《激光原理》习题解答 第二章习题解答
1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.
证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：
L R R R ===21
因此，一次往返转换矩阵为
??????
?????????????????? ??-???? ??---?????????? ??-+-????
??--=??????=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：
?
?
?
???--=??????=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()12
1
1<+<-D A 如果
()121
-=+D A 或者()12
1=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，??
????=10012
T
坐标转换公式为：??
????=???????
?????=??????=????
??1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过
两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
解答如下：共轴球面腔的()21221222121R R L R L R L D A +--≡+，如果满足()12
1
1<+<-D A ，
则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。 下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。
对于平凹共轴球面腔， ()2
2122121222121R L
R R L R L R L D A -=+--=+ (∞→1R )
所以，如果12112
<-
<-R L
，则是稳定腔。因为L 和2R 均大于零，所以不等式的后半部分一定成立，因此，只要满足12 类似的分析可以知道， 凸凹腔的稳定条件是：L R R ><210,且L R R <+21。 双凹腔的稳定条件是：L R >1，L R >2 （第一种情况） L R <1，L R <2且L R R >+21（第二种情况） 2 21L R R R > == （对称双凹腔） 求解完毕。 3 激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M 的凸和曲率半径为2M 的凹面镜构成，工作物质长度为0.5M ，其折射率为1.52，求腔长1L 在什么范围内谐振腔是稳定的。 解答如下：设腔长为1L ，腔的光学长度为L ，已知IM R -=1，M R 22=，M L 5.00=， 11=η，52.12=η， 根据()2 12 21222121R R L R L R L D A +--=+，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到： ()2212122212121L L M M L M L M L D A -+=?--+=+ 因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L 应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。 即52 .15 .015.012 1 1+-= + -= L L L L L ηη，代入上式，得到： ()2 11252.15.015.052.15.015.01121 ?? ? ??+--+-+=-+=+L L L L D A 要达到稳定腔的条件，必须是()12 1 1<+< -D A ，按照这个条件，得到腔的几何长度为： 17.217.11< 解答完毕。 5 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM ，方形孔径边长为d=2a=0.12CM ，λ=632.8nm ，镜的反射率为r 1=1，r 2=0.96，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择TEM 00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式d l e l g 4 10310-?+=估算，其中的l 是放电管长度。 分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。 如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式δ00=10.9*10-4.94N 来确定，其中的N 是菲涅尔数。 解答：根据d l e l g 4 10310-?+=，可以知道单程增益g 0L =ln(1+0.0003L /d)=0.0723 由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量 根据2.1.24得到： δr ≈-0.5lnr 1r 2=0.0204 根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为 δ=0.0204+0.0003 如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数： 此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a 2/(L λ)=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。 通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6GH Z ，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。 为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为： cm L os 21046.2-?== π λ ω 因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s 的光阑。 解答完毕。 6 试求出方形镜共焦腔面上30TEM 模的节线位置，这些节线是等距分布吗？ 解答如下： 方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为 ()() ''' '' ',,dy dx e y x e L i y x a a a a L yy xx ik mn ikL mn mn ??--+-??? ??=υλγυ 经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数 ()() () πλλπλπυL y x c n m mn mn e y L H x L H C y x 2 222,+-??? ? ?????? ??= ()() () ()()πλπλλπλπλπλπ υL y x L y x e x L x L C e y L H x L H C y x 2 2 222122822,330033030+-+-???? ? ????? ??-???? ??=??? ? ?????? ??=使()0,30=y x υ就可以求出节线的位置。由上式得到： λ π l x x 223,03,21± ==，这些节线是等距的。 解答完毕。 7 求圆形镜共焦腔20TEM 和02TEM 模在镜面上光斑的节线位置。 解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式 ()?? ????? ??? ?? ? ??=- ? ? ωω?υωm m e r L r C r s r s n m m s mn mn sin cos 22,2 02 202 0 （这个场对应于mn TEM ，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m 为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零） 对于20TEM ：()?? ????? ????? ? ??=-? ? ωω?υω2sin 2cos 22,202 202 202 02020s r s s e r L r C r 并且122 02 20=??? ? ??s r L ω，代入上式，得到 ()?? ???? ? ??=-? ? ω?υω2sin 2cos 2,202 2 02020s r s e r C r ，我们取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取()02cos 2,02 2 02020=??? ? ??