关孝和
关孝和(关孝和，Seki，Takakazu)1642年生于日本江户(今东京)小石川，另一说法是1637年生于日本上野国(今日本群马县)藤冈；1708年10月24日卒于江户．数学、天文历法、数学教育．
关孝和，姓关名孝和，又名新助，字子豹，号自由亭(另说号自由)．其父内山永明，本姓安间，后来做了自己外祖父的养子而改姓内山，并且与养父一起在大纳言(官名，相当于副首相)骏河忠长处供职．1632年大纳言被幽禁在上野国高崎，永明也到上野国藤冈隐居，1639年又被召到江户供职，全家移居江户．因此对孝和生于上野国还是生于江户的问题，和算史家有争议．
孝和有一兄二弟．兄名永贞，继承父职，后又成为“支配勘定”(主管测量的官)．弟永行以医为业，小弟永章在德川纲重处任职．
孝和后来做了一位姓关的武士的养子而改姓关并继承关氏家业．他曾做过甲府宰相德川纲重及其子德川纲丰家的勘定吟味床役(相当于会计检查宫)．1704年12月，纲丰成为五代将军德川纲吉的养子而进江户城的西之丸，孝和也随之成为幕府直属的武士，官至御纳户组头(御纳户是日本江户时代管理衣服、用具的官职)，直到1706年11月退职． 1708年10月24日病逝，葬于江户的牛込七轩寺町(今东京新宿区弁天町)净轮寺．谥号法行院宗达日心居士．
孝和一生无子，收其兄永贞的儿子新七为养子．新七继承关家的家业在甲府任职．但由于他品行不端又得罪官府，很快就被没收家禄，断绝关家功名而衣食无着，后寄食于孝和的高徒建部贤弘家中，直到去世．关家由此断后．
关孝和自幼聪明异常，尤其擅长计算．据说六岁时就能指出大人计算中的错误，人称“神童”．他曾拜日本数学家高原吉种为师，也有资料说他是自学成才．他一生勤于钻研又知人善教，创立了和算的一个最大的流派——关流．他的研究成果奠定了和算的基础，被日本人尊称为“算圣”．
学术研究
关孝和著作很多，近20部，但生前只出版过一部《发微算法》(1674)，死后又由其弟子对他的遗稿作了整理，出版了《括要算法》，其余均为未出版的稿本．从这些著作的写作时间来看，孝和的数学研究工作可分为两个阶段，他的数学著作基本上是在1685年以前完成的，以后因体弱多病而较少进行新的数学研究，只写了一些天文历法方面的注释书．下面介绍他的主要贡献．
1．引入“傍书法”和代数记号而创立了“演段术”
这是关孝和的最大贡献．主要集录于他的著作《发微算法》(1674)及《三部抄》中的《解见题之法》和《解伏题之法》(1683)．在《发微算法》中，孝和运用演段术对日本数学家泽口一之(有资料说泽口一之是孝和的弟子)的《古今算法记》(1671)中的15道“遗题”作了分析和解答．但书中只有结果而把有关演段术的记述略去了，所以当时的日本人对他的解答一般都看不懂，于是就有人指责说《发微算法》可能是关孝和胡编乱造的．1680年，日本数学家佐治一平竟写成《算法入门》指出《发微算法》中解法的“错误”并给予“订正”．作为对此类问题的答复，孝和的弟子建部贤弘写成《发微算法演段谚解》(1685)公诸于世，对孝和的演段术作了详细解说，使之传播开来．
孝和又在《三部抄》中阐述了“傍书法”和演段术．《三部抄》是《解见题之法》、《解隐题之法》(1685)和《解伏题之法》(1683)三部著作的总称．见题是只用加减乘除即可解答的问题，隐题是只用一个方程就可以解答的问题，伏题是必须用两个以上方程组成的方程组才能解答的问题，这也是三部著作各自名称的来历．《解见题之法》中首次出现傍书法表示
的式子．所谓傍书法即在一条短竖线旁边写上文字作为记号来表示数量关系的一种方法．如“甲加乙”、“甲减乙”、“甲
乘乙”分别写成“|甲|乙”、“|甲乙”、“|甲乙”；甲2，甲3，甲4，…
将“甲÷乙”记为“乙|甲”．
孝和就用上述一套符号来处理文字方程，比如方程
甲－乙×x＋丙×x2＋丁×x3＝0
表示为
|甲乙|丙|丁．
如果一个方程有两个未知数，如
3y3＋5xy2＋8x2y＋4x3＝0，
就用“甲”代替y，整个方程表示为
由于“傍书法”可以表示含有两个或者多个未知数的方程，因而“消元”就有了可能，这使得孝和能够用消元法解方程组，从而得出了他的行列式理论．这些内容集中在《解伏题之法》中．书中介绍了一系列以傍书法为基础的算法，他称之为“天元演段术”，后来又扩展为“归源整法”．这一系列的算法传到孝和的第二代弟子松永良弼时，良弼又受其主君内藤政树(1703—1766，“关流”和算家)之命将“归源整法”更名为“点窜术”．点窜术就是用上述的傍书法系统地研究公式变形、解方程(组)、行列式等问题，内容相当于现在的初等代数学．但由于这种代数学不同于西方代数中用a，b，c，…作为记号而采用汉字加短竖线作为记号，因而不仅是日本的而且是整个汉字文化圈内的文化财富，是具有东方风格的符号代数．
2．提出代数方程变换理论和行列式理论
这一研究集中在《解伏题之法》中．书中介绍的方程变换的方法有：略、省、约、缩、叠、括等．把一个方程乘以某一式后从另一方程中减去，称之为“略”；一个方程各项有公因式的就将此公因式约去，称之为“省”；各项有共同的数字系数(他称之为“段数”)时就约去这个公因数，他称之为“约”；两个方程中都不含未知数x的奇次幂时，就用换元法把x2作为一个未知数从而简化方程，称之为“缩”；“叠”是两个方程分别乘以适当的式子再相减以消去某些项；“括”是把相同次幂的系数合起来，即合并同类项．孝和的演段术在这些方法中得到了明确表示．
他用这些方法解方程组的基本思想是，将两个二元方程经过上述变换消去一个未知数，得到一个一元方程，再解这个一元方程．对于二元高次方程组(设两个方程关于x的次数分别是m和n，m≥n，这时方程中每一项中x的幂的系数都是另一未知数y的多项式)，为达到一次消元的目的，他先用叠、括方法从原来的两个方程中导出n个关于x的n－1次方程，这些方程都写成标准形式，即方程右边为0，左边按x的升幂排列，他称这n个方程为“换式”．于是求解原方程组的问题就转化为求解由换式构成的方程组了．将这个方程组的各项中x的幂去掉，得到各项系数(y的多项式或单项式)按原来的位置次序构成的行列式，令这个行列式等于0，得到的这个行列式表示出的关于y的方程即是原方程组消去x后得到的一元方程．这样，解原方程组的问题就转化为解这个一元方程的问题．
为了对这个含有行列式的方程化简、求解，他接着对行列式进行变换．他的行列式理论就是由此引出的．他在书中介绍了两种计算行列式值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法．逐式交乘法的基本思想是，对行列式的各行分别乘以适当的式子，再将各列元素相加，
直到除第一列(即x0的系数对应的那一列)外，其余各列元素的和均为零，这时第一列元素的和即为行列式的值．
当行列式阶数较高时，要看出上述各行要乘的因式显然不容易，于是，他在书中又介绍了另一种计算行列式的方法即交式斜乘法．不过他没有说明这种方法的根据，只是对2—5阶行列式的展开给出了规则并用图加以说明．从这些说明看出，他的交式斜乘法大致相当于今天中学里介绍的对角线法或其扩展．
西方对于行列式的研究首次出现在G．W．莱布尼茨(Leibniz)1693年写给G．F．A．洛比达(L’Hospital)的信中，而孝和的《解伏法之法》是1683年完成的，所以孝和的研究比西方的此类研究至少要早10年．西方最早发表的关于行列式研究的著作是G．克莱姆(Cramer)的《代数曲线的分析引论》(Intro－duction àl’analyse des lignes courbes algébriques，1750)，这比《解伏题之法》要晚70年．在行列式方面，关孝和的研究是世界领先的．3．研究了数字系数高次方程，发现了负根、虚根并提出了判别式概念和相当于多项式函数导函数的多项式
关孝和的这些成就主要包含在《解隐题之法》、《开方算式》及著作集《七部书》中．《七部书》是《开方翻变之法》(1685)、《题术辨议之法》(1685)、《病题明致之法》(1685)、《方阵圆攒之法》(1683)、《算脱验符之法》、《求积》、《毬阙变形草解》这七部著作的总称．《解隐题之法》、《开方翻变之法》和《开方算式》中记述了解数字系数高次方程的两种近似方法，分别相当于“霍纳法”和“牛顿迭代法”．孝和又将这些解法用在字母系数方程f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn＝0上，从形式上求出了f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1，即从形式上求出了多项式函数f(x)的导函数．另外，他考察了只有虚根的方程(他称其为“无商式”)、只有负根的方程(他称其为“负商式”)和方程正、负根的个数问题，给出了判别式的概念，研究了方程正、负根存在的条件．在《题术辨议之法》和《病题明致之法》中，他将导出方程是“无商式”和“负商式”的问题归入“病题”之列，利用他对数字系数方程的研究介绍了变换“予量”而纠正“病题”的方法．
