2011年全国各地中考数学压轴题专集：6三角形
1．△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2．
（1）要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．
（2）图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2（如图2），则S 2＝_______；再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形面积和为S 3（如图3）；继续操作下去…则第10次剪取时，S 10＝_______． （3）求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．
2．
问题探究
（1）如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ．
①求证：BE ＋CF ＞EF ；
②若∠A ＝90°，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明．
问题解决
（2）如图，在四边形ABDC 中，∠B ＋∠C ＝180°，DB ＝DC ，∠BDC ＝120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明．
A B C E D F A B C 图1 甲 乙
P N M Q A B C E
D F 图2 A B
C 图3
B A
C E F
B
A
C D
E F
3
（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角
形”是真命题还是假命题？
（2）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB
＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，且b ＞a ，
若Rt △ABC
是奇异三角形，求a : b : c ；
（3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点A 、B 重合），
D 是半圆ADB ︵
的中点，C 、D 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在 点E ，使AE ＝AD ，CB ＝CE ．
① 求证：△ACE 是奇异三角形；
② 当△ACE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．
4．如图1，在等边△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合)，连结BP ，将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A 1B 1P ，连结AA 1，射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F ． （1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF 与△AEP 始终存在相似关系，请说明理由；
（2）如图2，设∠ABP ＝β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF 与△AEP 全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α＝60°时，点E 、F 与点B 重合．已知AB ＝4，设DP ＝x ，△A 1BB 1的面积为S ，求S 关于
B
1
图3
B 1
图1
1
5．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论
当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系．请你直接写出结论： AE _______DB （填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _______DB （填“＞”，“＜”或“＝”），理由如下．
如图2，过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ． （请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED ＝EC ．若△ABC 的边长为1，AE ＝2，求CD 的长（请你直接写出结果）．
6．如图，△ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．
（1）在图中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC 的面积为1，试求以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积．
7．在平面直角坐标系中，点A （3，0），B （0，4）．以点A 为旋转中心，把△ABO 顺时针旋转，得△ACD ．记旋转转角为α，∠ABO 为β．
（1）如图①，当旋转后点D 恰好落在AB 边上时，求点D 的坐标；
A B
C E
D
图2
F
A B C
E
D 图1
在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上， 点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ，如图． 试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明 理由．
A B
C
E
D
A
E B C
F D
（2）如图②，当旋转后满足BC ∥x 轴时，求α与β之间的数量关系； （3）当旋转后满足∠AOD ＝β时，求直线CD 的解析式．
8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝30，AB ＝50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM ＝EN ，sin ∠EMP ＝
12
13
． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；
（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP ＝x ，BN ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．
9．已知∠MON ＝60°，射线OT 是∠MON 的平分线，点P 是射线OT 上的一个动点，射线PB 交射线ON 于点B ．
（1）如图，若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ，求证：PA ＝PB ； （2）在（1）的条件下，若点C 是AB 与OP 的交点，且满足PC ＝
3
2
PB ，求△POB 与△PBC 的面积之比；
（3）当OB ＝2时，射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A （点A 不与点O 重合），直线PA 交射线ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，求OP 的长．
