第二章 矩阵及其运算
1. 已知线性变换:
?????++=++=++=3
213321232113235322y y y x y y y x y y y x
求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换. 解 由已知:
?
??? ?????? ?
?=???? ??22
1321323513122y y y x x x
故 ???? ?????? ?
?=???? ??-3211
221323513122x x x y y y ?
??? ?????? ??----=321423736
947y y y
?????-+=-+=+--=3
21332123
211423736947x x x y x x x y x x x y
2. 已知两个线性变换
?????++=++-=+=3
2133
2123
11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3
233122
11323z z y z z y z z y
求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换.
解 由已知
???? ?????? ??-=???? ??221321514232102y y y x x x ???
?
?????? ??--???? ??-=32131
010
2013514232102z z z
????
?????? ??----=32
1161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3
2133
2123
2111610941236z z z x z z z x z z z x
3. 设???? ??--=111111111A , ???
?
??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B
解 ???
?
??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB
????
??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503
???
?
??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T
4. 计算下列乘积:
(1)???
?
?????? ??-127075321134;
解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??
?
? ??=49635
(2)???
?
??123)321(;
解 ??
?
?
??123)321((132231)(10)
(3))21(312-???
?
??;
解 )21(312-????
?????? ???-??-??-?=23)1(321)1(122)1(2???? ?
?---=632142
(4)????
? ??---??? ??-20413121013143110412 ;
解 ?
????
??---??? ??-20413121013143110412??? ??---=6520876
(5)???
? ?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解
???
? ?????? ??321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x
(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2
a 33x 3)???
?
??321x x x
3
223311321122
33322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=
5. 设???
??=3121
A , ??
?
??=2101B 问:
(1)AB BA 吗? 解 AB BA 因为??
?
??=6443AB
??
? ??=83
21BA 所以AB BA
(2)(A B )2A 22AB B 2吗? 解 (A B )2A 22AB B 2 因为??
? ??=+5222
B A
??? ????? ??=+52
225222)(2B A ??? ??=2914148
但
??? ??+??? ??+??? ?
?=++43
01
1288611483222B AB A ??
?
??=27151610
所以(A B )2A 22AB B 2 (3)(A B )(A B )A 2B 2吗? 解 (A B )(A B )A 2B 2
因为??
?
??=+5222
B A
?
?
? ??=-1020B A
??? ??=??? ????? ??=-+906010205222))((B A B A
而 ??
? ??=??? ??-??? ??=-718243011148322B A 故(A B )(A B )A 2B 2
6. 举反列说明下列命题是错误的:（也可参考书上的答案） (1)若A 20 则A 0; 解 取???
??=0010A 则A 20 但A 0 (2)若A 2A , 则A 0或A E ;
解 取??
?
??=00
11A 则A 2A , 但A 0且A E
(3)若AX AY , 且A 0, 则X Y . 解 取
??
? ??=0001A
?
?
? ??-=1111X
??
? ??=10
11Y
则AX AY , 且A 0, 但X Y .
7. 设??
? ??=101λA , 求A 2
A 3
A k
解
??
? ??=??? ????? ?
?=12011011012λλλA ??
? ??=??? ????? ??==1301101120123λλλA A A
??
? ??=101λk A k
8. 设???
?
??=λλλ001001A , 求A k .
解 首先观察
???? ?????? ??=λλλλλλ0010010010012A ??
?
? ??=222002012λλλλλ
????
??=?=3232323003033λλλλλλA A A
???
?
??=?=43423434004064λλλλλλA A A
??
?
?
??=?=545345450050105λλλλλλA A A
??=k
A k
k k
k k k
k k k k λλλλλλ0
2)1(1
2
1
----????
?
用数学归纳法证明: 当k 2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k 1时，
???? ???????
? ??-=?=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ?????
? ??+++=+-+--+1
1111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知:
???
??
? ??-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121 （也可提取公因式，变成书上的答案）
9. 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T A 所以
(B T AB )T B T (B T A )T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵.
