283 7 弹性物质
(一) 概念、理论和公式提要
7-1 Cauchy 弹性物质
弹性是一个重要的流变模型，很多物质在一定的条件下都呈现弹性性质。弹性物质的显著特征是相对于参考构形0K ，现时构形t K 上的应力唯一确定于变形，与从t K K 到0的变形过程无关，与从t K K 到0所经历的时间无关(应力所作的功或应变能则不一定与过程无关)。这样的弹性物质称为Cauchy 弹性物质。
(1) Cauchy 弹性物质的本构方程
弹性物质的应力与变形史无关，所以Noll 简单物质的本构方程为
)(F T T = (7-1-1)
)(F T 是相对于给定参考构形0K 对应于Cauchy 应力的响应函数。上式表明，现时构形t K 上的Cauchy 应力唯一确定于变形的现时值。参考构形改变，响应函数要改变；应力形式改变，响应函数也改变。因此响应函数必定是相对于某参考构形，对应于某种应力的。
客观性原理要求式(7-1-1)具有如下几种形式
T R U RT T )(= (7-1-2)
T R C RT T )(= (7-1-3)
T R E RT T )(= (7-1-4)
T f R E RT T )(= (7-1-5)
此处为简单计，对于不同的应变或变形采用了同一的函数记号。 由上列本构方程可以导出对应于其他应力的本构方程
1)()(det )()(-U U T U U U R ==∏∏∏， (7-1-6)
)()]()([2
1)1()1()1(E T U U T =+=T ∏∏ (7-1-7) )()()(det )2(1
1E T U U T U U ==--∑ (7-1-8) 式中)2()2(E E T ==，∑
284
)()()()(m m m E T T = (7-1-9)
)(f f f E T T = (7-1-10)
(2) Cauchy 弹性物质的对称性 各向同性弹性 Cauchy 弹性物质的本构方程一般地为
)(F T T =
如果物质对对称Q ，则有
)()(FQ T F T T == (7-1-11)
所以满足上式的Q (可限制为正常正交张量)构成弹性物质的对称群。 对于各向同性弹性物质，式(7-1-11)中的Q 可以是任意的正常正交张量。取T R Q =，则式(7-1-11)变为
)()(V T F T T == (7-1-12)
上式还应满足客观性原理，即
)()(T T QVQ T Q V QT = (7-1-13)
式中Q 是任意的正常正交张量，这正说明，响应函数)(V T 应是各向同性张量函数(参阅式2-6-14)，即有
2210)(V V I V T T ααα++== (7-1-14)
式中V 都是、、210ααα的主不变量的标量函数。
如果在式(7-1-13)中取U VR R R Q ==T T ，注意到，则得到
)(U T TR R =T
式中TR R T 为Lagrang 型张量。将式(7-1-14)代入上式左侧，就得到
2210)(U U I U T TR R ααα++==T (7-1-16)
(3) 弹性张量 线性弹性
已知Cauchy 弹性本构方程(式7-1-8)
)(E ∑∑= (7-1-17)
则有
=∑d ∶C E d (7-1-18)
E
E C ∂∂=)(∑ (7-1-19)
285
C 是四阶张量，称为弹性张量。其分量式为
⎪⎭
⎪⎬⎫∂∂=⊗⊗⊗=LM JK JKLM M L K J JKLM C E e e e e C ∑C (7-1-20) 且有
JKML KJLM JKLM C C C == (7-1-21)
所以C 的81个分量中只有36个是独立的。C 的分量称为弹性系数。 如果JKLM C 都是常数，称为弹性常数；这样的弹性物质称为线弹性物质。于是积分式(7-1-18)，注意到C 是常数张量，得到
⎭
⎬⎫==LM JKLM JK E C ∑∑E C ∶ (7-1-22) 此处假定参考构形是自然构形，在其上O E =，O =∑。
大多数物质在小变形条件下呈现为线性弹性，此时εε，，==E T ∑为小应变条件下的应变张量。于是上式可近似写成
⎭
⎬⎫==kl ijkl ij C εσε∶C T (7-1-23) 可以证明，对于线性弹性，恒有
klij ijkl C C =
上式表明，线性弹性物质只有21个独立的弹性常数。
对于各向同性线弹性物质，C 应是四阶各向同性张量，即有
jk il jl ik kl ij ijkl C δδνδδμδδλ++= (7-1-25)
式中νμλ、、为任意标量。将上式代入(7-1-23)，得到
⎭
⎬⎫
+=+=εμελεμδελσ2)tr (2)tr (I T ij ij ij (7-1-26)
上式就是小变形条件下的广义Hooke 定律的一种形式，μλ、为Lame 常数。
7-2 Green 弹性物质
286
(1) 弹性势函 已知在参考构形0K 上单位体积的应变能率为(式4-5-7)
f
f w E T D T E F ∶∶∶∶====ˆ0 ∑∏ρ (7-2-1) 式中)(ˆF F T T W J 的标量值数。如果存在一个=，使得
F F F
F F d d )()(d ∶∶∏=∂∂=W W 则有
F F ∂∂=
)(W ∏ (7-2-2) )(F W 称为弹性势函或应变能函数；具有弹性势函的弹性物质称为Green 弹性物质或超弹性物质。
由式(7-2-1)，弹性势函W 可以写作
)()()()2(f f W W W W E E F ===
为简单计，经常将上式直接写成
)()()(f W W W W E E F === (7-2-3)
对应于式(7-2-1)、(7-2-3)，有
)()W(E E E ∑∑=∂∂=
(7-2-4) )(f f f
f W E T E T =∂∂= (7-2-5) 式(7-2-5)是用应变能函数表示的最一般的本构方程，它包括了Seth 类应变。可以看出同轴同轴从而与与U U F E T )(=f f 。
由式(7-2-4)可得
⎪⎭
⎪⎬⎫∂∂∂==E E C E C W 2d d ∶∑ (7-2-6) JK
LM LM JK JKLM E E W E E W ∂∂∂=∂∂∂=22C (7-2-7) 上式表明，超弹性物质的独立的弹性系数只有21个，所以，①存在一个弹性势函，或者②只有21独立的弹性系数是Green 弹性与Cauchy 弹性的主要区别；
287
或者说，Cauchy 弹性要求现时应力唯一确定于现时变形，与变形过程无关，而Green 弹性则不只现时应力而且应力作功(应变能)都与变形过程无关。显然，线性弹性总是超弹性的。
(2) Green 弹性物质的客观性和对称性 由式(7-2-1)可见，弹性应变能是
客观的标量值张量函数，且有W W w W ~d d 0==。于是有ρ。其中
)~()
()~(~)
()(系系φφQF F F W W W W W ===
因此符合客观性要求的弹性势函必需满足 )()(QF F W W = (7-2-8)
令T R Q =，上式变为
)()(U F W W = (7-2-9)
上式表明，弹性势函的客观性等价于物质单元在纯变形之后叠加任何转动，不影响其应变能函数的值。
前已说明，如果Cauchy 弹性物质对Q 对称，则有
FQ F F T F T =='')()(，
为此对应，Green 弹性物质如果对Q 对称，则应有
FQ F F F =='')()(，W W (7-2-10)
相应地有
)()('E E W W = (7-2-11)
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-=-=
EQ Q I F F E I F F E T T T )(21)(21''' (7-2-12) 于是Green 弹性物质如果对Q 对称，则弹性势函应满足
)()(EQ Q E T W W =
由于如果Q 是物质的对称元，则T Q Q =-1
