第一章复习题
一 基本概念
极限, 重要极限,等价无穷小,连续与间断点
1、函数)523arccos(
2x
x y -+-=的连续区间是( ) 2、函数)5
28ln(3x
x y -+-=的连续区间是( ) 3、当0→x 时，115-+ax 与x sin 是等价无穷小量，则求a 二极限 1、 1
22
1
lim
---→x x
x x ； 2、 x
dt t x x cos 1)51ln(0
lim
-+?
→
3、
1
1
32
1
lim
-+--→x x x x ； 4、 x x x lim
0+
→
5、??? ?
?--→111
lim 0x x e x 6、x x x 21lim +∞→
7、x x e x x +→20lim 8、??? ?
?-→x x x x tan 1sin 11lim 0 9、y xy y x )
sin(lim
1→→ 10、
2
4lim
)
4,0(),(-+→xy xy y x
三连续性
1、讨论函数?????
=≠=0,00
,1sin )(x x x
x x f 在0=x 处的连续性和可导性 2、设函数???
??<≥+=0,sin 0,5)(2x x
ax x ax x f 在0=x 处连续，则=a ( )
3、1=x 是函数1
1
23--=x x y 的( )
A ．可去间断点
B ．跳跃间断点
C ．无穷间断点
D ．振荡间断点
4、设函数???
??<≥+=0,sin 0,2)(x x
ax x ax x f 在0=x 处连续，则=a ( )
第二章复习题
一、复习重点: 导数定义、求导公式、隐函数求导、微分 二、例题分析 1、设2)1('=f ，则lim
→h =--+h
h f h f 4)
1()1(
2、设()
3ln 2++=x x y ，求二阶导数y '' 3、设y e x y 221+=，求0
x y =''.
4、设x
x
y cos 2sin 2--=
，求y '
5、函数)(x y y =由方程42ln 2x y y =+所确定，求
dx
dy 6、已知???=+=t y t x arctan )1ln(2确定了函数)(x y y =，求dx dy ，22dx y
d
7、函数)1ln(2
xy xy z +-=，则=???y
x z
2．
8、函数x ye z =在)1,0(处的全微分=dz
9、设由方程1)(2=+-xy xz e z 确定的隐函数为),(y x f z =，求
y
z x
z ????,． 10、求曲线632422=++y xy x 在点()1,1-M 处的切线和法线方程。
11、设曲线方程
,32=--y x e xy 求此曲线在纵坐标为y = 0的点处的切线方程.
第三章复习题
一、复习重点: 中值定理,函数性质:单调性与凸性,极值与拐点 二、例题分析
1、函数21)(x x f -=在区间),(+∞-∞内（ ）
A ．单调增加
B ． 单调减少
C ．先单调增加后单调减少
D ．先单调减少后单调增加
2、试求()2f x x =+的增减性,凹凸性,并求其极值.
3、求函数1+-=x x e xe y 的单调区间
4、求5224--=x x y 的单调区间、极值、凹凸区间。
5、函数122+-=y x z 的极值点为
6、曲线x x x y --=233的拐点
7、设73)(2+-=x x x f 在区间]1,0[满足拉格朗日中值定理条件，则ξ的值为
8、求函数22),(y x y x f +=在条件132=+y x 下的极值. 9、当0>x 时，证明不等式
x x x
x
<+<+)1ln(1 第四五章复习题
一、复习重点:不定积分、定积分和反常积分(换元法和分部积分法) 、积分上限函数、积分的应用(面积和体积) 、交换积分次序、二重积分
二、例题分析
1、判定积分 ?10ln xdx 的敛散性.
2、求积分
1．2001ln(2)lim d 1a a x x a x →++? 2.dx e
e x x ?-+101 3. ?
-2
)sin 1(π
dx x x 4. x
dt e e x
t t x cos 1)(lim
--?-→
5.
?
-2
ln 0
32
dx e x x 6. dt t t ?
+-9
4
1
1.
7. ?xdx x ln 2
8. ?
+e dx x x 1
)
ln 1(1
9.
?
