三角函数
概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。
2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
3. 终边相同的角的表示： （1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
（答：25- ；5
36
π-
）
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z .
（3）α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z .
（6）α
终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：
,2
k k Z
π
απ=+
∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2
k k Z
πα=
∈.如α的终边与
6
π
的
终边关于直线x y =对称，则α＝____________。
（答：Z
k k ∈+
,3
2π
π）
4、α与2
α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则
2
α
是第_____象限角
（答：一、三）
5.弧长公式：||l R
α
=，扇形面积公式：211||2
2
S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈ . 如
已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（答：22cm ）
6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点
（异于原点），它与原点的距离是0r =
>，那么s i n
,c o s
y x r
r
αα==，
()tan ,0y x x
α=
≠，cot x y
α=
(0)y ≠，sec r x
α=()0x ≠，()csc 0r y y
α=≠。三角函数值只
与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如
（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。
（答：713
-
）；
（2）设α是第三、四象限角，m
m --=
432sin α，则m 的取值范围是_______
（答：（－1，)23
）；
（3）若
0|
cos |cos sin |sin |=+
ααα
α，试判断)tan(cos )cot(sin αα?的符号
（答：负）
7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在
x 轴上(起点是原点)”
、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A
)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和
解
三角不等式。如
（1）若0
8
π
θ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为
_____
(答：tan sin cos θθθ<<)； （2）若α为锐角，则,s i n ,t a n ααα的大小关系为_______
（答：sin tan ααα<<）；
（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______
（答：2(2,2]()
3
3
k k k Z π
πππ-
+
∈）
（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin ααααα
α
=
=
同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如
y
T
A x
α
B S
O M P
（1）函数sin tan cos cot y αααα
+=
+的值的符号为____
（答：大于0）；
（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____
（答：[0,
]4
π
],4
3[
ππ）
； （3）已知5
3sin +-=
m m θ，)2
(524cos πθπ
θ<<+-=
m m ，则θtan ＝____
（答：12
5-
）；
（4）已知
11
tan tan -=-αα，则
α
αααcos sin cos 3sin +-＝___；2cos sin sin 2++ααα＝____
（答：3
5-
；
5
13）；
（5）已知a = 200sin ，则 160tan 等于 A 、2
1a
a --
B 、
2
1a
a - C 、a
a 2
1--
D 、
a
a 2
1-
（答：B ）；
（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin f 的值为______
（答：－1）。
10.三角函数诱导公式（2k
πα+）的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或
偶数），符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角
的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；(2)转化为锐角三角函数。如
（1）97cos
tan()sin 214
6
πππ
+-
+的值为________
（答：
23
-
）；
（2）已知5
4)540sin(-
=+α ，则=-)270c os( α______，若α为第二象限角，则
=
+-+-)
180
tan()]360cos()180
[sin(2
ααα
________。
（答：5
4-
；100
3-
）
11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±???→=
()()22
2
2
2
22
cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝ αβαβαβαβααα
αααβα
αβ
ααβ
α
αααα
=±=???→=-↓=-=-±±=
?-↓=
-
如（1）下列各式中，值为12
的是
A 、1515sin cos
B 、22
12
12
cos sin
π
π
-
C 、
2
225
1225
tan .tan .-
D
（答：C ）； （2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分也不必要条件
（答：C ）； （3）已知35
sin()cos cos()sin αβααβα---=
，那么2cos β的值为____
（答：
725
）；
（4
）
110
80
sin sin -
的值是______
（答：4）；
(5)已知0tan 110a =，求0tan 50的值（用a
，乙求得
的结果是
2
12a a
-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______
（答：甲、乙都对）
12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:
（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，
2()()αβαβα=+--，22
αβαβ++=?
，
(
)()2
2
2αβ
β
ααβ+=-
-
-
等）
，如 （1）已知2tan()5
αβ+=
，1tan()4
4
π
β-
=
，那么tan()4
π
α+
的值是_____
（答：
322
）；
（2）已知02
π
βαπ
<<<<，且12
9
cos()β
α-
=-
，22
3
sin(
)α
β-=
，求cos()αβ+的
值
（答：
490729
）；
（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5
αβ+=-，则y 与x 的函数关系
为______
（答：43(
1)5
5
y x x =-
+
<<）
(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 （1）
求值sin 50(110)+
（答：1）；
（2）已知
sin cos 21,tan()1cos 23
αααβα
=-=-
-，求tan(2)βα-的值
（答：1
8）
(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=± 。如
（1）已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____
（答：2
-
）；
(2)设A B C ?