10. 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性: 因为A T A B T B 且AB BA 所以
(AB )T (BA )T A T B T AB 即AB 是对称矩阵.
必要性: 因为A T A B T B 且(AB )T AB 所以 AB (AB )T B T A T BA
11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)??
?
??5221; 解
??
? ??=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为
??? ?
?--=??? ??=1225*22122111A A A A A ,
故
*||11A A A =-?
?
? ??--=1225.
(2)??
? ??-θθθθcos sin sin cos ;
解 ??
? ??-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=110, 故A -1存在. 因为 ??? ?
?-=??? ??=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,
所以
*||11A A A =-?
?
? ??-=θθθθcos sin sin cos .
(3)???
?
??---145243121;
解
???
?
??---=145243121A . |A |=210, 故A -1存在. 因为
???? ?
?-----=???? ??=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,
所以 *||11
A A A =-?????
??-----=1716213213012.
(4)????
? ??n a a a O 002
1(a 1a 2× × ×a n 10) .
解
????? ??=n a a a A O 0021, 由对角矩阵的性质知
?????
??
? ??=-n a a a A 10011211O .
12. 解下列矩阵方程: (1)??
? ??-=???
??12643152X ;
解
??? ??-??? ?
?=-126431521
X ??? ??-??? ??--=12642153??
? ??-=80232
(2)??? ??-=???? ??--2343
11111012112X ;
解 1
111012112234311-?
??? ??--?
?? ??-=X ?
??
? ??---?
?? ??-=03323210123431131 ????
??---=3253
8122 (3)??
? ??-=??? ??-???
??-10131102
2141
X ;
解
1
1
1102
101321
41--??
?
?
?-??? ??-??? ??-=X
??
? ????? ??-??? ??-=210110131142121
??? ????? ??=21010366121???
? ??=04111 (4)???
? ??---=???? ?????? ??021102341010100001100001010X .
解 1
1
01
0100
00
1021102341100001010--???
? ?????? ??---???? ??=X
???? ?
????? ??---???? ??=01010
0001021102341100001010??
?
? ??---=201431012
13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:
(1)?????=++=++=++3
532
522132321321321
x x x x x x x x x
解 方程组可表示为
??
?
?
??=???? ?????? ??321153522321321x x x
故 ?
??? ??=???? ?????? ?
?=???? ??-0013211535223211321x x x
从而有 ?????===0
01321
x x x
(2)?????=-+=--=--0
52313223213213
21x x x x x x x x x
解 方程组可表示为
??
?
?
??=???? ?????? ??-----012523312111321x x x
故 ?
??? ??=???? ?????? ?
?-----=???? ??-3050125233121111321x x x
故有 ?????===3
5321
x x x
14. 设A k O (k 为正整数), 证明(E A )
1
E A A 2 A k
1
证明 因为A k O 所以E A k E 又因为
E A k (E A )(E A A 2 A k 1)
所以 (E A )(E A A 2 A k 1)E
由定理2推论知(E A )可逆 且
(E A )1
E A A 2
A k
1
证明 一方面 有E (E A )1(E A ) 另一方面 由A k O 有 E (E A )(A A 2)A 2
A k
1
(A k
1
A k )
(E A A 2
A k 1)(E A )
故 (E A )1(E A )(E A A 2
A k 1)(E A ) 两端同时右乘(E A )1
就有
(E A )1(E A )E A A 2
A k
1
15. 设方阵A 满足A 2A 2E O , 证明A 及A 2E 都可逆, 并求A 1
及(A 2E )1.
证明 由A 2A 2E O 得
A 2A 2E , 即A (A E )
2E
或
E E A A =-?)(2
1, 由定理2推论知A 可逆 且)(2
11
E A A -=-
由A 2A 2E O 得 A 2A 6E
4E
即(A 2E )(A 3E )
4E
或
E A E E A =-?+)3(4
1)2(
由定理2推论知(A 2E )可逆 且)3(4
1)
2(1
A E E A -=+-
证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得
|A 2A |2
即 |A ||A E |2,
故 |A |0
所以A 可逆, 而A 2E A 2 |A 2E ||A 2||A |20 故A 2E 也可逆.
