习题三
1．证明下列问题：
（1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T
m A 收敛于T A ，{}
m A 收敛于A ；
（2）若方阵级数∑∞
=0m m m A c 收敛，则∑∑∞
=∞==??
? ??00)(m m
T m T
m m m A c A c .
证明：（1）设矩阵
,,2,1,)()
(Λ==?m a A n n m ij m
则
,)()(n n m ji T
m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m
设
,)(n n ij a A ?=
则
n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?=
若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有
ij m ij m a a =∞
→)
(lim ，
则
ji m ji m a a =∞
→)(lim ，ij m ij m a a =∞
→)(lim ，n j i ,,2,1,Λ=，
故{}
T m A 收敛于T
A ，{}
m A 收敛于A .
(2)设方阵级数
∑∞
=0
m m m
A c
的部分和序列为
ΛΛ,,,,21m S S S ，
其中m
m m A c A c c S +++=Λ10.
若
∑∞
=0
m m m
A c
收敛，设其和为S ，即
S A c
m m m
=∑∞
=0
，或S S m m =∞
→lim ，
则
T T
m m S S =∞
→lim .
而级数∑∞
=0
)(m m
T
m
A c
的部分和即为T m
S ，故级数∑∞
=0
)(m m T m A c 收敛，且其和为T S ，
即
∑∑∞
=∞==??
? ??00)(m m T m T
m m m A c A c .
2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{}
1-m A ，1
-A 都存在，证明：
（1）A A m m =∞
→lim ；（2）{}1
1
lim --∞
→=A
A m
m .
证明：设矩阵
,,2,1,)()
(Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?=
若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有
ij m ij m a a =∞
→)
(lim .
(1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ，有
,lim )
(k k
kj m kj m a a =∞
→ n k ,,2,1Λ=， 故
∑-∞
→n
n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1)
()1(lim
τ
＝
∑-n
n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121)
()1(τ
，
而
∑-=
n
n
n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121)
()(2)(1)()1(τ，
∑-=
n
n n j j j nj j j j j j a a a A ΛΛΛ21212121)
()1(τ
,
故
A A m m =∞
→lim .
(2) 因为
n n m ij m m A A A ?-=
)(1)
(1，n n ij A A
A ?-=)(11. 其中)
(m ij A ，ij A 分别为矩阵m A 与A 的代数余子式.
与（1）类似可证明对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有
ij m ij m A A =∞
→)
(lim ，
结合
A A m m =∞
→lim ，
有
n n m ij m m A A ?∞
→)(1lim
)(＝n n ij A A
?)(1， 即
{}
11
lim --∞
→=A A m m .
3.设函数矩阵
????
???
???=320
1
sin cos sin )(t t e t t t t t t A t ， 其中0≠t ，计算),(),(lim 0t A dt d t A t →),
(22t A dt
d ,)(t A dt d
)(t A dt d . 解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有
（1）?????
?
?
???=?????
???????=→→→→→→→→→→001011010lim 0
lim 1lim lim lim sin lim
lim cos lim sin lim )(lim 300
200
00
0t t e t
t
t t
t t A t t t t t
t t t t t t ；
（2）?????
?
?????
?--=??????????'''''''''=22
32
30
02sin cos 1sin cos )(01)()()sin ()(cos )(sin )(t t e t t t t t t
t t e t t t t t t A dt d t t ； （3）????
?
????
?----==t e t t t t t t t A dt
d dt d t A dt d t 60
02cos 2sin )2(0cos sin ))(()(2
22
； （4）=
)(t A dt d '
3
20
1
sin cos sin t t e t
t t t t
t
)
2cos 2(sin )sin cos 2(]1)cos (sin sin 3[32t t t t t t t t t t t t t e t +--+--++=
（5）)(t A dt d ＝2
2
30
2sin cos 1sin cos t t e t t t t t t
t -- )sin cos (sin 3cos 32t t t t t e t t -+=.
4．设函数矩阵
????
?????
?=-00
302)(222x e e x xe e x A x x
x x ， 计算?1
0)(dx x A 和??
? ???20)(x dt t A dx d . 解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有
（1）?10)(dx x A ＝??
?
??
?
