1)(±≠?x x
[]1
)(1
)(+?=
?x x f 而
121111)(22
22-=+-+=+?x x x x x
[]2
221
)(x
x x f -=?∴
定义域为，，，，()()()()-∞--+∞110011
3、．求数列的极限1
!
sin lim
3
2+∞
→n n n n
解：
0111
11123
233
3233
≤
+≤+<-<+ n n n n n sin !sin !即 而，lim()lim n n n n →∞ →∞-==101 03 3 因此lim sin ! n n n n →∞+=23 1 4、x 3sin x x 2sin x lim 0x +-→ 计算极限 解： 413121x 3x 3s i n 31x 2x 2s i n 21l i m x x 3s i n 1x x 2s i n 1l i m 0x 0x -=+-=? +? -=+-=→→原式 1、[] ',)()(tan 2y u f x f y 求可导，其中设 = 解： [][] )()(sec 22)()(sec 222222x f x f x x x f x f y '?=?'?=' 2、．，求反函数的导数 ，设 )(202y x x e x y x '<<=- 解： 20,0)2(<<≠-='-x x xe y x 20,) 2(1 )('1)(<<-== '-x x xe x y y x x 3、设,e t y e 1x t t ???+=+=-求22dx y d ,dx dy 解：t 2t t t e e e e 1dt dx dt dy dx dy ----=-==， t 3t 2t t 2t 22 e 2e e e 2e dt dx )dx dy (dt d dx y d ----+-=+-== 1、．求为可导函数．其中设 )(,)(ln )(sin 2x y u f x e x f y x '+= 解：)cos sin 2)((sin 'ln )(sin 1 22x x x e x x e x f x e x f x y ++?++= ' x e x e x f e x f x x x x ln )2)(sin (sin ')(sin 1 22++++= 2、x x x e x x 3 2 sin )1(lim --→求极限 解：42x 0x x )x 1e (lim --=→原式 =---→lim ()()x x x e x e x 032114 2 01lim 21x x e x x --=→ =-→121 20lim x x e x = 14 3、 ( ) .sin 1lim 2 12 x x x +→求极限 解：() 2 22 ) sin 1ln(0 120 lim sin 1lim x x x x x e x +→→=+ 1sin lim ) sin 1ln(lim 2 20 2 20 ==+→→x x x x x x () e x x x =+∴→2 120 sin 1lim 4、求函数 的单调区间y x x =ln 2 解： 定义域 (,)ln (ln )022 +∞'= -y x x x 221 , 1 e x x ==解得驻点 (][ )[]2 2,1,,1,0e e 单调增区间是 故函数单调减区间是 +∞ 1、．计算? -+10 )1ln(e dx x 解：原式=+-+--? x x x x dx e e ln() 110 10 1 =--- +-? e x dx e 111 10 1 () []=---+-e x x e 1101 ln() =1 2、计算 .cos 22?dx x x 解：??+==c x x d x dx x x 2222sin )(cos cos 2 3、.d )12(x e x x ?+求 解：c e e x dx e e x e d x x e x x x x x x x +-+=-+=+=+???2)12(2)12()()12(d )12( 4、求曲线所围成的平面图形的面积r =≤≤sin ().θθπ02 解： ??==π πθθθ20 202sin 2121d d r S ??-=π ππ θθθθ02s i n s i n (21d d .2)22(2 1 )c o s c o s (2 120=+=θ+θ-= π ππ 四、设曲线方程为7x y 3e xy =-+，求此曲线在横坐标x=0点处的切线方程和法线方程。 解：当x=0时，y(0)=2, 由xy xy xe 3ye 1'y +-= , 得31 )0('y -= 切线方程为 2x 3 1 y +-=, 法线方程为 2x 3y += 五、[)).1(,,0)(1,10,0,1,0,1ln )(f x f x x x x x x x x f '+∞??? ? ???=-=≠>-=并求上连续在试证明， ， 设函数 解： ) 0(f 0x 1x 1 lim 1x 1 x ln lim x 1x ln x lim )x (f lim )1(20x 0x 0x 0x ==-=-=-=→+→+→+→ 即在处连续f x x ()=0 )1(11 1 ln lim 1ln lim )(lim )2(11 1 f x x x x x f x x x =-=-+=-=→→→ 上连续在从而连续在即),0[)(,1)(+∞=x f x x f ()()lim ()() lim ln lim ln ()lim ln ()lim 311111 1 11211 21 1 1112 11'=--=-+-=-+--=--=--→→→→f f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x =-1 2 四、,21cm 72,3关系：其底边成其体积为的带盖的箱子欲做一个底面为长方形 才使表面积最小问各边长为多少时,。 