第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 教学目的:理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容： 一、 再论曲边梯形面积计算 设 f x ()在区间],[b a 上连续,且0)(≥x f ，求以曲线y f x =()为曲边,底为] ,[b a 的曲边梯形的面积A 。 1.化整为零 用任意一组分点 b x x x x x a n i i =<<<<<<=- 110 将区间分成 n 个小区间[,]x x i i -1,其长度为 ),,2,1(1n i x x x i i i =-=?- 并记 },,,m ax {21n x x x ???= λ 相应地，曲边梯形被划分成 n 个窄曲边梯形,第 i 个窄曲边梯形的面积记为 n i A i ,,2,1, =?。 于是 ∑=?= n i i A A 1 2.以不变高代替变高,以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
),,2,1(],[)(1n i x x x f A i i i i i i =∈??≈?-ξξ 3．积零为整，给出“整”的近似值 ∑=?≈ n i i i x f A 1 )(ξ 4．取极限，使近似值向精确值转化 ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f A )()(lim 1 ξλ 上述做法蕴含有如下两个实质性的问题: (１）若将],[b a 分成部分区间),,2,1(],[1n i x x i i =-，则 A 相应地分成部分量 ),,2,1(n i A i =?,而 ∑=?=n i i A A 1 这表明：所求量A 对于区间],[b a 具有可加性。 (2）用i i x f ?)(ξ近似i A ?，误差应是i x ?的高阶无穷小。 只有这样,和式 ∑=?n i i i x f 1 )(ξ的极限方才是精确值A 。故关键是确定 ))()(()(i i i i i i i x o x f A x f A ?=?-??≈?ξξ 通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件与步骤。 二、元素法 1.能用定积分计算的量U ，应满足下列三个条件 (1) U 与变量x 的变化区间],[b a 有关； (２) U 对于区间],[b a 具有可加性; (3) U 部分量i U ?可近似地表示成i i x f ??)(ξ。 2．写出计算U 的定积分表达式步骤
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。
1 利用定积分求原经济函数问题 在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本 C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(10 5210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 利用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).
§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b
定积分的应用
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浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
定积分在经济中的应用 一、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量 根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x 的变动区间[,]a b 上的改变量（增量）就等于它们各自边际在区间[,]a b 上的定积分： ()()()b a R b R a R x dx '-=? （1） ()()()b a C b C a C x dx '-=? （2） ()()()b a L b L a L x dx '-=? （3） 例1 已知某商品边际收入为0.0825x -+（万元/t ），边际成本为5（万元/t ），求产量x 从250t 增加到300t 时销售收入()R x ，总成本C ()x ，利润 ()I x 的改变量（增量） 。 解 首先求边际利润 ()()()0.082550.0820L x R x C x x x '''=-=-+-=-+ 所以根据式（1）、式（2）、式（3），依次求出： 300 250 (300)(250)()R R R x dx '-=?300250(0.0825)x dx =-+?=150万元 300300250250(300)(250)()C C C x dx dx '-==? ?=250万元 300 300250250(300)(250)()(0.0820)L L L x dx x dx '-==-+??=-100万元 二、由经济函数的变化率，求经济函数在区间上的平均变化率 设某经济函数的变化率为()f t ，则称 2 121 ()t t f t dt t t -? 为该经济函数在时间间隔21[,]t t 内的平均变化率。 例2 某银行的利息连续计算，利息率是时间t （单位：年）的函数：
第六章定积分的应用
