超弹材料本构模型实验方法的研究
黄友剑1， Kurt Miller2
（1 株洲时代新材，2 Axel Products）
摘要：有限元分析（FEA）所使用的材料本构模型并不能完全真实描述材料在任意工况下的应力-应变关系。为定义与实际应用相适的材料行为，需要建立合适的实验方法，以便选择合理的材料模型。因此，在设计实验时，与材料实际使用工况有关的信息，如应变率,,最大应变、应力松弛，循环加载和环境温度等因素都应在实验方案中加以考虑和体现，以便能准确地定义基于工程应用所需的材料本构模型。
关键词：有限元分析；本构模型；应力-应变关系
有限元分析（FEA）材料本构模型并不能完全真实描述材料在各种应力工况下的力学属性，绝大部分FEA本构模型仅能模拟材料在特定工况下特定的应力-应变关系。为此，本文将详细介绍为创建材料本构模型所需的各种力学实验，以及塑料、超弹材料在各种工况下的典型力学行为对FEA材料本构模型的影响。同时，通过理解材料的这些典型行为，我们就能设计出合适的材料实验，从而为某一特定的模拟工况提供合适的应力-应变关系。
1材料本构模型所需的各种力学实验
1.1常规力学实验
为准确模拟材料的真实行为，需要利用合理的实验数据来拟合材料的本构模型。当材料承受应力时，每一种本构模型仅能描述材料的某一特定行为[1]，因此，为创建材料模型函数，实验时，应将材料试样加载到已知（给定）的应变状态，并将实验提供的应力－应变数据在材料模型中进行拟合。
Fig 1 Elastic – plastic curve
Fig 2 Super stress-strain curve
对“硬”塑料来说，单向拉伸实验数据就已足够[2]，工程应力－应变曲线通常如图1所示。在实际应用中，根据使用需要可进行合理简化，线性强化模型和多线
性强化模型是在有限元应用中使用较多的一种简化本构模型；而对超弹材料来说，需要形如单向拉伸、平面剪切、双向拉伸等多向应变状态实验[3]，来充分定义其力学行为，典型的超弹材料的应力－应变曲线如图2所示。
1.2一次性失效实验
对于塑料和超弹材料的物理实验，大部分都是一次性失效实验（即实验一直进行直到破坏），就超弹材料来说，实验是按照ASTM D412标准进行，而对塑料来说，实验则通常是按照ASTM D638标准进行。
某种工程橡胶的一次性单拉失效实验，其典型的应力-应变曲线如图3所示。从图3可知，工程橡胶在应变不到250%就已拉断破坏。而其弹性区域，是在其应变小于100%的范围内。因此，这种工程橡胶承受的工程应变最好要小于100%。当然，如果要确定最大失效应变，则需要用这条一次性单拉失效实验的应力-应变曲线。
Fig 3 Invalidation experiment curve
1.3循环加载实验
某一超弹材料的循环加、卸载过程如图4[4]所示：超弹材料先拉伸到应变状态为10%，然后卸载到零应力，再拉伸到应变状态为10%，然后又卸载到零应力，如此进行了3次应变为10%的循环加、卸载实验，然
后在应变为20%条件下，往复加、卸载3次，接着在应变为30%的工况下加、卸载3次，实验依此进行，直到最大应变为100%。
Fig 4 Load and unload stable experiment curve 实验中，观察到2个很明显的现象，其一，循环拉伸试样到一特定的应变标准，其应力-应变曲线变柔软且曲线形状发生一次改变；其二，超弹材料每承受一个更大的应变状态，应力－应变曲线又一次变柔软，且曲线形状再次发生改变。
同时，当拉伸超弹材料试样第一次达到一个新的应变标准时，它的应力－应变曲线会落在一次性失效实验的应力－应变曲线上，因此一次性失效拉伸实验的应力应变曲线可认为是任意应变标准的一个最大应力边界。
从图4的循环加载实验数据中提取出稳定应变分别为10％、50％、100％时的拉伸实验数据，与一次性失效实验数据共同组成图5，由图5可知，由于发生了一定程度的塑性应变损失，因而每一条稳态应力－应变曲线都发生了一定程度的偏移
[5]，在材料模型中，如果要精确地模拟出材料的这种损伤行为，可以应用ABAQUS、MSC.MARC的损伤模块，利用图5所示的加、卸载实验数据来描述材料的这种行为。显然，循环加载和卸载时的最大应变导致了应力-应变数据发生改变，因而需要用超弹材料模型来拟合这类材料行为。
Fig 5 Difference of circle and single
experiment curve
基于此，需要判断我们所关心的问题，是材料初次加载和最大应力工况，还是特定应变范围内的稳定荷载工况，如果是前者，那么一次性失效实验数据对我们来说是合适的；否则，稳定工况下的应力-应变数据对我们建立材料的本构模型更有意义。
1.4 应力松弛实验
如果某一超弹材料被拉伸到某一特定的应变状态，然后维持这一应变状态不变，应力将随时间的延长而逐渐衰减，此效应称为应力松弛[6]，它存在于平均应变保持不变的条件。然而超弹材料本构模型并不能模拟这一特性，但ABAQUS、MARC可利用PRONEY公式对常应变工况下的时间-应力数据进行拟合，并在材料模型中将它作为一种粘弹单元来使用。
图6给出了一组时间-应力曲线图,图中每一条曲线都表示超弹材料被约束在某一特定的应变状态，并保持这一应变状态达2000秒之久，当然，在每一个特定应变下，第2000秒这一时刻都对应一应力值，如果把第2000秒时的应力值和与它对应的应变值在应力、应变坐标图上标识出来，就可创建出如图7所示的应力－应变松弛曲线，利用此曲线，我们能创建出超弹松弛本构模型。这和利用单向拉伸、双向拉伸、平面拉伸实验获得的3条应力－应变曲线,创建出超弹材料本构模型类似。因此，我们利用这组应力松弛数据，就能较精确地模拟出橡胶定位器、V型弹簧等这类大挠度产品的抗蠕变问题。
Fig 6 Time-stress relaxation curve
Fig 7 Stress-strain relaxation curve
1.5 卸载特性实验
从上图4可知，超弹材料拉伸时的应力-应变曲线明显比卸载时的应力-应变曲线要“坚硬”。如果弹性元件对最小应力工况很敏感，设计时就应考虑这一特性，例如，汽车门密封圈在正常工作时，由于密封尺寸发生改变，汽车门密封圈需要维持一定的接触压力，因而维持最小密封压力是设计者设计时首先要关心的问题。由于材料特性卸载时比在加载时“柔软”，因而在产品设计时，应给密封件一定的预压。
对工程塑料来说，材料在预定的应变范围按要求加、卸载，从而得到的力学实验数据是相当重要的，这是因为我们假定材料在加、卸载时是弹性的，材料在加、卸载时都具有相同的弹性模量，因此，我们需要判断出材料的弹性区域，为定义材料的弹性区域，简单而可行的方法是，卸载实验试片，分离出弹性和塑性应变，一个重复的弹性应变表示材料最大的弹性区域，虽然此时的模量已不是初始拉伸模量。
2实际使用工况对创建材料本构模型的影响
2.1 温度影响