解： 2 22144 7223)2 2(2 , , 2 , x h h x x xh x h x xh x S h x x ==??+=++= 故 箱子表面积为高为则宽为设底边长为 于是 S x x x =+<<+∞2432 '=- =S x x x cm 2432 62 1唯一驻点 () ''=+ >S x 2864 03 表面积最小 时高分别为宽箱子的长也是最小值点是极小值点故,4,3,6,,,,61cm cm x = 五、证明当时:,ln().x x x x >++>0122 2 解： x x x x f 2)1ln()(22-++=令 ，则 f (0)=0 0122122)(2 >>+=-++='x ,x x x x x f 当x>0时，f(x)单调增加 ，即 f(x)>f(0)=0 , 于是有，当x>0时 x x x 2)1ln(22>++ 六、是等价无穷小，与时，设当)x ()x (x x 0βα→ ． 证明：， ，且A )x (g ) x ()x (f lim A ) x (g ) x ()x (f lim 1a )x ()x (f lim 0x x 0x x 0x x =β-=α-≠=α→→→ 解： )x ()x (f )x ()x (f )x (g )x ()x (f lim ) x (g ) x ()x (f lim 0x x 0x x α-β-?α-=β-→→ =?- -→A f x x x x f x x x x lim ()()() ()()() 01αβααA a a A =--?=1 1 四、 ． 试证：??= 20 2 )(cos )(sin ππ dx x f dx x f 解：令 x u = -π 2 f x dx f u du (sin )(cos )()=-? ?0 2 2 π π ==??f u du f x dx (cos )(cos )0 20 2π π 华东理工大学继续教育学院成人教育 《高等数学》（下）（专升本68学时）练习试卷（1）（答案） 一、单项选择题 1、设xy e y z 2 =，则=)1,1(dz 答（ A ） （A ）)3(dy dx e + （B ）)3(dy dx e - （C ）)2(dy dx e + （D ）)2(dy dx e - 解 （知识点：全微分的概念、全微分的计算方法） 因为 32 , 2xy xy xy x y z y e z ye xy e ==+，得 (1,1) , (1,1)3x y z e z e ==， 所以 (1,1)(1,1)(1,1)3(3)x y dz z dx z dy edx edy e dx dy =+=+=+ 2、设方程0yz z 3y 2x 22 2 2 =-++确定了函数z=z （x ，y ），则 =??x z 答（ B ） （A ） y z x -64 （B ） z y x 64- （C ） y z y +64 （D ）y z y -64 解 （知识点：多元隐函数的概念、隐函数求导法） 将方程两边对x 求导得 460z z x z y x x ??+-=??，解得 46z x x y z ?=?- 3、平面0D Cz By Ax =+++过y 轴，则 答（ C ） （A ）A=D=0 （B ）B=0，0D ≠ （C ）0D ,0B == （D ）C=D=0 解 （知识点：平面0D Cz By Ax =+++中的系数是否为零与平面位置的关系） 由平面0D Cz By Ax =+++过y 轴知平面平行于y 轴 0B ?=. 平面过原点 0D ?=，所以有 0D ,0B ==， 选（C ）. 4、 设u =(0,0) u x ?=? 答（ A ） （A ）等于0 （B ）不存在 （C ）等于1- （D ）等于1 高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数( )()2 0ln 10x f x x a x ≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ??-+ ??? （B ）1f C x ??--+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8．x x dx e e -+? 的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 02f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()1 1102f f -????（C ）()()1202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 0x e x f x x a x -?-≠?=??=? 在0x =处连续，则a =. 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 第十章重积分 § 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值dxdy y x I D ??+=22 其中D 为：422≤+y x ( dxdy y x I D ??+=22=πππ3 16 2. 4. . 312. 4. = - 2、设D 为圆域, 0, 222>≤+a a y x 若积分 dxdy y x a D ?? --2 2 2 =12π，求a 的值。 解： dxdy y x a D ?? --2 2 2 =3 . 34. 21a π 81 =a 3、设D 由圆, 2 1( 2(22围成=-+-y x 求??D dxdy 3 解：由于D 的面积为π2, 故??D dxdy 3=π6 4、设D ：}10, 53| , {(≤≤≤≤y x y x ， ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 221][ln(, ln(，比较1I , 与2I 的大小关系 解：在D 上，ln(y x +≤ 2][ln(y x +, 故1I ≤2I 5、设f(t连续，则由平面 z=0，柱面 , 122=+y x 和曲面2]([xy f z =所围的立体的体积，可用二重积分表示为??