静磁场唯一性定理的证明
标量场的问题，情况与静电场完全相同。讨论用磁矢量位描述的磁场问题。
设场域内有电流密度J ，讨论在什么边界条件下，旋度旋度方
程
J A μ=????
的解是唯一的。 证明：反证法。假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们
确定了1B 和2B
11A B ??=、 22A B ??=
它们的差值 21A A F -= 应满足
V F ∈=????0
对于恒等式 ()()()
()Q P P Q Q P ?????-?????=????? 运用高斯散度定理有
dS n Q P dV Q P P Q S
V ????=?????-???????)()( 令 F Q P ==，代入上式应有
dS F F n dS F F n dS n F F dV F S
S S V ????-=????=????=??????)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是
0=??F
这可能是0=F ，即21A A =，或者是
o A A ??±=21
可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。可分三种情况讨论
(1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F ，面
积分必为零，则21A A =，解答唯一；
(2) 边界面上给定A n ???，应有0=???F n ，所以
21A n A n ???=???
这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。而条件
A n ???，其大小等于t
B ，方向由B n ?确定。可见在S 面上给定了t B ，即n A ?? ——第二类边界条件，或给定了t H ，即n
A ?? μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A
的解唯一。
(3) 在边界上给定A n ?，有
21A n A n
?=?
也可以使面积分项为零。而A n ?的大小即为t A ，方向由A n ?确
定。即正确给定边界上A n ?，则V 域中A 有唯一解。
第22讲 唯一性定理 第4章 介质中的电动力学（2） §4.2 唯一性定理 在上节中我们说明静电学的基本问题是求出所有边界上满足边值关系或给定边界条件的泊松方程的解。本节我们把这问题确切地表述出来，即需要给出哪一些条件，静电场的解才能唯一地被确定。 静电场的唯一性定理对于解决实际问题有着重要的意义。因为它首先告诉我们，哪些因素可以完全确定静电场，这样在解决实际问题时就有所依据。其次，对于许多实际问题，往往需要根据给定的条件作一定的分析，提出尝试解。如果所提出的尝试解满足唯一性定理所要求的条件，它就是该问题的唯一正确的解。下面我们先提出并证明一般形式的唯一定理，然后再证明有导体存在时的唯一性定理。 1. 静电问题的唯一性定理 下面我们研究可以均匀分区的区域V ，即V 可以分为若干个均匀区域 V i ，每一个区域的电容率为 ε i 。设V 内有给定的电荷分布 ρ（x ）。电势 φ 在均匀区域 V i 内满足泊松方程 2i ρ ?ε?=- （4.2---1） 在两区域 V i 和 V j 的分界上满足边值关系 ()()i j i i j j n n ????εε=?? ???=???? （4.2---2） 泊松方程（4.2---1）式和边值关系（4.2---2）式是电势所必须满足的方程，它们属于电场的基本规律。除此之外，要完全确定V 内的电场，还必须给出V 的边界S 上的一些条件。下面提出的唯一性定理具体指出所需给定的边界条件。 唯一性定理： 设区域V 内给定自由电荷分布，在V 的边界上S 上给定 （1）电势φ| s 或
（2）电势的法向导数 ?φ/?n | s ， 则V 内的电场唯一确定。也就是说，在V 内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程（4.2---1），在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V 的边界S 上满足该给定的φ或?φ/?n 值。 证明 设有两组不同的解 φ' 和 φ'' 满足唯一性条件定理的条件。 令 ,???'''=- （4.2---3） 则由 ▽2φ' = ?ρ/εi ，▽2φ'' = ?ρ/εi ，得 20??= （在每个均匀区V i 内） （4.2---4） 在两均匀区界面上有 i j ??= ()()i i j j n n ?? εε??=?? （4.2---5） 在整个区域V 的边界S 上有 0S S S ???'''=-= （4.2---6a ） 或 S S S n n n ? ??'''???= - ???=0 （4.2---6b ） 考虑第i 个均匀区 V i 的界面 S i 上的积分 i i S d ε??????S 由附录（Ⅰ.7）式，这积分可以变换为体积分 ()i i i i S V d dV ε??ε????=????? ?S 22()i i i i V V dV dV ε??ε?=?+??? 由（4.2---4）式，右边最后一项为零，因此 2 ()i i i i S V d dV ?ε??ε???=???S 对所有分区 V i 求和得 2()i i i i S V i i d dV ε??ε???=?∑∑?? ?S （4.2---7）
电磁场第三版思考题目 答案 集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]