∞+-0
2dx xe x 10.
?+
dx x
11
11.
?
+2
1
2
1
dx x x
12. ?
∞
-0
2dx xe x
13.
?
+∞-0
2dx e x 14.
dx x ?cos
3、判断积分dx x x 1sin 12
2
?
∞
+π
的敛散性，若收敛，请计算其值. 4、求曲线2
,2y x y ==所围图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积y V .
5、试求由x 轴的负半轴, 及曲线 x
xe y = 围成的整个图形的面积.
6、在第一象限部分内的椭圆22
221x y a b
+=上求一点，使在该点的椭圆切
线与两坐标轴所围三角形的面积最小。
7、由曲线x
y 1=与直线x y =及3=x 所围成的平面图形的面积 8、交换积分次序，(1)??2
02),(x
x
dy y x f dx ; (2)??
10
2
),(x x dy y x f dx
9、设D 是由x y =，22-=x y 所围成的闭区域，求二重积分
y
d x d xy I D
??=
第六章复习题
复习重点:级数的收敛性判断、绝对收敛性 、幂级数收敛半径
一判断收敛性
1. ∑∞
=+-1
11
)1(n n
n 2.
∑∞
=-1
2)
1(n n
n
3. ∑∞
=+-12)1(n n
n n 4.∑∞=-1
23)1(n n n n 2.求幂级数∑∞
=-1
)1(n n
n x n 的收敛半径，收敛域以及和函数
第七章复习题
复习重点:一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程
求下列微分方程的通解和特解
1.x e y y =-'2
2. 2x y xy e '-=
3.2x x y
y =-
' 4. sin y
y x x
'-=
5.方程0'=+xy y 满足10==x y
6.023=+'-''y y y
7.1640y y y '''-+=
8.360y y y '''-+=
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数1,0(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >
x 2 2 2 ? +∞ - x +∞ - x 2 考研精品资料 考研数学 考试真题（2019最新） 一、选择题 1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.当 x →0 时， x - tan x 与x k 同阶，求 k （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 ? π 3 ? A. y = x sin x + 2cos x ??x ∈(- 2 , 2 π )?? 的拐点坐标 A. ? π , 2 ? ? ? B. (0, 2) C. (π , -2) D. ( 3 π , - 3 π ) 2 2 3.下列反常积分收敛的是 ? ?0 xe dx ? ?0 xe dx ? +∞ arc tan x dx ?0 1+ x 2 ? +∞ x dx ? 0 1+ x 2 4.已知微分方程 y ' + ay ' + by = ce x 的通解为 y = (C A. C x )e x + e x ，则 a 、b 、c 依次为 A. 1，0，1 B. 1，0，2 C. 2，1，3 D. 2，1，4 5.已知积分区域 D ={(x , y ) || x | + | y |≤ 1 2 π }， 2 I 1 = ?? x d y , I 2 = ??sin x d y , I 3 = ??(1- cos x 2 + y 2 ) d x d y ，试比较 I , I , I 的大 1 2 3 D D D x 2
( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ? 小 + I 3 < I 2 < I 1 + I 1 < I 2 < I 3 + I 2 < I 1 < I 3 + I 2 < I 3 < I 1 6.已知 f (x ), g (x ) 二阶导数且在 x =a 处连续，请问 f (x ), g (x )相切于 a 且曲率相等是 lim f (x ) - g (x ) = 0 的什么条件？ x →a (x - a )2 A.充分非必要条件. B.充分必要条件. C.必要非充分条件. D.既非充分又非必要条件. 7.设 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若线性方程 Ax =0 的基础解系中只有 2 个向量，则 A *的秩是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 A 是 3 阶实对称矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，若 A 2 + A = 2E . 且 A = 4 ，则二次型 x T Ax 规范形为 2. y 2 + y 2 + y 2 3. y 2 + y 2 - y 2 4. y 2 - y 2 - y 2 D. - y 2 - y 2 - y 2 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分. 2 9. lim x + 2x x = . x →0 ?x = t - sin t 3 10.曲线? y = 1- cos t 在t = 2 π 对应点处切线在 y 轴上的截距为 . f (u ) y 2 2x ?z + y ?z = 11.设函数 可导， z = yf ( ) ，则 . x ?x ?y π 12.设函数 y = l n c os x (0 ≤x ≤ ) 的弧长为 . 6
