一、选择题
［C］1.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m，速率为
v，圆半径为R，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大
小为
(A) 2
m v．(B) 2
2)
/
(
)
2(
v
v R
mg
mπ
+
(C) v/
Rmg
π．(D) 0．
［C v沿图3-16中正三角形
ABC的水平光滑轨道运动．质点越过A角时，轨道作用于质点的冲量的大小
为
(B)2m v．
m
dt=)
mv
[ B ]3. （自测提高2）质量为20 g的子弹，以400 m/s的速率沿图3-15射入
一原来静止的质量为980 g的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始
与摆球一起运动的速率为
(A) 2 m/s．(B) 4 m/s．(C) 7 m/s ．(D) 8 m/s．
提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。
2
sin30()
mv l M m lV
?=+;其中m为子弹质量，M为摆球质量，l为
摆线长度。
［C］4．（附录E考研模拟题2）体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是
(A)甲先到达．(B)乙先到达．
(C)同时到达．(D)谁先到达不能确定．
提示：取轻滑轮中心为坐标原点。
1122
M r m g r m g
=?+?=，
1122
=0
r mv r mv
?+?=常矢量（开始时）
二、填空题
5.（基础训练7）设作用在质量为1 kg的物体上的力F＝6t＋3（SI）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s?．
图3-15
6．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v
从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以
同样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v
1＝
02m v m m -
+。 (2) 第二只船运动的速度为v 2＝0
2m
v m 。
（水的阻力不计，所有速度都相对地面而言）
提示：第一跳 01
0mv m v '+= 02()mv m m v '=+ 第二跳 0101()mv m v m m v '-+=+ 0202()m m v mv m v '+=-+
7．（基础训练12）两个滑冰运动员的质量各为70 kg ，均以6.5 m/s 的速率沿相反的方向
滑行，滑行路线间的垂直距离为10 m ，当彼此交错时，各抓住一10 m 长的绳索的一端，然后相对旋转，则抓住绳索之后各自对绳中心的角动量L ＝______s kgm
/22752__________；它们各自收拢绳索，到绳长为5 m 时，各自的速率v
＝_______s m /13_________。 提示：取交错时中点为原点。系统的角动量守恒。 8．（自测提高6） 质量为m 的小球自高为y 0处沿水平方向以速率v 0抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为
21y 0，水平速率为1
v 0，如图3-19所示。(1) (2) 地面对小球的
水平冲量的大小为01
mv ．
为h 处自由下落到倾角为30°的光滑固定斜面上。设碰撞是完全弹性的，则小球对斜面的冲量的大小为，方向为垂直斜面向下。 提示：碰撞过程中斜面对小球的冲量
21I mv mv =- 212v v v ===
2cos306I mv m gh = 方向垂直斜面向上。
小球对斜面的冲量 I I '=- 10．（附录B 期终模拟题8） 湖面上有一小船静止不动，船上有一打渔人质量为60kg
，如果他在船上向船头走了4.0m ，但相对于湖底只移动了3.0m(水对船的阻力略去不计)，则小船的质量为
180kg 。
y 2
1y 图3-19
图3-20
三、计算题
11．（基础训练13）一质点的运动轨迹如图3-14所示．已知质点的质量为20 g ，在A 、B 二位置处的速率都为20 m/s ，A v
与x 轴成45°角，B v
垂直于y 轴，求质点由A 点到B 点这段时间内，作用在质点上外力的总冲量． 解：2
1
()t B A t I Fdt mv mv mv =
=?=-?
