实 验 报 告
一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象
二．实验目的：
理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。
三．实验内容：
在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数25()1f x x =+ 进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。 四． 实验基础知识及原理：
1）拉格朗日插值函数定义:
对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点：
其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的x j 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为：
其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为：
[3] 拉格朗日基本多项式的特点是在 上取值为1，在其它的点 上取值
为0。
2）龙格现象：
在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。但是在有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。
3）matlab:
MATLAB 是矩阵实验室（Matrix Laboratory ）的简称，是美国MathWorks 公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB 和Simulink 两大部分。该实验中可利用matlab 的绘图功能将拉格朗日函数跟原函数显示出来，通过对比得出实验结论。
五. 具体实验过程
1. 用matlab的editor将老师提供的拉格朗日插值的调用函数编辑为一个m文件
lagrange.m
2.在脚本窗口中输入以下命令:
执行上面的命令可以得到输出的曲线如下：
在以下图中可以看到相应变量的数据值：
通过龙格现象可知，并不是插值多项式的次数越高（即插值节点越多）精度就越高，在这个实验中插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真，因此，实际应用时，我们一般只用一次、二次最多是三次插值多项式，若想提高插值精度，我们可以采用分段插值。
七. 实验心得:
数值分析实验报告
数值分析实验报告 姓名：张献鹏 学号：173511038 专业：冶金工程 班级：重冶二班
目录 1拉格朗日插值 (1) 1.1问题背景 (1) 1.2数学模型 (1) 1.3计算方法 (1) 1.4数值分析 (2) 2复化辛普森求积公式 (2) 2.1问题背景 (2) 2.2数学模型 (3) 2.3计算方法 (3) 2.4数值分析 (5) 3矩阵的LU分解 (6) 3.1问题背景 (6) 3.2数学模型 (6) 3.2.1理论基础 (6) 3.2.2实例 (7) 3.3计算方法 (7) 3.4小组元的误差 (8) 4二分法求方程的根 (9) 4.1问题背景 (9) 4.2数学模型 (9) 4.3计算方法 (9) 4.4二分法的收敛性 (11) 5雅可比迭代求解方程组 (11) 5.1问题背景 (11) 5.2数学模型 (11) 5.2.1理论基础 (11) 5.2.2实例 (12)
5.3计算方法 (12) 5.4收敛性分析 (13) 6Romberg求积法 (14) 6.1问题背景 (14) 6.2数学模型： (14) 6.2.1理论基础 (14) 6.2.2实例 (14) 6.3计算方法 (15) 6.4误差分析 (16) 7幂法 (16) 7.1问题背景 (16) 7.2数学模型 (16) 7.2.1理论基础 (16) 7.2.2实例 (17) 7.3计算方法 (17) 7.4误差分析 (18) 8改进欧拉法 (18) 8.1问题背景 (18) 8.2数学模型 (19) 8.2.1理论基础 (19) 8.2.2实例 (19) 8.3数学模型 (19) 8.4误差分析 (21)
数值分析实验报告三 插值法（2学时） 一实验目的 1．掌握不等距节点下的牛顿插值公式以及拉格朗日插值公式。二实验内容 1．已知函数表： 用牛顿插值公式求) (y的近似值。 102 2. 已知函数表： 用拉格朗日插值公式计算01 x以及所对应的近似值。 =y .5 4.1= 三实验步骤（算法）与结果 1．不等距节点下的牛顿插值公式 Ⅰ.按差商表计算n阶差商
12111[,,,][,,,] [,,,]i i i n i i i n i i i n i n i f x x x f x x x f x x x x x +++++-+++-= - 其中 Ⅱ.按以下公式，带入x 值 00010120101101()() ()[,] ()()[,,]()()()[,,] n n f x f x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x -=+-+--++--- Ⅲ.得出结果()f x 程序代码： #include"stdio.h" #include"math.h" int main() { int a,i,j; printf("输入x 系数的个数："); scanf("%d",&a); float d,e=0,c; float x[a]; float y[a-1][a]; printf("输入x 的系数："); for(i=0;i 汕 头 大 学 实 验 报 告 学院: 工学院系: 计算机系专业: 计算机科学与技术年级:2010 姓名: 林金正学号:2010101032完成实验时间: 5月24日 一．