【知识点梳理】 1、轴对称图形：
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称：
两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：
（1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
1. 轴对称的性质：
（1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。 1) 线段的垂直平分线：
（1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ，
直线m ⊥AB 于C ，
∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。
m
C
A
B
D'
D C'
B'
A'
K
J I H 图1
图2
（2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ，
直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。
（3）判定。
与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB ，
直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形：
（1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角=
顶角顶角2
1
-902180?=-? 可见，底角只能是锐角。 （2）性质。
①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 ②等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一。
m C A
B
P
图3
底边
底角底角顶
角
腰
腰
D
C
B
A
图4
（3）判定。
①有两条边相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC中，
∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形。
②有两个角相等的三角形是等腰三角形。
如图5，在△ABC中
∵∠B=∠C
∴△ABC是等腰三角形。
7、等边三角形：
（1）定义。三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质。
①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
如图6，在△ABC中
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C=60°。
（3）判定。
①三条边都相等的三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中
∵AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形。
②三个内角都相等的三角形是等边三角形。如图6，在△ABC中
∵∠A=∠B=∠C
图6
图5
A
B C
∴△ABC 是等边三角形 。
③有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC 中
∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ） ∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC 是等边三角形 。
（4）重要结论。在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。 如图7，
∵在Rt △ABC 中， ∠C=90°，∠A=30°
∴BC=2
1
AB
或AB=2BC
8、平面直角坐标系中的轴对称： (1)),(),(b a x b a -横不变，纵反向
轴对称关于
(2)),(),(b a y b a -横反向，纵不变
轴对称关于
说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见11（1）。 9、对称轴的画法：
在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。
注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 ②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 10、常见的轴对称图形： （1）英文字母。
A B D E H I K M O T U V W X Y
图7
（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，
（3）三，六，米，山，甲，由，田，天，又，只，支，
（4）圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。
（5）数字。0 3 8
（6）图形。
【有关考点】
考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识
⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够
________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。
⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做
__________
【典例】
1．下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．正n边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于
_________的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．
[关于坐标轴对称]
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）
[关于原点对称]
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）
[关于坐标轴夹角平分线对称]
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）
点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）
[关于平行于坐标轴的直线对称]
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；
考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形
图（2）
Q
C
A
B
E
F
P
E
D
C
B
A
【典例】
1、如图，Rt △ABC ，∠C=90°,∠B=30°,BC=8，D 为AB 中点， P 为BC 上一动点，连接AP 、DP,则AP+DP 的最小值是
2、已知等边ABC ，E 在BC 的延长线上，CF 平分∠DCE ，P 为射线BC 上一点，Q 为CF 上一点，连接AP 、PQ. 若AP=PQ ，求证∠APQ 是多少度
考点四、线段垂直平分线的性质
⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等归类回忆角平分线的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________
⑵角平分线上的点到______________________________相等 【典例】
1、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
D
A
C
B
P
第1题图
2、如图，△ABC 中，AB=AC ，PB=PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平分BC
3、如图,DE 是?ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则?EBC 的周长为（ ）
A.16厘米
B.18厘米
C.26厘米
D.28厘米 4、如图，∠BAC=30°，P 是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ，PD=28 , 则AM=
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，∠BA C 的平分线交 BC 于D. 过C 点
作CG⊥AB 于G ，交AD 于E. 过D 点作DF⊥AB 于F.下列结论： ①∠CED=∠CDE；②AEC S ?︰AC S AEG =?︰AG ；③∠AD F =2∠ECD ； ④DFB CED S S ??=；⑤CE=DF. 其中正确结论的序号是( ) A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤
【课后练习】 一、选择题
B
D
C
A P
C
E
B
D
A
F E D
C
B
A
G
1．下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 正确的说法有（ ）个 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形. 其中是轴对称图形有（ ）个 A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OA 对称，P 2与P 关于OB 对称，则△P 1OP 2是
（ ）
A ．含30°角的直角三角形；
B ．顶角是30的等腰
三角形；
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形.
