高一必修四：三角函数
一任意角的概念与弧度制
(一)角的概念的推广
1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。
2、特殊命名的角的定义：
(1) 正角，负角，零角：见上文。
(2) 象限角：角的终边落在象限内的角, 根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等
(3) 轴线角：角的终边落在坐标轴上的角
终边在x 轴上的角的集合：| k 180 , k Z
终边在y 轴上的角的集合：| k 180 90 , k Z
终边在坐标轴上的角的集合：| k 90 , k Z
(4) 终边相同的角：与终边相同的角x 2k
(5) 与终边反向的角：x(2k 1)
终边在y=x 轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z
终边在y x轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z
(6) 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180 k
(7) 成特殊关系的两角
若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：360 k
若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：360 k 180
若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360 k 90
注：（1）角的集合表示形式不唯一
（2）终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同•
3、本节主要题型：
1. 表示终边位于指定区间的角•
例1:写出在 720到720之间与 1050的终边相同的角•
例2:若 是第二象限的角，则2，—是第几象限的角？写出它们的一般表达形式
2
例3:①写出终边在y 轴上的集合.
② 写出终边和函数 y x 的图像重合，试写出角
的集合•
③
在第二象限角，试确定2 ,,所在的象限.
2 3
④
角终边与168角终边相同，求在［0 ,360 ）内与—终边相同的角.
3
（二）弧度制
1、弧度制的定义： —
R
2、 角度与弧度的换算公式：
360° =2
180°=
1° = 1= ° =57° 18'
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 一个式子中不能角度，弧度混用.
3、 题型
（1）角度与弧度的互化
7
4 例:315，330，，-
6
3
⑵ L , l r ，s
R
例1:已知扇形周长10cm ,面积4cm 2,求中心角 例2:已知扇形弧度数为 72 ,半径等于20cm ,求扇形的面积. 例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时，面积最大.
3
7
例 4: 1
570 , 2 750 ,
, 2
-
5 3
l|r 丄『的应用问题
2 2
a.求出i, 2弧度，象限.
任意角三角函数
（一）三角函数的定义
1、任意角的三角函数定义
正弦sin —，余弦cos —，正切tan — r r
x
2、三角函数的定义域：
（二）单位圆与三角函数线
1、单位圆的三角函数线定义
如图（1）PM表示角的正弦值，叫做正弦线。OM表示角的余弦值，叫做余弦线。
如图（2）AT表示角的正切值，叫做正切线。
注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负
（三）同角三角函数的基本关系式
同角三角函数关系式
(1)商数关系：sin tan cos
⑵平方关系：sin2cos21
（四）诱导公式
sin (2k x)sin x sin(x)sin x sin (2x)sin x
cos(2k x)cosx cos(x)cosx cos(2x)cosx
ta n(2k x)tan x tan(x)tanx tan (2x)tan x b. 1 , 2用角度表示出,并在720 ~0之间找出，他们有相同终边的所有角
sin(x)si nx si n(x)sin x cos(x)cosx cos(x)cosx tan(x)tanx tan(x)tan x
cos(1)sin1
2 1siy)cos
sin(-
2)cos cos(-
2
)sin
1 tan(
2)cot
tan』
2)cot
三三角函数的图像与性质（一）基本图像：
1正弦函数
2 •余弦函数
3. 正切函数
（二八函数图像的性质
（三）、常见结论:
[只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域，y tanx 为增函数，同样也是错误的.] 7.奇函数特有性质： 若0
x 的定义域，则f （x ） —定有| （0） 0.（ 0 x 的定义域，则无此 性质）
8•不是周期函数；y sinx 为周期函数（T ）；
y tan( x
）的对称中心（2 ，0）.
5.当 tan •
tan 1, k (k Z) 2 tan tan
1,
k
(k ;(WHY?
Z) (WHY?)
y cosx 是周期函数（如图）；y cosx 为周期函数（T ）；
1.