??????????????-0030210
1
21
1
2
10
10
2xdx dx e dx
e dx x dx xe dx e x x x
x ??????
???????
?---=-00
23011311)1(212
12
e e e ； （2）??? ???20)(x dt t A dx d ＝)(22
x xA ＝????
?????
?-00
3022
2422222
2
x e e
x e x e x x x
x
. 5.设,))(,),(),((21T n t y t y t y y Λ=A 为n 阶常数对称矩阵，Ay y y f T
=)(，
证明：
（1）
dt dy A y dt df T 2=； （2）dt
dy y y dt d T
22
2=. 证明：（1）y A y Ay y Ay y dt
df
T T T '+'='=)()(y A y Ay y T T T '+'=))((
y A y T '=2dt
dy
A y T 2=，
（2）dt
dy y yy dt d y dt d T
T 2)(2
2==. 6.证明关于迹的下列公式：
（1）
X X X tr dX d XX tr dX d T T 2)()(==； （2）T T T B B X tr dX d BX tr dX d ==)()(； （3）X A A AX X tr dX
d
T T )()(+=. 其中m m ij m n ij n m ij a A b B x X ???===)(,)()(.
证明：（1）因为
∑∑====m
i n
j ij T
T
x X X tr XX tr 112
)()(，
而
ij m i n j ij ij x x x 2)(11
2
=??∑∑==， 故
X X X tr dX
d XX tr dX d T T 2)()(== （2）因为
n n m
k kj ik x b BX ?=∑=)(1
，
则
∑∑====n j m
k kj jk T
T
x b B X tr BX tr 11
)()(，
而
ji n j m
k kj jk ij b x b x =??∑∑==)(11
， 故
T T T B B X tr dX
d BX tr dX d ==)()(. (3) 因为
,2122212
12111?????
??
?????=mn n n m m T
x x x x x x x x x X ΛM M M ΛΛ
????
?????
???????????=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========m
k kn mk m k k mk m
k k mk m
k kn k m
k k k
m
k k k m
k kn k m
k k k m
k k k x a x a
x a x a x a
x
a x a x a x a AX 112
1
11
21221
1
21
11
2111
1Λ
M M
M Λ
Λ
故
)
()()()(1
1
ln 1
1
1
1
11∑∑∑∑∑∑======++++=m l m
k kn lk m
l m k kj lk lj m l m k k lk l T
x a x x a x x a x AX X tr ΛΛ则
))(()(11
∑∑==??=??m l m
k kj lk lj ij T
ij x a x x AX X tr x )]([1
11∑∑∑===??+??=m
k kj lk ij lj m
k kj lk ij lj
m
l x a x x x a x x ∑∑==+=m
l lj li m
k kj ik x a x a 1
1
故
X A A X A AX AX X tr dX
d
T T T )()(+=+=. 7．证明：
T
T T T T T dX db a dX da b b a dX d +=)(， 其中)(),(X b X a 为向量函数.
证明：
设
T m T m X b X b X b X b X a X a X a X a ))(,),(),(()(,))(,),(),(()(2121ΛΛ==，
则
∑==m
i i i T
X b X a X b X a 1
)()()()(，
故它是X 的数量函数，设
)()()(X b X a X f T =，
有
),,,())()((21n
T
T
x f x f x f X b X a dX d ??????=Λ ?
??? ?????? ????+?????? ?
???+??=∑∑==m i n i i i n i m i i i i i x X b X a X b x X a x X b X a X b x X a 1111)()()()(,,)()()()(Λ ∑∑∑===??????=m
i i n i m i i i m
i i i X b x X a X b x X a X b x X a 1
1211))()
(,,)()(,)()((Λ ))
()(,,)()(,)()((11211∑∑∑===??????+m
i n
i i m i i i m
i i i x X b X a x X b X a x X b X a Λ
T
T T T
dX db a
dX da b +=. 8.在2
R 中将向量T
x x ),(21表示成平面直角坐标系21,x x 中的点T
x x ),(21，分别画出下列不等式决定的向量T
x x x ),(21=全体所对应的几何图形：
(1) ,11≤x (2) ，
12
≤x (3) 1≤∞x . 解：根据
,1211≤+=x x x ,12
2212
≤+=x x x
{}1,max 21≤=∞x x x ，
作图如下：
9.证明对任何n
C y x ∈,，总有
)(2
12222y x y x x y y x T T --+=
+. 证明：因为
y y x y y x x x y x y x y
x T T T T T +++=++=+)()(22
y y x y y x x x y x y x y x T T T T T +--=--=-)()(2
2
故
x y y x y x y x T T +=--+)(2
12
222 10.证明：对任意的n
C x ∈，有
12x x x
≤≤∞
.