一：1.7什么是矢量场的通量通量的值为正，负或0分别表示什么意义 矢量场F穿出闭合曲面S的通量为： 当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S 内必有发出矢量线的源，称为正通量源。 当小于0时，小于 有汇集矢量线的源，称为负通量源。 当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。 1.8什么是散度定理它的意义是什么 矢量分析中的一个重要定理： 称为散度定理。意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。 1.9什么是矢量场的环流环流的值为正，负，或0分别表示什么意义 矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿 的环流。 大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。 等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。 1.10什么是斯托克斯定理它的意义是什么该定理能用于闭合曲面吗
在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系 这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面. 1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性=0,即F为无散场。 1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性=0即为无旋场 1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗为什么 不对。电力线可弯，但无旋。 1.14 无旋场与无散场的区别是什么 无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0 无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡，即。
《电磁场与电磁波理论》思考题 第1章思考题 什么是标量？什么是矢量？什么是矢量的分量？ 什么是单位矢量？什么是矢量的单位矢量？ 什么是位置矢量或矢径？直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的？ 什么是右手法则或右手螺旋法则？ 若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么？矢量积又如何？ 若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么？标量积又如何？ 若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算？ 什么是场？什么是标量场？什么是矢量场？ 什么是静态场或恒定场？什么是时变场？ 什么是等值面？它的特点有那些？ 什么是矢量线？它的特点有那些？ 哈密顿算子为什么称为矢量微分算子？ 标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？ 什么是通量？什么是环量？ 矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？ 矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？ 什么是拉普拉斯算子？标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的？ 直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？
三个重要的矢量恒等式是怎样的？ 什么是无源场？什么是无旋场？ 为什么任何一个梯度场必为无旋场？为什么任何一个无旋场必为有位场？为什么任何一个旋度场必为无源场？为什么任何一个无源场必为旋度场？高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么？ 什么是矢量的唯一性定理？ 在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？ 直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？
5ξ电磁场的边值关系 一．引言 当介质分布均匀时，出现了界面，→ D ,→ B 有跃变，界面两侧场值的关系 1.边值关系：描述介质界面两侧的场矢量与界面上电荷，电流的关系 2.麦氏方程组的微分形式要求→ E ,→ D ,→B ,→ H 在介质中连续 麦氏方程组的积分形式在场量不连续时不成立。 故不能用微分形式导出边值关系，而用积分形式讨论边值关系。 ?? ? ? ????? =?=????→ →→→s s v S d B dv S d D 0ρ?导出法向关系 ???? ? ???????+?=????-=??????→→ →→→→→→ →→s s l l S d t D S d j l d H S d t B l d E ?导出切向关系 二．边值关系（法向关系证明从略,切向关系讲一例后推论） 1.→ D 的法向有跃变 ??=?→→v s dv S d D ρ?σ f D D n =-?→ →→)(12 （1） 推论：ε σσρρε0 1 20 )()(1 p f v p f s E E n dv S d E +=-??+=?→ → → → → ?? （2） dv S d P p s ??-=?→→ρ→?n )(1 2 → →-?P P =-σ P （3） 2．→ B 的法向连续 0)(0)(01 1 2 2 1 2 =-??? ??→?=-??=?→ →→→→→→→?H u H u B B n n S d B s 线性各向同性 (4) 3.的→ E 切向连续 →→ → → ?-=???S d B dt d l d E s l 0)(12=-??→→→E E n E E t t 12= (5) 4.的切向跃变→ H