2.
3.
4.
sin x 与 y COSX 的周期是
sin( x )或 y cos( x )(
tan x 的周期为2
.
2
sin( x ）的对称轴方程是x cos( X
）的对称轴方程是x
0）的周期T 2
2 （ k Z ），对称中心（k ,0）；
（k Z ），对称中心（k - ,0）；
2
6.函数y
tanx 在R 上为增函数.（
1
y C0S2X
2的周期为
（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:
四和角公式 cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin sin(
) sin cos
cos sin
两角和与差的公式 tan tan tan(
)nor tan(
tan tan 1 tan tan
（一）倍角与半角公式： sin 2
2sin cos
sin — 2
H cos 1
/ 2 cos2
cos 2
sin 2
cos —
2 d cos
[
2
五倍角公式和半角公式 2cos 2 1 1 2sin 2
六三角函数的积化和差与和差化积公式
sin cos cos
sin cos cos sin sin
sin sin 2cos ------------------- sin --------- c os
2 2
七特殊角函数值
tan2 2 tan
1 tan 2
tan —
2 cos
cos sin 1 cos 1 cos sin
（二）万能公式: sin
2 tan
— 2 1 tan 2 — 2 cos
1 tan
2 —
2 1 tan 2 —
2
ta n
2ta n — 2
1 tan
2 —
2
sin sin 2sin cos --------------
2 2
sin15 cos75 sin75 cos15
■- 6 2
4
1 . sin 2
1 . sin
2 1 cos
2
1 cos 2
sin sin cos cos
cos
2si n ------- sin ------
2 2
tan 15 cot 75 2 3 tan75 cot15 2 .3
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ︒ =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα︒ ︒+<<+∈ 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα︒ ︒+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα︒︒+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα︒ ︒+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 任意角的概念 弧长公式 角度制与 弧度制 同角三角函数的基本关系式 诱导 公式 计算与化简 证明恒等式 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 已知三角函数值求角 和角公式 倍角公式 差角公式 应用 应用 应用 应用 应用 应用 应用
5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.01801≈=︒π 815730.571801'︒=︒≈︒ =π 8、角度与弧度对应表： 角度 0︒ 30︒ 45︒ 60︒ 90 120︒ 135︒ 150︒ 180︒ 360︒ 弧度 6π 4π 3π 2π 23π 34π 56 π π 2π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=⨯；面积：211 22 S l R R α=⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，22r x y =+. 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 ︒ 270 360 弧度 6 π 4π 3π 2π 23π 34π 56π π 32 π 2π sin α 0 12 22 32 1 32 22 12 1 0 cos α 1 32 22 12 12 - 2 2- 3 2- 1- 0 1 tan α 0 33 1 3 无 3- 1- 33 - 无 r y) (x,α P
三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y = αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．． 线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα。 商数关系：α ααcos sin tan =。 平方关系：1cos sin 22=+αα。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s (?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (?+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-= α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，α αα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、和差化积公式 2cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+2 sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式： 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=?? ? ??-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22 sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=??? ??--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。 2cos 2cos 2cos 2cos 22 cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=??? ??-++=
高一必修四：三角函数 一任意角的概念与弧度制 (一)角的概念的推广 1、角概念的推广：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向，旋转多少度角就是多少度角。按不同方向旋转的角可分为正角和负角，其中逆时针方向旋转的角叫做正角，顺时针方向的叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。习惯上将平面直角坐标系x 轴正半轴作为角的起始边，叫做角的始边。射线旋转停止时对应的边叫角的终边。 2、特殊命名的角的定义： (1) 正角，负角，零角：见上文。 (2) 象限角：角的终边落在象限内的角, 根据角终边所在的象限把象限角分为：第一象限角、第二象限角等 (3) 轴线角：角的终边落在坐标轴上的角 终边在x 轴上的角的集合：| k 180 , k Z 终边在y 轴上的角的集合：| k 180 90 , k Z 终边在坐标轴上的角的集合：| k 90 , k Z (4) 终边相同的角：与终边相同的角x 2k (5) 与终边反向的角：x(2k 1) 终边在y=x 轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z 终边在y x轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z (6) 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180 k (7) 成特殊关系的两角 若角与角的终边关于x 轴对称，则角与角的关系：360 k 若角与角的终边关于y 轴对称，则角与角的关系：360 k 180 若角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360 k 90