证明：设T
n x x x x ),,,(21Λ=，则
{}n
n n x x x x x x x x
x x x x +++=+++=
=∞
ΛΛΛ2112
2
22
12
21,,,,,max
由于
{}2212
2
22
1221)(),,,(max n n
n x x x x x x x x x +++≤+++≤ΛΛΛ，
故
2
122
2x x
x
≤≤∞
，
即
12x x x
≤≤∞
.
11.设n a a a ，Λ,,21是正实数，证明：对任意n
T n C x x x X ∈=),,(21，Λ，
2
1
12??
? ??=∑=n
i i i x a X
是n
C 中的向量范数.
证明：因为 （1）,02
112≥??
?
?
?
=∑=n
i i i
x a X 且00=?=X X ；
（2）X k x a k x a k kx a kX n
i i i n
i i i n
i i i =??
?
??=??? ??=???
??
=∑∑∑===2
1122
11222
112；
（3）对于n
T n C y y y Y ∈=),,(21，Λ，
T n n y x y x y x Y X ),,(2211+++=+，Λ，
则
21
2
1
2
1
2
2
)(2Y X Y X y a x a y x a Y
X n
i i
i n
i i
i n
i i
i i +=++≤+=+∑∑∑===
故
Y X Y X +≤+.
因此2
1
12??
?
??
=∑=n
i i i x a X 是n
C 中的向量范数. 12.证明：
ij n
j i a n A ≤≤=,1m ax
是矩阵n n ij a A ?=)(的范数，并且与向量的1－范数是相容的.
证明:因为
(1) 0m ax ,1≥=≤≤ij n
j i a n A ,且O A =?0=A ;
(2) A k a n k ka n kA ij n
j i ij n
j i =≥=≤≤≤≤,1,1m ax m ax ;
(3) B A b n a n b a n B A ij n
j i ij n
j i ij ij n
j i +=+≥+=+≤≤≤≤≤≤,1,1,1m ax m ax m ax
(4)设T
n x x x X ),,,(21Λ=,则
T n
j j nj n j j j n j j j x a x a x a AX ),,,(1
1
21
1∑∑∑====Λ，
故
∑∑∑===+
++
=
n
j j nj
n
j j j
n
j j j
x a
x a
x a
AX 1
1111Λ
∑∑∑=≤≤=≤≤=≤≤+++≤n
j j nj n
j n
j j j n
j n
j j
j
n
j x a x a x
a 1
11
21111max max max Λ
11
,1max X A x
a n n
j j
ij
n
j i =≤∑=≤≤
因此ij n
j i a n A ≤≤=,1m ax 是与向量的1－范数相容的矩阵范数.
13.设n
n C
A ?∈，且A 可逆，证明：
1
1--≥A
A .
证明:由于
I AA =-1,1=I ,
则
111--≤==A A AA I ,
故
1
1--≥A
A .