实验名称：拉格朗日插值的龙格现象 二．实验目的： 通过matlab 处理,观察拉格朗日插值的龙格现象. 三．实验内容： （1）学习matlab 的使用 （2）以实验的方式，理解高阶插值的病态性，观察拉格朗日插值的龙格现象。 四．实验时间、地点，设备： 实验时间：5月24日 实验地点：宿舍 实验设备：笔记本电脑 五,实验任务 在区间[－5，5]上取节点数n=11，等距离h=1的节点为插值点，对于函数2 5()1f x x =+进行拉格朗日插值，把f(x)与插值多项式的曲线花在同一张图上。 六.实验过程 拉格朗日插值函数定义: 对某个多项式函数，已知有给定的k + 1个取值点： 其中对应著自变数的位置，而对应著函数在这个位置的取值。 假设任意两个不同的xj 都互不相同，那麼应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为： 其中每个为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为： [3] 拉格朗日基本多项式 的特点是在上取值为1，在其它的点上取值为0。 1.使用matlab,新建function.m 文件,使用老师所给代码,构建拉格朗日函数. %lagrange.m function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0); m=length(x); fori=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j~=k L=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y; 程序解释: (x0,y0):已知点坐标 x:所求点的横坐标, y:由(x0,y0)所产生的插值函数,以x 为参数,所的到的值 2.再一次新建function.m 文件. 构建自定义函数:25()1f x x = + %f.m function y = f(x) y = 5/(1+x*x); end 3.在脚本窗口中输入: >>a = [-10:0.2:10] >>for I = 1:length(a) b(i) = f(a(i)) end ;%画出原函数(a,b) >>c = [-5:1:5] >>for i = 1:length( c) d(i) = f(c(i)) 实验名称： 实验一拉格朗日插值 1引言 我们在生产生活中常常会遇到这样的问题： 某个实际问题中，函数f(x)在区间［a,b ］上存在 且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然，根据 这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式，但结构 复杂，使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点(或函数表)来构造某个简单函数 P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、 但却很常用的方法。它不 仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。 2实验目的和要求 运用Matlab 编写三个.m 文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整函数表，并利用 计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉 格朗日插值计算 f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。已知函数表如下： 3算法原理与流程图 (1)原理 设函数y=在插值区间［a,b ］上连续，且在n+1个不同的插值节点a^X o ,x 1,…,x wb 上分别取 值 y o ,y 1,…,y n 。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类 ①中，求一简单函数P(x)， 满足插值条 件P(X i )=y i (i=0,1,…”n)而在其他点x I 上，作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的 方法称为插值法。在本实验中，采用拉格朗日插值法。 ①分段低次插值 当给定了 n+1个点X 0VXK … 实验报告 实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换实验室数学实验室 所属课程名称数值逼近 实验类型算法设计 实验日期 班级 学号 姓名 成绩 512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1 并得到Figure，图像如下： 实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10 在一个figure中）。要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如a n x n+a n-1x n-1+…多项式。 