课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：???<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院系 : 经济与管理学院 题目 : 定积分在生活中的应用 年级专业: 11级市场营销班 学生姓名 : 孙天鹏 定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数()f x 在区间[],a b 上有界. ①在[],a b 中任意插入若干个分点011n n a x x x x b -=<< <<=,把区间[],a b 分成 n 个小区间[][][]01121,,,, ,,,n n x x x x x x -且各个小区间的长度依次为110x x x ?=-， 221x x x ?=-，…，1n n n x x x -?=-。 ②在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点i ξ，作函数()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积 ()i i f x ξ?（1,2, ,i n =） ， ③作出和 ()1 n i i i S f x ξ==?∑。记{}12max ,,,n P x x x =???作极限()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑ 如果不论对[],a b 怎样分法，也不论在小区间[]1,i i x x -上点i ξ怎样取法，只要当 0P →时，和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数()f x 在 区间[],a b 上的定积分（简称积分），记作()b a f x dx ?，即 ()b a f x dx ?=I =()0 1 lim n i i P i f x ξ→=?∑, 其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],a b ??叫做积分区间。 第五章 定积分及其应用 定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。 一、知识网络 定积分??? ???? ?? ? ???? ????????Γ?????-函数审敛法和计算 定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用?????????） （变力作功等其它弧长体积 面积 微元法 二、典型例题 例1 . 求极限 x x dt xt x x 2sin )sin(lim 2302 ?→。 [分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在 被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。 [解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2 ?2 )2(x ，4 sin x ?4 x ，)0(→x ，因此再 利用洛必达法则有 原式=230 20 )2(sin 1lim 2 x x dx u x x x ? →=54060 2024sin 2lim 4sin lim 2x x x x du u x x x →→=? =12 1 12lim 440=→x x x 例2. 求极限 n n n n n n )2()2)(1(1lim ???++∞→. [分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和 定积分在经济中得应用习题解答 1．设商品的需求函数1005Q p =-（其中：Q 为需求，p 为单价）、边际成本函数 ()150.05C Q Q '=-且()012.5C = 问：当p 为什么值时？工厂的利润达到最大？试求出最大利润. 解 收益函数为 R (p ) = 100 p -5 p 2 成本函数为 0()(150.05)(0)Q C Q t dt C =-+? 21 1512.540 Q Q =-+ 由已知将Q = 100 - 5p 代入上式，得 25()501262.58C p p p = -+ 于是利润函数为 L (P )= R (p ) - C(p ) 2451501262.58 p p =- +- 令245'15004L p =-+= 12012045120,'()07727 p L ==-?<得 且 故当1207 p = 时利润达到最大，且最大利润 max L (1207)=23.12. 2. 某厂生产的某一产品的边际成本函数 ()231833C Q Q Q '=-+ 且当产量为3个单位时，成本为55个单位，求： (1) 成本函数与平均成本函数； (2) 当产量由2个单位增加到10个单位时，成本的增量是多少？ 解 (1) 因为 20()(31833)Q C Q Q Q d Q =-+? 32933Q Q Q C =-++ 由已知当产量Q 为3时，成本为55，代入上式得C = 10, 于是 成本函数为 32()93310C Q Q Q Q =-++ 平均成本函数为 2()10()933C Q C Q Q Q Q Q ==-++ (2) 当产量由2个单位增至10个单位时，成本的增量是 ?C (Q ) = C (10) – C (2) = 392. 3. 已知生产某产品的固定成本为6万元，边际收益与边际成本（单位:万元/百台）分 别为 '()338R Q Q =-，2()31836C Q Q Q '=-+ (1) 求当产量由1百台增加到4百台时，总收益与总成本各增加多少？ (2) 求产量为多少时, 总利润最大？ (3) 求最大总利润时的总收益、总成本、总利润. 解 (1)由公式得总收益与总成本的增量为 4 1(338)39Q dQ -=?(万元) 421(31836)36Q Q dQ -+=? (万元) (2)由极值存在的必要条件： 边际收益'()R Q ＝边际成本()C Q ' 即 338Q -＝231836Q Q -+ 解得121,33 Q Q ==，又由极值存在的充分条件： "()(338)'8R Q Q =-=-,2()"(31836)'618C Q Q Q Q =-+=- 显然，3Q =满足充分条件，即获得最大总利润的产量是3Q =百台. (3) 由公式得最大总利润总收益与总成本 3 0(338)63Q dQ -=? (万元) 320(31836)60Q Q dQ -+=? (万元) 所以 第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）2 2 1x y =与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1 =与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3 cos =，t a y 3 sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积 ２、求对数螺线θ ρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2 