14.设n
n C
A ?∈，且,1 （1）A A I -≤ --11 ) (1 ； （2）A A I A I -≤---1)(1 . 证明:(1)由于 A A I I A I 11)()(---+=-, 故 A A I I A A I I A I 111)()()(----+≤-+≤-, 即 A A I -≤ --11 )(1 . (2)因为 A I A I =-+)(, 两边右乘1 )(-+A I ,可得 11)()(--+=+-A I A A I I , 左乘A ,整理得 11)()(--+-=+A I AA A A I A , 则 111)()()(---++≤+-=+A I A A A A I AA A A I A ， 即 A A I A I -≤ ---1)(1 . 15.设C l k C B A n n ∈∈?,,,证明： （1）A l k kl kA e e e )(+=，特别地A A e e --=1 ) (; （2）当BA AB =时，B A A B B A e e e e e +==； （3） A e Ae e dt d At At At ==； （4）当BA AB =时，B A B A B A sin cos cos sin )sin(±=±. 证明:(1) ∑∑∑∞ ==-∞=+??????=+=000)()()(!1!)(n n m m n m m n n n n A l k lA kA C n n A l k e ∑∑∑∑∞=∞=∞ =∞ =+++=+=-0000)()(!!)!()! (1)()()!(1m l l m m l l m m m l lA kA m l m l m l lA kA C m l l m n lA kA l l m m m l l m e e kA l kA m lA kA m l =?? ? ????? ??==∑∑∑∑∞ =∞=∞=∞ =0000)(!1)(!1)()(!!1. 又因为 A A A A O e e e e I --+===)(, 故 A A e e --=1)(. (2)当BA AB =时,二项式公式 ∑===+n m m m n m n n B A C B A 0)( 成立，故 ∑∑∑∞ ==-∞ =+?? ? ??=+=000!1)(!1n n m m m n m n n n B A B A C n B A n e ∑∑∑∑∞=∞ =∞ =∞ =+=+=-00 00!!1)!(1m l m l m l m l m m l B A m l B A C m l l m n B A m m l l e e B m A l =?? ? ????? ??=∑∑∞=∞=00!1!1 同理，有 A B l l m m B A e e A l B m e =?? ? ????? ??=∑∑∞=∞=+00!1!1, 故 B A A B B A e e e e e +==. (3)由于幂级数 ∑∞ =0 !1 n n n t A n 对给定的矩阵A ,以及任意的t 都是绝对收敛的,且 对任意的t 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导,则 A l l l n n n n n n At Ae l t A A n t A t A n dt d e dt d ==-=??? ??=∑∑∑∞ =∞=-∞=0 110!)!1(!1, 同理，有 A e A l t A e dt d A l l l At =??? ? ??=∑∞=0 ! 故 A e Ae e dt d At At At ==. (4) 因为 Λ-+-+ +=4 32!41!31!21A iA A iA I e iA )!51 !31()!41!21(5342ΛΛ-+-+-+-=A A A i A A I A i A sin cos += 故 )(21sin iA iA e e i A --= . 又当BA AB =时， B A A B B A e e e e e +==, 则 ()() iB iA iB iA B A i B A i e e e e i e e i B A --+-+-=-= +2121)sin()()( )]sin )(cos sin (cos )sin )(cos sin [(cos 21 B i B A i A B i B A i A i ---++= B A B A sin cos cos sin += 同理，可得 B A B A B A sin cos cos sin )sin(-=- 16.求下列三类矩阵的矩阵函数2 ,sin ,cos A e A A （1）当A 为幂等矩阵(A A =2)时； （2）当A 为对合矩阵(I A =2)时； （3）当A 为幂零矩阵(O A =2 )时. 解:(1) A A =2,设矩阵A 的秩为r ,则A 的特征值为1或0, A 可对角化为 J O O O I AP P r =? ? ? ???=-1, 则 11 001 sin 1sin sin sin --? ????????? ????? ???? ?==P P JP P A O O A PJP )1(sin )1(sin 1==-， 11 111cos 1cos cos cos --?? ?? ????? ? ??????????==P P JP P A O O 110011cos 11cos 1111--????????? ? ?? ?? ? ?????--+????????????????????=P P P P O O O O A I PJP I )11(cos )11(cos 1-+=-+=- 11 112 2--???? ????? ? ????? ???? ?==P e e P P Pe e J A O O 11001 1111 1 --????????? ? ???? ? ???? ?--+??????????????? ???? ?=P e e P P P O O O O A e I PJP e I )1()1(1-+=-+=- (2) 当I A =2时，矩阵A 也可对角化,A 的特征值为1或1-, A 可对角化为 J AP P =? ????? ????????? ? ??? ?--=-11 11 1O O , 其中1有m 个. 