对于无商式f(x)＝0，他主要是变更方程的系数使其判别式取一定的数值，从而使得方程有正根或负根．这样的变换中又得出了f(x)取极大值(或极小值)的条件f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn-1＝0，由此式求出极值点x0，再代入f(x)可以求出极大值(或极小值)．这是今天通用的求极值方法的雏形，孝和称其为“适尽方级法”．这种求极值方法是关孝和独立发现的．
4．将中国的“三差之法”推广为一般的招差法，研究了数论问题并发明“零约术”
这些成果都集中在《括要算法》中．孝和去世之后，其遗稿全部传给了弟子荒木村英(1640—1718)．据说，村英与孝和本来同学于高原吉种门下，后来他又拜孝和为师，由于其在同门弟子中学德俱高，所以得到了孝和的全部遗稿．可是当时村英已年高体弱，就把整理孝和遗稿的工作交给自己的弟子大高由昌．大高由昌从遗稿中抽出数篇编辑成《括要算法》，村英为此作序，并于1712年出版．孝和的有关单行本至今尚存，与此比较看出，大高由昌在编辑时并没有作多大改动．只是孝和原稿中的“诸约之法”不包括“翦管术”，而《括要算法》中将“翦管术”列于“诸约之法”中．
(1)招差法这是由x＝x1，x2，…，xn和相应的y＝y1，y2，…，yn两组数据确定函数y＝a1x＋a2x2＋…＋anxn的系数的方法，相当于西方数学中的有限差分法．孝和的方法如下：
乘积．
若所有平积相等，就有a3＝a4＝…＝0，这时可取a2＝δz1，a1＝z1－a2x1，这时的招差法称为“一次相乘之法”．若所有的立积都相等，则a4＝a5＝…＝0，可取a3＝δ2z1，再
计算zi－a3x2i＝ui(1≤i≤n)，它是u＝a1＋a2x在x＝xi处的值，再对此施行“一次相乘之法”可得a2，a1的值．依此类推．
关孝和称a1，a2，…，an这些系数为“差”，求这些差为“招差”．上述求差的方法就是他的招差法．
对于n＝2，3，4的情况，求f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn系数的问题早在中国数学中已得到解决，孝和的贡献主要在于将这种“三差之法”推广到了n为任意自然数的一般招差法．
(2)约术及垛术他叙述的“约术”有互约、逐约、齐约、遍约、增约、损约、零约、遍通等．其中“逐约术”是给出n个整数a1，a2，…，an，确定各自的一个约数a′1，a′2，…，a′n，使这n个约数两两互素且其和等于a1，a2，…，an的最小公倍数．n＝2时，他把“逐约术”又称为“互约术”．“齐约”是求整数的最小公倍数．“遍约”是用整数的最大公约数分别去除这n个整数．“遍通”是分数通分．“增约”是求级数a＋ar＋ar2＋…的和，“损约”是求级数a－ar－ar2－…的和．“剩一术”是解一次不定方程ax－by＝1的方法．除“增约”和“损约”之外，这些都是数论的内容．
“零约术”是孝和的发明．它是一种确定无限不循环小数的近似分数的方法．在书中他用例子对零约术作了说明．比如边长为1尺的正方
取p1＝1，q1＝1，按下述规则确定后面的pn，qn．若
n，而相应的pn依次是1，3，4，6，7，9，10，11，13，14，16，17，18，20，21，23，24，26，27，28，30，31，33，34，35，37，38，40，41， 43， 44，45， 47，48，50，51，52，54，55，57，58．于是有
它们都出现在上述的近似分数列中．
在《括要算法》最后一卷(贞卷)中，他用自己发明的这种零约术
给出，但他是怎样得到的呢？这一点却没有流传下来．孝和的这一工作给出了一种推导方法．《括要算法》的第一卷(元卷)中还记述了“垛术”问题，即求
和Sp＝1p＋2p＋3p＋…＋np(他称其为“方垛积”)与求和
对于方垛积，他用招差法计算出了p＝1，2，3，…，11的情况，然后归纳得出了方垛积一般公式：
对于衰垛积，他也给出一般公式：
值得注意的是，方垛积公式中的B1，B2，…，Bn，…与伯努利数一样．而西方第一部导入伯努利数并给出上述公式的书是数学家雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli)的《猜度术》(Ars conj－ectandi，1713)．可见关孝和与伯努利几乎同时发现了伯努利数．
(3)翦管术数论方面，他还研究了翦管术，即解同余式组b1x≡a1(mod m1)， b2x≡a2(mod m2)，…，bnx≡an(mod mn)的方法．《括要算法》第二卷(亨卷)的“翦管术解”部分举出九个问题说明这种方法，前五个是b1＝b2＝…＝bn＝1的情况，根据m1，m2，…，mn 是否两两互素而分为两种情况给出了解法；后四个问题都是b1，b2，…，bn不全为1的情况，利用逐约术和剩一术给出了解法．
翦管术的名称和问题形式在中国宋代杨辉的著作集《杨辉算法》中就有记述，但杨辉解决的同余式组只限于b1＝b2＝…＝bn＝1，且m1，m2，…，mn两两互素的情况，而且由于所举的例子涉及的数据都比较简单，往往是只靠心算就可以解决，而不用剩一术．可以说，
孝和是从《杨辉算法》中得到了翦管术的名称和问题形式，但他由于发明了剩一术，又引入了逐约、互约概念，因而对m1，m2，…，mn不全两两互素的情况和b1，b2，…，bn不全为1的同余式组问题也完满地解决了．因此可以说是关孝和发展完善了翦管术．5．给出了一些曲线求长和立体求积的近似方法
这些研究主要集中在《解见题之法》、《求积》及《毬阙变形草解》中．其中创新性的成果在于他给出了椭圆周长、阿基米德螺线长的近似算法，解决了圆环体、弧环体和十字环的近似求积问题．
(1)椭圆周长与阿基米德螺线长《解隐题之法》中第一次出现椭圆周长的近似算法．他将椭圆看成是从不同角度看圆时得到的图形，得出椭圆周长L的近近似计算公式：L2＝π2(长径×短径)＋4×(长径－短径)2．
此书中还解决了“畹背”问题，即求所谓“畹形”长度的问题．如图1，将扇形OAB 用半径OC1，OC2，…，OCn-1 n等分，再将半径OA用C′1，C′2，…，C′n-1 n等分，经过OA的各分点以O为圆心分别画弧，得到过C′k点的弧与半径OCk的交点Dk(0≤k≤n，记O点为D0，A点为Dn)，Dk点的轨迹即是“畹形”．可见，畹形就是阿基米德螺线．他给出畹形长(背)的计算公式：
至于他是如何得到这个公式的，书中没有说明．
(2)圆环体、弧环体和十字环的体积所谓圆环体是圆绕其所在平面上与圆没有公共点的一条直线旋转一周所得到的立体；弧环体则是由弓形绕其所在平面上与弓形没有公共点的一条直线旋转一周所得的立体．关孝和设想，把圆环体截断伸直，圆环体就变成圆柱，因此圆环体的体积就等于这个截面(圆面)的面积乘以这个“圆柱”的高(即圆环体的“中心圆”周长)．他这样计算是假定了“圆环体经截断伸直成圆柱后体积不变”，以此假定为基础，他用弓形的面积乘以弧环体的中心圆周长作为弧环体的体积．这里所说的中心圆是指在圆(或弓形)旋转过程中，圆(或弓形)面上一个特定点所形成的圆，这个特定点就是圆(或弓形)的重心．可见，孝和已经有了“重心”这一概念．他这样计算圆环体、弧环体的体积的方法相当于帕波斯－古尔丁(Pappus－Guldin) 定理所叙述的方法．
所谓“十字环”是指两个圆柱体与一个圆环体互相截取组成的立体，如图2所示，两个圆柱的轴互相垂直且都通过圆环体的重心，圆柱被圆环体的表面所截，并且两圆柱的底半径与圆环体的截面半径相等．这一问题最早出现在榎并和澄的《参两录》(1653)中，孝和首次用近似方法求出了十字环的体积．
另外，《毬阙变形草解》也是主要研究求积问题的著作．不过此书所涉及的多是阙球(用平面去截球体所得)、阙圆柱(用平面去截圆柱所得)、弧锥(底是弓形的锥体)和弧台(两底都是弓形的台体)等复杂的立体．他通过将这些立体变形而给出这些立体的近似求积方法．他把此书命名为《草解》，可见还有未尽之意，这说明上述一类立体的求积是当时最难的求积问题．