≤+=1 :222]([y x D dxdy xy f V 6、根据二重积分的性质估计下列积分的值 ??D ydxdy x 22sin sin ππ≤≤≤≤y x D 0, 0: (≤ 0??D ydxdy x 22sin sin 2π≤ 7、设f(x,y为有界闭区域D ：222a y x ≤+上的连续函数，求??→D a dxdy y x f a , (1 lim 2 0π 解：利用积分中值定理及连续性有 0, 0( , (lim , (1lim 8 2 0f f dxdy y x f a a D a ==→→??ηξπ § 2 二重积分的计算法 1、设?? +=D dxdy y x I 1，其中D 是由抛物线12+=x y 与直线y=2x，x=0所围成的区域，则I=（） A ： 2 第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3 lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 1 x →= . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0 ,0ax x x f x x a x ?+-≠?=? ?=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线2 1 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ” 是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 第 11 章（之1）（总第59次） 教材内容：§11.1多元函数 1．解下列各题： **（1）. 函数f x y x y (,)ln()=+-2 2 1连续区域是 ． 答：x y 2 2 1+> **（2）. 函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=? ?? ? ?22 2222000 ， 则（ ） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 答：（A ） **2. 画出下列二元函数的定义域： （1）= u y x -； 解：定义域为：{ } x y y x ≤) ,(，见图示阴影部分： （2）)1ln(),(xy y x f +=； 解：{} 1),(->xy y x ，第二象限双曲线1-=xy 的上方，第四象限双曲线1-=xy 的下方（不包括边界，双曲线1-=xy 用虚线表示）． （3）y x y x z +-= ． 解： ()()? ? ?-≠≥????≠+≥+-?≥+-y x y x y x y x y x y x y x 000． ***3. 求出满足2 2, y x x y y x f -=?? ? ??+的函数()y x f ,. 解：令?? ? ??=+=x y t y x s ， ∴?? ???+=+=t st y t s x 11 ∴()() ()t t s t t s s t s f +-=+-=111,22 222， 即 ()()y y x y x f +-=11,2． ***4. 求极限： ()() 2 2 0,0,11lim y x xy y x +-+→． 解：()( )( ) ( )( ) 2 222 2 22 2 112111110y x xy y x y x xy xy y x xy ++++≤ +++= +-+≤ () 01 122 2→+++= xy y x （()()0,0,→y x ） ∴ ()() 011lim 2 2 0,0,=+-+→y x xy y x ． **5. 说明极限()()2 22 20,0, lim y x y x y x +-→不存在． 解：我们证明()y x ,沿不同的路径趋于()0,0时，极限不同． 首先，0=x 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0-=-=+-→=y y y x y x y x x ， 其次，0=y 时，极限为()()1lim 22 22220,0,0==+-→=x x y x y x y x y ， 故极限()()2 22 20,0,y y lim +-→x x y x 不存在． **6. 设1 12sin ),(-+= xy x y y x f ，试问极限 ),(lim ) 0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 解：不存在，因为不符合极限存在的前提，在)0,0(点的任一去心邻域内函数 1 12sin ),(-+= xy x y y x f 并不总有定义的，x 轴与y 轴上的点处函数),(y x f 就没有定义． 高等数学练习题库及答 案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2 +x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ． ，，， B ． 23 ，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） .0 C 2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) .2 C 6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） 2 B. x 3-1 C.