大一高数试题及解答
大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） ________ １ １．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2＋ ────── 的定义域为 _________ √１－ｘ2 _______________。 ２．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点（０，１）处 的切线方程是______________。 ｆ（Xo＋２h）－ｆ（Xo－３h） ３．设ｆ（X）在Xo可导且ｆ'（Xo）＝Ａ， 则ｌｉｍ─────────────── h→o h ＝ _____________。
４．设曲线过（０，１），且其上任意点（Ｘ，Ｙ）的切线斜率为２Ｘ，则该曲线的方程是 ____________。 ｘ ５．∫─────ｄｘ＝_____________。 １－ｘ4 １ ６．ｌｉｍＸｓｉｎ───＝___________。 x→∞ Ｘ ７．设ｆ（ｘ，ｙ）＝ｓｉｎ（ｘｙ），则ｆx（ｘ，ｙ）＝____________。 _______ R √R2－ｘ2 ８．累次积分∫ ｄｘ∫ ｆ（Ｘ2＋Ｙ2）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为 ____________。 0 0
ｄ3ｙ３ｄ2ｙ９．微分方程─── ＋──（─── ）2的阶数为____________。 ｄｘ3ｘｄｘ2 ∞ ∞ １０．设级数∑ ａ n 发散，则级数∑ ａ n _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内， １～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） （一）每小题１分，共１０分 １ １．设函数ｆ（ｘ）＝── ，ｇ（ｘ）＝１－ｘ，则ｆ［ｇ（ｘ）］＝（） ｘ
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
2-2大学高数历年期末试题
2010-2011年 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1． 22(1,0)ln(),y z xe x y dz =++= 设则 2．设xy y x y x f sin ),(+-=,则 dx x x f dy y ??1 1 0 ),(= 3．设函数21cos ,0()1,0x x f x x x x πππ+?<
(A) 4 3 2R π (B) 4 R π (C) 4 3 4R π (D) 4 2R π 3．下列级数中，收敛的级数是（ ）. (A) ∑∞ =+-1 )1()1(n n n n n (B) ∑ ∞ =+-+1 1 )1(n n n n (C) n n e n -∞ =∑1 3 (D) ∑∞ =+ 1) 11ln(n n n n 4. 设∑∞ =1 n n a 是正项级数，则下列结论中错误的是（ ） （A ） 若 ∑∞ =1n n a 收敛，则∑∞ =1 2 n n a 也收敛 （B ）若 ∑∞ =1 n n a 收 敛，则 1 1 +∞ =∑n n n a a 也收敛 （C ）若 ∑∞ =1 n n a 收敛，则部分和n S 有界 （D ）若∑∞ =1 n n a 收敛，则1lim 1 <=+∞ →ρn n n a a 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2 y x y x f u +=，
考试科目： 高等数学 考试时间：120分钟 试卷总分100分 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中）（本大题共5 小题，每小题4分，总计20分） １、设L 是2 2 2 a y x =+（0>a ）的正向圆周，则y y xy x y x x L d )(d )(3223? -+-的 值为（ ）． (A) 2π4a ； (B) 4 πa -； (C) 4πa ； (D) 33 π2a ． ２、设 Ω为立方体：10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z ，则 =??? Ω z y x y x d d d 2 （ ）． (A) 31 ； (B) 41； (C) 61； (D) 8 1 ３、幂级数 () ∑∞ =-1 1n n n n x 的收敛域为（ ）. (A) ]1,1[-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) )1,1(-. 4、设a ，b +=-，则必有（ ）． (A) =+； (B) =-； (C) =?； (D) 0=? ． ５、微分方程x x y y y 2e e 36+=+'-''的特解应具有的形式为（ ）. （A ）)e e (2x x B A x +； （B ）x x B A 2e e +； （ C ）x x Bx A 2e e +； （ D ）x x B Ax 2e e +. 二、填空题（将正确的答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） １、设y x u =（0>x ，1≠x ），则.= u d .
