离散数学重点笔记 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第一章,0命题逻辑
素数 = 质数,合数有因子
和或假必真同为真
(p→q)∧(q←→
(┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式
【例】求下列公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r
公式(1)的成假赋值为011,其余7个赋值都是成真赋值
第二章,命题逻辑等值演算
(1)双重否定律??A?A
(2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A
(3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A
(4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C);(A∨B)∨C?A∨(B∨C)
(5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C);(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C)(6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B ;?(A∧B)??A∨?B
(7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A
(8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0
(9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A
(10)排中律 A∨?A?1
(11)矛盾律 A∧?A?0
(12)蕴涵等值式 A→B??A∨B
(13)假言易位 A→B??B→?A
(14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A)
(15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A
(16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A
(p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p
(p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式
一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式
主范式【∧小真,∨大假】
∧成真小写
【例】 (p→q)→(┐q→┐p)
= ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→)
= (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式)
= (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (*)
= m2∨m0∨m1∨m1∨m3
= m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序)
(*)由┐p及q派生的极小项的过程如下:
┐p = ┐p∧(┐q∨q)
= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)
q = (┐p∨p)∧q
= (┐p∧q)∨(p∧q)
熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。
该公式中含n=2个命题变项,它的主析取范式中含了22=4个极小项,故它为重言式,00,01,10,11全为成真赋值。
【例】(p→q)∧┐p
= (┐p∨q)∧┐p (消去→)
= ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式
= (┐p∧┐q)∨(┐p∧q)
= m0∨m1
【例】(p∧┐q)∨(┐p∧q)
= (p∨┐p)∧(p∨q)∧(┐q∨┐p)∧(┐q∨q)
= (p∨q)∧┐(p∧q)
重言蕴涵式
【例】用附加前提证明法证明下面推理。
前提:P→(Q→R),?S∨P,Q 结论:S→R
证明:(1)?S∨P 前提引入规则
(2)S 附加前提引入规则
(3)P (1)(2)析取三段论规则
(4)P→(Q→R)前提引入规则
(5)Q→R (3)(4)假言推理规则
(6)Q 前提引入规则
(7)R (5)(6)假言推理规则
【例】用归缪法证明。
前提:P∨Q,P→R,Q→S 结论:S∨R
证明(1)?(S∨R)附加前提引入规则
(2)?S∧?R (1)置换规则
(3)?S (2)化简规则
(4)?R (2)化简规则
(5)Q→S 前提引入规则
(6)?Q∨S (5)置换规则
(7)?Q (3)(6)析取三段论
(8)P∨Q 前提引入规则
(9)P (7)(8)析取三段论规则
(10)P→R 前提引入规则
(11)?P∨R (10)置换规则
(12)R (9)(11)析取三段论规则
(13)?R∧R (4)(12)合取引入规则
全称量词"?"对"∨"无分配律。同样的,存在量词"?"对"∧"无分配律
(3)x yF(x,y)
(4)x(F(x,a)∧F(x,b)∧F(x,c))
(5)(F(a,a)∧F(a,b)∧F(a,c))∨(F(b,a)∧F(b,b)∧F(b,c))∨(F(c,a)∧F(c,b)∧F(c,c))谓词逻辑的等价公式
定理1设A(x)是谓词公式,有关量词否定的两个等价公式:
(1)﹁?x A(x)??x﹁A(x)
(2)﹁?x A(x)??x﹁A(x)
定理2 设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式,B是不含x出现的公式,则有(1)?x(A(x)∨B)??x A(x)∨B