6．创立圆理、角术，解决了有关圆弧长、球体积及正多边形的一些问题
“圆理”一词在后来的和算家中常用来总称求解曲线长、图形(平面图形或曲面图形)的面积及立体的体积的方法．但孝和创立的圆理只限于圆、球的有关计算．他关于圆理的研究主要集中在《括要算法》第4卷(贞卷)中，由“求圆周率术”、“求弧矢弦率术”和“求立圆积率术”(立圆即球)三部分组成．他求圆的正 215，216，217边形的周长a，b，c，并对此施以增约术，用a，b，c的一种平均值
作为圆周长的近似值，由此求得圆周率的小数点后11位数字，接着又用
他的“求弧术”是由弦a，矢c，径d来求弧长s的方法，他给出公式：
其中A0， A1， A2， A3， A4， A5是由 c＝c0，c1，c2，c3，c4，c5和相应的s＝s0，s1，s2，s3，s4，s5来确定的．
如果上述插值公式中没有分母(d－c)i(i＝1，2，…，5)，则与牛顿插值公式完全一样．这个公式与牛顿插值公式的原理相同．牛顿插值公式是I．牛顿(Newton)发现的，W．琼斯(Jones)得到牛顿允许后著成《微分法》(Methodus differentilis，1711)将其公布于世，而《括要算法》是1709年写成序、跋，1712年出版的，因此可以说关孝和与牛顿几乎同时各自独立地发现了这个公式．
对于球的体积，他提出了“求立圆积率术”，首先用平行平面把球截成50个薄片，将各薄片先看成以各自的接近球心一侧的底面为底的圆柱，求这50个“圆柱”的体积之和；再将各薄片看成是以各自的另一底面为底的圆柱，求出这50个“圆柱”的体积之和，再求出这两个体积和的平均值a作为这50个薄片的总体积．同样将球截成100个、200个薄片，分别如上求出这100个、200个薄片的总体积b和c，用增约术求出
将其作为球体积．虽然这一过程中用增约术的条件并不充足，但他如此分割—转换—求和的求积方法中，积分思想已开始萌芽．
“角术”是建立正多边形的边长与外接圆半径、边长与内切圆半径之间关系式的方法．他对正3—20边形分别给出了这种关系式，而以前的和算家只是求出了边数不大于15的正多边形的上述关系式．另外，孝和在推导过程中所用的几何学上的定理，有一些是仅凭直觉得到的．
7．研究了幻方问题，又用同余式解决了日本流传的古老的“继子立”即“立后嗣”的问题
《七部书》中的《方阵之法?圆攒之法》给出了幻方(他称为“方阵”)和圆攒的一般构造方法，即按一定规律变化n－2阶幻方的每一个数，将其相应地作为“内核”，再在外圈上按一定规则填上4n－4个数就可以得到n阶幻方．这种方法与16世纪德国数学家M．施蒂费尔(Stiefel)首次在其著作《整数算术》(Arithme－tica Integra，1544)中尝试证阴幻方的思想是一致的．
“继子立”是在日本广泛流传的一个古老问题，它说的是，某贵族家有30个孩子，其中15人是前妻所生，15人为后妻所生．要从这30个孩子中选出一个来继承家业，就让这30个孩子排成一圈，从某一个小孩开始往下数，让第10个孩子从圈中退出，再从下一个继续数，数到20时就让对应20的那个孩子从圈中出去．照此数下去，数到整十的数时就把对应该数的孩子从圈中拉出，直到最后剩下一个孩子，就由这个孩子来继承家业．如果现在只剩下一个前妻之子和14个后妻之子了，那么只要从这个前妻之子开始数，就可以使这个孩子成为“继子”．
孝和在《算脱验符之法》中将这个问题理论化并用同余式进行了推导证明．
除上述著作之外，孝和在数学方面还写下了《角法并演段图》、《阙疑抄一百问答术》、《勿惮改答术》等书．在天文历法方面他也有许多著作，如《授时历经立成》四卷、《授时历经立成立法》(1681)、《授时发明》、《四余算法》(1697)、《星曜算法》、《数学杂著》(又名《天文数学杂著》)等．
先前数学对关孝和的影响
从上面的介绍可以看出，关孝和的数学研究有的起源于在他之前的和算著作中的“遗题”．他最初的数学著作《发微算法》是对泽口一之的《古今算法记》(1671)中遗题的解答．他还解答了礒村吉德的《算法阙疑抄》(1659)的100道遗题和村濑义益的《算法勿惮记》(1673)
的遗题，至今尚存有关的抄本．有些遗题成为关孝和研究的起点．例如《算法阙疑抄》第45个问题(“圆台斜截口”)引出了他对椭圆的研究；第 41个问题(“俱利加罗卷”，即在圆锥形棒上緾绳，求绳长)引出了他对畹背问题的研究．他的一些重要的思想方法也是从这些著作中得到的．例如，泽口一之在《古今算法记》中通过变换方程系数避开了有两个正根的情况，关孝和由此受启发变换“无商式”和“负商式”系数使其根达到要求，进而得到了求多项式函数的极大值、极小值的“适尽方级法”．他在《题术辨议之法》中，对“碎术”(即“自远至近数次而求所问”的方法，他认为“其术不定也”，因而不是最恰当的方法)问题采用逐次逼近法解决，这可能是从《算法勿惮改》中受到启发的，因为《算法勿惮改》在日本是首次使用逐次逼近法的著作．
但是，他的最主要的数学成就并不能在他之前的和算著作中找到线索，这就在他的研究与先前和算家的研究之间形成了一个“断层”．一些人认为，弥补这个断层的是中国数学和西方数学对他的影响．据日本武林史著作《武林隐见录》(1738)中“关新助算术秩事”一条记载，孝和估计到南部某寺收藏的“唐本”(指古时由中国传到日本的书籍)中可能有数学书，就去南都搜寻，并将其抄录下来带回江户研究．从此类“秩事”中可知关孝和在研究中参考了中国数学著作．
从孝和的数学成果来看，对他的研究产生较大影响的中国数学著作是《杨辉算法》(1378)和清朝的《天文大成管窥辑要》等．《杨辉算法》是杨辉的《乘除通变本末》(上卷为《算法通变本末》，中卷为《乘除通变算宝》，下卷为《法算取用本末》，与史仲荣合著)、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》三部著作合刻的，在朝鲜重刻后传入日本并保存下来．孝和从《杨辉算法》中得到了“翦管术”的名称和问题形式，并完善了“翦管术”．另外，《杨辉算法》中已有类似于“霍纳法”的解方程方法，大概是孝和从中受到启发，才提出了分别相当于霍纳法和牛顿逼近法的两种解方程方法．
朝黄鼎的《天文大成管窥辑要》对孝和也有影响．孝和的《授时发明》(或称《天文大成三条图解》)就是对此书第三卷的解释，由此看来孝和曾仔细研究过这部书．书中有对元朝郭守敬《授时历》中“三差法”所作的解说，可能由此引出了孝和对“招差法”的研究．关于西方数学的影响是进入明治时代之后才开始研究的．17世纪中叶荷兰莱顿大学的F．范?斯霍腾(Schooten)教授有一个学生，名叫P．哈特辛乌斯(Hartsingius)，是日本人．这由荷兰阿姆斯特丹大学的D．J．科尔泰韦赫(korteweg)教授给林鹤一博士的信中可知．这个日本人后来是否回到日本已无法证实．但据日本数学史家三上义夫考证，那个时期在日本有一名叫鸠野巴宗的医学家，此人或许就是哈特辛乌斯．如果这个推测正确，则说明当时已经有人将西方数学带回日本了，从而可以认为关孝和的数学研究直接受到西方数学的影响．
从以上的介绍可以看出，关孝和从以往数学家的研究中发现问题，又对这些问题从理论上加以解决或者将其推广为一般性方法．除此之外他还有自己的首创性研究．这些成果奠定了和算的基础，摆脱了日本数学家单纯介绍中国数学的传统束缚，成为后世和算家的典范．关流数学教育及关流弟子
关孝和作为一个数学家的同时又是一位数学教育家．他一生中亲自授过课的弟子就有几百人，其中最杰出的是荒木村英及建部贤弘、建部贤明两兄弟，村英的弟子中有松永良弼，贤弘的弟子中有中根元圭，元圭弟子中有山路主住等最为著名．孝和与他的弟子们的研究构成了和算的一个最大流派——关流(关流各代数学家系谱如文后图所示)．能培养出这许多杰出的弟子，与孝和创立的教育方式有很大关系．他根据学生的情况分成五个等级分别集中指导，每一级都规定有相应的具体数学内容和具体教材．初级的教以珠算，进而筹算，高级的从演段术到点窜术，随着每一级学生学业的完成而分别授以相应的“免许证”，相当于现在的毕业证，有“见题免许”、“隐题免许”、“伏题免许”、“别传免许”和“印可免许”五个等
