第五章 量子力学的表象与表示
§5.1 幺正变换和反幺正变换
1, 幺正算符定义
对任意两个波函数)(r ϕ、)(r
ψ，定义内积
r d r r
)()(),(ψϕψϕ*⎰=
(5.1)
按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r
ψ时，找
到粒子处在状态()r
ϕ的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下：
“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U
恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2)
而且有逆算符1ˆ-U
存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。”
任一算符A
ˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定
ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3)
由此，幺正算符U
ˆ有另一个等价的定义： “算符U
ˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U
==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说
1ˆˆ-+=U U 。” (5.4b)
证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U
成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U
+== 由于ϕ、ψ任意，所以
I U U
=+ˆˆ 又因为U
ˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆU
U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。
2, 幺正算符的性质
幺正算符有如下几条性质：
i, 幺正算符的逆算符是幺正算符
证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1
11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正
1
这里强调了 U
-1
既是对 U
右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U
有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U
-1
。
算符。
ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.
证明：设U
ˆ、V ˆ是两个幺正算符，则 ()111ˆˆˆˆˆˆ()UV
V U V U UV -+++--=== 所以V U
ˆˆ也是个幺正算符。 iii, 若一个幺正算符U ˆ和单位算符I 相差一无穷小，这个幺正算符被
称为无穷小幺正算符。这时U
ˆ可记为 F i U
ˆ1ˆε-= (5.5a) ε为一个无穷小参数。于是U
ˆ的逆算符(准确到ε的一阶，以下同)为 +-+=F i U
ˆ1ˆ1ε (5.5b) 利用U
ˆ的幺正性, 1)ˆˆ(1)ˆ1)(ˆ1(ˆˆ=-+=-+=+++F F i F i F i U U
εεε 得到等式
F F
ˆˆ=+ (5.6) 这说明，如将一个无穷小幺正算符U
ˆ表示为上述形式，则其中的F ˆ为厄米算符。F
ˆ也常称为幺正算符U ˆ的生成元。于是，按以下方式可以用厄米算符 Ω
构造出一个幺正算符U ˆ ()Ω
∞
=≡Ω=∑ˆ
i n n n e ˆi !
n U ˆαα01
(5.7)
这里，α为任意实数。
3, 幺正变换
幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：
对波函数： )(ˆU U ψψ≡; (5.8a) 对力学量算符： )(1ˆˆˆˆU U U
Ω≡Ω-. (5.8b) 这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，
),()ˆ,()()()(U U U ψϕψϕΩ=Ω
(5.9) 这可以检验：右边)ˆ,()ˆ,ˆˆ()ˆˆ,ˆ()ˆˆˆˆ,ˆ(1ψϕψϕψϕψϕΩ=Ω=Ω=⋅Ω=+-U U U U U U U U 。
例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数
)()(p r ψψ→和算符)(ˆ)(ˆp r Ω→Ω
，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。这时
3/2ˆ(2)i p r dr U e π-⋅=⎰
(5.10a) 1
3/2
ˆ(2)
i r p dp
U
e π⋅-=⎰
(5.10b)
注意，这里算符U
ˆ是一种积分变换，其中，r
为积分变数，p
为参量。因此当U ˆ和后面的算符或坐标函数作乘积运算时，r 必须和后面（算符或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p
作为参量保持不变
（因此，p
类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而r
则是它的列标
——与后面取一致并求和）；1ˆ-U 的作用则相反，p 为积分变数，r 为参
量（此时r
为行标，p 为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱。比如
()3/2ˆ()()(2)i p r dr p U r e r ψψψπ-⋅==⎰
(5.11a)
()1
3/2ˆ()()(2)i
r p dp r U p e p ψψψπ⋅-==⎰
(5.11b)
ˆˆ'⋅⋅'⋅⎰⎰i i
-p r r p -1
h h 3/23/2
dr dp UU =e e (2πh)(2πh) '⋅'⋅''⋅⎰⎰⎰i
-(p-p )r h
3
dr
=dp e (2πh)=dp δ(p -p )
(5.12)
这说明，算符1-UU 将任意动量函数()p ' ψ变为同一函数()p
ψ，是一个
恒等变换。还有，
m p U ˆm p ˆU ˆ22212 =- （5.13） p i U ˆr ˆU ˆ∇=- 1 (5.14)
由(5.13)和(5.14)式又可以得到
)p (m
p )r (U ˆU ˆm p ˆU ˆ)r (m
p ˆU ˆ
ψψψ2222122
=⋅=⋅- (5.15)
（5.15）式也可以换一种算法——作直接变换来得到，即
ˆˆ⋅⋅⋅⎰i 22-p r h 3/2
p dr -U ψ(r)=e Δψ(r)2m (2π)2m
})()(){2()
2(122/3⎰⎰⎰⋅-⋅-⋅∇⋅+⋅∇-=r d e r p i d r e m r p i r p i
ψσψπ ⋅⎰i 22-p r 2h
3/2
-i dr p =()(p)ψ(r)e =ψ(p)2m (2π)2m
由（5.13）和（5.14）式可知，在 U 的变换下，Hamilton 量)(2ˆˆ2r V m
p H
+=改变成为)i (V m
p H ˆp ∇+= 22。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。
应当强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力
学量算符方程、全部概率幅。比如，容易检验：基本对易规则在U
ˆ变换下确实是保持不变的，
i x p p x x p p x
U U U U =-=⋅-⋅)()()()(ˆˆˆˆ (5.16)
关于全部概率幅不变是说应当有
()()
r p f f ϕψϕψ
= (5.17) 这里，()r f ϕψ是粒子处在)(r ϕ态时，找到它处于)(r
ψ态的概率幅，即
⎰*=r d r r f r
)()()
(ϕψϕψ
f 上标)(r
表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。接着，系统经受
幺正变换U ˆ：)()(p r ϕϕ→，)()(p r ψψ→，
自变数成为p 。于是变换之后，这个概率幅应当表示为
⎰*=p d )p ()p (f )
p (
ϕψϕψ
现在来证明(5.17)式：实际上， ()()()()()ϕϕ'⋅⋅'
'⎡⎤⎣⎦⎰⎰
i
i p r -p r
*
*
2
32
dr dr dp ψp p =dp ψr r e
2π
⎰'-''=*)r r ()r ()r (r d r d
δϕψ
)
r (f )r ()r (r d ϕψϕψ==⎰*
这表明任何概率幅的确没变。
反过来也可以说，两个量子体系，如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的。这里，“物理上等价”的含义是从实验观测的角度说的。就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。因为从实验观点来看，它们之间已无区别。
※4, 反幺正变换
反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。为阐述其内容，我们先定
义反线性算符。一个反线性算符 A
满足 ψβϕαβψαϕA A A ˆˆ)(ˆ**+=+ (5.18)
这里α、β为任一复常数，ϕ、ψ为任意波函数。就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。这是与线性算符唯一的然而是极本质的差别。
反线性算符 A
的厄米共轭算符 A +的定义是 )ˆ,(),ˆ()ˆ,(ϕψψϕψϕ+*+==A A A (5.19)
这里，为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有复数共轭。可作如下检查即知这一点是必须的：设想从内积的ϕ或ψ中抽出一个复数常系数。
反线性的幺正算符A
ˆ(反幺正算符)定义为 )ˆ,(),ˆ()ˆ,(11ϕψψϕψϕ-*-==A A A (5.20)
根据这个定义，立即知道，对反幺正算符也有
1ˆˆ-+=A A