温度对塑料和超弹材料力学性能的影响是强烈的。在汽车应用中尤为如此，汽车在工作时，温度变化可能要达到2000℃。面对一个如此大的温度变化，分析时并不是简单调整材料属性的问题。图8[1]是一个汽车阀门弹性元件在经受循环荷载作用时的应力－应变曲线，从图8可看出，温度在23℃时，材料加、卸载仍可按超弹材料来处理，但温度为-40℃时，材料发生了几乎不可恢复的局部塑性应变，此时已不能将它视为超弹材料。在不同温度范围内，材料属性发生了巨大变化，因此，在不同的温度范围，我们需要选用不同的材料模型。
Fig 8 Effect of temperature on circle loading property
2.2应变速率的影响
塑料和超弹材料的力学属性随加载速率的变化而变化[7]，图9是一种普通工程塑料在拉伸时的应力-应变曲线，据实验可知，当应变速率的改变量超过10的3次方
Fig 9 Effect of strain rate on stress-strain
curve
时，弹性模量对应变速率的变化反映的并不敏感，但应变速率对塑性屈服偏移和失效点位置变化的影响却很强烈。因此，根据应力-应变曲线建立材料的本构模型时，应考虑应变速率的影响。
2.3应变幅值的影响
弹性元件经常承受动态正弦载荷的作用，如：减震器、轴衬和密封体。动态载荷的响应特性是：高频导致高刚度[8]，然而，对大部分工程用弹性元件来说，平均应变幅效应和动态幅效应对弹性元件力学性能的影响会更大些[9]。
由图10可知，典型天然橡胶的贮能模量是频率和平均应变的函数,平均应变对动态模量的影响是巨大的，由图11可知，典型天然橡胶的贮能模量也是频率和动态应变的函数，动态应变对动态模量的影响也是巨大的[10]。由于材料的这一力学行为，如果平均应变效应和动态正弦幅值效应对贮能模量的影响忽略不计的话，基于频率和应变率效应的分析预测将无法实现，这是由于DMA(动态力学分析)实验是在小幅值应变且平均应变接近为零的工况下进行的缘故[11]。
Fig 10 Effect of stress amplitude on dynamic modulus
Fig 11 Effect of dynamicstress amplitude on dynamic modulus
3结论
综上所述，一般情况下，建立塑料的本构模型时，只需要单向拉伸的应力-应变数据；建立超弹性材料的本构模型时，需要单向拉伸、双向拉伸、和平面剪切的应力应变数据。但是，取什么状态下的这类应力-应变数据，还需根据材料的实际使用工况来决定。例如，我们是为了分析材料在第一次变形时的力学行为，则应使用第一次的应力-应变数据；是为了分析材料在工作状况下的力学行为，则需用稳态下的实验数据；需要了解材料在最小应力工况下的力学行为时，则需使用卸载工况下的应力-应变曲线；如果是为了分析材料的力学松弛行为，则需使用应力-应变松弛曲线。在考虑材料力学工况的同时，我们还应考虑到材料实际使用时的温度、应变速率、应变幅值等因素对材料模型的影响。
总之，虽然材料本构模型并不能全面描述材料在任意加载工况下的应力－应变关系，但是，我们却能够合理设计实验，创造适合的使用工况，从而获得相应的接近实际的材料分析本构模型。
参考文献：
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4Kurt M. Using Slow Cyclic Loadings to Creat Stress Strain Curves for Input into
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Element Analysis[J], Rubber Technology
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8Treloar L.R.G. 著，王梦蛟、王培国、薛广智译，橡胶弹性物理学[B]，科学
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9Morman K N. Jr, Kao B G, Nagtegaal, J
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Viscoelastic Elastomeric Structures Vibrating about Non-Linear Statically
Stressed Configurations[P], SAE Paper
811309, 1981
10Payne A R，Kraus G. Reinforcement of Elastomers[B], Interscience Publishers,
New York, 1965
11Kurt M., Measuring the Dynamic Properties of Elastomers for Analysis[C],
Axel Products Testing and Analysis
Report, Ann Arbor, MI, 2000
Study on experiment method of material model
Huang Youjian1 ,Liu Guojun1 ,Wang Jin1， Kurt Miller2（1 ZhuZhou Time New Material Technology Co.Ltd 2 Axel Products, https://www.doczj.com/doc/812716618.html,A）
Abstract: FEA material models do not entirely describe the stress-strain relationship of a material under every loading condition. To define material behavior pertinent to the application, rational test technique needs to be created so that a reasonable material model may be used. In designing test, such loading factor as strain rate, maximum strain, relaxation, cyclical loading and temperature are thought over, in order that we can well and truly define material models based on the needs of the engineering application.