级．后来这种方式不断发展，成为关流严格的教育制度——五段免许制．只有得到五个等级的免许之后，才可以被称为“关流第几传”，而且最后得到“印可”的只限于几名高徒．后来随着数学研究的发展，加入到各等级的学习内容不断增加，五段免许制日益完善和严格．到了山路主住成为关流掌门人时，据说规定一代弟子中只传一子和高徒二人．关于所用的教材，除了关孝和的著作之外，其他关流数学家也写过教科书，如山路主住的《关流算术》45卷作为关流入门者的最初教程；久留岛义太的《广益算梯》25卷也作为数学初学者的教材．
可见，关孝和创立的五段免许制体系，已有班级授课制的萌芽．
2019年度初中数学名师工作总结 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 年度名师工作总结 时间飞逝，在繁忙和有序中xxxx年悄然而过。回顾加入“淮北市邱广东初中数学名师工作室”以来，我感受到这个集体给我带来的动力和收获，也让我在这个团队中快乐成长。这一年我虽然在原来的基础上取得一定的成绩和荣誉，但工作室导师及同事们的好学上进、乐于进取、勇于开拓的精神给予我很大的震撼力，让我在教育教学实践的岗位迈着坚实的步伐。成长是一个过程、成长是一份辛苦、成长格式一种快乐！一年来我收获了很多，同时也看到了自身不足，现将一年工作总结如下： 一、对话名师引领发展 名师工作室为我提供了一个很好的学习平台，市教育局岳局长在名师工作
室成立的大会上反复强调：名师工作室是我市官方承认的名师，是优秀教师的聚集地，应起到引领和辐射的作用。领导的殷切希望激励着我的前行。为我们的工作指明了方向！在领导的关心和首届名师的指导下，我于xxxx年8月初参加了安徽省级骨干教师的培训，聆听了我省部分教育专家的讲座，深刻领会“有效评价”命好题的含义，使我在理论水平上有所提升。一年来在邱广东老师的指导下，在邱老师的人格魅力和孜孜不倦的敬业精神感召下，还有汪敬潮老师拖着不太健康的身子工作的精神及体现的深厚的教育教学理论底蕴，深深的感染着我，牛新荣、李大兵、张传义、陈雨等年轻教师娴熟的课堂技能，满腔热情的工作态度时时激励着我。还有其他老师的工作能力和创新力在驱使着我，使我不能停下脚步，并让我在这个环境和氛围内不由自主的成长。市教研室陶学礼老师站在一定高度的点拨使我们更快成长成熟，教法逐步成型，形成工作室
初中数学名师教案设计范文参考精选 教案是老师进行教学的重要道具，对教学有重要的作用，可以帮助老师更好地把控教学节奏。有了教案，老师可以更好地进行教学，提高自身的教学水平，更好地实现教学目标。优秀的教案设计对老师的帮助是非常大的，这里给大家分享一些优秀的教案设计，供大家参考。 初中数学勾股定理教案设计 一、教材分析：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。 教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较，理解勾股定理，以利于正确的进行运用。 据此，制定教学目标如下：1、理解并掌握勾股定理及其证明。 2、能够灵活地运用勾股定理及其计算。 3、培养学生观察、比较、分析、推理的能力。 4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和钻研精神。 二、教学重点：勾股定理的证明和应用。 三、教学难点：勾股定理的证明。
四、教法和学法: 教法和学法是体现在整个教学过程中的，本课的教法和学法体现如下特点： 以自学辅导为主，充分发挥教师的主导作用，运用各种手段激发学生学习欲望和兴趣，组织学生活动，让学生主动参与学习全过程。 切实体现学生的主体地位，让学生通过观察、分析、讨论、操作、归纳，理解定理，提高学生动手操作能力，以及分析问题和解决问题的能力。 通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，使学生得到获得新知的成功感受，从而激发学生钻研新知的欲望。 五、教学程序:本节内容的教学主要体现在学生动手、动脑方面，根据学生的认知规律和学习心理，教学程序设计如下： (一)创设情境以古引新 1、由故事引入，3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。 2、是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。 3、板书课题，出示学习目标。(二)初步感知理解教材 教师指导学生自学教材，通过自学感悟理解新知，体现了学生的自主学习意识，锻炼学生主动探究知识，养成良好的自学习惯。
初中数学公开课教案[整理] 初中数学公开课教案 授课人陈丽美时间 2007年1月11日地点胶州26中多媒体教室科目数学年级七年级课题一元一次方程的应用 借助“线段图”分析行程问题中的数量关系～继续利用路程时间速度三个量之间的 关系～列方程解应用题。教学 目标通过观察、类比进一步培养学生的数学创新能力～培养学生与人合作的能力～培养 学生学习数学的热情。 通过新课的学习～学生已经掌握一元一次方程应用基本的解题思路、方法～会分析学情 简析解决简单的实际问题～但整个知识掌握不系统、不全面～解题正确率不高。教法发现法、练习法、讨论法教具多媒体课件、彩色粉笔、小黑板等教学过程 教学环节教学内容教师活动学生活动创设问题趣味数学: 引导观察思考回答情境小明和小刚从相距6千米的两地同时出发同提问 向而行～小明每小时走7千米～小刚每小时走 5千米～小明带了一只小狗～小狗每小时跑10 千米～小狗随小明同时出发～向小刚跑去～碰 到小刚后就立即回头向小明跑去～碰到小明后 再回头跑向小刚……,直到小明追上小刚时才 停住～求这条小狗一共跑了多少路,
回顾旧知温故知新提出问题思考回答 1.路程问题中路程速度时间三者的关系: 2.列方程解应用题的一般步骤: 3.路程问题中的两种基本题型: 例题赏析例1:一列慢车从某站开出～每小时行驶48千 米～45分钟后～一列快车也从该站出发～与慢 车同向而行～如要1.5小时追上慢车～快车每 小时需行多少千米, 过程展示: 相等关系:快车路程=慢车先行路程+慢车后行讲解分析计算 路程 解:设快车每小时行x千米～由题意得 1.5x=48×3/4 +48×1.5 解得:x=72 答:快车每小时需行72千米 巩固练习练习1:小红和小明家距离300米～两人沿同个别指导计算一条路线出发去某地～小明每秒跑4米～小红 骑自行车每秒行10米～若小明在小红的前面, 则小红多长时间可追上小明, 练习2:一队学生去校外进行军事野营训练～反馈纠正 以5千米/时的速度行进～走了12分钟的时候～ 学校要将一个紧急通知传给队长～通讯员从学 校出发骑自行车以14千米/时的速度～按原路 追上去～通讯员用多少时间可以追上学生队
刘徽 刘徽中国山东人．公元3世纪．数学． 刘徽生平不详．自述“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意．是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”．《晋书》、《隋书》之《律历志》称“魏陈留王景元四年(公元263年)刘徽注《九章》”．《九章算术注》原十卷．他自撰自注的第十卷“重差”自南北朝后期以《海岛算经》为名单行．前九卷仍与《九章算术》合为一体行世．唐初李淳风奉敕编纂《算经十书》，《九章算术》和《海岛算经》列为其中两部．《九章算术注》之图及《海岛算经》之自注和图今已不传． 《九章算术》——刘徽继承的数学遗产 刘徽从事数学研究时，继承了一分以《九章算术》为主体的堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产，其基本情况是： 世界上最方便最先进的十进位置值制记数法和计算工具算筹在中国首创并已使用至少千年．算筹的截面已由圆变方，长度已由西汉的13厘米左右缩短为8—9厘米． 《九章算术》于公元前一世纪成书，至此时已300余年．光和大司农斛、权(179年)“依黄钟律历、《九章算术》”制造，说明它至晚在东汉已成为官方认定的经典著作．《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上，《九章算术》或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式．