也是它的对称元，所以上式又可写成 )()(T W W QEQ E = (7-2-13)
上式是物质的对称性对弹性势函的限制。
288
对于线性弹性(用E 近似代ε)，则有
]][][[][2
1)(2
1)(''''T kl ij ijkl kl ij ijkl W W Q Q C C εεεεεεεε===
将)()()('''εεεεεW W W ij ij =，并令表示，再代入用就可得到对于弹性常数的附加条件，这将使独立的弹性常数的数目减少。
还可导出，如果Green 弹性物质对Q 对称，则本构方程)(E ∑∑=应满足
⎭
⎬⎫===)()()('T T QEQ Q E Q E ∑∑∑∑∑ (7-2-14) 这是对称性对Green 弹性物质的本构方程的限制。
(3) 各向同性Green 弹性物质的应变能函数
对于各向同性Green 弹性物质，对称群包含所有的正常正交张量，即在式(7-2-13)和(7-2-14)中，Q 可以是任意的正常正交张量。根据式(2-6-11)和(2-6-13)可见，应变能函数E E E 分别是和本构方程)()(∑∑=W 的各向同性标量函数和张量函数，即
)()(321I I I W W ，，=E (7-2-15)
2110)(E E I E 2ααα++==∑∑ (7-2-16)
上式分别是Green 弹性物质的应变能函数和对应于应力∑的本构方程；式中E 是、、321I I I 的主不变量，E 是和、210ααα的主不变量的标量函数。 又从弹性势函)(F W 既要满足对称性，又要满足客观性的要求，应有
)()()(FQ QF F W W W W ===
对于各向同性物质，Q 可取为任意的正常正交张量。于是分别将T R Q VR F RU F ===代入，并取及，将分别得到
⎪⎭
⎪⎬⎫==)()()()(VR R V RU U T T W W R W W (7-2-17) 上式表明V U F V U 和都成立，特别地当，此式对任意的
)()(W W =给定时，对任
289
意的正常正交张量R 都成立。于是可将式(7-2-17)改写成
⎪⎭
⎪⎬⎫==)()()()(T T W W W W QVQ V QUQ U (7-2-18) 由上式可见，各向同性弹性物质的应变能函数应是V U 或的各向同性标量值函数，亦即它是V U 或的主不变量的标量函数
)(321I I I W W 、、= (7-2-19)
或中
⎪⎭
⎪⎬⎫===++===++===321333133221222321111)()()()()()(λλλλλλλλλλλλV U V U V U I I I I I I I I I (7-2-20)
321λλλ、、是主伸长比。因为22V B U C ==，，所以W 也可以写作B C 或的主不变量的函数，即在式(7-2-19)中，也可取
⎪⎭
⎪⎬⎫===++===++===232221333212323222221222232
221111)()()()()()(λλλλλλλλλλλλB C B C B C I I I I I I I I I (7-2-21)
从式(7-2-20)和(7-2-21)可见，各向同性弹性物质的应变能函数也可写作
)(321λλλ，，W W = (7-2-22)
但必须是321λλλ、、的对称函数，即满足
)()()(213132321λλλλλλλλλ，，，，，，W W W === (7-2-23)
实际上321321λλλ，，都是和，I I I 的对称函数。
根据式(7-2-5)
)()
(f f f f f W E T E E T =∂∂=
)()()(i f i f f E λ==的主值为U F E 。
如果将321λλλ，，写作W 的对称函数，记f T 的主值为)(f i t ，则
321)
()()
(，，，=∂∂∂∂=∂∂=i f W f W t i i i i f i λλλλ (7-2-24) 例如，对于Seth 类应变，
290
)(1)(I U E -=
m m m
(7-2-25) m E 的主值为 )1(1)()(-=
=m i i m i m f E λλ (7-2-26) 于是)()(m i m t 的主值T 为
i
m i m i i i m i W E W t λλλλ∂∂=∂∂∂∂=
--)1()()( (7-2-27) 当0=m 时，得到 i
i i W t λλ∂∂=)0( (7-2-28) 结合式(7-2-27)和(7-2-28)，可得
)()0()()0(m m m i i i t t T U T ==或λ (7-2-29)
于是可用上式由)()()()()0()0(m m i i t t T T 或确定或。
已知)2(T 为
1
111)2(ˆ----===U R T R U U TR R U T T T J ∑ (7-2-30) 其中
i i i i i i i i T T Jt t t t =⊗=⊗=ˆˆˆˆ)()()()(，u u R v v R R T
R (7-2-31) T 是i t 的主值。由式(7-2-30)和(7-2-31)，可得
)2(2)2(ˆˆi i i i i i t t
t t λλ==-
或 (7-2-32) 在式(7-2-29)中取2=m ，得到
)2(2
)0(i i i t t λ= (7-2-33)
由式(7-2-32)和(7-2-33)，并注意到式(7-2-28)，得到
i
i i i W t t λλ∂∂==ˆ)0( (7-2-34) 注意到)0(T 是Lagrange 型张量，T
ˆ是Euler 型张量，它们的主值相同，因此式(7-2-34)的直接表述为
R T
R T ˆ)0(T = (7-2-35)
291
(4) 各向同性不可压缩Green 弹性物质的本构方程 由于物质不可压缩，det det =F 1321==λλλU ，所以应变能函数为
1)(321==I I I W W ，， (7-2-36)
式中)(21B C V U 或或为、I I 的第一和第二主不变量。约束方程为
0tr ==D I D ∶ (7-2-37)
由式(7-2-1)及1=J ，有
D T ∶==W w
0ρ (7-2-38) 在式(7-2-36)中，取B 为、21I I 的主不变量，应用式(2-6-5)，可得
B B
B ∶)d d d d (2211I W I W W += 式中T I W W I W W BG GB B +=∂∂=∂∂= ，，2
211于是上式变为 D B B ∶])[(222
211W W I W W -+= 将上式代入式(7-2-38)，得到
0]2)(2[22211=++-D B B T ∶W W I W (7-2-39)
对于不可压缩物质，约束方程为式(7-2-37)；于是只要括号中的值为I q 或I p (p q 、为任意标量)，都能满足上式，即有
222112)(2B B I T W W I W p -++-= (7-2-40)
或者(应用C-H 方程消去2B )
)(21
21--+-=B B I T W W p (7-2-41) 已知各向同性Cauchy 弹性物质的本构方程为(式7-1-14)
22V V I T 10ααα++=
应用C-H 方程，可将上式写成常用的形式
1
11--++=B B I T 0βββ (7-2-42) 对于不可压缩物质，上式应修改为(参阅式6-8-6或6-8-8)
1
11--++-=B B I T ββp (7-2-43) 此时B 是和11-ββ的第一和第二主不变量的标量函数。比较式(7-2-41)和(7-2-43)，
292 可得
2
11122I W I W ∂∂-=∂∂=-ββ， (7-2-44) 所以，只当式(7-2-43)中的11-ββ和满足下式时，物质才是超弹性的
01
121=∂∂+∂∂-I I ββ (7-2-45)
7-3 各向同性弹性物质的若干应变能函数的表达式