(2)?x(A(x)∧B)??x A(x)∧B
(3)?x(A(x)→ B)??x A(x)→ B
(4)?x(B→A(x))?B→?x A(x)
(5)?x(A(x)∨B)??x A(x)∨B
(6)?x(A(x)∧B)??x A(x)∧B
(7)?x(A(x)→ B)??x A(x)→ B
(8)?x(B→A(x))?B→?x A(x)
定理3 设A(x)、B(x)是任意包含自由出现个体变元x的公式,则有:
(1)?x(A(x)∧B(x))??x A(x)∧?x B(x)
(2)?x(A(x)∨B(x))??x A(x)∨?x B(x)
定理4 下列蕴涵式成立
(1)?x A(x)∨?x B(x)??x(A(x)∨B(x))
(2)?x(A(x)∧B(x))??x A(x)∧?x B(x)
(3)?x(A(x)→ B(x))??x A(x)→?x B(x)
(4)?x(A(x)→ B(x))??x A(x)→?x B(x)
(5)?x A(x)→?x B(x)??x(A(x)→ B(x))
【例】【例】【例】
【例】
【例】在一阶逻辑自然推理系统F中构造下面推理的证明
(1)所有的人或者是吃素的或者是吃荤的,吃素的常吃豆制品,因而不吃豆制品的人是吃荤的。(个体域为人的集合)。
(2)每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车,每个人或者是喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车,有的人不喜欢乘汽车,所以有的人不喜欢步行。(个体域为人的集合)。
【例】符号化下面的命题“所有的有理数都是实数,所有的无理数也是实数,任何虚数都不是实
数,所以任何虚数既不是有理数也不是无理数”,并推证其结论。
证明设:P(x):x是有理数。
Q(x):x是无理数。
R(x):x是实数。
S(x):x是虚数。
本题符号化为:?x(P(x)→ R(x)),?x(Q(x)→ R(x)),?x(S(x)→﹁R(x))??x(S(x)→﹁P(x)∧﹁R(x))(1)?x(S(x)→﹁R(x)) P
(2)S(y)→﹁R(y) US(1)
(3)?x(P(x)→ R(x)) P
(4)P(y)→ R(y) US(3)
(5)﹁R(y)→﹁P(y) T(4)E
(6)?x(Q(x)→ R(x)) P
(7)Q(y)→ R(y) US(6)
(8)﹁R(y)→﹁Q(y) T(7)E
(9)S(y)→﹁P(y) T(2)(5)I
(10)S(y)→﹁Q(y) T(2)(8)I
(11)(S(y)→﹁P(y))∧(S(y)→﹁Q(y) T(9)(10)I (12)(﹁S(y)∨﹁P(y))∧(?S(y)∨﹁Q(y)) T(11)E (13)﹁S(y)∨(﹁P(y)∧﹁Q(y)) T(12)E
(14)S(y)→(﹁P(y)∧﹁Q(y)) T(13)E
(15)?x(S(x)→﹁P(x)∧﹁R(x)) UG(14)
第六章,集合代数
自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数),整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 全集U,空集是一切集合的子集
(1)幂等律:A∩A=A A∪A=A
(2)同一律:A∩U=A
(3)零律:A∩φ=φ A∪E=E
(4)结合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(5)交换律:A∩B=B∩A A∪B=B∪A
(6) 分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
吸收律 A∪(A∩B)=A A∩(A∪B)=A
同一律A∪=A
A∩E=A
A-B称为集合B关于A的补集A-B={x|x∈A且x?B}
补集记作~A
~(A∪B)=~A∩~B
~(A∩B)=~A∪~B
(1)双重否定律:~(~A)=A
(2)摩根律:~φ=U ~U=φ
A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)
~(B∪C)=~B∩~C
~(B∩C)=~B∪~C
(4)矛盾律:A∩(~A)=φ
(5)排中律:A∪(~A)=U
集合A和B的对称差记作A⊕B,它是一个集合,其元素或属于A,或属于B,但不能既属于A又属于B。A⊕B=(A∪B)-(A∩B)
(1)A⊕A=φ
(2)A⊕φ=A
(3)A⊕U=~A
(4)A⊕B=B⊕A
(5)(A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)
(6)A⊕B=(A-B)∪(B-A)
第七章,二元关系
A×B={
自反性和反自反性
定义设R是集合A上的二元关系,如果对于每个x∈A,都有
R在A上是自反的??x(x∈A→
定义设R是集合A上的二元关系,如果对于每个x∈A,都有
R在A上是反自反的??x(x∈A→< x,x >?R)
4.4.2 对称性和反对称性
定义设R是集合A上的二元关系,如果对于每个x,y∈A,当
R在A上是对称的??x?y(x∈A∧y∈A∧
定义设R是集合A上的二元关系,如果对于每个x,y∈A,当
4.4.3 传递性
定义设R是集合A上的二元关系,如果对于任意x,y,z∈A,当
R在A上是传递的??x?y?z(x∈A∧y∈A∧z∈A∧
例设A={a,b,c},R,S,T是A上的二元关系,其中
S={,,
T={}
说明R,S,T是否为A上的传递关系。
解根据传递性的定义知,R和T是A上的传递关系,S不是A上的传递关系,因为
如果R是自反的、反对称的和传递的,则称R为A上的偏序关系,记作。设为偏序关系,如果
【例】
【例】4、设R是二元关系,设S={|存在某个c,使得∈R且
【例】
第九章,代数系统
可以用。、*、·、 、等符号表示二元或一元运算,称为算符。对于二元运算。,如果x与y 运算得到z,记做x。y=z;对于一元运算。,x的运算结果记作。x.