4．如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则
∠APE 的度数是
（ ）
A ．45°
B ．55°
C ．60°
D ．75°
5. 等腰梯形两底长为4cm 和10cm ，面积为21cm 2，则 这个梯形较小 的底角是（ ）度. A ．45°
B ．30°
C ．60°
D ．90°
6．已知点P 在线段AB 的中垂线上，点Q 在线段AB 的中垂线外，则 （ ）
A ．PA+P
B ＞QA+QB B ．PA+PB ＜QA+QB D ．PA+PB ＝QA+QB
D ．不能确定
7．已知△ABC 与△A 1B 1C 1关于直线MN 对称，且BC 与B 1C 1交与直线MN 上一点O ， 则
P
A
E
C
B
D
（ ）
A ．点O 是BC 的中点
B ．点O 是B 1
C 1的中点
C ．线段OA 与OA 1关于直线MN 对称
D ．以上都不对
8．如图：已知∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，
PD ⊥OA ，若PC=4，则PD= （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．∠AOB 的平分线上一点P 到OA 的距离 为5，Q 是OB 上任一点，则 （ ）
A ．PQ ＞5
B ．PQ≥5
C ．PQ ＜5
D ．PQ≤5
10．等腰三角形的周长为15cm ，其中一边长为3cm ．则该等腰三角形的底长为
（ ）
A ．3cm 或5cm
B ．3cm 或7cm
C ．3cm
D ．5cm
二．填空题
11．线段轴是对称图形，它有_______条对称轴． 12．等腰△ABC 中，若∠A=30°，则∠B=________．
13．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若CD=4，则点D
到AB 的距离是__________．
14．等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠A=30°，则腰AB 上的高等于___________． 15．如图：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=6，AD=5，BC=8，且AB ∥DE ，
则△DEC 的周长是____________．
16．等腰梯形的腰长为2，上、下底之和为10且有一底角为
B
A
D
P
O
C
B
E
C
D
A
60°，则它的两底长分别为____________．
17．若D 为△ABC 的边BC 上一点，且AD=BD ，AB=AC=CD ， 则∠BAC=____________．
18．△ABC 中，AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，若∠BAC=115°，
则∠EAF=___________． 三．解答题
19．如图：已知∠AOB 和C 、D 两点，求作一点P ，使PC=PD ，且P 到∠AOB
两边的距离相等．
20．如图：AD 为△ABC 的高，∠B=2∠C ，用轴对称图形说明：CD=AB+BD ．
21．有一本书折了其中一页的一角，如图：测得
AD=30cm,BE=20cm ，∠BEG=60°，求折痕EF 的长．
A
C
·
·D
O
B
A C
D
B
22．如图：△ABC 中，AB=AC=5，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于E 、D ，
① 若△BCD 的周长为8，求BC 的长； ② 若BC=4，求△BCD 的周长．
23．等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，
BP=CQ ，问 △APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．
B C
D E
A
A C
B
P
Q
F C
D
B E
A
考点五、等腰三角形的特征和识别
⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”） ⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”） 特别的：（1）等腰三角形是___________图形.
（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________. ⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）特别的：
（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．
【典型例题】
例1、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。试说明DE=DF 。
例2、如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE.求证：△ABC 是等腰三角形.
【巩固练习】
1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF∥AC 交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______ 。
2、如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D 且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( )
A. 15 B . 14 C. 13 D. 18
3、如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且 AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o
,则∠FEB=________度．
4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________
5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于 °
6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于
N
M
F
E
C
D
B
A
F E D
A
B
C
F
E
D C B
A
7、已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ， 则∠DCE = 度.
考点六、等边三角形的特征和识别
⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________ ⑵三个角相等的三角形是__________三角形
⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形 特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________ 【典例】
例1、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE
＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。 求证：M 是BE 的中点。
例2．如图，点P 是等边△ABC 内一点，点P 到三边的距离分别为PE 、PF 、PG ，等边△ABC 的高为AD ，求证：PE ＋PF ＋PG ＝AD
A
B
C
D
E
M
G
F
E
D A
B P
C
【巩固练习】 1、填空
⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________ ⑵三个角相等的三角形是__________三角形
⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形 特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线__________________________________ 2．下列推理中，错误的是【 】 A ．∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形
3．已知△ABC 是等边三角形，分别在AC 、BC 上取点E
、F ，且AE ＝CF ，BE 、AF 交于点D ，则∠BDF ＝ _________度
4．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD ＝BE ＝CF ，则△DEF?的
形状是【 】
A ．等边三角形
B ．腰和底边不相等的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．不等边三角形
E
D C
A
B
F
5．如图B 、C 、D 在一直线上，ΔABC 、ΔADE 是等边三角形，若CE ＝15cm ，CD ＝6cm ，则AC ＝_____，∠ECD ＝_____．
6．如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下六个结论：①AD ＝BE;②PQ ∥AE;③AP ＝BQ;④DE ＝DP; ⑤∠AOB ＝60°;⑥CO 平分∠AOE.其中不正确的有【 】个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．
3
考点七、30°所对的直角边是斜边的一半 【典例】
例1、如图，AB=AC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∠BAC=120o ，BC=6，则DE+DF=
乙
O
D
C
B
A
F
E
C
B
A
例2、在ABC △中，120AB AC A =∠=?，，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ．如果1DE =，求BC 的长
1、如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直 于横梁AC ，AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）
A ．1m
B ．2m
C ．3m
D ．4m
2、如图：△ADC 中，∠A = 15°，∠D=90°，B 在AC 的
垂直平分线上，AB =34，则CD = ( ) A. 15 B . 17
C. 16
D. 以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm ，C0=D0=30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB 刚
E
D C
B
A
F
E
C
B
A D 第4题图
好为120°，求桌面到地面的距离是多少？
甲
参考答案
1．A 2．B 3．C 4．C5．A6．D7．C8．C9．B10．C 11．212．30°、75°、120°13．414．515．1516．4、617．72°18．50°19．提示：作CD的中垂线和∠AOB的平分线，两线的交点即为所作的点P；20．提示：在CD上取一点E使DE＝BD，连结AE；
21．EF＝20㎝；22．①BC＝3，②9；
23．提示：△APQ为等边三角形，先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ ＝60°即可.