注：（1）角的集合表示形式不唯一 （2）终边相同的角不一定相等,相等的角终边一定相同• 3、本节主要题型： 1. 表示终边位于指定区间的角• 例1:写出在 720到720之间与 1050的终边相同的角• 例2:若 是第二象限的角，则2，—是第几象限的角？写出它们的一般表达形式 2 例3:①写出终边在y 轴上的集合. ② 写出终边和函数 y x 的图像重合，试写出角 的集合• ③ 在第二象限角，试确定2 ,,所在的象限. 2 3 ④ 角终边与168角终边相同，求在［0 ,360 ）内与—终边相同的角. 3 （二）弧度制 1、弧度制的定义： — R 2、 角度与弧度的换算公式： 360° =2 180°= 1° = 1= ° =57° 18' 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 一个式子中不能角度，弧度混用. 3、 题型 （1）角度与弧度的互化 7 4 例:315，330，，- 6 3 ⑵ L , l r ，s R 例1:已知扇形周长10cm ,面积4cm 2,求中心角 例2:已知扇形弧度数为 72 ,半径等于20cm ,求扇形的面积. 例3:已知扇形周长40cm ,半径和圆心角取多大时，面积最大. 3 7 例 4: 1 570 , 2 750 , , 2 - 5 3 l|r 丄『的应用问题 2 2
高中数学必修4知识点总结：第一章_三角函数 高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角? 2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k 第三象限角的集合为??k?360?180k?360?270,k 第四象限角的集合为??k?360?270k?360?360,k 终边在x轴上的角的集合为k?180,k 终边在y轴上的角的集合为k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为k?90,k??? 3、与角?终边相同的角的集合为k?360??,k??? 第一象限角的集合为?k?360k?360?90,k?? 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是?? 6、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1? 7、若扇形的圆心角为?l．r?180，118057.3．为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r，C?2r?l，11S?lr??r2． 22 8、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点?的坐标 是?x,y?，它与原点的距离是rr??0，则sinyxy，cos??，tanx?0?． rrx系9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin，cos，tan． 11、角三角函数的基本关1 1?sin2??cos2??1 2?sin??tan?cos??sin2??1?cos2?,cos2??1?sin2??；
三角函数 一、随意角、弧度制及随意角的三角函数 1．随意角 (1)角的观点的推行 ①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角． 正角 : 按逆时针方向旋转形成的角 随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角 零角 : 不作任何旋转形成的角 ②按终边地点不一样分为象限角和轴线角． 角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角． 第一象限角的会合为 k 360o k 360o 90o , k 第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k 第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k 第四象限角的会合为 k 360o 270o k 360o 360o , k 终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k 终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k 终边在座标轴上的角的会合为 k 90o ,k (2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为 k 360o , k (3)弧度制 ① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． ②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧 度． ③ 半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ，则角 的弧度数的绝对值是 l r ④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ，C 2r l ， S 1 lr 1 r 2 ． 2 2 2 ．随意角的三角函数定义 设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一 点 P(x ， y)，它与原点的距离为 r r x 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、 r r x （三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三 正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y ． 正切、四余弦） 3．特别角的三角函数值
任意角 一、知识概述 1、角的分类：正角、负角、零角. 2、象限角：〔1〕象限角. 〔2〕非象限角〔也称象限间角、轴线角〕. 3、终边一样的角的集合：所有与角终边一样的角，连同α角自身在，都可以写成α＋k·360°(k∈Z)的形式；反之，所有形如α＋k·360°(k∈Z)的角都与α角的终边一样． 4、准确区分几种角 锐角：0°<α<90°； 0°～90°：0°≤α<90°； 第一象限角：． 5、弧度角：弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角〔1 rad〕. 1 rad=，1°=rad. 6、弧长公式：l=αR. 7、扇形面积公式：. 二、例题讲解 例1、写出以下终边一样的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来： 〔1〕60°；〔2〕－21°；〔3〕363°14′． 解： 〔1〕， S中满足的元素是
〔2〕， S中满足的元素是 〔3〕， S中满足的元素是 例2、写出终边在y轴上的角的集合. 解析： ∴. 注： 终边在x轴非负半轴：. 终边在x轴上：. 终边在y=x上：. 终边在坐标轴上：. 变式：角α与β的终边关于x轴对称，那么β=_______.