(5.21)
这导致I A A A A
==++ˆˆˆˆ。这和幺正算符相同。 反线性算符的进一步叙述参见附录一。
§5.2 量子力学的Dirac 符号表示
1, Dirac 符号
先从三维空间中对任一矢量的表示方法说起。众所周知，所有同类三维矢量的线性组合构成了三维空间。为了表示这个空间中的任一矢量，可以在三维空间中事先选定一个坐标系(比如某个笛卡儿坐标)，于
是任一矢量A 在这个坐标系中便由相应的三个数(是A
与坐标轴单位
矢量i e
的标积，也称为这个矢量在这个坐标系中的分量3,2,1,==⋅i A e A i i
)来表示。于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。通常，三维空间任一矢量的表示方法依赖于坐标系（也即基矢）的选取。但是，也可以不选取任何基矢，而
只直接就将这些矢量写作为A 、B
、......，并利用标积B A ⋅、矢积B A ⨯等等，形式地表示对它们的代数运算或微积分运算。由于这种描述不依赖于基矢即笛卡儿坐标的选取，所以它是一种抽象的、普适的表示方法。
在量子力学中，按照态叠加原理，一个量子体系的所有可能状态将构成一个线性空间，这个由全部状态集合构成的线性空间通常称为Hilbert 空间。体系的每一个状态对应于体系Hilbert 空间中的一个矢量，称为状态矢量，简称态矢。所以状态Hilbert 空间又常称为态矢空间（或态空间）。这个Hilbert 空间的范数便是状态之间的内积),(ψϕ=N 1。
在Hilbert 空间中，所有态矢都称为右矢，比如右矢A ，等等。这里，记号A 是对此态矢的某种标记。标记的办法以确切、简便为准。比如用系统的好量子数组来标记（例如nlm ）；也可以用态矢的波函数(它和态矢的关系下面即将谈及)来标记，例如态矢nlm 可记为nlm ψ；
如果要强调态矢随时间的变化，也可以记为()t nlm ψ；另外还有r ' ，p '
等等。这里，r '
p '
）是坐标（动量）算符的对应于本征值为r
'
（p '
）的本征态，即有r r r r ''=' ˆ（p p p p ˆ''=' ）
。 对于每一个右矢A ，对应地还有一个左矢A 2，它与该右矢互为
厄米共轭，即
+=)(A A 和 ()A A =+
(5.22)
1
注意，量子力学中的状态空间 —— Hilbert 空间不完全等同于数学中的Hilbert 空间。因为前者还包括了归
一化到δ-函数的矢量，而后者无此类矢量。
2
左矢常称为bra ，右矢常称为ket ，这是bracket 一字的左三个字母和右三个字母。
于是，用于展开态矢的基矢也就有左基矢和右基矢之分了。
有了左矢和右矢的概念，便可以引入内积——投影的定义。右矢A向右矢B的投影是右矢A与对应左矢B的内积，即
B A=在态矢A中发现态矢B的概率幅（5.23a）按量子力学基本假设，此式含意若用波函数表示便应当是
()()r d r
r
A
B
A
B
ψ
ϕ*
⎰=(5.23b) 这个内积关于A是线性的，关于B则是反线性的。这可以设想从它们中各自抽出一个复数常系数，看是否经受复数共轭操作，便可以知道。由内积定义可知
*
=B
A
A
B(5.23c) 显然A（或A）和自己的内积A
A是个正数。对于标记(编号)为分立的一组左（右）态矢，如果彼此间的内积为零，自己的内积为1，称它们为正交归一的；对于标记(编号)为连续的一组左（右）态矢，若它们之间的内积是δ-函数，就称它们为正交归一的。于是对含连续参量的坐标本征态和动量本征态，归一化条件为1
⋅
⋅
''
⎰
⎰
i p(r-r')/
3
-i r(p-p')/
3
dp
r r=e=δ(r-r)
(2π)
dr
p p'=e=δ(p-p')
(2π)
(5.24)
和三维空间矢量解析的情况相似。在量子体系的态矢空间中，对态矢的描述可以不必事先选取基矢，而是采用抽象的态矢符号，以普适的方式表示它们在状态空间中的变化。但是，为了能在态矢空间中进行具体的计算，需要选定一组特定的态矢作为基矢，用它们去展开任意态矢。这里，
第一，为了运算方便，所选基矢最好是正交、归一的。就是说，规定基矢组{ξ
和{}ξ有如下正交归一的性质
对分立编号：正交归一条件为
ij
j
i
δ
ξ
ξ=(5.25a) 对连续编号：正交归一条件为)
(ξ
ξ
δ
ξ''
-'
=
''
'(5.25b) 第二，若要能够展开任意的态矢，选做基矢的一组态矢必须是完备的。可以证明，这要求基矢组必须满足以下条件
对只有分立编号：完备条件为I
i
i
i
=
∑ξ
ξ(5.26a) 对只有连续编号：完备条件为I
d=
⎰ξξ
ξ(5.26b) 一般情况下，一个完备的基矢组常常既包含分立的基矢集合，又包含1后两者为连续表象。在这类表象中正交归一化为δ-函数。这使量子力学的Hilbert空间大于数学中由平方可积函数组成的传统的Hilbert空间。详细还可参见下面叙述。
着参数连续变化的基矢集合（两集合之间也正交）。如同质子和电子耦合系统的能谱和状态空间那样，既有负能区分立的束缚态部分，也有正能区连续的散射态部分。因此，完备性条件的普遍形式应为
'''∑⎰i i i
I =ξξ+ξd ξξ (5.26c)
如果所选基矢是完备的，它应当能够展开任一态矢A ，于是有
∑⎰i i i
A =a ξ+a(ξ)ξd ξ (5.27)
可以证明，完备性条件(5.26c)式与可以对任意态展开的(5.27)式相互等价。
先证明由(5.27)式可得（5.26c ）式。用分立编号的左基矢j ξ乘(5.27)式，注意基矢的正交归一性，展开式右边就简化为
∑∑j i j i i ij j i
i
ξA =a ξξ=a δ=a
若用连续编号的左基矢ξ'乘(5.27)式，类似可得
)(a d )()(a }d )(a {A ξξξξδξξξξξξ'=''''-'''='''''''='⎰⎰
将这两个系数表达式再代入(5.27)式，即得
⎰∑⎰∑+=+=A d A d A A A i
i i i
i i ξξξξξξξξξ
由A 的任意性，即得普遍的完备性条件(5.26c)。
反过来，由(5.6)也可以得到(5.27)式。因为
⎧⎫
'''⎨⎬⎩⎭''''''
∑⎰∑⎰∑⎰i i i i i i
i i i
A =I A =ξξ+ξd ξξA
=ξξA +ξd ξξA
=ξA ξ+ξA ξd ξ
以后，常常将这些完备性条件作为单位算符，插入运算式中适当
的地方，转入相应的基矢展式中，以便进行具体的运算。
显然，当坐标算符本征值r
'
连续变化取遍全空间时，坐标空间的本征矢{},r r ∀是完备的，因为用它们足以展开任何态矢。注意这组基矢的编号是连续的。对动量算符本征矢情况类似。于是，对于坐标空间的本征基矢{},r r ∀，以及动量空间的本征基矢{},p p ∀，有它们的完备性条件
⎰r
dr r =I 和
⎰
p dp p =I (5.28)
两式物理意义很明确：前者表示，在空间任一点总可以找到粒子；后 者表示，不论粒子处在何种状态，总可以对它作动量成份的分解。
两个态矢A 和B 之间的内积也可以具体地写出来。这时有
⎰
∑+
=ξ
ξ
ξ
ξd
)
(a
a
A
i
i
i
⎰
∑'
'
'
+
=*
*ξ
ξ
ξ
ξd
)
(
b
b
B
i
i
i
它们的内积为
⎰
∑'
-'
'
+
=*
*ξ
ξ
ξ
ξ
δ
ξ
ξ
δd
d
a
b
a
b
A
B
ij
ij
j
i
)
(
)
(
)
(
⎰
∑*
*+
=ξ
ξ
ξd
a
b
a
b
i
i
i
)
(
)
((5.29) 这正是三维空间中（取定某个笛卡尔坐标系之后）两个矢量之间标量积的简单推广。
根据内积定义的物理解释：A
B为在A中发现B的概率幅，应当有
)
(r
A
r
A
ψ
=(5.30a) 这是因为，等式左边的含义是在A态中找到粒子位于 r处的概率幅，而这正是等式右边波函数)
(r
A
ψ的含义。同样，由内积解释还可以得到
⋅
i p r/
3/2
e
r p=
(2π)
(5.30b)
⋅
-i p r/
*
3/2
e
p r=r p=
(2π)
(5.30c) 这里，指数前面的分数是为了保证此类连续态能够归一化到δ-函数。
以上是关于量子力学第一公设（波函数公设）的另一种表述——将系统状态空间中的状态用Hilbert空间中Dirac符号的态矢表示。这种将量子状态表示作态矢的方法是一种抽象的普适的描述方法。
Dirac符号表示的重点在于量子状态。至于量子力学的第二公设——算符公设的表述形式, 可以保留第一章中那样，也可以只抽象地设定各个算符的符号，而不进一步设定算符的表示形式（例如，动量算符就只写成为pˆ 、坐标算符就为rˆ 等等）。
关于量子力学的第三公设——测量公设，对状态A进行力学量Ω的多次测量后所得平均值，现在用Dirac符号表示即为
A
A
A
ˆ
A
ˆ
A
Ω
=
Ω
≡
Ω(5.31a) 如果被测态已经归一化，则有
A
ˆ
A
ˆ
A
Ω
=
Ω
≡
Ω(5.31b) 注意，(5.31)式只说明它是算符Ωˆ在态矢A中的平均值，并未规定采用什麽样的基矢来展开，并未说明怎样去作相应的具体计算。
关于量子力学的第四公设——dinger
o
Schr 方程，用Dirac符号表示就是
()()
(),t r ˆV m p ˆdt
t d i ψψ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+=
22 初条件()()00
ψψ==t t （5.32）
2, Dirac 符号的一些应用
在后面用Dirac 符号作大量具体计算之前，先证明两个广泛使用的态矢等式
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧''='''
-='r r i r p ˆr r i p ˆ
r ∂∂∂∂
(5.33a)
这里r r '∇≡'
∂∂
是r
'坐标中的梯度算符，只负责对其后变数r '
的函数进行微商。这两个态矢等式的含义是：将第一（第二）个等式作用到任意的右矢（左矢）上，等号恒成立。具体意思见下面证明过程。
证：用任一态矢A 右乘第一个等式的左边，得A p ˆr
'。接着，在态矢A 的前面插入动量表象基矢的完备性条件，利用
()ip r 32
ˆr p p p r p p e 2''
⋅''''''==π，得
p d A p p p r A p r ''''='⎰
ˆˆ ip r /
A 3/2
e =p ψ(p )dp (2π)''⋅'''⎰ ()
i p r /
A 32dp i e (p )r'2''⋅'∂'=-ψ∂π⎰ A r r i r r i A ''
-=''-=
∂∂ψ∂∂)(.