3222010[(20)20(
)]
22
i i j -=?--+ 0.2(20.22(.)i j N s =-+-
12．（基础训练14）一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点h ＝19.6 m 处炸裂成质量相等的两块．其中一块在爆炸后1秒钟落到爆炸点正下方的地面上．设此处与发射点的距离S 1＝1000 m ，问另一块落地点与发射地点间的距离是多少？（空气阻力不计，g ＝9.8 m/s 2）
解：因第一块爆炸后落在其正下方的地面上，说明它的速度方向是沿竖直方向的． 利用 2
t g t h '+
'=2
11v ， 式中t '为第一块在爆炸后落到地面的时间． 可解得 v 1＝14.7 m/s ，竖直向下．取y 轴正向向上, 有v 1y ＝－14.7 m/s 设炮弹到最高点时(v y ＝0)，经历的时间为t ，则有
S 1 = v x t （1） h=
2
2
1gt （2） 由（1）及（2）得 t =2 s , v x =500 m/s 以2v
表示爆炸后第二块的速度，由爆炸前后的动量守恒得
x v v m m x =221
（3） 0==+y y m m m v v v 1y 22
1
21 （4）
解出 v 2x =2v x =1000 m/s ， v 2y =-v 1y =14.7 m/s
再由斜抛公式 x 2= S 1 +v 2x t 2 （5） y 2=h +v 2y t 2-
2
2gt 2
1 （6） 落地时 y
2 =0，可得 t 2 =4 s , t 2＝－1 s （舍去） 故
x 2＝5000 ｍ 13．（自测提高14）一质量为m 的匀质链条，长为L ，手持其上端，使下端离桌面的高度为h 。现使链条自静止释放落于桌面，试计算链条落到桌面上的长度为l 时，桌面对链条的作用力。
图 3-14
解：取x 轴向下为正， 设t 时刻，落在桌面上的部分链条长为l m ，则有
l m m l l L
λ==
（m
L λ=为链条的质量线密度）
此时在空中的链条的速度大小
v =在dt 时间内,有dm vdt λ=链条元落在桌面上.根据动量定理
()()0l m g f dt vdt v λ-=-
()232l m l h g vdt
m
f m
g v lg v dt
L L
λλ+=+
=
+= 方向向上。 附加题：
14．（自测提高13）有一水平运动的皮带将砂子从一处运到另一处，砂子经一竖直的静止
漏斗落到皮带上，皮带以恒定的速率v 水平地运动．忽略机件各部位的摩擦及皮带另一端的其它影响，试问：
(1) 若每秒有质量为q m =d M /d t 的砂子落到皮带上，要维持皮带以恒定速率v 运动，需要多大的功率？
(2) 若q m =20 kg/s ，v ＝1.5 m/s ，水平牵引力多大？所需功率多大？
解：(1) 设t 时刻落到皮带上的砂子质量为M ，速率为v ，t+d t 时刻，皮带上的砂子质量为M+d M ，速率也是v ，根据动量定理，皮带作用在砂子上的力F 的
冲量为： v v v ?=?+-+=M M M M M t F d )0d ()d (d ∴ m q t M F ?==v v /d d
由牛顿第三定律，此力的大小等于砂子对皮带的作用力大小F '，即F '=F ．由于皮带匀速运动，所需的水平牵引力大小为F ″=F ′，因而， F " =F ，F "与v 同向，所需供给的功率为：
22/d m P F M t v q =?=?=v v v dM dt =v d
(2) 当q m ＝d M/d t=20 kg/s ，v ＝1.5 m/s 时，水平牵引力大小
F "＝v q m =30 N 所需功率为 P=v 2q m =45 W
x
第三章 动量与动量守恒定律习题 一选择题 1. 一辆洒水车正在马路上工作，要使车匀速直线行驶，则车受到的合外力：（ ） A. 必为零； B. 必不为零，合力方向与行进方向相同； C. 必不为零，合力方向与行进方向相反； D. 必不为零，合力方向是任意的。 解：答案是C 。 简要提示：根据动量定理，合力F 的冲量F d t = d p = d (m v )=m d v +v d m =v d m 。因d m <0，所以F 的方向与车行进速度v 的方向相反。 ; 2. 两大小和质量均相同的小球，一为弹性球，另一为非弹性球，它们从同一高度落下与地面碰撞时，则有：（） A. 地面给予两球的冲量相同； B. 地面给予弹性球的冲量较大； C. 地面给予非弹性球的冲量较大； A. 无法确定反冲量谁大谁小。 解：答案是B 。 简要提示：)(12v v -=m I 3. 质量为m 的铁锤竖直向下打在桩上而静止，设打击时间为?t ，打击前锤的速率为v ，则打击时铁锤受到的合外力大小应为：（） A ． mg t m +?v B ．mg C ．mg t m -?v D ．t m ?v 解：答案是D 。 ￥ 简要提示：v m t F =?? 4. 将一长木板安上轮子放在光滑平面上，两质量不同的人从板的两端以相同速率相向行走，则板的运动状况是：（） 选择题4图
A. 静止不动； B. 朝质量大的人行走的方向移动； C. 朝质量小的人行走的方向移动； D. 无法确定。 ; 解：答案是B 。 简要提示：取m 1的运动方向为正方向，由动量守恒： 02211='+-v v v M m m ，得：M m m /)(21v v --=' 如果m 1> m 2，则v ′< 0。 5. 一只猴子用绳子拉着一个和它质量相同的石头，在一水平的无摩擦的地面上运动，开始时猴子和石头都保持静止，然后猴子以相对绳子的速度u 拉绳，则石头的速率为：（） A. u B. u /2 C. u /4 D. 0 解：答案是B 。 简要提示：由动量守恒：0v v =+2211m m ，u =-12v v ；得2/2u =v 。 6. 高空悬停一气球，气球下吊挂一软梯，梯上站一人，当人相对梯子由静止开始匀速上爬时，则气球：（） A.仍静止； B.匀速上升； C.匀速下降； D.匀加速上升。 《 解：答案是C 。 简要提示：由质心运动定理，系统的质心位置不变。 7. 一背书包的小学生位于湖中心光滑的冰面上，为到达岸边，应采取的正确方法是：（） A. 用力蹬冰面 B. 不断划动手臂 C. 躺在冰面上爬行 D. 用力将书包抛出 解：答案是D 。 二填空题 { 1. 两个飞船通过置于它们之间的少量炸药爆炸而分离开来，若两飞船的质量分别为1200kg 和1800kg ，爆炸力产生的冲量为600N s ，则两船分离的相对