八年级数学上册教案 课题： 2.5 等腰三角形的轴对称性（2）课时： 2 课型：新授课教学目标： 1．掌握等腰三角形的判定定理． 2．知道等边三角形的性质以及等边三角形的判定定理． 3．经历折纸、画图、观察、推理等操作活动的合理性进行证明的过程，不断感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径． 4．会用“因为……所以……理由是……”或“根据……因为……所以……”等方式来进行说理，进一步发展有条理地思考和表达，提高演绎推理的能力． 教学重点： 熟练地掌握等腰三角形的判定定理． 教学难点： 正确熟练地运用定理解决问题及简洁地逻辑推理． 教学设计：设计说明及补充： 情境导入一、创设情境 如图所示△ABC是等腰三角形，AB＝AC，它的一部分被墨水 涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C．请同学们想一 想，有没有办法把原来的等腰三角形ABC重新画出来？大家 试试看．[来源:学科网ZXXK] 演示折叠过程为 进一步的说理和 推理提供思路． 通过动手操作、演 示、观察、猜想、 教学过程二、探索发现一 请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下 方法进行操作： （1）在半透明纸上画一条长为6cm的线段BC． （2）以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，在BC 的同侧用量角器画两个相等的锐角，两角终边的交点为A． （3）用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD 对折． 问题1：AB与AC有什么数量关系？ B C
问题2：请用语言叙述你的发现． 三、分析证明 思考：我们利用了折叠、度量得到了上述结论，那么如何证明这些结论呢？ 问题3：已知如图课本P62图2-31，在△ABC中，∠B ＝∠C．求证：AB＝AC． 引导学分析问题，综合证明． 思考：你还有不同的证明方法吗？ 问题4：“等边对等角”与“等角对等边”，它们有什么区别和联系？ 四、探索发现二 问题5：什么是等边三角形？等边三角形与等腰三角形有什么区别和联系？ 问题6：等边三角形有什么性质？ 问题7：一个三角形满足什么条件就是等边三角形了？为什么？ 五、学以致用 请同学完成课本P63－64练习第1、2、3题． 小结 这节课你学到了什么？ 课堂作业补充练习体验、感悟等学习活动，获得知识为今后学生进行探索活动积累数学活动经验． 通过“你有不同的证明方法吗”的问题，让学生学会质疑，学会从不同的角度思考问题，培养学生的发散性思维，激发探究问题的欲望和兴趣，通过对问题4的思考让学生加深对性质与判定的理解． 板书设计:教学反思：
课题：八年级数学上册《等腰三角形的轴对称性》课时：1课时教材分析：本节内容是继上一节“等腰三角形的性质”之后。首先由“等边对等角”逆用是否成立引出；之后通过学生动手操作探究；然后得出“等角对等边”定理；接着进行应用；最后是关于等边三角形的识别的“大家谈谈” 学情分析：学优生通过启发引导探究出几何推理的方法得到“等角对等边”；中等生、学困生通过动手操作验证“等角对等边”。在复杂图形中正确运用“等角对等边”的方法应予以指导。 教学目标： （一）知识与技能 1．学优生掌握“等角对等边”的几何推理方法，并能够综合运用有关定理解决三步几何说理题。 2．中等生学会运用全等的方法证明“等角对等边”，并能运用有关定理解决二步几何说理题。 3．学困生学会正确运用“等角对等边”，并能够区分“等角对等边”与“等边对等角”。 （二）过程与方法 1．学优生经历用几何推理方法得到“等角对等边”的过程，提高他们的几何推理能力。 2．中等生、学困生经历动手操作方法验证“等角对等边”。 （三）情感态度、价值观 激发全体学生的探究热情，体验探究成功的快乐，帮助学生树立学习信心。 教学过程： （一）复习旧知，导入新课 1．教师提问学困生：（如图1）在△ABC中，如果AB=AC，你能得到什么结论？ 2．教师提问中等生：（如图2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=BD=BC，你能得到哪些等角？
(二)探究新知 1．问题解决 （1）提出问题：（如图3）在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC吗？ （2）学生讨论验证方法：折叠法；测量法；几何推理法（师引导辅助线的添加） （3）自主解决：学优生写出几何推理过程；学困生动手操作验证；中等生自愿选择。 （4）交流总结：先找学困生动手操作演示；然后找学优生口述几何推理过程；之后，师生共同总结出“等角对等边”性质定理。 2．同类变换 找中等生依次回答下列问题： （1）如图4，在△ABC中，如果∠A=∠C，那么。 （2）如图5，在Rt△ABC中，如果∠A=∠B，那么。 （3）如图6，在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠A=45°，那么。 （4）如图7，∠BCD是△ABC的一个外角，如果∠BCD =60°,∠ A=30°，那么。 3．方法总结 （1）先用箭头指出一个三角形中两个等角所对的两条边，然后写出结论。
数学八(上)1.5《等腰三角形的轴对称性》习题 1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为； （2）如果等腰三角形的周长为10，腰长为4，那么底边长为；（3）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2.用三角尺画出一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法？ 3.在等腰三角形ABC中，∠A =4∠B. (1)若∠A 是顶角，则∠C= °； （2）若∠A 是底角，则∠C= °。 4.如图，在三角形平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自己自然下垂。如果调整架身，使垂线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置，这是为什么？ 5.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D 在AB 上。 （1）如果CD是角平分线，那么∠BCD = ° ; （2）如果CD是高，那么∠BCD = °； （3）如果CD = AD，那么∠BCD = °； （4）如果CD = CB ,那么∠BCD = °。
6.在△ABC中，∠A=40°，当角∠B等于那些度数时，△ABC是等腰三角形？ 7.如图，∠C=36°，∠B=72°，∠,BAD=36°. （1）求∠1和∠2的度数。 （2）找出图中的等腰三角形，并说明理由。 （第7题） 8.如图。 （第8题） （1）由Rt△CDE≌ Rt△ACF,可得∠DCE+∠ACF= °,从而∠ACB= °；（2）设小方格的边长为1，则AB= ； （3）去AB的中点M，连接CM，则CM= ,理由是：。 9.如图,AB⊥ AC,点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD. (1) ∠ACB= °∠ABD= ° ;
1.5 等腰三角形的轴对称性复习课 [趣题导学] 建筑工人在建房子时，为了确定房梁是否水平，常用这样的方法：用一块等腰三角板放在梁上，从顶角顶点系一重物，如果系重物的绳刚好经过三角板的底边中点，则认为房梁就是水平的，你认为这样做有道理吗？ 解答：这样做有道理。如图1.5-1，△ABC 为等腰三角 形，所系重物过底边中点D 点，则可知AD 为等腰三角形的底边中线，根据等腰三角形底的平分线，底边的高，底边的中线，“三线合一”的性质，可知AD 也为高，即AD ⊥BC ，AD 的方向正好为铅垂方向，与铅垂方向垂直的线则是水平线，由此可知梁BC 是水平的。 [双基锤炼] 一、选择题 1、下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ） A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．直角三角形 2、有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（ ） A ．2cm ，2cm ，4cm B ．3cm ，8cm ，3cm C ．3cm ，4cm ，6cm D ．5cm ，4cm ，4cm 3、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（ ） A ．40°，40° B ．80°，20° C ．50°，50° D ．50°，50°或80°,20° 4、如图1.5-2，在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上,且BD=BE ，CD=CF ，∠A=70°，那么∠FDE 等于（ ） A ．40° B ．45° C ．55° D ．35° 5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．． 的个数是（ ） 图1.5-2 A B C E F D