【例】
【例】
离散数学必备知识点总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n个变元共有n2个极小项或极大项,这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P规则,T规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n个个体,多元谓词描述个体之间的关系;
2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 第四章集合 1.N,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A,以集合A的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A有n个元素,幂集P(A)有n2个元素,|P(A)|=||2A=n2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 第五章关系 1.若集合A有m个元素,集合B有n个元素,则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系; 数为mn,A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素,则|A×A|=2n,A上有22n个不同的关系;
离散数学(第五版)清华大学出版社第2章习题解答 2.1 本题没有给出个体域,因而使用全总个体域. (1) 令F(x):x是鸟 G(x):x会飞翔. 命题符号化为 ?x(F(x)→G(x)). (2)令F(x):x为人. G(x):x爱吃糖 命题符号化为 ??x(F(x)→G(x)) 或者 ?x(F(x)∧?G(x)) (3)令F(x):x为人. G(x):x爱看小说. 命题符号化为 ?x(F(x)∧G(x)). (4) F(x):x为人. G(x):x爱看电视. 命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)). 分析1°如果没指出要求什么样的个体域,就使用全总个休域,使用全总个体域时,往往要使用特性谓词。(1)-(4)中的F(x)都是特性谓词。 2°初学者经常犯的错误是,将类似于(1)中的命题符号化为 27 ?x(F(x)∧G(x)) 即用合取联结词取代蕴含联结词,这是万万不可的。将(1)中命题叙述得更透彻些,是说“对于宇宙间的一切事物百言,如果它是鸟,则它会飞翔。”因而符号化应该使用联结词→而不能使用∧。若使用∧,使(1)中命题变成了“宇宙间的一切事物都是鸟并且都会飞翔。”这显然改变了原命题的意义。
3°(2)与(4)中两种符号化公式是等值的,请读者正确的使用量词否定等值式,证明(2),(4)中两公式各为等值的。 2.2 (1)d (a),(b),(c)中均符号化为 ?xF(x) 其中F(x):(x+1)2=x2+2x+1,此命题在(a),(b),(c)中均为真命题。 (2)在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xG(x) 其中G(x):x+2=0,此命题在(a)中为假命题,在(b)(c)中均为真命题。 (3)在(a),(b),(c)中均符号化为 ?xH(x) 其中H(x):5x=1.此命题在(a),(b)中均为假命题,在(c)中为真命题。 分析1°命题的真值与个体域有关。 2°有的命题在不同个体域中,符号化的形式不同,考虑命题 “人都呼吸”。 在个体域为人类集合时,应符号化为 ?xF(x) 这里,F(x):x呼吸,没有引入特性谓词。 在个体域为全总个体域时,应符号化为 ?x(F(x)→G(x)) 这里,F(x):x为人,且F(x)为特性谓词。G(x):x呼吸。 28 2.3 因题目中未给出个体域,因而应采用全总个体域。 (1)令:F(x):x是大学生,G(x):x是文科生,H(x):x是理科生,命题符号化为?x(F(x)→(G(x)∨H(x)) (2)令F(x):x是人,G(y):y是化,H(x):x喜欢,命题符号化为 ?x(F(x)∧?y(G(y)→H(x,y))) (3)令F(x):x是人,G(x):x犯错误,命题符号化为 ??x(F(x)∧?G(x)), 或另一种等值的形式为 ?x(F(x)→G(x)
离散数学复习要点第一章命题逻辑 一、典型考查点 1、命题的判断方法:陈述句真值唯一,特殊:反问句也是命题。其它疑问句、祈使句、感叹句、悖论等皆不是。详见教材P1 2、联结词运算定律┐∧∨→记住特殊的:1∧1?1,0∨0?0,1→0?0,11?1,00?1详见P5 3、命题符号化步骤:A划分原子命题,找准联结词。特殊自然语言:不但而且,虽然但是用∧,只有P才Q,应为Q→P;除非P否则Q,应为┐P→Q。B设出原子命题写出符号化公式。详见P5 4、公式的分类判定(重言式、矛盾式、可满足式)方法:其一根据所有真值赋值情况,其二根据等价演算来判断。详见P9 5、真值表的构造步骤:①命题变元按字典序排列,共有2n个真值赋值。②对每个指派,以二进制数从小到大或从大到小顺序列出。③若公式较复杂,可先列出各子公式的真值(若有括号,则应从里层向外层展开),最后列出所求公式的真值。