由于A 是任意的并且不依赖于变数
'r ，可从等式两边除去它。这表明
存在如下左矢等式
r r i p r ''
-='
∂∂ˆ 证毕。
第二个等式其实是第一个等式的厄米共轭，也可作类似的证明（习
题10）。值得注意的是，这里等式左边的 p 是量子力学的动量算符，而等式右边的
r ∂∂
'
只是对右矢r ' 中本征值
'r 的微商运算，不对其它态矢作用。这从上面运算过程可以清楚地看出。类似地，还有另外两个态矢等式
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧''='''-='p p i r p p p i p r ∂∂∂∂ˆˆ
(5.33b)
可以插入坐标表象的完备条件进行类似证明（习题11）。
※3, 关于Dirac 符号的局限性
用Dirac 符号表示的矩阵元B ˆA Ω
可以有两种不同的理解： {}B ˆA B ˆA Ω
=Ω，或{}B ˆA Ω 如前面所说，这里的左矢{}ΩˆA 应理解为右矢{A ˆ+Ω
的厄米共轭。若Ωˆ是厄米和幺正这两类算符(更一般地，只要Ωˆ是线性算符)，两种理解结
果相同，于是这种含混不会引起问题。因为， 不论Ω
ˆ是厄米还是幺正，都有
{{+
++Ω=Ω=Ω=Ω
⋅A ˆB B A ˆB ˆA B ˆA
{}{}
B ˆA )A ˆ(B ⋅Ω
=Ω=++ 从内积两种表示相等()B ,A ˆ()B ˆ,A (+Ω=Ω
)1也可以看出这一点。但是，当Ωˆ为反线性算符时(比如时间反演算符T ˆ)，这两种理解将导致不同的
结果。这是因为反线性算符π
ˆ不存在通常意义下的厄米共轭算符+πˆ(参见前面反线性算符的厄米共轭算符定义（5.19）式) ：
),ˆ()ˆ,(B A B A +≠ππ
此式左边关于B 是反线性的，而右边(不论+π
ˆ取何形式)关于B 都是线性的，所以不论算符 π
+取何形式都无法这个等式成立。同样，对一个反线性算符π
ˆ，也有 {{}B A B A ππ
ˆˆ≠ 因为，左边的内积关于A 、B 均为反线性的，而右边的内积关于A 、B
均为线性的。由此可知，必须分辨下面两种情况
{}B A π
ˆ和{}B A πˆ 或者返回到更精密的记号
B A B A ππ
ˆˆ,≡，B A B A ππˆ,ˆ≡ (5.34) §5.3 表象的概念
1, 波函数的标记和分类
三维空间de Broglie 平面波需用三个本征值(x p 、y p 、z p )来标记分类，若三个中少一个，波函数的标记就不完全，出现对该本征值（量子数）的简并。但这个标记分类的办法并不是唯一的。换一个角度，也可以用另外三个本征值来分类和标记这个解集合中的元素。比如在球坐标下，这个解的集合便由全体自由粒子球面波(球坐标中三维自由方程解的集合，见第四章第四节)所组成，这时用量子数(n 、l 、m )来
1
第二种理解
{}
A B Ω相应于( ,)Ω
+
A B 。这是因为
A A A A ( )( ) Ω
ΩΩΩ===+++++。
108
标记和分类。再比如，既可以用量子数(x n 、y n 、z n )来标记三维各向
同性谐振子的全部状态，也可以用量子数(n 、l 、m )来办到。标记中所用的一组(与量子数对应的) 力学量应当可以同时测量，对应的一组力学量算符必须彼此都能对易，因为它们已经同时各自具有确定的本征值，
由上面分析可以说：任一量子体系的波函数集合总能用相互对易的一组力学量算符的本征值来区分和标记。如果这组算符数目选少了就出现态的分类不彻底，波函数标记不明确的现象，就是说，会出现量子态对（未被选入的）某个力学量本征值的简并。能够对一个量子体系全部状态进行彻底(不出现简并)地分类标记的最少数目力学量算符，称为这个量子体系的完备力学量组。为了叙述简明和计算方便，通常选用该体系的守恒力学量作为完备力学量组中各力学量，就是说，常常用好量子数对态进行分类。
应当指出，由于力学量的本征值有的连续变化，有的分立变化，因而不同的量子体系，其状态的分类和标记有的是连续的，有的是分立的，有的还是两者兼有。甚至同一量子体系，若从不同的观点对其状态进行分类，也可以有时是分立的有时则是连续的。这要看分类时所选用的算符完备组的性质而定。比如氢原子问题，在束缚态问题——也即分立谱的范围内，可以选能量、轨道角动量及其第3分量这三个力学量做完备力学量组，对应的好量子数完备集为{}nlm ，本征函数族为)}({r nlm ψ。如果考虑与自旋有关的效应，还应计入自旋角动量的第3分量，否则就会无法进一步区分各种不同的自旋状态。进一步，如果还考虑电离和散射等非束缚态，则还应当包括正能区的连续谱。这时也可以仍然采用上述这种分类——将平面波按球面波展开，也可以引入动量矢量和自旋分量的量子数来作区分。此外，如果问题采用力学量r 的本征值来分类(同常它不是好量子数)，则量子态便被标记为关于r 的一系列（平方可积的）连续函数及其线性叠加。这等于直接用波函数来标记状态。
显然以上叙述也同样适用于对前面态矢作分类的情况。
2, 量子力学的表象概念
众所周知，在三维空间中，为了描述任一个三维矢量，可以事先选定一组特定的彼此独立——线性无关的矢量{}3,2,1,=i e i 作为基矢。这组基矢是三个坐标轴上的三个单位矢量。从此以后，便可以用它们来展开三维空间中任一矢量，也即，任一矢量A 就可以用它的坐标——在这三个基矢上的投影i A （等于内积,e A i ⋅）来表示。通常在三维空间中说，选定了基矢就是选定了坐标系，向某组基矢投影便进入了该坐标系。坐标系有无穷多种取法。于是，三维空间中，同一矢量的表示
109
方法会有无穷多种。同一矢量各种表示之间可以相互转换，称为该矢量的坐标变换。不同坐标之间的变换取决于不同基矢组之间的转换。为了计算简单，通常选作基矢的三个矢量总是正交归一的（ij j i e e δ=⋅ ）。
总体来说，量子系统的情况和三维空间上面的叙述很类似，但量子系统的态矢空间—— Hilbert 空间通常是无穷维的，所以它的基矢通常有无穷多个：有时是可数无穷多，有时是连续变化的无穷多，这要看基矢所属力学量算符的性质而定。比如，选定一组基矢为可数无穷的情况，即选定{} ,,,n ,n 210=ϕ之后，态矢空间中任一态矢A 即按这组基矢进行展开，其中展开系数A a n n ϕ=是A 向基矢n ϕ的投影（内
积），
∑∞
==0n n n a A ϕ
由于内积可能是复数，所以另一条和三维空间情况不同的是，此时系数n a 可能是复数。由此，态矢A 便可以用这组复系数{}n a 来表示，有时就称它们为该态矢（在这组基矢中）的波函数。而作用于态矢A 并使它变化的各种力学量厄米算符，便成了无穷维厄米矩阵，它们决定着态矢的变化，成为态矢之间的某种映射。对于基矢为不可数无穷的情况，力学量厄米算符将是积分或微分算符的形式，参见下面叙述。
每选择一组展开基矢，态空间便有了一种描述方式，就说是选取了一种表象。同时，将一个矢量方程向某组基矢投影，便意味着进入了相应的（由该组基矢所代表的）表象。比如说，这从下面坐标表象、动量表象的例子可以明白。
表象的改变意味着状态空间中基矢的改变。表象变换是一种幺正变换。选用不同基矢去描述同一体系，得到的全部物理结论都应相同。举个例子便是前面坐标表象到动量表象的幺正变换。这也是下节Wigner 定理普遍结论：“不改变体系任何物理结论的变换⇔幺正或反幺正变换”的一个特例。
同样，为了计算简单，通常选择的基矢都是正交归一的：分立的、可数无穷情况归一为化ij δ，连续的、不可数无穷情况归一化为-δ函数。详细见下。
和前节叙述相同，作为基矢显然必须是完备的，因为要用它们来展开任意的态矢。基矢不完备就不能展开任意的态矢。
3, 几种常用的表象
几种常用的表象是坐标表象、动量表象和能量表象，它们分别相应于在状态空间对基矢的不同选取。 坐标表象。这是选取了坐标算符的本征态集合{}r ,r '∀' 作为态矢空间的展开基矢。于是，如前面所说，取定这组基矢便是取定了坐标表
110
象，任一矢量或矢量方程向这组基矢投影便是进入了这个表象（对于多因子乘积的、复杂一些的方程，在转入坐标表象时，需要在方程所有乘积中间各自独立地插入坐标表象完备性条件）。坐标表象完备性条件见(5.28)。与此相应，任一态矢A 的展开式就成为如下积分展开的形式，
()A A dr r r A r r dr ''''''=⋅=ϕ⎰⎰ (5.35a)
这些展开系数的集合构成了r
' 的一个连续函数)r (A r A '='
ϕ。它们是态矢A 向坐标表象基矢r ' 上的投影坐标（即与左矢r ' 内积，见内积
定义(5.23)）。全体坐标就是态矢A 在坐标表象中的表示，也就是态矢A 的波函数。当然也可以不借助态矢的语言，完全在坐标表象中对应 写出这个展开式。办法是将该式向坐标表象基矢r 投影，成为
()()()()r d r r r r d r r r r A A A ''-'='''=⎰⎰ δϕϕϕ (5.35b) 此式完全使用坐标表象的波函数语言解释了上面展开式。于是，第一章中说)r (A ' ϕ是系统处在这样一个状态上，粒子坐标取r ' 的概率幅为)r (A ' ϕ；现在有了等价的说法。 可以将态矢形式dinger o Schr 方程(5.32)式向坐标表象投影。为此注意，坐标表象的基矢不随时间变化，以及（5.33a ）式，于是 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⋅+-=+==)()]()(21[)())ˆ(2ˆ(),()()(22t r r V r i m t r V m p r t t r i t r t i t t i r ψ∂∂ψ∂∂ψψ∂∂∂ψ∂ (5.36) ),()]()(21[2t r r V r
i m ψ∂∂+-= 就得到以前的dinger o Schr 方程——在坐标表象中的dinger o Schr 波动方程。
另外，在坐标表象中也可对任意矩阵元进行计算。例如，对动量算符在坐标表象中的矩阵元，利用（5.33a ）式，有
()r r m r r r i r m p ˆr ''-'∆'-='''⎭⎬⎫⎩
⎨⎧'∂∂-=''' δ22222 (5.37) 再比如，动能算符在两个任意态矢之间的矩阵元，在坐标表象中的计算办法是：在适当地方插入坐表表象的完备性条件——这样做的实质即是将各个量均向坐标表象投影。如下： ⎰⎰'''''''''=r d r d B r r m
p r r A B m p A 2ˆ2ˆ22 ⎰⎰'''''⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''-'∆''-'=*r d r d r r r m r B A )()(2)(2ψδψ
111 ⎰⎰'''⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''∆''-''-''=*r d r d r m r r r B A )(2)()(2ψδψ ⎰''∆'-'=*r d r m r B A )()2)((2ψψ (5.38) 这就是在坐标表象里对B m
p A 2ˆ2 的具体解释。推导中第三步等号利用了两次分部积分和A ψ（或B ψ）的束缚态边条件。 动量表象。这是选取了动量算符的本征态集合{}p ,p '∀' 作为态矢空间的展开基矢。任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入动量表象完备性条件，如同坐标表象中那样），便进入了动量表象。由于动量算符本征值p ' 也是连续变化的，动量基矢编号也就是连续的，完备性条件见(5.28)。而任一态矢A 在动量表象的展开式为 ()⎰⎰'''=⋅'''=p d p p A p p p d A A ϕ (5.39a) 这时，展开系数集合构成变数p ' 的一个连续函数)p (A p A '='
ϕ。在这个表象中，态矢A 便可以用它的坐标集合，即函数)p (A ' ϕ来表示（有时称为动量波函数)。同样地，也可以放弃态矢展开语言，完全在坐标表象中将此展开式对应地写出来。办法是将这个矢量表达式向坐标表象基矢r 投影，写成