Keywords:FEA, material model, stress-strain relationship
岩土类材料弹塑性力学模型及本构方程 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
岩土类材料的弹塑性力学模型及本构方程 摘要：本文主要结合岩土类材料的特性，开展研究其在受力变形过程中的弹性及塑性变形的特点，描述简化的力学模型特征及对应的适用条件，同时在分析研究其弹塑性力学模型的基础上，探究了关于岩土类介质材料的各种本构模型，如M-C、D-P、Cam、D-C、L-D及节理材料模型等，分析对应使用条件，特点及公式，从而推广到不同的材料本构模型的研究，为弹塑性理论更好的延伸发展做一定的参考性。 关键词：岩土类材料，弹塑性力学模型，本构方程 不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中，所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。 第一章岩土类材料 地质工程或采掘工程中的岩土、煤炭、土壤，结构工程中的混凝土、石料，以及工业陶瓷等，将这些材料统称为岩土材料。 岩土塑性力学与传统塑性力学的区别在于岩土类材料和金属材料具有不同的力学特性。岩土类材料是颗粒组成的多相体，而金属材料是人工形成的晶体材料。正是由于不同的材料特性决定了岩土类材料和金属材料的不同性质。归纳起来，岩土材料有3点基本特性：1.摩擦特性。2.多相特性。3.双强度特性。另外岩土还有其特殊的力学性质：1.岩土的压硬性，2.岩土材料的等压屈服特性与剪胀性，3.岩土材料的硬化与软化特性。4.土体的塑性变形依赖于应力路径。 对于岩土类等固体材料往往在受力变形的过程中，产生的弹性及塑性变形具备相应的特点，物体本身的结构以及所加外力的荷载、环境和温度等因素作用，常使得固体物体在变形过程中具备如下的特点。 固体材料弹性变形具有以下特点：(1)弹性变形是可逆的。物体在变形过程中，外力所做的功以能量（应变能)的形式贮存在物体内，当卸载时，弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复；(2)无论材料是处于单向应力状态，还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系；(3)对材料加载或卸载，其应力应变曲线路径相同。因此，应力与应变是一一对应的关系。 固体材料的塑性变形具有以下特点：(l)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功)；(2)在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的。因此，不能应用叠加原理。又因为加载与卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系，也即应力与相应的应变不能唯一地确定，而应当考虑到加载的路径(即加载历史)；(3)当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。 第二章弹塑性力学中常用的简化力学模型 对于不同的材料，不同的应用领域，可以采用不同的变形体模型。在确定力学模型时，要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应
4.5.2 混凝土和其它准脆性材料的塑性损伤模型 这部分介绍的是ABAQUS提供分析混凝土和其它准脆性材料的混凝土塑性损伤模型。ABAQUS 材料库中也包括分析混凝的其它模型如基于弥散裂纹方法的土本构模型。他们分别是在ABAQUS/Standard “An inelastic constitutive model for concrete,” Section 4.5.1, 中的弥散裂纹模型和在ABAQUS/Explicit, “A cracking model for concrete and other brittle materials,” Section 4.5.3中的脆性开裂模型。 混凝土塑性损伤模型主要是用来为分析混凝土结构在循环和动力荷载作用下的提供一个普遍分析模型。该模型也适用于其它准脆性材料如岩石、砂浆和陶瓷的分析；本节将以混凝土的力学行为来演示本模型的一些特点。在较低的围压下混凝土表现出脆性性质，主要的失效机制是拉力作用下的开裂失效和压力作用下的压碎。当围压足够大能够阻止裂纹开裂时脆性就不太明显了。这种情况下混凝土失效主要表现为微孔洞结构的聚集和坍塌，从而导致混凝土的宏观力学性质表现得像具有强化性质的延性材料那样。 本节介绍的塑性损伤模型并不能有效模拟混凝土在高围压作用下的力学行为。而只能模拟混凝土和其它脆性材料在与中等围压条件（围压通常小于单轴抗压强度的四分之一或五分之一）下不可逆损伤有关的一些特性。这些特性在宏观上表现如下： ?单拉和单压强度不同，单压强度是单拉强度的10倍甚至更多； ?受拉软化，而受压在软化前存在强化； ?在循环荷载(压)下存在刚度恢复； ?率敏感性，尤其是强度随应变率增加而有较大的提高。 概论 混凝土非粘性塑性损伤模型的基本要点介绍如下： 应变率分解 对率无关的模型附加假定应变率是可以如下分解的： 是总应变率，是应变率的弹性部分，是应变率的塑性部分。 应力应变关系 应力应变关系为下列弹性标量损伤关系： 其中是材料的初始（无损）刚度，是有损刚度，是刚度退化变量其值在0（无损）到1（完全失效）之间变化，与失效机制（开裂和压碎）相关的损伤导致了弹性刚度的退化。在标量损伤理论框架内，刚度退化是各向同性的，它可由单个标量d来描述。按照传统连续介质力学观点，有效应力可定义如下：
材料本构模型及编程-ABAQUS-UMAT 材料本构模型及编程实现：简介 1、什么时候用用户定义材料（User-defined material, UMAT）？ 很简单，当ABAQUS没有提供我们需要的材料模型时。所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对ABAQUS已经提供的模型心中有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。 2、好学吗？需要哪些基础知识？ 先看一下ABAQUS手册（ABAQUS Analysis User's Manual）里的一段话： Warning: The use of this option generally requires considerable expertise. The user is cautioned that the imple mentation of any realistic constitutive model requires extensive development and testing. Initial testing on a s ingle element model with prescribed traction loading is strongly recommended. 但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程（Constitutive equation）而已。