答案：. 角α与β的终边关于y轴对称，那么β=_______. 答案： 任意角的三角函数 一、知识概述 1、定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P〔x，y〕，那么sinα=y，cosα=x，tanα=. 注：①对于确定的角α，其终边上取点，令，那么 . ②α的终边没有说明α一定是正角或负角，以及α的大小，只说明与α的终边一样的角所在的位置. 2、公式一：， ， ，其中. 3、三角函数线 角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，那么sinα=MP(正弦线)，cosα=OM 〔余弦线〕.过A作单位圆的切线，那么α的终边或其反向延长线交此切线于点T，那么tanα=AT〔正切线〕. 注：假设，那么.
数学必修四所有三角函数公式 “三角函数”是从古希腊数学家凯撒伯罗的一篇论文中来的，它开始于一个环状几何图形的旋转动作，因此他们又被称为“旋转函数”。三角函数在数学必修四中有着广泛的应用，其基本公式包括正弦函数公式、余弦函数公式、正切函数公式，以及余切函数公式等。 正弦函数公式： sin x=y/r 其中，x为角度值（单位为弧度），y为三角形直角边，r为斜边。此函数表示，角度X对应的正弦值为y/r。 余弦函数公式：cos x=a/r 其中，x为角度值（单位为弧度），a为三角形的邻边，r为斜边。此函数表示，角度X对应的余弦值为a/r。 正切函数公式： tan x=y/a 其中，x为角度值（单位为弧度），y为三角形的直角边，a为邻边。此函数表示，角度X对应的正切值为y/a。 余切函数公式：cot x=a/y 其中，x为角度值（单位为弧度），a为三角形的邻边，y为直角边。此函数表示，角度X对应的余切值为a/y。 此外，还有一些特殊的三角函数，比如正割函数sec x、余割函数csc x、双曲正切函数tanh x和双曲余切函数coth x等。 正割函数公式：sec x=r/a
其中，x为角度值（单位为弧度），r为三角形的斜边，a为邻边。此函数表示，角度X对应的正割值为r/a。 余割函数公式：csc x=r/y 其中，x为角度值（单位为弧度），r为三角形的斜边，y为直角边。此函数表示，角度X对应的余割值为r/y。 双曲正切函数公式：tanh x=y/(ar) 其中，x为角度值（单位为弧度），y为三角形的直角边，a为邻边，r为斜边。此函数表示，角度X对应的双曲正切值为y/(ar)。 双曲余切函数公式：coth x=ar/y 其中，x为角度值（单位为弧度），a为三角形的邻边，r为斜边，y为直角边。此函数表示，角度X对应的双曲余切值为ar/y。 三角函数的基本运算法则是： 1.sin(-x)=-sin x 2.cos(-x)=cos x 3.tan(-x)=-tan x 4.sec(-x)=sec x 5.csc(-x)=csc x 6.cot(-x)=-cot x 7.sin(π/2+x)=cos x 8.cos(π/2+x)=-sin x 9.tan(π/2+x)=-cot x 10.sec(π/2+x)=-csc x
高中数学必修 4 第一章 三角函数 ⎧⎪ ⎨⎪⎩ 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{} 360,k k ββα=⋅+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l r α= ． 6、弧度制与角度制的换算公式：2360π= ，1180π = ，180157.3π⎛⎫ =≈ ⎪⎝⎭ ． 7、若扇形的圆心角为()α α为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，
211 22 S lr r α==． 8、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ，它与原点的距离是( ) 0r r >， 则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ． 11、角三角函数的基本关 系 ()221sin cos 1 αα+=() 2 222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=-() sin 2tan cos α αα =sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛ ⎫== ⎪⎝⎭ ． 12、函数的诱导公式： ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫ +=- ⎪⎝⎭ ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将 函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数 ()sin y x ωϕ=A +的图象． ②数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变），得到函数 sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移 ϕ ω 个单位长度，得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横
高一数学必修四知识点总结 高一数学必修4知识点总结：第一章三角函数 一、任意角 1.角的有关概念： 角是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。角的名称可以简化成“α”或“∠α”（在不引起混淆的情况下）。角的分类包括正角（按逆时针方向旋转形成的角）、零角（没有任何旋转形成的角）和负角（按顺时针方向旋转形成的角）。 2.象限角的概念： 定义：角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限。不同象限角的集合分别是： 第一象限角的集合为{α | α = k*360° + α。k∈Z。0° < α < 90°}；