第一章 第二章1.什么是矢量场的通量通量的值为正、负或0分别表示什么意义 解答：矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为： dS e F dS F s n s ??==··ψ 当? >s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出矢量线的源，成为正通量源。 当? ?c dl F 0或?对电场及磁场中高斯定理的认识
对电场及磁场中高斯定理的认识 电场强度在一封闭曲面上的面积分与封闭曲面所包围的电荷量成正比由于磁力线总是闭合曲线，因此任何一条进入一个闭合曲面的磁力线必定会从曲面内部出来，否则这条磁力线就不会闭合起来了。如果对于一个闭合曲面，定义向外为正法线的指向，则进入曲面的磁通量为负，出来的磁通量为正，那么就可以得到通过一个闭合曲面的总磁通量为0。这个规律类似于电场中的高斯定理，因此也称为高斯定理[1]。 与静电场中的高斯定理相比较，两者有着本质上的区别。在静电场中，由于自然界中存在着独立的电荷，所以电场线有起点和终点，只要闭合面内有净余的正（或负）电荷，穿过闭合面的电通量就不等于零，即静电场是有源场；而在磁场中，由于自然界中没有单独的磁极存在，N极和S极是不能分离的，磁感线都是无头无尾的闭合线，所以通过任何闭合面的磁通量必等于零。 电场中德高斯定理公式是静电场的基本方程之一，它给出了电场强度在任意封闭曲面上的面积分和包围在封闭曲面内的总电量之间的关系。它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。在真空的情况下,Σq是包围在封闭曲面内的自由电荷的代数和。当存在介质 时,Σq应理解为包围在封闭曲面内的自由电荷和极化电荷的总和。 高斯定理反映了静电场是有源场这一特性。凡是有正电荷的地方，必有电力线发出；凡是有负电荷的地方，必有电力线会聚。正电荷是电力线的源头，负电荷是电力线的尾闾。 高斯定理是从库仑定律直接导出的，它完全依赖于电荷间作用力的二次方反比律。把高斯定理应用于处在静电平衡条件下的金属导体，就得到导体内部无净电荷的结论，因而测定导体内部是否有净电荷是检验库仑定律的重要方法。 对于某些对称分布的电场,如均匀带电球的电场,无限大均匀带电面的电场以及无限长均匀带电圆柱的电场，可直接用高斯定理计算它们的电场强度。
静磁场唯一性定理的证明 标量场的问题，情况与静电场完全相同。讨论用磁矢量位描述的磁场问题。 设场域内有电流密度J ，讨论在什么边界条件下，旋度旋度方 程 J A μ=???? 的解是唯一的。 证明：反证法。假定在相同边界条件下有两个磁矢量位1A 和2A ，它们 确定了1B 和2B 11A B ??=、 22A B ??= 它们的差值 21A A F -= 应满足 V F ∈=????0 对于恒等式 ()()() ()Q P P Q Q P ?????-?????=????? 运用高斯散度定理有 dS n Q P dV Q P P Q S V ????=?????-???????)()( 令 F Q P ==，代入上式应有 dS F F n dS F F n dS n F F dV F S S S V ????-=????=????=??????)()()()(2 上式若要使体积分为零，必须是 0=??F
这可能是0=F ，即21A A =，或者是 o A A ??±=21 可以采取措施来进行必要处理，以使磁矢量位的解答唯一。可分三种情况讨论 (1) 边界面上给定第一类边界条件o A A =，则边界上有0=F ，面 积分必为零，则21A A =，解答唯一； (2) 边界面上给定A n ???，应有0=???F n ，所以 21A n A n ???=??? 这也能使积分方程的面积分项为零，进而使21A A =解唯一。而条件 A n ???，其大小等于t B ，方向由B n ?确定。可见在S 面上给定了t B ，即n A ?? ——第二类边界条件，或给定了t H ，即n A ?? μ1——仍是第二类边界条件，场域中的A 的解唯一。 (3) 在边界上给定A n ?，有 21A n A n ?=? 也可以使面积分项为零。而A n ?的大小即为t A ，方向由A n ?确 定。即正确给定边界上A n ?，则V 域中A 有唯一解。