当然，最基本的一些概念和知识还是要具备的，比如 应力(stress),应变（strain）及其分量；volumetric part和deviatoric part；模量（modulus）、泊松比(Poisson’s ratio)、拉美常数(Lame constant)；矩阵的加减乘除甚至求逆；还有一些高等数学知识如积分、微分等。 3、UMAT的基本任务？ 我们知道，有限元计算（增量方法）的基本问题是： 已知第n步的结果（应力，应变等），；然后给出一个应变增量, 计算新的应力。UMAT要完成这一计算，并要计算Jacobian矩阵DDSDDE(I,J) =。是应力增量矩阵（张量或许更合适），是应变增量矩阵。DDSDDE(I,J) 定义了第J个应变分量的微小变化对第I 个应力分量带来的变化。该矩阵只影响收敛速度，不影响计算结果的准确性（当然，不收敛自然得不到结果）。 4、怎样建立自己的材料模型？ 本构方程就是描述材料应力应变（增量）关系的数学公式，不是凭空想象出来的，而是根据实验结果作出的合理归纳。比如对弹性材料，实验发现应力和应变同步线性增长，所以用一个简单的数学公式描述。为了解释弹塑性材料的实验现象，又提出了一些弹塑性模型，并用数学公式表示出来。 对各向同性材料（Isotropic material）,经常采用的办法是先研究材料单向应力-应变规律（如单向拉伸、压缩试验），并用一数学公式加以描述，然后把讲该规律推广到各应力分量。这叫做“泛化“(generalization)。 5、一个完整的例子及解释 下面这个UMAT取自ABAQUS手册，是一个用于大变形下的弹塑性材料模型。希望我的注释能帮助初学者理解。需要了解J2理论。SUBROUTINE UMAT(STRESS,STATEV,DDSDDE,SSE,SPD,SCD,RPL,DDSDDT, 1 DRPLDE,DRPLDT,STRAN,DSTRAN,TIME,DTIME,TEMP,DTEMP,PREDEF,DPRED, 2 CMNAME,NDI,NSHR,NTENS,NSTATV,PROPS,NPROPS,COORDS,DROT, 3 PNEWDT,CELENT,DFGRD0,DFGRD1,NOEL,NPT,LAYER,KSPT,KSTEP,KINC) STRESS--应力矩阵，在增量步的开始，保存并作为已知量传入UMAT ；在增量步的结束应该保存更新的应力； STRAN--当前应变，已知。 DSTRAN—应变增量，已知。 STATEV--状态变量矩阵，用来保存用户自己定义的一些变量，如累计塑性应变，粘弹性应变等等。增量步开始时作为已知量传入，增量步结束应该更新； DDSDDE=。需要更新 DTIME—时间增量dt。已知。 NDI—正应力、应变个数,对三维问题、轴对称问题自然是3（11,22,33），平面问题是2(11,22)；已知。 NSHR —剪应力、应变个数，三维问题时3(12,13,23)，轴对称问题是1(12)；已知。
混凝土和其它准脆性材料的塑性损伤模型 这部分介绍的是ABAQUS提供分析混凝土和其它准脆性材料的混凝土塑性损伤模型。ABAQUS 材料库中也包括分析混凝的其它模型如基于弥散裂纹方法的土本构模型。他们分别是在ABAQUS/Standard “An inelastic constitutive model for concrete,” Section 4.5.1, 中的弥散裂纹模型和在ABAQUS/Explicit, “A cracking model for concrete and other brittle materials,” Section 4.5.3中的脆性开裂模型。 混凝土塑性损伤模型主要是用来为分析混凝土结构在循环和动力荷载作用下的提供一个普遍分析模型。该模型也适用于其它准脆性材料如岩石、砂浆和陶瓷的分析；本节将以混凝土的力学行为来演示本模型的一些特点。在较低的围压下混凝土表现出脆性性质，主要的失效机制是拉力作用下的开裂失效和压力作用下的压碎。当围压足够大能够阻止裂纹开裂时脆性就不太明显了。这种情况下混凝土失效主要表现为微孔洞结构的聚集和坍塌，从而导致混凝土的宏观力学性质表现得像具有强化性质的延性材料那样。 本节介绍的塑性损伤模型并不能有效模拟混凝土在高围压作用下的力学行为。而只能模拟混凝土和其它脆性材料在与中等围压条件（围压通常小于单轴抗压强度的四分之一或五分之一）下不可逆损伤有关的一些特性。这些特性在宏观上表现如下： ?单拉和单压强度不同，单压强度是单拉强度的10倍甚至更多； ?受拉软化，而受压在软化前存在强化； ?在循环荷载(压)下存在刚度恢复； ?率敏感性，尤其是强度随应变率增加而有较大的提高。 概论 混凝土非粘性塑性损伤模型的基本要点介绍如下： 应变率分解 对率无关的模型附加假定应变率是可以如下分解的： 是总应变率，是应变率的弹性部分，是应变率的塑性部分。 应力应变关系 应力应变关系为下列弹性标量损伤关系： 其中是材料的初始（无损）刚度，是有损刚度，是刚度退化变量其值在0（无损）到1（完全失效）之间变化，与失效机制（开裂和压碎）相关的损伤导致了弹性刚度的退化。在标量损伤理论框架内，刚度退化是各向同性的，它可由单个标量d来描述。按照传统连续介质力学观点，有效应力可定义如下：
常用弹塑性材料模型下表列出了ANSYS/LS-DYNA材料模型以及相应的LS-DYNA命令 B.2.1. Isotropic Elastic Example: High Carbon Steel MP,ex,1,210e9 ! Pa MP,nuxy,1,.29 ! No units MP,dens,1,7850 ! kg/m3
B.2.7. Bilinear Isotropic Plasticity Example: Nickel Alloy MP,ex,1,180e9 ! Pa MP,nuxy,1,.31 ! No units MP,dens,1,8490 ! kg/m3 TB,BISO,1 TBDA TA,1,900e6 ! Yield stress (Pa) TBDA TA,2,445e6 ! Tangent modulus (Pa) B.2.10. Bilinear Kinematic Plasticity Example: Titanium Alloy MP,ex,1,100e9 ! Pa MP,nuxy,1,.36 ! No units MP,dens,1,4650 ! kg/m3 TB,BKIN,1 TBDA TA,1,70e6 ! Yield stress (Pa) TBDA TA,2,112e6 ! Tangent modulus (Pa)
B.2.11. Plastic Kinematic Example: 1018 Steel MP,ex,1,200e9 ! Pa MP,nuxy,1,.27 ! No units MP,dens,1,7865 ! kg/m3 TB,PLAW,,,,1 TBDA TA,1,310e6 ! Yield stress (Pa) TBDA TA,2,763e6 ! Tangent modulus (Pa) TBDA TA,4,40.0 ! C (s-1) TBDA TA,5,5.0 ! P TBDA TA,6,.75 ! Failure strain