第二象限角的集合为{α | α = k*360° + 90° < α < k*360° + 180°。k∈Z}； 第三象限角的集合为{α | α = k*360° + 180° < α < k*360° + 270°。k∈Z}； 第四象限角的集合为{α | α = k*360° + 270° < α < k*360° + 360°。k∈Z}； 终边在x轴上的角的集合为{α | α = k*180°。k∈Z}； 终边在y轴上的角的集合为{α | α = k*180° + 90°。k∈Z}； 终边在坐标轴上的角的集合为{α | α = k*90°。k∈Z}。 3.与角α终边相同的角的集合为{β | β = k*360° + α。 k∈Z}。 二、弧度制 1.定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度。 1弧度记做1rad。弧度制是用弧度来度量角的单位制。 2.半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧 度数的绝对值是|α| = l/r。弧度制的性质包括：半圆所对的圆心
一、基础概念 1、正角、负角和零角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：不作任何旋转形成的角 2、象限角、轴线角 属于任何项限 3、角的集合：与任意角终边相同的角构成一个集合 k 360 ,k 常见结论：（1）第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 k 360o k 360o 90o,k k 360 90 180 36 0 k,k Z k 360o180o k 360o270o,k k 360o270o k 360o360o,k （2）终边在x 轴上的角的集合为 终边在y 轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 必修四三角函数 终边在y x 上的角的集合为45 k 180 ,k Z 终边在y x 上的角的集合为135 k 180 ,k Z 正角负角零角 象限角：点O 与坐标原点重合，OA与x 轴正半轴重合，当终边OB 落在第几象限就说这个角是第几象限角 轴线角：点O 与坐标原点重合，OA与x 轴正半轴重合，当终边OB 落在坐标轴上就说这个角是轴线角，这个角不 k 180o,k k 180o 90o,k k 90o,k
（3）任何一个象限角有可能是正角，也有可能是负角； 任何轴线角有可能是正角、负角、零角； 小于90 的角不一定是锐角； 大于90 的角不一定是钝角； 终边相同的角不一定相等 4、已知是第几象限角，确定（n Z）所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，n 依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域。 n 二、角度制与弧度制 1、角度制：将圆周分为360等份，每一份所对的圆心角是1 度，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制。弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫1 弧度角，这种用弧度为单位来度量角的制度叫弧度制。1 弧度记为1rad ，l r 注意：（1）度作为单位度量角时，“”度“ ”不能省略； （2）弧度作为单位度量角时，“ rad可”以省略。 2、角度与弧度的互化 180 180 1 1rad 57.3 180 30 6 45 4 60 3 90 2 120 2 3 135 3 150 5 180 270 3 360 2 4 6 2 3、扇形的弧长及面积公式 lR S1lR1R2 22
三角函数的定义 【知识梳理】 1．任意角三角函数的定义 (1)单位圆：在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆． (2)单位圆中任意角的三角函数的定义：设α是一个任意角，它的 终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y ；x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；y x 叫做α的正切， 记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 2．三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，它们统称为三角函数． 3．三角函数的定义域 4． 5．终边相同的角的同一三角函数的值 (1)终边相同的角的同一三角函数的值相等． (2)公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α， tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z . 【常考题型】 题型一、三角函数的定义及应用 【例1】 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________， tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