A B 2 1C B A E D O 21 1.5等腰三角形的轴对称性（2） 姓名_________ 班级 ________ 学号 等第 学习目标 1. 掌握“等角对等边”的性质 2. 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 3. 经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力， 感受分类、转化等数学思想方法； 4. 会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和 表达，提高演绎推理的能力 学习重点 熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质 学习难点 正确熟练的运用解决问题 学习过程 1.探索发现 （1）.将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB ，所得的∠1与∠2相等吗？为什么？ 经过折叠后所得的△ABC ，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC ，BC 的长度，你们有什么发现？ （2）.在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABM.设AM 与BN 相交于点C.量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？你和同学所得的结论相同吗？ 2.例题分析 例1. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O 。 (1).OB 与OC 相等吗？请说明理由。 ⑵.BD 与CE 相等吗?为什么? B A C 21
⑶.如果将BD 与CE 变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么? 例2、如图，已知0B 、OC 为△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，△ADE 的周长为10，BC 长为8，求△ABC 的周长. 3. 根据课本P26的探索，请同学讨论，并从中得出相关的结论 取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠： 问题：图中与AD 相等的线段有哪些？CD 与AB 的大小有什么关系？ 4.课堂练习 （1）.课本第26页练习1、2、3 （2）.如图,在四边形ABCD 中， ∠ABC=∠ADC=900 ，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN ⊥BD. （3）.如图,在△ABC 中，∠C=900 ， ∠ABD=2∠EBC ，AD ∥BC ， 求证:DE=2AB. 5. 总结反思 （1）.如何判定一个三角形是等腰三角形？ （2）.直角三角形斜边上的中线与斜边有何关系？ A B C D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A B C D E A C B D M N A B C D E
【知识点回顾】 轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。 轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 等腰三角形的判定 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】 例1. 如图，ABC ?中，ο100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。 求证：B C B D AD =+。 分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。 证明：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ?和EB D ?中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，， ο ο 80 DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴，
初中数学 轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合，?这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴． 有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴． 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.两个图形关于直线对称也叫做轴对称. 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称,?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系,?成轴对称的两个图形是全等形;轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形是全等形,并且成轴对称． 线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,?叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）. (2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来,?与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合. 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．? 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到. 轴对称变换的性质 （1)经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 (2)?经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点. (３）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分． 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 (1）作出一些关键点或特殊点的对称点． (2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形． 关于坐标轴对称 点P（x,y)关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）