1、如图所示，一个小物体，位于光滑的水平桌面上，与一绳的 角速度 在半径为R的圆周上绕O旋转，今将绳从小孔缓慢往 下拉．则物体 (A) 动能不变，动量改变． (B) 动量不变，动能改变． (C) 角动量不变，动量不变． (D) 角动量改变，动量改变． (E) 角动量不变，动能、动量都改变．［ E ］ 难度：易 2、一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距离分别是R A和R B．设卫星对应的角动量分别是L A、L B，动能分别是E KA、E KB，则应有 (A) L B > L A，E KA > E KB． (B) L B > L A，E KA = E KB． (C) L B = L A，E KA = E KB． (D) L B < L A，E KA = E KB． (E) L B = L A，E KA < E KB． ［ E ］ 难度：中 3、假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的 (A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒． (C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量不守恒，动量也不守恒． (E) 角动量守恒，动量也守恒． ［ A ］ 难度：易 4、若作用于一力学系统上外力的合力为零，则这种情况下一定守恒的物理量是： (A) 动量． (B) 角动量． (C) 机械能． ［ A ］ 难度：易 5、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中正确的是： (A) 在圆轨道的各点上它的速度相等．
(B ) 在圆轨道的各点上它受的力相等． (C) 在圆轨道的各点上它的动量相等． (D) 在圆轨道的各点上它对圆心的角动量相等． ［ D ］ 难度：易 6、在水平面内作匀速圆周运动的物体，下列各种论述中错误的是： (A) 在圆轨道的各点上它受的力不相等． (B) 在圆轨道的各点上它的动量不相等． (C) 在圆轨道的各点上它的速度不相等． (D) 在圆轨道的各点上它的动能不相等． ［ D ］ 难度：易 7、一单摆，在摆动过程中，若不计空气阻力，则： (A) 摆球的动能守恒． (B) 摆球对悬点的角动量守恒． (C) 摆球的动量守恒． (D) 摆球的机械能守恒． ［ D ］ 难度：易 8、一物体质量为10 kg，在力F＝3＋4t(SI)作用下从静止开始作直线运动，则3s末物体速度的大小： (A) 1.8m/s．(B) 2.7m/s． (C) 3.6m/s．(D) 4.5m/s． ［ B ］ 难度：中9、足球运动员用头顶球，球的质量约为0.5kg，迎面飞来的球的速率为5m/s，顶回的速率为4m/s，若运动员与球接触的时间为0.25s，那么，运动员头部受到的平均冲力大小为： (A) 1 N．(B) 2 N． (C) 9 N．(D) 18 N． ［ D ］ 难度：中
第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系
总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，
第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 § 6.1 电子自旋 § 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 § 6.3 角动量的耦合 § 6.4 电子的总动量矩 § 6.5 光谱线的精细结构 § 6.6 塞曼效应 § 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基K 态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP 上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于s 态的氢原子，轨道角动量为零，s 态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M ，则它在沿z 方向的外磁场H 中的势能为 cos U M H MH θ=-=- （6.1.1） θ为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子z 方向所受到的力为 cos z U H F M z z θ??=- =?? （6.1.2） 实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于cos 1θ=+ 和cos 1θ=-两个值。 为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： ① 每个电子都具有自旋角动量S ，S 在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间 的任意方向取为z 方向，则 2z S =± （6.1.3） ② 每个电子均具有自旋磁矩s M ，它与自旋角动量之间的关系为 s s e e M S M S m mc =-=- （SI ） 或 (C G S)（6.1.4） s M 在空间任意方向上的投影只能取两个值：