2、曲线 ?? ???==-01 422 z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . 3、设∑的方程为22y x z += 在10≤≤z 部分的上侧，则??∑ =y x z d d 2 . 4、设2 2 2),,(z xy x z y x f ++=，则),,(z y x f 在点)2,1,1(-处沿方向{}1,2,2-=l 的方向导数为 . 5、设D 是两坐标轴及直线1=+y x 围成的区域，则 ??+D y x y x d d )(的值为 . 三、解答下列各题（1、2、3、4每小题7分，5、6每小题10分，总48分） 1、求过点)4,2,1(-A 且与二平面02=-+z y x 及023=++z y x 都平行的直线方程. 2、求曲面0582 =++--z x xy x 在点)1,3,2(-处的切平面与法线方程.
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 曲线221 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞ =，b 为常数）、垂直渐近线（0 lim ()x x f x →=∞）和斜 渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞ -+=，,a b 为常数）。 （iii ）注意：如果 （1）() lim x f x x →∞不存在； （2）() lim x f x a x →∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。 在本题中，函数221 x x y x +=-的间断点只有1x =±. 由于1 lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线. （而1 1(1)1 lim lim (1)(1)2 x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）. 又2 1 1lim lim 11 1x x x y x →∞→∞+ ==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---L ,其中n 为正整数,则(0) f '= ( ) (A) 1 (1) (1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -
华北科技学院12级《电子商务专业》高等数学二期末考试试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。 1、 .设函数25x y e =+，则'y = A.2x e B.22x e C. 225x e + D.25x e + 2、设y x =+-33，则y '等于（ ） A --34x B --32x C 34x - D -+-334x 3、设f x x ()cos =2，则f '()0等于（ ） A －2 B －1 C 0 D 2 4. 曲线y x =3的拐点坐标是（ ） A （－1，－1） B （0，0） C （1，1） D （2，8） 5、sin xdx ?等于（ ） A cos x B -cos x C cos x C + D -+cos x C 6、已知()3x f x x e =+，则'(0)f = A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7、下列函数在(,)-∞+∞内单调增加的是 A.y x = B.y x =- C. 2y x = D.sin y x = 8、1 20x dx =? A.1- B. 0 C. 13 D. 1 9、已知2x 是()f x 的一个原函数，则()f x = A.2 3 x C + B.2x C.2x D. 2 10. 已知事件A 的概率P （A ）＝0.6，则A 的对立事件A 的概率P A ()等于（ ） A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。把答案填写在题中横线上。 11、lim()x x x →-+=13 2____________________。 12、lim()x x x →∞-=13____________________。 13、函数y x =+ln()12的驻点为x ＝____________________。 14、设函数y e x =2，则y "()0=____________________。 15、曲线y x e x =+在点（0，1）处的切线斜率k ＝____________________。 16、()12 +=?x dx ____________________。 17、2031lim 1 x x x x →+-=+ 。 18、设函数20,()02,x x a f x x ≤?+=?>? 点0x =处连续，则a = 。 19、函数2 x y e =的极值点为x = 。 20、曲线3y x x =-在点（1,0）处的切线方程为y = 。 三、解答题：21～24小题，共20分。解答应写出推理、演算步骤。 21、（本题满分5分） 计算lim x x x x →-+-122321
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
高数试题 2008.7 一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724 :121x y z l -+-== -，26,:23, x y l y z -=??+=?则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ） 2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6 π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, -1)方向的方向导数为 [ ]. ()(()(A B C D - 3.函数22 22 221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? 在(0, 0)点[ ]. (A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。 4. 积分 11 x dx =?? [ ]. 1 1 11() () () () 3 4 12 24 A B C D 。 5.设Ω是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分 ||z e dv Ω =???[ ]. 3() ()() ()2.2 2 A B C D π π ππ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是 2. 设2224,:x y z z ?++=?Γ?=??则2 x ds Γ =? 3. 满足微分方程初值问题20 d (1)d 1 x x y y e x y =?=+???=? 的解为y ＝ ． 4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz = 三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解． 四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 ≤ 1上的最大值和最小值。. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为ρ = x 2 + y 2, 求该物体的质量. 六、（9分）设直线0, :30, x y b L x ay z ++=?? +--=?在平面π 上，而平面π 与曲面z = x 2 + y 2相切于(1, -2, 5)，求a , b 的值。.