在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下： function Pn=Legendre(n,x) syms x; if n==0 Pn=1; else if n==1 Pn=x; else Pn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n); end x=[-1:0.1:1]; A=sym2poly(Pn); yn=polyval(A,x); plot (x,yn,'-o'); hold on end 在command Windows中输入命令：Legendre（10），得出的结果为： Legendre(10) ans = (46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256 并得到Figure，图像如下： 实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。 在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下： function [C,D]=lagr1(X,Y) n=length(X); D=zeros(n,n); D(:,1)=Y'; for j=2:n for k=j:n D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1)); end end C=D(n,n); for k=(n-1):-1:1 实验 一 .拉格朗日插值法C 语言的实现 1.实验目的： 进一步熟悉拉格朗日插值法。 掌握编程语言字符处理程序的设计和调试技术。 2.实验要求： 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标 。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值 。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X 坐标； （3）分别输入已知点的Y 坐标； （4）通过调用函数lagrange 函数，来求某点所对应的函数值。 拉格朗日插值多项式如下： 0L ()()0,1,n n j k k j j k x y l x y j n ====∑…… 其中00()()0,1,,()k k x x l x k n x x -= =-k-1k+1n k k-1k k+1k n ……(x-x )(x-x )?…(x-x )…………(x -x )(x -x )?…(x -x ) 程序流程图： ↓ 程序如下： #include 实验二插值法 1、实验目的： 1、掌握直接利用拉格郎日插值多项式计算函数在已知点的函数值；观察拉格郎日插值的龙格现象。 2、了解Hermite插值法、三次样条插值法原理，结合计算公式，确定函数值。 2、实验要求: 1)认真分析题目的条件和要求，复习相关的理论知识，选择适当的解决方案和算法； 2)编写上机实验程序，作好上机前的准备工作； 3)上机调试程序，并试算各种方案，记录计算的结果（包括必要的中间结果）； 4)分析和解释计算结果； 5)按照要求书写实验报告； 3、实验内容： 1) 用拉格郎日插值公式确定函数值；对函数f(x)进行拉格郎日插值，并对f(x)与插值多项式的曲线作比较。 已知函数表：（,）、（,）、（,）、（,）用三次拉格朗日插值多项式求x=时函数近似值。 2) 求满足插值条件的插值多项式及余项 1) 4、题目：插值法 5、原理： 拉格郎日插值原理： n次拉格朗日插值多项式为：L n (x)=y l (x)+y 1 l 1 (x)+y 2 l 2 (x)+…+y n l n (x) n=1时，称为线性插值， L 1(x)=y (x-x 1 )/(x -x 1 )+y 1 (x-x )/(x 1 -x )=y +(y 1 -x )(x-x )/(x 1 -x ) n=2时，称为二次插值或抛物线插值， L 2(x)=y (x-x 1 )(x-x 2 )/(x -x 1 )/(x -x 2 )+y 1 (x-x )(x-x 2 )/(x 1 -x )/(x 1 -x 2 )+y 2 (x -x 0)(x-x 1 )/(x 2 -x )/(x 2 -x 1 ) n=i时， Li= （X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n)（X-X0）……(X-X i-1)(x-x i+1) ……(x-x n) 6、设计思想： 拉格朗日插值法是根据 n + 1个点x 0, x 1 , (x) n (x < x 1 < (x) n )的函数值f (x ), f (x 1) , ... , f (x n )推出n次多項式p(x)，然后n次多項式p (x)求出任意的 点x对应的函数值f (x)的算法。 7、对应程序： 1 ) 三次拉格朗日插值多项式求x=时函数近似值#include"" #define n 5 void main() { int i,j; float x[n],y[n]; float x1; float a=1; 课题一：拉格朗日插值法 1.实验目的 1．学习和掌握拉格朗日插值多项式。 2.运用拉格朗日插值多项式进行计算。 2.实验过程 作出插值点（1.00，0.00），（-1.00，-3.00），（2.00，4.00）二、算法步骤 已知：某些点的坐标以及点数。 输入：条件点数以及这些点的坐标。 输出：根据给定的点求出其对应的拉格朗日插值多项式的值。 3.程序流程： （1）输入已知点的个数； （2）分别输入已知点的X坐标； （3）分别输入已知点的Y坐标； 程序如下： #include 插值算法*/ { int i,j; float *a,yy=0.0; /*a作为临时变量，记录拉格朗日插值多项*/ a=(float*)malloc(n*sizeof(float)); for(i=0;i<=n-1;i++) { a[i]=y[i]; for(j=0;j<=n-1;j++) if(j!