第2节抛体运动
,
(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。(×)
(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。(×)
(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。(×)
(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。(×)
(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。( √)
(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。(√)
(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。(√)
突破点(一)平抛运动的规律
1．基本规律
(1)速度关系
(2)位移关系
2．实用结论
(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。
(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC ＝2BC ，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。
[多角练通]
1．(2016·海南高考)在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中( )
A ．速度和加速度的方向都在不断变化
B ．速度与加速度方向之间的夹角一直减小
C ．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等
D ．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等
解析：选B 由于物体只受重力作用，做平抛运动，故加速度不变，速度大小和方向时刻在变化，选项A 错误；设某时刻速度与竖直方向(即加速度方向)夹角为θ，则tan θ＝
v 0
v y ＝v 0gt ，随着时间t 变大，tan θ变小，θ变小，故选项B 正确；根据加速度定义式a ＝Δv
Δt ＝g ，
则Δv ＝g Δt ，即在相等的时间间隔内，速度的改变量相等，但速率的改变量不相等，故选项C 错误；根据动能定理，动能的改变量等于重力做的功，即W G ＝mgh ，对于平抛运动，在竖直方向上，相等时间间隔内的位移不相等，即动能的改变量不相等，故选项D 错误。
2.(2017·抚顺一模)如图所示，离地面高h 处有甲、乙两个物体，
甲以初速度v 0水平射出，同时乙以初速度v 0沿倾角为45°的光滑斜
面滑下。若甲、乙同时到达地面，则v 0的大小是( )
A.
gh 2 B.gh C.2gh 2
D ．2gh 解析：选A 甲做平抛运动，水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，根据h ＝1
2
gt 2，得：t ＝ 2h
g
① 根据几何关系可知：x 乙＝2h ②
乙做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可知： a ＝F 合m ＝mg sin 45°m ＝22
g ③ 根据位移时间公式可知：x 乙＝v 0t ＋1
2at 2 ④
由①②③④式得： v 0＝
gh
2
，所以A 正确。 3．(多选)一个做平抛运动的物体，从物体水平抛出开始至水平位移为s 的时间内，它在竖直方向的位移为d 1；紧接着物体在经过第二个水平位移s 的时间内，它在竖直方向的位移为d 2。已知重力加速度为g ，则做平抛运动的物体的初速度为( )
A ．s
g
d 2－d 1
B.s g 2d 1
C.2s 2gd 1d 1－d 2
D ．s
3g
2d 2
解析：选ABD 由已知条件，根据平抛运动的规律可得 水平方向上：s ＝v 0t 竖直方向上：d 1＝1
2gt 2
联立可以求得初速度v 0＝s
g
2d 1
，所以B 正确； 在竖直方向上，物体做自由落体运动，根据Δx ＝gT 2 可得d 2－d 1＝gT 2， 所以时间的间隔T ＝
d 2－d 1
g ，
所以平抛的初速度v 0＝s
T
＝s
g
d 2－d 1
，所以A 正确； 再根据匀变速直线运动的规律可知d 1d 2＝1
3，
所以从一开始运动物体下降的高度为4
3d 2，
由43d 2＝1
2
g (2t )2，可得物体运动的时间间隔为t ＝ 2d 23g
，所以平抛的初速度v 0＝s
t ＝s
3g
2d 2
，所以D 正确。 突破点(二) 多体平抛问题
[典题先试]
1.如图所示，两个小球从水平地面上方同一点O 分别以初速度v 1、v 2水平抛出，落在
地面上的位置分别是A 、B ，O ′是O 在地面上的竖直投影，且O ′A ∶AB ＝1∶3。若不计空气阻力，则两小球( )
A ．抛出的初速度大小之比为1∶4
B ．落地速度大小之比为1∶3
C ．落地速度与水平地面夹角的正切值之比为1∶3
D ．通过的位移大小之比为1∶ 3
解析：选A 两小球的抛出高度相同，故下落时间相同，落地时的竖直分速度相同，两小球的水平位移分别为O ′A 和O ′B ，故水平位移之比为1∶4，故由x ＝v t 可知两小球的初速度之比为1∶4，故A 正确；由于未知两小球的下落高度，故无法求出准确的落地时的竖直分速度，故无法求得落地速度之比，故B 错误；同理也无法求出位移大小之比，故D 错误；设落地时速度方向与水平地面夹角为θ，tan θ＝v y
v x ，因竖直分速度相等，而水平初
速度比值为1∶4，故正切值的比值为4∶1，故C 错误。
2．(多选)(2017·台州模拟)如图所示，a 、b 两个小球从不同高度
同时沿相反方向水平抛出，其平抛运动轨迹的交点为P ，不计空气阻力，则以下说法正确的是( )
A ．a 、b 两球同时落地
B ．b 球先落地
C ．a 、b 两球在P 点相遇
D ．无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇 解析：选BD 由h ＝1
2
gt 2可得t ＝
2h
g
，因h a >h b ，故b 球先落地，B 正确，A 错误；两球的运动轨迹相交于P 点，但两球不会同时到达P 点，故无论两球初速度大小多大，两球总不能相遇，C 错误，D 正确。
3.(多选)如图所示，A 、B 两点在同一条竖直线上，A 点离地面的高度为2.5h ，B 点离地面高度为2h 。将两个小球分别从A 、B 两点水平抛出，它们在P 点相遇，P 点离地面的高度为h 。已知重力加速度为g ，则( )
A ．两个小球一定同时抛出
B ．两个小球抛出的时间间隔为(3－2)
h g
C．小球A、B抛出的初速度之比v A
v B＝
3
2
D．小球A、B抛出的初速度之比v A
v B＝
2
3
解析：选BD平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，由h＝1
2gt
2，得t＝2h
g，
由于A到P的竖直高度较大，所以从A点抛出的小球运动时间较长，应先抛出，故A错误；
由t＝2h
g，得两个小球抛出的时间间隔为Δt＝t A－t B＝
2×1.5h
g－
2h
g＝(3－2)
h
g，故B正确；由x＝v0t得v0＝x
g
2h，x相等，则小球A、B抛出的初速度之比
v A
v B＝
h B h A＝
h
1.5h＝
2
3，故C错误，D正确。
[题后悟通]
对多体平抛问题的四点提醒
(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动。
(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定。
(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动。
(4)两条平抛运动轨迹的相交处是两物体的可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。
突破点(三)平抛运动问题的5种解法
平抛运动是较为复杂的匀变速曲线运动，求解此类问题的基本方法是，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。高考对平抛运动的考查往往将平抛运动置于实际情景或物理模型中，而在这些情景中求解平抛运动问题时只会运动分解的基本方法往往找不到解题突破口，这时根据平抛运动特点，结合试题情景和所求解的问题，再佐以假设法、对称法、等效法等，能使问题迎刃而解。
(一)以分解速度为突破口求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来说，若知道了某时刻的速度方向，可以从分解速度的角
度来研究：tan θ＝v y
v x＝
gt
v0(θ为t时刻速度与水平方向间夹角)，从而得出初速度v0、时间t、
夹角θ之间的关系，进而求解具体问题。
[典例1](2016·上海高考)如图，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是位于竖
直平面内以O 为圆心的一段圆弧，OA 与竖直方向的夹角为α。一小球以速度v 0从桌面边缘P 水平抛出，恰好从A 点沿圆弧的切线方向进入凹槽。小球从P 到A 的运动时间为________；直线PA 与竖直方向的夹角β＝________。
[解析] 根据题意，小球从P 点抛出后做平抛运动，小球运动到A 点时将速度分解，有tan α＝v y v x ＝gt v 0，则小球运动到A 点的时间为：t ＝v 0tan α
g ；从P 点到A 点的位移关系有：
tan β＝
v 0t 12
gt 2＝2v 0gt ＝2tan α＝2cot α，所以PA 与竖直方向的夹角为：β＝arctan(2cot α)。 [答案]
v 0tan α
g arctan(2cot α)
(二)以分解位移为突破口求解平抛运动问题
对于一个做平抛运动的物体来讲，若知道某一时刻物体的位移方向，则可将位移分解到水平方向和竖直方向，然后利用tan α＝12