由 A 2A 2E O A (A E )2E
A 1A (A E )2A 1E
)
(2
11E A A -=-
又由 A 2A 2E O (A 2E )A 3(A 2E )4E (A 2E )(A 3E ) 4 E
所以 (A
2E )1(A
2E )(A 3E )
4(A 2 E )
1
)
3(4
1)2(1A E E A -=+-
16. 设A 为3阶矩阵, 2
1||=A , 求|(2A )-1-5A *|.
解 因为*|
|11A A A =
-, 所以
|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2
521|11---=A A
=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8′2=-16.
17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*. 证明 由*|
|11A A A =
-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时
有
|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -110, 从而A *也可逆.
因为A *=|A |A -1, 所以 (A *)1
|A |1A
又*)(||)*(|
|1111---==
A A A A A 所以
(A *)1
|A |1A |A |1|A |(A 1)*(A 1)*
18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A * 证明: (1)若|A |
0, 则|A *|0;
(2)|A *||A |n 1
证明
(1)用反证法证明. 假设|A *|0 则有A *(A *)1
E 由此得
A A A *(A *)1
|A |E (A *)
1
O
所以A *O
这与|A *|0矛盾，故当|A |0时 有|A *|0
(2)由于*|
|11A A A =
-, 则AA *|A |E 取行列式得到
|A ||A *||A |n 若|A |0 则|A *||A |n
1
若|A |0 由(1)知|A *|0 此时命题也成立
因此|A *||A |n
1
19. 设???
?
??-=321011330A , AB
A 2
B 求B .
解 由AB A
2E 可得(A
2E )B A
故
???? ??-???? ??---=-=--321011330121011332)2(1
1
A E A
B ??
?
?
??-=011321330
20 设???
?
??=101020101A 且AB E A 2B 求B
解 由AB E A 2B 得 (A E )B A 2E 即 (A E )B (A E )(A E )
因为0
10
010101
00||≠-==-E A 所以(A E )可逆 从而
??
?
?
??=+=201030102E A B
21 设A diag(1 2 1) A *BA 2BA 8E 求B
解 由A *BA 2BA 8E 得
(A *2E )BA
8E
B 8(A *2E )1A 1 8[A (A *2E )]1 8(AA *2A )1 8(|A |E 2A )1 8(
2E
2A )
1
4(E A )1
4[diag(2
1 2)]
1
)2
1 ,1 ,21(diag 4-=
2diag(1 2 1)
22
已知矩阵A 的伴随阵????
?
?
?-=80
3001010010
0001
*A
且ABA 1
BA
1
3E
求B 解 由|A *||A |38 得|A |2 由ABA
1
BA
1
3E 得
AB B 3A
B 3(A E )1A 3[A (E A 1)]1A
11*)2(6*)2
1(3---=-=A E A E
????
? ??-=?????
?
?--=-10
3
0060
6006000
0660
3001010010
000161
23. 设P 1AP , 其中???
??--=1141P , ??
? ??-=Λ20
01, 求A 11.
解 由P 1AP , 得A P P 1
所以A 11 A =P 11
P 1.
|P |3
??
? ?
?-=11
41*P
?
?
? ??--=-1141311P
而 ??
?
??-=??? ??-=Λ1111
1120 0120
01
故
????
?
??--??? ??-??? ??--=31313431200111411111A ??? ??--=68468327322731
24 设AP P 其中??
?
?
??--=111201111P ???
?
??-=Λ511
求
(A )A 8(5E 6A A 2)
解 ()
8
(5E 6
2
)
diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]
diag(1158)diag(1200)12diag(100)
(A )P ()P 1
*)(|
|1P P P Λ=?