(1)[解析] ∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋(－12)2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝5 13， tan α＝y x ＝－12 5 . [答案] －1213 513 －125 (2)[解] 直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2＋(3)2＝2，所以sin α＝ 32，cos α＝－1 2 ，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋(－3)2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝1 2 ，tan α＝－ 3. 【类题通法】 利用三角函数的定义求值的策略 (1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． 法二：注意到角的终边为射线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝ b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2 ，正切值tan α＝b a . (2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 【对点训练】 已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝5 12，求sin α＋cos α的值． 解：根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝5 12， ∴a ＝5，∴P (12,5)．这时r ＝13， ∴sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝17 13 . 题型二、三角函数值符号的运用 【例2】 (1)若sin αtan α<0，且cos α tan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 (2)判断下列各式的符号：
§04。 三角函数 知识要点 1. ①与α(0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合):{} Z k k ∈+⨯=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： { } Z k k ∈⨯=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+⨯=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈⨯=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+⨯=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-⨯=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系:βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0。01745 1=57。30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57。30°=57°18ˊ． 1°＝180 π ≈0。01745（rad ） 3、弧长公式：r l ⋅=||α。 扇形面积公式:211||22 s lr r α==⋅扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y)P 与原点的距离为r,则 r y =αsin ； r x =αcos ； =αtan y x = αcot ； x r =αsec ；。 y r =αcsc 。 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP ； 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 16. 几个重要结论:
高中数学必修四三角函数知识点 其实数学和语文一样，需要记的东西都很多。在记数学知识点的时候，还需要学会灵活运用变通。下面是小编给大家整理的一些学习资料，希望对大家有所帮助。 高一数学必修四知识点：三角函数诱导公式 【公式一】 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 【公式二】 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 【公式三】 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα
【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 【公式六】 π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-t anα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 【高一数学函数复习资料】 一、定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b