Abaqus 混凝土损伤塑性模型的参数标定 1. 塑性参数（Plasticity ） 1) 剪胀角（Dilation Angle ） = 30° 2) 流动势偏移量（Eccentricity ） 3) 双轴受压与单轴受压极限强度比 = 1.16 4) 不变量应力比 = 0.667 5) 粘滞系数（Visosity Parameter ） = 0.0005 2. 受压本构关系 应力-Yield Stress ：第一行应输入本构模型刚进入非弹性段非弹性应变为0时所对应的应力。 非弹性应变-Inelastic Strain （受拉时为开裂应变-Cracking Strain ）：根据应力按混凝土本构模型得出对应的应变值，并通过 , 和 ，得出非弹性应变。 3. 受压损伤因子（Damage Parameter ）计算 根据《Abaqus Analysis User's Manual (6.10)》 - 20.6.3 “Concrete damaged plasticity ”中公式： 假设非弹性应变 in c ε中塑性应变 pl c ε所占的比例为c β，通过转换可得损伤因子c d 的计算公式： () () 0 011in c c in c c c c E E d βεσβε-=+- 根据《ABAQUS 混凝土损伤塑性模型参数验证》规定，混凝土受压时c β的取值范围为0.35 ~ 0.7。
4. 受拉损伤因子（Damage Parameter ）计算 受拉损伤因子的计算与受压损伤因子的计算方法基本相同，只需将对应受压变量更换为受拉即可： () () 0011in t t in t t t t E E d βεσβε-=+- 而根据参考文献混凝土受拉时t β的取值范围为0.5 ~ 0.95。 5. 损伤恢复因子 受拉损伤恢复因子（Tension Recovery ）：缺省值0t w =。 受压损伤恢复因子（Compression Recovery ）：缺省值1c w =。
【最新整理，下载后即可编辑】 材料本构模型及编程-ABAQUS-UMAT 材料本构模型及编程实现：简介 1、什么时候用用户定义材料（User-defined material, UMAT）？ 很简单，当ABAQUS没有提供我们需要的材料模型时。所以，在决定自己定义一种新的材料模型之前，最好对ABAQUS已经提供的模型心中有数，并且尽量使用现有的模型，因为这些模型已经经过详细的验证，并被广泛接受。 2、好学吗？需要哪些基础知识？ 先看一下ABAQUS手册（ABAQUS Analysis User's Manual）里的一段话： Warning: The use of this option generally requires considerable experti se. The user is cautioned that the implementation of any realistic consti tutive model requires extensive development and testing. Initial testing on a single element model with prescribed traction loading is strongly r ecommended. 但这并不意味着非力学专业，或者力学基础知识不很丰富者就只能望洋兴叹，因为我们的任务不是开发一套完整的有限元软件，而只是提供一个描述材料力学性能的本构方程 （Constitutive equation）而已。当然，最基本的一些概念和知识 还是要具备的，比如 应力(stress),应变（strain）及其分量； volumetric part和deviatoric part；模量（modulus）、泊松比(Poisson’s ratio)、拉美常数(Lame constant)；矩阵的加减乘除甚至求逆；还有一些高等数学知识如积分、微分等。 3、UMAT的基本任务？ 我们知道，有限元计算（增量方法）的基本问题是： 已知第n步的结果（应力，应变等），；然后给出一个应变增量, 计算新的应力。 UMAT要完成这一计算，并要计算Jacobian 矩阵DDSDDE(I,J) =。是应力增量矩阵（张量或许更合适），是应变增量矩阵。DDSDDE(I,J) 定义了第J个应变分量的微小变化
第七章 粘弹塑性模型的基本概念 7 . 1 引言 为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。 弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。 理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图 7-1( a )）。其本构方程为虎克定律。一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为： E σε= （7.1.1） G τγ= （7.1.2） 式中E —— 弹性模量、 G ——剪切模量。 剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示： () 21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。 三维条件下本构方程可表示为下述形式： m K νσε= （7.1.4） 式中 K ——体积弹性模量。 （a ） （b ） 图7-1 理想弹性模型
体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示： () 312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为： σ?ε= （7.1.7） τηγ= （7.1.8） 式中 ?、η ——粘滞系数。 由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。 与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系： ()*21? ην=+ （7.1.9） 式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。 （a ） （b ） 图7-2 理想粘性模型 理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关， 即不具有体积粘性。因此，*ν应等于0.5 。于是式7.1.9成为： 3?η= （） 这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。 在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：
高等固体力学大作业 学号：SY1413102 姓名：刘冰河 学院：交通科学与工程学院