则 11 1sin 1 sin 1 sin 1 sin sin sin --????????? ? ????? ???? ?--==P P JP P A O O A PJP )1(sin )1(sin 1==- 1 1 1cos 1 cos 1 cos 1cos cos cos --?????????? ????? ???? ?==P P JP P A O O I )1(cos = eI P e e e e P P Pe e J A =????????? ?????? ???? ?==--1 1 2 2O O (3)当O A =2 时, A 的特征值均为0,则存在可逆矩阵P ,使得 11,--==PJP A J AP P , 其中???? ? ???? ?=m J J J O 1 , 又O A =2 ,则 O P PJ A ==-122, 于是 O J J J m =??? ? ??? ?? ?=22 12O 故Jordan 块k J 的阶数最多为2,不妨设 0=k J ),,1(r k Λ=,B J k =? ? ? ???=0010),,1(m r k Λ+=, 即 ????????? ? ????? ? ??? ?=B B J O O 00 则 1=k iJ e ,1=-k iJ e ),,1(r k Λ=; ??????=101i e k iJ ,?? ? ???-=-101i e k iJ ),,1(m r k Λ+=. 故 =--k k iJ iJ e e 0),,1(r k Λ=, B i i e e k k iJ iJ 210020=? ?????=--),,1(m r k Λ+=, 则 2=+-k k iJ iJ e e ),,1(r k Λ=, I e e k k iJ iJ 22002=? ? ? ???=+-),,1(m r k Λ+=, 因此 J i B B i e e iJ iJ 210021=????????? ? ????????? ?=--O O , I e e iJ iJ 22222=????????? ? ????????? ?=+-O O , 所以 A PJP i i P e e P i e e i A iJ iJ iA iA =?=-=-= ----11)2(21 )(21)(21sin , I PIP P e e P e e A iJ iJ iA iA =?=+=+=----1122 1 )(21)(21cos , I I e e O A ==2 . 17.若矩阵A 的特征值的实部全为负，则 O e At t =+∞ →lim . 证明: 设A 的特征值为0,1,<-=+=i i i i a j j b a λ,则存在可逆矩阵P ,使 得 11,--==PJP A J AP P , 其中???? ????? ?=m J J J O 1 ,i n i i i J ??????????? ?=λλ11O O O 则 11 21--?????? ? ???? ?? ?==P e e e P P Pe e t J t J t J Jt At m O , 其中????? ? ? ? ????????? ?-=-t t t t t i n t t t J e te te e e n t te e e i i 111111 11)!1(λλλλλλλO O O M Λ 又 )sin (cos lim lim lim t b j t b e e e i i t a t t jb t a t t t i i i i +==∞ →+∞ →∞ →λ, 且0 →t t i e λ，因此O e t J t i =∞ →lim ,则O e At t =+∞ →lim . 18．计算At e 和At sin ，其中： （1）????? ?????=110010002A ； （2）??????????-=010101010A ； （3）?? ?? ??????---=6116100010A . 解:(1)设,21=J ?? ????=11012J ,则 ?? ??? ?=21 J J A . 由于 ???? ? ?=t J t At e e e 22,????? ?=t J t At 2sin 2sin sin , 且 2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义: 习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ； 习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10. 若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ， 2017—2018学年第一学期《矩阵论》试卷 (17级专业硕士) 专业 学号 姓名 得分 一．判断题（每小题3分，共15分） 1．线性空间V 上的线性变换A 是可逆的当且仅当零的原像是零， 即ker A =0。（ ） 2．实数域上的全体n 阶可逆矩阵按通常的加法与数乘构成一个 线性空间。（ ） 3．设A 是n 阶方阵，则k A ),2,1( =k 当∞→k 时收敛的充分 必要条件是A 的谱半径1)( 4． 设1][-n x P 是数域K 上次数不超过1-n 的多项式空间，求导算子D 在基12,,,,1-n x x x 以及基12)! 1(1,,!21, ,1--n x n x x 下的矩阵分别为 ， 。 5．设A 是复数域上的正规矩阵，则A 满足： ，并 写出常用的三类正规矩阵 。 三．计算题（每小题12分，共48分） 1．在3R 中，试用镜像变换（Householder 变换）将向量T )2,2,1(-=α 变为与T e )1,0,0(3=同方向的向量，写出变换矩阵。 。2012矩阵论复习题
2016矩阵论试题
矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
矩阵论答案
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
研究生矩阵论课后习题答案全习题三
矩阵论试题
2016矩阵论试题A20170109 (1)