《等腰三角形的轴对称性》教学设计 一、教材分析 1.教材的地位和作用 本课是苏科版八年级上册第二章第5节第1课时的内容。在此之前，学生已经掌握了三角形全等和轴对称的知识，具有了初步的推理证明能力。本节课要求进一步培养学生推理能力；而“等边对等角”和“三线合一”也是今后证明两个角相等、两条线段相等、两条直线互相垂直的重要依据，也是学习等边三角形的预备知识。因此本节内容是本章的重点之一，具有承前启后的作用。 2.课时安排和说明 “2.5等腰三角形的轴对称”这一节安排三课时，本次教学内容为第一课时，探索得到等腰三角形的性质，并利用等腰三角形的性质解决有关问题。 3.教具准备 多媒体、长方形纸片，剪刀。 二、学情分析 认知分析：学生已掌握了轴对称与轴对称图形的性质，这将成为学生研究和探索等腰三角形性质的基础知识。 能力分析：学生通过前面的知识学习，已初步具备一定的操作、归纳、推理和论证能力，但数学意识和应用能力尚需要进一步培养。 情感分析：多数学生对数学学习有一定的兴趣，能够积极参与动手操作与研究，但合作交流意识方面，有待加强；少数学生主动性不够强，需要营造一定的学习氛围，来加以带动。 三、教学目标 1、知识与技能：能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。 2、过程与方法：经历剪纸，折纸等探究活动，进一步认识等腰三角形的定义和性质，了解等腰三角形是轴对称图形。 3、情感态度与价值观：培养学生的观察能力，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生的自信心。 四、教学重点和难点 教学重点：等腰三角形的性质的探索和应用。 教学难点：等腰三角形的性质的推理证明。 五、教学过程 （一）、创设情境，引出课题 1、课件出示一些具有三角形的图片，提问：这些三角形有什么共同的特点？ （设计意图：由日常生活中的等腰三角形引出课题，目的在于让学生体会数学来源于生活，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。） 2、回顾等腰三角形的概念，并让学生思考：等腰三角形还有其他的特殊性质吗？教师引入课题这节课我们就来研究等腰三角形的性质。 （设计意图：回顾旧知，有利于新旧知识的衔接，教师要让学生对探索的目标、意义有十分明确的认识，做好探索前的物质准备和精神准备。）
复习范围：等腰三角形的轴对称性 知识点回顾： 知识点一：等腰三角形的轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴； 等腰三角形的两个底角相等；（简称“等边对等角”） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。(简称“三线合一”) 同步测试： 1、等腰三角形的周长为cm 13,其中一边长为cm 3,则该等腰三角形的底边为( ) A. cm 7 B. cm 3 C. cm 7或cm 3 D. cm 8 2、如图,△ABC 是等腰三角形,∠A=90°,AD 是BC 上的高,DE 、DF 分别是AB 、AC 上的高,图 中等腰三角形有 ( ) A.7个 B.6个 C.3个 D.5个 知识点二：等边三角形的轴对称性 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 等边三角形的每个角都等于600 。 同步测试： 1、在等边三角形ABC 中,AD 是高,∠B 的平分线交AD 于E,下面判断中错误的是 ( ) A.点E 在AB 的垂直平分线上 B.点E 到AB 、BC 、AC 的距离相等 C.点E 是AD 的中点 D.过点E 且垂直于AB 的直线必经过点C 知识点三：等腰（边）三角形的判定 如果一个三角形有2个角相等，那么这2个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”） 3个角相等的三角形是等边三角形； 有两个角等于600的三角形是等边三角形； 有一个角等于600的等腰三角形是等边三角形。 同步测试： 1、有一个外角是120°,两个外角相等的三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.不等边三角形 D.不能确定 2、如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于O 点。①试说明△OBC 是等腰三角形，并说明理由。 知识点四：直角三角形斜边中线的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 同步测试： 1、某直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则它的斜边中线为 。 A E D C O A B C D E F
【最新整理，下载后即可编辑】 等腰三角形的轴对称性 1.知识.能力聚焦 1.等腰三角形的性质 （1）等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线是它的对称轴。 （2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （3）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为“等角对等边”），这就是等腰三角形的重要判定方法。 3.直角三角形的性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在应用该性质时应注意以下两点： （1）必须是在直角三角形中； （2）中线必须是斜边上的中线，二者缺一不可。 4.等边三角形 （1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。（2）性质：应为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以它除了具有等腰三角形的一切性质外，还具有如下性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 ②等边三角形是每个角都等于60° （3）识别：判定等边三角形有如下三种方法: ①三边相等的三角形是等边三角形。 ②三个角都相等的三角形是等边三角形。 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
E D C B A 第2题图 创新.思维拓展 等腰三角形性质的拓展 由于等腰三角形的特殊性，除了边、角的等量关系以外，还有以下特殊的性质； （1） 等腰三角形两腰上的高、中线分别相等。 （2） 等腰三角形两底角的平分线相等。 （3） 等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等。 （4） 在一个三角形中，等边对等角，如果边不等则所对的角也不等， 并且大边对大角。 再探直角三角形的性质 在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。 习题 1．(1)等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么周长是 ； (2)等腰三角形有一边长是6，另一边长是8， 那么它的周长是 ； (3)若等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，则它的周长为( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．12或15 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD 是BC 边上的中线，且BD=B E ，则∠ADE 是 °． 3．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为( ) A ．80°、80°、20° B ．80°、50°、50° C ．80°、80°、20°或80°、50°、50° D ．以上答案都不对 D C B A
