名校联考
2021 届新高三第一次调研考试
数学（理科）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A ={x x2 - 4x + 3 = 0}，B = {2，3，4} ，则A B =
A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3，4}
2．已知1+i是关于x的方程ax2 +bx + 2 = 0（a ，b∈R ）的一个根，则a +b = A．-1 B．1 C．-3D．3
3．等比数列{a n}中，a=1
, q = 2 ，则a 与a 的等比中项是
2 4 4 8
A．±4 B．4 C．±1
4
D．
1
4
4.罗德岛太阳神巨像是古代世界七大奇迹之一。
它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像，高
约33 米。如图所示，太阳神赫利俄斯手中
所持的几何体（含火焰）近似是一个底面相
同的倒立的两个圆锥，正方向投影过去，
其平面几何图形形状为一个角为60°，边长
为2 的菱形。现在其中一个圆锥中放置一个
球体，使得球与母线、底面相切，则该球球
的表面积为
A.
4 π
9B.
4 π
3
C.
8 π
3
D.
16 π
3
5．要得到函数 y = sin x 的图象，只需将函数
y = cos ? x - π ? 的图象 3 ? ? ?
A ．向右平移π 个单位
B ．向右平移π
个单位
6 3 C ．向左平移π
个单位 D ．向左平移π
个单位3 6
6．按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是 A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 3
7．总体由编号为 01,02，...，39，40 的 40 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 （如右表）第
1 行的第 4 列和第 5 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为A ．23 B ．21 C ．35
D ．32
8．在空间中，a 、b 、c 是三条不同的直线， α 、β 不同的平面，则下列命题中的真命题是 A ．若 a ⊥c ，b ⊥c ，则 a ∥b
B ．若 a ? α ，b ? β ， α ⊥ β ，则 a ⊥b
C ．若 a ∥ α ，b ∥ β ， α ∥ β ，则 a ∥b
D ．若α ∥ β ，a ? α ，则 a ∥ β
9．抛物线 y ＝－4x 2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是
17 15 7 15 A ．－16 B ．－16 C ．16 D ．16
10．甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相，则甲、乙两人中至少有一人
x - = > > ? ?
站在两端的概率为
A ． 5
6
B ． 1
2
C ． 1
3
D ． 2
3
x 2 y 2
11 1(a 0,b 0)
(x -1)2 + y 2 = sin 2130
．已知双曲线 a 2 b
2
的渐近线与圆
相
切，则该双曲线的离心率等于
A ．
1 sin 50
B ．
1
cos 50
C ． 2sin 50
D ． 2cos50
12．若函数 f (x ) = a 1nx ,(a ∈ R ) 与函数 g ( x ) = ，在公共点处有共同的切
线，则实数a 的值为 A ．4
B ．
1
C ．
e D ．
e 2 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知函数 y = f (x ) 为奇函数，若 f (3) - f (2) = 1，则
f (-2) - f (-3) = ．
? x - y ≤ 0
14．已知 x ，y 满足线性约束条件 ? x + y ≤ 1 ，则 z = x + 2 y 的最大值 ．
? x ≥ 0
15. 在棱长为 3 的正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，点 M ，N 分别是棱 B 1C 1，
C 1
D 1 的中点，过 A ，M ，N 三点作正方体的截面，将截面多边形向平面
ADD 1A 1 作投影，则投影图形的面积为 .
16. 设数列{a n } 满足 a 1=2,a 2=6， 且 a n+2—2a n +1+a n =2，若[x ]表示不超过 x
的最大整数，则a
= ?；则? 2020 + 2020 + + 2020 ? = ?.
4
?
? a 1
a 2 ? a 2020 ?
（本题第一空 2 分，第二空 3 分.）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．第 17～21 题为必考题。每道试题考生都必须作答．第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（12 分）
如图，在菱形 ABCD 中，AB ＝5，BD ＝8，对角线 AC 与BD 交于点O ，
点E ，F 分别在AD ，CD 上，满足 AE ＝ CE ＝ 1
，EF 交BD 于点H ．将
ED FD 2
△DEF 沿EF 折到?D 'EF 的位置， BD ' ＝
8 5
． 3
（Ⅰ）证明： D 'F ⊥BH ；
（Ⅱ）求BD ' 与平面 ACD ' 所成的角的正弦值．
18.（12 分）
如图，考虑点A （1，0）， P 1 (cos α, sin α), P 2 (cos β,- sin β),
P (cos(α + β),sin(α + β))，从这个图出发，解决下列问题： （1）推导公式： cos(α + β) = cos α cos β - sin α sin β
（2）利用（1）的结果证明： cos αcos β = 1
[cos(α + β) + cos(α - β)]
2
并计算sin 37.5 cos 37.5 的值.
y P
P 1
β
O α
β
A (1,0)
x
P 2
习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫” 概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为实现有效利用扶贫资金，
增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为0. 8.鱼苗乙、丙的自然成活率均为0. 9，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.
（1）试验时从甲、乙，丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为X ，
求X 的分布列和数学期望；
（2）试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n 尾乙种鱼苗进行大面积养殖，为提高鱼苗的成活率，工作组采取增氧措施，该措施实施对能够自然成活的鱼苗不产生影响.使不能自然成活的鱼苗的成活率提高了50%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利10 元，不成活则亏损2 元，且乙种鱼苗中的每一尾是否成活也相互独立，扶贫工作组的扶贫目标是获利不低于37.6 万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗？
20.（12 分）
已知函数f（x）＝x＋alnx 在x＝1 处的切线l 与直线x＋2y＝0 垂直，
函数g（x）＝f（x）＋1
x2 －bx．
2（1）求实数a 的值；
（2）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥ 7
，求
2 g（x1）－g（x2）的最小值．
+ = ? 2 2
已知椭圆方程为 x y 1．
6 3
（1）设椭圆的左右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点P 在椭圆上运动，求 PF 1 PF 2
PF 1 ? PF 2 的值；
（2）设直线l 和圆 x 2 + y 2 = 2 相切，和椭圆交于 A 、B 两点，O 为原点， 线段OA 、OB 分别和圆 x 2 + y 2 = 2 交于C 、 D 两点，设?AOB 、?COD 的面
积分别为S 、S ，求 S 1
的取值范围．
1
2 2
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果
多做．则按所做的第一题计分．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
? ?? 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线l 的参数方程为?
x = 1 t 2 （ t 为 ? y = ?
3 t -1 2
参数）.在以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长
度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是
ρ = 2 2sin ? π + θ ?
. 4 ? ? ? （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设点 P (0, -1) ，若直l 与曲线C 相交于两点 A , B ，求 PA + PB 的值. 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分）
已知 f (
x ) = x -1 + x - 2 .
（1）求使得 f ( x ) > 2 的 x 的取值集合M ； （2）求证：对任意实数a ， b (a ≠ 0) ，则：
当 x ∈C R M 时， a + b + a - b ≥ a f (
x ) 恒成立. + S