10．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A ′B ′C ．
图①
图②
(E ) A B P C M N 图1 A B P C M N 图2 E C 备用图
B C M A O N P
T M O N T 备用图 M
O N
T 备用图
（1）如图1，当AB ∥CB ′ 时，设A ′B ′ 与CB 相交于点D ．证明：△A ′CD 是等边三角形； （2）如图2，连接A ′A 、B ′B ，设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BCB ′ ．
求证：S △ACA ′ : S △BCB ′ ＝1 : 3；
（3）如图3，设AC 中点为E ，A ′B ′ 中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝__________°时，EP 长度最大，最大值为__________．
11．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，点F 在边BC 上，CF ＝1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边△EFG ，直线EG 、FG 分别交直线AC 于点M 、N ． （1）设BE ＝x ，MN ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （2）若AE ＝1，求△GMN 的面积．
12．如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限．点P 从点O 出发，沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ． （1）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）；
（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
（3）点P 从点O 运动到点A 时，点C 运动路线的长是多少？
图1
图
2 B
′ 图3 A B C F
E G
M N A B C 备用图 A
B C 备用图
备用图
13．如图，直线y ＝－
3
3
x ＋2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点，将射线AM 绕点A 顺时针旋转45°得到射线A N ，D 为AM 上的动点，B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部． （1）当AM ∥x 轴，且四边形ABCD 为梯形时，求△BCD 的面积； （2）求△BCD 周长的最小值； （3）当△BCD 的周长取得最小值，且BD ＝ 52
3 时，求△BCD 的面积．
14．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10cm ，AC : BC ＝4 : 3，点P 从点A 出发沿AB
方向向点B 运动，速度为1cm/s ，同时点Q 从点B 出发沿B →C →A 方向向点A 运动，速度为2cm/s ，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）设点P 的运动时间为x （s ），△PBQ 的面积为y （cm 2
），当△PBQ 存在时，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）当点Q 在CA 上运动，使PQ ⊥AB 时，以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由；
（3）当x ＝5s 时，在直线PQ 上是否存在一点M ，使△BCM 的周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由．
15．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝
3
10
，D 为射线BA 上的动点（点D 不与点B 重合），DE ∥BC 交射线CA 于点E ．
（1）设CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式；
（2）若以线段BD 、CE 为直径的两圆相切，求DE 的长度； （3）当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．
16．已知：在△ABC 中，BC ＝2AC ，∠DBC ＝∠ACB ，BD ＝BC ，CD 交线段AB 于点E ．
备用图
备用图
A A
B C
D
E
（1）如图l ，当∠ACB ＝90°时，则线段DE 、CE 之间的数量关系为____________________； （2）如图2，当∠ACB ＝120°时，求证：DE ＝3CE ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F 是BC 边的中点，连接DF ，DF 与AB 交于点G ，△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称（点B 的对称点是点K ），延长DK 交AB 于点H ．若BH ＝10，求CE 的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为（0，2）、（－1，0）、（4，0）．P 是线段OC 上的一动点（点P 与点O 、C 不重合），过点P 的直线x ＝t 与AC 相交于点Q ．设四边形ABPQ 关于直线x ＝t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为S ．
（1）点B 关于直线x ＝t 的对称点B ′ 的坐标为___________；
（2）求S 与t 的函数关系式．
18．在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝ 1
2
∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE
与AB 相交于点F ． （1）当AB ＝AC 时，（如图1） ①∠EBF ＝_________°；
②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；
（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求
BE
FD
的值（用含k 的式子表示）
．
19．如图1，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，BD 为斜边AC 上的中线，将△ABD 绕点D 顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD ，点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，连接BE 、CF ．
（1）判断BE 与CF 的位置、数量关系，并说明理由；
（2）若连接BF 、CE ，请直接写出在旋转过程中四边形BFEC 能形成哪些特殊四边形；
C A B D
E 图1 C A B D E 图2 C A
B D E 图3 K H
G F 图1 A B C F E