下面介绍几种常用的应变能函数
321232
221321)()(2)(λλλλλλλλλ=-++=J J q a W ，，， (7-3-1)
∑∞
-∞
==-++=
p p p p p J a W 1)3(2)(321321，，，λλλλλλ (7-3-2)
1)3()(1321321=-++=∑=J W p N p p p p p ，，，αλλλμλλλα
αα (7-3-3)
N N p p 为实数，，，，)21( =α为有限的正整数。
式(7-3-3)表示的应变能函数同橡胶类物质的实验数据有很成功的一致性。
以下是用)1(321=I I I 和的主不变量或C B 表示的应变能函数
)3()3()(20111021-+-=I C I C I I W ， (7-3-4)
上式称为Mooney 或Mooneg-Rivlin 应变能函数
)3()(11021-=I C I I W ， (7-3-5)
上式是Treloar 或Neo-Hooke 应变能函数，是适用于橡胶类物质的最简单的模型。
)]3()3[(2
1)(12021-+-=I g I I I W μ， (7-3-6) 0)0(0=g g 为单变量的函数，且有为常数，μ；这个应变能函数适用于生物软组织。
)]3()3[(21)(21021-+-=
I f I I I W μ， (7-3-7)
293
上式称为Rivlin-Saunders 应变能函数。式中0μ为常数，f 为一元函数，且有
0)0(=f 。对应于式(7-3-6)和(7-3-7)的本构方程分别为
])3([1'1
0B B I T -++-=-I g p μ (7-3-8)
])3([1
2'
0---+-=B B I T I f p μ (7-3-9)
对于式(7-3-1)的一个如下具体形式
22
3
2221321)1('21)ln 23(21)(-+--++=J J W μλλλμλλλ，， (7-3-10) 按式(7-2-34)
i
i i i W Jt t
λλ∂∂==ˆ 可以求出
⎪⎭
⎪⎬⎫-+-===-+-==I I T T J J V J i J J Jt t i i i )1(')(ˆ321
)1(')1(ˆ22μμμλμ，，， (7-3-11) 如果1=J (材料不可压缩)，则
⎪⎭
⎪⎬⎫-==-=-∂∂==I V T p i p p W t t i i i i i 22321
ˆμμλλλ，，， (7-3-12)
7-4 热弹性物质的本构方程
热弹性物质是经历热力学过程的弹性物质，在它的本构方程中要引入热力学变量。热弹性本构方程一般可写作
)(g F T T ，，θ= (7-4-1) )(g F ，，θs s = (7-4-2)
)(g F ，，θψψ= (7-4-3)
)(g F h h ，，θ= (7-4-4)
上式即式(6-6-1)对应于弹性物质的情况。热力学第二定律为(式5-3-10，但
D 改为ε
) 0)d ()d (≥--=+=θρψραα s q
Q D T D T ∶∶Λ
294
对于弹性物质，o T ==)d (0，αq
，上式变为 0=--=θρψ
ρ s D T ∶Λ (7-4-5) 由式(7-4-3)
g
g
F F ∂∂+∂∂+∂∂=ψ
θθψψψ
∶ 于是式(7-4-5)可写成
0=-∂∂-∂∂-∂∂-θρψρθθψρψρ
s g g
F F D T ∶∶ (7-4-6) 注意到
G GF F G T D T ，，∶
∶== 是速度梯度，上式又可写成 0)()(=∂∂-+∂∂-∂∂-g g
G F F T ψρθθψρψρ
s T ∶ (7-4-7) 上式对任意的g G 和、θ
都成立，由此得到 T
F F T ∂∂=ψρ (7-4-8)
θ
ψ∂∂-=s (7-4-9)
o g
=∂∂ψ
(7-4-10) 上式表明，θψ和都只是和、F T s 的函数。于是热弹性本构方程最后表示为
⎪⎪⎪⎭⎪⎪
⎪⎬⎫
==∂∂-=∂∂=)()(g F h h F F F
T ，，，θθψψθψψρ
s T (7-4-11) 由于0=Λ，所以热力学第二定律为
01
1≥-=-=hg hg θθδΛ (7-4-12)
可以证明，当物质的导热能力有限，即0)(=g g g F h 可微时，对，，θ必然导致0h =，即热流直接依赖于温度场的梯度。
295
还可证明，在均温)0()(===∇=γθ，及绝热0h 0g 情况下，弹性变形都是纯力学的，εψ只是的函数(假设讨论小变形情况)，温度只作为参数出现在
)(θεψ，中。
(二) 习题和解答
7-1 设与)2()2(T E 功共轭的应力具有如下的弹性本构关系
1)2()(-=U U H T
已知函数)T (2)()()(T U U H U UH U H ，证明满足=是对称张量。
解 由U U H U UH U T U H U U H T )()()()()2(1)2(T ===-，于是，可得，导致
U UT U UT T )2()2(=
由上式可得)2()2()2(T T T ，即T =是对称张量。
提示：)2(E 是Green 应变张量，常简记为就是，)2(T E Kirchhoff 应力∑。
7-2 试举例说明，虽然Cauchy 应力T 独立于参考构形的选择，但功共轭应力张量却与参考构形的选择有关。
解 设有两个参考构形t K K K ，对于同一个现时构形和'00，其变形梯度
'F F 和之间有下列关系X P X FP F d 'd '1==-，此处。对于功共轭应力)2(T 和∏，
它们与T 有下列关系
)()det (01)2(1K T 相对于，∏
∏--==F T TF F
相对于参考构形'0K ，则有
T T T T
P P P TF F P TF F ∏∏)(det ))(det (det )'det (''1111----=== T
T P PT P P P PF F T )2(1111)'2()det ()det ('
'----===∏∏
296
上式表明)'2()2(T T ≠≠，∏∏。
7-3 设弹性物质的本构律为)(F G T =，这个物质对于K 对称，且有
1det =K 。证明ρρ。I T )(p -=是现时构形的质量密度。
解 弹性物质对K 对称，则有
)()(FK G F G = (a)
式中K 只要满足条件F F K 3
1**1det -==J 。设，其中J =F det ，则1d e t *=F ，
因此*F 是此物质的对称群的一个元素，令)1det (det 1*1*===--F K F K ，则响应函数)(F G 应满足下式(或式a 变为)
)()(3
1I G F G J
=
上列响应函数应该满足客观性原理，即有
)()()(3
1
3
1
3
1I G IQ Q G Q I QG J
J
J
T T == (b)
上式对所有的正常正交张量)(3
1I G Q J
成立，表明应是各向同性张量函数，即有
I I G T )()(3
1
J J
α== (c)
)()(00ραρρ
ρp J J -=
写作是固定的，于是可将
，，式(c)最后可写成 I T )(ρp -=
上式是非粘性可压缩流体的本构方程。本题结果表明，流体的对称群是正的单模群，即等容变形不影响流体的力学状态，在体积不变的条件下，无论参考构形如何变化(称为等容变换)，流体的响应函数不变。这正是流体区别于固体的特征之一。
7-4 如果上题的弹性物质对K 对称，但K 是正常正交张量，即Q K =，证明
2210)(V V I F G T ααα++==
解 令VR F R K ==及注意到T ，则由对称性
)()()()(V G FR G FK G F G ===T
上式应满足客观性原理，即满足下式
297
)()(T T QVQ G Q V QG =
式中Q 是任意正常正交张量，因此V V G 是)(的各向同性张量函数，即有
2210)(V V I V G T ααα++==