=- ?ω?υωs r s e r C r ，就能求出镜面上节线的位置。既 4 3,4 02cos 21π ?π ??= = ?= 对于02TEM ，可以做类似的分析。 ()2 02 202 2020202202020 00202222,s s r s r s s e r L C e r L r C r ωωωωω?υ--???? ??=???? ??? ?? ? ??= 404 2022 02022412s s s r r r L ωωω+-=??? ? ??，代入上式并使光波场为零，得到 ()02412,02 404 2020 00202=??? ? ??+-??? ? ??=- s r s s s e r r r C r ωωωω?υ 显然，只要02412404 2022 02 02 =+-=??? ? ??s s s r r r L ωωω即满足上式 最后镜面上节线圆的半径分别为： s s r r 02012 21,221ωω-=+ = 解答完毕。 8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是R 1=1.5M ，R 2=-1M ，L=80CM ，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。 解：共轴球面腔稳定判别的公式是()12 1 1<+< -D A ，这个公式具有普适性（教材36页中间文字部分），对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式1021< i R L g - =1。 题中1581111-=- =R L g ，10 81122-=-=R L g 093.021=g g ，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。 任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦 腔，他们的行波场是相同的。 等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标1Z 和2Z ，再加上它的共焦腔的镜面焦距F ，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。 根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到： ()()()()()()M R L R L L R L Z 18.018.05.18.08.018.02121-=-+--?=-+--= ()()()()()() M R L R L L R L Z 62.018.05.18.08.05.18.02112=-+--?-=-+---= ()()() ()()[] ()()() ()()[] 235 .018.05.18.08.015.18.05.18.018.02 2 2121122=-+--+-?-?= -+--+--= R L R L L R R L R L R L F 因此M F 485.0= 等价共焦腔示意图略。 9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM ，R=2M ，2a=1CM ，波长λ=10.6μm ，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。 解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。 根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到： ()()M g g g g L g g g g s s 664 /1211 2 4 /1211 2 011022.2316.110687.111--?=??=? ?????-=? ?????-=πλωω ()()M g g g g L g g g g s s 664 /1212 1 4 /1212 1 02 10997.8333.510687.111--?=??=? ?????-=? ?????-=πλωω其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中πλωL S = 0是这个平凹腔的等价共焦腔镜面上 的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。 根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知： M S μωω193.1414 .1687 .12 00== = 作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。 即： N 1= δ 根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数 () 62 6 4 21 2 1110615.11022.21416.31025.0?=???= = --s ef a N πω ( ) 42 64 21 2 1110831.910 997.81416.31025.0?=???= = --s ef a N πω 根据衍射损耗定义，可以分别求出： 711102.61-?== ef N δ，52 21002.11-?==ef N δ 解答完毕。 10 证明在所有菲涅尔数λ L a N 2 =相同而曲率半径R 不同的对称稳定球面腔中，共焦腔 的衍射损耗最低。这里L 表示腔长，a 是镜面的半径。 证明： 在对称共焦腔中，?? ? ? ? ?? = ===+222212121R R f R R L R R 11 今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M 的凹面镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。 解答： 我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14得到：π λ θf 2 0=，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模光束发散角。 ()()() ()()[]m f R L R L L R R L R L R L f 25.0max 2 2121122=?-+--+--= 代入发散角公式，就得到最小发散角为： πλπλπλθ425.022 0===f 发散角与腔长的关系式： ()π λ π λ θl l f -==122 解答完毕。 13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的R=2M ，腔长L=1M ，试给出它所产生的 高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。 解答： ()()() [] M L R R L R R L R L R L F 122 212112=-+-+--= M F μπ λ ω84.11416 .36 .100== = rad F 30 01067.3128 .12-?=== λ πωλ θ 解答完毕。 14 某高斯光束束腰光斑半径为1.14MM ，波长λ=10.6μM 。求与束腰相距30厘米、100厘米、1000米远处的光斑半径及相应的曲率半径。 解答：根据公式（激光原理p71-2.9.4, 2.9.6） ()2 200 2 011??? ? ??+=??? ? ??+=πωλωωωz f z z 把不同距离的数据代入，得到： ()MM cm 45.130=ω，()CM m 97.210=ω，()M m 97.21000=ω 曲率半径()??? ? ???????? ??+=220 1z z z R λπω 与不同距离对应的曲率半径为： ()M cm R 79.030=，()M m R 015.1010=，()M m R 10001000= 解答完毕。 15 若已知某高斯光束的束腰半径为0.3毫米，波长为632.8纳米。求束腰处的q 参数值，与束腰距离30厘米处的q 参数值，与束腰相距无限远处的q 值。 解答： 束腰处的q 参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理p73-2.9.12）： i i if q 68.44200===λ πω 根据公式（激光原理p75-2.10.8） ()z q z q +=0，可以得到30厘米和无穷远处的q 参数值分别为 ()i q q 68.443030300+=+= 无穷远处的参数值为无穷大。 解答完毕。 