=i) a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]); yy+=a[i]; } free(a); return yy; } int main() { int i; int n; float x[20],y[20],xx,yy; printf("Input n:"); scanf("%d",&n); if(n<=0) { printf("Error! The value of n must in (0,20)."); getch();return 1; } for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("x[%d]:",i); scanf("%f",&x[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("y[%d]:",i);scanf("%f",&y[i]); } printf("\n"); printf("Input xx:"); scanf("%f",&xx); yy=lagrange(x,y,xx,n); printf("x=%f,y=%f\n",xx,yy); getch(); } 举例如下：已知当x=1，-1,2时f(x)=0，-3,4，求f(1.5)的值。 数值分析实验报告 实验名称：观察龙格（Runge）现象实验 班级：12级信息与计算科学（1）班 姓名： 学号：33 16 17 59 实验日期： 2014.10.11 周次： 6 实验地点： A14-504 多种插值对比 function y=fun(x); y=5./(1+x.^2); end hours=-5:5; h=-5:0.1:5; temps=fun(hours); t1=interp1(hours,temps,h,'spline'); %(?±?óê?3?êy?Y??ê?oü?àμ?) t2=interp1(hours,temps,h, 'nearest'); t3=interp1(hours,temps,h, 'linear'); t4=interp1(hours,temps,h, 'cubic'); subplot(2,2,1); plot(hours,temps, ' bo',h,t1, 'r'); title('spline '); %×÷í? subplot(2,2,2); plot(hours,temps, 'bo',h,t2, 'r'); title(' nearest'); subplot(2,2,3); plot(hours,temps, 'bo',h,t3, 'r'); title('linear'); subplot(2,2,4); plot(hours,temps, 'bo',h,t4, 'r', h,t1, 'g'); title('cubic-spline'); -5 05 spline -5 05 nearest -5 05 linear -5 05 cubic-spline 多项式插值法和拉格朗日插值 教案一多项式插值法和拉格朗日插值 基本内容提要 1 多项式插值法的基本概念 2 插值多项式的存在性与唯一性分析 3 拉格朗日插值多 项式的构造及截断误差 4 截断误差的实用估计式 5 逐次线性插值法教学目的和要求 1 熟练掌握多项式插值法的基本概念 2 理解插值多项式的存在性与唯一性 3 掌握拉 格朗日插值法 4 掌握截断误差的估计方法 5 理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法 6 掌握运用拉格朗 日插值法处理问题的基本过程教学重点 1 拉格朗日插值基函数及拉格朗日插值多项式的构造 2 拉格朗日插值多项式的截断 误差分析 3 逐次线性插值法的基本思想教学难点 1 插值多项式存在唯一性条件的讨论分析 2 插值误差的分析与估计 3 Aitken逐次线性插值法的计算过程课程类型新知识理论课教学方法 结合提问，以讲授法为主教学过程 问题引入 实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数 的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的 有效工具之一。 §2.1 多项式插值 2.1.1 基本概念 假设f(x)是定义在区间[a,b]上的未知或复杂函数，但已知该函数在点a≤x0 P(xi)=yi,i=0,1,2,L,n,即在给定点xi处，P(x)与f(x)是相吻合的。 (2.1) 把P(x)称为f(x)的插值多项式（函通常把上述x0 数）， f(x)称为被插函数。[a,b]称为插值区间，条件（2.1）称为插值条件，并把 求P(x)的过程称为插值法。 二．主要方、步骤： 1.运用FORTRAN编制原函数，拉格朗日插值和线性插值程序； 2.将数据运用grapher将实验数据绘制成图. 三．程序代码： !龙格现象/高次插值的病态性质 PROGRAM LONGERend parameter(n=10) real(8) y(0:20),x(0:20),x1(0:20),y1(0:20),Ih(0:20) !计算f(x) open(2,file='y.doc') write(2,"('x',30x,'f(x)')") do i=0,n x(i)=-5.0+10*i/n y(i)=1.0/(1+x(i)**2) write(2,*) x(i), y(i) end do !计算Ln(x),拉格朗日插值程序 OPEN(2,file='y1.doc') write(2,"('x1',30x,'Ln(x)')") do i=0,n-1 x1(i)=(x(i)+x(i+1))/2 y1(i)=0.0 do j=0,n !计算Wn+1(x),W'n+1(x) w=1.0 wp=1.0 do k=0,n w=w*(x1(i)-x(k)) if(k/=j) then wp=wp*(x(j)-x(k)) end if end do y1(i)=y1(i)+y(j)*w/wp/(x1(i)-x(j)) end do write(2,*) x1(i),y1(i) end do !