????
??------???? ?????? ??---=1213032220000000011112011112
???
?
??=1111111114
25 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A 1
B
1
也可逆 并求其逆阵
证明 因为
A 1(A
B )B 1
B
1
A
1
A
1
B
1
而A 1(A B )B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B )B 1可逆 即A
1
B 1可逆
(A 1
B 1)
1
[A 1(A B )B 1]1
B (A B )1A
26 计算???
?
? ??---????? ??30003200121013013000120010100121
解 设??? ??=10211A ??? ??=30122A ??? ??-=12131B
?
?
? ??--=30322B
则 ??? ????? ??2121B O B E A O E A ??
? ??+=222111B A O B B A A
而
?
?
? ??-=??? ??--+??? ??-??? ??=+4225303212131021211B B A
??
? ??--=??? ??--??? ??=90343032301222B A 所以 ??? ????? ??2121B O B E A O E A ??? ??+=222111B A O B B A A ?
???
?
??---=9000340042102521 即 ????? ??---????? ??30003200121013013000120010100121????
? ??---=
9000340042102521 （最后一行的-9也可除
以-1变成9，从而变成书上的答案） 27. 取??
?
??==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠
解
4100120021
010*********
00210
100101
10100101==--=--=D C B A
而
01
111|||||||| ==D C B A
故 |
||||||| D C B A D C B A ≠
28. 设???
?
? ??-=220
23443O O A , 求|A 8|及A 4
解 令??? ??-=34431A ??? ??=22022A
则 ??
? ??=21A O O A A
故 8
218??? ??=A O O A A ??? ??=828
1A O O A 16
82
818281810||||||||||===A A A A A
????
?
??=??? ??=464444241422025005O O A O O A A
29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1
-?
?
?
??O B A O
解 设?
?
? ??=??? ??-43211
C C C C O B A O 则
??? ??O B A O ??? ??4321C C C C ??? ?
?=??? ??=s n E O O E BC BC AC AC 2143
由此得 ????
?====s
n E BC O BC O AC E AC 2143?????====--12
1413B C O C O C A C
所以 ??
? ??=??? ??---O A B O O B A O 11
1
. (2)1
-??
? ??B C O A
解 设??
? ??=??? ??-43211
D D D D B C O A 则
?
?
? ??=??? ??++=??? ????? ??s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321
由此得 ????
?=+=+==s
n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121?????=-===----14
11321
1B D CA B D O
D A D
所以 ??
? ??-=??? ??-----1111
1
B CA B O A B
C O A
30 求下列矩阵的逆阵
(1)?????
?
?25
00380000120025 解 设??? ??=1225A ??
? ??=25
38B 则
??
?
??--=??? ??=--522112
251
1A
??
?