上式是各向同性固体物质的本构方程。
7-5 比较下列两式
4
22
102210V
V I T V V I T ψψψϕϕϕ++=++=
应用Cayley-Hamilton 定理，用210210ψψψϕϕϕ及、表示、、。 解 C-H 定理表示为
0I V V V =---32213I I I (a)
式中V 是、、321I I I 的不变量的标量函数。由式(a)可解出
I V V V 32213I I I +-= (b)
用V 遍乘上式，得到
V V V V 322314I I I +-= (c)
将式(b)代入式(c)，再将式(b)、(c)代入T 的第二个表达式，得到用2V V 、表示的式子。
2
22221
1212323120)()()(V
V I T ψψψψψψψI I I I I I I -++-++=
将上式与题给的第一式进行比较，得
⎪⎭
⎪
⎬⎫-+=-=+=)()
(2212122132123100I I I I I I I ψψϕψϕψψϕ (d)
由式(d)可解出
⎪
⎭
⎪
⎬⎫
-=---=--=---1
2131212131221211
21313100)()()()(I I I I I I I I I I I I I ϕψϕϕψϕϕψ (e)
或者由式(b)、(c)，解出
298
121331222214))((---+-=I I I I I I I I V V V V
再代入题给第一式，并与第二式进行比较，即得式(e)。
7-6 证明受到内部约束0)(=F C 的弹性固体物质用Cauchy 应力T 表示的本构方程可写成
T
C p ))((
)(F
F F F T T ∂∂+= 如果物质是不可压缩的，试导出其本构方程。 解 内部约束方程为0)(=F C ，则
0])(tr[)()(=∂∂=∂∂=F F F F F F T C C C
∶ 根据
)(tr )(tr )(111F T F F F T F F
T G T D T ---====∶∶∶ 可令0)(')(')('1=∂∂=∂∂=-F T F
F T F T F C C
p C p T T 便是对应于内部约束
，，或的不确定应力。于是总应力为
T C
p )()(F F F T T ∂∂+= (a)
如果物质是不可压缩的，则内部约束方程为
)
1(det 01det )(1==∂∂=∂∂=-=-J C C T F F
F
F F F
代入式(a)，并按一般习惯，将p p -改为，得到
I F T T p -=)(
如果物质是各向同性的，则(参阅习题7-4)
)(02
21I I V V I T p p -++-=已并入ααα
7-7 已知)(2
1)2(I F F E -=
T
，于是约束方程0)(=F C 可等价地写成0)()2(=E C 。此处)2(E 是Green 应变，记作E 。写出弹性固体材料的本构方程。
解 已知应力功率为0)()2(=E E T C ，由约束方程∶ ，可得
299
)tr()(E E
E F E ∂∂=∂∂=C C C
∶ 记不确定应力为
)(
')2(E
T ∂∂=C
q 式中q 为任意标量，则有0')2(=E T ∶
，从而 )(
)()2()2(E
E T T ∂∂+=C q )2()2()(T E T 是应力的响应函数。
7-8 如果有N 个独立的内部约束
N C r ，，，， 21r 0)(==F
试推导
∑=∂∂+=N
r T
r r C q 1
)(
)(F
F ∏∏ 式中)(F ∏是没有内部约束的物质的响应函数。
证明，如果材料在参考构形内有两个不可伸缩的方向21L L 和，Cauchy 应力
T 可表示成
222111)(FL FL FL FL F T T ⊗+⊗+=q q
指出可实现非零变形的内部约束的最大个数是多少。 解 由题给的约束方程，可得
N r C C T r r ，，，，∶ 210])tr[(==∂∂=∂∂F F
F F 令'r ∏为对应于0)(=F r C 的不确定应力，则有
N r C q T r r
T r ，，，， 210])(tr[)tr('==∂∂=F F
F ∏
于是
T
r N
r r C q )(
)(1
F
F ∂∂+=∑=∏∏
300
设材料在21L L 和两个方向上不可伸缩，则约束方程为：
1))((1))((22221121====FL FL FL FL λλ，
或
1,201))(()(==-=r C r r r ，FL FL F
于是
21)(2，，=⊗=∂∂r C T r r r
FL L F
∏的非确定应力为
)(2)(2''222111FL L FL L ⊗+⊗=q q ∏
Cauchy 应力T 的表达式为(参阅习题7-6)
∑=⊗+⊗+=∂∂+=2
122211122)()(
)(r T
r r q q C q FL FL FL FL F T F
F F T T 已知V U VR RU F 或，其中变形张量
==各有6个独立的分量；因此，当材料的独立的内部约束大于或等于6个时，就不能实现实际的变形。所以可实现非零变形的独立约束不能多于5个。
7-9 证明不可压缩弹性固体要实现非零的平面变形，至多只能存在一个(面内的)可伸缩的方向。并证明，如果存在这样一个不可伸缩的方向时，变形必然是简单剪切。如果材料是各向同性的，面内的Cauchy 应力分量可写作
)
2()1()31()1('22112221224222111γγψγψγψψγγψγψ++=+++-=++++++-=T p T p p T
解 (1) 平面变形只有三个独立的变形分量，要实现非零平面变形至多只能有2个内部约束；不可压缩是1个内部约束，于是至多只能有1个(面内的)不可伸缩方向。
(2) 平面变形、等容变形及在一个方向不可伸缩是简单剪切的三特点或三要素。设不可伸缩方向(即剪切方向)是1e ，变形平面是)(21e e ，平面，则简单剪切的变形梯度的分量矩阵为
301
110001001][311==⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=λγ，，e Fe F γ为剪切量。
(3) 本题给出的内部约束有两个，其约束方程分别为
1))(()(01det )(1121=-==-=Fe Fe F F F C C
于是，Cauchy 应力表述的本构方程为(参阅上题并参照习题7-6)
4
22
111114221')()('V
V e e I Fe Fe V V I T ψψψψ++⊗+-=⊗+++-=p p p p (a)
式中
⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+==-1000101]][[][2
12γ
γ
γF F V (b) ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+++++++==10
001)1(0)1()1(]][[][2
22222224γγ
γγγ
γγγγV V V (c) 以上都是相对于基)(i e 的分量矩阵。将式(a)写成分量矩阵，并将式(b)、(c)代入，可以得到(只写出面内的应力分量)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++++⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22
2422212212121112231110001'100010001γγγγγγγψγγγψp p T T T T
证毕。
7-10 )()()(3
1
i i i i i i u u u U U 是主伸长比，，可表示成λλ⊗=∑=是Lagrange 主
302
轴。证明 (1)
i i i i
，对)()(u u U
⊗=∂∂λ不求和； (2) 设U 是、、321I I I 的主不变量，则有