详见P8。 6、基本概念:置换规则,P规则,T规则,详见P24;合取范式,析取范式,详见P15;小项详见P16;大项详见P18,最小联结词组详见P15 7、等价式详见P22表1.6.2 证明方法:①真值表完全相同②用等价演算③利用A?B的充要条件是A?B且B?A。主要等价式:(1)双否定:??A?A。(2)交换律:A∧B?B∧A,A∨B?B∨A,A?B?B?A。3)结合律:(A∧B)∧C?A ∧(B∧C),(A∨B)∨C?A∨(B∨C),(A?B)?C?A?(B?C)。(4) 分配律:A∧(B∨C)?(A∧B)∨(A∧C),A∨(B∧C)?(A∨B)∧(A∨C)。(5) 德·摩根律:?(A∧B)??A∨?B,?(A∨B)??A∧?B。(6) 等幂律:A∧A?A,A∨A?A。(7) 同一律:A∧T?A,A∨F?A。(8) 零律:A∧F?F,A∨T?T。(9) 吸收律:A∧(A∨B)?A,A∨(A∧B)?A。(10) 互补律:A∧?A?F,(矛盾律),A∨?A?T。(排中律)(11) 条件式转化律:A→B??A∨B,A→B??B→?A。(12) 双条件式转化律:A?B?(A→B)∧(B→A)?(A∧B)∨(?A∧?B) 8、蕴含式详见P23表1.6.3 证明方法:①前件真导后件真方法②后件假导前件假方法③真值表中,前件为真的行,后件也为真或者后件为假的行,前件也为假。④用定义,证A?B,即证A→B是永真式。 9、范式求法步骤:①使用命题定律,消去公式中除∧、∨和?以外公式中出现的所有联结词;②使用?(?P)?P和德·摩根律,将公式中出现的联结词?都移到命题变元之前;③利用结合律、分配律等将公式化成析取范式或合取范式。10、主范式的求法重点步骤:(a)把给定公式化成析取(合取)范式;(b)删除析取范式中所有为永假的简单合取(析取)式;(c)用等幂律化简简单合取(析取)式中同一命题变元的重复出现为一次出现,如P∧P?P。(d)用同一律补进简单合取(析取)式中未出现的所有命题变元,如Q,则P?P∧(?Q∨Q)或P?P∨(?Q∧Q),并用分配律展开之,将相同的简单合取式的多次出现化为一次出现,这样得到了给定公式的主析取(合取)范式。 注意:主析取范式与主合取范式之间的联系。例如:(P→Q)∧Q?m1∨m3?M0∧M2,即剩下的编码就是另一个主范式的编码,因此,求主范式,哪一个简单易求,就先求哪个,然后对应出所求结果。详见P16 11、推理证明:重点方法:演算、演绎法(常用的格式)、反证法、CP规则即附加前提等。 重点规则(主要蕴含式):(1) P∧Q?P化简(2) P∧Q?Q化简(3) P?P∨Q附加(4) ?P?P→Q变形附加(5)Q?P→Q变形附加(6) ?(P→Q)?P变形化简(7) ?(P→Q)??Q变形化简(8) P,(P→Q)?Q假言推理(9) ?Q,(P→Q)??P拒取式(10) ?P,(P∨Q)?Q析取三段论(11) (P→Q),(Q→R)?P→R条件三段论(12) (P?Q),(Q?R)?P?R 双条件三段论 文字证明推理三步:一命题符号化,二写出前提和结论,三进行证明。详见P21 二、强化练习 1.命题的是( )A.走,看电影去B.x+y>0C.空集是任意集合的真子集D.你明天能来吗? 2.下列式子为重言式的是( ) A.P→P∨Q B.(┐P∧Q)∧(P∨┐Q) C.┐ (P Q) D.(P∨Q) (P→Q) 3.下列为两个命题变元P,Q的小项是() A.P∧Q∧? P B.? P∨Q C.? P∧Q D.? P∨P∨Q 4.下列语句中是真命题的是() A.我正在说谎B.严禁吸烟C.如果1+2=3,那么雪是黑的D.如果1+2=5,那雪是黑的 5.设P:我们划船,Q:我们跑步。命题“我们不能既划船又跑步”符号化为() A.? P∧? Q B.? P∨? Q C.?(P?Q) D.?(? P∨? Q) 6.命题公式(P∧(P→Q))→Q是()A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等价式 7.命题公式?(P∧Q)→R的成真指派是() A.000,001,110,B.001,011,101,110,111 C.全体指派D.无 8.设P:他聪明,Q:他用功,命题“他虽聪明但不用功”的符号化正确的是()
第一章,0命题逻辑 素数 = 质数,合数有因子 和或假必真同为真 (p→q)∧(q←→r),(p∧q)∧┐r,p∧(q∧┐r)等都是合式公式,而pq→r,(p→(r→q)等不是合式公式。若公式A是单个的命题变项,则称A为0层合式 (┐p∧q)→r,(┐(p→┐q))∧((r∨s)┐p)分别为3层和4层公式 【例】求下列公式的真值表,并求成真赋值和成假赋值。 (┐p∧q)→┐r 公式(1)的成假赋值为011,其余7个赋值都是成真赋值 第二章,命题逻辑等值演算 (1)双重否定律??A?A (2)等幂律 A∧A?A ; A∨A?A (3)交换律 A∧B?B∧A ; A∨B?B∨A (4)结合律(A∧B)∧C?A∧(B∧C);(A∨B)∨C?A∨(B∨C) (5)分配律(A∧B)∨C?(A∨C)∧(B∨C);(A∨B)∧C?(A∧C)∨(B∧C) (6)德·摩根律?(A∨B)??A∧?B ;?(A∧B)??A∨?B (7)吸收律 A∨(A∧B)?A;A∧(A∨B)?A (8)零一律 A∨1?1 ; A∧0?0 (9)同一律 A∨0?A ; A∧1?A (10)排中律 A∨?A?1 (11)矛盾律 A∧?A?0 (12)蕴涵等值式 A→B??A∨B (13)假言易位 A→B??B→?A (14)等价等值式 A?B?(A→B)∧(B→A) (15)等价否定等值式 A?B??A??B??B??A (16)归缪式(A→B)∧(A→?B)??A