分段线性插值程序 open(2,file='Ih.doc') write(2,"('x1',30x,'Ih')") do k=0,n-1 Ih(k)=(x1(k)-x(k+1))/(x(k)-x(k+1))*y(k)+(x1(k)-x(k))/(x(k+1)-x(k))*y( k+1) write(2,*) x1(k),Ih(k) end do print*,'数据已写入指定文件' 计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数，返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下： 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n]（double*x） 存放n个节点的值 doubley[n]（double*y） 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值 #include 基于MATLAB数值分析实验报告 班级：072115 姓名：李凯 学号：20111003943 实验二：矩阵与向量运算 实验目的：在MATLAB里，会对矩阵与向量进行加、减、数乘、求逆及矩阵特征值运算，以及矩阵的LU分解。 设A是一个n×n方阵，X是一个n维向量，乘积Y=AX可以看作是n维空间变换。如果能够找到一个标量λ，使得存在一个非零向量X，满足：AX=λX （3.1）则可以认为线性变换T（X）=AX将X映射为λX，此时，称X 是对应于特征值λ的特征向量。改写式（3.1）可以得到线性方程组的标准形式：（A-λI）X=0 （3.2）式（3.2）表示矩阵（A-λI）和非零向量X的乘积是零向量，式（3.2）有非零解的充分必要条件是矩阵（A-λI）是奇异的，即：det(A-λI)=0 该行列式可以表示为如下形式： a11–λa12 (1) a21 a22 –λ…a2n =0 (3.3) ………… A n1 a n2 …a nn 将式（3.3）中的行列式展开后，可以得到一个n阶多项式，称为特征多项式： f(λ)=det(A-λI)=(-1)n(λn+c1λn-1+c2λn-2+…+c n-1λ+c n) (3.4) n阶多项式一共有n个根（可以有重根），将每个根λ带入式（3.2），可以得到一个非零解向量。 习题：求下列矩阵的特征多项式的系数和特征值λj： 3 -1 0 A= -1 2 -1 0-1 3 解：在MATLAB中输入命令： A=【3 -1 0；-1 2 -1；0 -1 3】； c=poly(A) roots(c) 得到： 实验四：Lagrange插值多项式 实验目的：理解Lagrange插值多项式的基本概念，熟悉Lagrange插值多项式的公式源代码，并能根据所给条件求出Lagrange插值多项式，理解龙格现象。 %功能：对一组数据做Lagrange插值 %调用格式：yi=Lagran_(x,y,xi) %x,y：数组形式的数据表 %xi：待计算y值的横坐标数组 %yi：用Lagrange还擦之算出y值数组 function fi=Lagran_（x,f,xi） fi=zeros(size(xi)); np1=length(f); for i=1:np1 z=ones(size(xi)); for j=i:np1 if i~=j,z=z.*(xi-x(j))/(x(i)-x(j));end end fi=fi+z*f(i); end return 习题：已知4对数据（1.6，3.3），（2.7，1.22），（3.9，5.61），（5.6，2.94）。写出这四个数据点的Lagrange插值公式，并 课程名称：___计算方法____________指导老师：___程晓良________成绩：__________________ 实验名称：___观察龙格现象________________实验类型：________________同组学生姓名：__________ 一、实验目的和要求（必填）二、实验内容和原理（必填） 三、主要仪器设备（必填）四、操作方法和实验步骤 五、实验数据记录和处理六、实验结果与分析（必填） 七、讨论、心得 一、问题描述 在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，这样，利用多项式就可以计算相应的函数值。例如，在事先不知道某一函数的具体形式的情况下，只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系，但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值，并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样，利用已经测的数据，应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f（x）。应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。 例外发生了：龙格在研究多项式插值的时候，发现有的情况下，并非取节点（日期数）越多多项式就越精确。著名的例子是f（x）=1/(1+25x^2).它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动，造成较大的误差。 