初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 等腰三角形和等边三角形的轴对称性 ［目标］ 探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。 二. 重、难点： 1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件； 2. 等边三角形的概念及其性质。 三. 知识要点： 1. 等腰三角形 （1）等腰三角形是轴对称图形。 顶角平分线所在直线是它的对称轴。 （2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法） ①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。（简称“三线合一”） ②等腰三角形的两底角相等。（简称“等边对等角”） ③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简称“等角对等边”） ☆（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 2. 等边三角形 （a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。等边三角形是一种特殊的等腰三角形。 （b）等边三角形特殊的性质： ①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。 60。 ②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于 60的等腰三角形是等边三角形） （有一个角是 【典型例题】 例1. 已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（）（A）2，2，6 （B）3，3，4 （C）4，4，2 （D）3，3，4或4，4，2
分析：可采用排除法。三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。 答：选D 。 例2. O 为锐角△ABC 的∠C 平分线上一点，O 关于AC 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则△POQ 一定是（ ） （A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形 分析：设OP 、OQ 分别交AC 、BC 于E 、F ，由线段的对称轴是它的垂直平分线知： OE ⊥AC ，且OE ＝ 21OP ；同理OF ⊥BC ，且OF ＝2 1 OQ ； 由角平分线的性质知：OE ＝OF ，则OP ＝OQ 。∴△POQ 一定是等腰三角形 答：选B 例3. （1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm ，那么斜边长等于_________。 （2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于 260，则这个等腰三角形的顶角等于_______，底角等于__________。 （3）等边三角形的周长是30cm ，一边上的高是8cm ，则三角形的面积为______ _______。 解：（1）设斜边长为x cm ，则直角边长为 x 22，根据题意，42 22=-?x x 。 解得)21(4+=x cm （2）设顶角的一个外角为 m ，则 260180=+m 。 而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于 40，顶角等于 100。 （3）等边三角形三边相等，则其边长为cm 10330=，∴2408102 1 cm S =??=? 例4. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少?30，求这个三角形的三个内角 的度数。（考虑两种情况） 解：①设等腰三角形的底角为x ，则顶角为)302( -x ，则 180)302(=-++x x x 解得：x ＝ 5.52 ∴)302( -x ＝ 75 ②设等腰三角形的顶角为x ，则底角为)302( -x ，则
【知识点梳理】 1、轴对称图形： 一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称： 两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系： （1）区别。轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。 （2）联系。把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 1. 轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形全等。 （2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。 1) 线段的垂直平分线： （1）定义。经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， ∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。 m C A B D' D C' B' A' K J I H 图1 图2
（2）性质。线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。 如图3， ∵CA=CB ， 直线m ⊥AB 于C ， 点P 是直线m 上的点。 ∴PA=PB 。 （3）判定。 与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图3，∵PA=PB ， 直线m 是线段AB 的垂直平分线， ∴点P 在直线m 上 。 6、等腰三角形： （1）定义。有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。 第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：顶角=180°- 2底角 底角= 顶角顶角2 1 -902180?=-? 可见，底角只能是锐角。 （2）性质。 ①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线” ，只有一条。 ②等边对等角。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC ∴∠B=∠C 。 ③三线合一。 m C A B P 图3 底边 底角底角顶 角 腰 腰 D C B A 图4
《等腰三角形的轴对称性》习题 1.（1）如果等腰三角形的周长为10，底边长为4，那么腰长为； （2）如果等腰三角形的周长为10，腰长为4，那么底边长为；（3）如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2.用三角尺画出一个等腰三角形的对称轴，你有几种画法？ 3.在等腰三角形ABC中，∠A =4∠B. (1)若∠A 是顶角，则∠C= °； （2）若∠A 是底角，则∠C= °。 4.如图，在三角形平架中，AB=AC,在BC的中点D处挂一重锤，让它自己自然下垂。如果调整架身，使垂线正好经过点A，那么就能确认BC处于水平位置，这是为什么？ 5.在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D 在AB 上。 （1）如果CD是角平分线，那么∠BCD = ° ; （2）如果CD是高，那么∠BCD = °； （3）如果CD = AD，那么∠BCD = °； （4）如果CD = CB ,那么∠BCD = °。
6.在△ABC中，∠A=40°，当角∠B等于那些度数时，△ABC是等腰三角形？ 7.如图，∠C=36°，∠B=72°，∠,BAD=36°. （1）求∠1和∠2的度数。 （2）找出图中的等腰三角形，并说明理由。 （第7题） 8.如图。 （第8题） （1）由Rt△CDE≌ Rt△ACF,可得∠DCE+∠ACF= °,从而∠ACB= °；（2）设小方格的边长为1，则AB= ； （3）去AB的中点M，连接CM，则CM= ,理由是：。 9.如图,AB⊥ AC,点D在BC的延长线上，且AB=AC=CD.
(1) ∠ACB= °∠ABD= ° ; （2）画∠ABD的平分线交AD于点E，则∠ AEB= °； （3）你所画的线段BE与图中哪一条线段相等？请说明理由。 10.（1）按下列要求画图：画等边三角形ABC和它的两条中线BD、CE、BD、CE 相交于点O，连接DE; (2)说出图中有哪几个三角形是等边三角形？哪几个三角形是等腰角形？ 11.如图，AB=AC，∠BA⊥CA=120，AD⊥AB,AE⊥AC. （1）图中，等于30°的角有：；60°的角有； （2）△ADE是等边三角形吗？为什么？ (3) 在Rt△ABD中，∠B= °，AD BD;在Rt△ACE 中，有类 似的结论吗？ 12.如图, △ABC和△CDE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，度量并 比较AD与BE的大小，你能对所得结论说明理由吗？