公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，《九章算术》成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面． 然而，《九章算术》也有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理．东汉以后许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对《九章算术》的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大．其具体情况在论述刘徽的贡献时要提到． 面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上．率——计算的纲纪 《九章算术》上百个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求．刘徽《九章算术注》的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述． 为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一种量作标准，进而找到诸量
初中数学名师讲课心得体会3篇 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《初中数学名师讲课心得体会3篇》的内容，具体内容：听了名师上的数学课，受益匪浅。本文是初中数学名师讲课的心得体会，欢迎阅读。初中数学名师讲课心得体会一：通过观摩名师讲课，我懂得了做一名师优秀的数学老师，不仅仅是知识传出去... 听了名师上的数学课，受益匪浅。本文是初中数学名师讲课的心得体会，欢迎阅读。 初中数学名师讲课心得体会一： 通过观摩名师讲课，我懂得了做一名师优秀的数学老师，不仅仅是知识传出去，而且需要的是怎样让学生把知识吸收进来。他们的做法，给了我答案：培养学生数学学习的兴趣，让他们做学习的主人。经过一番思考，本人今后打算从培养学生兴趣入手，力争让人人都能在学数学中找到乐趣，具体做法如下： 1、让爱心充满课堂数学学科本身很抽象，有时候甚至很枯燥，因而课堂教学应是学科渗透，师生互动思想碰撞，相互交流，师生共同成长的历程。上课热情洋溢，激情似火，不讥笑学生，就能点燃学生心中求知的火焰，尽力给予学生鼓励性的评价，保护学生的自尊和自信，细心洞察任何一个学生乐趣的闪光点。 2、让学生自己当老师强调能者为师，才能充分体现和实现学生的主体地位，让学生畅所欲言，尽情表述自己对某知识点的理解与想法，带着知
识走向学生，不过是"授人以鱼"，带着学生走向知识，才是"授人以渔"。学生在学习过程中，有时一题多解，可以采取学生交流，讲解的办法。通过不同学生的不同展示，使学生意识到知识的活性，增强一部分学生的兴趣及另外一部分学生的信心，从而对整个班集体的学习起到一定的推动作用。 3、善用教师的人格魅力教师的言语，行为、情趣、人品是影响学生发展成长的关键因素。运用数学本身的魁力激发学生求知的欲望和情感，同时，教师本身以饱满的热情，强烈的求知欲、热爱数学学科的兴趣及广阔的知识，带领学生去探索数学世界的奥秘，就会对学生的学习兴趣产生影响。 4、创设新颖的问题情境教学过程中，教师要从教学效果出发，通过精心设计，将最新的教学理念融入到每节课的教学过程中，注意广泛收集教学学科最新成果，结合教学内容，巧妙地包装，隆重地介绍;激发学生的求知欲和兴趣，在教学过程中，教师还可以指导学生运用实验法，谈活法，调查法等学习方法，使学生从被动的学习方式中解脱出来，进行自立主式研究性学习。 初中数学名师讲课心得体会二： 曾经看过这样一段话：名师是大树，能改善一方环境，且在枝叶间闪动精彩。最重要的是，名师启发了我们，课堂是个有魅力的地方。于是，我渴望能有机会与名师近距离接触，希望能聆听他们的教育思想，目睹他们的教学风采，也好让自己从中受到启迪，向他们靠边近一点点。去年夏天，有幸聆听了东北三省专家型体育教师和各学科带头人的新课程教学观摩
初中数学海兰名师工作室三年发展规划 大魏庄中学严海兰 (2018.10～2021.10) 一．指导思想 工作室以科学发展观为指导，以创新为主旋律，立足学科实际，用先进的教育思想来引领，紧扣初中数学学科教学发展需求，搭建促进中青年教师专业成长以及名师自我提升的发展平台，打造一支初中数学教学领域中有成就、有影响的教师团队，努力促进我校科研工作的科学发展。 二．三年工作目标 (一)总目标：工作室将围绕清苑区教育局的指导意见，以“专业引领、同伴互助、交流研讨、共同发展”为宗旨，以教育科研为先导，以课堂教学为主阵地，以网络为交流载体，融科学性、实践性、研究性于一体，遵循优秀教师的成长规律，通过三年为一个周期的工作计划的实施，有效推动名师工作室成员的专业成长，力争形成在全区内有较大影响的、具有引领和辐射作用的中学数学骨干教师研修队伍。 (二)具体目标 1．打造一个有特色的教研团队。力求在一个工作周期内使工作室成员在师德规范上出样板，课堂教学上出精品，课题研究上出成果，实现工作室所有成员的专业成长和专业化发展。 2．做好一个有价值的课题研究。利用集体的智慧，积极开展“动态生成式课堂”教学研究。让兴趣的种子根植于学生课堂之中，使学生都能够经历数学学习的三种境界（做数学、玩数学、享受数学），让学生从中享受到数学学习的快乐。 3．上好一节高质量的课堂观摩。工作室的每一位成员，每年都要在区或区以上上一节高质量的观摩课，并邀请有关专家进行指导点评，借此机会利用工作
室的平台组织召开研讨会、报告会、名师论坛，有目的、有计划、有步骤地传播先进的教育理念和教学方法，充分发挥名师的带头、示范、辐射作用。 4．搭建一个多功能的网络平台。开创本工作室网络平台，及时传递工作室成员之间的学习成果，交流“工作室”的研究成果，使网络平台能成为中学数学学科教学动态工作站、成果辐射源和资源生成站，以互动的形式面向广大教师和学生及家长，使师生广泛受益。 5．取得一批有意义的科研成果。工作室教育教学、教科研等成果以论文、研究报告、案例、录像课等形式向外输出，汇集成册。 三．三年目标的分步实施方案 第一阶段（2018年12月至2019年10月） 各成员根据自身基础和发展潜力，制订个人三年发展规划，明确自身追求目标，并进行合理分解。工作室以公开教学、组织研讨、现场指导、专题研究、课题研究等形式广泛开展活动，营造成员间相互学习、交流、研究、合作的良好环境，促使成员自身专业能力较以前有显著提高。 第二阶段（2019年10月至2020年10月） 有成员在区级及以上课堂教学评比中获奖，建立起工作室成员学科教育教学活动资源库。各成员有明确的教学心得和思考，并有一定的研究成果，并以论文、专题讲座、网络等形式向同行辐射、示范，显现成果，形成一定影响。 第三阶段（2020年10月至2021年10月） 不同基础的成员，实现不同跨度的发展，努力培养出几名区级及以上的骨干教师和学科带头人。同时，全面总结和整理工作室的研究成果和经验，并利用各种形式呈现，打造工作室的特色。 四．工作任务 1．组织研修成员理论学习，快速提高专业素养