()()()p d e p r r p i A A ''=⋅'⎰ 232πϕϕ （5.39b ） 此式只使用坐标表象的波函数语言解释了(5.39a)式：将任意态的波函数用动量本征态的波函数展开，得到的系数集合便是该态的动量波函数。也可以将(5.39a)在动量表象中写出来。办法还是：将该式向动量表象基矢p 投影。可得
()()()p d p p p p A A ''-'=⎰ δϕϕ (5.39c)
此式使用动量表象的语言表述了(5.39a)式。
也可以写出动量表象中的 (5.32)式，办法是将它向动量表象基矢投影。注意，动量表象基矢不随时间变化以及(5.33b)式，于是可得
()()()()
()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∂∂=∂∂=∂∂t ,p p i V m p t p p i V m p t r ˆV m p ˆp t t ,p i t t p i t t i p ψψψψψψ222222 即 ()()t ,p p i V m p t t ,p i ψψ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=∂∂22
(5.40)
112
这就是动量表象中的dinger o Schr 方程，方程的自变数为（t ,p
）。由于势能V 的函数形式（通常比动能T ）复杂，算符⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂p i V 通常很复杂，除概念分析外，实际计算中动量表象远没有坐标表象有用。另外，在动量表象中也可对任意矩阵元进行计算。例如，对动量算符在动量表象中的矩阵元，利用（5.29）式，有
()p p m
p p p m p p m p ˆp ''-'''='''''=''' δ222222 (5.41) 可知，动量算符在自己的表象中是对角的。对(5.37)式一般矩阵元，也可以类似于坐标表象中的做法，通过插入动量表象完备条件，转入动量表象来表述。这里省略。
能量表象。此表象取一组分立的能量定态，包括相互对易的三个算符（H 、L 2和L z ）的共同本征态{}nlm ,nlm ∀作为展开基矢。由于此时基矢编号(nlm )通常是分立的，所以完备性条件为
I nlm nlm nlm
=∑ （5.42）
任意矢量或矢量方程向这组基矢投影（若多因子乘积情况还须插入能量表象基矢完备性条件），便进入了能量表象。任一态矢A 向此表象基矢投影的坐标集合是如下展式中一组系数{A nlm A nlm =，
nlm A A nlm
nlm ∑= (5.43a)
这组系数{}nlm A 就是态矢A 在能量表象中的表示，是态矢A 在能量表象中的“波函数”。
可以在坐标表象中将(5.43a)式重写出来，即将(5.43a)式向坐标表象投影，得
∑=nlm
nlm nlm A )r (A )r ( ψϕ （5.43b ）
与此相应，展开系数用坐标波函数表述出来便是 ()⎰⎰====*A nlm A nlm nlm ,r d )r ()r (A r r nlm r d A nlm A ϕψϕψ (5.43c)
当然，也可以用向动量基矢投影的办法，在动量表象中写出(5.43a)和(5.43b)式。此处从略。
注意，由于能量表象基矢编号(nlm )通常是分立的。于是，能量表象的表现形式有显著特点：代表态矢的展开系数{}nlm A 是断续的。与此
相应，作用于态矢并使态矢改变的各种力学量算符便具有了可数的无穷维厄米矩阵的形式。比如，态矢A 在某个算符 Ω作用下变换为态矢B ，
B A ˆ=Ω
(5.44a)
113
这个态矢方程用能量表象来表述就是，将此矢量方程向能量表象的基矢nlm 投影。设其中态矢A 和B 在能量表象的基矢中展开式为
∑∑''''
'''''''''''='''=m l n m l n m l n m l n m l n B B ;m l n A A
于是(5.44a)式成为
∑∑'''''''''''''''='''Ωm l n m l n m l n m l n m l n B nlm m l n ˆA nlm
也即
m l n m l n m l n m l n m l n nlm A m l n ˆnlm ''''''''''''∑∑'''='''Ω
下面为书写简明，脚标的一组量子数(nlm )用一个符号 i 表示，记Ω
ˆ矩阵元为ij ω，得
∑=j i j ij B A ω
， 这里 j ˆi ij Ω=ω
于是（5.44a ）式便成了如下矩阵形式
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 212122211211B B A A ........................................,......,,......,ωωωω (5.44b) 这里矩阵()ij ω、矢量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 21A A 和⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛ 21B B 分别表示能量表象中的算符 Ω、态矢A 和B 。当然，也可以将（5.44a ）式向坐标表象或动量表象投影，得出相应的表达式。
注意，如果物理图象是算符Ω
ˆ扰动使原子能级由j i →跃迁，则在含时框架下，能量表象的基矢均有一个含时相因子 /iEt e -，所以矩阵元
()i j ij E E t exp i
⎧⎫-⎪⎪ω∝⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，时间因子中的频率j i j i E E ωω-=- 体现了光谱学中的里兹组合定则。实际上，这正是矩阵力学创始人Heisenberg 思考的出发点之一。
上面讨论表明，如果取坐标表象描述一个量子体系，由于坐标算符的本征值是连续变化的，状态便用坐标的连续函数——波函数表示，而（作用在波函数上并改变它们的）力学量算符便一般地表现为微分算符——除了只含坐标的力学量，由于是在自身的表象中，所以表现
为普通坐标函数。坐标表象最先由dinger o
Schr 提出，所以这一表象也常称为dinger o
Schr 表象。在这种表述下的量子力学常被称为波动力学。另一方面，如果取能量表象来描述这个量子体系，由于基矢通常是分立的，状态便用一组可数的复常数作成列矢量来描述，而力学量算符
114
便相应地变成厄米矩阵。一般地说，这些矩阵是无限维的。如果问题只涉及某个给定能量数值下状态的子空间（即部分状态），设此时独立状态总数为n 个，则任一状态便可表示为一个n 分量的列矢量，而（作用在这些列矢量上并改变它们的）任一力学量算符也就成了n ×n 阶的厄米矩阵。能量表象最先由Heisenberg 提出，所以这一表象也常称作Heisenberg 表象。在这种表述下的量子力学常被称为矩阵力学。 作为采用各种表象作计算的一个比较，举一个计算 p 在态A 中平均值的例子，设A 为归一的。在具体计算这个平均值时，可以选取任何表象进行。例如，可取坐标表象来表述这个平均值，办法如同上面做的那样，在适当地方插入坐标基矢的完备条件。即
⎰⎰
'''''''''==r d r d A r r p r r A A p A p ˆˆˆ ⎰⎰'''''⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''''∂∂⋅'=*r d r d r r r r i r A A
)()(ψψ 这里使用了(5.31)式。接着
⎰⎰'''''-''
''''=*r d r d r r r i r r p A A )]()[()(ˆδ∂∂ψψ ⎰⎰''''''
'-''-''=*r d r d r r i r r r A A )]()[()(ψ∂∂δψ 这里作了分部积分，为了将分部积分积出的边界项弃去，用了态A ψ为束缚态的边条件。于是得到
⎰'''
-'=*r d r r i r p A A )]()[(ˆψ∂∂ψ 这就是在坐标表象里动量算符平均值的表示式，正是以前的结果。也可以采用动量表象进行计算，这就要插入动量基矢的完备条件转入动量表象来表述。于是有
⎰
'''=p d A p p p A p ˆˆ ⎰'''=p d )p (p A
2ψ
显然，此权重平均表达式正是动量表象中这个平均值的含义。总括起来，对于p ˆ 在态A 中的平均值可以有许多种表达方式，这里给出三种，以作对照比较。即
坐标表象 ： ⎰∇-=*r d r i r p A A
)())((ˆψψ 动量表象： ⎰*=p d p p p p A A )()(ˆψψ 无表象——抽象的Dirac 符号表示：
A p A p ˆˆ =。 对于A r
A ˆ 的计算，可以利用(5.33)式作类似的计算，这里不再赘述。对于其它力学量算符平均值、各种内积和矢量方程都不难参照（5.37）式和此处进行。
115
4，Dirac 符号下的表象变换。
比如，第一节中从坐标表象向动量表象的变换 —— 傅立叶积分变换(5.10a)和(5.10b)式，现在就可以表示为
⎰U =dr p r (5.45a)
''⎰-1U =dp r p (5.45b)
注意变换矩阵U 的行标p 和列标r 均为连续变化,1-
U 也类似。于是，波函数)(r A ψ→)(p A ψ以及)()(r p A A ψψ→的两个变换过程可分别表示为 ⎰=A r r p r d A p
⎰'''=A p p r p d A r
简单计算可以验证，1-U 和U
相乘是个恒等变换：得到(5.12)式或用坐标表示的类似形式。
举个表象变换的例子。利用Dirac 符号，容易将（5.41）式(动能算符在动量表象中的矩阵元)转换到（5.36）式(动能算符在坐标表象中的矩阵元)。用(5.45b)和(5.45a)两式对（5.41）式的左方作表象变换 r m
p r r p p d p m p p p d p r p m p p '''=''''''⋅'''⋅'''→'''⎰⎰ 2ˆ2ˆ2ˆ222 后一步的等号是由于用了动量表象基矢完备性条件。由此看出，采用Dirac 符号能十分简明地实现表象变换。与此相应，（5.41）式的右边也将变为（5.36）式的右边， ⎰⎰''''''⋅''-'''⋅'''→''-'''r p p d p p m p p d p r p p m p )(2)(222δδ ⎰''=''⋅'-'⋅'p d e m p e r p i r p i /2/32)
2(1π ⎰'⋅∆'-=''-'⋅'p d e m r r p i /)(32)2(12π )(22r r m
''-'∆'-= δ 这里附带指出，算符
A A A =π (5.46)
是向态矢A 的投影算符。它的功能是：作用在后面态矢上时将它向A 态投影，即
A B A B A =π
说明算符A π将B 态向A 态投影，给出在B 中含有A 的概率幅。而它的平均值
2A B B B A =π
则是在B 态中找到A 态的几率（反过来理解亦可）。由此，不难理解
116 前面所用的各类基矢的完备性条件：如果基矢是完备的，则向所有基矢投影的投影算符总和是个单位算符。因为，这只不过是重申任一归一化态矢的归一化条件而已，
∑∑∑====i
i i i i i i b B B B B B 22)(1ξξ
※§5.4 Wigner 定理1
1, Wigner 定理 “如果一个使体系在物理上保持不变的变换将体系的每个态矢ψ变为ψ'，则总可以调节相位，使得对所有ψ 不是ψψU ='，就是ψπψ='
这里U 、π分别是某个幺正或反幺正算符。” 证明：设有一变换使正交归一基{{}n
n αα'→，并保证对任意两个态矢均有
b a b a ''= 于是取ϕ和ψ如下，
m ααϕ+=1
，∑=n
n n c αψ
变换后成为
m ααϕ'+'='1，∑''='n
n n c αψ 按规定应有