??--=??? ??=--853225
381
1B
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A |=5，则|A*|=__125____，|2A |=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
1、2222 0a ab a b ab ab ab b =?-?= 2、 22cos sin cos cos (sin )sin cos sin 1sin cos αααααααααα-=?--?=+= 3、 222()()22()2a bi b a bi a bi ab a b ab a b a a bi +=+--=+-=-- 4、3 24 2 123*1*(3)2*(2)*5(4)*4*23*(2)*22*4*(3)(4)*1*5423--=-+-+--------- 5、123 4 561*5*92*6*73*4*81*6*82*4*93*5*7789=++--- 6、2 21 4 1 12*1*1012*(1)*2021*4*1992*(1)*1992*4*1011*1*202202199101-=+-+---- 7、22 22 343222222 11101(1)(1)(1)01001w w w w w w w w w w w w w w w w w w +?---=-=-++=-?--第2行第1行()第3行第1行() 8、33222321 21*2*3322663 x x x x x x x x x x x x x =++---=-+ 9、 1430004 004 00431(1)04342560432432 4321 +-=-=-按第行展开 10、公式： 解： 10100 00 10 010 02000020 10(1)10 080000 800900009 10 +-?按第行展开
11、 31 111111********* 00311*(2)811110020411 1 1 1 2 ----=-=------第行第行第行第行第行第行 12、该行列式中各行元素之和均为10，所以吧第2，3，4列加到第1列，然后再把第1列后三个元素化为零，再对第1列展开，即 13、 5 04211111111210 1121112102 1 143247412041200324153 1 1 11 5 42 0153 ----- =- =----=----------第，行交换 14、先将第1行与第5行对换，第3行与第4行对换（反号两次，其值不变） 根据课本20页公式（1.21），原式012 11 2003*41203 022 = -=-=-（） 15、 12 00340012132*160013 345 1 00 5 1-= =---（）（）=32 16、1234512345 123678910678910 21 3567810*220000********* 0100002400024 01011 00013 -=-=-=-第，行对换 17、根据课本20页公式（1.22） 18、100 12 01*2*33!123 A ===， 所以 3*5*(1)||||3!5!0 A A B B =-=- 19、证： 20、111111112111110 031111100 411 1 1 10 0x x x x x y x y y x y ++----= -+-----第行第行左第行第行第行第行
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
线性代数第一章行列式 一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=8 2.行列式2 13132 3 21= -18 . 解:D=1?3?2+2×1×3+2×1×3-3?3?3-1?1?1-2?2?2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a 分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：() (1234)(2431) 41(1)1ττ+-=-= 1224314 a a a a 的系数：()(1234)(2413) 31(1)1ττ+-=-=- 因此，符合条件的项是12243341a a a a 4、2 2 2 111a a b b c c （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b --- 分析：2 22 111a a b b c c =222222 ()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=--- 5.行列式 1 13 6 104 204 710501 λ --中元素λ的代数余子式的值为 42 解析: 元素λ的代数余子式的值为6 42 071 01-3 41+-?）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设3 1-2031 2 22 3=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0
解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =3 121112 22 -=0 二、 单项选择题 1、设x x x x x x f 1111231 11 2 12)(-= ，则x 3 的系数为（C ） A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 解： x 3 的系数为 ） （） （）（1-21341234 +=-1 2、 设333231232221 131211 a a a a a a a a a =m ≠0,则33 3231312322 212113 121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ） A.12m B. -12m C.24m D. -24m 解：3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a )4(2-?j →33 32 31 23222113 12114-4-4-a a a a a a a a a =-4m 212j j +?→33 32 3131 23222121 13 1211114-24-24-2a a a a a a a a a a a a =-4m 31?j →33 32 3131 23222121 13 121111 4-234-234-23a a a a a a a a a a a a =-12m 3.行列式 k-12 2k-1 ≠0的充分必要条件是（C ） (A.)k ≠-1 (B)k ≠3 (C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C 4.行列式 0000 00 a b c d e f g h 中元素g 的代数余子式的值为（B ） （A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c
东北大学线性代数课件第一章_行列式
第一章 行列式 教学基本要求： 1. 1. 了解行列式的定义. 2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法. 3. 会计算简单的n 阶行列式. 4. 了解Cramer 法则. 一、行列式的定义 1. 定义 nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式，记作D (或n D 或||ij n a )，它是n 2个数 (1,2, ,;1,2, ,)ij a i n j n ==的一个运算结果： 11 12121222111112121112 n n n n n n nn a a a a a a D a A a A a A a a a = =+++，(1.1) 其中，(1,2,,;1,2,,)ij a i n j n ==为行列式位于第i 行且第j 列的元素， 111(1)j j j A M +=-(1,2,,)j n =，而1j M 为划掉行列式第1行和第j 列的全部元素后余下的元素组成的1n -阶行列式，即 21 212122231 21 311 11 j j n j j n j n n j n j nn a a a a a a a a M a a a a -+-+-+= 1j M 称为元素1j a 的余子式，1j A 称为元素1 j a 的代数余子式. 2. 基本行列式： (1)一阶行列式 a a =||. 例如，|106|106=， 2121-=-.
