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（a ）
（b ）
（c ）
x
O
第九章 质点动力学的基本方程 自测题
1. 判断正误
（1）只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就可以确定。 （ ） （2） 一个质点只要有运动，就一定有力的作用，而且运动方向就是它受力的方向。 （ ） （3）在同一地点、同一坐标系内，以相同大小的初速度0v 斜抛两质量相同的小球，若不
计空气阻力，则两者的运动微分方程一定相同。 （ ） （4）质点受到的力越大，其运动的速度就越大。 （ ） （5）在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保
持静止或匀速直线运动状态。 （ ）
2. 选择题
（1）求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来 。 A ．分析力的变化规律 B. 建立质点运动微分方程 C. 确定积分常数 D. 分离积分变量
（2）三个质量相同的质点，在相同的力F 作用下。若初始位置都在坐标原点O （如图所示），但初速度不同，则三个质点的运动微分方程 ， 三个质点的运动轨迹 。 A ．相同 B. 不同 C. 无法确定
（3） 距地面高为H 的质点M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离l 与
成正比。
A ．
H
B.
C. 2
H D. 3
H
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x
O
（4）一铅垂上抛的小球，可视为质点，已知质量为m ，空气阻力v R k ?=(k 为常数)，则对图示坐标轴Ox ，小球的运动微分方程为 。
A. x k mg x m
?= B. x k mg x m ??= C. x k mg x m
+?= D. x k mg x m +=
（5）如图，已知A 物重20N ，B 物重30N ，不计滑轮C 、D 的质量，并忽略各处的摩擦，则绳水平段的拉力为 。
A. 30N
B. 20N
C. 16N
D. 24N
3. 填空题
（1）质量为10kg 的质点，受水平力F 的作用在光滑水平面上运动，设F =3+4t （t 的单位为s ，F 的单位为N ），初瞬时（t = 0）质点位于坐标原点，且其初速度为0。则t = 3s 时，质点的位移= m ，速度= m/s 。
（2） 质量为m 物体自高H 处水平抛出，运动中受到与速度一次方成正比的R km =?F v (k 为常数)，则该质点的运动微分方程式为 ， 。
O
M x
v
第二章 习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可 伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ 2-20天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为m 1,m 2 的物体（m 1≠m 2）,天平右端的托盘上放有砝码. 问天平托盘和砝码共重若干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不伸长。 解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第二定律： f 1 N 1 m 1 g T a F N 2 m 2g T a N 1 f 1 f 2 T' T'
第十章 质点动力学基本方程 10-3 半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一质量为m 的物块A ，设偏心距e OC =，开始时OC 沿水平线。求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω最大值。 解：建立如图所示直角坐标系Oxy ，导板与物块均沿y 轴线作直 线运动，导板作平动，其运动规律为 t e R y ωsin += 对时间求二阶导数得 t e a y ωωsin 2-= 物块A 受重力m g 和导板的约束反力N F 作用如图)a (。 物块对导板的压力与N F 等值、反向、共线。由图(a)得物块A 的运动微分方程在y 轴的投影式为 ) sin (2N N t e g m F ma mg F y ωω-==- 1）物块对导板的最大压力 )(2N ωe g m F += 2）要使物块不离开导板，则应有 0)(2min N ≥-=ωe g m F 即 2ωe g ≥ 故 e g =max ω 10-7 销钉M 的质量为0.2 kg ，水平槽杆带动，使其在半径为mm 200=r 的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速mm/s 400=v 向上运动，不计摩擦。求在图示位置时圆槽对销钉M 的作用力。 解：以水平槽为动系，速度分析如图)a (，v v =e 3 24.02 330cos e a ?==?=v v v 受力与加速度分析如图(b)， 2222a n m/s 07.132.044.04 3=??=?==r v r v a M r t n a a a =+M M 向铅直方向投影，得 2t n 2 n t t n m/s 23.13079.09238.030sin 30cos m/s 616.03 30cos 30sin =+=?+?====?-?M M Mx M M M M a a a a a a a 设水平槽对M 的反力为F N ，圆槽对M 的反力为F ，则