ψϕψϕ''=
这导致
m m c c c c '+'=+1
1 在不影响物理内容情况下，可以选ψ'的相位，使得11
c c ='。接着，展开这个绝对值等式，可得
m
m m m c c c c c c c c '+'=+****1111 乘以m
c '，并注意2
2m m c c ='，得 0)(211121=++'-'***m m m m m c c c c c c c c c 解此二次方程，得
⎪⎩⎪⎨⎧='**m m m c c c c c 1
1 不影响物理内容，还可以进一步选定ψ的相位，使c 1为实数，于是得
1 参见Gottfried ，P.226；J.R.Taylor ，P.91；Encyclopedia of Math. & its Appli.，Vol.9.，P.160。
117 到
⎩⎨⎧='*m
m m c c c 若为前者，变换是幺正的；若为后者，
∑'='*n
n
n c αψ 变换是反幺正的。
这可以进一步证明，每一个变换只能是二者之一。这里不再赘述。 2, 讨论
i, “使体系在物理上保持不变”的变换均称为体系的对称变换。其含义是这样一种变换，它保持体系的全部可观测概率、全部力学量的期望值不变。一句话，凡有物理意义的、可在实验上观测到的量都不变。
ii, Wigner 定理也可以换一种说法：
“微观力学体系之间如果是物理上完全等价的，充要条件是在它们之间以一个幺正(反幺正)变换相联系”。
也可以叙述成为态矢Hilbert 空间的一条定理，参见文献1。
iii, 要补充指出，在幺正变换下，原先表象的任何代数关系形式都不变；而在反幺正变换下，原先表象的任何代数关系中的常数均应代以相应复数共轭数。特别地，基本对易规则中的 i 应代以 i -。
※§5.6 Fock 空间与相干态及相干态表象
1, 谐振子的Fock 空间表示
对坐标算符x 和动量算符p 进行算符变换，按下式引入两个新的无量纲算符a 和+a ，
(5.62)
反解出来就是
(5.63) 由于x 和p 都是厄米的，a 和+a 互为厄米共轭，即()++=a a 和()a a =++。
根据a 和+a (5.64)
1 P.Roman ，Advanced Quantum Theory ，P.634。
1.状态和波函数 1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2．τψτψψd d 2* = 是状态用ψ 描写的粒子在体积元τd 内的 几率（设ψ是归一化的）。 3．态叠加原理：设 n ψψψ ,,21 是体系的可能状态，那 么，这些态的线性叠加 ∑=n n n c ψψ 也是体系的一个可能状态。 4．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： ψψμ ψ),(t r V t i +?2-=??22 当势场)(r V 不显含t 时，其解是定态解)(,)(),(r e r t r Et i ψψψ-=满 足定态薛定谔方程 ψψψμψE t r V H =?? ? ???+?2-=22),( 定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。 5．波函数的归一化条件：1d 2 =?τψ （全） 。相对几率分布： )(~)(r c r ψψ，波函数常数因子不定性；相位因子不定性。 6．波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。
7．几率流密度( )ψψψψμ ?-?2= ** i j 与几率密度ψψρ* =满足连 续性方程 0=??+??j t ρ 2．一维运动 1．一维无限深方势阱 ?? ?≥≤∞<<=a x x a x x V 或0, 0, 0)( 本征值 ,3,2,1,22 2 22==n a n E n μπ 本征函数 ?? ? ??≥0≤0<<02=a x x a x a x n a n 或,,sin πψ 若 ???? ?≥∞<=a x a x x V , , 0)( 则本征值 2 2 228= a n E n μπ 本征函数 ?? ? ??≥0<21=a x a x n a x n a n ,,sin 为偶数，πψ ?? ? ??≥0<21=a x a x n a x n a n ,,cos 为奇数，πψ 2．三维无限深方势阱 ? ? ?∞<<0<<0<<00=其余 , ,,,c z b y a x V
C. 教学大纲（教学计划） 掌握和理解量子力学的基本概念，新的数学方法（微积分、微分方程、线性代数、数理方程、复变等等）和能解决一些简单的量子力学问题。 第一章：定性了解经典困难的实例：微观粒子的波–粒的二重性； 第二章，第三章：要全面掌握：波函数与波动方程，一维定态问题，波函数的统计诠释，态叠加原理，薛定谔方程和定态；知0t =的波函数，给出t 时刻的波函数，几率流密度矢，反射系数，透射系数，完全透射。 第四章：算符运算规则，厄密算符定义，厄密算符的本征方程，观测值的可能值，几率振幅。 力学量完全集（包括H ?的，即为运动常数的完全集）。共同本征态lm Y 的性 质（lm m *lm Y )1(Y -=，宇称l )1(-）。 力学量平均值随时间变化，运动常数，维里定律。 第五章：变量可分离型的三维定态问 有心势下，dinger o Sch equation 解在 0r → 的渐近行为。氢原子波函数，能量本征值的推导和结论要全面掌握。 三维各向同性谐振子在直角坐标和球坐标中的解，能级的结果和性质。 Hellmann-Feynman Theorem 。 电磁场下的n Hamiltonia ，规范不变性，几率流密度矢。正常塞曼效应及引起的原因。均匀强场下的带电粒子的能量本征值 磁通量量子化的现象。 第六章：量子力学的矩阵形式及表象理论 算符本征方程，薛定谔方程和平均值的矩阵表示；求力学量在某表象中的矩 阵表示；利用算符矩阵表示求本征值和本征函数。表象变换。dinger o Sch Picture 和 Heisenberg Picture 第七章：自旋 自旋引入的实验证据。电子自旋算符，本征值及表示。泡利算符性质，泡利矩阵。 自旋存在下的波函数和算符的表示。)j ,j ,l ? (r 2的共同本征态的矩阵形式。 自旋为1/2的两粒子总自旋波函数，Bell 不等式。 碱金属的双线结构及反常塞曼效应的现象及形成原因。 全同粒子的波函数结构，泡利原理 第八章：量子力学中的近似方法 定态微扰论：非简并定态微扰论，能级的一级，二级修正，波函数的一级修
《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 1、课程性质 2、教学目的和要求：量子力学是近代物理两大支柱之一，是近代光学技术的重要基础，因而本课是光电专业一门重要的专业必修课。本课程将主要阐述作为非相对论量子力学之波动力学的完 通过本课学习，应使学生：全面系统地了解微观世界的基本规律；理解掌握量子力学的基本概念，并能应用这些基本概念和规律说明解释微观现象；了解量子史上的重要物理思想，培养辩证唯物 3、总学时数：51 二、课程内容体系 第一章绪论（3 学时） 【教学重点与难点】重点是从经典物理学遇到的困难和量子力学的发展历史，理解光和粒子的波粒二象性，掌握德布罗意波。难点是对物质具有波动性与粒子性两重特性的理解 【考核要求】利用德布罗意关系式求解物质的粒子性与波动性间的关系 【教学基本内容】 第一节电磁辐射问题中的困难能量子与光量子论 1、黑体辐射与普朗克的量子假说 2、光电效应与爱因斯坦的光量子假说 3、康普顿效应对光量子理论的实验证实 第二节原子结构问题中的困难波尔的原子结构理论 1、原子结构问题中经典物理学遇到的困难 2、原子结构的波尔模型波尔假说 3、索末菲对波尔假说的推广 第三节波粒二象性 1、光的波粒二象性 2、微观粒子的波粒二象性 3、波粒二象性的物理意义 第二章波函数和薛定谔方程（6 学时）
【教学重点与难点】重点是理解物质波（波函数）的统计解释，了解波函数遵循态叠加原理，了解薛定谔方程的建立，并由薛定谔方程导出概率流密度和概率守恒，掌握定态薛定谔方程及其意义。难点是理解波函数的统计诠释和定态的概念 【考核要求】利用定态的性质区分波函数是否表示定态，波函数归一化 【教学基本内容】 第一节波函数及其统计诠释 1、微观粒子状态的描述——波函数 2、波函数的统计解释 3、相差一个常数因子的波函数描述同一个量子态 4、波函数的归一化 第二节态叠加原理 1、干涉与叠加原理 2、连续波函数的叠加 第三节薛定谔方程 1、算符的引入 2、薛定谔方程的建立 第四节概率流密度与概率守恒 1、概率流密度矢量与概率守恒 2、波函数的标准条件 第五节定态薛定谔方程 1、定态薛定谔方程的建立 2、定态的性质与叠加 第三章定态薛定谔方程的初步应用（3 学时） 【教学重点与难点】重点是运用定态薛定谔方程求解一维无限深方势阱和一维方势垒问题以及处理一维周期势场问题，理解一维束缚态中能级分裂现象和势垒贯穿现象。难点是求解定态薛定谔方程及运用归一化条件、边界条件、标准条件确定波函数的具体形式。 【考核要求】求解定态薛定谔方程并运用归一化条件、边界条件、标准条件确定波函数的具体形式 【教学基本内容】 第一节一维无限深方势阱 1、一维无限深方势阱的形式 2、势阱中粒子满足的方程及其求解
) (Et r p i p Ae -⋅= ψ《量子力学》复习 提纲 一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释 2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别） 3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程 4、量子力学中力学量与算符之间的关系 5、自旋的基本假设 二、三个实验 1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章 2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章 3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明 1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化； 2、厄密算符的本征值为实数； 3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交； 4、力学量算符的本征函数组成完全系； 5、量子力学测不准关系的证明； 6、常见力学量算符之间对易的证明； 7、泡利算符的形成。 四、表象 算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。 五、计算 1、力学量、平均值、几率； 2、会解简单的薛定谔方程。 第一章 绪论 1、德布洛意假设： 德布洛意关系： 戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波： 3、光的波动性和粒子性的实验证据： 4、光电效应： 5、康普顿散射：