冲量 动量与角动量 3-1-1. 两辆小车A 、B ，可在光滑平直轨道上 运动．第一次实验，B 静止，A 以0.5 m/s 的速率 向右与B 碰撞，其结果A 以 0.1 m/s 的速率弹回， B 以0.3 m/s 的速率向右运动；第二次实验，B 仍静止，A 装上1 kg 的物体后仍以 0.5 m/s 的速率与B 碰撞，结果A 静止，B 以0.5 m/s 的速率向 右运动，如图．则A 和B 的质量分别为 (A) m A =2 kg , m B =1 kg (B) m A =1 kg , m B =2 kg (C) m A =3 kg , m B =4 kg (D) m A =4 kg, m B =3 kg ［ ］ 3-1-2. 质量为20 g 的子弹沿X 轴正向以 500 m/s 的速率射入一木块后，与木块一起仍沿X 轴正向以50 m/s 的速率前进，在此过程中木块所受冲量的大小为 (A) 9 N·s . (B) -9 N·s ． (C)10 N·s ． (D) -10 N·s ． ［ ］ 3-1-3. 质量分别为m A 和m B (m A >m B )、速度分别为A v 和B v (v A > v B )的两质点A 和B ，受到相同的冲量作用，则 (A) A 的动量增量的绝对值比B 的小． (B) A 的动量增量的绝对值比B 的大． (C) A 、B 的动量增量相等． (D) A 、B 的速度增量相等． ［ ］ 3-1-4. 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车，向东南（斜向上）方向发射一炮弹，对于炮车和炮弹这一系统，在此过程中（忽略冰面摩擦力及空气阻力） (A) 总动量守恒． (B) 总动量在炮身前进的方向上的分量守恒，其它方向动量不守恒． (C) 总动量在水平面上任意方向的分量守恒，竖直方向分量不守恒． (D) 总动量在任何方向的分量均不守恒． 3-1-5. 质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图示方向射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． ［ ］ 3-1-6. 一质量为M 的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上， 如图．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运
动量、角动量 一．选择题： 1．动能为E k 的Ａ物体与静止的Ｂ物体碰撞，设Ａ物体的质量为Ｂ物体的二倍，m B A m 2=。若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为 （Ａ）E k （Ｂ）k E 21 （Ｃ）k E 31 （Ｄ）k E 32 [ ] ２．质量为m 的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率为v 的 匀速圆周运动，如图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （Ａ）2m v (B)-2m v (C)i mv 2 (D) i mv 2- [ ] ３．Ａ、Ｂ两木块质量分别为m A 和m B ，且A B m m 2=，两者用一轻弹簧连 接后静止于光滑水平面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块动能之比E kA /E kB 为 (Ａ)21 （Ｂ）２ （Ｃ）2 （Ｄ）22 [ ] ４．质量分别为m 和m 4的两个质点分别以动能E 和4E 沿一直线相向运动， 它们的总动量大小为 （Ａ）2mE 2 (B) 3mE 2 (C) 5mE 2 (D) (2mE 2)12- [ ] 5.力i t F 12=（ＳＩ）作用在质量kg m 2=的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在３秒末的动量应为： （A ）s m kg i /54?- (B) s m kg i /54? (C) s m kg i /27?- (D) s m kg i /27? [ ] B v
6.粒子Ｂ的质量是粒子Ａ的质量的４倍。开始时粒子Ａ的速度为（34+）， B 粒子的速度为（2j i 7-），由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为（7j i 4-），此时粒子B 的速度等于 （A ）j i 5- （B ） j i 72- （C ）0 （D ）j i 35- [ ] 7．一质点作匀速率圆周运动时， （A ） 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B ） 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [ ] 8．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用L 和E k 分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应有 (A)L B A L >,E kB kA E > （B ）L kB kA B A E E L <=, （C ）L kA B A E L ,=>E kB （D ）L kB kA B A E E L <<, [ ] 9．已知地球的质量为m ，太阳的质量为M ，地心与日心的距离为R ，引力常 数为G ，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为 （A ）m GMR （B ） R GMm （C ）Mm R G （D ）R GMm 2 [ ] 10．体重相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳子两端。 当他们向上爬时，在某同一高度，相对于绳子，甲的速率是乙的两倍，则到达顶点的情况是 （A ）甲先到达。 （B ）乙先到达。 （C ）同时到达。 （D ）谁先到达不能确定。 [ ] 11．一力学系统由两个质点组成，它们之间只有引力作用。若两质点所受外 力的矢量和为零，则此系统 (A)动量、机械能以及对一轴的角动量都守恒。 (B)动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能断定。 (C)动量守恒，但机械能和角动量守恒与否不能断定。
散射简介 散射实验在近代物理学的发展中起了特别重要的作用。 特别是在认识原子、分子、核及粒子的结构性质方面，Rutherford的粒子散射→原子的结构。 从此揭开了原子结构的新篇章，夫兰克赫兹实验证明了玻尔关于原子有定态的假设，原子很小，很难看到其微观结构，只能通过粒子与其作用，探测其性质，结构,就像用石头探水深，投石问路的方式探测其结构。 散射现象也称为碰撞现象 通过散射表现出的宏观现象，研究靶的结构性质 散射过程的一些基本概念 ①一个粒子与另一粒子碰撞的过程中，只有动能变换，粒子内部状态无改变态，则称为弹性碰撞（散射）若碰撞中粒子内部状态有所改变，如原子被激发或电离，则为非弹性碰撞，注意和经典物理中物体碰撞的比较。 ②粒子和另一粒子的散射实质是粒子与力场的作用，微观原子为靶时，实质是粒子与原子的作用，场电、电场、核力确定 原子、粒子很小靶粒子称为散射中心，当靶A的质量能入射粒子质量大得多时，可忽略靶的运动。这样以来入射粒了受A的作用偏离原来运动方向，发生散