静电场边值问题的唯一性定理 摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽 1、问题的提出 实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一； （1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ； 其中K=1，2，……为导体的编号。寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。这类问题称为静电场的边值问题。 这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。 2、几个引理 在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。 （1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。 用反证法。设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ?ρ 必 都指向P 点，即场强U E ?-=ρ ρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。）这时若我们作一个 很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为 0) (>?=?S d E S E ρ ρ? (1) 根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。然而这违背了我们的前提。因此，U 不可能有极大值。 用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。
关于静电场的唯一性定理 静电场的唯一性定理被称为静电学中的一颗明珠。说说静电场唯一性定理的重大意义。 静电场的唯一性定理是以库仑定律为基础推导出来的一个极为重要和有用的定理，它是静电学中极有品位和令人赞叹的定理。静电场的唯一性定理有许多种表述。其中一种常见的表述是： 若区域V 内给定电介质分布和自由电荷分布()r ρ ，在V 的边界面S 上给定电位S ?或者电位的法向空间变化率S n ???，若区域内有导体存在，如果还给定各导体的电位或者各导体所带的自由电量，则V 内的静电场就唯一地确定了。 静电场的唯一性定理表明，一定的空间区域外界的电荷对该区域内静电场的影响，完全体现在该区域的边界面上。只要一定的空间区域内的电介质的分布和自由电荷的分布给定了，同时该区域边界面上的电位或者电位沿边界面的法线方向的空间变化率的分布给定了，那么不论外界的电荷分布怎样改变，该区域内的静电场都是唯一确定的。因此，静电场的唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求电场强度以及设计静电场指明了方向。（镜像法就是建立在唯一性定理的基础之上的。） 更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、边值关系和给定的边界条件，则该解就是唯一的正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通过提出尝试解，然后验证是否满足泊松方程、边值关系和边界条件。满足即为唯一解，若不满足，可以加以修改。 如果有人精于设计和求解静电场，那么他已经是一个有名望的专家学者了，并且享有丰厚的报酬。因此，虽然静电学是电磁场理论中相对比较简单的一门学问，请同学也不要小看它。一个外行人，有谁会相信上述有名望的专家学者的工作基础就是高中生都明白的库仑定律呢？
电荷守恒定律：电荷既不能被创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或从物体的
电位差（电压）：单位正电荷的电位能差．即：B AB AB AB A W A U Edl q q ===?u r r ． 磁介质：在磁场中影响原磁场的物质称为磁介质． 在介质中求电（磁）场感应强度:
电（磁）场能量： 位移电流与传导电流比较 四种电动势的比较：
楞次定律：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。高斯定理和环路定理： 麦克斯韦方程组：
电场和磁场的本质及内在联系： 静电场问题求解 基础问题 1.场的唯一性定理： ①已知V 内的自由电荷分布 ②V 的边界面上的φ值或n ??/φ值， 则V 内的电势分布，除了附加的常数外，由泊松方程 及在介质分界面上的边值关系 唯一的确定。 两种静电问题的唯一性表述： ⑴给定空间的电荷分布，导体上的电势值及区域边界上的电势或电势梯度值→空间的电势分布和导体上的面电荷 分布（将导体表面作为区域边界的一部分） ⑵给定空间的电荷分布，导体上的总电荷及区域边界上的电势或电势梯度值→空间的电势分布和导体上的面电荷 分布（泊松方程及介质分界面上的边值关系） 2.静电场问题的分类： 分布性问题：场源分布E ?ρ电场分布 电荷 电场 磁场 电流 变化 变化 运动 激发 激发
边值性问题：场域边界上电位或电位法向导数→电位分布和导体上电荷分布 3.求解边值性问题的三种方法： 分离变量法 ①思想：根据泊松方程初步求解φ的表达式，再根据边值条件确定其系数 电像法 ①思想：根据电荷与边值条件的等效转化，用镜像电荷代替导体面（或介质面）上的感应电荷（或极化电荷） 格林函数法 ①思想：将任意边值条件转化为特定边值条件，根据单位点电荷来等价原来边界情况 静电场，恒流场，稳恒磁场的边界问题： 电磁场的认识规律 一．静电场的规律： 1.真空中的静电场； 电场强度E 电场电势V 静电场的力F 静电场的能量 2.介质中的静电场； 电位移矢量D 极化强度P e 0P E χε=u r u r （各向同性介质） 二．稳恒磁场与稳恒电流场 1.真空中的磁场强度B 2.真空中的电流密度J
