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人教版八年级上册数学讲义

八年级数学讲义

第11章三角形

一、三角形的概念

1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形的表示

△ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b．

顶点：A，B，C ．

内角：∠A ，∠B ，∠C．．

二、三角形的边

1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法）

(1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a

(2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-c

1.1判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形.

当a最长，且有b+c>a时,就可构成三角形.

1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和.

2.三角形的主要线段

2.1三角形的高线

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线

①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点；

②直角三角形三条高线交于直角顶点；

③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点

2.2三角形的角平分线

三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点.

2.3三角形的中线

连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。

三角形的三条中线交于三角形内部一点.

三、三角形的角

1 三角形内角和定理

结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角

结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数

2三角形外角和定理

2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角．

2.2性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

2.3外角个数：

过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），

可见一个三角形共有6个外角

四、三角形的分类

(1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形

(2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形

五多边形及其内角

1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。

3、多边形的对角线

(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。

(2)n边形共有条对角线。

4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360°

※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关.

※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）；

※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角.

5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状

8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。

9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。

10、若△ABC 的三边为a 、b 、c （a 与b 不相等），且满足a 3-a 2b+ab 2-ac 2+bc 2-b 3=0，试判断△ABC 的形状。

二、三角形角有关计算

1.如图△ABC 中AD 是高,AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O,∠A= 50°,∠C = 70°求∠DAC,∠AOB 解∵AD 是△ABC 的高,∠C = 70° ∴ ∠DAC =180°-90°-70°=20° ∵ ∠BAC =50°

∴ ∠ABC =180°-50°-70°=60° ∵ AE 和BF 是角平分线

∴ ∠BAO =25°, ∠ABO =30°

∴ ∠AOB =180°-25°-30°=125°

2.如图, △ABC 中, D 是BC 边上一点，∠1= ∠2, ∠3=∠4，∠BAC= 63°,求∠DAC 的度数

3. 已知：P 是△ABC 内任意一点. 求证：∠BPC ＞∠A

4.如图，∠1=∠2， ∠3=∠4，∠A= 100°，求x 的值

:000

000

000112,2312234

422418026318039633924x x x x BAC x x x DAC ∠=∠=∠∴∠=∴∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠+∠+∠=∴++=∴=∴∠=-=解设又

又

5.已知△ABC的∠B、∠C的平分线交于点O。求证：∠BOC=90°+ ∠A (角平分线模型)

6.已知：BP、CP是△ABC的外角的平分线，交于点P。求证：∠P=90°- ∠A (角平分线模型)

7.△ABC中，∠ABC的平分线BD和△ABC的外角平分线CD交于D，求证：∠A=2∠D (角平分线模型)

8.△AOB中，∠AOB=90°,∠OAB的平分线和△ABC的外角∠OBD平分线交于P，求∠P的度数

9.如图：求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC (飞镖模型)

第12章全等三角形

一、全等三角形的概念与性质

1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，记作ABC ?≌DEF ? 2、性质：（1）对应边相等（2）对应角相等（3）周长相等（4）面积相等

二、全等三角形的判定

1 全等三角形的判定方法：（SAS ）,(SSS), (ASA), (AAS),(HL)

三边对应相等的

两三角形全等

有两角和它们的夹边对应相等的两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三

角形全等.

2．全等三角形证题的思路：

???

????

????????

?????

???????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS ③②①

3全等三角形的隐含条件：①公共边（或公共角）相等 ②对顶角相等 ③利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 ④利用平行线的性质得出同位角、内错角相等

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示

如图，在ABC ?和DEF ?中，

ABC EF BC E B DE AB ?∴??

??=∠=∠=≌)(SAS DEF ?

【典型例题】

【例1】已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.

证明：在△ABE 和△ACD 中

， AB=AC ，

∠BAE=∠CAD

AD=AE

∴△

ABE ≌△ACD （SAS ）

∴BE=CD.

【例2】如图，已知：点D

、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你

能得出哪些结论？给出证

明.

【例3】如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.