D 图2 A B C
F
E D
（3）如图2，将△ABC 中AB ＝BC 改成AB ≠BC 时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．
20．如图11，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，BD 是AC 边上的中线，CE ⊥BD ，垂足为E ．
（1）求sin ∠DCE 的值；
（2）求证：∠ABD ＝∠CAE ；
（3）若点F 在边AB 上，且△AEF 为等腰三角形，求AF 的长．
21．如图，点C 为线段AB 上任意一点（不与A 、B 两点重合），分别以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ，CA ＝CD ，CB ＝CE ，∠ACD 与∠BCE 都是锐角且∠ACD ＝∠BCE ，连接AE 交CD 于点M ，连接BD 交CE 于点N ，AE 与BD 交于点P ，连接PC ．
（1）求证：△ACE ≌△DCB ；
（2）请你判断△AMC 与△DMP 的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC ＝∠BPC ．
22．如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC
和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
（1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点； （2）在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
A B C F E D 图1 A B C D 备用图 A B C D 图2 A B C D E
B
A C P E D M N A
B
C A
A C C
B B ①
②
③
D E
P
23．如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝a cm ，∠B ＝30°．动点P 以1cm/s 的速度从点B
出发，沿折线B －A －C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2
．已知y 与x 的函数图象如图②所示，请根据图中信息，解答下列问题： （1）试判断△DOE 的形状，并说明理由； （2）当a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？
24．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 为AC 中点，点E 为边AB 上一动点，点F 为射线BC 上一动点，且∠FDE ＝90°．
（1）当DF ∥AB 时，连接EF ，求cos ∠DEF 的值；
（2）当点F 在线段BC 上时，设AE ＝x ，BF ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）连接CE ，若△CDE 为等腰三角形，求BF 的长．
25．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）
问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ．经探
究知S 四边形P 1R 1R 2P 2 ＝ 1
3
S △ABC ，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的△ABC 拼合成四边形ABCD ，如图2，
Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究S 四边形P 1Q 1Q 2P 2 与S 四边形ABCD 之间的数量关系．
问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若S 四边形ABCD ＝1，
求
S 四边形P 2Q 2Q 3P 3 ．
问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请直接写出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．
图①
A C B
D E F 图1
图2
图3
图4
A C
B P 1 P 2 R 2 R 1
R 1
R 2
P 1 P 2 Q 1
Q 2 A C B D
Q 1 Q 2 C D
P 1 P 2 A B P 3 P 4 Q 3 Q 4
Q 1
Q 2 C
D
P 1 P 2 A B P 3 Q 3
26．在平面直角坐标系中，直线y ＝ 23 3 kx ＋m （－ 1 2 ≤k ≤
1
2
）经过点A （23，4），与y 轴相交于点C ，点B 坐标为（0，7）．记△ABC 的面积为S ．
（1）求m 的取值范围；
（2）求S 关于m 的函数关系式；
（3）当S 取得最大值时，将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ′C ，求点B ′ 的坐标．
27．如图，Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3cm ，CB ＝4cm ．点P 、Q 分别是AB 、CB 上动点，它们分别从A 、C 同时出发向B 点匀速移动，移动速度为1cm/秒，设P 、Q 移动时间为t 秒（0≤t ≤4）．
（1）当∠CPQ ＝90°时，求t 的值；
（2）是否存在t ，使△CPQ 成为等边三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，能否改变Q 的运动速度（P 的速度不变），使△CPQ 成为等边三角形？如何改变？并求出相应的t 值．
28．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝∠BAC ＝72°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转α度（36°＜α＜180°）得到△ADE ，连接CE ，线段BD （或其延长线）分别交AC 、CE 于点G 、F ． （1）求证：△ABG ∽△FCG ；
（2）在旋转的过程中，是否存在某一时刻，使得△ABG 与△FCG 全等？若存在，求出此时旋转角α的大小；若不存在，说明理由．
A C
B D E
F
G
29．已知Rt△ABC 中，∠ACB ＝90o，BC ＝5，tan∠A ＝
3
4
．将△ABC 绕点C 逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE ，设直线DE 与直线AB 相交于点P ，连接CP ． （1）如图1，当CD ⊥AB 时，求证：PC 平分∠EPA ； （2）如图2，当点P 在边AB 上时，求证：PE ＋PB ＝6；
（3）在△ABC 旋转过程中，连接BE ，当△BCE 的面积为 25
4 3 时，求∠BPE 的度数及PB 的
长．
30．已知△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ．将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CD ′E ′（∠BCE ′＜180°），连接AD ′、BE ′，设直线BE ′ 与AC 、AD ′ 分别交于点O 、F ．