第15章《轴对称图形和等腰三角形》期 末总复习资料 本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。 3、对称轴都是直线 4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（证线段相等的依据）2、判定：到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上（判断垂直的依据）3、在题目中只要遇到线段垂直平分线，就要想着把垂直平分线上的点和线段两端点连起来。就能得到线段相等。4、三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三角形三个顶点的距离相等五、坐标系中的对称点p（a,b）关于x轴对称点的坐标为（a,-b）点p（a,b）关于y轴对称点的坐标为（-a,b）六、等腰三角形（一）等腰三角形性质性质1、等腰三角形两底角相等（等边对等角）在一个三角形证明角相等
的重要依据。性质2、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边也就是：等腰三角形顶角平分线、底边上高和底边中线互相重合。（二）等腰三角形判定：1、定理：等角对等边2、推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形3、推论2、有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形4、定理、在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半。 七、角的平分线1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。3、三角形三个内角平分线交于一点（内心），该点到三角形三边的距离相等。4、在题目中只要遇到角平分线，就要想着把角平分线上的点向角的两边作垂线段。就能得到线段相等。 本章需要理解掌握的知识点有：一、轴对称图形和轴对称1、轴对称图形是一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 2、轴对称是指两个图形沿一条直线对折，直线两旁的两个图形能够完全重合。 3、对称轴都是直线 4、联系：如果把轴对称图形两旁的部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是轴对称图形。二、轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点所连线段的垂直平分线三、轴对称的判定如果两个图形上对应点所连线段都被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。（作一个图形关于某直线对称图形的依据；找对称图形对称轴的依据）四、线段垂直平分线1、性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
A B 2 1 1.5等腰三角形的轴对称性（2） 姓名_________ 班级 ________ 学号 等第 学习目标 1. 掌握“等角对等边”的性质 2. 掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质 3. 经历“折纸、画图、观察、归纳”的活动过程，发展学生的空间观念和抽象概括能力， 感受分类、转化等数学思想方法； 4. 会用“因为……所以……理由是……”等方式来进行说理，进一步发展有条理的思考和 表达，提高演绎推理的能力 学习重点 熟练的掌握“等角对等边”及直角三角的重要性质 学习难点 正确熟练的运用解决问题 学习过程 1.探索发现 （1）.将一张长方形的纸条上任意画出一条截线AB ，所得的∠1与∠2相等吗？为什么？ 经过折叠后所得的△ABC ，在所得的三角形中∠1=∠2。那么请同学们度量边AC ，BC 的长度，你们有什么发现？ （2）.在一张薄纸上画线段AB ，并在AB 同侧利用量角器画两个相等的锐角∠BAM 和∠ABM.设AM 与BN 相交于点C.量一量AC 与BC 的长度，AC 和BC 相等吗？你和同学所得的结论相同吗？ 2.例题分析 例1. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，两条角平分线BD 、CE 相交于点O 。 (1).OB 与OC 相等吗？请说明理由。 ⑵.BD 与CE 相等吗?为什么? B A C 21
⑶.如果将BD 与CE 变为高或中线，⑵中的结论还成立吗?为什么? 例2、如图，已知0B 、OC 为△ABC 的角平分线，DE ∥BC ，△ADE 的周长为10，BC 长为8，求△ABC 的周长. 3. 根据课本P26的探索，请同学讨论，并从中得出相关的结论 取一张直角三角形纸片，按下列步骤折叠： 问题：图中与AD 相等的线段有哪些？CD 与AB 的大小有什么关系？ 4.课堂练习 （1）.课本第26页练习1、2、3 （2）.如图,在四边形ABCD 中， ∠ABC=∠ADC=900，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，求证：MN ⊥BD. （3）.如图,在△ABC 中，∠C=900 ， ∠ABD=2∠ EBC ，AD ∥BC ， 求证:DE=2AB. 5. 总结反思 （1）.如何判定一个三角形是等腰三角形？ （2）.直角三角形斜边上的中线与斜边有何关系？ 作业设计 班级 姓名 学号 等第 A B C D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A B C D E A C B D M N A B C D E
《等腰三角形的轴对称性一》教案 学习目标 1、理解等腰三角形是轴对称图形； 2、掌握等边对等角的性质； 3、掌握“三线合一”的性质. 学习重难点 教学重点：等腰三角形相关性质的应用； 教学难点：等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用. 自主学习 1、等腰三角形是图形，是它的对称轴. 2、等腰三角形的两个相等(简称“等边对等角”) 3、等腰三角形线、线及线重合(简称“三线合一”) 合作探究 A B C A B C D 1、把等腰三角形沿顶角的平分线对折.同学们有什么发现吗？ 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. 2、根据轴对称图形的性质，再次把等腰三角形沿顶角平分线对折后， 发现：等腰三角形的两个重合在一起， 等腰三角形底边上、及线重合.(简称“三线合一”) 结论： (1)、等腰三角形的两个相等(简称“等边对等角”) (2)、等腰三角形线、线及线重合(简称“三线合一”) 以上定理，可以用符号语言表述如下：
(1)在△ABC中，∵AB=AC ∴∠=∠ . (2)、在△ABC中，∵A B=AC，∠BAC=∠CAD ∴⊥， = . (3)、在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD ∴⊥，∠ =∠ (4)、在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC ∴ = ，∠ =∠ . 3、完成书本第61页作图. 达标巩固 1、(1)、等腰三角形的一个角是30度，则它的另外两个角分别为 . (2)、等腰三角形的一个角是100度，则它的另外两个角分别为 . (3)、等腰三角形的一边长是2cm，另一长是4cm，则它的周长为 . (4)、等腰三角形的一边长是6cm，另一边长是8cm，则它的周长是 . 2、等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC， ③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是( ) A、4 B、3 C、2 D、1 3、如图，AB=AC，BD=BC，∠A=40°，求∠ABD的度数.