1112112212212122 a a a a a a a a =-. 112233122331132132a a a a a a a a a ++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---. (4)三角形行列式 ①对角行列式 11 1122 nn nn a a a a a =. ②下三角行列式 11 1122 1nn n nn a a a a a a =. ③上三角行列式 11 11122 n nn nn a a a a a a =. ④ 1(1)2 121 11 (1) n n n n n n n a a a a a --=-. ⑤ 1(1)2 121 11(1) n n n n n n n nn a a a a a a --=-. ⑥ 11 1(1)2 121 11 (1) n n n n n n n a a a a a a --=-. 3. 行列式的性质 nn n n n n a a a a a a a a a D 2122221 11211 = ，nn n n n n T a a a a a a a a a D 212 2212 12111= 性质1.1 D D T =. (1.2)
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求
第一章 行列式 一、单项选择题 1.行列式D 非零的充分条件是( D ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例 (D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式 1 2 21--k k ≠0的充分必要条件是（ C ） A ．k ≠-1 B ．k ≠3 C ．k ≠-1且k ≠3 D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式 2 21 1b a b a =m , 2 21 1c b c b =n ,则 2 22 111c a b c a b ++=（ B ） +n （m+n ） 4.设行列式==1 11103 4 222,1111304z y x z y x 则行列式（ A ） A.32 D.3 8 5．下列行列式等于零的是(D ) A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 2 61422613- 6．行列式 1 1 1 101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 8．如果方程组?? ? ??=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ） 9．（考研题）行列式 0000000 a b a b c d c d =（ B ） A.()2ad bc - B.() 2ad bc -- C.2222a d b c - D.2222 b c a d - 二、填空题 1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。 2. 行列式11 1 2 3 44916 中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___. 3. 设7 3 43690211 1 1 8751----= D ，则5A 14 + A 24+A 44=_______。 解答：5A 14+A 24+A 44= 1501 3430 90211 1 1 5751-=--- 4．已知行列式01 110321 2=-a ，则数a =____3______. 5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100 a b b a 0。 解答：0)(1 0100 22=+-=--=---b a a b b a a b b a a =0, b =0 6. 设1 31 2 4321322 )(+--+-+= x x x x f ，则2x 的系数为 23 。 7. 五阶行列式=6 200357020381002 300031000___________。 解答：4232 1 2 331)1(6 200357020381002 30003100032=?? -=? 8. （考研题）多项式2 1 1111 )(32 1 3213 21321+++++= x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有零 点为 01=x ，12-=x ，23-=x 。 9、（考研题）设x d c b d x c b d c x b d c b x x f = )(，则方程0)(=x f 的根为=x 。 【分析】 )(x f 是关于x 的四次多项式，故方程0)(=x f 应有四根，利用行列式的性质知，当d c b x ,,=时，分别会出现两行相等的情况，所以行列式为零，故d c b x ,,=是方程的三个根。 再将后三列均加到第一列上去可以提取一个公因子为 d c b x +++，所以当)(d c b x ++-=时，满足0)(=x f ，所以得方程的 第四根)(d c b x ++-=。 故方程的四个根分别是：)(,,,d c b d c b ++-。 二、计算题 1、计算000100 0200020120002013000 002014 D = 。 【分析】方法一：此行列式刚好只有n 个非零元素 nn n n n a a a a ,,,,112211--- ，故非零项只有一项： nn n n n t a a a a 112211)1(---- ，其中2 ) 2)(1(--= n n t ， 因此 (20141)(20142) 2 (1) 2014!2014!D --=-= 方法二：按行列展开的方法也行。 2、计算行列式 3 214214314324 321= D 。 分析：如果行列式的各行（列）数的和相同时，一般首先采用的是将各列（行）加到第一列（行），提取第一列（行）的公因子(简称列（行)加