A i(i=1,2,…,s)为简单合取式,则A=A1∨A2∨…∨A s为析取范式 (p∧┐q)∨(┐q∧┐r)∨p A=A1∧A2∧…∧A s为合取范式 (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r 一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 主范式【∧小真,∨大假】 ∧成真小写 【例】(p→q)→(┐q→┐p) = ┐(┐p∨q)∨(q∨┐p) (消去→) = (p∧┐q)∨┐p∨q (┐内移) (已为析取范式) = (p∧┐q)∨(┐p∧┐q)∨(┐p∧q)∨(┐p∧q)∨(p∧q) (*) = m2∨m0∨m1∨m1∨m3 = m0∨m1∨m2∨m3 (幂等律、排序) (*)由┐p及q派生的极小项的过程如下: ┐p = ┐p∧(┐q∨q) = (┐p∧┐q)∨(┐p∧q) q = (┐p∨p)∧q = (┐p∧q)∨(p∧q) 熟练之后,以上过程可不写在演算过程中。 该公式中含n=2个命题变项,它的主析取范式中含了22=4个极小项,故它为重言式, 00,01,10,11全为成真赋值。 【例】(p→q)∧┐p = (┐p∨q)∧┐p (消去→) = ┐p∨(┐p∧q) (分配律、幂等律) 已为析取范式
《离散数学》模拟试题3 一、填空题(每小题2分,共20分) 1. 已知集合A ={φ,1,2},则A得幂集合p(A)=_____ _。 2. 设集合E ={a, b, c, d, e}, A= {a, b, c}, B = {a, d, e}, 则A∪B =___ ___, A∩B =____ __,A-B =___ ___,~A∩~B =____ ____。 3. 设A,B是两个集合,其中A= {1, 2, 3}, B= {1, 2},则A-B =____ ___, ρ(A)-ρ(B)=_____ _ _。 4. 已知命题公式R Q P G→ ∧ ? =) (,则G的析取范式为。 5. 设P:2+2=4,Q:3是奇数;将命题“2+2=4,当且仅当3是奇数。”符号化 ,其真值为。 二、单项选择题(选择一个正确答案的代号填入括号中,每小题4分,共16分。) 1. 设A、B是两个集合,A={1,3,4},B={1,2},则A-B为(). A.{1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有()。 A. φ=0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X={x, y},则ρ(X)=()。 A. {{x},{y}} B. {φ,{x},{y}} C. {φ,{x},{y},{x, y}} D. {{x},{y},{x, y}} 4. 设集合A={1,2,3},A上的关系R={(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}, 则R不具备(). 三、计算题(共50分) 1. (6分)设全集E=N,有下列子集:A={1,2,8,10},B={n|n2<50 ,n∈N},C= {n|n可以被3整除,且n<20 ,n∈N},D={n|2i,i<6且i、n∈N},求下列集合:(1)A∪(C∩D) (2)A∩(B∪(C∩D)) (3)B-(A∩C) (4)(~A∩B) ∪D 2. (6分)设集合A={a, b, c},A上二元关系R1,R2,R3分别为:R1=A×A, R2 ={(a,a),(b,b)},R3 ={(a,a)},试分别用 定义和矩阵运算求R1·R2 ,22R,R1·R2 ·R3 , (R1·R2 ·R3 )-1 。 3.(6分)化简等价式(﹁P∧(﹁Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R). 4.(8分) 设集合A={1,2,3},R为A上的二元关系,且 M R= 写出R的关系表达式,画出R的关系图并说明R的性质. 5. (10分)设公式G的真值表如下. 试叙述如何根据真值表求G的 主析取范式和主合取范式,并 写出G的主析取范式和主合取范式. 1 0 0 1 1 0 1 0 0