二、相关公式 三、MATLAB程序 一、取等距节点，n=5,10,15,20 for n = 5:5:20 subplot(2,2,n/5) syms x; f = 1/(1+25*x^2); x1=sym(zeros(n+1)); W=sym(ones(n+1)); L=sym(0); for i=0:n x1(i+1)=-1+2*i/n; end for i=0:n for j=0:n if j~=i w=(x-x1(j+1))/(x1(i+1)-x1(j+1)); W(i+1)=W(i+1)*w; end end L=L+W(i+1)*(1/(1+25*x1(i+1)^2)); end LL(n)=simplify(L); x=-1:0.01:1; y1=subs(f,x); y2=subs(L,x); plot(x,y1,'b');hold on; plot(x,y2,'r');hold off; title(['?-oˉêyf(x)=1/(1+25*x^2)ó?',num2str(n),'′?2??μoˉêy']); xlabel('x');ylabel('y'); legend('?-oˉêy','2??μoˉêy'); grid on end 拉格朗日插值算法的实现 实验报告 姓名：** 年级：****专业：计算机科学与技术科目：数值分析题目：拉格朗日插值算法的实现 实验时间: 2014年5月27日实验成绩: 实验教师: 一、实验名称：拉格朗日插值算法的实现 二、实验目的： a. 验证拉格朗日插值算法对于不同函数的插值 b. 验证随着插值结点的增多插值曲线的变化情况。 三、实验内容： 拉格朗日插值基函数的一般形式： 也即是： 所以可以得出拉格朗日插值公式的一般形式： 其中， n=1时，称为线性插值，P1(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) n=2时，称为二次插值或抛物插值，精度相对高些,P2(x) = y0*l0(x) + y1*l1(x) + y2*l2(x) 四、程序关键语句描写 double Lagrange(int n,double X[],double Y[],double x) { double result=0; for (int i=0;i for(int j=0;j 数值分析实验报告 （第二章） 实验题目： 分别用二分法、牛顿迭代法、割线法、史蒂芬森迭代法求方程 的根，观察不同初始值下的收敛性，并给出结论。 问题分析： 题目有以下几点要求： 1.不同的迭代法计算根，并比较收敛性。 2.选定不同的初始值，比较收敛性。 实验原理： 各个迭代法简述 二分法：取有根区间的重点，确定新的有根区间的区间长度仅为区间长度的一版。对压缩了的有根区间重复以上过程，又得到新的有根区间，其区间长度为的一半，如此反复，……，可得一系列有 根区间，区间收敛到一个点即为根。 牛顿迭代法：不动点迭代法的一种特例，具有局部二次收敛的特性。迭代格式为 割线法：是牛顿法的改进，具有超线性收敛的特性，收敛阶为1.618. 迭代格式为 史蒂芬森迭代法：采用不动点迭代进行预估校正。至少是平方收敛的。迭代格式为 这里可采用牛顿迭代法的迭代函数。实验内容： 1.写出该问题的函数 代码如下： function py= f(x) syms k; y=(k^2+1)*(k-1)^5; yy=diff(y,k); py(1)=subs(y,k,x); py(2)=subs(yy,k,x); end 2.分别写出各个迭代法的迭代函数代码如下： 二分法： function y=dichotomie(a,b,e) i=2; m(1)=a; while abs(a-b)>e t=(a+b)/2; s1=f(a); s2=f(b); s3=f(t); if s1(1)*s3(1)<=0 b=t; else a=t; end m(i)=t; i=i+1; end y=[t,i+1,m]; end 牛顿迭代法： function y=NewtonIterative(x,e) i=2; en=2*e; m(1)=x; while abs(en)>=e s=f(x); t=x-s(1)/s(2); en=t-x; x=t; m(i)=t; i=i+1; end y=[x,i+1,m]; end 牛顿割线法： 对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较 摘要：根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解，本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相关内容以及它们的区别。 关键词：拉格朗日插值法；牛顿插值法 The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton interpolation Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ，this paper mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods. Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation 前言 在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。 如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。 插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使 ),,1,0()(n i y x P i i == 而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。 