中，tan A tan B A tan B ++=
，4
sin A cos A =，则此三角形是
____三角形
（答：等边）
(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2
α
α+=
，21cos 2sin 2
α
α-=
与升幂公
式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如
(1)若3
2(,)αππ∈
为_____
（答：sin
2
α
）；
（2）
函数25f (x )sin x cos x x =
-x R )+
∈的单调递增区间为____
（答：512
12
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+
∈）
(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如 （1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αααα
++
+
（答：sin α）；
（2）求证：
2
1tan 1sin 212sin
1tan
2
2
αααα++=--；
（3）化简：
42
2
12cos 2cos 2
2tan(
)sin (
)
4
4
x x x x ππ-+
-+
（答：1
cos 22
x ）
(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=?
tan sin 42ππ=== 等）
，如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+-（答：3
5
）. (7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”，如
（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __
（答：2
12
t -±
)，特别提醒
：这里[t ∈；
（2）若1(0,),sin cos 2
απαα∈+=，求tan α的值。
（答：43
+-
）；
（3）已知
2
sin 22sin 1tan k αα
α
+=+(
)4
2
π
π
α<<
，试用k 表示sin cos αα-的值
。
13、辅助角公式中辅助角的确定
：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b a
θ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。
如
（1）
若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.
（答：[－2,2]）；
（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tan x 的值是______
(答：32
-
)；
（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?=
(答：－2)；
（4）求值：
=
?+?
-
?
20sin
6420cos
120sin
32
2
2
________
(答：32)
14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，
3,,
,222π
πππ
的五点，再用光滑的曲线把这五点连
接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。
15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。
（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22
x k k Z π
π=+
∈时，y 取最大值1；当
()322
x k k Z ππ=+
∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值
1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。如
（1）若函数sin(3)6
y a b x π
=-+
的最大值为
2
3，最小值为2
1-
，则=a __，=b ＿
（答：1,12
a b =
=或1b =-）
； （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2
,
2[π
π
-
∈x ）的值域是____
（答：[－1, 2]）；
（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____
（答：7；－5）；
（4）函数2
()2cos sin()3
f x x x x π
=+-sin cos x x
+的最小值是_____，此时x ＝
__________
（答：2；()
12
k k Z π
π+
∈）；
（5）己知2
1cos sin =
βα，求αβcos sin =t 的变化范围
（答：1
[0,]2）；
（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值
（答：1max =y ，222min -=y ）
。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？
（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和
()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||
T πω=
。如
(1)若3
sin
)(x
x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++ ＝___
（答：0）；
(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____
（答：π）；
(3) 设函数)5
2
sin(
2)(π
π
+
=x x f ，若对任意R
x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则
||21x x -的最小值为____
（答：2） （4）奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈；余弦函数c o s ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是
(),02k k Z
ππ??+∈ ???
，
对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。如
（1）函数522y sin x π
??
=-
???
的奇偶性是______、 （答：偶函数）；
（2）已知函数31f (x )ax b sin x (a ,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______
（答：－5）；
（3）函数)c os (s in c os 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______
（答：128
k (
,)(k Z )ππ
-
∈、2
8
k x (k Z )ππ
=
+
∈）
； （4）
已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。
（答：6
k (k Z )π
θπ=+
∈）
（5）单调性：()sin 2,22
2y x k k k Z π
πππ?
?
=-
+
∈????
在上单调递增，在
()32,222k k k Z ππππ?
?++∈????
单调递减；cos y
x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在
[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！
16、形如sin()y A x ω?=+的函数： （1）几个物理量：A ―振幅；1f T
=
―频率（周期的倒数）；x ω?+―相位；?―初
相；
（2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A
ω由周期确定；?由图象上的特殊点确()s i n ()(0f x A x A ω?
ω=
+>>，||)2
π
?<
()
f x ＝_____（答：15
()2sin(
)23
f x x π
=+
）；
（3）函数
sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?