gt 2 v 0t \f(\f(1,2)gt 2,v 0t )(α为t 时刻位移与水平方向间
夹角)，确定初速度v 0、运动时间t 和夹角α间的大小关系。
[典例2] (2017·青岛月考)如图所示，在竖直面内有一个以AB 为水平直径的半圆，O 为圆心，D 为最低点。圆上有一点C ，且∠COD ＝60°。现在A 点以速率v 1沿AB 方向抛出一小球，小球能击中D 点；若在C 点以某速率v 2沿BA 方向抛出小球时也能击中D 点。重力加速度为g ，不计空气阻力。下列说法正确的是( )
A ．圆的半径为R ＝2v 12g
B ．圆的半径为R ＝4v 12
3g
C ．速率v 2＝
32v 1
D ．速率v 2＝
33v 1
[解析] 从A 点抛出的小球做平抛运动，它运动到D 点时R ＝1
2gt 12，R ＝v 1t 1，故R ＝2v 12
g ，
选项A 正确，选项B 错误；从C 点抛出的小球R sin 60°＝v 2t 2，R (1－cos 60°)＝1
2gt 22，解
得v 2＝
6
2v 1
，选项C 、D 错误。 [答案] A
(三)利用假设法求解平抛运动问题
对于平抛运动，运动时间由下落高度决定，水平位移由下落高度和初速度决定，所以当下落高度相同时，水平位移与初速度成正比。但有时下落高度不同，水平位移就很难比较，这时可以采用假设法，例如移动水平地面使其下落高度相同，从而作出判断。
[典例3]斜面上有a、b、c、d四个点，如图所示，ab＝bc
＝cd，从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在
斜面上b点，若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，
则它落在斜面上的()
A．b与c之间某一点 B.c点
C．c与d之间某一点D．d点
[解析]
假设斜面是一层很薄的纸，小球落上就可穿透且不损失能量，过b点作水平线交Oa于a′，由于小球从O点以速度v水平抛出时，落在斜面上b点，则小球从O点以速度2v水平抛出，穿透斜面后应落在水平线a′b 延长线上的c′点，如图所示，因ab＝bc，则a′b＝bc′，即c′点在c点的正下方，显然，小球轨迹交于斜面上b与c之间。所以，本题答案应选A。
[答案] A
(四)利用推论法求解平抛运动问题
推论Ⅰ：做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tan θ＝2tan φ。
推论Ⅱ：做平抛运动的物体，任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
推论Ⅲ：物体落回斜面的平抛运动中，物体在不同落点的速度方向与斜面的夹角相等。
[典例4]如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射
出的，飞镖甲与竖直墙壁成α＝53°角，飞镖乙与竖直墙壁成β＝37°角，
两者相距为d。假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离。
(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析]设射出点P离墙壁的水平距离为L，飞镖甲下降的高度为h
，
1
飞镖乙下降的高度为h 2，
根据平抛运动的重要推论可
知，两飞镖速度的反向延长线一定通过水平位移的中点Q ，如图
所示，由此得
L 2cot β－L
2cot α＝d ， 代入数值得：L ＝24d 7。
[答案]
24d 7
(五)利用等效法求解类平抛运动问题 错误!
[典例5] (2017·河北正定中学月考)风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力。如图所
示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy 直角坐标系。质量m ＝0.5 kg 的小球以初速度v 0＝0.40 m/s 从O 点沿x 轴正方向运动，在0～2.0 s 内受到一个沿y 轴正方向、大小F 1＝0.20 N 的风力作用；小球运动2.0 s 后风力方向变为沿y 轴负方向、大小变为F 2＝0.10 N(图中未画出)。试求：
(1)2.0 s 末小球在y 轴方向的速度大小和2.0 s 内运动的位移大小； (2)风力F 2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同。 [解析] (1)设在0～2.0 s 内小球运动的加速度为a 1， 则F 1＝ma 1
2．0 s 末小球在y 轴方向的速度v 1＝a 1t 1 代入数据解得v 1＝0.8 m/s 沿x 轴方向运动的位移x 1＝v 0t 1 沿y 轴方向运动的位移y 1＝1
2a 1t 12
2．0 s 内运动的位移s 1＝
x 12＋y 12
代入数据解得s 1＝0.8 2 m ≈1.1 m 。
(2)设2.0 s 后小球运动的加速度为a 2，F 2的作用时间为t 2时小球的速度变为与初速度相同。则F 2＝ma 2
0＝v 1－a 2t 2
代入数据解得t 2＝4.0 s 。
[答案] (1)0.8 m/s 1.1 m (2)4.0 s
体育运动中的平抛运动问题
(一)乒乓球的平抛运动问题
1．(多选)(2017·大连重点中学联考)在某次乒乓球比赛中，乒乓球先后两次落台后恰好在等高处水平越过球网，过网时的速度方向均垂直于球网，把两次落台的乒乓球看成完全相同的两个球，球1和球2，如图所示，不计乒乓球的旋转和空气阻力，乒乓球自起跳到最高点的过程中，下列说法正确的是( )
A ．起跳时，球1的重力功率等于球2的重力功率
B ．球1的速度变化率小于球2的速度变化率
C ．球1的飞行时间大于球2的飞行时间
D ．过网时球1的速度大于球2的速度
解析：选AD 乒乓球起跳后到最高点的过程，其逆过程可看成平抛运动。重力的瞬时功率等于重力乘以竖直方向的速度，两球起跳后能到达的最大高度相同，由v 2＝2gh 得，起跳时竖直方向分速度大小相等，所以两球起跳时重力功率大小相等，A 正确；速度变化率即加速度，两球在空中的加速度都等于重力加速度，所以两球的速度变化率相同，B 错误；由h ＝1
2gt 2可得两球飞行时间相同，C 错误；由x ＝v t 可知，球1的水平位移较大，运
动时间相同，则球1的水平速度较大，D 正确。
(二)足球的平抛运动问题
2.(2015·浙江高考)如图所示为足球球门，球门宽为L 。一个球
员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点)。球员顶球点的高度为h 。足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )
A ．足球位移的大小x ＝ L 24
＋s 2
B ．足球初速度的大小v 0＝
g 2h ????L
24
＋s 2
C ．足球末速度的大小v ＝
g 2h ????L
24
＋s 2＋4gh
D ．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L
2s
解析：选B 根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h ，水平位移为x 水平
＝
s 2
＋L 2
4
，则足球位移的大小为：x ＝
x 水平2＋h 2
＝
s 2
＋L 2
4
＋h 2，选项A 错误；由h
＝1
2
gt 2，x 水平＝v 0t ，可得足球的初速度为v 0＝ g 2h ????L
2
4
＋s 2，选项B 正确；对足球应用动
能定理：mgh ＝m v 22－m v 02
2
，可得足球末速度v ＝
v 02
＋2gh ＝
g 2h
????L
2
4＋s 2＋2gh ，选项C 错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan θ＝2s
L
，选项D 错误。
(三)网球的平抛运动问题
3.一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。
第一只球飞出时的初速度为v 1，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A 点处。如图所示，第二只球飞出时的初速度为v 2，直接擦网而过，也落在A 点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：
(1)网球两次飞出时的初速度之比v 1∶v 2； (2)运动员击球点的高度H 与网高h 之比H ∶h 。
解析：(1)第一、二两只球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等的。
由题意知水平射程之比为：x 1∶x 2＝1∶3，故平抛运动的初速度之比为v 1∶v 2＝1∶3。 (2)第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知DB 段和OB 段是相同的平抛运动，则两球下落相同高度(H －h )后水平距离x 1′＋x 2′＝2x 1，
根据公式H ＝12gt 12，H －h ＝1
2gt 22，
而x 1＝v 1t 1，x 1′＝v 1t 2，x 2′＝v 2t 2， 综合可得v 1t 2＋v 2t 2＝2v 1t 1，故t 1＝2t 2， 即H ＝4(H －h )， 解得H ∶h ＝4∶3。 答案：(1)1∶3 (2)4∶3 (四)排球的平抛运动问题
4.如图所示，排球场总长为18 m ，设球网高度为2 m ，运
动员站在网前3 m 处正对球网跳起将球水平击出，不计空气阻力，取重力加速度g ＝10 m/s 2。
(1)若击球高度为2.5 m ，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围； (2)当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？ 解析：(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示， 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间： t 1＝