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每 小题4分，共2０分） 1.当0→x 时,1sec -x 是2 2 x 的（ ）. .A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小 2.下列四个命题中成立的是（ ）. .A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()?dx x f dx d 等于( ). .A ()C x f + .B ()x f .C ()dx x df D .()C dx x df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）. .A 偶函数 .B 奇函数 .C 周期函数 D .有界函数 5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）. ()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条 二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.设函数()???>+≤=0 ,0,x x a x e x f x 在0=x 处连续，则 __________=a . 2.()()().___________________311sin lim 221=+--→x x x x 3..___________________________1lim 2=++--∞→x x x x x
4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11 ==x dx x df ，则()()._______121lim 0=-+→x f x f x 5.设函数()x x f ln 2=，则 ().____________________=dx x df 6.设x e 为()x f 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=?x dt t f dx d 8. ._________________________0=? ∞+-dx e x 9. ().________________________2= +?-ππdx x x 10.幂级数()∑∞=-022n n n x 的收敛半径为.________________ 三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim . 2.求极限()n n n n n n 75732lim +-++∞→. 3.设()b ax e y +=sin ，求dy . 4.设函数x xe y =，求0 22=x dx y d . 5.设y 是由方程()11sin =--x y xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).0 =x dx dy . 6.计算不定积分?+dx x x 132. 7.设函数()???≤<≤≤=2 1,210,2x x x x x f ，求定积分()?20dx x f .
１ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得
高数试题 一．判断题. （1）()sin f x x =与2()1cos g x x =-是同一函数. （2） 1)(1)(2+=+=x x g x x f 与是同一函数. （3）2()f x x =是单调函数. （4） x x f 1 )(= 是单调函数 （5）函数3()cos f x x x =是奇函数. （6）已知 )(x f y =是偶函数，)(t x ?=是奇函数，那么)]([t f y ?=必是偶函数. （7）2sin y x =由sin y u =，sin u x =复合而成. （8）零是无穷小量. （9）基本初等函数的和必是初等函数 （10） 2 1()1f x x = -的定域是[1,1]-. （11）0()f x x 在处无定义，则0 lim ()x x f x →不存在. （12）0()f x x x →当时有极限，则0()f x x 在处一定连续. （13）()(,)f x a b 在区间内连续，则对区间(,)a b 内的每一点00()x x x f x →，当时都有极限. （14）在(,)a b 内的连续函数()f x 一定有最大值和最小值. （15）两个无穷大之和仍是无穷大 （16）若 )()(x g x f '='，则)()(x g x f = （17）x x x x x ln )(='. （18）1()x x x x x -'=?. （19）00()[()]f x f x ''=. （20）若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处必有定义. （21）如果()f x 在点0x 处不可导，则()f x 的图像在点00(,())x f x 处没有切线. （22）导数就是导函数. （23）显函数可以化为隐函数，隐函数也可化为显函数. （24）导数和微分是没有区别的. （25）基本初等函数和初等函数在其定义域内都是连续函数. （26）极小值就是最小值. ( ) （27）极小值有可能大于极大值，也有可能是最大值. （ ） （28）驻点是指使一阶导数 0)(='x f 的点))(,(00x f x . （ ） （29） 闭区间上的连续函数的最值必在驻点、和端点处取得. （ ） （30） 函数定义域区间的端点不可能是函数的极值点. ( ) （31） 设函数)(x f 在),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一定有最大最小值. ( ) （32） 函数)(x f 在点0x 处取得极值，则0)(0='x f . ( ) （33） 曲线 )1ln(2x y +=的拐点是.1±=x （ ） （34）拐点是凹凸性的分界点. ( )
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