【例4】如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，

点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，AB ∥DE 且AB ＝DE ，AF ＝DC 。求证：BC ∥EF 。

【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。求证：BD ＋CD=AD 。

D B E

B C

【知识要点】

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”，几何表示

【典型例题】【例1】如图，在ABC ?中，M 在BC 上，D 在AM 上，AB=AC , DB=DC 求证：AM 是ABC

?的角平分线

证明:在△ABD 和△ACD 中，

AB=AC

DB=DC AD=AD

∴△ABD ≌△ACD (SSS)

∴∠BAD=∠CAD

又∵AB=AC

∴MB=MC

∴AM 是ABC ?的角平分线(三线合一)

【例2】如图：在△ABC 中，BA=BC ，D 是AC

的中点。求证：BD ⊥AC 。

例3. 如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：

∠B=∠C 。

例4. 如图，在ABC ?中, 90=∠C ，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且AD=BD,AE=BC,DE=DC.求证：DE ⊥AB 。

F （图22）

D C B A

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS ”，

【典型例题】

【例1】已知如图，DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF

【例2】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE

【例3】已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．

【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试证明之．

C B D

【知识要点】

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“AAS ”，

【典型例题】

【例1】如图，已知ABC ?中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =．

D C

B A

【例2】如图，在△MPN 中，H 是高MQ

和

NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.

证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高， ∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4 ∴∠1＝∠2

在△MPQ 和△NHQ 中，12

MQ NQ MQP NQH ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ） ∴PM ＝HN

【例3】已知：如图AC ⊥CD 于C , BD ⊥CD 于D , M 是AB 的中点 , 连结CM 并延长交BD 于点F 。求证：

AC=BF ．

【知识要点】

直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL ”

【典型例题】

1、如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E ，F 是垂足， DE =BF ．求证：

AB ∥CD ．

例2、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF ⊥BC ．

例3、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。（1）求证：MN=AM+BN 。

F N

B A

全等三角形常见辅助线的作法

一倍长中线法

倍长中线法:就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．

倍长中线法的过程：延长××到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）

方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后__构造全等三角形_，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题

例3、如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线．

证明：延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．

在CEF ?和BEH ?中

CE BE CEF BEH FE HE =??

∠=∠??=?

∴CEF BEH ??≌

∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥

∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠

例4、如图，在ABC ?中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于点F ．求证：

E D

二截长补短法

截长:1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短:1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。

【例题精讲】

例1.

如图，△ABC 中，∠

ACB ＝

2∠B ，∠1＝∠2 求证：AB ＝AC ＋CD

证法一：（补短法）

延长AC 至点F ，使得AF ＝AB

在△ABD 和△AFD 中

∴△ABD ≌△AFD （SAS ） ∴∠B ＝∠F

∵∠ACB ＝2∠B ∴∠ACB ＝2∠F

而∠ACB ＝∠F ＋∠FDC ∴∠F ＝∠FDC ∴CD ＝CF

而AF ＝AC ＋CF ∴AF ＝AC ＋CD ∴AB ＝AC ＋CD

证法二：（截长法）

在AB 上截取AE ＝AC ，连结DE

在△AED 和△ACD 中

∴△AED ≌△ACD （SAS ）

例2、如图，在△ABC中，AD为BC边上的高，∠B=2∠C.求证：CD=AB+BD.

证明：在DC上截取DE=DB，连接AE，

在△ADB和△ADE.中DE=DB，∠ADB=∠ADE,AD=AD∴△ADE≌△ADB（SAS）∴ AE=AB，∠AEB=∠B，

∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠B=2∠C，ED=BD，

∴∠AEB=2∠C.

∴∠C=∠CAE，故CE=AE=AB.

∴ CD=CE+ED=AE+ED=AB+BD.

例3、如图，AD//BC，BE、AE分别是∠ABC、∠BAD的平分线，点E在CD上，求证：AB=AD+BC

证明：在AB是截取AE＝AC

在△ACP与△AEP中，有：

AC＝AE （已知）

∠EAP＝∠CAP （已知AD是∠BAC角平分线）

AP＝AP （公共边）

∴△ACP≌△AEP （SAS）

∴PC＝PE （全等三角形对应边相等）

∵BE＞PB－PE （三角形两边差小于第三边）

∴BE＞PB－PC （等量代换）

∵BE＝AB－AE

AC＝AE

BE＞PB－PC

∴AB－AC＞PB－PC

三与角平分线有关的辅助线

角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。 1 截取构造全等

例1 如图1，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AB BD AC +=，求：B C ∠:∠的值．解法1：在AC 上截取AE 使AE AB =，连结AE ．

∵BAD DAE ∠=∠，AD AD =，

∴ABD AED △≌△，

∴B AED =∠∠，BD DE =．

又∵AB BD AC +=， ∴CE BD DE ==，

∴C EDC =∠∠， ∴2 B AED C ∠=∠=∠， ∴21B C :=:∠∠．

解法2：延长AB 到F ，使AF AC =，连结DF ．

∵ ∠FAD=∠CAD ，AD=AD

∴△CAD ≌△FAD(SAS)∴AC=AF 又∵AB BD AC += AB+BF=AF ∴BD=BF ∠ABC=2∠F=2∠C 2、“角平分线 + 垂线”构造全等三角形或等腰三角形

例2 如图3，在四边形ABCD 中，BC BA >，AD DC =，BD 平分ABC ∠．

求证：180A C ?