（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，则
AD ′
BE ′
的值为________，∠AFB 的度数为________； （2）如图2，若△ABC 满足∠ACB ＝60°，AC ＝3，BC ＝2．
①求
AD ′
BE ′
的值和∠AFB 的度数； ②若E 是BC 的中点，求△OBC 面积的最大值．
31．如图1，△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB ＝AC ＝EF ＝9，∠BAC ＝∠DEF ＝90o．固定△ABC ，将△DEF 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE ，DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G ，H 点，如图2．
（1）始终与△AGC 相似的三角形有___________和___________； （2）在图2中，设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式； （3）当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？
A C B
D
E F
P 图1 A C B
D E F
P 图2 A
C
B
备用图
D
A F C
B O
D ′
E E ′ 图1 D A
F
C B O
D ′
E E ′ 图2
A B
C
F
(D ) (E ) A
B
C
F
(D ) H
G
32．如图1，已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（P 不与A 、B 重合），分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD ．
（1）当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时，AP ＝_________；（直接写出结果）
（2）连结AD 、BC 相交于点Q ，设∠AQC ＝α，那么α的大小是否随点P 的移动而变化？请说明理由；
（3）如图2，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
33．已知直线l 经过A （6，0）和B （0，12）两点，且与直线y ＝x 交于点C ．
（1）求直线l 的解析式；
（2）若点P （x ，0）在线段OA 上运动，过点P 作l 的平行线交直线y ＝x 于D ，求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式；S 有最大值吗？若有，求出当S 最大时x 的值；
（3）若点P （x ，0）在x 轴上运动，是否存在点P ，使得△PCA 成为等腰三角形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
34．如图，Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝10cm ，点Q 在线段BC 上从B 向C 运动，点P 在线段BA 上从B 向A 运动．Q 、P 两点同时出发，运动的速度相同，当点Q 到达点C 时，两点都
A C
B P D
Q 图1 A C
B
P D
Q 图2
停止运动．作PM ⊥PQ 交CA 于点M ，过点P 分别作BC 、CA 的垂线，垂足分别为E 、F ． （1）求证：△PQE ∽△PMF ；
（2）当点P 、Q 运动时，请猜想线段PM 与MA 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想； （3）设BP ＝x ，△PEM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，当x 为何值时，y 有最大值，并将这个值求出来．
35．如图1，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点，E 是AC 边上的一个动点（与点A 、C 不重合），DF ⊥DE ，DF 与射线BC 相交于点F ． （1）如图2，若点D 是边AB 的中点，求证：DE ＝DF ； （2）若AD : DB ＝m ，求DE : DF 的值；
（3）若AC ＝BC ＝6，AD : DB ＝1 : 2，设AE ＝x ，BF ＝y ．
①求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
②以CE 为直径的圆与直线AB 是否可相切，若可能，求出此时x 的值，若不可能，请说明理由．
36．（1）如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点
P ．求证：
DP BQ ＝ PE
QC
． （2）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF 分别交DE 于M 、N 两点．
①如图2，若AB ＝AC ＝1，直接写出MN 的长；
②如图3，求证：MN 2
＝DM ·EN ．
E Q A C
B 图1
B
图
2
B
备用图 B
备用图 B Q A
C D
E
P
B G A C
D
E
F M N
B G A
C D
E
M F N
37．如图，D 是△ABC 的边BC 的中点，过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ，E 为垂足，EF 与AB 的延长线相交于点F ，点O 在AD 上，AO ＝CO ，BC ∥EF ．
（1）证明：AB ＝AC ；
（2）证明：点O 是△ABC 的外接圆的圆心；
（3）当AB ＝5，BC ＝6时，连接BE ，若∠ABE ＝90°，求AE 的长．
38．两个大小相同且含30°角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放，使直角顶点重合．将图①
中△DEC 绕点C 逆时针旋转30°得到图②，点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点，点H 是DE 与AC 的交点．
（1）不添加辅助线，写出图②中所有与△BCF 全等的三角形；
（2）将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转45°得△D 1E 1C ，点F 、G 、H 的对应点分别为F 1、G 1、H 1，如图③．探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系，并写出推理过程； （3）在（2）的条件下，若D 1E 1与CE 交于点I ，求证：G 1I ＝CI ．
39．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A ＝90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ，如图1． （1）若BD 是AC 的中线，如图2，求
BD
CE
的值； （2）若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求
BD
CE
的值； B F A
C
D O
E 图① B A C D E 图② B
F A C D E H
G 图③ B F