∑=n n n c ψ ψ1d 2 =⎰ τψ（全） () ψψψψμ ∇-∇2=* * i j 0=⋅∇+∂∂j t ρ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222 t r V H μ) (,)(),(r e r t r n t E i n n n ψψψ-=n n n E H ψψ=附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性 （2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性 （3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋 第二章 波函数和薛定谔方程 1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 2．波函数统计解释： 若粒子的状态用()t r , ψ描写， τψ τψψd d 2 *=表示在t 时刻，空间r 处体积元τd 内找到粒子的几率（设 ψ是归一化的）。 3．态叠加原理： 设 n ψψψ,,21 是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加∑=n n n c ψψ也是体系的一个可能状态。 也可以说,当体系处于态 时，体系部分地处于态 n ψψψ,,21中。 4.任何一个波函数()t r , ψ都可以看做是各种不同动量的平面波的迭加。 5．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出： ψψμψ),(t r V t i +∇2-=∂∂22 当势场 )(r V 不显含时间t 时，其解是定态解 满足定态薛定谔方程 其中 注：定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。 6．波函数的归一化条件： （对整个空间积分） 相对几率分布： 波函数常数因子不定性；)(~)(r c r ψψ 波函数相位因子不定性： 7．波函数的标准条件：波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。 度与几率密度ψψρ*= 满足连续性方程 8．几率流密
量子力学导论 量子力学诞生的背景：21世纪物理学取得了两个划时代的进展是相对论和量子理论。相对论的建立从根本上改变了人们认识微观世界的道路，原子和分子之谜被揭开了，物质的属性以及在原子水平上的物质结构这个古老而又基本的问题才原则性得以解决，那量子力学是怎样诞生呢？量子理论的突破首先出现在黑体辐射能量密度随频率的分布规律上。Rayleigh-Jeans公式在高频极限是发散的，与实验尖锐矛盾，然而Plack提出了一个简单的公式，能在全波段与观测结果惊人地符合，当然这一公式的提出是基于能量量子化的假设。至此，量子力学得以诞生，后经Einstein用以解释光电效应而被人们逐渐接受，一些人开始用它来思考经典物理学碰到的其他重大疑难问题，其中最突出的就是原子结构与原子光谱的问题。 【思想精髓及薛定谔方程】 人们对于物质粒子波动性的理解，曾经经历过一场激烈的讨论，其中物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀了粒子性的一面，而把波动性看成是大量电子分布于空间所形成的疏密波的看法也是不正确的，它夸大了粒子性的一面，而实际抹杀了粒子的波动性，那么我们怎样将物质的波动性和粒子性统一到一个客体上去呢？M.born给出了回答，他在用薛定谔方程来处理散射问题时为解释散射粒子的角分布时提出了几率波的概念，从而将微观粒子的“原子性”与波的“叠加性”完美的统一起来。他
认为薛定谔方程中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表物理量的波动，只不过是刻画粒子在空间的几率分布的几率波而已。微观粒子的状态可用波函数完全描述，它描述了大量粒子的统计行为，对于单个粒子给出了几率性的答复。Born 对波函数的统计诠释，把粒子-波动两重性统一到几率波的概念上。所以经典粒子运动的图像和概念对于微观粒子不可能全盘适用，那么经典概念究竟多大程度上适用于微观世界?Heisenberg 的测不准关系对此做了最集中和最形象的概括，它指出微观粒子的位置和动量不能同时具有完全确定的值。此外，量子力学中还有一个重要定理——态叠加原理。对于一个粒子，当描述它的波函数给定后，则粒子所有力学量的测值几率就确定了，从这个意义上讲，波函数完全描述了一个三维空间粒子的量子态，所以波函数也称为态函数。而态叠加原理是“波的叠加性”与“波函数完全描述一个体系的量子态”两个概念的集中概括。在2211ψ+ψ=ψc c 所描述的态下，1ψ与2ψ有确切的相对权重和相对相位。量子力学中 的态叠加原理是与测量密切联系在一起的，它与经典波的叠加概念的物理含义有本质不同，是由粒子——波动两重性决定的。 前面已提及，一个微观粒子的量子态，用波函数ψ来描述，而这个波函数又满足怎样的要求呢？年轻的薛定谔给出了他满足的方程——薛定谔方程。这个方程揭示了微观世界中物质运动的基本规律，其地位与Newton 方程在经典力学中的地位相当，成为量子力学中的核心方程。
第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ϕ、)(r ψ，定义内积 r d r r )()(),(ψϕψϕ*⎰= (5.1) 按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r ψ时，找 到粒子处在状态()r ϕ的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下： “对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U 恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2) 而且有逆算符1ˆ-U 存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。” 任一算符A ˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符U ˆ有另一个等价的定义： “算符U ˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说 1ˆˆ-+=U U 。” (5.4b) 证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U 成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U +== 由于ϕ、ψ任意，所以 I U U =+ˆˆ 又因为U ˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆU U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质： i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U 有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U -1 。
中科院研究生院硕士研究生入学考试 《量子力学》考试大纲 本《量子力学》考试大纲适用于中国科学院研究生院物理学相关各专业（包括理论与实验类）硕士研究生的入学考试。本科目考试的重点是要求熟练掌握波函数的物理解释，薛定谔方程的建立、基本性质和精确的以及一些重要的近似求解方法，理解这些解的物理意义，熟悉其实际的应用。掌握量子力学中一些特殊的现象和问题的处理方法，包括力学量的算符表示、对易关系、不确定度关系、态和力学量的表象、电子的自旋、粒子的全同性、泡利原理、量子跃迁及光的发射与吸收的半经典处理方法等，并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 一．考试内容： （一）波函数和薛定谔方程 波粒二象性，量子现象的实验证实。波函数及其统计解释，薛定谔方程，连续性方程，波包的演化，薛定谔方程的定态解，态叠加原理。 （二）一维势场中的粒子 一维势场中粒子能量本征态的一般性质，一维方势阱的束缚态，方势垒的穿透，方势阱中的反射、透射与共振，d--函数和d-势阱中的束缚态，一维简谐振子。 （三）力学量用算符表示 坐标及坐标函数的平均值，动量算符及动量值的分布概率，算符的运算规则及其一般性质，厄米算符的本征值与本征函数，共同本征函数，不确定度关系，角动量算符。连续本征函数的归一化，力学量的完全集。力学量平均值随时间的
演化，量子力学的守恒量。 （四）中心力场 两体问题化为单体问题，球对称势和径向方程，自由粒子和球形方势阱，三维各向同性谐振子，氢原子及类氢离子。 （五）量子力学的矩阵表示与表象变换 态和算符的矩阵表示，表象变换，狄拉克符号，谢振子的占有数表象。 （六）自旋 电子自旋态与自旋算符，总角动量的本征态，碱金属原子光谱的双线结构与反常塞曼效应，电磁场中的薛定谔方程，自旋单态与三重态，光谱线的精细和超精细结构，自旋纠缠态。 （七）定态问题的近似方法 定态非简并微扰轮，定态简并微扰轮，变分法。 （八）量子跃迁 量子态随时间的演化，突发微扰与绝热微扰，周期微扰和有限时间内的常微扰，光的吸收与辐射的半经典理论。 （九）多体问题 全同粒子系统，氦原子，氢分子。 二．考试要求： （一）波函数和薛定谔方程 1．了解波粒二象性假设的物理意义及其主要实验事实， 2．熟练掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性和单值性。深入理解波函数的概率解释。
一、1．何谓势垒贯穿？是举例说明。 答：微观粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象，称为势垒贯穿。它是一种量子效应，是微观粒子波粒二象性的体现。例如金属电子冷发射、α衰变等现象都是由隧道效应产生的，利用微观粒子势垒贯穿效应的特性制造了隧道二极管。 2．波函数()t r , ψ是应该满足什么样的自然条件？ ()2,t r ψ的物理含义是什么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外， 它还应该是单值、有限和连续的。()2 ,t r ψ表示在t 时刻r 附近τd 体积元中粒子出现的几率密度。 3．分别说明什么样的状态是束缚态、简并态、正宇称态和负宇称态？ 答：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态（它可以用波函数展开，看成平面波的叠加）。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是本征值相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数一样，则称其为正宇称态；将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 4．物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 答：物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与观测值比较。 5．坐标 x 分量算符与动量x 分量算符x p ˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。 答：对易关系为[] i ˆ,=x p x ，测不准关系为2 ≥∆⋅∆x p x 6．厄米算符F ˆ的本征值n λ与本征矢n 分别具有什么性质？ 答：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系 7．简述德布罗意假设？ 答：具有能量E 和动量P 的自由粒子与一个频率为ν、波长为λ的平面波相联系。λ υh p h E = =,。 8．何谓定态？它有什么特点？ 答：能量具有确定值的状态称为定态。它用定态波函数()() iEt e r t r - =ψψ,描写。在定态中几率密度和几率流密度都与时间无关；在定态中力学量的平均值与时间无关。 9．简述全同性原理。 答：在全同粒子所组成的体系中,两全同粒子相互调换不改变体系的状态。 10、分别说明爱因斯坦的自发发射系数、受激辐射系数与吸收系数的物理意义。 答：mk A 称为原子体系由m ∈能级跃迁到k ∈能级的自发发射系数，它表示原子在