(x-1)2 (x-1) (x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、 xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 f(x)= 在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 14、设 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 15、若函数f(x)在点x 0连续，则下列复合函数在x 也连续的有（） A、 B、 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 华东理工大学2013–2014学年第二学期 《高等数学（下）11学分》课程期中考试试卷 2014.4 开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟 考生姓名： 学号： 班级 任课教师 题序 一 二 三 四 五 六 总分 得分 阅卷人 注 意：试 卷 共 两 页 六 大 题 一．填空题（本大题共11小题，每小题4分，共44分）： 1、微分方程2 22'y x e y x y -= 的通解为 。 答：C e xe e x x y +-= 224 1212 2、微分方程0''9) 4(=+y y 的通解为 。 答：x C x C x C C y 3sin 3cos 4321+++= 3、函数 z x y u )(= 对变量x 的偏导数 =x u 。 答：1 2 )(-- =z x x y x yz u 4、设 ))arctan(,,(xyz e y xze f u z y +=，其中f 关于所有变量有一阶连续偏导数， 则 =??y u 。 答： 3222211f z y x xz f f xze y u y +++=?? 5、设函数z z x y =(,)由方程 ),(y z xz f z = 所确定，其中f 关于所有变量有一阶连续偏 导数，则 ??z y = 。 答： 2 1222 yf f xy y zf --- 6、设1)(-=??c b a ρ ρρ，则=+?+?)]()[(c b b a b ρρρρ? 。 答： 1 7、函数)ln(22z y x u ++ =在点)1,0,1(处最大的方向导数等于 。 答： 2 2 8、微分方程 0'2''=+y xy 的通解=y 。 答： 21 C x C y +- = 9、设平面π过直线???=+-=++0 4, 05:z x z y x L 则原点到平面π距离d 的范围是 。 答： ]22,0[ 10、设),(y x z z =由方程2 xyz e z =所确定，则=dz 。 答： dy xyz e xz dx xyz e yz dz z z 222 2-+-= 11、求一个最低阶的常系数线性齐次微分方程，使得x 和x x cos sin +都是它的 特 解 ， 则 该 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 为 。 答：0'') 4(=+y y 二．选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）： 1、若连续函数)(x f 满足2ln )2 ()(20+=?dt t f x f x ，则=)(x f （ ） （A ）2ln x e ； （B ）2ln 2x e ； （C ）2ln +x e ； （D ）2ln 2+x e 。 第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解． 高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、 当0x →+时，（A ）无穷小量。 A 1sin x x B 1 x e C ln x D 1 sin x x 2、点1x =是函数31 1()1131x x f x x x x -? 的（C ）。 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、已知极限22 lim()0x x ax x →∞++=，则常数a 等于（A ）。 A -1 B 0 C 1 D 2 5、极限2 01 lim cos 1 x x e x →--等于（D ）。 A ∞ B 2 C 0 D -2 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、21lim(1)x x x →∞ -=2 e - 2、 当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常 数A=3 3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数2 1()2 x f x -=， 则函数值(0)f =0 4、 111lim[ ]1223(1) n n n →∞+++??+L =1 5、 若lim ()x f x π →存在，且sin ()2lim ()x x f x f x x ππ →= +-，则lim ()x f x π→=1 二、解答题 1、（7分）计算极限 222111 lim(1)(1)(1)23n n →∞- --L 解：原式=132411111 lim()()()lim 223322 n n n n n n n n →∞→∞-++???=?