2h 0
g ＝
2×2.510 s ＝1
2
s 由此得排球不越界的临界速度 v 1＝x 1t 1＝12
1/2
m/s ＝12 2 m/s 。
若球恰好触网，则球在网上方运动的时间： t 2＝
2(h 0－H )
g
＝ 2×(2.5－2)10 s ＝1
10
s 。 得排球触网的临界击球速度值 v 2＝x 2t 2＝3
1/10
m/s ＝310 m/s 。
要使排球既不触网又不越界，水平击球速度v 的取值范围为：310 m/s 由几何知识可得 x 1 2h g ＝x 2 2(h －H )g ， 得h ＝ H 1－??? ?x 2x 12＝21－????3122 m ＝32 15 m 。 即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网。 答案：(1)310 m/s 15 m [反思领悟] 在解决体育运动中的平抛运动问题时，既要考虑研究平抛运动的思路和方法，又要考虑所涉及的体育运动设施的特点，如乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界；足球的球门有固定的高度和宽度。 对点训练：抛体运动的基本规律 1.(2016·江苏高考)有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍。现将 它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力。图中①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 解析：选A 不计空气阻力的情况下，两球沿同一方向以相同速率抛出，其运动轨迹是相同的，选项A 正确。 2．(多选)对做平抛运动的物体，在已知重力加速度g 的条件下，给出下列4组条件，其中能求出平抛的初速度大小的是( ) A ．下落高度和水平位移 B ．水平位移和落地时的速度大小和方向 C ．位移大小和方向及水平位移 D ．位移大小及落地时的速度大小 解析：选ABC 由h ＝1 2 gt 2，x ＝v 0t 得v 0＝x g 2h ，可知知道下落高度和水平位移，可以确定初速度，故A 正确；已知落地时的速度大小和方向，根据平行四边形定则可以求出初速度。故B 正确；已知位移大小和方向及水平位移，能求出下落的高度，结合A 项分析知能求出初速度，故C 正确；已知位移大小，不能求出水平位移和下落的高度，已知落地时的速度大小，方向未知，不能求出初速度，故D 错误。 3.(2017·呼伦贝尔一模)如图所示，在同一平台上的O 点水平抛出的三个物体，分别落 到a 、b 、c 三点，则三个物体运动的初速度v a 、v b 、v c 和运动的时间t a 、t b 、t c 的关系分别是( ) A ．v a >v b >v c t a >t b >t c B ．v a t c C ．v a D ．v a >v b >v c t a 解析：选C 三个物体落地的高度h a >h b >h c ，根据h ＝1 2gt 2，知t a >t b >t c ，根据x a x ＝v t 知，a 的水平位移最短，时间最长，则速度最小；c 的水平位移最长，时间最短，则速度最大，所以有v a 4．(2017·上海浦东新区一模)已知某种步枪将子弹以速度v 水平射出，射到正对面的竖直靶墙上，测出打在靶墙上的弹头瞬时速度方向与竖直方向的夹角为θ，若不考虑空气阻力，则根据以上条件( ) A ．只能计算出枪口位置与弹孔位置的竖直距离 B ．只能计算出枪口位置与靶墙的水平距离 C ．只能计算出弹头在空中飞行的时间 D ．能计算出弹头在枪口与靶墙间的位移 解析：选D 测出打在靶墙上的弹头瞬时速度方向与竖直方向的夹角为θ，根据平行四边形定则知，tan θ＝v v y ，解得竖直分速度为：v y ＝v tan θ，则弹头飞行的时间为：t ＝v y g ＝v g tan θ， 枪口位置与弹孔位置的竖直距离为：y ＝v y 22g ＝v 2 2g tan 2θ，枪口位置与靶墙的水平距离为：x ＝ v t ＝v 2g tan θ，弹头在枪口与靶墙间的位移s ＝x 2＋y 2 ＝v 2g tan θ4tan 2θ＋1，故D 正确，A 、B 、 C 错误。 5．(多选)质量为m 的物体以速度v 0水平抛出，经过一段时间速度大小变为2v 0，不计空气阻力，重力加速度为g ，以下说法正确的是( ) A ．该过程平均速度大小为 1＋2 2 v 0 B ．运动位移的大小为5v 02 2g C ．速度大小变为2v 0时，重力的瞬时功率为mg v 0 D ．运动时间为v 0 2g 解析：选BC 根据题述，经过一段时间速度大小变为2v 0，将该速度分解可得竖直速度等于v 0，重力的瞬时功率为P ＝mg v 0，选项C 正确；由v 0＝gt ，解得运动时间为t ＝v 0 g ， 选项D 错误；水平位移为x 1＝v 0t ＝v 02g ，竖直位移y ＝12gt 2＝v 0 2 2g ，运动位移的大小为x ＝ x 12＋y 2＝5v 022g ，选项B 正确；该过程平均速度大小为v ＝x t ＝5v 02 ，选项A 错误。 对点训练：平抛运动与斜面的结合 6.如图所示，斜面ABC 放在水平面上，斜边BC 长为l ，倾角为30°， 在斜面的上端B 点沿水平方向抛出一小球，结果小球刚好落在斜面下端C 点，重力加速度为g ，则小球初速度v 0的值为( ) A.1 2gl B.1 22gl C.1 2 3gl D.1 2 5gl 解析：选C 平抛运动的水平位移x ＝l cos θ＝v 0t ，竖直方向的位移y ＝l sin θ＝1 2gt 2，联 立可得v 0＝1 2 3gl ，C 正确。 7．(2017·邯郸一中调研)如图，斜面AC 与水平方向的夹角为α，在 A 点正上方与C 等高处水平抛出一小球，其速度垂直于斜面落到D 点，则CD 与DA 的比为( ) A.1tan α B.12tan α C.1 tan 2α D.12tan 2α 解析：选D 设小球水平方向的速度为v 0，将D 点的速度进行分解，水平方向的速度等于平抛运动的初速度，通过几何关系求解，得竖直方向的末速度为v 2＝v 0 tan α ，设该过程用时为t ，则DA 间水平距离为v 0t ，故DA ＝v 0t cos α；CD 间竖直距离为v 2t 2，故CD ＝v 2t 2sin α ，得CD DA ＝12tan 2α ，故选D 。 8．(2017·淄博实验中学月考)在斜面顶端的A 点以速度v 平抛一小球，经t 1时间落到斜面上B 点处，若在A 点将此小球以速度0.5v 水平抛出，经t 2时间落到斜面上的C 点处，以下判断正确的是( ) A ．A B ∶A C ＝2∶1 B.AB ∶AC ＝4∶1 C ．t 1∶t 2＝4∶1 D ．t 1∶t 2＝2∶1 解析：选B 平抛运动竖直方向上的位移和水平方向上的位移关系为tan θ＝y x ＝12 gt 2 v 0t ＝ gt 2v 0 ，则t ＝2v 0tan θg ，可知运动的时间与初速度成正比，所以t 1∶t 2＝2∶1。竖直方向上下落的高度h ＝1 2gt 2，可得竖直方向上的位移之比为4∶1。斜面上的距离s ＝h sin θ，知AB ∶ AC ＝4∶1。故选B 。 9．(多选)如图所示，一固定斜面倾角为θ，将小球A 从斜面顶端以速率v 0水平向右抛出，击中了斜面上的P 点。将小球B 从空中某点以相同速率v 0水平向左抛出，恰好垂直斜面击中Q 点。不计空气阻力，重力加速度为g ，下列说法正确的是( ) A ．若小球A 在击中P 点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan θ＝2tan φ B ．若小球A 在击中P 点时速度方向与水平方向所夹锐角为φ，则tan φ＝2tan θ C ．小球A 、B 在空中运动的时间之比为2tan 2θ∶1 D ．小球A 、B 在空中运动的时间之比为tan 2θ∶1 解析：选BC 对于小球A ，有tan θ＝y x ＝12gt 2 v 0t ＝gt 2v 0，得t ＝2v 0tan θg ，tan φ＝v y v 0＝gt v 0 ， 则有tan φ＝2tan θ，故A 错误，B 正确；对于小球B ，tan θ＝ v 0v y ′＝v 0gt ′ ，得t ′＝v 0 g tan θ， 所以小球A 、B 在空中运动的时间之比为t ∶t ′＝2tan 2 θ∶1，故C 正确，D 错误。 10．(多选)如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面 上，小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右水平抛出，最后落在斜面上。其中有三次的落点分别是a 、b 、c ，不计空气阻力，则下列判断正确的是( ) A ．落点b 、c 比较，小球落在c 点的飞行时间短 B ．小球落在a 点和b 点的飞行时间均与初速度v 0成正比 C ．三个落点比较，小球落在c 点，飞行过程中速度变化最快 D ．三个落点比较，小球落在c 点，飞行过程中速度变化最大 解析：选AB 由平抛运动规律h ＝1 2 gt 2得t ＝ 2h g ，可知，落点为b 时，小球的竖直 位移较大，故飞行时间较长，A 正确；落点为a 、b 时，两次位移方向相同，故tan θ＝ gt 2v 0 ，可见飞行时间t 与v 0成正比，B 项正确；小球在飞行过程中速度变化快慢即加速度，均为g ，C 项错误；小球在飞行过程中，水平方向上速度不变，速度变化Δv ＝gt ，由t ＝ 2h g 可知， 小球落在b 点时速度变化最大，D 项错误。 考点综合训练 11.(2017·宝鸡一检)如图所示，在水平放置的半径为R 的圆柱体的正上方的P 点将一个小球以水平速度v 0沿垂直于圆柱体的轴线方向抛出，小球飞行一段时间后恰好从圆柱体的Q 点沿切线飞过，测得O 、Q 连线与竖直方向的夹角为θ，那么小球完成这段飞行的时间是( ) A ．