幺正变换在量子力学中的作用 量子力学是描述微观世界中粒子行为的一门物理学理论。在这个领域中，幺正变换是一种重要的数学工具，它在量子力学的各个方面都发挥着重要的作用。 幺正变换是指保持向量长度不变的线性变换。在量子力学中，一个物理系统的状态可以用一个向量表示，这个向量称为态矢量。幺正变换可以将一个态矢量映射到另一个态矢量，而保持它们的长度不变。这种性质使得幺正变换在量子力学中的应用非常广泛。 首先，幺正变换在量子力学中的一个重要应用是描述量子态的演化。根据量子力学的演化方程，一个量子态在时间演化中会发生变化。而幺正变换可以用来描述这种演化过程。通过对演化算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了系统在不同时间点的态矢量之间的关系。这种描述方式不仅简洁，而且符合量子力学的基本原理。 其次，幺正变换还在量子力学中的对称性研究中起到了重要的作用。对称性是自然界中普遍存在的一种规律，而幺正变换可以用来描述物理系统的对称性。通过对态矢量进行幺正变换，我们可以得到一个新的态矢量，它描述了系统在对称操作下的行为。这种对称性的研究不仅有助于我们理解物理现象，还为我们设计新的实验方法和技术提供了指导。 此外，幺正变换还在量子力学中的测量理论中发挥着重要的作用。量子力学中的测量是一个复杂的过程，而幺正变换可以用来描述测量过程中的变换关系。通过对测量算符进行幺正变换，我们可以得到一个新的算符，它描述了测量结果与原始态矢量之间的关系。这种描述方式有助于我们理解测量的本质，并为我们设计新的测量方法和技术提供了思路。 最后，幺正变换还在量子力学中的量子计算和量子通信中发挥着重要的作用。量子计算和量子通信是量子信息科学的两个重要分支，它们利用量子力学中的幺正
量子力学中的幺正变换与幺正群 量子力学是描述微观世界的物理理论，它的基本原理包括波粒二象性、不确定性原理等。在量子力学中，幺正变换和幺正群是非常重要的概念，它们在量子力学的各个方面都有广泛的应用。 幺正变换是指保持内积不变的线性变换。在量子力学中，态矢量的演化可以通过幺正变换来描述。幺正变换可以用一个幺正算符来表示，幺正算符是一个厄米算符的指数函数。幺正变换在量子力学中的应用非常广泛，例如描述态矢量的演化、求解定态薛定谔方程等。 幺正群是一类保持内积不变的幺正变换的集合。幺正群在量子力学中的作用非常重要，它可以用来描述物理系统的对称性。对称性在量子力学中扮演着非常重要的角色，它决定了物理系统的性质和行为。幺正群的表示理论是研究对称性的重要工具，它可以将幺正群的元素表示成矩阵形式，从而方便进行计算和分析。 在量子力学中，幺正变换和幺正群的应用非常广泛。例如，在量子力学中描述自旋系统时，可以使用旋转变换来描述自旋的演化。旋转变换是一个幺正变换，它可以用幺正算符表示。通过研究旋转变换的幺正算符的表示，可以得到自旋系统的能级结构和态矢量的演化规律。 另一个重要的应用是描述粒子的相互作用。在量子力学中，粒子的相互作用可以通过幺正变换来描述。幺正变换可以将相互作用哈密顿量转化为与自由粒子哈密顿量相似的形式，从而方便进行计算。通过研究幺正群的表示，可以得到不同相互作用形式下的物理系统的性质和行为。 此外，幺正变换和幺正群还在量子信息领域有着重要的应用。量子信息是研究利用量子力学原理进行信息处理和传输的学科。在量子信息中，幺正变换和幺正群被广泛应用于量子门操作、量子纠缠等方面。通过研究幺正变换和幺正群的性质，可以设计出更加高效和可靠的量子计算和通信协议。
量子力学中的幺正算符与时间演化 量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它的基础是量子力学的数学框架。在量子力学中，幺正算符是一个非常重要的概念，它在描述量子系统的时间演化中起着关键作用。 在量子力学中，一个物理系统的状态可以用波函数表示。波函数是一个复数函数，它包含了关于系统可能状态的所有信息。在给定时间点，系统的波函数可以用一个幺正算符作用在初始波函数上来描述。这个幺正算符被称为时间演化算符，它用来描述系统在时间上的演化。 幺正算符的定义是它保持内积不变。内积是量子力学中非常重要的概念，它描述了两个波函数之间的相似程度。幺正算符的保持内积不变的性质保证了系统在时间演化过程中的概率守恒。 幺正算符的一个重要性质是它可以表示为指数函数的形式。具体来说，对于一个幺正算符U，它可以写成U=e^(iHt)，其中H是系统的哈密顿量，t是时间。这个指数函数的形式非常方便，它使得我们可以用哈密顿量来描述系统的时间演化。 在量子力学中，哈密顿量是一个描述系统能量的算符。它的本征值表示系统的能量值，而本征态表示系统的能量态。幺正算符的指数形式可以帮助我们计算系统在不同能量态之间的转换概率。 幺正算符在量子力学中有许多应用。一个重要的应用是描述量子比特的时间演化。量子比特是量子计算的基本单位，它可以表示为一个二能级系统。通过对量子比特的时间演化进行控制，我们可以实现量子计算中的逻辑门操作。 另一个应用是描述量子纠缠的时间演化。量子纠缠是量子力学中一种特殊的关联性，它使得两个或多个量子系统之间的状态相互依赖。通过对量子纠缠的时间演化进行研究，我们可以深入理解量子纠缠的本质，并且可以利用量子纠缠来实现量子通信和量子密钥分发等应用。
量子力学中的幺正变换描述量子系统的变换量子力学是研究微观粒子行为的理论框架，它揭示了微观世界的非经典性质。量子系统的变换是其中一个重要的研究方向，而幺正变换是描述量子系统变换的数学工具之一。本文将重点探讨幺正变换在量子力学中的应用以及其在描述量子系统变换中的作用。 一、幺正变换的概念与性质 幺正变换又称为幺正操作，是指在量子力学中保持内积不变的线性变换。对于一个量子态向量ψ，经过幺正变换U后，可以表示为Uψ。幺正变换具有以下性质： 1. 保持内积不变：幺正变换保持内积的不变性，即⟨ψ1|ψ2⟩经过幺正变换U后，仍为⟨Uψ1|Uψ2⟩。 2. 保持归一性：若原始态矢量ψ经过幺正变换后，幺正变换矩阵U 满足U†U=I，其中I为单位矩阵，则经过幺正变换后的态矢量Uψ仍然被归一化。 3. 保持可逆性：幺正变换具有可逆性，即存在逆变换U†，使得UU†=U†U=I。 二、幺正变换的应用 1. 表示量子力学中的可观测量：在量子力学中，可观测量由厄米算符表示。一个厄米算符A可以通过幺正变换U与一个对角化算符D联系起来，即A=UDU†。这种对角化的过程简化了对可观测量的研究。
2. 描述量子系统的变换：幺正变换是描述量子系统变换的重要工具。例如，当一个量子系统受到外界干扰或作用时，可以用幺正变换来描 述系统从一个状态变换到另一个状态的演化过程。这种变换可以应用 于描述粒子的位置、动量、自旋等物理量的变化。 三、幺正变换的数学表示 幺正变换的数学表示可以通过矩阵运算来实现。幺正变换矩阵满足 以下条件： 1. 形式上为一个幺正矩阵：幺正变换矩阵U满足U†U=UU†=I，其 中U†为U的厄米共轭矩阵。 2. 厄米算符的指数函数：若H为一个厄米算符，幺正变换可以表示 为U=e^(iHt)，其中t为时间参数。 幺正变换的数学表示使得我们可以通过矩阵运算来描述系统的变换，同时保持量子态的归一性和内积不变。 四、实例：量子比特的旋转 量子比特是量子计算中最基本的单位，通常用二维希尔伯特空间来 描述。在量子比特的研究中，幺正变换常常被用来描述比特的旋转操作。 以Pauli矩阵σz为例，它表示了量子比特在z方向上的自旋测量结果，即“0”和“1”。我们可以通过幺正变换来描述σz的旋转操作。对于 一个量子比特的初始态矢量ψ=[a, b]（其中a和b为复数），经过幺正
量子力学中的幺正演化与动力学 量子力学是描述微观世界的基本理论，而幺正演化是量子力学中非常重要的概念。幺正演化描述了量子系统随时间演化的方式，是对量子力学中动力学的基本规律的体现。本文将围绕幺正演化展开讨论，探讨其在量子力学中的意义和应用。 首先，我们来了解一下什么是幺正演化。在量子力学中，幺正演化是指系统状态在时间演化过程中保持正交性的性质。简单来说，如果一个系统的初始状态是归一化的，那么在任意时间点，系统的状态仍然是归一化的，并且不会发生改变。这就意味着，幺正演化是保持系统的纯态不受外部干扰或测量的演化方式。而这种演化规律，正是量子力学中最基本的动力学规律。 在量子力学中，幺正演化可以由幺正算符表示。幺正算符是一个满足幺正性条件的算符，即它的厄米共轭等于它的逆。对于一个量子系统，如果它的演化由一个幺正算符U(t)描述，那么系统的时间演化可以用如下方程表示： |Ψ(t)⟩= U(t)|Ψ(0)⟩ 其中，|Ψ(t)⟩是系统在时间t的状态矢量，|Ψ(0)⟩是系统的初始状态矢量。这个方程称为幺正演化方程。 幺正演化不仅在理论上有重要意义，而且在实际应用中也具有广泛的应用。例如，在量子计算中，幺正演化被用于实现量子门操作，从而完成量子计算中的逻辑运算。量子门操作是通过作用于量子比特上的幺正算符实现的，其中幺正算符通常是通过操控量子系统的哈密顿量得到的。 同时，在量子信息科学中，幺正演化也扮演着重要的角色。例如，量子态传输和量子通信需要利用幺正演化来保持系统的纯态。此外，幺正演化还是量子纠缠和量子纠错的基础，通过对系统的幺正演化进行控制，可以实现量子纠缠的生成和探测。
另一个与幺正演化相关的重要概念是幺正变换。幺正变换描述了系统在幺正演化下的变化规律。幺正变换可以将一个初始状态变换为特定状态，或者将一个特定状态变换为另一个状态。在量子力学中，幺正变换通常被用于描述系统的量子态在不同基矢下的表示变换。这种变换在量子力学中非常重要，因为不同基下的表示可以提供不同的物理观点和计算方法。 除了幺正演化和幺正变换，还有一些其他与幺正相关的概念值得关注。例如，幺正演化符合背景无关，即与观察者的选取无关。这意味着无论系统是自由状态还是相互作用状态，幺正演化都是不变的。此外，幺正演化还满足可以逆转的性质，即系统的演化可以通过应用演化算符的逆算符实现的。这一性质为量子力学中的可逆性提供了基础。 综上所述，幺正演化在量子力学中是非常重要的一个概念。它描述了量子系统随时间演化的方式，是量子力学中动力学规律的体现。幺正演化通过幺正算符和幺正变换来描述，具有保持系统纯态和保持正交性的重要性质。在量子计算、量子信息科学等领域，幺正演化被广泛地应用。通过对幺正演化的研究，人们可以深入探索量子力学中微观粒子的行为和性质，进一步推动量子技术的发展和应用。
量子力学中的幺正变换与量子态演化 量子力学是一门探索微观世界的重要科学，它揭示了微观粒子的奇妙行为。在 量子力学中，幺正变换是一个非常重要的概念，它描述了量子态的演化和变换。本文将会探讨量子力学中的幺正变换与量子态的演化。 量子力学中的幺正变换可以理解为一个数学变换，它将一个量子态变换为另一 个量子态，同时保持态矢量的模长不变。换句话说，幺正变换可以使我们观察到量子系统的不同方面，而不改变其本质的性质。 量子态演化是指量子系统在时间演化下的变化。根据量子力学的演化方程，我 们可以描述一个量子态在时间上的演化。在幺正变换的框架下，量子态的演化可以通过幺正算符来描述。 幺正算符是一个满足幺正条件的线性算符。幺正条件要求幺正算符的厄米共轭 等于其逆。简单来说，幺正算符对应的演化是可逆的，它可以使量子态在时间上既演化为另一个态，又可以由另一个态演化回来。 在量子力学中，我们常用的幺正演化算符是时间演化算符。时间演化算符描述 了一个量子态在时间上的变化。根据时间演化算符的定义，一个系统的量子态在时间t上的变化可以由时间演化算符作用于系统的初态得到。 量子态演化还可以用幺正变换的形式来描述。对于一个量子态在时间上的演化，我们可以通过一系列幺正变换来实现。这些幺正变换可以是对应于量子系统哈密顿量的幺正算符，也可以是其他的幺正变换。 幺正变换在量子力学中起着非常重要的作用。它可以帮助我们理解量子态的演 化和变换。通过幺正变换，我们可以研究量子系统的能级结构、态矢量的变换以及与测量相关的一系列性质。幺正变换也为我们研究量子信息和量子计算提供了重要的数学工具。