+=∠∠．

证明：过点D 作DE AB ⊥，交BA 延长线于点E ，作DF BC ⊥，交BC 于点 F ．

∵BD 平分ABC ∠，

∴DE DF =．又∵AD CD =，

∴Rt Rt EAD FCD △≌△，

∴EAD C =∠∠．

∵180EAD BAD ?+=∠∠， ∴180C BAD ?

∠+∠=．

例3 如图4，已知等腰三角形ABC △中，90A ?

∠=，B ∠的平分线交AC 于点D ，过点C 作BD 的垂线交BD 的延长线于点E ．求证：2BD CE = ．

证明：延长CE 交BA 的延长线于点F ，

∵BE 是ABC ∠的平分线，BE CF ⊥， ∴ BCF F =∠∠，

∴FBC △是等腰三角形．

∴CE FE =．

∴2CF CE =．

∵AB AC =，ABD ACF =∠∠，90BAD CAF ?

==∠∠， ∴Rt Rt BAD CAF △≌△． 2BD CF CE ==∴．

A C B

D F

（图2） C A B D E （图1）

A B C

D E F （图3）

O A B C D E A

B C

D E O

1 2 角平分线的性质

1、角的平分线的性质

角的平分线上的点到角的两边距离相等。

例1，如图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，

求证：PD=PE 。

证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义）

又∵OC 平分∠AOB （已知） ∴∠AOC=∠BOC （角的平分线定义）在Rt △DOP 和Rt △EOP 中

??=∠=∠∠=∠OP OP OEP ODP BOC AOC ∴Rt △DOP ≌Rt △EOP （AAS ）

∴PD=PE （全等三角形的对应边相等）

2、角的平分线的逆应用（角平分线的判定）

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

例2已知：如图，点P 在∠AOB 内部的一条射线OC 上，并且PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，

PD=PE 。求证：射线OC 是∠AOB 的平分线。

证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知）∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义）在Rt △DOP 和Rt △EOP 中，??

?==PE

PD OP

∴Rt △DOP ≌Rt △EOP （HL ）

∴∠DOP=∠EOP （全等三角形的对应角相等）即射线OC 平分∠AOB 【典型例题】

例3：如图，已知OE 平分∠AOB ，BC ⊥OA ，AD ⊥OB 。求证：EA=EB

例4：如图，已知CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 相交于点O ，OB=OC 。

求证：∠1=∠2

A B

C D

E O P

B D

O M

A B C D E F

O A

C D 例5：如图所示，已知OD 平分∠AOB ，在OA ，OB 边上取OA=OB ，点P 在OD 上，且PM ⊥BD ，PN ⊥AD 。求证：PM=PN

例6：如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，那么EF 与AD 有何特殊的位置关系？试证明你的结论。

例7：如图，在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。求证：∠A+∠C=1800。

第13章轴对称

知识网络结构图

1、轴对称及轴对称图形

轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。如下左图，△ABC 是轴对称图形。

规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

B ’

C l

A B D E C 等腰三角形和等边三角形

1、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

2、等腰三角形的性质：等边对等角三线合一

（1）两腰相等（2）两底角相等（3） “三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 3、等腰三角形的判定：

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形 4、等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形

5、等边三角形的性质：三边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60°

6、等边三角形的判定：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形【典型例题】

例1：已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（） A 、200 B 、1200 C 、200或1200 D 、360

例2：如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD=800，AB=AD=DC ，则∠C=________

例2：若等腰三角形的底边长为8cm ，腰长是5cm ，则这个等腰三角形的周长是（） A 、21cm B 、18cm C 、18cm 或21cm D 、13cm 或26cm

例3：如图，△ABC 中，∠C=900，∠ABC=600，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD=_________