离散数学 一、逻辑和证明 1.1命题逻辑 命题:是一个可以判断真假的陈述句。 联接词:∧、∨、→、?、?。记住“p仅当q”意思是“如果p,则q”,即p→。记住“q除非p”意思是“?p→q”。会考察条件语句翻译成汉语。 系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求,即若pq无论取何值都无法让复合语句为真,则该系统规范说明是不一致的。 1.3命题等价式 逻辑等价:在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题,可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题,量词要说明论域,否则没有意义,如果有约束条件就直接放在量词后面,如?x>0P(x)。 当论域中的元素可以一一列举,那么?xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。同理,?xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。 两个语句是逻辑等价的,如果不论他们谓词是什么,也不论他们的论域是什么,他们总有相同的真值,如?x(P(x)∧Q(x))和(?xP(x))∧(?xQ(x))。 量词表达式的否定:??xP(x) ??x?P(x),??xP(x) ??x?P(x)。 1.5量词嵌套 我们采用循环的思考方法。量词顺序的不同会影响结果。语句到嵌套量词语句的翻译,注意论域。嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律,将否定词移入所有量词里。 1.6推理规则 一个论证是有效的,如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。但有效论证
二、集合、函数、序列、与矩阵 2.1集合 ∈说的是元素与集合的关系,?说的是集合与集合的关系。常见数集有N={0,1,2,3...},Z整数集,Z+正整数集,Q有理数集,R实数集,R+正实数集,C复数集。 A和B相等当仅当?x(x∈A?x∈B);A是B的子集当仅当?x(x∈A→x∈B);A是B的真子集当仅当?x(x∈A→x∈B)∧?x(x?A∧x∈B)。 幂集:集合元素的所有可能组合,肯定有?何它自身。如?的幂集就是{?},而{?}的幂集是{?,{?}}。 考虑A→B的函数关系,定义域、陪域(实值函数、整数值函数)、值域、像集(定义域的一个子集在值域的元素集合)。 一对一或者单射:B可能有多余的元素,但不重复指向。 映上或者满射:B中没有多余的元素,但可能重复指向。 一一对应或者双射:符合上述两种情况的函数关系。 反函数:如果是一一对应的就有反函数,否则没有。 合成函数:fοg(a)=f(g(a)),一般来说交换律不成立。 2.4序列 无限集分为:一组是和自然数集合有相同基数,另一组是没有相同基数。前者是可数的,后者不可数。想要证明一个无限集是可数的只要证明它与自然数之间有一一对应的关系。 如果A和B是可数的,则A∪B也是可数的。
总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项 (m) 之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为 0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项 时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为 1 的项为极小项,值为0 的项为极大项; 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项,这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法 (=>) :真值表法;分析法 (假定前键为真推出后键 为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则, T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 第三章谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取 ^;
3.既有存在又有全称量,先消存在量,再消全称量; 第四章集合 1.N ,表示自然数集, 1,2,3 ??,不包括 0; 2.基:集合 A 中不同元素的个数, |A|; 3.集:定集合 A,以集合 A 的所有子集元素成的集合,P(A) ; 4.若集合 A 有 n 个元素,集 P(A) 有2 n个元素, |P(A)|= 2| A| = 2 n; 5.集合的分划: (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合; ② 几个子集相交空,相并全(A); 6.集合的分划与覆盖的比: 分划:每个元素均出且出一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出,没有要求只出一次; 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素,集合 B 有 n 个元素,笛卡 A×B 的基数mn, A 到 B 上可以定2mn种不同的关系; 2.若集合 A 有 n 个元素, |A ×A|= n2,A 上有2n2个不同的关系; 3.全关系的性:自反性,称性,性; 空关系的性:反自反性,反称性,性;