射于原来方向的夹解θ，为散射角，如以极坐标描述，取入射粒子流方向为z 轴，则θ用就为散射角。 研究dn 单位时间内散射到面积元ds 上的粒子数dn ，当r 一定时，取求面上面积元ds 则，当r 变化时2ds r ∞ ∴2ds dn d r ∞ =Ω 即与ds 所张的立体角成正比，同时dn 与入射粒子流强度N 成正比 N 定义，单位时间穿过单位横截面的粒子数 d n N d ∞Ω 一般情下，不同方向(,)θ?散射到的粒了数不同 (,)d N q N d θ?=Ω (,)dn q Nd θ?=Ω 当N 一定时，单位时间散射到(,)θ?方向立体角ds 内的 粒子数dn 由(,)q θ?确定，(,)q θ?与入射粒子，散射中心的性质等有关 (,)q θ?的量纲为2L 面积 (,)dn q Nd θ?= Ω (,)q θ?称为微分散射截面 一个粒子(,)q d θ?Ω散到(,)θ?方向d Ω立体内的几率 N 个粒子 (,)q Nd θ?Ω散到(,)θ?方向d Ω立体内的个数 N 为单位时间入射粒子则(,)q Nd θ?Ω单位时 个数 将(,)q d θ?Ω对所有方向积分 2(,)(,)sin o o Q q d q d dp ππ θ?θ?θθ=Ω=??? 称为总截面 取散射中心为坐标原点，用()U r 表示入射粒子与散射中心之间的相互作用
) s 习题4 4-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。在质点旋转一周的过程中，试求： （1）质点所受合外力的冲量I ； （2）质点所受张力T 的冲量T I 。 解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中， 速度没有变化，12v v = ，由I mv =? ， ∴旋转一周的冲量0I = ； （2）如图该质点受的外力有重力和拉力， 且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量： 2cos T I T j mg j πθτω =?=? 所以拉力产生的冲量为2mg πω ，方向竖直向上。 4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。已知其中一力 F 方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。求： （1）力F 在1s 到3s 间所做的功； （2）其他力在1s 到3s 间所做的功。 解：（1）半椭圆面积?====?=????v t F v t Fv x F x F A d d d d J 6.125402012 1 4==???=ππ （2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的 总功为零，所以当该F 做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。 4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为 cos sin r a t i b t j ωω=+ ，求： （1）质点在任一时刻的动量； （2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。 解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而dr v dt == sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；
第七章电子自旋角动量 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性修正的效应。 本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶非相对论近似，以便导出Schrodinger 方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。于是，现在从Schrodinger 方程出发研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger 方程上。到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）物理根源的了解依然并不很透彻1。 §7.1 电子自旋角动量 1, 电子自旋的实验基础和其特点 早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子21 的跃迁存在两条彼此很靠 p s 近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912 1杨振宁讲演集，南开大学出版社，1989年 155
156 年反常Zeeman 效应，特别是氢原子谱线在磁场中的偶数重分裂 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互作用来解释，因为这只能将谱线分裂为()21l +奇数重；1922年Stern —Gerlach 实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz 力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据分裂情况的实测结果为 B ±μ，数值为 Bohr 磁子。 在上述难以解释的实验现象的压力下，1925年Uhlenbeck 和Goudsmit 大胆假设：电子有一种内禀的（相对 于轨道角动量而言）角动量,s ，其数值大小为2 ，这种内禀 角动量在任意方向都只能取两个值，于是有2 z s =± 。他们认 为这个角动量起源于电子的旋转，因此他们称之为自旋。为 使这个假设与实验一致，假定电子存在一个内禀磁矩μ 并且 和自旋角动量s 之间的关系为（电子电荷为-e ） （7.1） 这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电 子便具有了m,e,s,μ 共四个内禀的物理量。根据实验事实用外