A C D E
H
G
F 1
G 1
D 1 H 1 I
E 1
（3）结合（1）、（2），请你推断
BD
CE
的值的取值范围（直接写出结论，不必证明）
，并探究
BD CE 的值能小于 4 3
吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由．
40．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 为AB 中点，将线段BM 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BP ，连接AP 、CP ，CP 交AB 于点N （如图1）． （1）若AC ＝BC ，求证：△NPB ∽△PAB ；
（2）若BC ＝2，当AC 的长为多少时，△ACB ∽△ABP ？
（3）图1中，当点A 沿直线AC 向下运动（其余条件不变）时，Rt △ABC 、△PAB 、△PBC 都会变化（如图2），若点A 一直运动到BC 下方，请在图3中画出相应的图形．若BC ＝2，设AC ＝x ，△BCP 的面积为S 1，△PAB 的面积为S 2，试问S 1、S 2是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x 的函数关系式．
41．如图（1），在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ．若AC ＝mBC ，CE ＝nEA （m ，n 为实数）． 试探究线段EF 与EG 的数量关系． （1）如图（2），当m ＝1，n ＝1时，EF 与EG 的数量关系是____________；
证明： （2）如图（3），当m ＝1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是____________；
证明： （3）如图（1），当m ，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关系是____________．（写出关系
式，不必证明）
（图1） B A C D
E
（图2） B A C D E （图3） B A
C
D
E
图1 C
B
C 图
3
图2 C
图（1）
C A B F
D G
E 图（2）
C A B F
D G
E 图（3）
C
A B F D G E
42．如图，已知在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，以点B 为圆心，BC 长为半径的弧交边AC 于点D ，且∠DBC ＝∠BAC ．P 是边BC 延长线上一点，过点P 作PQ ⊥BP ，交BD 的延长线于点Q ．设CP ＝x ，DQ ＝y ． （1）求CD 的长；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）若∠DAQ ＝2∠BAC ，求CP 的长．
43．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边长是12，点A 在第一象限，OB 边在x 轴的正半轴上．将△OAB 沿直线CD ：y ＝kx ＋b 折叠，使点A 落在x 轴上的点E 处． （1）若点A 恰好落在线段OB 上（不包括O 、B ），△OCE 与△BED 相似吗？为什么？若OE : EB ＝2 : 3，求CE : DE 的值；
（2）①若点C 是OA 的中点，AD ＝2DB ，试判断以CD 为直径的圆与x 轴的位置关系，并说明理由；
②若点C 、D 分别在线段OA 、AB 上，试求b 的取值范围； （3）当点E 从点O 移动到点B 时，点D 运动的总路线长为多少？
44．Rt △ABC 的直角顶点B 在Rt △DEF 的斜边DF 上，已知AB ＝DF ，DE
定△DEF 不动，将△ABC 绕点B 旋转，并使边AB 与边DE 交于点P ，边（1）如图1，若
FB BD ＝m ，求 BP
BQ 的值，并确定m 的取值范围； （2）若DF ＝30， FB
BD
＝2，连接PQ ，设△BPQ 的面积为S ，在旋转过程中：
①如图2，当点E 恰好落在边AC 上时，求AE 的长；
②S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由； ③随着S 取不同的值，对应△BPQ 的个数有哪些变化？求相应S 值的取值范围．
A
B C D Q P Q E
D
F B
A
P C
图1
Q E
D
F
B
A P
C
图2
H
45．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为CA ，CB 延长线上的点，AE 与BD 相交于点F ．
（1）若BE ＝AC ，AD ＝CE ，求∠AFD 的度数； （2）若BE ＝ 3 3 AC ，AD ＝ 3 3
CE ，求∠AFD 的度数．
46．已知：△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，点M 是CE 的中点，连接BM ．
（1）如图①，点D 在AB 上，连接DM ，猜想BD 与BM 的数量关系，并说明理由； （2）如图②，点D 不在AB 上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请直接写出此时BD 与BM 的数量关系．
47．如图，在四边形ABCD 中，∠C ＝90°，∠ABD ＝∠DBC ＝30°，E 在BC 上，AE ⊥BC ，且∠ADE ＝60°．
（1）求证：CD ＝EC ；
（2）若BE ＝1，求AD 、BC 、CD 的长．
48．如图，△ABC 与△BCD 均为等边三角形，过D 点的直线与AB 交于点M ，与CA 的延长线交于点N ，CM 与BN 交于点E ，求∠BEC 的度数．
A
C
B
A B C
D E 图①
M A B D E M 图②
A
B C D E A
C E
B D
M N
49．已知△ABC 是锐角三角形． （1）求证：2sin A ＞cos B +cos C ；
（2）若点M 在边AC 上，作△ABM 和△CBM 的外接圆，则当M 在什么位置时，两外接圆的公共部分面积最小？
50．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．
（1）求证：DF 2
＝BF ·CF ；
（2）若 AB AC ＝ 5 3 ，求 BC
CF
的值．
51．在△ABC 中，点M 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AM ＜
1
2
(AB ＋AC )； （2）延长AB 到D ，使得BD ＝AC ，延长AC 到E ，使得CE ＝AB ，连接DE ．
①如图2，连接BE ，若∠BAC ＝60°，请你探究线段BE 与线段AM 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；
②请在图3中证明：BC ≥ 1
2 DE ．
52．如图①，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝23，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，且DE ∥AB ，CD ＝22．将△CDE 绕点C 顺时针旋转，得到△CD ′E ′（如图②，点D ′、E ′分别与点D 、E 对应），点E ′ 在AB 上，D ′E ′ 与AC 相交于点F ． （1）求∠ACE ′ 的度数；