漫漫教学路，吾将上下而求索 我喜欢这样一句话：“人有人的品性，鱼有鱼的逻辑，树有树的尊严”，作为老师，我尊重自己教的每一个孩子，尊重每一个独立的个体，在教学上，我不断的努力、学习、调整，尽量的适应更多的人喜欢听，听得懂，在课堂有效的时间内，老师对知识清晰的讲授、正确有效的引导、培养学生独立学习、合作交流是课堂组成最主要的部分。在这个信息时代、知识时代、经济时代，学生需要学会、掌握的知识越来越多，获得知识技能的途径和方法也越来越多，初中数学教师讲授只是学生获得知识的方法之一。所以，课堂上有效的教与学，老师的教学风格显得非常重要，好的老师授课时常常是友好的、幽默的、热情的且流畅的。它能激发出学生的潜能、开启学生的心智、促使他们全身心地参与，引导他们在师生、生生互动中自主地建构知识。 在研读《新课程标准》过程中，给我打开了新的视野，教师的教学讲授并不是要“宣布”某种事先存在的、不容置疑的金科玉律，而是要在互动与对话中，通过教师提供的自身对教材内容的“理解”，来促进、引导和支持学生运用已有的经验，进行知识的自主建构。因此，较为成熟的，有老师自我风格的，自我意识的言语讲授，无论是从出发点，还是操作上就根本不同于以往的“灌注”的做法。长此以往的努力，终将形成了较为鲜明的自我教学风格。这个是需要自己在长期教学实践中逐步形成的、富有成效的一贯的教学观点、教学技巧和教学作风的独特结合的作用，是教学工作个性化的稳定状态的标志。下面结合我自己的教学经历，说一说我是怎样在数学教学中逐步形成自己的教学风格、渗透自己的教育理念的。 一、初生牛犊不怕虎，自我满足阶段 自从成为了一名老师，除了刻苦钻研大纲、教材，大量解题，深入研究解题规律，苦练教学语言、板书、黑板画等教学基本功以外，我还把自己的课调开，争取每天听同课老师的课，听完再讲，一有机会也听其他年级、其他科目老师的课，通过听课、观摩，学习老师们的优良教风，吸取他们教学技艺、教学风格中的精华，结合自身条件和特点，扬长避短，以模拟起步。更加珍惜外出学习的机会，那些名家高手在教学中富有特色的一招一式都有很高的示范价值。当时我的想法是：博采众长，把这些老师各自教学特色中最亮丽的“闪光点”汇聚起来，用心领悟其真谛，归纳出在数学教学中遵循的若干个“要”和“不要”，并从讲台形象、语言特点、教法技巧等方面给自己“量体裁衣”，进行总体设计，在脑海中构画出一个理想化的教学风格“样板模型”，供自己在实践中模拟，力求形成自己行之有效的教学特色。 经过十四年的反复实践、反复磨练，我初步形成了自己教学风格的基本式样：讲台形象——朴实、镇定、自信，精神抖擞；教学思路——脉络分明，条理清晰；语言表达——严谨、生动、幽默；板书——工整，详略得当；黑板画——规范、
听初中数学名师讲课的体会篇一：初中数学课听课心得体会 初中数学听课心得体会 本周我有幸在我的母校东郭中学听课学习，观摩了几位老师数学优质课，半天的听课学习我收获很大，从几个老师的讲解中，我了解了：新课程理念下的数学教学，强调数学来自于生活，又回归于生活。生活中的数学教学本质是培养学生的应用与创新能力。下面结合自己的教学实际谈谈自己在数学教学实践中的一些做法。 一、教师善于创设情境 教师在教学过程中创设的情境，目标明确，能为教学服务。通过创设情境，让学生感觉数学是有趣的。学生的学习是认知和情感的结合。每一个学生都渴望挑战，渴望挑战带来的成功，这是学生的心理共性。成功是一种巨大的情绪力量，它能使学生产生主动求知的心理冲突，因此，教师在课堂教学中，要有意识地设各种情境，为学生提供挑战的机会，不失时机地为他们走向成功。 二、教师精心设计了教学课件 教学课件制作精良，充分发挥了多媒体技术在课堂教学中的重要作用，从课题材料的搜集上和视听效果上，都非常富有创意，如花似锦，引人入胜，而且都非常贴近学生生
活，做到学数学用数学。体现了数学来源于生活，运用到生活中使枯燥的数学教学变得形象直观，充分激发学生的学习兴趣更有利于学生对所学知识得牢固掌握。 三、教师的教学语言富有感染力 教师的教学语言是至关重要的，不但要有准确的数学专业用语，让学生听懂理解知识，而且要有些诙谐幽默的话，吸引学生的注意力，使课堂气氛活跃。教师要有及时的课堂评价，随时关注了学生的情感，多表扬来能调动学生学习的积极性。 四、师生互动环节引人入胜，氛围融洽。 在数学教学中，根据学生的心理发展特点，把枯燥、呆板的课堂教学改变了，从而也培养了学生学习数学的兴趣，激发了孩子的求知欲。尤其是在听课过程中，我更加深刻的体会到这些数学教师教学方法的与众不同，我感受到老师和学生之间是如此的默契……看到每个老师都精心的设计每一堂课，从板书、内容，结构紧凑，环环相扣。既学习了新知识，又增加了练习量，还激发了学生大脑思维的深度，那种工作态度与热情都值得我们每个人去学习，在他们的课堂上很少有见到不学习的孩子，因为他们都深深地被老师的课所吸引着。 五、以学生为主体，教师为主导
莱布尼茨 莱布尼茨 数学 微积分 1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列 0，1，4，9 16，… 的性质，例如它的第一阶差为 1，3，5，7，…， 第二阶差则恒等于 2，2，2，… 等．他注意到，自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为 1＋3＋5 +7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列．1672年，惠更斯给莱布尼茨出了一道他自己正同别人竞赛的题目：求三角级数(1，3，6，10，…)倒数的级数之和 莱布尼茨圆满地解决了这一问题，他是这样计算的： 初次成功激发了他进一步深入钻研数学的兴趣．通过惠更斯，他了解到B．卡瓦列里(Cavalieri)、I．巴罗(Barrow)、B．帕斯卡(Pascal)、J．沃利斯(Wallis)的工作．于是，他开始研究求曲线的切线以及求平面曲线所围图形的面积、立体图形体积等问题．1674年，他学习R．笛卡儿(Descartes)几何学，同时对代数性发生了兴趣．这一时期，他检索了已有的数学文献． 对于当时数学界密切关注的切线问题和求积问题，莱布尼茨在前人的基础上提出了一个普遍方法．这个方法的核心是特征三角形(characteristic triangle)．在帕斯卡、巴罗等人讨论过的特征三角形的基础上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)组成的特征三角形．其中dx，dy的意义是这样的：在他1666年“论组合术”中所考虑的序列中，用dx表示相邻的序数之差，dy表示两个相邻项值之差，然后在数列项的顺序中插入若干dx，dy，于是过渡到了任意函数的dx，dy．特征三角形的两条边就是任意函数的dx，dy；而PQ 则是“P和 Q之间的曲线，而且是T点的切线的一部分”．如图1，T是曲线y=f(x)上的一点，dx，dy分别是横坐标、纵坐标的差值． 利用这个特征三角形，他很快就意识到两个问题： (1)曲线的切线依赖于纵坐标的差值与横坐标的差值(当这些差值变成无穷小时)之比．通过考虑图1中△PQR和△STU，发现△PQR∽△STU，从而有dy/dx=Tu/Su．也就是说，曲线y上过T点的切线的斜率是dy/dx． (2)求积(面积)依赖于横坐标的无限小区间的纵坐标之和或无限窄矩形之和． 有了这些思想，他很快就推导出了一大批新结论．用他自己的话说就是，从特征三角形出发，“毫不费力，我
初中数学名师工作室成员2016年度个人研修计划 初中数学名师工作室成员2016年度个人研修计划 转眼从教已十六年，始终勤于研讨，积极创新，摆脱职业倦怠，敬业乐业。2015 年有幸成为**区数学名师工作室的一员，深感荣幸，又倍感责任重大，为了更好地参与2016年研修工作，特制定2016年个人研修的研修计划： 1 、参加研修活动 积极参加工作室组织的各种集体活动，积极撰写研修心得，及时发布博客，在研修活动中向专家和同行多请教，多学习，争取尽快提高自己的教育教学水平。 2 、争取上公开课 平时要多看一些名师课堂，多听一些专家的报告，及时反思和总结，将专家的先进教学理念纳入到课堂教学之中，2016年在主持人的统一安排下，要积极开展公开教学，在实践中发现不足，在实践中寻求进步，进而尽快实现自身的专业成长。 3 、阅读专业期刊 2016年继续自费订阅相关数学专业期刊，认真阅读研究期刊中的文章，进一步提高自身的理论水平和课堂教学的实践能力。 4、参与课题研究 提倡教科研一体化。在做好教学工作的同时还要进行专项课题的深入研究，以研促教，围绕工作室课题展开探讨，查阅资料，搜集材料，使教学和科研更有机的结合，做到教与学的完美统一。 5、撰写论文 通过撰写论文不断提升教育教学的理论素养，提高写作水平和能力。为了撰写好一篇高质量的论文，我要努力做好平时课堂教学实践的积累，尤其是教学中精彩的片段，有趣的活动，新颖的设计，巧妙的安排，有效的方法，合理的组织等等，将每一个素材进行分析与总结。每学年完成一篇高质量的论文。
以上是2016学年我要完成和探索的目标，为此我会努力工作提升自己，在名师工作室同仁们的帮助下，取得更大的进步！