16 某高斯光束束腰半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用焦距F=2cm 的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为10米，1米，10厘米和0时，求焦斑大小和位置，并分析结果。 解答： 根据公式（激光原理p78-2.10.17和2.10.18） 当束腰与透镜距离10米时 ()M l F F μλπωωω4.22 20 22 2' 0=??? ? ??+-= 同理可得到： 解答完毕 17 二氧化碳激光器输出波长为10.6微米的激光，束腰半径为3毫米，用一个焦距为2厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为20微米及2.5微米时，透镜应该放在什么位置。 解答： 根据公式（激光原理p78-2.10.18） ()2 20 22 2'20 ??? ? ??+-= λπωωωl F F 上式中束腰到透镜的距离l 就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到 2 2 02 '0 2 02??? ? ??-= -λπωωωF F l 当焦斑等于20微米时，M l 395.1=（透镜距束腰的距离） 当焦斑等于2.5微米时，M l 87.23= 此提要验证 18 如图2.2所示，入射光波厂为10.6微米，求' '0ω及3l 。 解答： 经过第一个透镜后的焦斑参数为： ()2 20 2112 212'0 ??? ? ??+-= λπωωω l F F ()()2 20 2112 1111' ??? ? ??+--+ =λπωF l F F l F l 经过第二个透镜后的焦参数为： () 2 2'0 2 ''2 2 ' 22' '20??? ? ? ?+-= λπωωωl F F () () 2 2'0 2 2 ' '2 22' '13??? ? ? ?+--+ =λπωF l F F l F l 2'''l l l =+ 解方程可以求出题中所求。 19 某高斯光束束腰腰斑半径为1.2毫米，波长为10.6微米。现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为1米的镀金反射镜，口径为20厘米；副镜为一个焦距为2.5厘米，口径为1.5厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距1米，如图所示。求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。 解答： 根据公式（激光原理p84-2.11.19） 2 202'11??? ? ??+=???? ??+=πωλl M f l M M ，其中12F F M =，为望远镜主镜与副镜的焦距比。题中的反射镜，相当于透镜，且曲率半径的一半就是透镜的焦距。 已知：MM 2.10=ω，M μλ6.10=， CM F 5.21=，CM R F 502 2==，CM a 5.121= CM a 2022=，M l 1= （经过验证，光斑在第一个透镜表面形成的光斑半径小于透镜镜面尺寸，衍射效应很小，因此可以用准直倍率公式） 代入准直倍率公式得到： 97.50112 2012 220'=??? ? ??+=???? ??+=πωλπωλl F F l M M 解答完毕。 20 激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为λ的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束焦参数f 的实验原理及步骤。 设计如下： 首先明确焦参数的构成元素为腰斑半径0ω，波长λ及π参数，根据提供的数据，激光器的波长为已知，我们不可能直接测量腔内的腰斑半径（因为是对称腔，束腰在腔内），只能通过技术手段测量发射出来的光波场的腰斑半径，然后利用()2 1??? ? ??+?= f z f z πλ ω这里的z 是由激光器腔中心到光功率计的距离，用卷尺可以测量。光功率计放置在紧贴小孔光阑的后面，沿着光场横向移动，测量出()z ω。把测量的()z ω和z 代入公式，可以求出焦参数。 设计完毕（以上只是在理论上的分析，实际中的测量要复杂得多，实验室测量中会用透镜扩束及平面镜反射出射光，增加距离进而增加测量精度） 21 二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，两个镜面的曲率半径分别是1米和两米，光腔长度为0.5米。 问：如何选择高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它构成该谐振腔的自再现光束。 解答： 高斯光束的自再现条件是（激光原理p84-2.12.1及2.12.2）： ?????==' '0 0l l ωω ()()0q l l q c c == 根据公式（激光原理p78-2.10.17及2.10.18） ()2 20 22 2'20 ??? ? ??+-= λπωωωl F F 经过曲率半径为1米的反射镜后，为了保证自再现条件成立，腔内的束腰半径应该与经过反射镜的高斯光束的束腰相同，因此得到： () 2 20 2 1 1 2 11??? ? ? ?+-= λπωl F F 1 同理，经过第二个反射镜面也可以得到： () 2 20 2 2 2 2 21??? ? ? ?+-= λπωl F F 2 L l l =+21 3 根据以上三个式子可以求出1l ，1l ，0ω M l 375.01=，M l 125.02=，M μω63.10= 解答完毕。 22 （1）用焦距为F 的薄透镜对波长为λ、束腰半径为0ω的高斯光束进行变换，并使变换后的高斯光束的束腰半径0' 0ωω<（此称为高斯光束的聚焦），在f F >和 )(20λ πω= 程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不变，如何选择透镜的焦距F ？ 解答： （1） 根据() () 2 2 2 22 20 2 2 2'20 f l F F l F F +-= ??? ? ? ?+-= ωλπωωω 可知 ()12 22 202 '0<+-= f l F F ωω，即022 2>+-f Fl l 通过运算可得到： 2 2f F F l ++>或者22f F F l +- <（舍去） （2） 参考《激光原理》p81-2. l 一定时，' 0ω随焦距变化的情况。 23 试用自变换公式的定义式()0q l l q c c ==（激光原理p84-2.12.2），利用q 参数来推 导出自变换条件式??? ???????? ? ? ?+=2 2 121l l F λπω 证明： 设高斯光束腰斑的q 参数为λ πω2 00i if q ==，腰斑到透镜的距离为l ，透镜前表面和 后表面的q 参数分别为1q 、2q ，经过透镜后的焦斑处q 参数用c q 表示，焦斑到透镜的距离是c l =l ，透镜的焦距为F 。 根据q 参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的q 参数，分别是： 透镜前表面：l q q +=01 透镜后表面： F q q 11112-= 焦斑的位置：c c l q q +=2 把经过变换的1 1 2q F Fq q -= 代入到焦斑位置的q 参数公式，并根据自再现的条件，得到： ? ????? ??? +=====+-= +=l q q i if q q l l l q F Fq l q q c c c c c 012001 12λ πω由此可以推导出??? ???????? ? ??+=2 2 0121l l F λπω 证明完毕。 24 试证明在一般稳定腔中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各镜面的曲率半径。 证明： 设一般稳定腔的曲率半径分别是1R 、2R ，腔长为L ，坐标取在这个稳定腔的等价共焦腔中心上，并且坐标原点到镜面的距离分别是1z 和2z ，等价共焦腔的焦距为f 。 根据 25 试从式 2 21211R l L l = -+和112211R l L l =-+导出012 1=++C Bl l ，其中的()2 1222R R L R L L B ---= ，()21212R R L R L LR C ---=，并证明对双凸腔042 >-C B 解答：略 26 试计算M R 11=，M L 25.0=，CM a 5.21=，CM a 12=的虚共焦腔的单程ξ和 往返 ξ.若想保持1a 不变并从凹面镜1M 端单端输出，应如何选择2a ？反之，若想 保持2a 不变并从凸面镜2M 输出，1a 如何选择？在这两种情况下，单程ξ和往返ξ各为多大？ 解答： 虚共焦腔的特点：?? ?? ?? ? ? ? ? ? ??????