通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。求插值函数)(x P 的方法称为插值法。 插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。 在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式 n n x a x a a x P +++= 10)( 使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。 关于龙格现象的实验报告 1． 实验目的： 观察拉格朗日插值的龙格(Runge)现象.。 2． 实验内容： 对于函数211)(x x f +=进行拉格朗日插值，取不同的节点数n ，在区间[-5,5]上取等距间隔的节点为插值点，把f (x )和插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。 具体步骤如下： 1）、编写拉格朗日插值函数（并将其存到当前路径的M 文件中） function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); L=0.0; for j=1:n T=1.0; for k=1:n if k~=j T=T*(z-x0(k))/(x0(j)-x0(k)); end end L=T*y0(j)+L; end y(i)=L; end 2）、取不同的n 值（注：当n 值不同时，间距间隔10/n 也在发生改变，程序中只需改变x0=-5:10/n:5中的n 值）。现取n 分别等于4,6,8,10时，程序分别如下 （1）取n =4， >> x0=-5:10/4:5; >> y0=1./(1+x0.^2); >> x=-5:0.1:5; >> y=lagrange(x0,y0,x); >> y1=1./(1+x.^2); >> plot(x,y1,'-k') 绘制原函数图象 >> hold on >> plot(x,y,'-.r') >> （2）取n=6， >> x0=-5:10/6:5; >> y0=1./(1+x0.^2); >> x=-5:0.1:5; >> y=lagrange(x0,y0,x); >> y1=1./(1+x.^2); >> plot(x,y1,'-k') >> hold on >> plot(x,y,'--h') >> （3）取n=8， >> x0=-5:10/8:5; >> y0=1./(1+x0.^2); >> x=-5:0.1:5; >> y=lagrange(x0,y0,x); >> y1=1./(1+x.^2); >> plot(x,y1,'-k') >> hold on >> plot(x,y,'--g') >> （4）取n=10， >> x0=-5:1:5; >> y0=1./(1+x0.^2); >> x=-5:0.1:5; >> y=lagrange(x0,y0,x); >> y1=1./(1+x.^2); >> plot(x,y1,'-k') >> hold on >> plot(x,y,'--m') >> （5）依次输入上述程序，将f(x)和取不同节点数的插值多项式的曲线画在同一张图上进行比较。 3．实验结果： （1）取n=4， 目录： 一、 引言 二、 插值及多项式插值的介绍 三、 拉格朗日插值的理论及实验 四、 拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式 五、 参考文献 一、引言 插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日（Lagrange ）、牛顿（Newton ）、高斯（Gauss ）等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它最初来源人们对天体研究——有若干观测点（我们称为节点）计算任意时刻星球的位置（插值点和插值）。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节点处的值的问题。 二、插值及多项式插值 1、插值问题的描述 设已知某函数关系()y f x =在某些离散点上的函数值： 插值问题：根据这些已知数据来构造函数()y f x =的一种简单的近似表达式，以便于计算点,0,1,,i x x i n ≠=的函数值()f x ，或计算函数的一阶、二阶导数 值。 2、插值的几何意义 x x 0 y y 1 y 1 n y -n y 1 x 1 n x -n x 插值的几何意义如图1所示： 图1 3、多项式插值 基本概念 假设()y f x =是定义在区间,a b ????上的未知或复杂函数，但一直该函数在点01n a x x x b ≤<< <≤处的函数值01,,n y y y 。找一个简单的函数，例如函数 ()P x ，使之满足条件 (),0,1,2, ,,i P x y i n == （） 通常把上述01n x x x << < 称为插值节点，把()P x 称为()f x 的插值多项 式，条件（）称为插值条件，并把求()P x 的过程称为插值法。 插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m 次的多项式： 1011()m m m m m P x a x a x a x a --=++ + 那么插值函数的构造就是要确定()m P x 表达式中的m+1个系数 011,, ,m m a a a a -。由于插值条件包含n+1独立式，只要m=n 就可证明插值函数多 项式是唯一存在。 实际上，由n+1个插值条件可得实验二 拉格朗日插值龙格现象
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