（2）求证：四边形ABCD ′ 是梯形； （3）求△AD ′F 的面积．
A
C B E
D F
A C
B M 图1 A
C B M
D E 图2 A
C B M
D E
图3
图① A B C E D
图②
A B
C
E ′
D ′
F
53．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，点D 在边BC 上，且∠ADC ＝60°，BD ＝
1
2
CD ．将△ACD 沿AD 折叠，得到△AC ′D ，连接BC ′．
（1）求证：BC ′⊥BC ；
（2）求∠C 的大小．
54．已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边的中点，P 为直线BC 上的动点，以DP 为一边在DP 的右侧作等边三角形DPQ ．
（1）如图，当点P 在BC 边上时，请你判断PF 与QE 有怎样的数量关系？点F 是否在直线QE 上？说明理由；
（2）当点P 在CB 的延长线或BC 的延长线上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？说明理由．
55．如图，直角三角板ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，将三角板ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A ′B ′C ． （1）当A ′B ′边经过点B 时，求旋转角α的大小； （2）在三角板旋转的过程中，边A ′C 与直线AB 交于点D ，过点D 作DE ∥A ′B ′ 交CB ′ 边于点E ，连接BE ．
①当0°＜α＜90°时，设AD ＝x ，BE ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式； ②当S △BDE ＝ 1
3
S △ABC 时，求AD 的长．
56．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－
4
3
x ＋b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且A B C D C ′
备用图
备用图 A
C
B
备用图
A
C
B
A ′
B ′
α A
C
B
备用图
B 点的坐标为（0，8），直线A
C 交线段OB 于点C （0，n ）．
（1）过C 点作CD ⊥AB 于D 点，CD ＝m ，求m 与n 的函数关系式； （2）将△AOC 沿着AC 翻折，使点O 落在AB 上． ①求点C 的坐标；
②P 是直线AC 上的点，在x 轴上方的平面内是否存在点Q ，使得以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
57．如图1所示，直线y ＝－x ＋9与x 轴、y 轴交于B 、A 两点，直线y ＝－
2
3
x －4与x 轴、y 轴交于C 、D 两点，E （4，0），直线l 过B 点且垂直于x 轴，P 是直线l 上一点（与B 点不重合），连结AP ．
（1）求A 、C 两点的坐标；
（2）设M 是AP 的中点，若ME ＝5，猜想∠CME 的度数，并说明理由；
（3）如图2所示，连结PE ，求△PCE 外接圆面积的最小值，并求△PCE 外接圆面积最小时，圆心G
58．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α，点D 是BC 上一动点（不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转α后到达AE 位置，连接DE 、CE ，设∠BCE ＝β． （1）如图1，若α＝90°，求β的大小；
（2）如图2，当点D 在线段BC 上运动时，试探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点D 在线段BC 的反向延长线上运动时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出α与β之间的数量关系，并说明理由．
E A
图1
E
A 图2
中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图②
E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0），
专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是
列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想：
中考数学压轴题100题精选【含答案】 【001 】如图，已知抛物线 2 (1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为 ()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长． 【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围） （3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；
中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3
2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0）
中考数学压轴题十大类型 目录 第一讲中考压轴题十大类型之动点问题 1 第二讲中考压轴题十大类型之函数类问题7 第三讲中考压轴题十大类型之面积问题13 第四讲中考压轴题十大类型之三角形存在性问题19 第五讲中考压轴题十大类型之四边形存在性问题25 第六讲中考压轴题十大类型之线段之间的关系31 第七讲中考压轴题十大类型之定值问题38 第八讲中考压轴题十大类型之几何三大变换问题44 第九讲中考压轴题十大类型之实践操作、问题探究50 第十讲中考压轴题十大类型之圆56 第十一讲中考压轴题综合训练一62 第十二讲中考压轴题综合训练二68
第一讲 中考压轴题十大类型之动点问题 一、知识提要 基本方法： ______________________________________________________; ______________________________________________________; ______________________________________________________． 二、精讲精练 1. （2011吉林）如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =90°，CE ⊥AD 于点E ， AD =8cm ，BC =4cm ，AB =5cm ．从初始时刻开始，动点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，运动速度均为1cm/s ，动点P 沿A -B -C -E 方向运动，到点E 停止；动点Q 沿B -C -E -D 方向运动，到点D 停止，设运动时间为x s ，△P AQ 的面积为y cm 2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）解答下列问题： （1） 当x =2s 时，y =_____ cm 2；当x =9 2 s 时，y =_______ cm 2． （2）当5 ≤ x ≤ 14时，求y 与x 之间的函数关系式． （3）当动点P 在线段BC 上运动时，求出15 4 y S 梯形ABCD 时x 的值． （4）直接写出在整个．．运动过程中，使PQ 与四边形ABCE 的对角线平行的所有x 的值．