2006年考研数学二真题 一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)曲线y = x+4sinx 5x?2cosx 的水平渐近线方程为_________。 【答案】y =1 5。 【解析】lim x→∞x+4sinx 5x?2cosx =lim x→∞1+4 sinx x 5?2cosx x =1 5 故曲线的水平渐近线方程为y =1 5。 综上所述，本题正确答案是y =1 5 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数f (x )={1 x 3∫sint 2 dt,x ≠0,x 0a,x =0 在x =0处连续，则a =_________。 【答案】1 3。 【解析】a =lim x→0 1 x 3∫sint 2dt x 0=lim x→0 sinx 23x 2 =1 3. 综上所述，本题正确答案是1 3 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2 +∞ =_________。 【答案】1 2。 【解析】 ∫ xdx (1+x 2)2+∞ =lim b→+∞∫xdx (1+x 2)2b 0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(?1 1+x 2)| b = 1lim b→+∞(1?12)=1 综上所述，本题正确答案是12 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (4)微分方程y ′= y(1?x)x 的通解为__________。 【答案】y =Cxe ?x ，C 为任意常数。 【解析】dy y = 1?x x dx ?ln |y |=ln |x |?lne x +ln |C | 即y =Cxe ?x ，C 为任意常数 综上所述，本题正确答案是y =Cxe ?x 。
模拟试卷一 ―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分） 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+= +=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0φa ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.110:222? ??==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分）
成人高考（专升本理工）数学模拟试卷2 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、1 1lim 21--→X X x ( C ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2、函数)(x f 的函数13)(2'--=x x x f ，曲线)(x f 在2=x 处的切线斜率（ C ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、11 3、函数21x y =，='y （ B ） A 、31x - B 、32x - C 、31x D 、x 1 4、函数)(x f 在区间),(+∞-∞单调增加，则使)2()(f x f φ成立的取值范围是（ A ） A 、)2(∞+， B 、)0,(-∞ C 、)2,(-∞ D 、)2,0( 5、函数1cos +=x y ，则=dy （ C ） A 、dx x )1(sin + B 、dx x )1(cos + C 、xdx sin - D 、xdx sin 6. ()=-?dx x x sin ( B ) A C x x ++cos 2 B C x x ++cos 22 C C x x +-sin 2 D C x x +-sin 22 7. ?-=π πxdx sin ( A ) A 0 B 1 C 2 D π 8.设函数33y x z +=，则=??y z ( D ) A 2 3x B 2233y x + C 44 y D 23y
9.设函数3 2y x z =，则=??22x z ( A ) A 32y B 26xy C 26y D xy 12 10.随机事件A 与B 为互不相容事件，则)(AB P =( D ) A )()( B P A P + B )()(B P A P C 1 D 0 二 填空题（每小题4分，共40分） 11.已知函数? ??+≤=0,10,sin )(φx x x x x f ，则)0(f = 0 ； 12. =--→2 )2sin(lim 2x x x 1 ； 13.曲线 22x y =在点（1，2）处的切线方程为y= 4x-2 ； 14.设函数x y sin =，则'''y = -cosx ； 15.函数x x y -=2 2的单调增加区间是 (1,+ ∞) ； 16. =?dx x 5 661X ； 17. ?=+x dt t t dx d 0 )arctan ( x x arctan + ； 18. =+?-dx x x x 1123)cos ( 3 2 ； 19.设函数y e z x +=，则=dz dy dx e x + ； 20.设函数).(y x f z =可微，且()00,y x 为其极值点，则 =??)(0,0y x x z 0 ； 三、解答题：21-28 （21-25:8分/题，26-28：10分/题） 21、计算x x x 20 )1(lim +→ 解：=210)1(lim ?→+x x x =2e
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分??≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() ()(βαψ?≤≤???==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++??∑ ds y x )122（ 。 6、微分方程 x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04)4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(22→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2200000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2 222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x + ； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω =zdV I 等于（ ）