第三章 动量与角动量 一、选择题 [ A ] 1．（基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：假设斜面以V 向右运动。由水平方向动量守恒得 0(cos )0m V m V v θ+-= ，而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2mv ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?=? ， v R T π2= [ B ]3. （自测提高2）质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-15入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后开 始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 ［D ］4．（自测提高4）用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 ' t 为下拉力作用时间，由于' t t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 5．（基础训练8）静水中停泊着两只质量皆为0m 的小船．第一只船在左边，其上站一质量为m 的人，该人以水平向右速度v ? 从第一只船上跳到其右边的第二只船上，然后又以同 样的速率v 水平向左地跳回到第一只船上．此后 (1) 第一只船运动的速度为v ? 1＝ 02m v m m - +v 。 (2) 第二只船运动的速度为v ? 2＝0 2m v m v 。（水的阻力不计，所有速度都 m m 0 图3-11 ?30v ?2 图3-15 θ m v ? R
０一叶一世界 第四章 动量和角动量 §4.1 动量守恒定律 一、冲量和动量 1.冲量 定义：力的时间积累。 dt F I d =或? =21 t t dt F I 2.动量 定义：v m P = 单位：kg.m/s 千克.米/秒 二、动量定律 1.质点动量定理 内容：质点所受的合外力的冲量等于质点动量的改变量。 冲量的方向与动量改变量的方向相同。 在直角坐标系下的表示 平均冲力：1 22 1 t t dt F F t t -= ? 1 212 t t P P --= 2.质点系动量定理 系统所受合外力的冲量等于系统总动量的改变量。 三、动量守恒定律 条件：若系统所受的合外力0=合F ，则： 结论：= ∑i i i v m 恒量
１一叶一世界 四、碰撞 1、恢复系数 10 201 2v v v v e --= 2、碰撞的分类 完全弹性碰撞 0=e 机械能不损失 完全非弹性碰撞 1=e 机械能损失 完全弹性碰撞 10< 第六章自旋和角动量 非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功。用薛定谔方程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。但是，更进一步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，用前面几章的理论无法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道角动量。新的实验事实表明，电子还具有自旋角动量。 在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加的量子数引入的。本章只是根据电子具有自旋的实验事实，在定薛谔方程中硬加入自旋。本章的理论也只是局限在这样的框架内。以后在相对论量子力学中，将证明，电子的自旋将自然地包含在相对论的波动方程—狄拉克方程中。电子轨道角动量在狄拉克方程中不再守恒，只有轨道角动量与自旋角动量之和，总角动量才是守恒量。 本章将先从实验上引入自旋，分析自旋角动童的性质，建立包含自旋在内的非相对论量子力学方程—泡利方程。然后讨论角动量的藕合，并进一步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电子在磁场中的一些其他的有趣的重要现象作些探讨。 §6. 1电子自旋 施特恩(Stern)一盖拉赫(Gerlach)实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一，如图6.1.1，由K源射出的处于s态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片PP上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线.这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转.由于这是处于s态的氢原子，轨道角动量为零,s态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，这是一种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为M，则它在沿z方向的外磁场中的势能为 U= -M =Mcos (6.1.1) 为外磁场与原子磁矩之间的夹角。按(6.1.1)式，原子在z方向所受的力是 F z=-=Mcos (6.1.2) 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos=+1和-1两个值。 为了解释旋特恩一格拉赫实验，乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)提出了电子具有自旋角动量的说法，他们认为: (1) 每个电子都具有自旋角动量S,S在空间任何方向上的投影只能取两个值.