=== ===+==+2121212'221 '1121212 11222R R m m M R R a a m a a m g g g g L R R 激光原理p91,96 ??? ?? ??-=-=2 1111M M 往返 单程ξξ激光原理p97-2.1511,2.15.12 根据%505.0211 11212=??? ???-=-=-=-=单程单程ξξm R L R R R M ， 同理： %751 12 =-=M 往返ξ 单端输出：如果要从虚共焦非稳定腔的凸面镜单端输出平面波，并使腔内振荡光束全部通过 激活物质，则凹面镜和凸透镜的选区要满足：01a a ≥，M a a 0 2≈ ，其中的a 分别代表（按角标顺序）工作物质的半径、凹面镜半径、凸面镜半径 1 实施意义上的单面输出（从凸面镜端输出）：按照图（激光原理p96-图2.15.2a ）为了保证从凸面镜到凹面镜不发生能连损失，则根据图要满足： 12121222a a R R R R ==?? ? ??? ?? ?? 因为凸面镜的尺寸不变，所以在曲率半径给定的条件下，凹面镜 的半径应该为： CM R R a a 21 1 21=? = 2 从凹面镜端输出，只要保证有虚焦点发出的光到达凹面镜后的反射光（平行光）正好在凸面镜的限度范围内，则可保证从凹面镜单端输出。 因此，此时只要满足21a a =即可，因此CM a 5.22= 这两种情况下的单程和往返损耗略。 解答完毕。 第二章开放式光腔与高斯光束 1.证明如图 2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为 1 2 1 0 η η ?? ?? ?? ?? ?? 。 证明：设入射光线坐标参数为 11 ,rθ，出射光线坐标参数为 22 ,rθ，根据几何关系可知211122 ,sin sin r rηθηθ ==傍轴光线sinθθ则 1122 ηθηθ =，写成矩阵形式 21 21 1 2 1 0 r r θθ η η ?? ???? ?? = ???? ?? ???? ?? ?? 得证 2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为 1 2 1 0 1 d η η ?? ?? ?? ?? ?? 。 证明：设入射光线坐标参数为 11 ,rθ，出射光线坐标参数为 22 ,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得 21 21 21 12 1 0 1 0 1 0 0 0 1 r r d θθ ηη ηη ???? ???? ?? ???? = ???? ?? ???? ?? ???? ???? ???? 化简后21 21 1 2 1 0 1 d r r θθ η η ?? ???? ?? = ???? ?? ???? ?? ?? 得证。 3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。 证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示： 其往返矩阵为： 由于是共焦腔，则有 12R R L == 将上式代入计算得往返矩阵 () ()()1 2 101 0110101n n n n n n r L r L ??????===-=-???????????? A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。 4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中1212 11,1L L g g R R =-- =- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。则122 1,1L g g R ==- ，再根据稳定性条件 1201g g <<可得2 2011L R R L <- <>?。 对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则1212 1,1L L g g R R =- =-,根据稳定性条件1201g g << 可得11221 212010 01 1R L R L R L R L R R L L R R L <?? <????<-- ?????? 或。 对凹凸共轴球面镜腔有，120,0R R ><则1212 1,1,0L L g g R R =- =>-根据稳定性条件1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ???? <-- 第一章： 1．为使氦氖激光器的相干长度达到1km ，它的单色性 λλ ?应是多少？ 解：相干长度 υ υυ -=?=12c c L c 将 λυ1 1c =， λυ22c =代入上式，得： λ λλλλλ?≈-=0 2 2 121L c ，因此 L c λλλ 00=?，将 nm 8.6320=λ，km L c 1=代入得： 10*328.618.632100-==?km nm λλ 2．如果激光器和微波激射器分别在 m μλ10=， nm 500=λ和 MHz 3000=υ输出1W 连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是 多少？ 解：ch p h p n λ υ== （1） 个10*03.510*3*10*626.610*1191 8 34 ≈= --ms Js m W n μ （2）个10*52.210*3*10*626.6500*1181834≈=--ms Js nm W n （3）个10*03.53000*10*626.612334 ≈=-MHz Js W n 3．设一对激光能级为E 2和E 1（f f =12） ，相应频率为υ（波长为 λ ），能级上的粒 子数密度分别为 n 2和n 1，求： （a ）当 MHz 3000=υ，T=300K 时，=n n 12？ （b ）当 m μλ1=，T=300K 时，=n n 1 2？ （c ）当 m μλ1=，1.01 2=n n 时，温度T=? 解： e e f f n n kT h kT E E ==---υ121 212 （a ）110 *8.4300 *10*38.110*300010*626.64 23 6 *341 2≈≈= -----e e n n （b ）10 *4.121 8 34 1 210*8.410*1*300*10*38.110*3*10*626.6≈≈==-----e e e n n hc λ （c ）1.010*1*10*38.110*3*10*626.68 341 2===---e e n n T hc λ 得： K T 10*3.63 ≈ 5．试证明，由于自发辐射，原子在 E 2 能级的平均寿命 A s 21 1=τ 证明：自发辐射，一个原子由高能级 E 2自发跃迁到E 1，单位时间内能级E 2减少的粒子 数为： )(212dt dn dt dn sp -= ， 自发跃迁几率n dt dn A sp 2 21 1)(21= n A dt dn 2212-=， e n e n n s t t A t τ --≡=20 20221 )( 因此 21 s A 1 = τ 6．某一分子的能级 E 4到三个较低能级E 1E 2和E 3的自发跃迁几率分别是 第一章 激光的基本原理 1. 为使He-Ne 激光器的相干长度达到1km ,它的单色性0/λλΔ应是多少? 提示: He-Ne 激光 器输出中心波长632.8o nm λ= 解: 根据c λν=得 2 c d d d d ν νλνλλ =? ?=? λ 则 o o ν λ νλΔΔ= 再有 c c c L c τν == Δ得106.32810o o o c o c c L L λλνλνν?ΔΔ====× 2. 如果激光器和微波激射器分别在=10μm λ、=500nm λ和=3000MHz ν输出1W 连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？ 解：设输出功率为P ，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n ，则： c P nh nh νλ==由此可得： P P n h hc λ ν= = 其中为普朗克常数，为真空中光速。 34 6.62610 J s h ?=×?8310m/s c =×所以，将已知数据代入可得： =10μm λ时： 19-1=510s n ×=500nm λ时： 18-1=2.510s n ×=3000MHz ν时： 23-1=510s n ×3．设一对激光能级为2E 和1E (21f f =)，相应的频率为ν(波长为)，能级上的粒子数密度分别为n 和，求 λ21n (a) 当ν=3000MHz ，T=300K 时，21/?n n = (b) 当，T=300K 时，λ=1μm 21/?n n = (c) 当，n n 时，温度T=？ λ=1μm 21/0.1=解：当物质处于热平衡状态时，各能级上的粒子数服从玻尔兹曼统计分布,则 2 211()exp exp exp b b n E E h h n k T k T k νb c T λ??????=?=?=?????? ???????? (a) 当ν=3000MHz ，T=300K 时： 3492 231 6.62610310exp 11.3810300n n ????×××=?≈??××? ? (b) 当，T=300K 时： λ=1μm 3482 2361 6.62610310exp 01.381010300n n ?????×××=?≈??×××?? 1、光与物质相互作用的三个基本过程：自发辐射、受激辐射、受激吸收。 2、激光器的损耗指的是在激光谐振腔内的光损耗，这种损耗可以分为两类：内部损耗、镜面损耗。 3、形成激光的条件：实现粒子数反转、满足阈值条件和谐振条件。 4、激光的四个基本特性：高亮度、方向性、单色性和相干性。 5、激光调制方法：内调制是指在激光生成的振荡过程中加载调制信号，通过改变激光的输 出特性而实现的调制。 外调制则是在激光形成以后，再用调制信号对激光进行调制，它并不改 变激光器的参数，而是改变已经输出的激光束的参数。 就调制方法来讲，也有振幅调制、强度调制、频率调制、相位调制以及脉冲调制等形式。 6、三种谱线增宽形式：自然增宽、碰撞增宽、多普勒增宽。 7、单纵模激光器的选频方法：短腔法、法布里—珀罗标准具法、三反射镜法。 8、激光器的基本结构：激光工作物质：能够实现粒子数反转，产生受激光放大。激励能源：能将低能级的粒子不断抽运到高能级，补充受激辐射减少高能级上的粒子数。光学谐振腔：提高光能密度，保证受激辐射大于受激吸收。 9、高斯光束的基膜腰斑半径（腰粗）公式：W 0= 2 1 W s = 2 1 π λL 简答题： 1、用速率方程组证明二能级系统不可能实现粒子数反转分布。 2、简述光频电磁场与物质的三种相互作用过程，并指出其影响因素。（画图说明） 答:光与物质相互作用的本质是光与物质中的电子发生相互作用，使得电子在不同的能级之间跃迁。包括三种基本过程：自发发射、受激辐射以及受激吸收。 .自发发射——在无外电磁场作用时,粒子自发地从E2跃迁到E1,发射光子hv。(a)特点:各粒子自发、独立地发射的光子。各光子的方向、偏振、初相等状态是无规的, 独立的，粒子体系为非相干光源。受激辐射:——原处于高能级E2的粒子, 受到能量恰为hv=E2-E1的光子的激励, 发射出与入射光子相同的一个光子而跃迁到低能级E1 。特点:①受激发射只能在频率满足hv=E2-E1的光子的激励下发生;②不同粒子发射的光子与入射光子的频率、位相、偏振等状态相同; 这样,光场中相同光子数目增加,光强增大,即入射光被放大——光放大过程。受激吸收:——原处于低能级E1的粒子,受到能量恰为hv=E2-E1的光子照射而吸收该光子的能量,跃迁到高能级E2。 3、 3、简述激光器的基本结构以及产生激光的基本条件：①有提供放大作用的增益介质作为激光工作物质，其激活粒子（原子、分子或离子）有适合于产生受激辐射的能级结构。②有外界激励源，将下能级的粒子抽运到上能级，使激光上下能级之间产生粒子数反转③有光学谐振腔，增长激活介质的工作长度，控制光束的传播方向，选择被放大的受激辐射光频率以提 激光原理与激光技术习题答案 《激光原理与激光技术》堪误表见下方 习题一 (1)为使氦氖激光器的相干长度达到1m ，它的单色性 /应为多大 解： 1010 1032861000 106328--?=?=λ=λλ?=.L R c (2) =5000?的光子单色性 /=10-7 ，求此光子的位置不确定量x 解： λ =h p λ?λ =?2h p h p x =?? m R p h x 510 1050007 10 2=?=λ=λ ?λ=?=?-- (3)CO 2激光器的腔长L=100cm ，反射镜直径D=1.5cm ，两镜的光强反射系数分别为r 1=,r 2=。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的、c 、Q 、c (设n=1) 解： 衍射损耗: 1880107501106102 262.) .(.a L =???=λ=δ-- s ..c L c 881075110318801-?=??=δ=τ 6 86810 113107511061010314322?=??????=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 19101910 75114321 2168 =?=???=πτ= ν?- 输出损耗: 119080985050212 1.)..ln(.r r ln =??-=-=δ s ..c L c 8 81078210 311901-?=??=δ=τ 6 86810 964107821061010314322?=??????=πντ=--....Q c MHz .Hz ...c c 75107510 78214321 2168 =?=???=πτ= ν?- (4)有一个谐振腔，腔长L=1m ，两个反射镜中，一个全反，一个半反，半反镜反射系数r=，求在1500MHz 的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽(不考虑其它损耗) 解： MHz Hz .L c q 15010511 2103288=?=??==ν? 11]11501500 []1[=+=+ν?ν?=?q q 005.02 01 .02===T δ s c L c 7 8 1067.6103005.01-?=??== δτ MHz c c 24.010 67.614.321 217 =???= = -πτν? (5) 某固体激光器的腔长为45cm ，介质长30cm ，折射率n=，设此腔总的单程损耗率，求此激光器的无 《激光原理》习题解答 第二章习题解答 1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合. 证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。 设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知： L R R R ===21 因此，一次往返转换矩阵为 ?????? ?????????????????? ??-???? ??---?????????? ??-+-???? ??--=??????=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到： ? ? ? ???--=??????=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()12 1 1<+<-D A 如果 ()121 -=+D A 或者()12 1=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。 经过两个往返的转换矩阵式2 T ，?? ? ? ??=10012T 坐标转换公式为：?? ????=??????? ?????=??????=???? ??1111112221001θθθθr r r T r 其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过 两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。 2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。 解答如下：共轴球面腔的()2 12 21222121R R L R L R L D A + --≡+，如果满足()1211<+<-D A ， 周炳琨<激光原理>第一章习题解答（完整版） 1．为使氦氖激光器的相干长度达到1km ，它的单色性 λλ ?应是多少？ 解：相干长度 υ υυ -=?=12c c L c 将 λυ1 1c =， λυ22c =代入上式，得： λ λλλλλ?≈-=0 2 2 121L c ，因此 c λλλ 00=?，将 nm 8.6320=λ，km L c 1=代入得： 10*328.68.632100-==?nm λλ 2．如果激光器和微波激射器分别在 m μλ10=， nm 500=λ和 MHz 3000=υ输出1W 连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是 多少？ 解：ch p h p n λ υ== （1） 个10*03.510*3*10*626.610*1191 8 34 ≈= --ms Js m W n μ （2）个10*52.210*3*10*626.6500*1181834≈=--ms Js nm W n （3）个10*03.53000*10*626.612334 ≈=-MHz Js W n 3．