133121-=∂∂-=∂∂=∂∂U U
U I U I U I I I I
I ，， 解 (1) U 是i λ的主值，因此有
)()
()(不求和，下同。对i i i i Uu u =λ
取基，)(L E 则上式可写成
L i i L i M LM i L i u u U u E u )()
()()(==，λ
LM i U 对λ的导数为
JK i i K i J i M MK LJ i L JK i u u u u U )()()()()(U
∂∂===∂∂λδδλ 于是
)()()
()(i i K J i K i J i u u u u E E U
⊗=⊗=∂∂λ 注意)()
(i L i L u u =E (参见习题2-39)。
(2) 先计算321tr tr tr U U
U U U U ∂∂
∂∂∂∂，，，由于ii U =U tr ，于是 I U
U U U =∂∂==∂∂=∂∂)
tr ())tr ((
或者，jk ik ij jk ii jk U U δδδ 注意到ki jk ij ji ij U U U U U ==32tr tr U U ，，可类似地求出
223233)tr (22)tr (U U U
U U U U U ==∂∂==∂∂T T
， 又已知
U U tr )(1=I
弹性力学重点复习题及其答案 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时，也能在整个公共边界上具有相同的位移。
刘延柱的振动力学以及R.克拉夫、J.彭津编写、王光远等校译的结构动力学第二版 【全美经典】机械振动书 【机器故障的分析与监测】 【机械设备故障诊断技术及方法】 【机械设备故障诊断技术及应用】 【旋转机械振动分析与工程应用】 【旋转机械振动监测及故障诊断】 这些书都可以啊，网上都可以下载到，但是建议买正版的 这是陈立群教授发表在力学与实践上的，对振动类书籍的评论，您可以参考一下： 国外振动新教材的内容和特点 振动是国内理论与应用力学专业和工程力学专业本科必修课，也是机械、土木、航空等专业本科生或研究生的选修课。北美大学的情况基本类似，机械、土木、航空、航天和工程力学系一般都开设振动课程。初级课程由学过工程力学(静力学和动力学)的二、三年级本科生选修，高级课程主要是研究生选修甚至必修。土木系的初级振动课程有时也称为结构动力学，有些大学甚至是同门课程，不同的名称和编号。据笔者所见，欧美至少出版了几十种振动教材。本文仅讨论部分比较“新”的教材，即1995年后出版或再版的。最新的如2006年以后出版的教材，笔者还没有仔细阅读。另外，限于笔者外语能力，所谓“国外”教材主要是英语教材，包括欧洲大陆学者用英语出版的教材。而且，本文不讨论没有涉及基本振动理论例如单自由度线性振动的高级课程教材。笔者试图尽可能简要地分析各种教材在取材和处理方面的特点，并简介作者。最后在结束语中总结这些教材及其作者的特点。 顺便一提，在20多年前笔者开始教书的时候，提到国外原版教材总有种可望不可及的感觉，既见不到，也买不起。渐渐地情况发生变化。首先，随着研究经费和教学项目经费的增加，原版教材变得相对便宜，一般在千元之内，可以通过外文书店向境外出版商订购。其次，国内的图书公司引入某些教学版本，相对便宜，每册价格通常只有二、三百元。第三，有些出版社取得外国教材的版权在境内重印发行，价格更低。第四，有些高校购买国外期刊电子版本的同时也购买了相应出版社的书籍电子版，这种书籍虽然以专著居多，但也有少量教材。最后，不少大学的图书馆原版藏书已经大为增加。更不用说教师们有更多出境交流的机会。因此，现在的问题不再是看不到原版教材，而是教材太多来不及看。希望本文能在读者选择教材时有所帮助。 1 传统教材及其更新 对我国振动教学的影响影响很大的国外教材当推Timoshenko等的《工程中的振动问题》(S. Timoshenko, S. H. Y oung, W. Weaver. V ibration Problems in Engineering (4th ed.). John Wiley & Sons, 1974，521页)，Meirovitch的《振动分析基础》和Thomson的《振动理论及其应用》。这些书早期不同版本均有汉译本。其共同特点是以确定性线性振动为主，按单自由度、两自由度、多自由度、连续体叙述，也包括少量非线性振动和随机振动。这些书在北美也是经典
《结构力学习题》(含 答案解析) 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
20 第三章 静定结构的位移计算 一、判断题： 1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。 2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。 3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。 4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取： A.; ; B. D. M C.=1 =1 =1 5、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。 6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。 M k M p 21 y 1y 2** ωω ( a ) M =1 7、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。 8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。 A a a
9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P是反对称性质的，故结点B的竖向位移等于零。 21
21 二、计算题： 10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。 q l l l /2 11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。 EI = 常数 ，a = 2m 。 a a a 10kN/m 12、求图示结构E 点的竖向位移。 EI = 常数 。 l l l /3 2 /3/3q 13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。求D 点的竖向位移。 P 3m 3m 3m 14、求图示刚架B 端的竖向位移。 q 15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
有限元试题及答案 有限元试题及答案 一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w