=L 2、（7分）计算极限 3 0tan sin lim x x x x →- 解：原式=2 322000sin 1sin 1cos 1cos 2lim lim lim cos cos 2 x x x x x x x x x x x x x →→→--=== 3、（7分）计算极限 1 23lim()21 x x x x +→∞++ 解：原式= 11 122 11 22 21lim(1)lim(1)1212 11lim(1)lim(1)11 22 x x x x x x x x x e x x +++→∞→∞+→∞→∞+=+++ =+?+=++ 4、（7分）计算极限 1 x e →-解：原式=201 sin 12lim 2 x x x x →= 5、（7分）设3214 lim 1 x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值 解：因为1 lim(1)0x x →-+=，所以 3 2 1 lim(4)0x x ax x →---+=， 因此 4a = 并将其代入原式 321144(1)(1)(4) lim lim 1011 x x x x x x x x l x x →-→---++--===++ 高等数学练习题附答案文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256） 《高等数学 》 专业年级学号姓名 一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （）1.收敛的数列必有界. （）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3.闭区间上的间断函数必无界. （）4.单调函数的导函数也是单调函数. （）5.若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （）6.若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （）7.若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （）8.若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10.设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且1)0()0(+'=''f f ,则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1.设2)1(x x f =-，则=+)1(x f . 2.若1 212)(11+-= x x x f ，则=+ →0lim x . 3.设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g ,6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g . 4.设y x xy u + =,则=du . 5.曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为. 6.设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f x f x F f +==',则=')1(F . 第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b → → ?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2()αβ→→ ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为1111220 A x B y C z D B y D +++=?? +=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -= - 10 7 z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 2216 0x y z ?+=?=? ，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是 ( ). (A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D) 2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π，且2,5a b →→==， 求(2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： 高等数学测试试题 一、是非题（ 3’× 6=18’） 1、 lim (1 x) x e. （ ） x 0 2、函数 f ( x) 在点 x x 0 处连续，则它在该点处必可导 . （ ） 3、函数的极大值一定是它的最大值. （ ） 4、设 G ' x f ( x), 则 G( x) 为 f ( x) 的一个原函数 . （ ） 1 0. ( ) 5、定积分 x cos xd x 1 6. 函数 y x 2 是微分方程 x d y 2 y 0 的解 . （ ） d x 二、选择题（ 4’× 5=20’） 7、函数 f ( x) sin 1 是定义域内的（ ） x A 、单调函数 B 、有界函数 C 、无界函数 D 、周期函数 8、设 y 1 2x ，则 d y （ ） A 、 2 x d x B 、 2 x ln 2 C 、 2x ln 2 d x D 、（ 1+ 2x ln 2) d x 9、设在区间 [ a, b] 上 f ' (x) 0, f " ( x) 0, 则曲线 y f ( x) 在该区间上沿着 x 轴正向（ ） A 、上升且为凹弧 B 、上升且为凸弧 C 、下降且为凹弧 D 、下降且为凸弧 10、下列等式正确的是（ ） A 、 C 、 f '( x) d x f ( x) f '( x) d x f ( x) C B 、 D 、 f ( x) d x f '( x) f ( x) d x f '( x) C 2 2 2 11、 P cos 2 x d x, Qsin 3x d x, R sin 2 x d x, 则（ ） 2 A 、 P Q R B 、 Q P R C 、 P R Q D 、 R Q P 三、选择题（ 4’× 5=20’） 12．