5.3 简单的轴对称图形 一、填空题 1．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是_________． 2．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________． 3．等腰三角形的两边长分别为3厘米和6厘米，这个三角形的周长为_________． 4．如图，在ABC ?中，AD C ,90?=∠平分cm 6,cm 10,==∠BD BC BAC ，则D 点到AB 的距离为________． 5．如图，在ABC ?中，AD C ,90?=∠平分AB DE BAC ⊥∠,，若?=∠30BAD ，则________,==∠DE B ． 6．如图，?=∠?=∠50,70A ABC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，则____=∠DB C ． 7．如图，ABC ?中，DE 垂直平分ABD AE AC ?=,3,的周长为13，那么ABC ?的周长为__________．
8．如图，如果点M 在ACB ∠的平分线上且6=AM 厘米，则____=BM ，你的理由是_____________________________________________． 9．如图，已知BC BC ABC ,10,=?边的垂直平分线交BC AB ,于点6,,=BE E D ，则BCE ?的周长为__________． 二、解答题 1．如图，ABC ?中，21,2∠=∠∠=∠B C ，试说明：CD AC AB +=． 2．如图，求作一点P ，使PD PC =，并且使点P 到AOB ∠的两边的距离相等，并说明你的理由． 3．老师正叙述这样一道题：请同学们画出一个ABC ?，然后画出AC AB ,的中垂线，且交于点P ．请同学们想一下点P 到三角形三个顶点C B A ,,的距离如何？小明马上就说：“相等．”他是随便说的吗？你同意他的说法吗？请说明你的
八年级数学教学设计 培训初期我提出了数学教学中如何实施分层作业的问题，通过这次培训学习，我学到了很多，明白了在分层教学中分层次备课是搞好分层教学的关键，教师应在吃透教材、大纲的情况下，按照不同层次学生的实际情况，设计好分层次教学的全过程。本文将结合本人的教学经验，对分层教学教案设计进行初步探讨。 教学案例： 课题：八年级数学上册《等腰三角形的轴对称性》课时：1课时 教材分析：本节内容是继上一节“等腰三角形的性质”之后。首先由“等边对等角”逆用是否成立引出；之后通过学生动手操作探究；然后得出“等角对等边”定理；接着进行应用；最后是关于等边三角形的识别的“大家谈谈” 学情分析：学优生通过启发引导探究出几何推理的方法得到“等角对等边”；中等生、学困生通过动手操作验证“等角对等边”。在复杂图形中正确运用“等角对等边”的方法应予以指导。教学目标： （一）知识与技能 1．学优生掌握“等角对等边”的几何推理方法，并能够综合运用有关定理解决三步几何说理题。 2．中等生学会运用全等的方法证明“等角对等边”，并能运用有关定理解题。 3．学困生学会正确运用“等角对等边”，并能够区分“等角对等边”与“等边对等角”。 （二）过程与方法 1．学优生经历用几何推理方法得到“等角对等边”的过程，提高他们的几何推理能力。 2．中等生、学困生经历动手操作方法验证“等角对等边”。 （三）情感态度、价值观激发全体学生的探究热情，体验探究成功的快乐，帮助学生树立学习信心。 教学过程教： （一）复习旧知，导入新课导 1．教师提问学困生：（如图1）在△ABC中，如果AB=AC，你能得到什么结论？ 2．教师提问中等生：（如图2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=BD=BC，你能得到哪些等角？ (二))探究新知探究新知探究新知探究新知 1．问题解决 （1）提出问题：（如图3）在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC吗？ （2）学生讨论验证方法：折叠法；测量法；几何推理法（师引导辅助线的添加） （3）自主解决：学优生写出几何推理过程；学困生动手操作验证；中等生自愿选择。 （4）交流总结：先找学困生动手操作演示；然后找学优生口述几何推理过程；之后，师生共同总结出“等角对等边”性质定理。 2．同类变换同类变换同类变换同类变换找中等生依次回答下列问题：
1.5等腰三角形的轴对称性（1） 姓名_________ 班级 ________ 学号 等第 学习目标 1. 根据等腰三角形的轴对称性得出并掌握等腰三角形的等边对等角“三线合一”的性质； 2. 能够熟练的运用等腰三角形的相关性质解决问题。 学习重点 等腰三角形相关性质的应用 学习难点 等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用 学习过程 1、对于等腰三角形我想大家一定都不陌生。在前面三角形的学习中我们已经有所认识。 拿出事先准备的等腰三角形，把等腰三角形沿顶角的平分线对折。同学们有什么发现吗？ 通过对上面等腰三角形的折叠我们可以得出： 根据等腰三角形的轴对称性，同学们还发现了等腰三角形什么性质吗？ 2、性质巩固： （1） .如图.在△ABC 中,如果AB=AC,那么∠________=∠_______； （2）.如图.在△ABC 中, AB=AC,点D 在BC 上.如果∠BAD=∠CAD,那么 AD ⊥BC , BD=CD; 如果BD=CD,那么∠________=∠_______, _______⊥______; 如果AD ⊥BC,那么_______________, _____________. 3、例题 例1 根据下列条件求等腰三角形格内角的度数。 （1）一个内角为70°； （2）一个外角为100°。 例2 如图,在△ABC 中,AB=AC,且BC=BD=AD,求△ABC 各角的度数.
例3 如图，在△ABC中，AB = AC，点D在BC上，且AD = BD。 （1）、找出相等的角并说明理由。 （2）若∠ADC=700，求∠BAC的度数. 4、课堂随练 （1）、等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm,则它的周长为 ____. （2）、等腰三角形的周长为10,一边长为4,那么另外两边长为_________ . 5、拓展提高 已知在△ABC中，AB = AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.判断AO与BC的位置关系，并说明理由。 B C 总结反思 1.◆等腰三角形的轴对称性及其相关性质：等边对等角、三线合一. 2.底边为BC的等腰△ABC被过一个顶点的一条直线分割成两个较小的等腰三角形, 你能画出哪些符合条件的△ABC的草图？ 作业设计