设一对激光能级为 E 2和E 1（f f =12） ，相应频率为υ（波长为 λ ），能级上的粒 子数密度分别为 n 2和n 1，求： （a ）当 MHz 3000=υ，T=300K 时，=n n 12？ （b ）当 m μλ1=，T=300K 时，=n n 1 2？ （c ）当 m μλ1=，1.01 2=n n 时，温度T=? 解： e e f n h E E ==---υ121 212 （a ）110 *8.4300 *10*38.110*300010*626.64 23 6 *341 2≈≈= -----e e n n （b ）10 *4.121 6238 34 1 2 10*8.410*1*300*10*38.110*3*10*626.6≈≈==--- ----e e e n n kT hc λ （c ）1.010*1*10*38.110*3*10*626.68 341 2===---e e n n T hc λ 得： K T 10*3.63 ≈ 4．在红宝石Q 调制激光器中，有可能将几乎全部Cr + 3离子激发到激光上能级并产生激光 巨脉冲。设红宝石棒直径1cm,长度7.5cm ， Cr + 3浓度为 cm 3 1910*2-，巨脉冲宽度为 10ns ，求输出激光的最大能量和脉冲功率。 解：由于红宝石为三能级激光系统，最多有一般的粒子能产生激光： J nhc nh E 1710*3.69410 *3*10*626.6*10*2*5.7*)5.0(2 19 8 34 19 2 max 2 121====--πλυW E P R 10*7.19 max ==τ 5．试证明，由于自发辐射，原子在 E 2 能级的平均寿命 A s 21 1=τ 证明：自发辐射，一个原子由高能级 E 2自发跃迁到E 1，单位时间内能级E 2减少的粒子 第一章激光的基本原理 1. 为使He-Ne 激光器的相干长度达到1km ,它的单色性0/λλ?应是多少? 提示: He-Ne 激光 器输出中心波长632.8o nm λ= 解: 根据c λν=得 2 c d d d d ννλνλλ λ =- ?=- 则 o o ν λ νλ??= 再有 c c c L c τν == ?得 10 6.32810 o o o c o c c L L λλ ν λνν-??= = = =? 2. 如果激光器和微波激射器分别在=10μm λ、=500nm λ和=3000M H z ν输出1W 连续功率,问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少? 解:设输出功率为P ,单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n ,则: 由此可得: 其中34 6.62610 J s h -=??为普朗克常数,8 310m/s c =?为真空中光速。 所以,将已知数据代入可得: =10μm λ时: 19-1 =510s n ?=500nm λ时: 18-1 =2.510s n ?=3000M H z ν时: 23-1=510s n ? 3.设一对激光能级为2E 和1E (21f f =,相应的频率为ν(波长为λ,能级上的粒子数密度分别为2n 和1n ,求 (a 当ν=3000M H z ,T=300K 时,21/?n n = (b 当λ=1μm ,T=300K 时,21/?n n = (c 当λ=1μm ,21/0.1n n =时,温度T=? 解:当物质处于热平衡状态时,各能级上的粒子数服从玻尔兹曼统计分布,则 (a 当ν=3000M H z ,T=300K 时: (b 当λ=1μm ,T=300K 时: c P nh nh νλ ==P P n h hc λν = 思考练习题1 1． 试计算连续功率均为1W 的两光源，分别发射λ＝0.5000μm ，ν=3000MHz 的光，每秒 从上能级跃迁到下能级的粒子数各为多少？ 答：粒子数分别为：18 8 34634110 5138.21031063.6105.01063.61?=????=? ?= =---λ ν c h q n 23 9 342100277.510 31063.61?=???==-νh q n 2．热平衡时，原子能级E 2的数密度为n 2，下能级E 1的数密度为n 1，设21g g =，求：(1)当原子跃迁时相应频率为ν＝3000MHz ，T ＝300K 时n 2/n 1为若干。(2)若原子跃迁时发光波长λ＝1μ，n 2/n 1＝0.1时，则温度T 为多高？ 答：（1）(//m n E E m m kT n n n g e n g --=）则有：1]300 1038.110 31063.6exp[2393412≈?????-==---kT h e n n ν （2）K T T e n n kT h 36238 34121026.61.0]1011038.11031063.6exp[?=?=???????-==----ν 3．已知氢原子第一激发态(E 2)与基态(E 1)之间能量差为1.64×l0－ 18J ，设火焰(T ＝2700K)中含有1020个氢原子。设原子按玻尔兹曼分布，且4g 1＝g 2。求：(1)能级E 2上的原子数n 2为多少？(2)设火焰中每秒发射的光子数为l08 n 2，求光的功率为多少瓦？ 答：（1）1923 181221121011.3]2700 1038.11064.1exp[4----?=???-?=?=??n n e g n g n kT h ν 且20 2110=+n n 可求出312≈n （2）功率＝W 918 8 10084.51064.13110--?=??? 4．(1)普通光源发射λ＝0.6000μm 波长时，如受激辐射与自发辐射光功率体密度之比 q q 激自 1 = 2000 ，求此时单色能量密度νρ为若干？(2)在He —Ne 激光器中若34/100.5m s J ??=-νρ，λ为0.6328μm ，设μ＝1，求 q q 激自 为若干？ 答：（1） 《激光原理及应用》习题 1. 激光的产生分为理论预言和激光器的诞生两个阶段？简述激光理论的创始人，理论要点和提出理论的时间。简 述第一台激光诞生的时间，发明人和第一台激光器种类？ 答：激光理论预言是在1905年爱因斯坦提出的受激辐射理论。世界上第一台激光器是于1960年美国的梅曼研制成功的。第一台激光器是红宝石激光器。 2. 激光谱线加宽分为均匀加宽和非均匀加宽，简述这两种加宽的产生机理、谱线的基本线型。 答：如果引起加宽的物理因数对每一个原子都是等同的，则这种加宽称为均匀加宽，线型为洛仑兹线型。自然加宽、碰撞加宽及晶格振动加宽均属均匀加宽类型。 非均匀加宽是原子体系中每一个原子只对谱线内与它的表观中心频率相应的部分有贡献，线型为高斯线型。多普勒加宽和固体晶格缺陷属于非均匀加宽。 3. 军事上的激光器主要应用那种激光器？为什么应用该种激光器？ 答：军事上主要用的是CO 2激光器，这是因为CO 2激光波长处于大气窗口，吸收少，功率大，效率高等特点。 4. 全息照相是利用激光的什么特性的照相方法？全息照相与普通照相相比有什么特点？ 答：全息照相是利用激光的相干特性的。全息照片是三维成像，记录的是物体的相位。 1. 激光器的基本结构包括三个部分，简述这三个部分 答：激光工作物质、激励能源（泵浦）和光学谐振腔； 2. 物质的粒子跃迁分辐射跃迁和非辐射跃迁，简述这两种跃迁的区别。 答：粒子能级之间的跃迁为辐射跃迁，辐射跃迁必须满足跃迁定则；非辐射跃迁表示在不同的能级之间跃迁时并不伴随光子的发射或吸收，而是把多余的能量传给了别的原子或吸收别的原子传给他的能量。 3. 工业上的激光器主要有哪些应用？为什么要用激光器？ 答：焊接、切割、打孔、表面处理等等。工业上应用激光器主要将激光做热源，利用激光的方向性好，能量集中的特点。 4. 说出三种气体激光器的名称，并指出每一种激光器发出典型光的波长和颜色。 答：He-Ne 激光器，632.8nm （红光），Ar+激光器，514.5nm （绿光），CO 2激光器，10.6μm （红外） 计算题 1．激光器为四能级系统，已知3能级是亚稳态能级，基态泵浦上来的粒 子通过无辐射跃迁到2能级，激光在2能级和1能级之间跃迁的粒子产 生。1能级与基态（0能级）之间主要是无辐射跃迁。 （1）在能级图上划出主要跃迁线。 （2）若2能级能量为4eV ，1能级能量为2eV ，求激光频率； 解：（1）在图中画出 （2）根据爱因斯坦方程 21h E E ν=- 得 ()1914213442 1.610 4.829106.62610E E Hz h ---??-===??ν 2．由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如图。凸面镜的曲率半径为2m ，凹面镜的曲率半径为3m ，腔长为1.5m 。发光波长600nm 。