高温合金材料本构模型 一．概述 以上温度，高温合金于20世纪40年代问世，它指以铁、钴、镍为基体，能在600C 一定应力条件下适应不同环境长时间或短时间使用的金属材料，具有较高的强度、塑性，良好的抗氧化、抗热腐蚀性能，良好的热疲劳性能，断裂韧性，良好的组织稳定性和使用可靠性。其主要分为铁基高温合金、钴基高温合金和镍基高温合金[1, 2]。 本构关系广义上是指自然界作用与由该作用产生的效应两者之间的关系。为确定物体在外部因素作用下的响应，除必须知道反映质量守恒、动量平衡、动量矩平衡、能量守恒等自然界普遍规律的基本方程外，还须知道描述构成物体的物质属性所特有的本构方程，才能在数学上得到封闭的方程组，并在一定的初始条件和边界条件下把问题解决。因此，无论就物理或数学而言，刻画物质性质的本构关系是必不可少的。目前应用较多的本构模型主要包括弹塑性力学中的经典本构模型，如理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化力学模型和刚塑性力学模型。 然而塑性变形中应力-应变之间关系是非线性的，应变不仅与应力状态有关，而且和变形历史有关，因而研究者还提出增量理论和全量理论进行描述主要形成。研究者在对金属材料的研究中不断提出新的本构模型，主要形成了两类本构模型：经验型本构模型，如Johnson －Cook 模型、Rusinek-Klepaczko 模型等；物理型的本构模型，如Hoge－Mukherjee模型、Zerilli－Armstrong 模型、MTS 模型等[3-5]。 二．几种本构模型介绍 经典本构模型主要有理想弹塑性模型，线性强化模型，幂强化力学模型，以及刚塑性模型，如图一所示。 对于理想弹塑性模型来说, 在研究材料的应力应变关系时，分两个阶段。第一阶段为弹性变形，第二阶段为塑性变形。在塑性变形时，要考虑变形之前的弹性变形，而不考虑硬化的材料，也就是进入塑性状态后，应力不需要增加就可以产生塑性变形。材料屈服后不考虑其加工硬化对材料的影响的模型。 对于刚塑性模型来说,是在大变形条件下为了使分析问题简化而对变形体提出的一种假设。这种材料在屈服前处于刚体状态,一旦达到屈服，即进入塑性流动状态，流动应力不随应变量而变化。线性强化模型将材料的塑性段线性的考虑进去,而幂强化模型则是对线性强化模型的一个改进。
超弹材料本构模型实验方法的研究 黄友剑1， Kurt Miller2 （1 株洲时代新材，2 Axel Products） 摘要：有限元分析（FEA）所使用的材料本构模型并不能完全真实描述材料在任意工况下的应力-应变关系。为定义与实际应用相适的材料行为，需要建立合适的实验方法，以便选择合理的材料模型。因此，在设计实验时，与材料实际使用工况有关的信息，如应变率,,最大应变、应力松弛，循环加载和环境温度等因素都应在实验方案中加以考虑和体现，以便能准确地定义基于工程应用所需的材料本构模型。 关键词：有限元分析；本构模型；应力-应变关系 有限元分析（FEA）材料本构模型并不能完全真实描述材料在各种应力工况下的力学属性，绝大部分FEA本构模型仅能模拟材料在特定工况下特定的应力-应变关系。为此，本文将详细介绍为创建材料本构模型所需的各种力学实验，以及塑料、超弹材料在各种工况下的典型力学行为对FEA材料本构模型的影响。同时，通过理解材料的这些典型行为，我们就能设计出合适的材料实验，从而为某一特定的模拟工况提供合适的应力-应变关系。 1材料本构模型所需的各种力学实验 1.1常规力学实验 为准确模拟材料的真实行为，需要利用合理的实验数据来拟合材料的本构模型。当材料承受应力时，每一种本构模型仅能描述材料的某一特定行为[1]，因此，为创建材料模型函数，实验时，应将材料试样加载到已知（给定）的应变状态，并将实验提供的应力－应变数据在材料模型中进行拟合。 Fig 1 Elastic – plastic curve Fig 2 Super stress-strain curve 对“硬”塑料来说，单向拉伸实验数据就已足够[2]，工程应力－应变曲线通常如图1所示。在实际应用中，根据使用需要可进行合理简化，线性强化模型和多线
第16卷第4期 2004年12月弹道学报Jour nal of balli sti cs Vol .16No .4D ec .2004收稿日期=2003-12-09 %国家自然科学基金资助项目<50271075>及山西省自然科学基金资助项目<20011003> 金属材料在高应变率下的热粘塑性本构模型 程国强 李守新 中国科学院金属研究所材料科学国家实验室, 国际材料物理中心,沈阳110016 太原理工大学应用力学研究所,太原<> 030024摘要提出了一种考虑应变强化!应变率强化!热软化效应及材料损伤的本构模型"通 过在Johnson-Cook 热粘塑性本构关系中增加一个随应变增大应力减速小的软化项"反 映材料的损伤.该模型可以很好地预测材料的整个变形过程" 同时提供了一个确定软化项系数的简单方法. 关键词热粘塑性"本构模型"高应变率"损伤 中图分类号T J012.4 材料变形中能承受的最大流动应力及失效应变都是重要参数.金属材料的流动应力不仅依赖于应变,而且依赖于应变率和温度.随着应变及应变率的增加,流动应力增加,同时由于变形产生的热使温度升高,流动应力减小.事实上,随着应变值增大,材料内部的微结构会有显著变化并在夹杂物周围生成空洞使韧性损伤扩展.如果用均质化后的连续介质代替空 洞化的材料,为反映其总体膨胀和内部损伤就需要引入塑性可膨胀性及应变软化效应[1]. 为了描述金属材料在高应变率大应变下的变形行为,文献[2^4] 曾建议了许多种模型与本构关系,其中在冲击~侵彻~机加工等高应变率大应变过程中,经常选用Johnson-Cook
收稿日期:1999211219 基金项目:国家自然科学基金(59604001)和教育部博士点基金(96014513)资助项目 作者简介:杨成祥(1973-),男,安徽芜湖人,东北大学博士研究生;冯夏庭(1964-),男,安徽潜山人,东北大学教授,博士生导师; 王泳嘉(1933-),男,上海人,东北大学教授,博士生导师? 2000年10月第21卷第5期东北大学学报(自然科学版)Journal of Northeastern University (Natural Science )Oct.2000Vol 121,No.5 文章编号:100523026(2000)0520566203 材料本构模型的唯一性 杨成祥,冯夏庭,王泳嘉 (东北大学资源与土木工程学院,辽宁沈阳 110006) 摘 要:利用作者最新提出的材料本构模型智能识别的进化学习算法,结合实例分析,从一 个新的角度对该问题进行了阐述,证明了刻意追求学习效果的不合理性?指出根据实验数据建立材料本构模型的正确方法应该是使获得的本构模型不仅对学习样本而且对类似条件下的应力分析都能获得很好的效果?并说明了进化学习算法是解决问题的一个好方法,为材料本构模型的研究提供了一个新的有力工具?关 键 词:本构模型;唯一性;进化学习算法中图分类号:TB 124 文献标识码:A 采用有限单元法对岩土工程结构进行数值分 析时,关键问题就是选择恰当的地质材料本构模型[1]?因此,建立合理的岩土材料本构模型是岩石力学研究的一个重要方面?按传统数学建模方法,建立材料本构模型的基本途径是通过对实测数据的学习分析,在一定的条件下确定出一个数学表达式及一些必要的参数,从而获得材料的本构模型?然而对于复杂的工程材料,如地质材料、复合材料等,受客观上不可避免的数据有限问题的约束,通过不同的分析手段对同样一组数据的学习结果可以有许多个?