函数 f ( x) x 2 的间断点为（ ） 3 x 3 A 、 3 B 、 4 C 、 5 D 、6 13、设函数 f ( x) 在点 x 0处可导，且 lim h 1 , 则 f ' (0) （ ） h 0 f ( h) f (0) 2 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 华东理工大2021数学分析考研配套考研真题 一、配套华东师大数学分析考研真题解析一 数列{a n}收敛的充要条件是对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。（）[华东师范大学2008年研] 【答案】错查看答案 【解析】可举反例加以证明：设数列{a n}收敛，则对任意ε＞0，存在正整数N，使得当n＞N时，恒有｜a2n－a n｜＜ε。 反之不真，例如设 显然有 但{a n}发散。 2对任意给定的x0∈R，任意给定的严格增加正整数列n k，k＝1，2，…，存在定义在R上的函数f（x）使得 f（k）（x0）表示f（x）在点x0处的k阶导数）。（）[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案 【解析】例如函数f（x）＝（x－x0）n就满足条件。 3设f（x）在[a，b]上连续，且，则f（x）在[a，b]上有零点。（）[华东师范大学2008年研] 【答案】对查看答案 【解析】因为f（x）在[a，b]上连续，所以存在ξ∈（a，b），使得 即f（x）在（a，b）内有零点。 4对数列{a n}和 若{S n}是有界数列，则{a n}是有界数列。（）[北京大学研] 【答案】对查看答案 【解析】设｜S n｜＜M，则｜a n｜＝｜S n－S n－1｜≤2M。 二、浙江大学819数学分析A考研真题 一、（40分，每小题10分） （1）； （2）； （3）设，表示不超过的最大整数，计算二重积分； （4）设.求. 二、（10分）论证是否存在定义在上的连续函数使得. 三、（15分）讨论函数项级数的收敛性与一致收敛性. 四、（15分）设均为上的连续函数，且为单调递增的， ，同时对于任意，有. 证明：对于任意的，都有. 五、（5分）； （10分）. 六、（5分）构造一个在闭区间上处处可微的函数，使得它的导函数在 上无界； （15分）设函数在内可导，证明存在，使得 在内有界. 七、（15分）设二元函数的两个混合偏导数在附近存在，且在处连续.证明：. 八、（20分）已知对于实数，有公式，其中求和是对所有不超过的素数求和.求证： 《高等数学》入学考试大纲 一.考核目标: 1.了解函数, 极限, 连续, 导数, 微分, 不定积分, 定积分等 基本概念及基本理论. 2.熟练掌握极限, 导数, 积分等基本运算, 并能应用于实际问题. 二.考试内容: (一)函数 1.函数的概念: 函数定义, 分段函数 2.函数的简单性质:单调性, 奇偶性, 有界性, 周期性. 3.反函数 4.函数的四则运算与复合运算 5.基本初等函数及初等函数 (二)极限 1.数列极限的概念 2.数列极限的性质:唯一性, 有界性, 四则运算定理,夹逼定理, 单调有界数列极限存在定理. 3.函数极限的概念 4.函数极限的定理: 唯一性, 夹逼定理, 四则运算定理. 5.无穷小量和无穷大量 6.两个重要极限 (三)连续 1.函数连续的概念, 函数的间断点. 2.函数在一点处连续的性质. 3.闭区间上连续函数的性质. 4.初等函数的连续性 (四)导数与微分 1.导数的概念: 导数定义, 左导数与右导数, 导数的几何意义, 导数与连续的关系. 2.导数的四则运算法则与导数的基本公式. 3.求导法则, 复合函数的求导法, 隐函数的求导法, 对数求导法. 4.高阶导数的概念: 高阶导数的定义, 二阶导数的计算. 5.微分: 微分的定义, 微分与导数的关系, 微分法则 (五)中值定理及导数的应用 1.中值定理: 罗尔中值定理, 拉格朗日中值定理. 2.洛比达法则 3.函数增减性的判定法 4.函数极值及极值点, 最大值与最小值 5.曲线的凸凹性, 拐点 (六)不定积分 1.不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义,不定积分的性质. 2.基本积分公式 3.换元积分法, 第一类换元法, 第二类换元法 4.分部积分法 5.一些简单有理函数的积分华东理工大学继续教育学院《高等数学》(下)练习试卷(答案)
高等数学专科复习题及答案
高等数学考试题库(附答案)
高数习题集(附答案)
高等数学 习题册解答_10.重积分(青岛理工大学).
高等数学练习题附答案
高等数学练习题(附答案)
华东理工大学高等数学(下册)第11章作业答案
高等数学练习题库及答案
(完整)高等数学练习题(附答案)
华东理工大学级(下)高等数学期中考试试卷(学分)解答
华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案
(完整版)高等数学测试题一(极限、连续)答案
高等数学练习题附答案
关于同济版高等数学下册练习题附答案
(完整版)高等数学测试题及答案.docx
大学高等数学上习题(附答案)
华东理工大2021数学分析考研配套考研真题
华东理工大学网络教育学院专起本高等数学2考试复习大纲
相关主题
文本预览