t ＝v 0 g tan θ B.t ＝ g tan θ v 0 C ．t ＝ R sin θ v 0 D ．t ＝R cos θ v 0 解析：选C 小球做平抛运动，tan θ＝v y v 0＝gt v 0 ，则时间t ＝v 0tan θ g ，选项A 、B 错误； 在水平方向上有R sin θ＝v 0t ，则t ＝ R sin θ v 0 ，选项C 正确，D 错误。 12．(多选)如图所示，在距地面高为H ＝45 m 处，有一小球A 以初速度v 0＝10 m /s 水平抛出，与此同时，在A 的正下方有一物块B 也以相同的初速度同方向滑出，B 与水平地面间的动摩擦 因数为μ＝0.4，A 、B 均可视为质点，空气阻力不计(取g ＝10 m/s 2)。下列说法正确的是( ) A ．小球A 落地时间为3 s B ．物块B 运动时间为3 s C ．物块B 运动12.5 m 后停止 D ．A 球落地时，A 、B 相距17.5 m 解析：选ACD 根据H ＝1 2 gt 2得，t ＝ 2H g ＝ 2×45 10 s ＝3 s ，故A 正确；物块B 匀减速直线运动的加速度大小a ＝μg ＝0.4×10 m /s 2＝4 m/s 2，则B 速度减为零的时间t 0＝v 0 a ＝104 s ＝2.5 s ，滑行的距离x ＝v 02t 0＝10 2×2.5 m ＝12.5 m ，故B 错误，C 正确；A 落地时，A 的水平位移x A ＝v 0t ＝10×3 m ＝30 m ，B 的位移x B ＝x ＝12.5 m ，则A 、B 相距Δx ＝(30－12.5) m ＝17.5 m ，故D 正确。 13．(2017·重庆江北区联考)如图所示，倾角为37°的斜面长l ＝1.9 m ，在斜面底端正上方的O 点将一小球以v 0＝3 m /s 的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够 以垂直于斜面的速度在斜面P 点处击中滑块。(小球和滑块均可视为质点，重力加速度g 取9.8 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： (1)抛出点O 离斜面底端的高度； (2)滑块与斜面间的动摩擦因数μ。 解析：(1)设小球击中滑块时的速度为v ，竖直速度为v y ，如图所示，由几何关系得 v 0 v y ＝tan 37° 设小球下落的时间为t ，竖直位移为y ，水平位移为x ，由运动学规律得v y ＝gt ，y ＝1 2gt 2， x ＝v 0t 设抛出点到斜面底端的高度为h ，由几何关系得 h ＝y ＋x tan 37° 联立解得h ＝1.7 m 。 (2)设在时间t 内，滑块的位移为s ，由几何关系得 s ＝l －x cos 37° 设滑块的加速度为a ，由运动学公式得s ＝1 2 at 2 对滑块，由牛顿第二定律得mg sin 37°－μmg cos 37°＝ma 联立解得μ＝0.125。 答案：(1)1.7 m (2)0.125 14．(2017·潍坊统考)如图所示，小车的质量M ＝5 kg ，底板距地面高h ＝0.8 m ，小车 与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.1，车内装有质量m＝0.5 kg的水(不考虑水的深度)。今给小车一初速度，使其沿地面向右自由滑行，当小车速度为v＝10 m/s时，车底部的前方突然出现一条与运动方向垂直的裂缝，水从裂缝中连续渗出，形成不间断的水滴，设每秒钟滴出的水的质量为0.1 kg，并由此时开始计时，空气阻力不计，g取10 m/s2，令k＝0.1 kg/s，求： (1)t＝4 s时，小车的加速度； (2)到小车停止运动，水平地面上水滴洒落的长度。 解析：(1)取小车和水为研究对象，设t＝4 s时的加速度为a，则μ(M＋m－kt)g＝(M＋m－kt)a 解得a＝1 m/s2。 (2)设小车滴水的总时间为t1，则t1＝m k＝5 s 设小车运动的总时间为t2，则t2＝v a＝10 s 因t1 在滴水时间内小车的位移为x＝v t1－1 2at1 2 设每滴水下落到地面的时间为t3，则h＝1 2gt3 2 第1滴水滴的水平位移为x1＝v t3＝4 m 最后一滴水滴下落时的初速度为v2＝v－at1 水平位移为x2＝v2t3＝2 m 水平地面上水滴洒落的长度为L＝x＋x2－x1＝35.5 m。答案：(1)1 m/s2(2)35.5 m 物理二轮抛体运动与圆周运动专题卷（全国通用） 一、单项选择题 1．由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103m/s，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为(B) A．西偏北方向，1.9×103 m/s B．东偏南方向，1.9×103 m/s C．西偏北方向，2.7×103 m/s D．东偏南方向，2.7×103 m/s 解析：设当卫星在转移轨道上飞经赤道上空与同步轨道高度相同的某点时，速度为v1，发动机给卫星的附加速度为v2，该点在同步轨道上运行时的速度为v.三者关系如图，由图知附加速度方向为东偏南，由余弦定理知v22＝v21＋v2－2v1v cos30°，代入数据解得v2≈1.9×103 m/s.选项B正确． 2．(2017·新课标全国卷Ⅰ)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球 网，速度较小的球没有越过球网．其原因是(C) A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多 B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少 D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 解析：发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据 平抛运动规律，竖直方向上，h＝1 2gt 2，可知两球下降相同距离h所 用的时间是相同的，选项A错误；由v2y＝2gh可知，两球下降相同距离h时在竖直方向上的速度v y相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝v t，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D 错误． 3．(2018·山东潍坊统一考试)如图所示，河水由西向东流，河宽为800 m，河中各点的水流速度大小为v水，各点到较近河岸的距离 为x，v水与x的关系为v水＝3 400x(m/s)(x的单位为m)，让小船船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为v船＝4 m/s，则下列说法中正确的是(B) A．小船渡河的轨迹为直线 B．小船在河水中的最大速度是5 m/s C．小船在距南岸200 m处的速度小于其在距北岸200 m处的速 （精心整理，诚意制作） 《抛体运动》单元测试题 一、单项选择题：本题4个小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，请选出正确选项。 1．关于运动合成的下列说法中错误的是：（ ） A ．合运动与分运动是等效的 B ．合运动与分运动是同时的 C ．合速度的大小一定比每个分速度的大小都大 D ．合位移的大小可能小于分位移的大小 2．将一个小球以20m/s 的速度竖直向上抛出，经过2s 小球上升到最高点。则它在这个过程中的v —t 图象应该下列图象中的哪一个 . A B C D 3．小球两次从同一位置水平抛出，运动轨迹如图4所示。轨迹上a 、b 两点在同一 水平线上。设小球从抛出到运动到a 、b 两点运动的时间分别为t 1、t 2，则 A 、t 1＞t 2 B 、t 1＝t 2 C 、t 1＜t 2 D 、无法判断 4．一物体从某高度以初速度0 v 水平抛出，落地时速度大小为t v ，则它的运动时间为： A 、 g v v t 0- B 、 g v v t 20- C 、 g v v t 2202- D 、 g v v t 2 02- ② . 11. （16分）一气球从地面以10m/s的速度匀速上升，12s末从气球外部底端脱落一物体，则此物体从刚脱离气球开始，需要多少时间落回地面？（不计空气阻力，ｇ取10m/s2） 12．（20分）滑雪是一项刺激又危险的运动，现有一体重为60kg的滑雪运动员以20m／s的速度从一平台水平飞出，在平台下方有一宽为15m的小河，对岸的落地点与飞出点的高度差3.2m。不计空气阻力，g取10m／s2，问运动员是否会掉进小河？ 答案： 1．C2.C3. B4.D5. BD6.AC7.AD8. BC9.AC 10．（1）运动的独立性（或平抛运动在竖直方向上的分运动可以看成是自由落体运动； 或分运动与合运动具有等时性） 6.4 抛体运动的规律 ★新课标要求 （一）知识与技能 1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。 2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。 （二）过程与方法 1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。 2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。 （三）情感、态度与价值观 1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。 2、通过实践，巩固自己所学知识。 ★教学重点 分析归纳抛体运动的规律 ★教学难点 应用数学知识分析归纳抛体运动的规律 ★教学方法 教师启发、引导，学生归纳分析，讨论、交流学习成果。 ★教学工具 投影仪等多媒体教学设备 ★教学过程 （一）引入新课 上节课已经实验探究了平抛运动的特点，本节我们将从理论上对抛体运动的规律进行研究。 （二）进行新课 1、抛体的位置 教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题： 1、应该沿什么方向建立坐标系？ 2、应以哪个位置作为坐标原点？ 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上的位置坐标x、y. 为了研究问题的方便，应该沿水平向右和竖直向下建立坐标系，并取小球刚 被水平抛出的瞬间作为坐标原点。 教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。 投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。 点评：通过学生推导分析，提高学生分析解决问题的能力。通过推导，体会成功的喜悦。 为进一步研究轨迹方程做好准备。 教师活动：投影例1，讨论以速度v水平抛出的物体的运动轨迹。 引导学生独立思考，独立寻找求解轨迹的方法。 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导出的位置坐标x、y的表达式，消去时间t，得到轨迹方程，即x与y的关系式。 点评：培养学生运用数学知识分析解决物理问题的能力。 §5.3抛体运动 一、课程标准的要求 （1）学会运用运动的合成与分解来分析解决抛体运动。 （2）学会运用解决抛体运动的思想来解决曲线运动的知识。 （3）关注抛体运动的规律与日常生活的联系。 二、教学目的 1．知识与技能： （1）会利用数学方法解决物理问题 （2）知道抛体运动只受重力作用 （3）理解抛体运动可以看作水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速运动的合运动，并且这两个运动互不影响。 2.过程与方法： （1）锻炼学生在物理研究过程中充分利用数学工具的习惯 （2）日常生活中的各种抛体运动，通过比较、分析，归纳概括抛体运动的特征以及物体做直线运动和曲线运动的条件。认识从简单到复杂、从特殊到一般的研究方法。 初步体会力学学习的一般程序和方法，培养自主学习的能力。 （3）通过交流与讨论，展现学生思维过程，认识比较、分析，归纳等逻辑思维方法。 3.情感、态度与价值观： （1）经历观察、实验及探究等学习活动，培养学生尊重客观事实、实事求是的科学态度，培养科学探究精神，形成科学探究习惯，感受到身边处处有物理。 （2）让学生体会可以将复杂的知识转化为熟悉的简单的知识，增强学生学习物理的信心，并让学生体会做事情要善于找方法。 三、教学建议 教材分析： （1）抛体运动是本章的一个重点，其中平抛也是最基本最简单的曲线运动，是运动的合成与分解的典型的应用，体现了处理复杂的曲线运动的基本方法—— ——先分解成简单的直线运动在进行合成，从而体现了运动的独立性原理和叠加 性原理，并能用这种方法来解决类似的问题。在本节中教师创设情景，从生活中 构建物理情景，以培养雪上在生活中联系物理的习惯，同时激发学生探究的兴趣 并活跃了课堂氛围，培养学生的主动性和自主性。 （2）重点：理解并掌握平抛运动的运动规律，能够熟练处理有关问题。 难点：理解平抛运动是匀变速曲线运动，让学生通过解决平抛运动的思想去体会解决斜抛运动的思想和过程。 重点难点处理意见：采用实验观察和理论分析相结合的方法让学生体会平抛运动是水平的是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动。先通过理论分析平抛 运动到底做什么运动然后用实验验证而且要做好演示实验。通过牛顿第二定律分 析物体为什么做的是匀变速预先运动。 （3）在前面一节中学习了运动的独立性和叠加性，并且对知识有了一定得了解，在这节中就会很容易理解物体在水平方向和竖直方向运动的时间是相同的 抛体运动知识点归纳 （一）?、曲线运动：运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。 ?、物体做曲线运动的条件：当物体所受合外力F合（加速度a）的方向跟速度的方向不在同一直线上时，物体将做曲线运动。 ?、曲线运动速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。 ?、曲线运动的性质：曲线运动中速度的方向始终在变化，因此曲线运动一定是变速运动 ?、曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体其轨迹弯向合外力F合（加速度a）一方，若已知物体的运动轨迹，可判断出物体所受合外力的大致方向. ★注：①若合外力与速度的夹角为θ，当θ为锐角时，物体速度增加，当θ为钝角时，物体速度减小。 ②有关曲线运动的合外力、加速度、速度的讨论（处理手段：通过特殊例子判别，平抛、匀速圆周运动） 1.曲线运动速度一定改变（） 2.曲线运动加速度一定改变（） 3.曲线运动合力方向一定改变（） 4.曲线运动一定是变速运动（） 5.变速运动一定是曲线运动（） 6.物体在恒力作用下，不可能做曲线运动（） 7.做曲线运动的物体加速度一定不为零，合外力也一定不为零（） ③有关曲线运动形成的讨论：a1分管改变速度大小，关键是a2分管改变速度的方向。 【题型一】对曲线运动的理解。（多以选择题形式出现） 1、在地面上观察下列物体的运动，其中物体一定做曲线运动的是 ( ) A．向东运动的质点受到一个向西的力的作用 B．正在竖直上升的气球突然遭遇一阵北风 C．河水匀速流动，正在河里匀速驶向对岸的汽艇 D．在匀速行驶的列车上，相对列车水平向后抛出的一个小球 2、质点在一平面内沿曲线由P运动到Q,如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、 加速度和受到的合外力,右上图图象可能正确的是 ( ) 3、物体受几个力作用而做匀速直线，若突然撤去其中一个力，它可能做：（） A．匀速直线运动 B. 匀加速直线运动C．匀减速直线运动 D. 曲线运动4、如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B 之间的距离以2 d H t =- (SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，2 则物体做（） (A)速度大小不变的曲线运动． (B)速度大小增加的曲线运动． (C)加速度大小方向均不变的曲线运动．(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 5、如图所示，曲线AB为一质点的运动轨迹，某人在曲线上P点做出质点在经过该处时其受力的8个可能方向，正确的是 ( ) A．8个方向都可能B．只有方向1、2、3、4、5可能 C．只有方向2、3、4可能D．只有方向1、3可能 （二）运动的合成和分解?、合运动与分运动的关系： ①等时性（合运动与分运动经历的时间相等）②独立性（一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其它分运动的影响）③等效性（各分运动的效果叠加起来与合运动 第2讲抛体运动 一、单项选择题 1．(汕头市金山中学2014届高三期中)在同一水平直线上的两位置沿水平方向分别抛出两小球A和B，其运动轨迹如图K4-2-1所示，不计空气阻力．要两球在空中相碰，则() 图K4-2-1 A．球先抛出 B．球先抛出 C．两球同时抛出 D．两球质量相等 2．如图K4-2-2所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m，水平距离为8 m，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(取g＝10 m/s2)() 图K4-2-2 A．0.5 m/s B．2 m/s C．10 m/s D．20 m/s 3．(北京市第四十四中学2014届高三期中)一个物体以初速度v 0水平抛出，经过时间t 时其竖直方向的位移大小与水平方向的位移大小相等，那么t 为( ) A.v 0g B.2v 0g C.v 02g D.2v 0g 4．如图K4-2-3所示的是某次实验中用频闪照相方法拍摄的小球(可视为质点)做平抛运动 的闪光照片．如果图中每个方格的边长l 表示的实际距离和闪光频率f 均为已知量，那么在小球的质量m 、平抛的初速度大小v 0、小球通过P 点时的速度大小v 和当地的重力加速度值g 这四个未知量中，利用上述已知量和图中信息( ) 图K4-2-3 A ．可以计算出m 、v 0和v B ．可以计算出v 、v 0和g C ．只能计算出v 0和v D ．只能计算出v 0和g 5．在地球表面某高度处以一定的初速度水平抛出一个小球，水平射程为x ，在另一星球表面以相同的水平速度抛出该小球，需将高度降低一半才可以获得相同的水平射程．忽略一 切阻力．设地球表面重力加速度为g ，该星球表面重力加速度为g ′，则g g ′ 为( ) A.12 B.2 2 C. 2 D ．2 6．如图K4-2-4所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足( ) 物理必修二第一单元知识点总结 运动的合成与分解-课文知识点解析 合运动与分运动的关系 1、等时性:从时间方面瞧,合运动与分运动总就是同时开始、同时进行、同时结束,即同时性、 2、等效性:合运动就是由各分运动共同产生的总运动效果,合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代,即等效性、也就就是说,合运动的位移s合、速度v合与加速度a合分别等于对应各分运动位移s分、速度v分、加速度a分的矢量与、 3、独立性(independence of motion) 一个物体同时参与几个运动,其中的任一个运动并不因为有其她运动而有所改变,合运动就是这些相互独立的运动的叠加,这就就是运动的独立性原理,或叫做运动的叠加原理、各分运动独立进行,各自产生效果(v分、s分)互不干扰、 整体的合运动就是各分运动决定的总效果(v合、s合),它替代所有的分运动(等效性),合运动与分运动进行的时间相同(同时性)、 运动的合成与分解 一、运动的合成(composition of motion) 1、含义:已知分运动求合运动,叫做运动的合成、 2、遵循的法则——平行四边形定则、 3、合运动性质由分运动性质决定、 (1)两个匀速直线运动的合运动就是匀速直线运动、 (2)两个初速度均为零的匀加速直线运动(加速度大小不同)的合运动就是匀加速直线运动、 (3)在同一直线上的两个匀变速直线运动的合运动就是匀变速直线运动、 (4)不在同一直线上的一个匀速直线运动与另一个匀变速直线运动的合运动就是匀变速曲线运动、 (5)不在同一直线上的两个匀变速直线运动的合运动,其性质由合加速度的方向与合初速度的方向的关系决定、(既与运动可能就是直线运动,也可能就是曲线运动) (6)竖直上抛物体的运动可瞧作就是由竖直向上的匀速直线运动与自由落体运动合成的、 竖直方向的抛体运动-课文知识点解析 竖直下抛运动 一、定义 把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出,仅在重力作用下物体所做的运动叫做竖直下抛运动、 二、条件 1、初速度竖直向下、 2、只受重力作用、 三、运动性质:初速度不为零的匀加速直线运动、 由于竖直下抛运动的物体只受重力作用,根据牛顿第二定律可知加速度a=g,竖直向下,初速度竖直向下,故物体的运动为匀加速直线运动、 四、规律 1、速度公式:v=v0+gt 抛体运动的规律及其应用 基础知识回顾 1．