若将空间的任意方向取为z方向，则 S z=±/2 (6.1.3) (2) 每个电子均具有自旋磁矩M s，它与自旋角动量之间的关系是 动量与角动量 动量、角动量 一．选择题： 1．动能为的Ａ物体与静止的Ｂ物体碰撞，设Ａ物体的质量为Ｂ物体的 二倍，。若碰撞为完全非弹性的，则碰撞后两物体总动能为 （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） [ ] ２．质量为的小球在向心力作用下，在水平面内作半径为Ｒ、速率 为的匀速圆周运动，如图所示。小球自Ａ点逆时针运动到Ｂ点的半周内，动量的增量应为： （Ａ）2m (B)-2m (C) (D) [ ] ３．Ａ、Ｂ两木块质量分别为和，且，两者用一轻弹 簧连接后静止于光滑水平面上，如图所示。若用外力将两木块压近使弹簧被压缩，然后将外力撤去，则此后两木块动能之比/为 (Ａ) （Ｂ）２ （Ｃ） （Ｄ） [ ] ４．质量分别为和的两个质点分别以动能E 和4E 沿一直线相向 运动，它们的总动量大小为 （Ａ）2 (B) 3 E k m B A m 2=E k k E 21k E 31k E 32m v v j v j i mv 2i mv 2-m A m B A B m m 2=E kA E kB 21 222m m 4mE 2mE 2y O A B X A v v v m m (C) 5 (D) (2 [ ] 5.力（ＳＩ）作用在质量的物体上，使物体由原点从静止开始运动，则它在３秒末的动量应为： （A ） (B) (C) (D) [ ]6.粒子Ｂ的质量是粒子Ａ的质量的４倍。开始时粒子Ａ的速度为（3），B 粒子的速度为（2），由于两者的相互作用，粒子A 的速度变为 （7），此时粒子B 的速度等于 （A ） （B ） （C ）0 （D ） [ ] 7．一质点作匀速率圆周运动时， （A ） 它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B ） 它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D ） 它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [ ]8．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动，卫星轨道近地点和远地点分别为A 和B 。用和分别表示卫星对地心的角动量及其动能的瞬时值，则应 mE 2mE 2)12-i t F 12=kg m 2=s m kg i /54?- s m kg i /54? s m kg i /27?- s m kg i /27? j i 4+j i 7-j i 4-j i 5-j i 72-j i 35-L E k 光的自旋角动量产生的力学效应 李银妹 中国科学技术大学物理系 1.引言： 光具能量和动量，光的动量包括线性动量和角动量[1]。携带有角动量的光束与物体相互作用，就可能有角动量的交换，这时物体就受到一个力矩的作用，只要这力矩大于作用在物体上的其它阻力矩，就会使物体产生旋转运动。 光的角动量包括轨道角动量和自旋角动量。光的轨道角动量与光场的特定空间分布相联系，自旋 角动量则取决于光束的偏振状态。 光束的偏振状态不同，光子的平均自旋角动量就不同。也就是说，光束携带的自旋角动量的大 小和方向取决于光束的偏振状态。光束的偏振态发生了改变，意味着它所携带的自旋角动量有了变化。一束携带有自旋角动量的光束与物体相互作用，光束的偏振态可能发生变化，相应的角动量也 就发生了变化，根据角动量守恒定律，物体的角动量也要同时发生变化，这将导致有一个力矩作用 在物体上，使它发生旋转。这种基于自旋角动量的交换或传递实现的光致旋转，既与入射光的偏振 状态有关，也与物体微粒的光学性质有关。 光致旋转是实现微机械马达的有效手段，光致微机械马达可以避免电磁驱动机械马达的操控空 间小、附加零件多等缺点，可发展成为新的马达运动的驱动源。光致旋转可实现微粒的转动操作， 特别是双折射晶体微粒在线偏振光束下的定位现象，加强了对粒子转动的可控性，可能会在生物学 领域为寻找特异受体结合位点提供方便。实现光致旋转的方法已发展有很多，初步展示了光致旋转 在微纳科技领域的应用前景。 本实验通过改变入射光的偏振性质来改变它携带的自旋角动量，研究光与双折射晶体粒子相互 作用产生的光致旋转效应，观察和测量由自旋角动量引起的扭转力矩的大小，方向以及粒子的旋转 速度等力学效应。使学生对光携带角动量的基本属性和光致旋转现象直观的了解和认识。 2．实验目的 1 了解光的自旋角动量产生光致旋转现象的原理 2 对光致旋转现象有一直观认识 3 掌握光镊的具体调节方法 3．实验预备知识 1 有力学、光学、量子力学基础 2 着重复习五种偏振态的特点及波片的作用 3 了解光的自旋角动量及其特点 4．实验原理 4．1自旋角动量的传递与扭力矩 一、选择题 [ A ] 1． （基础训练2）一质量为m 0的斜面原来静止于水平光滑平面上，将一质量为m 的木块轻轻放于斜面上，如图3-11．如果此后木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动． 提示：水平方向动量守恒 0(cos )0m V m V v θ+-=而0v =，得0V = ［C ］2.（基础训练3）如图3-12所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 2 2)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． ［C ］3．（自测提高1）质量为m 的质点，以不变速率v 沿图3-16中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 (A) m v ． (B) ． (C) ． (D) 2m v ． )mv [ B ]4. （自测提高2）2、质量为20 g 的子弹，以400 m/s 的速率沿图3-17射入一原来静止的质量为980 g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入后 开始与摆球一起运动的速率为 (A) 2 m/s ． (B) 4 m/s ． (C) 7 m/s ． (D) 8 m/s ． 提示：对摆线顶部所在点角动量守恒。 