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
2020 挑战压轴题中考数学 精讲解读篇 因动点产生的相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点． （1）求直线AB的函数表达式； （2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值． 2．如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作AD⊥BC 交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长线交半圆O于点F． （1）求证：AH=BD； （2）设BD=x，BE?BF=y，求y关于x的函数关系式； （3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求BD的长度．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2． （1）求直线AB的表达式； （2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值； （3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE时，请直接写出满足条件的所有k2的值． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，点D是边CA延长线的一点，AE⊥BD，垂足为点E，AE的延长线交CA的平行线BF于点F，连结CE交AB于点G． （1）当点E是BD的中点时，求tan∠AFB的值； （2）CE?AF的值是否随线段AD长度的改变而变化？如果不变，求出CE?AF的值；如果变化，请说明理由； （3）当△BGE和△BAF相似时，求线段AF的长．
1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H，
∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+<
全国各地中考数学解答题压轴题解析2
2011年全国各地中考数学解答题压轴题解析（2） 1．（湖南长沙10分）如图，在平面直角坐标系中，已知 点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边， 在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时， 记Q得位置为B。 （1）求点B的坐标； （2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值； （3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C， ∵A(0,2)，△AOB为等边三角形， ∴AB=OB=2，∠BAO=60°， ∴BC=3，OC=AC=1。即B（ 3 1，）。 （2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时， ∵∠PAQ==∠OAB=60°，∴∠PAO=∠QAB， 在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立。 ∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立。 ∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°。 （3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上， ∴AO与BQ不平行。
①当点P 在x 轴负半轴上时，点Q 在点B 的下方， 此时，若AB∥OQ ，四边形AOQB 即是梯形， 当AB∥OQ 时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°。 又OB=OA=2，可求得BQ=3。 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=3， ∴此时P 的坐标为（3 0-， ）。 ②当点P 在x 轴正半轴上时，点Q 在点B 的上方， 此时，若AQ∥OB ，四边形AOQB 即是梯形， 当AQ∥OB 时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°。 又AB= 2，可求得BQ=23， 由（2）可知，△APO≌△AQB ，∴OP=BQ=23， ∴此时P 的坐标为（23 0， ）。 综上所述，P 的坐标为（3 0-， ）或（23 0，）。 【考点】等边三角形的性质，坐标与图形性质；全等三角形的判定和性质，勾股定理，梯形的判定。 【分析】（1）根据题意作辅助线过点B 作BC⊥y 轴于点C ，根据等边三角形的性质即可求出点B 的坐标。 （2）根据∠PAQ═∠OAB=60°，可知∠PAO=∠QAB ，得出△APO≌△AQB 总成立，得出当点P 在x 轴上运动（P 不与Q 重合）时，∠ABQ 为定值90°。 （3）根据点P 在x 的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果。 2.（湖南永州10分）探究问题：
目录 第一部分函数图象中点的存在性问题 1.1 因动点产生的相似三角形问题 例1 上海市中考第24题 例2 苏州市中考第29题 例3 黄冈市中考第25题 例4 义乌市中考第24题 例5 临沂市中考第26题 例6 苏州市中考第29题 1.2 因动点产生的等腰三角形问题 例1 上海市虹口区中考模拟第25题 例2 扬州市中考第27题 例3 临沂市中考第26题 例4 湖州市中考第24题 例5 盐城市中考第28题 例6 南通市中考第27题 例7 江西省中考第25题 1.3 因动点产生的直角三角形问题 例1 山西省中考第26题 例2 广州市中考第24题 例3 杭州市中考第22题 例4 浙江省中考第23题 例5 北京市中考第24题 例6 嘉兴市中考第24题 例7 河南省中考第23题 1.4 因动点产生的平行四边形问题 例1 上海市松江区中考模拟第24题 例2 福州市中考第21题 例3 烟台市中考第26题 例4 上海市中考第24题 例5 江西省中考第24题 例6 山西省中考第26题 例7 江西省中考第24题 1.5 因动点产生的梯形问题 例1 上海市松江中考模拟第24题 例2 衢州市中考第24题 例4 义乌市中考第24题