数学必修四所有三角函数公式 三角函数是日常学习中广泛使用的数学函数，它是基于三角形的几何定义，用来描述狭义角的三角形函数，是实数解析几何和实变函数的应用的重要工具。三角函数可以根据圆的定义，进一步分为正弦函数，余弦函数和正切函数。这些函数具有描述角度位置和角速度的特殊性质，因此它们在解决一些物理和数学问题中具有重要意义。 1、正弦函数 正弦函数的定义由三角形的公式演变而来： sinα=a/c 即α角的对边a与斜边c的比值等于α角的正弦值。 圆的定义与正弦函数的定义之间有着密切的联系： sinα=y/r 即α角所在弧线与圆心到圆点的距离y与半径r的比值等于α角的正弦值。 正弦函数定义： y=sinα 即y等于α角的正弦值。 2、余弦函数 余弦函数也可以演变自三角形的公式： cosα=b/c 即α角的邻边b与斜边c的比值等于α角的余弦值。 也可以引入圆的定义：
cosα=x/r 即α角所在弧线与圆心到圆点的距离x与半径r的比值等于α角的余弦值。 余弦函数的定义： y=cosα 即y等于α角的余弦值。 3、正切函数 正切函数也可以从三角形的公式演变而来： tanα=a/b 即α角的对边a与邻边b的比值等于α角的正切值。 引入圆的概念： tanα=y/x 即α角所在弧线与圆心到圆点的距离y与x的比值等于α角的正切值。 正切函数的定义： y=tanα 即y等于α角的正切值。 它们可以概述为： 1）sinα=a/c=y/r 2）cosα=b/c=x/r 3）tanα=a/b=y/x 这三个函数可以组成一个统一的三角函数公式：
y=sinα=cosα=tanα 其中，α表示一个狭义角，a和b分别代表三角形的对边和邻边，c代表三角形的斜边，r表示圆的半径，x与y分别代表圆心到圆点的横纵距离。 三角函数在实际中的应用十分广泛，可以用于解决各种物理和数学问题，如研究轨迹问题和特殊函数，以及求解物体运动角加速度和分析空间几何等。三角函数能够清晰地描述物理问题，帮助我们更好地理解自然界的规律，它在现代科学中有着非常重要的地位。 以上就是数学必修四所有三角函数公式的内容，通过对这些公式的认识和掌握，可以更好地理解数学，为我们带来更多的收获。
高中数学必修4知识点总结 第一章：三角函数 §1.1.1、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . §1.2.1、任意角的三角函数 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么：x y x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 4、 特殊角0°，30°，45°，60°， §1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan =. 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一： ()()(). tan 2tan ,cos 2cos , sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k （其中：Z k ∈）
2、 诱导公式二： ()()().tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+ 3、诱导公式三： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin αααααα-=-=--=- 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ-=--=-=- §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、 单调性、周期性. §1.4.3、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
数学必修四所有三角函数公式 三角函数是数学中的一种重要的函数，它以角度为参数，以输出角的正弦、余弦、正切的值，它们在许多领域都有着重要的应用，如机械工程、电子计算机等等。数学必修四包括了所有三角函数的运算公式，本文将会梳理所有三角函数公式，以供大家学习使用。 首先，让我们回顾一下正弦、余弦、正切的定义：正弦函数(sin x)表示为把一个角x直角三角形的对边投射到x轴上的长度与该直角三角形的斜边长的比值；余弦函数(cos x)表示为把一个角x直角三角形的邻边投射到x轴上的长度与该直角三角形的斜边长的比值；正切函数（tan x）表示为把一个角x直角三角形的对边与邻边的比值，即tan x = sin x/cos x。 正弦函数的基本运算公式有以下几个： （1）sin（α±β）=sin cos cos sin （2）sin 2α = 2 sin cos （3）sin（α/2）=±√[(1-cos)／2] （4）sin3α = 3 sin - 4 sin3α 余弦函数的基本运算公式有以下几个： （1）cos（α±β）=cos cos sin sin （2）cos 2α= cos2α-sin2α （3）cos（α/2）=±√[(1+cosα)／2] （4）cos3α=4cos3α-3cosα 正切函数的基本运算公式有以下几个：
（1）tan（α±β）= (tanα±tanβ)／(1tanαtanβ) （2）tan 2α=2tanα／(1-tan2α) （3）tan（α/2）=±√[(1-cosα)／(1+cosα)] （4）tan3α=3tanα／(3-tan2α) 此外，数学必修四还介绍了几何性质以及反三角函数的概念与公式，几何性质指的是三角函数的角的正弦值，余弦值和正切值与其间的相互关系，如正弦函数的定义：sin2α+cos2α=1。反三角函数是 指以反三角函数的值为参数，求对应的角的值的算法公式，比如求正弦的反函数为：sin-1x=arcsin(x)，余弦的反函数为： cos-1x=arccos(x)，正切的反函数为：tan-1x=arctan(x)，反三角函数公式可以用于角度及弧度的转换，弧度≈π/180×角度，弧度转角度：θ/π×180=角度。 最后，还有一些其他的三角函数公式比如倍角公式、复合角公式，以及余割公式的概念，倍角公式指的是把某一个角的所有三角函数值放大倍数，比如：sin2α=2sinαcosα，复合角公式表示的是把一个固定角度α分成几等份，比如：sin4α=4sinαcos3α-3sin3αcos α，余割公式表示的是把角度α分割成把正弦函数和余弦函数成不同的份数，比如sin2αcos2α=1/2（sin4α+cos4α）。 以上就是数学必修四所有三角函数公式的梳理，通过本文的学习，你对三角函数有更深入的了解，掌握三角函数的公式及其概念也更加容易，希望本文能给大家带去帮助。