第一章 连续体力学 一、本章重难点 1、刚体定轴转动的特点及描述刚体定轴转动的各个物理量。理解线量与角量的关系。 2、力矩、转动动能、转动惯量、刚体定轴转动定理。 3、角动量，刚体定轴转动的角动量定律、角动量守恒定律 4、应力、应变的概念，应变的几种形式 5、理解应力与应变的关系，弹性模量 6、流体、理想流体、流线和流管、定常流动 7、流体的连续性方程、伯努利方程 8、泊肃叶定律 9、层流、湍流、雷诺数 10、粘性流体的伯努利方程、斯托克斯定律 11、弯曲液面的附加压强（球形液面、柱形液面） 12、毛细现象、润湿和不润湿现象、气体栓塞 二、课后习题解答 1-1、一飞轮直径为0.2m ，质量为5.00kg ，t 边缘饶一轻绳，现用恒力拉绳子的一端，使其有静止均匀地加速，经0.50s 转速达10转/s 。假定飞轮可看作实心圆柱体。求； （1） 飞轮的角加速度及在这段时间转过的转数 （2） 拉力及拉力所做的功 （3） 从拉动后t=10s 时飞轮的角速度及边缘上一点的速度和切向加速度及发向速度。 解： , /1058.1, /6.12,/126,/1026.1)3(3.492 12121252322 02s m r a s m r a s m r v s t J J J J A t n t t z z z ?======?====-= ωβωβωωωωτ N m r F m r J rF M F r M n t s rad t t z z z 4.312 12190,25.2221/6.125)1(2 0==∴===?=?===?===?=βββθπθ βθω ββω ）（转
第一章 连续体力学 本章提要 1．固体的弹性 · 在常温常压下，固体分为晶体和非晶体。晶体在宏观上具有规则对称的外形，在微观上具有远程有序的特点，在物理性质上呈现各向异性，并且加热熔化时具有确定的熔点。 · 固体的形变包括拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲四种。拉伸压缩和剪切形变为基本形变。 · 物体在外力作用下发生的相对形变称应变，拉伸应变为 l l ?=ε 剪切应变通过剪切角来表示，剪切角为 d x = γ 若在压力作用下，体积发生变化而形态不变，体应变为 0 V V ?=θ ·作用在物体内部单位面积上的作用力称应力，某截面S ?上的应力为 S f ??=σ 在拉伸应变中 l l E ?σ＝拉 在体应变中 V V K ?＝体σ 在剪切应变中 d x G ＝剪σ 其中，E 称杨氏模量，K 称体积模量，G 称切变模量。 2．静止液体的性质 ·液体基本特征是易于流动而难以压缩，在物理性质上呈现各向同性。 ·液体可以分为极性液体、非极性液体、金属液体和量子液体。 ·对于液体中的任一点而言，来自任何方向的压强均相同。 ·液面下任一点的压强为
A 0p p gh ρ=+ ·液体表面上还存在着一种额外的切向力—表面张力，表面张力的基本规律为 f l γ?=? 其中，γ为表面张力系数，它是表征液体表面张力大小的特征量。表面张力系数与液体的种类、温度和掺杂的某些物质（表面活性物质和表面非活性物质）有关。 ·对于弯曲液面，其液面内外的压强不相等，压强差满足拉普拉斯公式。凸形液面的拉普拉斯公式为 R p p γ=2外内－ 凹形液面的拉普拉斯公式为 R p p γ-=2外内－ 3．液体的流动性质 ·连续性原理为 S ν = 常量 它体现了不可压缩的液体在流动过程中质量守恒。Sv 为单位时间内通过截面S 的流体体积，称为流量。 ·伯努利方程给出了同一流线上各点的压强、高度和流速三者之间的关系，即 221112221122p v gh p v gh ρρρρ++=++ ·连续性方程和伯努利方程适用于理想流体的稳定流动。 4．液体的黏滞性质 ·牛顿黏滞定律描述了液体的黏滞性质，其表达式为 d d v f S y η=? 其中，η为黏滞系数，简称黏度。 ·泊肃叶公式给出了黏滞液体在圆形管道中流动的基本规律，泊肃叶公式有泊肃叶速度公式和泊肃叶流量公式。泊肃叶速度公式给出了流速v 随管道半径r 变化的定量规律，即 ()22124p p v R r l η-=- 泊肃叶流量为公式
第一章流体及其物理性质 一、选择题及答案 1、按流体力学连续介质的概念，流体质点是指 A 流体的分子； B 流体内的固体颗粒；C无大小的几何点； D 几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 答（D） 2、从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体 A 能承受拉力，平衡时不能承受切应力； B 不能承受拉力，平衡时能承受切应力； C 不能承受拉力，平衡时不能承受切应力； D 能承受拉力，平衡时也能承受切应力。 答（C） 3、与牛顿内摩擦定律直接有关系的因素是 A 切应力与压强； B 切应力与剪切变形速度 C 切应力与剪切变形； D 切应力与流速。 答（B） 4、水的黏性随温度的升高而 A 增大； B 减小； C 不变； D 不能确定。 答(B) 5、气体的黏性随温度的升高而 A 增大； B 减小； C 不变； D 不能确定。 答(A) 6.流体的运动粘度的国际单位是 A m2/s； B N/m2； C kg/m； D N.m/s 7、以下关于流体黏性的说法不正确的是 A 黏性是流体的固有属性； B 黏性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能力的量度； C 流体的黏性具有传递运动和阻滞运动的双重作用； D 流体的黏性随温度的升高而增大。 答（D） 8、已知液体中的流速分布u-y如图1-1所示，其切应力分布为
A. τ=0； B. τ=常数； C. τ=ky （k 为常数）； D. τ=ku 答（B ） 9.以下关于液体质点和液体微团 A 液体微团比液体质点大； B 液体微团比液体质点大； C 液体质点没有大小，没有质量； D 液体质点又称为液体微团。 10、液体的粘性主要来自于液体-------------.。 A 分子的热运动； B 分子间内聚力； C 易变形性； D 抗拒变形的能力 11.15o 时空气和水的运动粘度为6214.5510/air m s ν-=?，621.14110/water m s ν-=?，这说明 A 、空气比水的粘性大 ； B 、空气比水的粘性小； C 空气与水的粘性接近； D 、不能直接比较。 12、以下哪几种流体为牛顿流体？ A 空气； B 清水； C 血浆； D 汽油； E 泥浆。 答（A, B, D ） 13、下列流体中哪种属牛顿流体？ A 汽油； B 纸浆； C 血液； D 沥青。 答（A ） 二、解答题及解析 1、 什么是“连续介质”模型？建立“连续介质”模型有何意义？ 答：“连续介质”模型是在进行流体分析时，将流体认为是充满其所占据空间，无任何空隙的质点所组成的连续体。建立“连续介质”模型，是对流体物质结构的简化，是在分析流体问题时得到两大方便：第一，可以不考虑流体复杂的微观粒子运动，只考虑在外力作用下的宏观机械运动；第二，能运用数学分析的连续函数工具。 2、 为什么液体的黏性随温度升高而减小，气体的黏性随温度升高而增大？ 答：流体的黏性是流体分子间的动量交换和内聚力作用的结果。液体温度增高时分子间内聚力减小，而动量交换对液体的黏性作用是不大的，因此液体温度增高黏性减小。而气体分子间距较液体大得多，其黏性主要是由分子间热运动造成的动量交换引起的，气体温度增高时，动量交换加剧，因此黏性增大。 三、图解题及解析 1、已知液体中的流速分布沿y 方向分布如图1-2所示有三种情况：（a ）均匀分布；（b ）线性分布；（c ）抛物线分布。试根据牛顿内摩擦定律 ，定性画出各种情况下的切应力分布τ-y 图。 解：（a ），（b ）,(c)三种情况的切应力分布τ-y 图如图1-3所示。
第七章一维波动方程的傅里叶解小结及习题答案 第二篇数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I．质点力学：牛顿第二定律Fmr 连续体力学 弦 2 u(r,t) 弹性体力学杆振动：22波动方程); au(r,t)0( 2 t (弹性定律) 膜 流体力学：质量守恒律：(v)0; t 热力学物态方 程： v1 (v)vpf0(Eulereq.). t II.麦克斯韦方程 DddD;EdlBdsEB; Bd0B0;Hdl(jD)dsHjD. Eu,BA,u,A 满足波动方程。 Lorenz力公式力学方程；Maxwelleqs.+电导定律电报方程。III.热力学统计物理 热传导方程： 扩散方程：T t t 2 kT 2 D 0; 0. 特别:稳态（0 t ） : 20(Laplaceequation). IV.量子力学的薛定谔方程： 2 u 2.iuVu t2m 2.分类 物理过程方程数学分类