例5 杭州市中考第24题 例7 广州市中考第25题 1.6 因动点产生的面积问题 例1 苏州市中考第29题 例2 菏泽市中考第21题 例3 河南省中考第23题 例4 南通市中考第28题 例5 广州市中考第25题 例6 扬州市中考第28题 例7 兰州市中考第29题 1.7 因动点产生的相切问题 例1 上海市杨浦区中考模拟第25题 例2 河北省中考第25题 例3 无锡市中考第28题 1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 天津市中考第25题 例2 滨州市中考第24题 例3 山西省中考第26题 第二部分图形运动中的函数关系问题 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 宁波市中考第26题 例2 上海市徐汇区中考模拟第25题 例3 连云港市中考第26题 例4 上海市中考第25题 2.2 由面积公式产生的函数关系问题 例1 菏泽市中考第21题 例2 广东省中考第22题 例3 河北省中考第26题 例4 淮安市中考第28题 例5 山西省中考第26题 例6 重庆市中考第26题 第三部分图形运动中的计算说理问题 3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 例1 南京市中考第26题 例2 南昌市中考第25题 3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题 例1 上海市黄浦区中考模拟第24题 例2 江西省中考第24题
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交 于E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直
压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件.
综上可知,当 时，△O ＡC 与△APQ 相似． （３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 ２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题）
【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值．
2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值．
3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值．
近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①
目 录 2.1 由比例线段产生的函数关系问题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 例2 2012年连云港市中考第26题 例3 2010年上海市中考第25题 例1 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB 于点P ，点O 是边AB 上的动点． （1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长； （3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域． 图1 图2 图3 动感体验 请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O 在AB 上运动，观察△OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点P 可以落在对边的垂直平分线上，点M 不能． 请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y 关于x 的函数关系． 思路点拨 1．∠B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱． 2．分三种情况探究等腰△OMP ，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单． 3．探求y 关于x 的函数关系式，作△OBN 的边OB 上的高，把△OBN 分割为两个具有公共直角边的直角三角形． 满分解答
（1） 在Rt △ABC 中，AC ＝6，53sin =B ， 所以AB ＝10，BC ＝8． 过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ． 在Rt △BMD 中，BM ＝2，3sin 5MD B BM ==，所以65 MD =． 因此MD ＞MP ，⊙M 与直线AB 相离． 图4 （2）①如图4，MO ≥MD ＞MP ，因此不存在MO ＝MP 的情况． ②如图5，当PM ＝PO 时，又因为PB ＝PO ，因此△BOM 是直角三角形． 在Rt △BOM 中，BM ＝2，4cos 5BO B BM ==，所以85BO =．此时425 OA =． ③如图6，当OM ＝OP 时，设底边MP 对应的高为OE ． 在Rt △BOE 中，BE ＝32，4cos 5BE B BO ==，所以158BO =．此时658 OA =． 图5 图6 （3）如图7，过点N 作NF ⊥AB ，垂足为F ．联结ON ． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON ＝x ＋y ． 在Rt △BNF 中，BN ＝y ，3sin 5B =，4cos 5B =，所以35NF y =，45 BF y =． 在Rt △ONF 中，4105 OF AB AO BF x y =--=--，由勾股定理得ON 2＝OF 2＋NF 2． 于是得到22243()(10)()55 x y x y y +=--+． 整理，得2505040 x y x -=+．定义域为0＜x ＜5． 图7 图8 考点伸展 第（2）题也可以这样思考： 如图8，在Rt △BMF 中，BM ＝2，65MF =，85 BF =．
中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O
3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C
一、函数与几何综合的压轴题 1.（2004安徽芜湖）如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于 E ′点，如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. ~ [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） ' 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵ DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 图① 图②
方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得0 2x y =??=-? 》 ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） E （0，-2）三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? （ = 1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2=1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2. （2004广东茂名）已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直