平抛运动 （1）定义：将一物体水平抛出，物体只在重力作用下的运动。 （2）性质：加速度为g 的匀变速曲线运动，运动过程中水平速度不变，只是竖直速度不断增大，合速度大小、方向时刻改变。 （3）研究方法：将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成。 （4）规律： 设平抛运动的初速度为0v ，建立坐标系如图 ○ 1速度、位移： 水平方向： 0v v x =，t v x 0=， 竖直方向： gt v y =，221gt y = 合速度（t 秒末的速度）： 22y x t v v v +=， 方向：0 0tan v gt v v g y ==? 合位移（t 秒末的位移）：22y x s += 方向：0 0222/1tan v gt t v gt x y g ===θ ∴ θ?g g tan 2tan = ○2运动时间：由221gt y =得：2y t g = （t 由下落高度y 决定） ○3轨迹方程：2202g y x v = （在未知时间情况下应用方便） ○ 4可独立研究竖直分运动： a ．连续相等时间内竖直位移之比为： 1∶3∶5∶…∶(2n-1)（n=1，2，3，…） 图4-2-1 b ．连续相等时间内竖直位移之差为：2 y gt ?= ○5一个有用的推论： 平抛物体任意时刻瞬时时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半。 证明：设时间t 内物体的水平位移为s ，竖直位移为h ，则末速度的水平分量0x s v v t ==，而竖直分量2y h v t =， s h v v 2tan x y ==α， 所以有2tan s h s == 'α 2．斜抛运动： （1）将物体斜向射出，在重力作用下，物体作曲线运动，它的运动轨迹是抛物线，这种运动叫做“斜抛运动”。 （2）性质：加速度为g 的匀变速曲线运动。根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是作水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动的合运动来处理。取水平方向和竖直向上的方向为x 轴和y 轴，则这两个方向的初速度分别是：v 0x =v 0cosθ，v 0y =v 0sinθ 重点难点例析 一、平抛物体运动中的速度变化 水平方向分速度保持v x =v 0，竖直方向，加速度恒为g ，速度 v y =gt ，从抛出点看，每隔?t 时间的速度的矢量关系如图4-2-3所示．这 一矢量关系有两个特点： 1．任意时刻v 的速度水平分量均等于初速度v 0； 2．任意相等时间间隔?t 内的速度改变量均竖直向下，且 y v v g t ?=?=?． 【例1】物体在平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相 等的是 ( ) A ．速度的增量 B ．加速度 C ．位移 D ．平均速度 【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g,由加速度定义v a t ?=?，可知速度θ v t v 0 v y A O B D C 图4-2-2 图4-2-3 完整版化学第五章抛体运动知识点-+典型题 一、选择题 1．某部队进行水上救援演习，两艘冲锋舟从同一地点O同时出发，分别营救A。B两点的被困人员并返回O点，如图所示，已知OA=OB，设甲冲锋舟到A点来回时间为t甲，乙冲锋舟到B点来回的时间为t乙，冲锋舟在静水中的最大速度相等，则t甲、t乙的关系是 （） A．t甲 A．往返时均使船垂直河岸航行 B．往返时均使船头适当偏向上游一侧 C．往返时均使船头适当偏向下游一侧 D．从A码头驶往B码头，应使船头适当偏向上游一侧，返回时应使船头适当偏向下游一侧 5．在“探究平抛物体的运动规律”的实验中，已备有下列器材：有孔的硬纸片、白纸、图钉、平板、铅笔、弧形斜槽、小球、刻度尺、铁架台、还需要的器材有() A．停表B．天平C．重垂线D．弹簧测力计 6．一斜面倾角为θ，A，B两个小球均以水平初速度v o水平抛出，如图所示．A球垂直撞在斜面上，B球落到斜面上的位移最短，不计空气阻力，则A,B两个小球下落时间tA与tB 之间的关系为（） A．t A=t B B．t A=2t B C．t B=2t A D．无法确定 7．某船在静水中划行的速率为3m/s，要渡过30m宽的河，河水的流速为5m/s，下列说法中不正确的是（） A．该船渡河的最小速率是4m/s B．该船渡河所用时间最少为10s C．该船不可能沿垂直河岸的航线抵达对岸 D．该船渡河所通过的位移的大小至少为50m 8．从O点抛出A、B、C三个物体，它们做平抛运动的轨迹分别如图所示，则三个物体做平抛运动的初速度v A、v B、v C的关系和三个物体在空中运动的时间t A．、t B、t C的关系分别是（） A．v A．>v B>v C，t A．>t B>t C B．v A． 1．运动的合成与分解 一、基础知识 1．物体做曲线运动的条件：F合与v不共线． 2．研究曲线运动的方法：运动的合成与分解． 3．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则或三角形定则． 4．合运动与分运动的三个特性：等时性、独立性、等效性． 5．特别注意：合运动就是物体的实际运动． 二、解决运动的合成与分解的一般思路 1．明确合运动或分运动的运动性质． 2．确定合运动是在哪两个方向上的合成或分解． 3．找出各个方向上已知的物理量(速度、位移、加速度等)． 4．运用力与速度的关系或矢量的运算法则进行分析求解． 三、典型例题 考点1 运动的合成与分解的理解 [例1] 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成θ角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，橡皮的速度方向与水平方向的夹角为α，则( ) A．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而增大 B．若θ＝0，则α随钉尖的速度v的增大而减小 C．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为22v D．若θ＝45°，钉尖的速度为v，则橡皮速度为2＋2v 解析若θ＝0，则橡皮的运动可视为水平方向随钉尖一起匀速，竖直方向细线的缩短长度等于水平方向细线增加的长度，即竖直方向也做与钉尖运动速率相同的匀速运动，所以橡皮的速度方向与水平方向的夹角α＝45°，与钉尖的速度v无关，选项A、B错；若θ＝45°， 钉尖的速度为v，则橡皮在水平方向的分速度为 2 2 v，而在t时间内沿竖直方向向上运动的距 离为y＝vt＋ 2 2 vt，即竖直方向的分速度为 ? ? ? ? ? 1＋ 2 2 v，所以橡皮速度为2＋2v，C错、D 抛体运动知识点归纳 （一）⑴、曲线运动：运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。 ⑵、物体做曲线运动的条件：当物体所受合外力F合（加速度 a）的方向跟速度的方向不在同一直线上时，物体将做曲线 运动。 ⑶、曲线运动速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。 ⑷、曲线运动的性质：曲线运动中速度的方向始终在变化，因此曲线运动一定是变速运动 ⑸、曲线运动的轨迹：做曲线运动的物体其轨迹弯向合外力F 合（加速度a）一方，若已知物体的运动轨迹，可判断出物 体所受合外力的大致方向. ★注：①若合外力与速度的夹角为θ，当θ为锐角时，物体速度增加，当θ为钝角时，物体速度减小。 ②有关曲线运动的合外力、加速度、速度的讨论（处理手段：通过特殊例子判别，平抛、匀速圆周运动） 1.曲线运动速度一定改变（） 2.曲线运动加速度一定改变（） 3.曲线运动合力方向一定改变（） 4.曲线运动一定是变速运动（） 5.变速运动一定是曲线运动（） 6.物体在恒力作用下，不可能做曲线运动（） 7.做曲线运动的物体加速度一定不为零，合外力也一定不为零（） ③有关曲线运动形成的讨论：a1分管改变速度大小，关键是a2分管改变速度的方向。 【题型一】对曲线运动的理解。（多以选择题形式出现） 1、在地面上观察下列物体的运动，其中物体一定做曲线运动的是( ) A．向东运动的质点受到一个向西的 力的作用 B．正在竖直上升的气球突然遭遇一阵北风 C．河水匀速流动，正在河里匀速驶向对岸的汽艇 D．在匀速行驶的列车上，相对列车水平向后抛出的一个小球2、质点在一平面内沿曲线由P运动到Q,如果用v、a、F分别表示质点运动过程中的速度、加速度和受到的合外力,右上图图象可能正确的是( ) 3、物体受几个力作用而做匀速直线，若突然撤去其中一个力，它可能做：（） A．