第9章 质点动力学基本方程 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。 ( √ ) 2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。 ( × ) 3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。 ( × ) 4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。 ( √ ) 5. 凡运动的质点一定受力的作用。 ( × ) 6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。 ( × ) 二、填空题 1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。 — 2．质点动力学的基本方程是∑= i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m 2 2 ∑= n F v m ρ 2 ∑ =b F 0。 3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。 4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b =+，其中0v 为初速度，b 为常数。则作用于质点上的力=F 20 2 0() mbv b v t - +。 5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2 (1)v P gr +。 三、选择题 1．如图所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。 (A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2．如图所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。 ， (A) 0=+x m c x (B) 0)(=-+s x m c x δ 、 、
1问题一：什么是非等温试验？ 通常有等温法(也称静态法)和非等温法(也称动态法)， 等温法是较早研究化学动力学时普遍采用的方法，该法的缺点在于比较费时，并且研究物质分解时，往往在升到一定的试验温度之前物质己发生初步分解，使得结果不很可靠。在非等温法中，试样温度随时间按线性变化，它在不同温度下的质量由热天平连续记录下来。非等温法是从反应开始到结束的整个温度范围内研究反应动力学，测得的一条热重曲线与不同温度下测得的多条等温失重曲线提供的数据等同，相比于等温法，非等温法只需一个微量的试验样品，消除了样品间的误差以及等温法将样品升至一定温度过程中出现的误差，并节省了试验时间。在目前的热重分析中常采用非等温法来进行动力学的研究。 问题二：文献中常用热解动力学表达式 d (a)/dt=kf(a) ——（1） a为t时刻的分解率（材料的失重百分率）又称转化率。a=(m0-m)/(m0-m∞) k=A exp(-E/RT)——（2）β=dT／dt ——（3） 采用coats-Readferm积分法推到 Ln[g(a)/T2]=ln(AR/βE)-E/RT f(a)=(1-a)2 f(a)为分饵的固体反应物与反应速率的函数关系。设Y= Ln[g(a)/T2] X=1/T 做X，Y直线曲线，求出斜率即可得到活化能E，同时得到结局求出指前因子A。 确定g(a)的值就能得到活化能E，常用g(a)的形式很多，有的是模型，有的是反应级数，总之尝试多种方法，找到最合适的，得到更精确的线性关系。 问题三： 1单条升温速率曲线的Coats-Redfern法，跟上述方程表达式一样，可得， ln[－ln( 1 －a)/T 2] = ln[AR/βE( 1－2RT/ E) ]－E/RT( n = 1) ，（4） ln[－( 1 －a)1 －n/T2( 1 －n ) ] = ln [AR/βE (1－2RT/ E) ]－E/RT( n≠1) . （5） 因为，一般活化能 E 的数值远大于温度T，所以(1?2RT/E)≈1，则式(4)和式(5)右端第1项几乎是常数。因此，可分别取n等于0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1.0, 1.2和1.5，结合热重实验的数据得到式(4)和式(5)的左端数值，并对1/T作图，得到这些直线的线性相关系数和标准误差数据，通过对比确定出线性较好的直线，由其斜率得到活化能E。 2，多条升温速率曲线的Flynn-Wall-Ozawa 法 Flynn-Wall-Ozawa(FWO)法通过多条升温速率曲线确定动力学参数，是等转化率法、积分法的一种。 根据式（1）（2）（3）进行移项积分得到， Logβ=log[AE/RG(a)]-2.315-0.4567E/RT 由不同升温速率βi的TG 实验数据，在同一反应深度a下，找到相应的温度Ti，则lgβi 与Ti可以拟合得到一条直线，由其斜率可以得到活化能E，并且可以得到活化能随反应深度a的变化关系。（例如excel蒙古栎的四种升温速率）
·104· 第9章 质点动力学基本方程 一、是非题(正确的在括号内打“√”、错误的打“×”) 1. 凡是适合于牛顿三定律的坐标系称为惯性参考系。 ( √ ) 2. 一质点仅受重力作用在空间运动时，一定是直线运动。 ( × ) 3. 两个质量相同的物体，若所受的力完全相同，则其运动规律也相同。 ( × ) 4. 质点的运动不仅与其所受的力有关，而且还和运动的初始条件有关。 ( √ ) 5. 凡运动的质点一定受力的作用。 ( × ) 6. 质点的运动方向与作用于质点上的合力方向相同。 ( × ) 二、填空题 1．质点是指大小可以忽略不计，但具有一定质量的物体。 2．质点动力学的基本方程是∑= i m F a ，写成自然坐标投影形式为∑=τF dt s d m 2 2 ∑= n F v m ρ 2 ∑ =b F 0。 3．质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。 4．质量为m 的质点沿直线运动，其运动规律为0ln(1)v t x b b =+，其中0v 为初速度，b 为常数。则作用于质点上的力=F 20 2 0() mbv b v t - +。 5．飞机以匀速v 在铅直平面内沿半径为r 的大圆弧飞行。飞行员体重为P ，则飞行员对座椅的最大压力为2 (1)v P gr +。 三、选择题 1．如图9.6所示，质量为m 的物块A 放在升降机上， 当升降机以加速度a 向上运动时，物块对地板的压力等于( B )。 (A) mg (B) )(a g m + (C) )(a g m - (D) 0 2．如图9.7所示一质量弹簧系统，已知物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为c ，静伸长量为s δ，原长为0l ，若以弹簧未伸长的下端为坐标原点，则物块的运动微分方程可写成( B )。 (A) 0=+x m c x (B) 0)(=-+s x m c x δ (C) g x m c x s =-+)(δ (D) 0)(=++s x m c x δ 3．在介质中上抛一质量为m 的小球，已知小球所受阻力R kv =-， A a 图9.6 、 、