在量子力学中，幺正变换的应用是非常广泛的。例如，在量子力学中，我们经常用到的波函数变换就是一种幺正变换。通过波函数的变换，我们可以得到不同表象下的量子态描述。 另一个重要的幺正变换是相干态的变换。相干态是能够保持时间演化不变的一类量子态。通过相干态的变换，我们可以研究相干态之间的转化，进而理解和应用量子态的演化。 在量子信息和量子计算领域，幺正变换也扮演着重要的角色。幺正变换可以用于量子门操作，例如控制相位门、Hadamard门等。这些量子门操作可以用于构建量子计算中的逻辑门电路，进而实现量子计算。 总结起来，量子力学中的幺正变换与量子态的演化密切相关。幺正变换是描述量子态演化的数学工具，它可以帮助我们理解量子系统的不同态及其演化。在量子信息和量子计算中，幺正变换也起着重要作用。通过研究幺正变换，我们可以深入理解量子力学的奇妙世界，并应用于各个领域的研究和实践。
量子力学三种绘景相互变换的幺正算符统一 公式 数量力学三种绘景相互变换的幺正算符统一公式 量子力学是研究物质微观世界的一门基础学科，量子力学中存在 着不同的描述物理规律的方式，称为绘景。其中，海森堡绘景、薛定 谔绘景和相互作用绘景是量子力学研究中比较常用的三种绘景，它们 之间可以通过幺正算符相互转换。本文将介绍量子力学三种绘景相互 变换的幺正算符统一公式。 1. 海森堡绘景 在海森堡绘景中，态矢量是时间无关的，而物理量（包括算符） 是时间依赖的。因此，态矢量在不同时间的测量结果不同。对于一个 态随时间演化的系统，其哈密顿算符是时间无关的。假设在时间t0时 刻的某个观测时刻，我们测量了该系统中某物理量A的期望值，并且 得到了一个值a0，那么在时间t1时刻的观测时刻，我们可以根据海森堡运动方程计算出该物理量的期望值。物理量在海森堡绘景下的演化 方程式为： dA/dt=i/h[ H, A] 其中，H是哈密顿算符，A是物理算符。 2. 薛定谔绘景 在薛定谔绘景中，态矢量是时间依赖的，而物理量（包括算符） 是时间无关的。因此，该绘景下的态随时间演化，而物理量不随时间 而变化。对于一个态随时间演化的系统，其哈密顿算符是时间无关的。在这种绘景下，物理量和波函数随时间的变化是相互独立的，而波函 数的演化方程式是薛定谔方程式： i/h dψ/dt= H ψ 其中，H是哈密顿算符，ψ是系统的波函数。 3. 相互作用绘景
在相互作用绘景中，态矢量和算符都是时间依赖的。相互作用绘 景下的物理量是在海森堡绘景中的物理量与含时演化算符相互作用得 到的。这种绘景主要用于处理含时碰撞的问题。对于一个态随时间演 化的系统，其哈密顿算符可以分解为一个无相互作用的哈密顿算符和 一个描述相互作用的算符。在这种绘景下，哈密顿量和算符都是时间 依赖的，且无相互作用的哈密顿算符是这种绘景下的常数。相互作用 绘景下的演化方程式为： i/h dA_I/dt= [H_I(t), A_I(t)] 其中，H_I(t)是相互作用哈密顿算符，A_I(t)是物理算符在相互 作用绘景下的表达式。 由于量子力学中存在着三种不同的绘景，为了描述一个系统的演 化过程，需要进行不同绘景之间的转换。但是，这种转换之间的关系 并不直观。幸运的是，三种绘景之间的转换可以通过幺正算符来实现。幺正算符是一个表示对称性的算符，它保证了在不同绘景之间进行转 换时量子态之间的内积保持不变。因此，三种绘景之间的转换可以用 幺正算符实现，并且幺正算符满足以下统一变换公式： U_I=exp[ i/h ∫ H_I(t) dt] 其中，U_I是相互作用绘景到薛定谔绘景的转换幺正算符，H_I(t)是相互作用哈密顿算符。三种绘景之间的其他转换也有类似的公式。 总之，量子力学三种绘景相互变换的幺正算符统一公式可以使我 们更好的处理物理系统的演化过程，从而更准确地描述物理规律。这 种统一公式不仅是量子力学理论研究的基础，同时也对实际应用中的 问题具有重要意义。
幺正变换 摘要：从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，本文介绍了幺正变换的定义，推导了不同表象之间的变换关系，讨论了幺正变换下算符、波函数的变化以及幺正变换的性质，并举例应用幺正变换不改变本征值的性质，求算符的本征值。对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。 关键词：表象；算符；波函数；幺正变换 一、引言：和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在 不同表象中表示。在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。在表象变换中，算符的本征值不变，与在高等数学中选用适当的坐标系可以大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换到适当的表象，也可以使计算过程大大简化，甚至直接得出所求结果。 二、A 表象与B 表象的变换关系（基矢变换） 设力学量算符A ˆ、B ˆ的本征方程分别为 其中()}{x n ψ和()} {x ϕβ均为正交归一完备系。 将()}{x ϕβ按()}{ x n ψ展开 展开系数为 ()S n S β = 就是变换矩阵。通过它可以把B 表象的基矢用A 表象的基矢表示出来。展开 式的矩阵表示为 ˆ()()n n n A x x ψλψ=ˆ()() B x x βββ ϕμϕ=(,1,2,)n β= ()() n n n x S x ββϕψ=∑ ,2,1=β*** ()()m m m x x S αα ϕψ=∑ ,2,1=α*()()n n S x x dx ββψϕ=⎰** ()()m m S x x dx ααψϕ=⎰
第四章 表象与变换 内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。在本章将介绍这种表示法以及运算规则。 除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。§ 4.1 矢量空间§ 4.2 态和算符的表象表示§ 4.3 量子力学公式的矩阵表示§ 4.4 幺正变换§ 4.5 狄拉克符号§ 4.6 线性谐振子粒子数表象§ 4.7 绘景的分类1.线性矢量空间 定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。 运算一：集合内任意两个矢量 和 ，总有一个确定的 与 之对应，记作 这种对应法称为加法。 加法运算满足下列条件：① 交换律 ② 结合律 存在唯一零矢量 ，对任意矢量 都有 ④ 对集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，满足 运算二：规定一种确定的对应方法，使得 中的任意矢量 和数域中任意数 ，在集合中总有一个矢量 与之对应，这种对应法则叫数乘，记作 数乘满足下列条件： ② ③ 2.线性相关与线性无关 线性无关：对于线性矢量空间 个矢量集合 ，若线性组合 ，只有当所有系数 时才成立，则称 个矢量线性无关，否则 个矢量称线性相关。 一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值 ，称为该线性矢量空间的维数。3.内积运算 规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量 和 ，总有一个复数 与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积： 4.标准正交基 作为标准正交基，必须满足下列条件：① 是线性无关的; ② ③ 具有完备性：内积空间的任意矢量 可以表示为 4.2 态和算符的表象表示 在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。 假设体系的状态在坐标表象中用波函数 (),x t ψ 来描述，前面已经介绍过动量的本征函数为 且 ()()(),,p x t C p t x dp ψψ=⎰ 其中 ()()()* ,,p C p t x t x dx ψψ=⎰ 从前面的讨论知道： () 2 ,x t d x ψ 是在 (),x t ψ 所描述的态中在 x x d x →+ 范
§４.５ 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换,因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 （1）直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢(我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =，),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e ,且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =,),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是：这两个表示有何关系? 显然，22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积（即作标积）,有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ，显然有 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积，它表示基矢之间的关系。故Ｒ 给定，任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明，R 具有下述性质： I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2 ==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=, 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R (对应于真转动（p ｒｏper ｒo ｔａtio ｎ））且R R =* (实矩阵）
. n n n c ψφ=∑第四章 态和力学量的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。 §4.1态的表象表示 由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开 例如，动量的本征函数表示 组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为 (,)(,)()x x p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ， 展开系数(,)x c p t 由下式给出 ()(),() ,x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的， 2 (,)x t dx ψ代表体系处于 (,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2 (,)x x c p t dp 代表在该 态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。 在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。这与三维空间中的坐标系类似。表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。从前面的讨论可以看出， 同 ()x x i p x p x ψ= （1） （2） （3） （4）