=+，令X ＝0，
3,,
,222π
πππ
求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：
这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()s i n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的
1
ω
，得到函数
()s i n y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A
倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由
()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移|
|?ω
个单位，如
（1）函数2sin(2)14
y x π
=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？
（答：2sin(2)14
y x π
=-
-向上平移1个单位得2sin(2)
4
y x π
=-
的图象，再向左平移
8
π
个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵
坐标缩小到原来的12
即得sin y x =的图象）；
(2) 要得到函数cos()24
x
y π
=-
的图象，只需把函数sin
2
x y =的图象向___平移____
个单位
（答：左；
2
π
）；
（3）将函数72sin(2)13
y x π=-
+图像，
按向量a
平移后得到的函数图像关于原点对称，
这样的向量是否唯一？若唯一，求出a
；若不唯一，求出模最小的向量
（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)
6a π
=--
）；
（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是
（答：）
（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将
sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，
但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。如
（1）函数23
y sin(x )π
=-+
的递减区间是______
（答：512
12
[k ,k ](k Z )π
πππ-
+
∈）；
（2）12
3
4
x y log cos(
)π
=+
的递减区间是_______
（答：33664
4
[k ,k ](k Z )ππππ-+
∈）；
（3）设函数)2
2
,0,0)(sin()(π
?π
ω?ω<
<-
>≠+=A x A x f 的图象关于直线3
2π=x 对称，它
的周期是π，则
A 、)2
1
,0()(的图象过点x f
B 、()f x 在区间52[,
]12
3
ππ上是减函数
C 、
)0,12
5(
)(π是的图象的一个对称中心
x f
D 、()f x 的最大值是A
（答：C ）；
（4）对于函数()2sin 23f x x π?
?
=+
???
给出下列结论：
①图象关于原点成中心对称； ②图象关于直线12
x π
=
成轴对称；
③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3
π
个单位得到
；④图像向左平移
12
π
个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。
其中正确结论是_______
（答：②④）；
（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间
的距离为
3
π
，那么此函数的周期是_______
（答：π）
17、正切函数tan y x =的图象和性质： （1）定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函数
的定义域了吗？
（2）值域是R ，在上面定义域上无最大值也无最小值；
（3）周期性：是周期函数且周期是π，它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2
π
，而1
|2s i n (3
)|,|2s i n (3)2|62
6
y x y x
ππ
=-+=
-+
，|tan |y x =的周期不变；
（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是,02k π
??
???
()k Z ∈，特别提醒：正(余)
切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点，另一类是渐近线与x 轴的交点，
但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性：正切函数在开区间(),
2
2k k k Z π
π
ππ?
?
-
++∈ ???
内都是增函数。但要注意
在整个定义域上不具有单调性。如下图：
18. 三角形中的有关公式：
(1)内角和定理：三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角
三角形?三内角都是锐角?三内角的余弦值为正值?任两角和都是钝角?任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：2sin sin sin a
b c R A B C
=
==(R 为三角形外接圆的半径).注意：①正弦
定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b
ii A B C R R
==
2c
R
=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：222
2222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc
+-=+-=等，常选用余弦定理鉴定三
角形的形状.
(4)面积公式：111sin ()22
2a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）.
如ABC ?中，若C B A B A 2
22
2
2sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三
角形）。
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：
,sin()sin ,sin
cos
2
2
A B C A B C A B C π++=-+==；（2）求解三角形中含有边角混合关系的
问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如
（1）A B C ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==
，那么满足条件的A B C ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定
（答：C ）；
（2）在A B C ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件
（答：充要）；
（3）在A B C ?中， 112(tan A )(tan B )++=，则2log sin C ＝_____
（答：12
-
）；
(4)在A B C ?中，a ,b ,分
别是角A 、B 、C 所对的边，若
(a b c )(sin A sin B +++3sin C )a sin B -=，则C ∠＝____
（答：60 ）；
（5）在A B C ?中，若其面积2
2
2
a b c
S +-=，则C ∠=____
（答：30 ）；
（6）在A B C ?中，60 1A ,b == ，这个三角形的面积为A B C ?外接圆的直径
是_______
3
；
（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，2
1cos ,cos
3
2
B C a A +==
则= ，
2
2
b c
+的最大值为
（答：19
32;）；
（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是
（答：06
C π
<≤
）；
（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠= ，且,,AOB BOC COA ???的面积
满足关系式AOB BOC COA S S ???+=，求A ∠（
答：45 ）．
19.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）：arcsin a 表示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ??
-
????
内(11)a -≤≤。(2)反正弦a r c s i n x 、反余弦
arcco s x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2
,2(],,0[],2
,2[πππππ-
-
.
在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]2
2
πππ，[)π,0， [0,),[0,),[0,]2
π
ππ．
20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。如
（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______
（答：
34
π）；
（2）A B C ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______
（答：
3π
）；
（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，
求βα-的值
（答：
23
π）.