浙江财经学院 学校 310 条目的4类题型式样及交稿式样 (恒定磁场的高斯定理和安培环路定理) 1. 选择题 题号：31011001 分值：3分 难度系数等级：1 磁场中高斯定理：? =?s s d B 0 ，以下说法正确的是： （A ）高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况 （B ）高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况 （C ）高斯定理只适用于稳恒磁场 （D ）高斯定理也适用于交变磁场 [ ] 答案：（D ） 题号：31012002 分值：3分 难度系数等级：2 在地球北半球的某区域，磁感应强度的大小为5 104-?T ，方向与铅直线成60度角。则穿过面积为1平方米的水平平面的磁通量 （A ）0 （B ）5 104-?Wb （C ）5 102-?Wb （D ）5 1046.3-?Wb [ ] 答案：（C ） 题号：31011003 分值：3分 难度系数等级：1 一边长为l ＝2m 的立方体在坐标系的正方向放置，其中一个顶点与坐标系的原点重合。 有一均匀磁场)3610(k j i B ++=通过立方体所在区域，通过立方体的总的磁通量有
（A ）0 （B ）40 Wb （C ）24 Wb （D ）12Wb [ ] 答案：（A ） 题号：31013004 分值：3分 难度系数等级：3 无限长直导线通有电流I ，右侧有两个相连的矩形回路，分别是1S 和2S ，则通过两个矩形回路1S 、2S 的磁通量之比为： （A ）1：2 （B ）1：1 （C ）1：4 （D ）2：1 [ ] 答案：（B ） 题号：31011005 分值：3分 难度系数等级：1 均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为R 的圆面，今以圆周为边线，作一半球面S ，则 通过S 面的磁通量的大小为 （A ）B R 2 2π （B ）B R 2 π （C ）0 （D ）无法确定 [ ] 答案：（B ） 题号：31012006 分值：3分 难度系数等级：2
1.8什么是散度定理?它的意义是什么？ 矢量分析中的一个重要定理：称为散度定理。意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。 1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？ 矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿的环流。环流大于0或环流小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。 1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？ 在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系这就是是斯托克斯定理。矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面. 1.11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0,即F为无散场。 1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0即为无旋场 1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？ 不对。电力线可弯，但无旋。 1.14 无旋场与无散场的区别是什么？ 无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即=0 无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为某一个旋涡即 2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带电荷看成集中
第一章 1.什么是矢量场的通量？通量的值为正、负或0分别表示什么意义？ 解答：矢量场F 穿出闭合曲面S 的通量为： dS e F dS F s n s ??==··ψ 当? >s dS F 0·时，表示穿出闭合曲面S 的通量多于进入的通量，此时闭合曲面内必有发出矢量线的源，成为正通量源。 当? ?c dl F 0或?恒定磁场的高斯定理和安培环路定理
恒定磁场的高斯定理和安培环路定理 1. 选择题 题号：31011001 分值：3分 难度系数等级：1 1．磁场中高斯定理：?=?s s d B 0 ，以下说法正确的是：（ ） A ．高斯定理只适用于封闭曲面中没有永磁体和电流的情况 B ．高斯定理只适用于封闭曲面中没有电流的情况 C ．高斯定理只适用于稳恒磁场 D ．高斯定理也适用于交变磁场 答案：D 题号：31012002 分值：3分 难度系数等级：2 2．在地球北半球的某区域，磁感应强度的大小为5104-?T ，方向与铅直线成60度角。则穿过面积为1平方米的水平平面的磁通量 （ ） A ．0 B ．5104-?Wb C ．5102-?Wb D ．51046.3-?Wb 答案：C 题号：31011003 分值：3分 难度系数等级：1 3．一边长为l ＝2m 的立方体在坐标系的正方向放置，其中一个顶点与坐标系的原点重合。有一均匀磁场)3610(k j i B ++=通过立方体所在区域，通过立方体的总的磁通量有（ ） A ．0 B ．40 Wb C ．24 Wb D ．12Wb 答案：A 题号：31013004 分值：3分 难度系数等级：3 4．无限长直导线通有电流I ，右侧有两个相连的矩形回路，分别是1S 和2S ，则通过两个矩形回路1S 、2S 的磁通量之比为：（ ）。