这就提出了一个本构模型选择的唯一性问题?由于缺乏严整的理论判据,容易形成过于强调学习效果的选择方案,往往造成结果的不合理?本文利用作者最新提出的材料本构模型智能识别的进化学习算法,结合实例分析,从一个新的角度对该问题进行阐述,探索解决问题的新途径? 1 进化学习算法原理 进化学习算法是本文作者最新提出的一种全 新的建模方法,它吸收了多学科交叉,多种算法工具和处理技术相集合的先进思想,借鉴了遗传算法的快速全局寻优的特点[2],结合目前存在的一些先进的应力分析手段(如有限单元法),可以直接从实验室或现场较容易获得的少量宏观数据中 学到复杂的非线性应力应变关系?其基本原理是,对于复杂的非线性材料,在简单模型(如线弹性材料本构模型)的基础上根据材料在实验中反映出来的一些宏观特性及影响材料应力应变关系的一些重要因素添加一些任意结构的非线性项,可以充分考虑应力分量之间的非线性耦合对材料的非线性行为的影响,然后利用遗传算法的参数搜索和结构优化功能,与应力分析方法相协作,确定这些添加项的结构和所需的参数,从而最终确定材料的非线性本构模型?该方法克服了传统数学建模方法存在的局限性,在对复杂的非线性材料的建模中显现出较高的性能和较强的生命力? 2 实例分析 211 原始数据 复合材料不仅具有细观的非均质性和宏观的各向异性,还具有明显的物理非线性?由正交各向异性单层板层叠成的复合材料层合板在低应力水平时就表现出明显的非线性[3],是一类典型的非线性材料?本文就以这类材料为例?原始数据来源于美国斯坦福大学Lessard 和Chang 所做的实验[4]?实验如图1所示?实测的是层合板的面内荷载2位移数据?本次计算从中选择了两组实验数据:将对[(±45)6]S 板的实验数据作为学习样本,用于建立复合材料单层板的非线性本构模型;
第二部分弹塑性问题的有限元法 第四章弹塑性体的本构理论 第五章弹塑性体的有限元法 第四章弹塑性体的本构理论 4-1塑性力学的基本内容和地位 塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。 塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。 塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。 4-2关于材料性质和变形特性的假定 材料性质的假定 1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷； 2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应； 3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。 常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类： 硬化弹塑性材料 理想弹塑性材料
弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。 变形行为假定 1) 应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为 ()00=σf (1) 2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。 软化弹塑性材料 刚塑性材料
4.5.2 混凝土塑性损伤模型ABAQUS ABAQUS 材料库中也包括分析混凝的其它模型如基于弥散裂纹方法的土本构模型。他们分别是在ABAQUS/Standard “An inelastic constitutive model for concrete,” Section 4.5.1, 中的弥散裂纹模型和在ABAQUS/Explicit, “A cracking model for concrete and other brittle materials,” Section 4.5.3中的脆性开裂模型。 混凝土塑性损伤模型主要是用来为分析混凝土结构在循环和动力荷载作用下的提供一个普遍分析模型。该模型也适用于其它准脆性材料如岩石、砂浆和陶瓷的分析；本节将以混凝土的力学行为来演示本模型的一些特点。在较低的围压下混凝土表现出脆性性质，主要的失效机制是拉力作用下的开裂失效和压力作用下的压碎。当围压足够大能够阻止裂纹开裂时脆性就不太明显了。这种情况下混凝土失效主要表现为微孔洞结构的聚集和坍塌，从而导致混凝土的宏观力学性质表现得像具有强化性质的延性材料那样。 本节介绍的塑性损伤模型并不能有效模拟混凝土在高围压作用下的力学行为。而只能模拟混凝土和其它脆性材料在与中等围压条件（围压通常小于单轴抗压强度的四分之一或五分之一）下不可逆损伤有关的一些特性。这些特性在宏观上表现如下： ?单拉和单压强度不同，单压强度是单拉强度的10倍甚至更多； ?受拉软化，而受压在软化前存在强化； ?在循环荷载(压)下存在刚度恢复； ?率敏感性，尤其是强度随应变率增加而有较大的提高。 概论 混凝土非粘性塑性损伤模型的基本要点介绍如下： 应变率分解 对率无关的模型附加假定应变率是可以如下分解的： 是总应变率，是应变率的弹性部分，是应变率的塑性部分。 应力应变关系 应力应变关系为下列弹性标量损伤关系： 其中是材料的初始（无损）刚度，是有损刚度，是刚度退化变量其值在0（无损）到1（完全失效）之间变化，与失效机制（开裂和压碎）相关的损伤导致了弹性刚度的退化。在标量损伤理论框架内，刚度退化是各向同性的，它可由单个标量d来描述。按照传统连续介质力学观点，有效应力可定义如下： Cauchy应力通过标量退化变量（d）转化为有效应力
土的弹塑性模型 近年来，根据弹塑性理论建立的土的弹塑性模型发展很快，各国学者提出的弹塑性本构模型很多。下面几节分别介绍剑桥模型，修正剑桥模型，Lade-Duncan 模型，以及清华模型的基本概念。一．剑桥模型 英国剑桥大学Roscoc 和他的同事（1958~1963）在正常固结粘土和超固结粘土试样的排水和不排水三轴试验的基础上，发展了Rendulic （1937）提出的饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念，提出完全状态边界面的思想。他们假定土体是加工硬化材料，服从相关联流动规则，根据能量方程，建立剑桥模型。剑桥模型从理论上阐明了土体弹塑性的变形特性，标志着土的本构理论发展新阶段的开始。 1.临界状态线和Roscoe 面 各向等压固结过程中，孔隙比e 或比容()1e υυ=+与有效应力的关系可用下式表示：ln N p υλ' =-（1） 式中N ——当 1.0p '=时的比容。 因此 exp N p υλ-?? '= ? ?? （2）
（a）,p q ''平面 （b）,ln p υ'平面 图1临界状态线 正常固结粘土排水和不排水三轴试验表明：它们有条共同的破坏轨迹，与排水条件无关。破坏轨迹在,p q ''平面上是一条过原点的直线，在,ln p υ'平面上也是直线，目与正常固结线平行，分别如图（a）和（b〕所示。破坏轨迹线可用下式表示： cs cs q Mp '=（3）ln cs cs p υλ'=Γ-（4） 式中CS ——表示临界状态；