π= x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3 x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -=33 3 上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3 cos =，t a y 3 sin =的全长 ８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→ F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→ F （k 是比例常数），如果把弹簧内原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3 ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边与 水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022 >=p px y 与直线p y x 2 3 = + 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 第六章 定积分及应用 一、填空题 1、 16 ； 2、1； 3、0； 4、0； 5、2； 6、1-x ； 7、－1； 8、21I I >，34I I <； 9、 ,43ππ?? ? ??? ； 10、6； 11、2-； 12、1； 13、0； 14、2()2 y x π π =- ； 15、42 2x x xe e --； 16、2 2x x xe e ---； 17、x cos ； 18、 2 1； 19、π 二、选择题 1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、D ； 9、D ； 10、B ； 11、C ； 12、D 三、基本计算题 （一）定积分计算 1．0； 2. 45 ； 3. 2π-； 4. 12ln 2-；5. 16ln 2 5 ； 6. 42ln 3 ； 7. 112 2 π + ； 8. )1(22 +e ； 9. 2 14 - π ; 10. 6 31π- ; 11. 12ln 2- （二）分段函数积分 1. 22; 2．24; 3. 4 1; 4. 112 ; 5. e 11- ; 6. 6 11; 7. )1ln(11-++e （三）含变限积分的极限 1. 2; 2. 3 1; 3. 2; 4. 110 ; 5. 3 1; 6. 6 1- （四）广义积分 1. 12 π ; 2. 2ln ; 3. π （五）平面图形面积 1. 3 32； 2. 3 64； 3. 2 9； 4. 6 7 （六）旋转体的体积 1.π5 72； 2. 5 2π 四、综合计算 （一）各类计算 1. =S 2; 2. =S 3 14; 3、e 4. ) sin ()cos 1(t t t -- 5. 2 12ln t t 第六章 定积分应用 一、定积分应用的类型及定积分的元素法 1、基本内容： 本章是利用定积分理论来分析解决几何学和物理学中的一些问题，进而掌握用元素法（微元法）求解问题的基本思想。 几何问题包括：平面图形的面积；旋转体的体积；平行截面面积为已知的立体的体积； 平面曲线的弧长。 物理问题包括：变力沿直线作功（含吸水和将水中物体提出）；铅直放入水中的平板所 受压力；细棒对质点的引力。 2. 构造微元的基本思想及解题步骤 （1）构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须是无穷小量之间的代替。将局部],[],[b a dx x x ∈+上所对应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成定积分 ? b a dx x f )(。 (2) 元素法是应用定积分求具有可加性几何量和物理量的重要方法，具体步骤如下： ①根据实际问题，先作草图，再选取适当的坐标系和积分变量(例如x 为积分变量)，并确定其取值区间； ②在积分区间[b a ,]上，任取一个小区间，如[dx x x +,]，dx 很小，故运用“以直代曲”，“不变代变”等思想，求出欲求量U 的元素dx x f dU )(=； ③对元素进行积分，得? = b a dx x f U )(，并应用微积分基本公式计算出U 值.注意 ()dU f x dx =中不能出现dx 的其它幂次，如2dx ；正确找出dx x f dU )(=是求总量 U 的关键. 二、定积分在几何上的应用 1 平面图形的面积 （1）直角坐标系下的面积 ① 设平面图形由连续曲线)(x f y =，)(x g y =，a x =和b x =)(b a <围成，则面积 = A ()b a y y dx -? 上下. ② 设平面图形由连续曲线)(y g x =，)(y h x =，c y =和d y =)(d c <围成，则面积 = A ()d c x x dy -? 右左. （2）极坐标系下的面积 设曲边扇形由连续曲线)(θρρ=及射线,(0)θαθβαβ==<<围成,则面积 第六章 定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设y f (x )0 (x [a b ]) 如果说积分 ?=b a dx x f A )( 是以[a b ]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数 ?=x a dt t f x A )()( 就是以[a x ]为底的曲边梯形的面积 而微分dA (x )f (x )dx 表示点x 处以dx 为宽的小曲边梯形面积的近似值A f (x )dx f (x )dx 称为曲边梯形的面积元素 以[a b ]为底的曲边梯形的面积A 就是以面积元素f (x )dx 为被积表达式 以 [a b ]为积分区间的定积分 ?