振动与波波动方程2 u 1 2 u 22 at 双曲线 输运方程能量：热传导 质量：扩散u t 20 ku 抛物线 1
稳态方程Laplaceequation 2u0椭圆型 二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter7一维波动方程的傅里叶解 第一节一维波动方程-弦振动方程的建立 1.弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x轴。表征振动的物理量为各点的横向位移u(x,t)，从而速度为u t，加速度为u tt. （2）立假设：①弦振动是微小的，1，因此，sintan，cos1，又 u x tan u；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应，1 x 力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力T(x,t)始终是沿弦的切向 2
第七章 作业解答参考 7-7 在图a 和图b 所示的两种机构中，已知O 1O 2 = a = 200 mm ，ω1 = 3 rad /s 。求图示位置时杆O 2A 的角 速度。 a 解：取套筒A 为动点，动系固结于杆O 2A 上，其绝 对运动为绕O 1 点的圆周运动、相对运动为沿 O 2A 杆的直线运动、牵连运动为绕O 2 的定轴转动，设O 2A 杆 的转动角速度为ω，则动点A 的速度矢量合成分析如右图a ' 所示。 由题图a 可知，ΔO 1O 2A 为等腰三角形 故： O 1A = O 1O 2 = a 、O 2A = 2 a cos30° a 111e 2=2cos30v O A a v O A a ωωωω=⋅=⋅=︒、 又由图a '可知： e a =cos30v v ︒ 所以，有：12cos30cos30a a ωω︒=⋅︒ 即： ()1 1.5rad/s 2ωω== 故：在图示位置时，杆O 2A 的角速度为1.5 rad/s ，逆时针方向转。 *b 解：取套筒A 为动点，动系固结于杆O 1A 上，其绝对运动为绕O 2 点的圆周运动、相对运动 为沿O 1A 杆的直线运动、牵连运动为绕O 1 的定轴转动，设O 2A 杆的转动角速度为ω，则动点A 的速度矢量合成分析如右图b ' 所示。 由题图b 可知，ΔO 1O 2A 为等腰三角形 故： O 1A = O 1O 2 = a 、O 2A = 2 a cos30° a 2e 1112cos30=v O A a v O A a ωωωω=⋅=︒=⋅、 又由图 b '可知： e a =cos30v v ︒ 所以，有： 132cos30cos302 a a a ωωω=︒⋅︒= 即： ()122rad/s 3 ωω== a b a ' b '
普通物理学第六版下册答案【篇一：普通物理学第二版课后习题答案(全)】 >1.1国际单位制中的基本单位是那些？ 解答，基本量：长度、质量、时间、电流、温度、物质的量、光强度。基本单位：米（m）、千克（kg）、时间（s）、安培（a）、温度（k）、摩尔（mol）、坎德拉（cd）。 力学中的基本量：长度、质量、时间。力学中的基本单位：米（m）、千克（kg）、时间（s）。 1.2中学所学习的匀变速直线运动公式为 12 s?v0t?at, 2 各量单位为时间：s（秒），长度：m（米）， 若改为以h（小时）和km（公里）作为时 间和长度的单位，上述公式如何？若仅时间单位改为h，如何？若仅 v0单位改为km/h，又如何？ 解答，（1）由量纲dim v ?3 ?lt ?1 ，dim a?lt?2， 改为以h（小时）和km（公里）作为时间和长度的单位时， 1?3m/s?10km/h?10?3600km/h 3600 ?3.6km/h 12?3 m/s?10km/(h)2?10?3?36002km/h2 3600 ?3.6?3600km/h2 12 s?3.6v0t??3.6?3600at, 2（速度、加速度仍为 单位下的量值） 验证一下: 2 si
v0?2.0m/s, a?4.0m/s, t?3600s?1.0h 12 s?v0t?at, 2利用计算得： 12 s?2?3600??4?3600 2 ?7200?25920000?25927200(m) 12 s?3.6v0t??3.6?3600at, 2利用计算得 12 s?3.6?2?1??3.6?3600?4?1 2 ?7.2?25920?25927.2(km) （2）. 仅时间单位改为h ?1 由量纲，dim a dim v?lt ?lt ?2 得 若仅时间单位改为h，得： 1m/s?m/h?3600m/h 3600 ?3600m/h 12 m/s?m/(h)2?36002m/h2 360022 ?3600m/h 验证一下: 122s?3600v0t??3600at, 2 2 v0?2.0m/s, a?4.0m/s, t?3600s?1.0h 12 s?v0t?at, 2利用计算得： 12 s?2?3600??4?3600 2
最新电大国家开放大学《流体力学》网络核心课形考网考作业试题及答案 100%通过 2016年秋期电大把《流体力学（本科）》网络核心课纳入到“国开平台”进行考核，针对这个平台，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。做考题时，利用本文档中的查找工具，把考题中的关键字输到查找工具的查找内容框内，就可迅速查找到该题答案。本文库还有其他网核及教学考一体化答案，敬请查看。 考核说明：本课程采取“形成性考核”和“终结性考试”相结合的考核方式，即：课程总成绩 100% = 形成性考核30% + 终结性考试。本课程共有10个作业任务，均为客观题，系统自动评阅。 形考作业1 一、选择题 题目1 1．牛顿内摩擦定律适用于（） 选择一项： A. 牛顿流体 B. 任何流体 C. 非牛顿流体 题目2 2．液体不具有的性质是（） 选择一项： A. 易流动性 B. 粘滞性 C. 压缩性 D. 抗拉性 题目3 3．连续介质假定认为流体（）连续。 选择一项： A. 在宏观上 B. 原子间 C. 在微观上 D. 分子间 题目4 4．在国际制单位制中流体力学基本量纲不包括（） 选择一项： A. 力 B. 时间 C. 质量 D. 长度 题目5 5．在静水中取一六面体，作用在该六面体上的力有（）选择一项：A. 正压力、重力 B. 正压力、切向力、重力 C. 切向力、重力 D. 切向力、正压力 题目6 6．下属那些力属于质量力（） 选择一项： A. 弹性力 B. 重力 C. 表面张力 D. 粘滞力 E. 惯性力 二、判断题 题目7 1．压强和切应力属表面力。 选择一项： 对 错 题目8 2．流体惯性力与加速度方向相同。 选择一项： 对 错 题目9 3．粘滞性可以制止流体流动。 选择一项： 对 错 题目10 4．理想流体与实际流体的区别仅在于理想流体具有不可压缩性。 选择一项： 对 错 三、简答题