2sin 30()mv l M m lV ?=+;其中m 为子弹质量，M 为摆球质量，l 为 摆线长度。 二、填空题 5. （基础训练7）设作用在质量为1 kg 的物体上的力F ＝6t ＋3（SI ）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝18N s ?． 图3-11 图3-17 Chapter 8 Spin-Orbit Interaction 8.1Origin of spin-orbit interaction Spin-orbit interaction is a well-known phenomenon that manifests itself in lifting the degeneracy of one-electron energy levels in atoms,molecules,and solids.In solid-state physics,the nonrelativistic Schr¨o dinger equation is frequently used as a ?rst approximation,e.g.in electron band-structure calculations.Without relativistic corrections,it leads to doubly-degenerated bands,spin-up and spin-down,which can be split by a spin-dependent term in the Hamiltonian.In this approach,spin-orbit interaction can be included as a relativistic correction to the Schr¨o dinger equation. Let us brie?y review the origins of this correction,following approach of Ref.[80].For this purpose one has to consider the Dirac equation,which is the basic equation for electronic systems,including the electron spin and its rela-tivistic behavior.One obtains the Dirac equation by linearizing the relativistic generalization of the Schr¨o dinger equation.It is Lorentz-invariant and describes the electron spin and spin-orbit coupling from ?rst principles.One naturally arrives at the Dirac equation when starting from the relativistic expression for the kinetic energy H 2=c 2p 2+m 2c 4.(8.1) Inclusion of the electric and magnetic potentials,φand A ,by substituting p ?(ε)2=(c p ?εA )2ing p and H as op erators p =?i 第二章 运动的守恒量和守恒定律 （动量与角动量） 一、选择题 ［ C ］1、质量为m 的质点，以不变速率v 沿图中正三角形ABC 的水平光滑轨道运动．质点越过A 角时，轨道作用于质点的冲量的大小为 (A) m v ． (B) 2mv ． (C) 3mv ． (D) 2m v ． 提示：)(122 1 v m v m v m dt f I t t ?=-==? ［ C ］2、如图所示，圆锥摆的摆球质量为m ，速率为v ，圆半径为R ，当摆球在轨道上运动半周时，摆球所受重力冲量的大小为 (A) 2m v ． (B) 22)/()2(v v R mg m π+ (C) v /Rmg π． (D) 0． 提示：2T mg I G ?= ， v R T π2= ［ C ］3、体重、身高相同的甲乙两人，分别用双手握住跨过无摩擦轻滑轮的绳 子各一端．他们从同一高度由初速为零向上爬，经过一定时间，甲相对绳子的速率是乙相对绳子速率的两倍，则到达顶点的情况是 (A)甲先到达． (B)乙先到达． (C)同时到达． (D)谁先到达不能确定． 提示：1122 0M r m g r m g =?+?= ， 1122=0r mv r mv ?+?= 常矢量（开始时） ［ D ］4、用一根细线吊一重物，重物质量为5 kg ，重物下面再系一根同样的细线，细线只能经受70 N 的拉力.现在突然向下拉一下下面的线.设力最大值为50 N ，则 (A)下面的线先断． (B)上面的线先断． (C)两根线一起断． (D)两根线都不断． 提示：下面的细线能承受的拉力大于所施加的最大力，所以下面的细线不断。 对重物用动量定理： 0' ' ' =--? ?? ++dt T mgdt dt T t t t t t 下上 't 为下拉力作用时间，由于't t >>，因此，上面的细线也不断。 二、填空题 1 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为t F 3 1044005 ?-= (SI)，子弹从枪口射出时的速率为 300 m/s ．假设子弹离开枪口时合力刚好为零，则：(1)子弹走完枪筒全长所用的时间t= s 3 103-?__，(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I ＝ s N .1061 -?_____，(3)子弹的质量m ＝__kg 3102-?_______． A C B m v R第六章 自旋和角动量
动量与角动量
光的自旋角动量产生的力学效应
第03章 动量与角动量(答案)-2013
自旋轨道角动量耦合
大学物理- 动量与角动量(答案)1
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