初中数学公开课教案 教学内容：在学生初步了解，年月日、季度的概念后，寻找历法与扑克之间的关系。 教学目标： 1、通过对"扑克"有趣的再认识，让学生了解"扑克"与"历法"之间有趣的联系。 2、2、培养起学生对生活中平常小事的关注。 3、3、调动学生丰富的联想，养成一种思考的习惯。 4、教学重点： 5、 "扑克"与"历法"的联系。 6、教学难点： 7、 "扑克"与"历法"的联系。 8、教学准备： 9、 "扑克"、课件 10、教学过程： 11、谈话引入 师：同学们，这个你们一定见过吧!出示：扑克这是我们生活中比较常见的"扑克"。谁愿意告诉我们，你对扑克的了解呢? 生：包括"大王"有54张、有52张正牌，有4种花色，每种花色13张...... 生：打牌、算24点、欣赏海宁有个小姑娘，就收集了上千幅各种图案的扑克，进行过展出、美国人还用它来抓不他们的敌人比如伊拉克时的萨达姆...... 教师补充，引发学生的好奇心。 师：我呀，觉得"扑克"还有一种作用，而且与数学有关!看看那位同学知道! 生:...... 新课 1、师：大家有好多的答案，可是都不太对。"扑克"与历法有关。课件出示
2、师：历法是什么呢?学生回答，同时课件介绍<四季、12个月、356天等等>那么，扑克与历法有什么关系那?请学生猜一猜。 3、生：...... 引导学生说出：桃、心、梅、方4种花色可以代表一年四季春、夏、秋、冬 4花色=4个季节 2、还有什么呢?教师可以提醒：红、黑= /大王=太阳小王= 月亮 同时课件出示：红=白天黑=夜晚 / 红=...... 黑=......发挥学生的自由的想象 4、现在我在出一些数字我们一起来找一下，看看这些数字与我们的立法和扑克之间有什么联系。出示课题 5、 365 366 12 52 4 91 13 、课件出示提示问题： 7、一年有多少天? 一年有多少个月? 8、有多少个星期? 有多少个季度?..... 9、同时出示：扑克牌于数字的对应值。 10、 A=1 2=2 3=3 4=4 5=5 6=6 7=7 8=8 11、 9=9 10=10 J=11 Q=12 K=13 大王=1 小王=1 12、 5、学生自己尝试练习寻找扑克与历法之间的关系 13、◆1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13=91 14、91×4=364+小王=365+大王=366 15、所有牌的和+小王=平年的天数 16、所有牌的和+小王+大王=闰年的天数 17、扑克中的K、Q、J共有12张，3×4=12，表示一年有12个月 18、365÷7≈52一年有52个星期。54张牌中除去大王、小王有52张是正牌，表示一年有52个星期。 19、◆桃、心、梅、方4种花色可以代表一年四季春、夏、秋、冬 20、 4花色=4个季节=4个季度
初中数学名师工作室个人工作总结 ? ? ?时间飞逝，加入"鸠江区数学名师工作室"已是第二年了。回顾在名师工作室的学习，我感受到这个集体给我带来的欢乐与收获，也让我在这个团队中成长。也许这一年我并没有值得夸耀的荣誉，值得炫耀的成绩，但是十分珍视这次宝贵的学习机会，全身心的沉浸在浓厚的学习氛围之中，被陈老师那渊博的知识、精湛的教学艺术、严谨的治学态度、高度的责任心、独有的人格魅力所折服，不仅开阔了视野，增长了见识。 一学年的学习，内容丰富，形式多样，既有董老师的专题讲座、同事们的示范课，又有学员围绕专题进行的各种实践课、观摩课研讨。回首学习过程，既有观念上的洗礼，也有理论上的提高，既有知识上的积淀，也有教学技艺的增长。收获颇丰、受益匪浅。成长是一个过程，是一份快乐。一年来我又收获了很多，同时也看到了自身的不足，现将一学年的工作总结如下。 一、思想政治方面 坚持四项基本原则，坚决贯彻执行党的教育教学方针，热爱教育事业，热爱学生，关注学生，促进学生身心健康全面发展。遵守《教师法》、《未成年保护法》和《楚雄州教师七条禁令》。按时参加学校的每周一次的政治学习、师德师风学习和业务学习，时时处处严格要求自己。
二、教育教学工作方面 1、这一学期，我主要担任学校九年级（2）班和（6）班数学学科的教学工作，工作中能主动协助班主任管理好班级，培养学生良好的学习习惯、行为习惯和卫生习惯。九年级学生即将毕业，教师教育教学的重点主要是在课堂上传授学生知识，帮助学生复习迎考，同时培养学生自信心和乐观向上的精神。我从一点一滴抓起，规范学生的课堂学习习惯、认真完成作业和认真书写的习惯。面对学生在做题中遇到的问题我及时解惑，面对学生思想上的压力我及时疏导，面对学生出现惰性思想时，我及时鞭促。 2、做好教育教学常规工作。课前认真研读《课程标准》和教材，《教师教学用书》，弄清教材教学知识之间的前后联系，并依据教学内容和学生实际情况，认真完成年级备课组长分配的集体备课课时。提前两周认真阅读教案，有针对性的写出每一个课时的研修建议。课前做好充分的准备，每节课必提前进教室，充分做好上课前的一切准备工作。科学合理的使用多媒体辅助教学，优化、整合、共享集体备课的教学资源。优化课堂教学结构，不浪费课堂上的一分一秒，课后及时反思教学过程中做得好的方面和存在的问题，及时写出课后反思。课后认真批改作业，尽量做到面批面改，及时督促学生订正错题。充分利用课余时间辅导潜能生，并有针对性的和班主任一起进行家访。
初中数学老师的讲课风格十分重要 你是否能回想起那些曾让你感受到学习有乐趣的老师呢?还能想起一些教学效率不高的老师吗?他们的最大差别是什么呢?也许就是他们使用的初中数学教学方法或者策略不同吧。在众多的教师技能中，讲授、讨论、独立学习是最主要的部分，被一直采用着。在这个信息时代、知识时代、经济时代，学生需要掌握的知识越来越多，初中数学教师讲授是学生获得知识的方法之一。 讲授者的风格是非常重要的，好的讲授者常常是友好的、幽默的、热情的且流畅的。它能激发学生的潜能、开启学生的心智、促使他们全身心地参与，引导他们在师生、生生互动中自主地建构知识。在新课程的视野中，教师的言语讲授并不是要“宣布”某种事先存在的不容置疑的金科玉律，而是要在互动与对话中通过教师提供的自身对教材内容的“理解”，来促进、引导和支持学生运用已有的经验进行知识的自主建构。因此，言语讲授在操作上就根本不同于以往那种“灌 注”的做法。努力形成鲜明的教学风格 教学风格是教师在长期教学实践中逐步形成的、富有成效的一贯的教学观点、教学技巧和教学作风的独特结合的作用，是教学工作个性化的稳定状态的标志。本文拟结合自己的教学经历，谈谈怎样在数学教学中逐步形成自己的教学风格。 一、博采众长的模拟阶段 作为一名教师，除了刻苦钻研大纲、教材，大量解题，深入研究解题规律，苦练教学语言、板书、黑板画等教学基本功以外，我对自己的执教套路和风格曾作过初步设计：继承对自己有深影响的名专家、名教师的优良教风，吸取他们教学技艺、教学风格中的精华，结合自身条件和特点，扬长避短，以模拟起步。 这些名家高手在教学中富有特色的一招一式都有很高的示范价值。当时我的想法是：博采众长，把这些老师各自教学特色中最亮丽的“闪光点”汇聚起来，用心领悟其真谛，归纳出在数学教学中遵循的若干个“要”和“不要”，并从讲台形象、语言特点、教法技巧等方面给自己“量体裁衣”，进行总体设计，在脑海中构画出一个理想化的教学风格“样板模型”，供自己在实践中模拟，力求从“形似”升华到“神似”。 经过十年的反复实践、反复磨练，我初步形成了自己教学风格的基本式样：讲台形象——朴实、镇定、自信，精神抖擞；教学思路——脉络分明，条理清晰；语言表达——严谨、生动、幽默；板书——工整，详略得当；黑板画——规范、熟练（也会徒手画图）；解题指导——灵活，富有启发性，讲究多解、巧解。事实上，在这一基本式样中含有许多师从上述各位名教师的成份，它是我教学风格成型的基础。 二、形成教学特色的提高阶段 模拟达到熟练的程度之后，经过自己的思考和探索，就可按自己的教学思路、表达方式进行教学，进入形成某些教学特色的提高阶段。 八十年代我的教学观念更新较快，并通过带教改试点班，上公开课（十年内共计约上过60多节），等努力提高自己，形成了一些教学特色： 特色之一是：对教材内容的处理有一定创造性。能通过对教材内容严格细致的剖析，化整为零，合理增删，然后重新组合，使其形成一个由浅入深、由表及里、由部分到整体，由因到果的过程结构，使其成为学生容易适应的知识框架，使其化为染上鲜明的个性色彩和附加多种可感因素的具体形象。 特色之二是：教学方法比较灵活。能根据教学难度的高低与学生的接受能力恰当地选择和使用教学方法，把多种教学方法合理地结合起来使用，确定教学方法时不是以课时为单元而是以重要知识点为单元来考虑。我采用“读、议、讲、练、问、答”的教学法提高中师数学教学质量的经验.