Page 1 of 2 Created by JiangFang, School of Technology, BJFU （a ） （b ） （c ） x O 第九章 质点动力学的基本方程 自测题 1. 判断正误 （1）只要知道作用在质点上的力，那么质点在任一瞬时的运动状态就可以确定。 （ ） （2） 一个质点只要有运动，就一定有力的作用，而且运动方向就是它受力的方向。 （ ） （3）在同一地点、同一坐标系内，以相同大小的初速度0v 斜抛两质量相同的小球，若不 计空气阻力，则两者的运动微分方程一定相同。 （ ） （4）质点受到的力越大，其运动的速度就越大。 （ ） （5）在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保 持静止或匀速直线运动状态。 （ ） 2. 选择题 （1）求解质点动力学问题时，质点的初始条件是用来 。 A ．分析力的变化规律 B. 建立质点运动微分方程 C. 确定积分常数 D. 分离积分变量 （2）三个质量相同的质点，在相同的力F 作用下。若初始位置都在坐标原点O （如图所示），但初速度不同，则三个质点的运动微分方程 ， 三个质点的运动轨迹 。 A ．相同 B. 不同 C. 无法确定 （3） 距地面高为H 的质点M ，具有水平初速度0v ，则该质点落地时的水平距离l 与 成正比。 A ． H B. C. 2 H D. 3 H
Page 2 of 2 Created by JiangFang, School of Technology, BJFU x O （4）一铅垂上抛的小球，可视为质点，已知质量为m ，空气阻力v R k ?=(k 为常数)，则对图示坐标轴Ox ，小球的运动微分方程为 。 A. x k mg x m ?= B. x k mg x m ??= C. x k mg x m +?= D. x k mg x m += （5）如图，已知A 物重20N ，B 物重30N ，不计滑轮C 、D 的质量，并忽略各处的摩擦，则绳水平段的拉力为 。 A. 30N B. 20N C. 16N D. 24N 3. 填空题 （1）质量为10kg 的质点，受水平力F 的作用在光滑水平面上运动，设F =3+4t （t 的单位为s ，F 的单位为N ），初瞬时（t = 0）质点位于坐标原点，且其初速度为0。则t = 3s 时，质点的位移= m ，速度= m/s 。 （2） 质量为m 物体自高H 处水平抛出，运动中受到与速度一次方成正比的R km =?F v (k 为常数)，则该质点的运动微分方程式为 ， 。 O M x v
理论力学动力学知识点汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
第2章 质点动力学 2．1 牛顿运动定律 一、牛顿第一定律 任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。 二、牛顿第二定律 物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比， 方向与合外力的方向相同。表示为 a m f = 说明: ⑴ 物体同时受几个力n f f f 21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。 。 ∑=+++==n i n i f f f f f 121 力的叠加原理 ⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式 x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。 ⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式 t t ma f = n n ma f = ⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。 m = 动量是矢量，方向与速度方向相同。 由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dt d dt d m m f === 【 当0=f 时， 0=dt p d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。
此结论成为质点动量守恒定律。 三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。 说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。 四、国际单位制量纲 基本量与基本单位 导出量与导出单位 五、常见的力 力是物体之间的相互作用。 力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。 " 按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。 六、牛顿运动定律的应用 用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤： （1）隔离物体，受力分析。 （2）建立坐标，列方程。 （3）求解方程。 （4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。 |