A ．1：2 B ．1：1 C ．1：4 D ．2：1 答案：B 题号：31011005 分值：3分 难度系数等级：1 5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为R 的圆面，今以圆周为边线，作一半球面S ，则 通过S 面的磁通量的大小为（） A ． B R 22π B ．B R 2π C ．0 D ．无法确定 答案：B 题号：31012006 分值：3分 难度系数等级：2 6．在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ，S 边线所在平面的法线方向单位 矢量n 与B 的夹角为α，则通过半球面S 的磁通量为（ ） A ． B r 2π B ．B r 2 2π C ．απsin 2 B r - D ．απcos 2 B r - 答案：D 题号：31011007 分值：3分 难度系数等级：1 7．若空间存在两根无限长直载流导线，空间的磁场分布就不具有简单的对称性，则该磁场分布（ ） A ．不能用安培环路定理来计算 B ．可以直接用安培环路定理求出 C ．只能用毕奥-萨伐尔定律求出 D ．可以用安培环路定理和磁感应强度的叠加原理求出 答案：D 题号：31012008 分值：3分
时变电磁场唯一性定理 下面我们讨论由多种媒质所组成的场域V 。为叙述方便，先引入内边界面和外边界面的概念。内边界面是指边界面两侧区域都是场域的边界面，内边界面位于场域V 内。外边界面是指边界面两侧区域中有一侧属于场域V 而另一侧不属于场域V 的边界面，外边界面是场域最外侧的边界面。内边界面的两侧区域都是未知的待求场域；而外边界面的两侧区域中有一侧是待求场域而另一侧是常量为已知的场域。 唯一性定理 假设： 1)形状不随时间t 变化的场域V 是由m 个线性媒质1V , 2V ,...,m V 所组成，i V 的边界面i Γ是由分片光滑曲面所组成的闭曲面，V 的外表面是Γ，1,2,...,i m =。 2）外部电流源s J 和K 分布在有限区域内，矢量,,,,,s e h e h J K G G F F 和标量ρ是不全为零的有界的已知量。 3）媒质i V 的介电常量0i ε>，磁导率0i μ>，电导率0i γ≥，1,2,...i m =。4) i V 中的电场强度i E 和磁场强度H i 在闭如果区间i i V +Γ上存在连续偏导数，1,2,...,i m =。 在上述条件下，如果由以下初边值（2.79）—（2.90）所确定的场量E 和H 存在，那么它们分别有唯一的有界非零解。 1. 约束方程 ()()()(),(),,s M t M M M t M t t γε?????-+= ??? ?H E J (2.79) ()() (),,0M t M M t t μ???+=?E H (2.80) M V ∈, 0t > 2．初始条件 ()()0,|t e M t M ==E G , M V ∈ (2.81) ()()0,|t h M t M ==H G , M V ∈ (2.82) ()0,|0t M t μ=?=????H ， M V ∈ (2.83) ()()0,|t M t M ερ=?=????E , M V ∈ (2.84) 3.内边界面上得边界条件 在内边界面ij Γ上场量应同时满足以下两式： ()()(),,0ij j i p p t p t ???-=??n E E (2.85)
二章： 2.1点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。 2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有 体电荷，，面电荷，线电荷和点电荷 常用的电流分布模型有体电流模型，面电流模型和线电流模型他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的 2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？ 点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比。电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比 2.4 简述ερ =??E 和0E =??所表征的静电场特性 ερ0 =??E ?表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。 0??=??E 表明静电场是无旋场。 2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和 除以0ε与闭合面外的电荷无关，即dV dS E V S ρε??=?01? 在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 2.6 简述0=??B 和J B 0μ=??所表征的静磁场特性 0=??B ρ表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的 闭合线,J B ??0μ=??表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7 表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。 安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和0μ倍,即I dl B C 0μ=???