高中数学三角函数知识点总结实用版[1] 高中数学第四章-三角函数 在三角函数中，我们需要了解一些重要的角度集合，包括与角度α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合，终边在x轴、 y轴、坐标轴、y=x轴、y=-x轴上的角的集合。这些集合可以 用不同的数学符号表示。 在SIN\COS三角函数值大小关系图中，我们可以看到第一、二、三、四象限一半所在区域的表示方式。 通过对角度的对称性的研究，我们可以得出以下结论：若角α与角β的终边关于x轴对称，则角α与角β的关系为 α=360°k-β；若角α与角β的终边关于y轴对称，则角α与角β的关系为α=360°k+180°-β；若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系为α=180°k+β；若角α与角β的终边互相 垂直，则角α与角β的关系为α=360°k+β±90°。
我们需要了解角度与弧度的互换关系，其中360°=2π、180°=π、1°=0.=57.30°=57°18′。需要注意的是，正角的弧度数 为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。 在三角函数中，我们还需要掌握弧长公式和扇形面积公式。其中，弧长公式为l=|α|×r，扇形面积公式为s=lr=|α|×r2. 三角函数的定义是在一个任意角α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），P与原点的距离为r，则sinα=y/r， cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。需要注意 的是，三角函数在各象限的符号不同，正弦、余割在一、二象限为正，在三、四象限为负；余弦、正割在一、四象限为正，在二、三象限为负；正切、余切在一、三象限为正，在二、四象限为负。 最后，我们需要了解正弦线、余弦线、正切线的性质，以及在三角函数中|sinx|>|cosx|的重要结论。 sinx>cosx可以改写为cosx 三角函数知识点总结 1、任意角： 正角：_______________________ ; 负角：_______________________ ;零角：_______________________ ; 2、角的顶点与重合，角的始边与重合，终边落在为第几象限角. 第一象限角的集合为____________________________________ 第二象限角的集合为____________________________________ 第三象限角的集合为____________________________________ 第四象限角的集合为_______________________________________ 终边在x轴上的角的集合为______________________________ 终边在y轴上的角的集合为_______________________________ 终边在坐标轴上的角的集合为____________________________ 3、_______________________________________________________ 与角终边相同的角的集合为______________________________________________________ 4、已知是第几象限角，确定一n *所在象限的方法：先把各象限均分n等份， n 再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象 限对应的标号即为一终边所落在的区域. n 5、_____________________________ 叫做1弧度. 6半径为r的圆的圆心角所对弧的长为I，则角的弧度数的绝对值是_________ . 7、______________________________________________________________ 弧度制与角度制的换算公式：___________________________________________________ 8、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为I，周长为C，面积为S，则 1= ________________ . S= ________________ 9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距 离是r r x2y20，则sin —， cos -，tan — x 0 . r r x 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正. 11、三角函数线：. 12、同角三角函数的基本关系：⑴____________ ; ____________ ⑵_____________ 13、三角函数的诱导公式： 1 sin 2k sin ，cos 2k cos ，tan 2k tan k .必修四三角函数和三角恒等变换知识点及题型分类总结
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