判断此腔的稳定性； 解: 激光腔稳定条件 R3 32ω 21ω EE125Principles of Lasers Prof.Cheng Wang ShanghaiTech University Homework1 Note: ?Please try to?nish the homework on your own.Discussion is permissible,but identical submissions are unacceptable! ?Please prepare your submission in English only.No Chinese submission will be accepted. ?Please submit your homework in PDF?le to yanht@https://www.doczj.com/doc/818032896.html, with subject EE125HW1ID NAME. ?Please submit on time.NO late submission will be accepted. 1.1If the laser have a continuous output power of1W when(a)λ=10μm,(b)λ=500nm and(c)ν=3000MHz,what is the population each second N that are transition from E2to E1? 1.2If levels1and2of Fig.1.2are separated by an energy E2?E1such that the corresponding frequency isν(the wavelength isλ),the carrier density of each level is N2and N1.Assume that the two level have the same degeneracy. (a)Whenν=3000MHz,T=300K,calculate the ratio N2/N1. (b)Whenλ=1μm,T=300K,calculate the ratio N2/N1. (c)Whenλ=1μm,N2/N1=0.1,calculate T. Figure1.2 1/2 习题I 1、He-Ne 激光器m μλ63.0≈，其谱线半宽度m μλ12 10-≈?，问λλ/?为多少？要使其相干长度达到1000m ，它的单色性λλ/?应是多少？ 解：63.01012 -=?λλ λλδτ?= ==2 1v c c L c 相干 = = ?相干 L λ λ λ 2、He-Ne 激光器腔长L=250mm ，两个反射镜的反射率约为98%，其折射率η=1，已知Ne 原子m μλ6328.0=处谱线的MHz F 1500=?ν，问腔内有多少个纵模振荡？光在腔内往返一次其光子寿命约为多少？光谱线的自然加宽ν?约为多少？ 解：MHz Hz L c v q 60010625 210328 10=?=??==?η 5 .2=??q F v v s c R L c 8 10 1017.410 3)98.01(25)1(-?=??-=-=τ MHz Hz L c R v c c 24104.2)1(21 7=?=-≈=πτδ 3、设平行平面腔的长度L=1m ，一端为全反镜，另一端反射镜的反射率90.0=γ，求在1500MHz 频率范围内所包含的纵模数目和每个纵模的频带宽度？ 解：MHz Hz nL c v q 150105.1100 210328 10=?=??==? 10 150 1500==??q v v L c R v c c )1(21 -≈ =πτδ 4、已知CO 2激光器的波长m μλ60.10=处 光谱线宽度MHz F 150=?ν，问腔长L 为多少时，腔内为单纵模振荡（其中折射率η=1）。 解：L c v v F q η2=?=?， F v c L ?=2 5、Nd 3 —YAG 激光器的m μ06.1波长处光 谱线宽度MHz F 5 1095.1?=?ν，当腔长为10cm 时，腔中有多少个纵模？每个纵模的频带宽度为多少？ 解：MHz L c v q 3 10105.110 21032?=??==?η 130 =??q F v v L c R v c c )1(21 -≈ =πτδ 6、某激光器波长m μλ7.0=，其高斯光束束腰光斑半径mm 5.00=ω。 ①求距束腰10cm 、20cm 、100cm 时， 光斑半径)(z ω和波阵面曲率半径)(z R 各为多少？ ②根据题意，画出高斯光束参数分布图。 激光原理及技术部分习题解答（陈鹤鸣） 第一章 4. 为使氦氖激光器的相干长度达到1km, 它的单色性0/λλ?应当是多少？ 解：相干长度C c L υ = ?，υ?是光源频带宽度 8 53*10/3*101C c m s Hz L km υ?=== 22 510 8 (/) 632.8*3*10 6.328*103*10/c c c c nm Hz c m s λλυυυυλλλυλ-=??=?=???=?== 第二章 4. 设一对激光能级为2121,,E E f f =，相应的频率为υ，波长为λ，能级上的粒子数密度分别为21,n n ，求： （1）当3000,300MHz T K υ= =时，21/?n n = （2）当1,300m T K λμ= =时，21/?n n = （3）当211,/0.1m n n λμ= =时，温度T=？ 解： T k E E b e n 121 2 n -- = 其中1 2**E E c h E c h -=?=λ ν λ h c h == ?*E （1） （2 ）010*425.12148300 *10*38.11010*3* 10 *63.61 2 236 8 34 ≈====--- ----e e e n n T k c h b λ （3） K n n k c h b 3 6 238341 210*26.6)1.0(ln *10*10*8.3110*3*10*63.6ln *T =-=-=---λ 9. 解：(1) 由题意传播1mm,吸收1%，所以吸收系数101.0-=mm α (2) 010010100003660I .e I e I e I I .z ====-?-α 即经过厚度为0.1m 时光能通过36.6% 10. 解： 《激光原理及应用》习题参考答案 思考练习题1 1.解答：设每秒从上能级跃迁到下能级的粒子数为n 。 单个光子的能量：λνε/hc h == 连续功率：εn p = 则，ε/p n = a. 对发射m μλ5000 .0=的光： ) (10514.2100.31063.6105000.01188346 个?=?????= =--hc p n λ b. 对发射MHz 3000＝ν的光 )(10028.51030001063.6123634个?=???= = -νh p n 2.解答：νh E E =-12……………………………………………………………………..(a) T E E e n n κ121 2--=……………………………………………………………………….(b) λν/c =…………………………………………………………………………….(c) （1）由（a ），（b ）式可得： 11 2==-T h e n n κν （2）由（a ），（b ）,(c)式可得： )(1026.6ln 31 2 K n n hc T ?=- =κλ 3.解答： （1） 由玻耳兹曼定律可得 T E E e g n g n κ121 12 2//--=， 且214g g =，20 2110=+n n 代入上式可得： ≈2n 30（个） （2）)(10028.5)(1091228W E E n p -?=-= 4.解答： (1) 由教材（1-43）式可得 31733 634 3/10860.3/) 106000.0(1063.68200018q m s J m s J h q ??=??????=?=---πλπρν自激 （2）9 34 4363107.59210 63.68100.5)106328.0(8q ?=?????==---ππρλνh q 自激 5.解答：（1）红宝石半径cm r 4.0=，长cm L 8=，铬离子浓度318102-?=cm ρ，发射波 长m 6 106943.0-?=λ，巨脉冲宽度ns T 10=?则输出最大能量 )(304.2)(106943.0100.31063.684.0102)(6 8 342 182 J J hc L r E =?????????==--πλπρ 脉冲的平均功率： )(10304.2)(10 10304 .2/89 W W T E p ?=?=?=- （2）自发辐射功率 )(10304.2)(10106943.0)84.0102(100.31063.6) (22 621883422 W W L r hc hcN Q ?=??????????== ---πλτ πρλτ ＝ 自 6.