磁场的高斯定理 摘要：首先推导出磁场的高斯定理，再由磁场的高斯定理和安培环路定理推导磁场在两种不同媒质分界面上必须满足的边界条件，最后由静电场与磁场的高斯定理比较引出关于磁单极子的问题。 1. 磁场的高斯定理 在静电场中，高斯定理有0 1 i S E S q ε ?= ∑? ， 所以静电场是有源场。那么在磁场中，S B S ?? 又得到什么呢？ 首先看一下磁感应强度B 。B 的方向为磁力线的切线方向，大 小为垂直B 的单位面积上穿过的磁力线的条数，即dN B dS ⊥ =。 而通过面元的磁力线条数即为该面元的磁通量，于是 m d B d S Φ=? 。对于有限曲面m B d S Φ=?? ，对于闭合曲面m S B d S Φ= ?? 。 对于某一曲面，规定磁力线穿出为正，m Φ＞０；穿入为负，m Φ＜０。 而磁力线都是闭合的曲线，对于某一闭合的曲面，穿入到底总是等于穿出的，也就是说0m S B d S Φ=?=? ，这就是磁场的高斯定理，也 叫磁通连续性定理。可以看出磁场是一个无源场。 2. 磁场的边界条件 磁场的高斯定理（0S B d S ?=? ）与安培环路定理（l H d l I ?=? ）表 征了恒定磁场的基本性质。不论媒质分布情况如何，凡是恒定磁场，都具备这两个特性，它们称为恒定磁场的基本方程。在两种不同媒质分界面
上，围绕任一点Ｐ取一矩形回路，如右图，令20 l ?→，根据l H d l I ?=? ， 如果分界面上存在面自由电流，则有 11211t t H l H l K l ?-?=? 即 12t t H H K -= 根据B H μ= ，还可以写成 121 2 t t B B K μμ- = 电流线密度Ｋ的正负要看它的方向与沿1t H 绕行方向是否符合右 手螺旋关系而定。写成矢量形式则为12()n H H e K -?= 。其中n e 为分界 面上从媒质１指向媒质２的法线方向单位矢量。 如果分界面上无电流，则 12t t H H = 说明在这种情况下磁场强度的切线分量是连续的，但磁感应强度切线 分量是不连续的。 若在分界面上包围某点Ｐ作一扁小圆柱体，如右图，且令0l ?→，则根据0S B d S ?=? ，可以得到 12n n B B = 还可以写成 1122n n H H μμ= 写成矢量形式则为12()0 n B B e -?= 。可见，磁感应强度的法线方向分量 是连续的，而磁场强度的法线方向分量则不连续。 根据12t t H H =和12n n B B =，并考虑到 B H μ= 的关系，可以得出如下 结论：如果两媒质均为各向同性，这样两图中有11αβ=,2 2αβ=则在它 们的分界面上（假设无电流）B 线和H 线的折射规律为
一、名词解释 1.通量、散度、高斯散度定理 通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负） 散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。 2.环量、旋度、斯托克斯定理 环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。其物理意义随A所代表的场而定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。 旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。 斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。 3.亥姆霍兹定理 在有限区域V内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合 面S上矢量场的分布）唯一的确定。 说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度 4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场力：电场对电荷 的作用称为电力。 磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。 洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。 5.电偶极子、磁偶极子 电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。 磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。 6.传导电流、位移电流 传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。 位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。 7.全电流定律、电流连续性方程 全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包 围的面内穿过的全部电流的代数和。 电流连续性方程： 8.电介质的极化、极化矢量 电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负 电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为 电介质的极化。 极化矢量P：单位体积内的电偶极矩矢量和。 9.磁介质的磁化、磁化矢量 磁介质的磁化：当把一块介质放入磁场中时，它也会受到磁场的作用，其中也会形成一个个小的磁偶极子，这种现象称为介质的磁化。 磁化矢量M：单位体积内磁偶极矩的矢量和。 10.介质中的三个物态方程 D=εE，B=μH，J=γE 11.静态场、静电场、恒定电场、恒定磁场静态场：场量不随时 间变化的场。