例4：如图，在△ABC 中，AB=AC ，AE 是∠BAC 的外角∠DAC 的平分线。试判断AE 与BC 的位

置关系。

B D C

800

A B

人教版八年级上册数学知识点汇总

人教版八年级上册数学知识点汇总第十一章全等三角形 1．全等三角形的性质：全等三角形对应边相等、对应角相等。 2．全等三角形的判定：三边相等(SSS)、两边和它们的夹角相等（SAS）、两角和它们的夹边（ASA）、两角和其中一角的对边对应相等（AAS）、斜边和直角边相等的两直角三角形（HL）。 3．角平分线的性质：角平分线平分这个角，角平分线上的点到角两边的距离相等 4．角平分线推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在叫的平分线上。 5．证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 6．第十二章轴对称 1．如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；这条直线叫做对称轴。 2．轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3．角平分线上的点到角两边距离相等。 4．线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等。

5．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 6．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。 7．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。 8．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）点（x,y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x,-y） 9．等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（等边对等角）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，简称为“三线合一”。 10．等腰三角形的判定：等角对等边。 11．等边三角形的三个内角相等，等于60°， 12．等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等腰三角形。有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形有两个角是60°的三角形是等边三角形。 13．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 14．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半第十三章实数 ※算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么正数x叫做a的算术平方根，记作。0的算术平方根为0；从定

八年级数学上册全套讲义带答案

第十一章三角形 11．1与三角形有关的线段 11．1.1三角形的边 1．会用符号表示三角形，了解按边的大小关系对三角形进行分类；理解掌握三角形三边之间的不等关系，并会初步应用它们来解决问题． 2．进一步认识三角形的概念及其基本要素，掌握三角形三边关系．重点：三角形的三边之间的不等关系．难点：应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形．

一、自学指导自学1：自学课本P2－3页，掌握三角形的概念、表示方法及分类，完成填空．(5分钟) 总结归纳：(1)由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；其中这三条线段叫做三角形的边；相邻两边组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． (2)三边都相等的三角形叫做等边三角形，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． (3)三角形按内角大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形． (4)三角形按边的大小关系可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形；等腰三角形可分为底边和腰不相等的等腰三角形、等边三角形．点拨精讲：等边三角形是特殊的等腰三角形．自学2：自学课本P3－4页“探究与例题”，掌握三角形三边关系．(5分钟) 总结归纳：一般地，三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟) 1．如图①，以A，B，C为顶点的三角形记作△ABC，读作“三角形ABC”，它的边分别是AB，AC，BC(或a，b，c)，内角是∠A，∠B，∠C，顶点是点A，B，C．

八年级上册数学教案人教版(全册)

八年级上册数学教案人教版(全册) 第十一章全等三角形 11.1 全等三角形教学容本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．教学目标 1．知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念． 2．过程与方法经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角． 3．情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．重、难点与关键 1．重点：会确定全等三角形的对应元素． 2．难点：掌握找对应边、对应角的方法． 3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．教具准备四大小一样的纸片、直尺、剪刀．教学方法采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程一、动手操作，导入课题

1．先在其中一纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？ 2．重新在一纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两纸，注意整个过程要细心．【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论： 1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个角分别重合了． 3．完全重合说明三条边对应相等，三个角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规． 1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角． 2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1

人教版八年级数学上册：三角形综合应用(讲义及答案)

三角形综合应用（讲义）知识点睛在三角形背景下处理问题的思考方向： 1. 三角形中的隐含条件是：边：_______________________________________________．角：①______________________________________________； ②_____________________________________________． 2. 角平分线出现时，为了计算方便，通常采用__________解决问题． 3. 高线出现时考虑__________或__________．精讲精练 1. 现有3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2. 如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，中相邻两螺丝的距离依次为2，3，4，6A ．5 B ．6 C ．7 D ．10 3. 下列五种说法：①三角形的三个内角中至少有两个锐角； ②三角形的三个内角中至少有一个钝角；③一个三角形中，至少有一个角不小于60°；④钝角三角形中，任意两个内角的和必大于90°；⑤直角三角形中两锐角互余．其中正确的说法有__________________（填序号）． 4. 如图，在三角形纸片ABC 中，∠A =60°，∠B =55°．将纸片一角折叠使点C 落在△ABC 内，则∠1+∠2=_________． C 2 1 A A B C D E 第4题图第5题图 5. 如图，一个五角星的五个角的和是________． 6. 如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F =________．第2题图

人教版八年级上册数学各单元知识点归纳总结

第十一章三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. n-·180° ⑶多边形内角和公式：n边形的内角和等于(2) ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. n-条对角 ⑸多边形对角线的条数：①从n边形的一个顶点出发可以引(3)

线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2 n n -条对角线. 第十二章全等三角形一、知识框架：二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质： ⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性. ⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4.角平分线： ⑴画法： ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法： ⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）