初中数学名师工作室个人工作总结 时间飞逝，加入"鸠江区数学名师工作室"已是第二年了。回顾在名师工作室的学习，我感受到这个集体给我带来的欢乐与收获，也让我在这个团队中成长。也许这一年我并没有值得夸耀的荣誉，值得炫耀的成绩，但是十分珍视这次宝贵的学习机会，全身心的沉浸在浓厚的学习氛围之中，被陈老师那渊博的知识、精湛的教学艺术、严谨的治学态度、高度的责任心、独有的人格魅力所折服，不仅开阔了视野，增长了见识。 一学年的学习，内容丰富，形式多样，既有董老师的专题讲座、同事们的示范课，又有学员围绕专题进行的各种实践课、观摩课研讨。回首学习过程，既有观念上的洗礼，也有理论上的提高，既有知识上的积淀，也有教学技艺的增长。收获颇丰、受益匪浅。成长是一个过程，是一份快乐。一年来我又收获了很多，同时也看到了自身的不足，现将一学年的工作总结如下。 一、思想政治方面 坚持四项基本原则，坚决贯彻执行党的教育教学方针，热爱教育事业，热爱学生，关注学生，促进学生身心健康全面发展。遵守《教师法》、《未成年保护法》和《楚雄州教师七条禁令》。按时参加学校的每周一次的政治学习、师德师风学习和业务学习，时时处处严格要求自己。 二、教育教学工作方面 1、这一学期，我主要担任学校九年级 （2）班和
（6）班数学学科的教学工作，工作中能主动协助班主任管理好班级，培养学生良好的学习习惯、行为习惯和卫生习惯。九年级学生即将毕业，教师教育教学的重点主要是在课堂上传授学生知识，帮助学生复习迎考，同时培养学生自信心和乐观向上的精神。我从一点一滴抓起，规范学生的课堂学习习惯、认真完成作业和认真书写的习惯。面对学生在做题中遇到的问题我及时解惑，面对学生思想上的压力我及时疏导，面对学生出现惰性思想时，我及时鞭促。 2、做好教育教学常规工作。课前认真研读《课程标准》和教材，《教师教学用书》，弄清教材教学知识之间的前后联系，并依据教学内容和学生实际情况，认真完成年级备课组长分配的集体备课课时。提前两周认真阅读教案，有针对性的写出每一个课时的研修建议。课前做好充分的准备，每节课必提前进教室，充分做好上课前的一切准备工作。科学合理的使用多媒体辅助教学，优化、整合、共享集体备课的教学资源。优化课堂教学结构，不浪费课堂上的一分一秒，课后及时反思教学过程中做得好的方面和存在的问题，及时写出课后反思。课后认真批改作业，尽量做到面批面改，及时督促学生订正错题。充分利用课余时间辅导潜能生，并有针对性的和班主任一起进行家访。 3、业务学习方面。订阅《中小学数学》杂志，认真阅读，做好每周4页的学习摘记。认真阅读教育教学方面的著作，如《给教师的100条建议》和《第56号教室的奇迹》。按时认真参加数学教研组的教研活动，积极主动的去听他们的课。平时在办公室中，虚心的向各位老师请教、探讨教学工作中的问题，一起共享教学资源，互相鼓励、学习，共同进步。平时注重努力地提高自身的业务素质、理论水平、教
初中数学名师工作室实施方案 篇一：初中数学名师工作室规章制度及成员分工 初中数学名师工作室规章制度及成员分工 初中数学名师工作室规章制度及成员分工 一、规章制度 1、会议制度 每个月召开一次工作室工作例会，讨论安排本月工作室计划，确定工作室成员的具体工作分工。 每学期召开一次“工作室”总结会议，安排本学期需展示的成果内容及形式，总结经验、探讨存在的问题。 每学期至少安排一次课题研究推进会，督促检查课题实施情况，解决实施过程中的难点。 2、工作制度
名师工作室主持人与工作室每个成员签订《名师工作室成员工作协议书》，在完成工作室研究项目和个人专业化成长方面制订周期发展目标，规定双方职责、权利及评价办法。 工作室主持人为工作室成员制定具体进步计划，安排培训过程。 工作室成员必须参加工作室布置的带、教培训工作和“传、帮、带”工作，完成工作室的学习、研究任务，并有相应的成果显现，努力实现培养计划所确定的目标。 3、考核制度 工作室主持人由淮南市“名师工作室”工作领导小组考核。 工作室成员的考核由其主持人和领导小组负责，主要从思想品德、理论提高、教育教学能力、研究能力、技能水平等方面考察是否达到培养目标，考核不合格者则调整出名师工作室；同时按有关程序吸收符合条件、有发展潜力的新成员进入工作室。
4、档案管理制度 建立工作室档案制度，工作室设专人负责管理各种资料。 工作室成员的计划、总结、听课、评课记录、公开课、展示课、教案等材料及时收集、归档、存档，为个人的成长和工作室的发展提供依据。 二、成员分工 程龙军：负责制定工作方案，全盘安排，活动的组织协调等。丁传义、魏凯发：负责项目研究方案、课题计划等。 夏昕：负责工作室网站建设，及时更新网站内容；工作室活动的宣传、召集、联络等。 卞贤磊：负责工作室活动考勤、记录、资料整理归档，新闻撰写及宣传报道等。 孔维军：负责东部片区的教研活动的组织和安排。 常伟：负责西部片区的教研活动的组织和安排。 芮金：负责凤台县片区的教研活动
初中数学名师工作室工作小结-优秀范文 本学期，我们XX区初中数学名师工作室的学习氛围依然很浓厚.本学期的学习，内容丰富，形式多样，既有学员的示范课，又有外出听课研讨活动，还有我们工作室的市级课题《初中数学课堂提问艺术的实践研究》中期报告.工作室还给我们发了许多有益书籍，如《教师怎样提问才有效----课堂提问的艺术》等.回首学习过程，既有观念上的洗礼，也有理论上的提高;既有知识上的积淀，也有教学技艺的增长. 这一学期我收获颇丰、受益匪浅.成长是一个过程，是一份快乐. 我从心底里感谢陈老师和工作室的所有成员，我们在陈老师的引领下，校领导的重视下，互相帮助，互相探讨，互相促进，共同提高.现将一学期的工作总结如下. 一、积极学习 名师工作室为我们的学习和发展提供了机会和平台，陈老师会经常请专家、教授给我们开讲座，以提高我们的理论水平，并鼓励我们年轻人参加实验、教学、微课制作等方面的比赛.陈老师会在我每一次比赛之前给予很多帮助和指导，他认真的态度让我觉得这好像是她的比赛一样.每一次准备比赛的过程都特别辛苦，但辛苦的过程之后就会感受到自己进步的喜悦，每一次比赛都是对专业的一次提升，也会让自己的内心更加强大.本学期我们参加了XX区教学设计比赛，赛前陈老师给我们耐心指导，我们名师工作室成员在比赛中均获奖. 我珍惜工作室里的每一位同事和每一次学习的机会，在工作室的各种活动当中，我学到了很多教育教学理论并开阔了视野，为以后的发展奠定了基础. 二、努力实践
1. 课堂教学是教师成长的主要载体，是提高教师专业水平的有效途径.在平时的课堂教学中，我都提前做好充分的准备，设计创新点，课后反复思考，总结经验，逐步形成了自己的教学方法.今年上半年我的课堂实录《圆的概念和性质的复习》获得市级一师一优课优秀奖.下半年我又录制了《14. 2.2完全平方公式》.每次上课之前我都虚心请教老教师，让他们帮助我磨课.虽然过程很辛苦，但收获却很大. 2. 邓雯雯教师参加市级说课比赛，我和其他同事一样积极参与磨课，提出自己的意见，帮助她提升，也聆听其他教师的宝贵建议，进一步提升自己的专业素养. 3. 本学期我们参加了XX区教学设计比赛，赛前陈老师给我们耐心指导，我们名师工作室成员在比赛中均获奖. 4.参与修改名师工作室市级课题《初中数学课堂提问艺术的实践研究》中期报告，并积极参加报告会议. 三、及时反思 名师工作室为我们提供了提高自身素质的空间，也是我们互相学习，互相促进的大家园.在这个大家庭里，通过参加讲座、比赛、听课、研读有益书籍等方式的学习后，我虽然取得了进步，但更加认识到自己的不足.因此我积极利用空余时间阅读学习先进经验和新的教育理念，不断的充实自己，以便更好的进行教育
初中数学名师工作室三 年发展规划 集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-
初中数学海兰名师工作室三年发展规划 大魏庄中学严海兰 ～ 一．指导思想 工作室以科学发展观为指导，以创新为主旋律，立足学科实际，用先进的教育思想来引领，紧扣初中数学学科教学发展需求，搭建促进中青年教师专业成长以及名师自我提升的发展平台，打造一支初中数学教学领域中有成就、有影响的教师团队，努力促进我校科研工作的科学发展。 二．三年工作目标 (一)总目标：工作室将围绕清苑区教育局的指导意见，以“专业引领、同伴互助、交流研讨、共同发展”为宗旨，以教育科研为先导，以课堂教学为主阵地，以网络为交流载体，融科学性、实践性、研究性于一体，遵循优秀教师的成长规律，通过三年为一个周期的工作计划的实施，有效推动名师工作室成员的专业成长，力争形成在全区内有较大影响的、具有引领和辐射作用的中学数学骨干教师研修队伍。 (二)具体目标 1．打造一个有特色的教研团队。力求在一个工作周期内使工作室成员在师德规范上出样板，课堂教学上出精品，课题研究上出成果，实现工作室所有成员的专业成长和专业化发展。
2．做好一个有价值的课题研究。利用集体的智慧，积极开展“动态生成式课堂”教学研究。让兴趣的种子根植于学生课堂之中，使学生都能够经历数学学习的三种境界（做数学、玩数学、享受数学），让学生从中享受到数学学习的快乐。 3．上好一节高质量的课堂观摩。工作室的每一位成员，每年都要在区或区以上上一节高质量的观摩课，并邀请有关专家进行指导点评，借此机会利用工作室的平台组织召开研讨会、报告会、名师论坛，有目的、有计划、有步骤地传播先进的教育理念和教学方法，充分发挥名师的带头、示范、辐射作用。 4．搭建一个多功能的网络平台。开创本工作室网络平台，及时传递工作室成员之间的学习成果，交流“工作室”的研究成果，使网络平台能成为中学数学学科教学动态工作站、成果辐射源和资源生成站，以互动的形式面向广大教师和学生及家长，使师生广泛受益。 5．取得一批有意义的科研成果。工作室教育教学、教科研等成果以论文、研究报告、案例、录像课等形式向外输出，汇集成册。 三．三年目标的分步实施方案 第一阶段（2018年12月至2019年10月） 各成员根据自身基础和发展潜力，制订个人三年发展规划，明确自身追求目标，并进行合理分解。工作室以公开教学、组织研讨、现场指导、专题研究、课题研究等形式广泛开展活动，营造成员间相互学习、交流、研究、合作的良好环境，促使成员自身专业能力较以前有显着提高。