离散数学笔记(特级教师精心整理) 第一章命题逻辑 内容: 命题及命题联结词、命题公式的基本概念,真值表、基本等价式及永真蕴涵式,命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的: 1.熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。 2.熟练掌握常用的基本等价式及其应用。 3.熟练掌握(主)析/合取范式的求法及其应用。 4.熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。 5.熟练掌握形式演绎的方法。 教学重点: 1.命题的概念及判断 2.联结词,命题的翻译 3.主析(合)取范式的求法 4.逻辑推理 教学难点: 1.主析(合)取范式的求法 2.逻辑推理 1.1命题及其表示法 1.1.1 命题的概念 数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。 1.1.2 命题的表示 命题通常使用大写字母A,B,…,Z或带下标的大写字母或数字表示,如A i,[10],R等,例如A1:我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]:我是一名大学生。R:我是一名大学生。 1.2命题联结词
(1) P↑P?﹁(P∧P)?﹁P; (2)(P↑Q)↑(P↑Q)?﹁(P↑Q)? P∧Q;(3)(P↑P)↑(Q↑Q)?﹁P↑﹁Q? P∨Q。 (1)P↓P?﹁(P∨Q)?﹁P;
(2)(P↓Q)↓(P↓Q)?﹁(P↓Q)?P∨Q; (3)(P↓P)↓(Q↓Q)?﹁P↓﹁Q?﹁(﹁P∨﹁Q)?P∧Q。 1.3 命题公式、翻译与解释 1.3.1 命题公式 定义命题公式,简称公式,定义为:(1)单个命题变元是公式;(2)如果P 是公式,则﹁P是公式;(3)如果P、Q是公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P?Q 都是公式;(4)当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。 例如,下面的符号串都是公式: ((((﹁P)∧Q)→R)∨S) ((P→﹁Q)?(﹁R∧S))(﹁P∨Q)∧R 以下符号串都不是公式: ((P∨Q)?(∧Q))(∧Q) 1.3.2 命题的翻译 可以把自然语言中的有些语句,转变成数理逻辑中的符号形式,称为命题的翻译。 命题翻译时应注意下列事项: (1)确定所给句子是否为命题。 (2)句子中联结词是否为命题联结词。 (3)要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。 例:假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或看报。 解:设P:上午下雨;Q:我去看电影;R:我在家里读书;S:我在家里看报。 本例可表示为:(?P→Q)∧(P→(R∨S))。 1.3.3 命题公式的解释定义 设P1,P2,…,P n是出现在命题公式G中的全部命题变元,指定P1,P2,…,P n的一组真值,称这组真值为G的一个解释或赋值,记作I,公式G在I下的真值记作T I(G)。 例如, 是G的一个解释,在这个解释下G的真值为1,即T I(G)=1。 1.4 真值表与等价公式 1.4.1 真值表 定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表,称为G的真值表。 构造真值表的方法如下: (1)找出公式G中的全部命题变元,并按一定的顺序排列成P1,P2,…,P n。
1.常用公式 p ∧(P →Q)=>Q 假言推论 ┐Q ∧(P →Q)=>┐P 拒取式 ┐p ∧(P ∨Q)=>Q 析取三段式 (P →Q) ∧(Q →R)=>P →R 条件三段式 (PQ) ∧(QR)=>PR 双条件三段式 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∧R)=>Q →S 合取构造二难 (P →Q)∧(R →S)∧(P ∨R)=>Q ∨S 析取构造二难 (?x)((Ax)∨(Bx)) <=>( ?x)(Ax)∨(?x)(Bx) (?x)((Ax)∧(Bx)) <=>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) —┐(?x)(Ax) <=>(?x)┐(Ax) (?x)(A ∨(Bx)) <=>A ∨(?x)(Bx) (?x)(A ∧(Bx)) <=>A ∧(?x)(Bx) (?x)((Ax)→(Bx)) <=>(?x)(Ax)→(?x)(Bx) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) (?x)(Ax) →B <=>(?x) ((Ax)→B) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) A →(?x)(Bx) <=>(?x) (A →(Bx)) (?x)(Ax)∨(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)∨(Bx)) (?x)((Ax)∧(Bx)) =>(?x)(Ax)∧(?x)(Bx) (?x)(Ax)→(?x)(Bx) =>(?x)((Ax)→(Bx)) 2.命题逻辑 1.→,前键为真,后键为假才为假;<—>,相同为真,不同为假; 2.