=b a dx x f A )( 一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b ]上 分布在[a x ]上的量用函数U (x )表示 再求这一量的元素dU (x ) 设dU (x )u (x )dx 然后以u (x )dx 为被积表达式 以[a b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )( 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法) §6 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )与y f 下(x )及左右两条直线x a 与x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上 类似地由左右两条曲线x 左 (y )与x 右 (y )及上下两条直线y d 与y c 所围 成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右?? 例1 计算抛物线y 2x 、y x 2 所围成的图形的面积 第五章 定积分及其应用 一、 知识剖析 1. 知识网络 ???? ? ??? ???? ?? ?? ?????????????????计算函数的平均值求旋转体的体积 求平面图形的面积定积分的应用定积分分部积分法 定积分换元法两种技巧牛顿－莱布尼茨公式积分上限函数 微积分基本定理定积分的几何意义定积分的性质定积分的定义 定积分的概念定积分 本章主要知识点为：一个概念（定积分概念）、一个定理（微积分基本定理）、两种技巧（定积分换元法、定积分分部积分法）、一个方法（微元法）。 定积分概念指出求解定积分问题的思路，微元法和牛顿－莱布尼茨公式给出求解定积分问题的具体步骤以及计算方法，而定积分换元法和定积分分部积分法，可以帮助我们更好地去计算定积分。 2. 知识重点与学习要求： 学习要求： 2.1理解定积分概念和定积分的几何意义 2.2了解变上限函数的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 2.3掌握定积分的换元积分法和分部积分法 2.4掌握奇函数和偶函数在对称区间上定积分的求法 2.5掌握微元法，能够利用微元法求不规则图形的面积、旋转体的体积 2.6掌握广义积分的概念及求法 知识重点：定积分计算、微元法（求不规则图形的面积和旋转体的体积）。 3. 概念理解与方法掌握： 3.1定积分的概念 （1）概念理解： 定积分是高等数学最重要的概念之一，利用定积分可以解决一类问题：计算在某一范围（区间）有可加性且分布不均匀的量。实际中可遇到很多这样的量，因此定积分在实际中有很大用途。 说明：① “可加性”即可以分割，将所求量分成很多小部分，所有小部分之和即为所求量。如长度、面积、体积、质量、力所做的功等都是具有可加性的量。 ② “分布不均匀”则不能用初等数学的方法解决。如曲边梯形因为“曲边”而导致面 积分布不均匀，若为“直边”（平行于对边的直线段）即面积分布均匀成为矩形；变速直线运动因为“变速”而产生路程分布不均匀，若为“匀速”则路程分布均匀。分布均匀可用初等数学方法解决。 定积分概念所蕴含的“分割、取近似、求和、取极限”是我们解决问题的基本思路。教材中的“两个实例”充分体现了这一点： 第一步：分割（化整为零） 将所求量分割为很多小部分，所有小部分之和即为所求量； 第二步：取近似（在小范围以不变代变） 求每一小部分量的近似值（小曲边梯形面积近似等于小矩形面积，极小时间段内的变速直线运动可以近似地当作匀速直线运动等）； 第三步：求和（积零为整） 第二步求得的所有近似值之和即为所求量的近似值； 第四步：取极限（精确化） 第一步的分割越细，第三步的“和”近似程度越高，因此我们将分割越来越细，近似值就越来越接近于精确值（极限思想）。 大家在学习时，要领会解决问题的思路和方法，同时注意到两个实例中所求量都是相同的“形式”——和式的极限 i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ 注：① 定积分的本质：积分是微分（微小部分，即分割后所得小部分量的近似值）的无限累积。 ② 定积分的关键点：在小范围用不变代变求近似。 ③ 定积分可以解决一类相同的问题，例如： 计算密度不均匀的细棒（只计长度）的质量；充电的过程即电量累积的过程，若利用交流电充电，其电流强度不均匀，计算在给定时间段所充的电量。 当然，定积分概念只提供思路，求解实际问题需用微元法，进一步计算定积分则要应用牛顿－莱布尼茨公式。 （2）定积分的性质 注：计算定积分过程中，可依据问题实际，灵活运用“定积分上下限互换”和“拆分积分区间”等方法。 （3）定积分的几何意义 理解、掌握定积分的几何意义对于利用定积分解决问题有很大帮助。 第八早疋积 第一、二 分的应用节作业 一、填空题： 曲线xy=1,y=x,x=2所围成图形的面积是：。 二、选择题（单选）: 1.曲线y=-lnx,y轴与直线y=lna,y=Inb(b>a>0)所围成图形的面积是： /八\ 1 1 (A) 1 1 (B)a b；(C)b a1；(D) a b. 答：（） 2.曲线r 3 (0 2 ）所围成图形的面积是: 3 (A) 4n ;3 (B) 12n ; (C) 6n3；3 (D) 3n o 答：（） 三、试解下列各题： 1.求由下列曲线所围成图形的面积: ⑴y x2与直线y x及y 2x. lnx，xy °，x 2及 x 2. ⑶ r 2(2 cos ). (4) r 3a,r 2acos . 2. 当a 为何值时，抛物线 y=x 2与三直线x=a,x=a+1,y=0所围成图形的面积最小。 第三节作业 一、填空题： 1. 由曲线y=f(x)(f(x)>0) 和直线x=a,x=b(a 河北省高等教育自学考试 定积分在经济学中的 应用 ——定积分在经济学中的应用 地市:沧州市 专业:投资管理 姓名:郭梦帆 准考证号:1 身份证号: 联系电话: 内容摘要 经济数学基础本着基础教学为专业服务及注重应用、培养能力的原则,根据微积分、线性代数、概率统计的基本知识逻辑,以知识介绍为重点,详略得当;叙述上力求简明、通俗,又不失科学性。 关键词: 定积分微分经济学边际函数投资 经济数学基础知识点 1、一元函数极值 设函数f(x)在X0的一个邻域内有定义,若对于该邻域内异于X0的X 恒有:f(x)定积分在生活中的应用
第五章 定积分及其应用
定积分在经济中的应用习题解答
(完整word版)§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分及应用答案
第六章定积分应用
第六章定积分的应用
第五章 定积分及其应用
高等数学(同济五版)-第六章-定积分的应用-练习题册
经济数学基础——定积分在经济学中的应用
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