解答：由λν/c =，λλνd c d 2 =及λρνρλd d v =可得 1 1 85 -== kT hc e hc d d λνλλ πλνρρ 7.解答： 由 0) (=ννρd d 可得： 31 =-kT h kT h m m m e e kT h υυυ； 令 x kT h m =υ，则)1(3-=x x e xe ；解得：82.2=x 因此：11 82.2--=kh T m ν 同样可求得： 96.4=kT hc m λ 故c m m 568.0=λν 第一章激光原理练习题 一、填空题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 1.光学谐振腔的稳定与否是由谐振腔的决定的。 2.平凹腔是由一块平面镜和一块曲率半径为R的凹面镜组成的光学谐振腔， 按照两镜之间距离可分为半共焦腔和。 3.一般情况下粒子数密度反转分布与的线型函数有关。 4.小信号粒子数密度反转与能级寿命有关。 二、选择题（本大题共4个小题，每题3分，共12分） 1. 粒子数密度反转分布的表达式表明了粒子数密度按照谐振腔内光波频率 分布，与有关。 A光强B饱和光强C中心频率D小信号粒子数密度反转 2.光学谐振腔的作用是。 A倍增工作介质作用长度提高单色光能密度 B控制光束传播方向。 C对激光进行选频 D改变激光频率 3. 饱和光强I s是激光工作物质的光学性质，不同物质差别很大,氦氖激光器 （632.8nm谱线）I s大约为。 A. 0.3W/mm2 B. 7.0W/mm2 C. 0.6W/mm2 D. 0.5W/mm2 4.平凹腔按照两镜之间距离可分为。 A半共焦腔 B半共心腔 C共焦腔 D共心腔 三、简答题（本大题共4个小题，每题5分，共20分） 1.请解释增益饱和的物理意义。 2.请解释什么是不稳定腔。 3.什么是平行平面腔？ 4 .请解释粒子数密度反转分布值的饱和效应。 四、计算题（本大题共4个小题，共56分） 1.四能级激光器中，激光上能级寿命为τ3 =10-3 s，总粒子数密度n0 =3×108m-3 , 当抽运几率达到W14 =500/s时，求小信号反转粒子数密度为多少？(10分） 2.某激光介质的增益系数G=2/m，初始光强为I0 ，求光在介质中传播z=0.5m 后的光强。（不考虑损耗与增益饱和）(14分） 3.激光器为四能级系统，已知3能级是亚稳态能级，基态泵浦上来的粒子通 过无辐射跃迁到2能级，激光在3能级和2能级之间跃迁的粒子产生。1能级与基态（0能级）之间主要是无辐射跃迁。 （1）在能级图上划出主要跃迁线。 （2）若2能级能量为4eV，1能级能量为2eV，求激光频率；(16分） 4.求非均匀加宽激光器入射强光频率为 101 2H ννν =-?,光强为 13 s I I ν =时，该强光大信号增益系数下降到峰值增益系数的多少倍？(16分） 第一章：激光的基本原理 1.为使He-Ne激光器的相干长度达到1km,它的单色性?λ/λ0应是多少? 2.设一对激光能级为E2和E1(f1=f2)，相应的频率为v(波长为λ)，能级上的粒子 数密度分别为n2和n1，求： (a)当v=3000MHz，T=300K时，n2/n1=? (b)当λ=1μm，T=300K时，n2/n1=? (c)当λ=1μm，n2/n1=0.1时，温度T=? 3.设一对激光能级为E2和E1(f1=f2),相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n1和n2，求 （a）当ν=3000Mhz,T=300K时,n2/n1=? （b）当λ=1um,T=300K时, ,n2/n1=? （c）当λ=1um, ,n2/n1=0.1时，温度T=? 4.在红宝石Q调制激光器中，有可能将几乎全部Cr+3离子激发到激光上能级并产生激光巨脉冲。设红宝石棒直径1cm，长度7.5cm，Cr+3离子浓度为2×1019cm-3，巨型脉冲宽度为10ns，求输出激光的最大能量和脉冲功率。 5.试证明，由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命t s=1/A21。 6.某一分子的能级E4到三个较低能级E1,E2和E3的自发跃迁几率分别是A43=5*107s-1,A42=1*107s-1和A41=3*107s-1，试求该分子能级的自发辐射寿命τ4。若τ1=5*107s-1，τ2=6*10-9s,τ3=1*10-8s在对E4连续激发并达到稳态时，试求相应能级上的粒子数比值n1/n4，n2/n4,n3/n4,并回答这时在哪两个能级间实现了集居数反转。 7.证明当每个膜内的平均光子数（光子简并度）大于1时，辐射光中受激辐射占优势。 8．（1）一质地均匀的材料对光的吸收系数为0.01mm-1，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？（2）一光束通过长度为1m的均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。 第二章：开放式光腔与高斯光束 1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。 2006-2007学年 第1学期 《激光原理与技术》B 卷 试题答案 1． 填空题(每题4分)[20] 激光的相干时间τc 和表征单色性的频谱宽度Δν之间的关系为___1c υτ?= 一台激光器的单色性为5x10-10，其无源谐振腔的Q 值是_2x109 如果某工作物质的某一跃迁波长为100nm 的远紫外光，自发跃迁几率A 10等于105 S -1，该跃迁的受激辐射爱因斯坦系数B 10等于_____6x1010 m 3s -2J -1 设圆形镜共焦腔腔长L=1m ，若振荡阈值以上的增益线宽为80 MHz ，判断可能存在_两_个振荡频率。 对称共焦腔的 =+)(2 1 D A _-1_，就稳定性而言，对称共焦腔是___稳定_____腔。 2. 问答题(选做4小题，每小题5分)[20] 何谓有源腔和无源腔如何理解激光线宽极限和频率牵引效应 有源腔：腔内有激活工作物质的谐振腔。无源腔：腔内没有激活工作物质的谐振腔。 激光线宽极限：无源腔的线宽极限与腔内光子寿命和损耗有关：122' c R c L δ υπτπ?= = ；有源腔由于受到自发辐射影响，净损耗不等于零，自发辐射的随机相位造成输出激光的线宽极限 220 2()t c s t out n h n P πυυυ?= ?。 频率牵引效应：激光器工作物质的折射率随频率变化造成色散效应，使得振荡模的谐振频率总是偏离无源腔相应的模的频率，并且较后者更靠近激活介质原子跃迁的中心频率。这种现象称为频率牵引效应。 写出三能级和四能级系统的激光上能级阈值粒子数密度，假设总粒子数密度为n ，阈值反转粒子数密度为 n t. 三能级系统的上能级阈值粒子数密度22 t t n n n += ；四能级系统的上能级阈值粒子数密度2t t n n ≈。 产生多普勒加宽的物理机制是什么 多普勒加宽的物理机制是热运动的原子（分子）对所发出（或吸收）的辐射的多普勒频移。 均匀加宽介质和非均匀加宽介质中的增益饱和有什么不同分别对形成的激光振荡模式有何影响 均匀加宽介质：随光强的增加增益曲线会展宽。每个粒子对不同频率处的增益都有贡献，入射的强光不仅使自身的增益系数下降，也使其他频率的弱光增益系数下降。满足阀值条件的纵模 周炳琨激光原理第二章习题解答（完整版） 1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。 证明：设从镜M 1→M 2→M 1,初始坐标为??? ? ??θ00r ，往返一次后坐标变为???? ??θ11r =T ???? ??θ00r ,往返两次后坐标变为???? ??θ22r =T ?T ??? ? ??θ00r 而对称共焦腔，R 1=R 2=L 则A=1- 2R L 2=-1 B=2L ??? ? ??-2R L 1=0 C=-?????????? ??-+121R L 21R 2R 2=0 D=-??? ??????? ??-???? ? ?--211R L 21R L 21R L 2=-1 所以，T=??? ? ??--1001 故，???? ??θ22r =???? ??--1001???? ??--1001???? ??θ00r =??? ? ??θ00r 即，两次往返后自行闭合。 2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。 解：共轴球面腔的稳定性条件为0 01且L R R <-||21 3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。 解： 由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的 ?? ? ??--=n 11L L L C e ？ 由0
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