主析取范式:极小项(m)之和;主合取范式:极大项(M)之积; 3.求极小项时,命题变元的肯定为1,否定为0,求极大项时相反; 4.求极大极小项时,每个变元或变元的否定只能出现一次,求极小项时变元不够合取真,求极大项时变元不够析取假; 5.求范式时,为保证编码不错,命题变元最好按P ,Q,R 的顺序依次写; 6.真值表中值为1的项为极小项,值为0的项为极大项; 7.n 个变元共有n 2个极小项或极大项,这n 2为(0~n 2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取; 8.永真式没有主合取范式,永假式没有主析取范式; 9.推证蕴含式的方法(=>):真值表法;分析法(假定前键为真推出后键为真,假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法:P 规则,T 规则 ①真值表法;②直接证法;③归谬法;④附加前提法; 3.谓词逻辑 1.一元谓词:谓词只有一个个体,一元谓词描述命题的性质; 多元谓词:谓词有n 个个体,多元谓词描述个体之间的关系; 2.全称量词用蕴含→,存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时,先消存在量词,再消全称量词; 4.集合 1.N ,表示自然数集,1,2,3……,不包括0; 2.基:集合A 中不同元素的个数,|A|; 3.幂集:给定集合A ,以集合A 的所有子集为元素组成的集合,P(A); 4.若集合A 有n 个元素,幂集P(A)有n 2个元素,|P(A)|=||2A =n 2; 5.集合的分划:(等价关系) ①每一个分划都是由集合A 的几个子集构成的集合; ②这几个子集相交为空,相并为全(A); 6.集合的分划与覆盖的比较: 分划:每个元素均应出现且仅出现一次在子集中; 覆盖:只要求每个元素都出现,没有要求只出现一次; 5.关系 1.若集合A 有m 个元素,集合B 有n 个元素,则笛卡尔A ×B 的基数为mn ,A 到B 上可以定义mn 2种不同的关系; 2.若集合A 有n 个元素,则|A ×A|=2n ,A 上有22n 个不同的关系; 3.全关系的性质:自反性,对称性,传递性; 空关系的性质:反自反性,反对称性,传递性; 全封闭环的性质:自反性,对称性,反对称性,传递性; 4.前域(domR):所有元素x 组成的集合; 后域(ranR):所有元素y 组成的集合; 5.自反闭包:r(R)=RU Ix ; 对称闭包:s(R)=RU 1-R ; 传递闭包:t(R)=RU 2R U 3R U …… 6.等价关系:集合A 上的二元关系R 满足自反性,对称性和传递性,则R 称为等价关系; 7.偏序关系:集合A 上的关系R 满足自反性,反对称性和传递性,则称R 是A 上的一个偏序关系; 8.covA={
离散数学(第五版)清华大学出版社第1章习题解答 1.1 除(3),(4),(5),(11)外全是命题,其中,(1),(2),(8),(9),(10),(14),(15)是简单命题,(6),(7),(12),(13)是复合命题。 分析首先应注意到,命题是陈述句,因而不是陈述句的句子都不是命题。 本题中,(3)为疑问句,(5)为感叹句,(11)为祈使句,它们都不是陈述句,所以它们都不是命题。 其次,4)这个句子是陈述句,但它表示的判断结果是不确定。又因为(1),(2),(8),(9),(10),(14),(15)都是简单的陈述句,因而作为命题,它们 都是简单命题。(6)和(7)各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题,(12)是由联结词“或”联结的复合命题,而(13)是由联结词“且”联结起来 的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中,合取联结词有许 多表述法,例如,“虽然……,但是……”、“不仅……,而且……”、“一面……,一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意,有时“和”或“与” 联结的是主语,构成简单命题。例如,(14)、(15)中的“与”与“和”是联结 的主语,这两个命题均为简单命题,而不是复合命题,希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时,要根据命题所陈述的含义加以区分。 1.2 (1)p: 2是无理数,p为真命题。 (2)p:5能被2整除,p为假命题。 (6)p→q。其中,p:2是素数,q:三角形有三条边。由于p与q都是真 命题,因而p→q为假命题。 (7)p→q,其中,p:雪是黑色的,q:太阳从东方升起。由于p为假命 题,q为真命题,因而p→q为假命题。 (8)p:2000年10月1日天气晴好,今日(1999年2月13日)我们还不 知道p的真假,但p的真值是确定的(客观存在的),只是现在不知道而已。(9)p:太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定,是确定的。 1 (10)p:小李在宿舍里. p的真值则具体情况而定,是确定的。 (12)p∨q,其中,p:4是偶数,q:4是奇数。由于q是假命题,所以,q 为假命题,p∨q为真命题。