M——,p q''平面上临界状态线斜率； p'=时土体的比容； Γ—— 1.0 cs υ'平面上临界状态线斜率。 λ——,ln p 一旦土体的应力路径到达这条线，土体就会发生塑性流动。这时土体被认为处于临界状态，破坏轨迹被称为临界状态线。临界状态线在,, ''空间为一条空间曲线，如下图2所示。 p qυ 图2,, ''空间中的临界状态线 p qυ Rendulic（1936）分析了许多三轴试验的结果，首先提出饱和粘土有效应力和孔隙比成唯一关系的概念。Henkel（1960）把饱和粘土的固结排水三轴试验得到的等含水量线同固结不排水三轴试验得到的应力路径（也是等含水量线）画在起，发现其形状是一致的，如图4所示。等含水量线也就是等比容线。这样的图称为Rendulic图。由Rendulic有效应力和孔隙比关系可知，饱和粘土的有效应力与孔隙比之间存在唯一关系。也就是说，对于所有的正常固结排水和不排水三轴试验来说，应力和比容之间有唯一的关系，与排水条件无关。
第十七章材料本构关系 基本要求： 1． 掌握连续、均质、各向同性固体金属的塑性本构关系； 2． 了解金属粉末体和粘性材料的本构关系的特点。 第一节 弹性应力应变关系 单向应力状态下线弹性阶段的应力应变关系服从虎克定律。将其推广到一般应力状态下的各向同性材料，就是广义虎克定律，即 式中，E 是弹性模量（MPa ）；ν 是泊松比；G 是剪切模量（MPa ）。 三个弹性常数E 、ν 、G 之间有如下关系 将式（17-1 ）的ε x 、ε y 、ε z 相加整理后得 即 上式表明，弹性变形时其单位体积变化率（θ=ε x +ε y +ε z = 3ε m ） 与平均应力σ m 成正比，说明应力球张量使物体产生了弹性体积改变。 将式（17-1） εx 、εy 、εz 分别减去εm ，如
同理得 ，因此应变偏量与应力偏量之间的关系，可写成如下形式 z 简记为 上式表示应变偏张量与应力偏张量成正比，表明物体形状的改变只是由应力偏张量引起的。由式（17-2）和式（17-3），广义虎克定律可写成张量形式 广义虎克定律还可以写成比例及差比的形式 及上式表明，应变莫尔圆与应力莫尔圆几何相似，且成正比。由以上分析可知，弹性应力应变关系有如下特点：1）应力与应变成线性关系。2）弹性变形是可逆的，应力应变关系是单值对应的。3）弹性变形时，应力球张量使物体产生体积变化，泊松比ν< 5.0 。4）应力主轴与应变主轴重合。 第二节塑性应力应变关系 当质点应力超过屈服极限进入塑性状态时，应力 应变关系一般不能一一对应，而是与加载路线有关。 由于加载路线不同，同一种应力状态可以对应不同的 应变状态，同一应变状态，也可以对应不同的应力状 态，而且应力与应变主轴不一定重合。 根据以上的分析，塑性应力与应变关系有如下特 点：
常用弹塑性材料模型 7.2.1.1各向同性弹性模型各向同性弹性模型。使用MP命令输入所需参数： MP，DENS—密度 MP，EX—弹性模量 MP，NUXY—泊松比 此部分例题参看B.2.1，Isotropic Elastic Example:High Carbon Steel。 B.2.1. Isotropic Elastic Example: High Carbon Steel MP,ex,1,210e9 ! Pa MP,nuxy,1,.29 ! No units MP,dens,1,7850 ! kg/m3 7.2.3.1 双线性各向同性模型 使用两种斜率（弹性和塑性）来表示材料应力应变行为的经典双线性各向同性硬化模型（与应变率无关）。仅可在一个温度条件下定义应力应变特性。（也有温度相关的本构模型；参看Temperature Dependent Bilinear Isotropic Model）。用MP命令输入弹性模量（Exx），泊松比（NUXY）和密度（DENS），程序用EX和NUXY值计算体积模量（K）。用TB和TBDATA 命令的1和2项输入屈服强度和切线模量： TB，BISO TBDATA，1，（屈服应力） TBDATA，2，（切线模量） 例题参看B.2.7,Bilinear Isotropic Plasticity Example：Nickel Alloy。 B.2.7. Bilinear Isotropic Plasticity Example: Nickel Alloy MP,ex,1,180e9 ! Pa MP,nuxy,1,.31 ! No units MP,dens,1,8490 ! kg/m3 TB,BISO,1 TBDA TA,1,900e6 ! Yield stress (Pa) TBDA TA,2,445e6 ! Tangent modulus (Pa) 7.2.3.5双线性随动模型 （与应变率无关）经典的双线性随动硬化模型，用两个斜率（弹性和塑性）来表示材料的应
常用弹塑性材料模型 MP,ex,1,210e9! Pa MP,nuxy,1,.29! No units MP,dens,1,7850! kg/m3 7.2.3.1 双线性各向同性模型 使用两种斜率（弹性和塑性）来表示材料应力应变行为的经典双线性各向同性硬化模型（与应变率无关）。仅可在一个温度条件下定义应力应变特性。（也有温度相关的本构模型；参看Temperature
Dependent Bilinear Isotropic Model）。用MP命令输入弹性模量（Exx），泊松比（NUXY）和密度（DENS），程序用EX和NUXY值计算体积模量（K）。用TB和TBDATA命令的1和2项输入屈服强度和切线模量： TB，BISO TBDATA，1，（屈服应力） TBDATA，2，（切线模量） 例题参看B.2.7,Bilinear Isotropic Plasticity Example：Nickel Alloy。 B.2.7. Bilinear Isotropic Plasticity Example: Nickel Alloy MP,ex,1,180e9! Pa MP,nuxy,1,.31! No units MP,dens,1,8490! kg/m3 TB,BISO,1 TBDATA,1,900e6! Yield stress (Pa) TBDATA,2,445e6! Tangent modulus (Pa) 7.2.3.5双线性随动模型 （与应变率无关）经典的双线性随动硬化模型，用两个斜率（弹性和塑性）来表示材料的应力应变特性。用MP命令输入弹性模量（Exx），密度（DENS）和泊松比（NUXY）。可以用TB，BKIN和TBDATA命令中的1-2项输入屈服强度和切线模量： TB，BKIN TBDATA，1，（屈服应力） TBDATA，2，（切线模量） 例题参看B.2.10，Bilinear Kinematic Plasticity Example ：Titanium Alloy。 B.2.10. Bilinear Kinematic Plasticity Example: Titanium Alloy MP,ex,1,100e9! Pa MP,nuxy,1,.36! No units MP,dens,1,4650! kg/m3 TB,BKIN,1 TBDATA,1,70e6! Yield stress (Pa) TBDATA,2,112e6! Tangent modulus (Pa) 7.2.3.6塑性随动模型