匀速直线运动 B. 匀加速直线运动C．匀减速直线运动 D. 曲线运动 4、如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平 速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊 起，A、B之间的距离以()(表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做（） (A)速度大小不变的曲线运动．(B)速度大小增加的曲线运动． (C)加速度大小方向均不变的曲线运动．(D)加速度大小方向均变化的曲线运动． 5、如图所示，曲线为一质点的运动轨迹，某人在曲线上P点做出质点在经过该处时其受力的8个可能方向，正确的是( ) 姓名: __________ 打卡时间: __________ 1．知道分析一般抛体运动的方法——运动的合成与分解。 2．熟练掌握平抛运动的规律，并能自行推倒出推论。 熟练运用推论、理解类平抛运动。 1． 做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则tan θ=2tan φ。 证明：如图甲所示，由平抛运动规律得tan θ=v ⊥v 0=gt v 0，tan φ=y x =12·gt 2v 0t =gt 2v 0，所以tan θ=2 tan φ。 2．做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。如图乙中所示B 点。 例1 如图所示，在水平面上有一个半圆形的坑，在坑的左边沿 有一个物块以一定的初速度v 0沿水平方向飞出，物块落到坑上时其 速度方向与初速度方向的夹角为θ，当v 0从很小值(趋近于0)逐渐增 大时，对应的θ角的变化情况是?( ) 专题三：平抛运动（二） 平抛运动两个重要推论及其应用 A ．一直变大 B ．一直变小 C ．先变大后变小 D ．先变小后变大 解析 根据平抛运动的一个重要推论:做平抛(或类平抛)运 动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平 位移的中点，则对物块运动进行分析，如图所示，则可知随着 v 0的增大，物块落到坑上时其速度方向与初速度方向的夹角θ 一直变小。本题的正确答案为B 。 1． 如图所示，薄半球壳ACB 的水平直径为AB ，C 为 最低点，半径为R 。一个小球从A 点以速度v 0水平抛出，不 计空气阻力。则下列判断正确的是?( ) A ．只要v 0足够大，小球可以击中 B 点 B ．v 0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同 C ．v 0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上 D ．无论v 0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上 有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度为零的匀加速直线运动，通常此类运动我们称之为类平抛运动。 1．类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．类平抛运动的运动特点在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a =F m 。 3．类平抛运动的求解方法 (1)常规分解法:将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法:对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向列方程求解。 类平抛问题 抛体运动的规律教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 抛体运动的规律 ★新课标要求 （一）知识与技能 1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。 2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。 （二）过程与方法 1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。 2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。 （三）情感、态度与价值观 1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。 2、通过实践，巩固自己所学知识。 ★教学重点 分析归纳抛体运动的规律 ★教学难点 应用数学知识分析归纳抛体运动的规律 ★教学方法 教师启发、引导，学生归纳分析，讨论、交流学习成果。 ★教学工具 投影仪等多媒体教学设备 ★教学过程 （一）引入新课 上节课已经实验探究了平抛运动的特点，本节我们将从理论上对抛体运动的规律进行研究。 （二）进行新课 1、抛体的位置 教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题： 1、应该沿什么方向建立坐标系 2、应以哪个位置作为坐标原点 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上的位置坐标x、y. 为了研究问题的方便，应该沿水平向右和竖直向下建立坐标 系，并取小球刚被水平抛出的瞬间作为坐标原点。 教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。 投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。 点评：通过学生推导分析，提高学生分析解决问题的能力。通过推导，体会成功的喜悦。为进一步研究轨迹方程做好准备。 教师活动：投影例1，讨论以速度v水平抛出的物体的运动轨迹。 引导学生独立思考，独立寻找求解轨迹的方法。 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导出的位置坐标x、y的表达式，消去时间t，得到轨迹方程，即x与y的关系 式。 点评：培养学生运用数学知识分析解决物理问题的能力。 教师活动：巡回指导，掌握学生的推导过程。 投影学生的推导过程，引导学生分析、点评。 从轨迹方程可以看出，其轨迹为抛物线。 提出问题：如果将物体斜向上或斜向下抛出，物体的运动轨迹 是怎样的呢 引导学生阅读教材有关内容，就“说一说”栏目中的问题进行 讨论。 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，利用上面推导平抛运动轨迹的方法，推导斜抛物体的轨迹方程 一、第五章抛体运动易错题培优（难） 1．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度 A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变 C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 橡皮参与了水平向右和竖直向上的分运动，如图所示，两个方向的分运动都是匀速直线运动，v x和v y恒定，则v合恒定，则橡皮运动的速度大小和方向都不变，A项正确． 2．如图所示,一铁球用细线悬挂于天花板上,静止垂在桌子的边缘, 细线穿过一光盘的中间孔,手推光盘在桌面上平移, 光盘带动细线紧贴着桌子的边缘以水平速度v匀速运动,当光盘由 A位置运动到图中虚线所示的B位置时 ,细线与竖直方向的夹角为θ,此时铁球 A．竖直方向速度大小为cos vθ B．竖直方向速度大小为sin vθ C ．竖直方向速度大小为tan v θ D ．相对于地面速度大小为v 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 线与光盘交点参与两个运动，一是逆着线的方向运动，二是垂直线的方向运动，则合运动的速度大小为v ，由数学三角函数关系，则有：sin v v v θ==球线，而线的速度的方向，即为小球上升的速度大小，故B 正确，AC 错误；球相对于地面速度大小为 v '=D 错误． 【点睛】 对线与CD 光盘交点进行运动的合成与分解，此点既有逆着线方向的运动，又有垂直线方向的运动，而实际运动即为CD 光盘的运动，结合数学三角函数关系，即可求解． 3．一个半径为R 的空心球固定在水平地面上，球上有两个与球心O 在同一水平面上的小 孔A 、B ，且60AOB ∠=?设水流出后做平抛运动，重力加速度g ，则两孔流出的水的落地点间距离为（ ） A ．R B C ．2R D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 水做平抛运动，竖直方向上有 212 R gt = 解得运动时间 t = 水平方向上有 02R x v t R g == = 则两落地点距圆心在地面投影点的距离为2R ，与圆心在地面投影点的连线夹角为60?，两落地点和圆心在地面投影点组成等边三角形，根据几何知识可知，两落地点间距为 2R ，选项C 正确，ABD 错误。 故选C 。 4．如图所示，在固定的斜面上A 、B 、C 、D 四点，AB=BC=CD 。三个相同的小球分别从A 、 高中物理学习材料 金戈铁骑整理制作 抛体运动知识要点 一、匀变速直线运动的特征和规律： 匀变速直线运动：加速度是一个恒量、且与速度在同一直线上。 基本公式：、、 （只适用于匀变速直线运动）。 当v0=0、a=g（自由落体运动），有 v t=gt 、、、。 当V0竖直向上、a= -g（竖直上抛运动）。 注意：(1)上升过程是匀减速直线运动，下落过程是匀加速直线运动。 (2)全过程加速度大小是g，方向竖直向下，全过程是匀变速直线运动 (3)从抛出到落回抛出点的时间：t总= 2V0/g =2 t上=2 t下 (4)上升的最大高度（相对抛出点）：H=v02/2g (5)*上升、下落经过同一位置时的加速度相同，而速度等值反向 (6)*上升、下落经过同一段位移的时间相等。 (7)*用全程法分析求解时：取竖直向上方向为正方向，S>0表示此时刻质 点的位置在抛出点的上方；S<0表示质点位置在抛出点的下方。v t >0表示方向向上；v t <0表示方向向下。在最高点a=-g v=0。 二、运动的合成和分解： 1．两个匀速直线运动的物体的合运动是___________________运动。一般来说，两个直线运动的合运动并不一定是____________运动，也可能是_____________运动。合运动和分运动进行的时间是__________的。 2．由于位移、速度和加速度都是______量，它们的合成和分解都按照_________法则。 三、曲线运动： 曲线运动中质点的速度沿____________方向，曲线运动中，物体的速度方向 随时间而变化，所以曲线运动是一种__________运动，所受的合力一定.必具有_________。物体做曲线运动的条件是________ ________ 。 四、平抛运动（设初速度为v0）： 1．特征：初速度方向____________，加速度____________。是一种。。。2．性质和规律： 水平方向：做______________运动，v X=v0、x=v0t。 竖直方向：做______________运动，v y=gt＝、y=gt2/2＝。 合速度：V= ，合位移S= 。 3．平抛运动的飞行时间由决定，与无关。 五、斜抛运动（设初速度为v0，抛射角为θ）： 1．特征：初速度方向_______________，加速度________________。 2．性质和规律： 水平方向：做______________运动，v X=、x= 竖直方向：做______________运动，v y=、y= 。 合速度：V= ，合位移S= 。 3．在最高点a=-g v y=0 最大高度：H= ,射程S= 飞行时间T＝ 圆周运动知识要点 一、匀速圆周运动的基本概念和公式： 1．速度（线速度）： 定义：文字表述____________________________________；定义式为_________； 速度的其他计算公式：v=2rπ/T=2πRn、n是转速。 2．角速度： 定义：文字表述______________________________________；定义式________； 角速度的其他计算公式：_________________________________。 线速度与角速度的关系：___________________。 3．向心加速度：计算公式：a=v2/r=ω2r= . 注意：（1）上述计算向心加速度的两个公式也适用于计算变速圆周运动的向心加速度，计算时必须用该点的线速度（或角速度）的瞬时值； （2）v一定时，a与r成反比；一定时，a与r成正比。 4．向心力： 计算公式：F=mv2/r＝＝＝ （1）匀速圆周运动速度大小不变，方向时刻改变，是变速运动；加速度大小不变方向时刻改变，是一种变加速运动。匀速圆周运动的速度、加速度和所受向心力都是变量，但角速度是恒量； （2）线速度、角速度和周期都表示匀速圆周运动的快慢；运动越快，则线速度越、角速度越、周期越。 抛体运动的规律 新课标要求 （一）知识与技能 1、理解平抛运动是匀变速运动，其加速度为g。 2、掌握抛体运动的位置与速度的关系。 （二）过程与方法 1、掌握平抛运动的特点，能够运用平抛规律解决有关问题。 2、通过例题分析再次体会平抛运动的规律。 （三）情感、态度与价值观 1、有参与实验总结规律的热情，从而能更方便的解决实际问题。 2、通过实践，巩固自己所学知识。 教学重点 分析归纳抛体运动的规律 教学难点 应用数学知识分析归纳抛体运动的规律 教学方法 教师启发、引导，学生归纳分析、讨论、交流学习成果。 教学工具 平抛运动演示仪、投影仪等多媒体教学设备 复习提问： 处理质点在平面内的曲线运动的一般方法是什么？ 可以选择平面直角坐标系，运用运动的合成与分解的方法求解。 教学过程 （一）引入新课 由几段视频引入新课，本节课我们来研究可以忽略阻力的抛体运动。 （二）进行新课 以一定的速度将物体抛出去，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力，它的运动即为抛体运动，日常生活中还有哪些抛体运动呢？（学生举例） 一、平抛运动的定义 在这些例子中，如果抛体运动的初速度是水平方向这种运动称为平抛运动。 下面我们来对水平抛出的粉笔头进行受力分析。（只受重力）（学生回答）（注意纠错）平抛运动的条件（1）只受重力（2）初速度方向水平 平抛运动加速度的特点：受力恒定加速度恒定为g 所以平抛运动又是一种特殊的匀变速曲线运动 二、研究平抛运动 猜想：平抛运动可以分解为什么样的运动？（理论分析） 1、抛体的位置 教师活动：引导学生阅读教材，独立推导抛体运动的位置坐标。为了便于研究，推导时考虑以下问题： 1、应该沿什么方向建立坐标系？ 2、应以哪个位置作为坐标原点？ 学生活动：在练习本上建立平面直角坐标系，推导t时刻小球在水平方向和竖直方向上 2014级高一物理竞赛培训第五讲 抛体运动 (两课时 (郭金朋年月日 物体以一定的初速度抛出后, 若忽略空气阻力, 且物体的运动在地球表面附近, 它的运动高度远远小于地球半径, 则在运动过程中, 其加速度恒为竖直向下的重力加速度。因此, 抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。又因为抛体运动中抛射物始终运动在初速度与重力加速度所决定的平面内, 所以抛体运动是一个平面运动。 根据运动叠加原理, 可以把抛体运动看作由两个直线运动叠加而成, 即把一个曲线运动分解成两个直线运动的叠加来讨论。通常采用两种分解方法: (1速度为 v 0匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。 (2以抛射点为坐标原点, 在抛射平面 (竖直平面内建立直角坐标系 (oxy, 再把前面方程中各矢量沿 x 、 y 轴方向分解。如果在抛射平面内分别取水平方向和竖直向上方向分别为 x 、 y 轴方向,那么抛体运动方程的分量形成为: 这表示,抛体运动可以看成:沿水平 x 方向的速度为v 0cos θ的匀速直线运动和沿竖直向上 y 方向的初始为v 0sin θ、加速度为 -g 的匀变速直线运动 (即竖直上抛运动。式中θ为初始抛射角。 如果在讨论沿斜面向上 (或向下抛掷物体的抛体运动时,通常令直角坐标的 x 、 y 轴分别指向沿斜面向上 (或向下和垂直于斜面向上的方向更为方便。此时, x 、 y 方向的运动均为匀变速直线运动,它们在 x 、 y 方向的分运动方程分别为: 方程中, 正号为沿斜面向下抛掷, 负号为沿斜面向上抛掷。以上三种情况, 分别示于下图 (a、 (b、 (c。 上面给出的是抛体运动的运动学方程, 这些方程包含了抛体运动的全部信息。一切待求的物理量均可从这些方程获得。 例如:1 在图 (a中,欲求抛射体射程 S ,可以从方程中,取 y =0时的 x 值,得到 若要进一步求 v 0确定值时的最大射程 S M 以及相应的抛射角θM , 从 S 表达式易得 2 在图 (b中,欲求沿斜坡方向抛射体的射程 S ,可以从方程中,取 y =0时的 x 值,得到 一、第五章 抛体运动易错题培优（难） 1．甲、乙两船在静水中航行的速度分别为5m/s 和3m/s ，两船从同一渡口过河，已知甲 船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同。则水的流速为（ ） A ．3m/s B ．3.75m/s C ．4m/s D ．4.75m/s 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 由题意，甲船以最短时间过河，乙船以最短航程过河，结果两船抵达对岸的地点恰好相同，可知，甲乙实际速度方向一样，如图所示 可得 tan v v θ= 水甲 cos v v θ= 乙 水 两式相乘，得 3sin =5 v v θ= 乙甲 则3 tan =4 v v θ=水 甲，解得v 水=3.75m/s ，B 正确，ACD 错误。 故选B 。 2．如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的初速v 同时水平向左与水平向右抛出两个小球A 和B ，两侧斜坡的倾角分别为30°和60°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A 和B 两小球的运动时间之比为（ ） A ．1： 1 B ．1： 2 C ．1： 3 D ．1：4 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 A 球在空中做平抛运动，落在斜面上时，有 212tan 302A A A A gt y gt x vt v ?=== 解得 2tan 30A v t g ? = 同理对B 有 2tan 60B v t g ? = 由此解得 :tan 30:tan 601:3A B t t =??= 故选C 。 3．如图所示，斜面倾角不为零，若斜面的顶点与水平台AB 间高度相差为h (h ≠0)，物体以速度v 0沿着光滑水平台滑出B 点，落到斜面上的某点C 处，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角为φ1。现将物体的速度增大到2v 0，再次从B 点滑出，落到斜面上，物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角为φ2，(不计物体大小，斜面足够长)，则（ ） A ．φ2>φ1 B ．φ2<φ1 C ．φ2=φ1 D ．无法确定两角大小 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 物体做平抛运动，设斜面倾角为θ，则 101x v t = 21112 y gt = 11tan y h x θ-=抛体运动与圆周运动 专题卷(全国通用)
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