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？ 矢量场F穿出闭合曲面S的通量为： 当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S 内必有发出矢量线的源，称为正通量源。 当小于0时，小于 有汇集矢量线的源，称为负通量源。 当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。 1.8什么是散度定理?它的意义是什么？ 矢量分析中的一个重要定理： 称为散度定理。意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。 1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？ 矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿 的环流。 大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。 等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。 1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？ 在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系
这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面. 1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0,即F为无散场。 1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0即为无旋场 1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？ 不对。电力线可弯，但无旋。 1.14 无旋场与无散场的区别是什么？ 无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表 示矢量场的梯度，即 =0 无散场的散度处处为0，即，它是有旋涡源所产生的，它总可以表示为 某一个旋涡，即。
二章： 点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很大的带电小球的极限。当带电体的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有 体电荷，，面电荷，线电荷和点电荷 常用的电流分布模型有体电流模型，面电流模型和线电流模型他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的 2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？ 点电荷的电场强度与距离r 的平方成反比。电偶极子的电场强度与距离r 的立方成反比 简述ερ =??E 和0E =??所表征的静电场特性 ερ0 =??E ?表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。 0??=??E 表明静电场是无旋场。 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和 除以0ε与闭合面外的电荷无关，即dV dS E V S ρε??=?01? 在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 简述0=??B 和J B 0μ=??所表征的静磁场特性 0=??B ρ表明穿过任意闭合面的磁感应强度的通量等于0，磁力线是无关尾的 闭合线,J B ??0μ=??表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。 安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和0μ倍,即I dl B C 0μ=??? 如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
第一章 电磁场的基本定律 §1.1、1.2电场与高斯定律 1 库仑定律：A 平方反比。B 介电系数 2 电场强度E ：电荷为q 的载流子受到的电场力为：E q F = 点电荷限制的意义：A 不扰动被测对象，操作意义。B 最小电荷量与最小载流子 量子电动力学与宏观电动力学研究对象的不同。 3 电场的计算： 1） 点电荷：条件是线性媒质 2） 多个点电荷；叠加原理成立，意味着求和 3） 场点),,(z y x P 、r 与源点),,(z y x P '''、r '：带撇与不带撇 从源点到场点的矢径：0R R r r R ='-= 其中222)()()(z z y y x x R '-+'-+'-= 4） 连续分布电荷：A 概念：三种电荷密度、B 计算方法：求和变为积分 3 电力线：及其重要。静电场：始于正电荷或无穷远，终于负电荷或无穷远。 时变场：环，电力线环套着磁力线环，磁力线环套着电力线环。 4 高斯定律：1）通量：面积分与矢量点乘s d E d E ?=ψ s d 方向的定义：闭合曲面与非闭合曲面 2）电通量密度：E D ε=：仅适用于线性、各向异性媒质 3）高斯定律：A 关于E 与D 两种：后者于媒质无关。 ∑?==?n k k s q s d E 1 1ε ∑?==?n k k s q s d D 1 4）用高斯定律计算电场：对称性的要求，高斯面。 5．静电场的环路积分：0=??C l d E §1.3、1.4 磁场、毕澳－沙伐尔定律、安培环路定律 1．磁感应强度：1）速度为v 的运动电荷在磁感应强度为B 的磁场中受到的磁场力F d B v dq F d ?=