第6章位移法习题解答 习题6.1确定用位移法计算习题6.1图所示结构的基本未知量数目，并绘出基本结构。（除注明者外，其余杆的EI为常数。） (a) (b) (c) (d) 习题6.1图 【解】 各题基本未知量（取独立未知结点位移为基本未知量）如下： （a）n=4 （b）n=2 （c）n=6 （d）n=8 习题6.2是非判断 (1)位移法基本未知量的个数与结构的超静定次数无关。（） (2)位移法可用于求解静定结构的内力。（） (3)用位移法计算结构由于支座移动引起的内力时，采用与荷载作用时相同的基本 结构。（） (4)位移法只能用于求解连续梁和刚架，不能用于求解桁架。（） 【解】 （1）正确。位移法求解时基本未知量是结构的未知结点位移，与结构是否超静定无关。 （2）正确。无任何结点位移发生的静定结构内力图可利用载常数直接确定；有结点位移发生的静定结构则可利用位移法的一般步骤计算。 （3）正确。用位移法计算支座位移引起的内力时，可采用与荷载作用相同的基本结构，自由项可根据形常数和支移值确定。 （4）错误。只要能够取得杆端力与杆端位移之间的函数关系，位移法就可用于求解任何杆系结构。 习题6.3已知习题6.3图所示刚架的结点B产生转角θB =π/180，试用位移法概念求解所作用外力偶M。 习题 6.3图
【解】 30 i π 。发生转角θB 时，可直接求得结点B 所连的各杆端弯矩，再由结点B 的平 衡条件即可得M 。 习题6.4 若习题6.4图所示结构结点B 向右产生单位位移，试用位移法中剪力分配法的概念求解应施加的力F P 。 习题 6.4图 【解】 315l EI 。结点B 向右产生单位位移时，横梁所连各柱端剪力之和即为F P 。 习题6.5 已知刚架的弯矩图如习题6.5图所示，各杆EI =常数，杆长l =4m ，试用位移法概念直接计算结点B 的转角θB 。 m 习题 6.5图 【解】由M 图可知，BC 杆上无外荷载，其杆端弯矩为330BC BC B M i θ==-，由此求得40 B EI θ=- 。 习题6.6 用位移法计算习题6.6图所示连续梁，作弯矩图和剪力图，EI =常数。 (1) (2) 习题 6.6图 【习题6.6(1)解答】（1）确定基本未知量数目 杆段CD 为静定的悬臂梁，可将其简化至C 结点位置。本题在结点B 上具有一个角位移Z 1。 （2）确定基本体系 基本体系如习题解6.6(1) (a)图所示，令EI ＝6。
一．是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共 11分） 1 . (本小题 3分) 图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。（ ）. 2 . (本小题 4分) 用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。 （ ） 3 . (本小题 2分) 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。（ ） 4 . (本小题 2分) 用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。 （ ） 二．选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分） 图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（ ） A ．2/M ； B ．M ； C ．0； D. )2/(EI M 。 2. （本小题4分） 图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（ ） Ａ.ch; B.ci; C.dj; D.cj. 2
3. (本小题 4分) 图a 结构的最后弯矩图为： A. 图b; B. 图c; C. 图d; D.都不对。（ ） ( a) (b) (c) (d) 4. (本小题 4分) 用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。 ( ) 5. （本小题3分） 图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( ) Ａ．F P l 3 /(24EI); B. F P l 3 /(!6EI); C. 5F P l 3 /(96EI); D. 5F P l 3 /(48EI). 三（本大题 5分）对图示体系进行几何组成分析。 F P =1
《水力学（B）》网考复习资料 《水力学（B）》期末复习题一 一、单选题 1. _______是研究作用在液体上的力与运动要素之间的关系，以及液体运动的基本规律。（） A 水静力学 B 水动力学 C 土动力学 D 土静力学 参考答案：B； 2. 静止液体中同一点各方向的压强（）。 A 大小相等 B 大小不等 C 仅水平方向数值相等 D 铅直方向数值最大 参考答案：A； 3. 在均质、连通的液体中，水平面是等压面，这就是___原理。 A 连通器原理 B 动量原理 C 帕斯卡原理 D 阿基米德原理 参考答案：A； 4. 作用于淹没物体上的静水总压力只有一个铅垂向上的浮力，其大小等于该物体所排开的同体积的水重，这是著名的_____原理。 A 连通器原理 B 动量原理 C 帕斯卡原理 D 阿基米德原理 参考答案：D； 5. 理想液体的总水头线是一条（）。 A 抛物线 B 水平线 C 曲线 D 斜直线
参考答案：B； 6. 总流的动量方程为，如果由动量方程求得的力为负值说明______（） A 说明原假设的力的方向不对，反向即可。 B 说明方程中流速的取值出现错误。 C 说明方程中流量的取值出现错误。 D 说明方程中流速和流量的取值均出现错误。 参考答案：A； 7. 雷诺数Re是用来判别下列何种流动的重要无量纲系数 A 均匀流与非均匀流 B 层流与紊流 C 急流与缓流 D 明流与管流 参考答案：B； 8. 当水流的沿程水头损失系数λ只与边界粗糙度有关，可判断该水流属于 A 紊流粗糙区 B 紊流光滑区 C 紊流过渡区 D 层流区 参考答案：A； 9. 水泵的扬程是指（） A 水泵提水高度 B 水泵提水高度+吸水管的水头损失 C 水泵提水高度+ 吸水管与压水管的水头损失 D 吸水管与压水管的水头损失 参考答案：C； 10. 在缓坡明渠中不可以发生的流动是 A 均匀缓流 B 均匀急流 C 非均匀缓流 D 非均匀急流 参考答案：B； 二、多选题 1. ______是压强单位 A N/m2
9 塑性物质 （一） 概念、理论和公式提要 9-1 经典塑性理论 本章只介绍经典塑性理论和粘塑性本构方程，且都限于小变形情况。塑性变形是不可逆变形，塑性本构方程是非线性的，属于物理非线性。经典塑性理论虽有其广泛的应用领域，但在一些情况下，它就显得不足。例如，对于岩土类物质、粒状物质及高强度钢等力学性能的深入研究，经典塑性理论中的正交法则和塑性体积应变为零等经典假设就不适用；而要研究变形局部化问题，需要从大变形本构模型入手，在大变形条件下，往往伴随材料的损伤，因此在研究从变形到破坏的全过程中，必然要考虑大变形塑性-损伤本构方程等。 经典塑性理论有两个基本假设或基本前提：①在应力(或应变)空间内，存在屈服曲面。在小变形条件下，屈服曲面可表示为αθεq ij 及，(内变量)的函数，即表示成ααθσθεq q g ij ij ，，；也可表示成，，0)(=的函数，即0)(=αθσq f ij ，，。在屈服曲面之内，)0(0< 以上关系仅在变形不大时近似成立。在''BB AA 和范围内，应力变化与应变化之间遵循 εσεσd d E E ==或△△ 分别称''B B A A 、和、点为初始和相继弹性范围的边界，边界点)()(''B B A A 、和、对应于弹塑性状态。当应力从B 点向内变化时(卸载过程)，有 εσd d E = 当应力从C 点沿曲线变化到 B 点时(加载过程)有 )d d (d d p e t t E E εεεσ+== 由E e σεd d =及上式，易得 p p E σ εd d = (9-1-1) E E E t p 111-= (9-1-2) 是切线模量，称为塑性模量，t p E E 一般地它们都不是常数。0>t E 是强(硬)化物质，0=t E 为理想塑性物质，0
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