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摘要：在企业生产过程中，生产资源的分配直接影响到企业的经济效益。因此，企业在制定生产计划时，人力物力和时间等资源的优化配制是首要面对的关键问题，而建立线性规划模型则是目前解决该问题的有效方法之一。本文旨在针对上述有限资源条件的约束下，通过建立相应的线性规划模型来制定生产计划以实现企业资源最优化、利益最大化，同时利用LINGO 11.0软件求解线性规划模型并分析在某些资源变动时对该模型所产生的影响并寻求最优生产方案。
关键词：企业生产计划；线性规划；数学模型；LINGO 11.0
Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore, enterprises in the development of production plan, formulated to optimize the resources of manpower and time is the key problem of face. And to establish the linear programming model is one of the effective ways to solve the problem. This paper aimed at the limited resource constraints, by establishing linear programming model corresponding to make production plan in order to realize the maximization of enterprise resource optimization, interest, and using LINGO11.0 software to solve the linear programming model and analysis the influence on the model in some resource changes and seek the optimal production plan.
Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model；
LINGO 11.0
目录
1．线性规划问题概述 (1)
1.1线性规划问题的基本概念 (1)
1.2 线性规划方法的应用范围与求解的基本步骤 (1)
1.3 线性规划模型的基本概念 (2)
1.4 建立线性规划模型的一般步骤 (2)
1.5 线性规划模型的求解方法 (3)
2.线性规划在企业生产计划中的应用 (3)
2.1 线性规划在企业生产计划中应用的背景 (3)
2.2 把线性规划运用到企业生产中的作用和意义 (4)
2.3 针对企业生产计划模型的分析 (4)
2.4建立生产计划决策分析的线性规划模型 (5)
2.5 案例及相关分析 (5)
3．总结 (11)
参考文献 (12)
致谢 (13)
线性规划模型在企业生产计划中的应用
1.线性规划问题概述
1.1线性规划问题的基本概念
线性规划是运筹学中，研究较早、发展较快、应用较多、方法较成熟的一个重要分支，也是最基本部分，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。自1947年丹捷格提出了一般线性规划问题求解的方法---单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实际中日益广泛与深入。特别是在电子计算机能处理成千上万个约束条件和决策的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了。它所研究的问题主要有两类:一类是当一项任务确定后，如何统筹安排，尽量做到以最少的人力、物力资源去完成任务；另一类是对已有的人力、物力资源，如何安排使用，并完成任务的。一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。由此，我们给出线性规划的一般定义如下：①求一组变量X j(j=1,2,3,…,n)的值，使之满足关于这组变量的若干个线性等式或不等式的约束条件，并使这组变量的一个线性函数取得极值(极小或极大)，其中，这些变量称为决策变量，所要优化的函数称为目标函数，此类问题称为“线性规划”(Linear Programming，简记LP)问题。其中，决策变量、约束条件和目标函数是线性规划的三要素。
1.2 线性规划方法的应用范围与求解的基本步骤②
（1）线性规划方法的应用范围，可以用一种归纳性的叙述加以概括为：凡是能用线性约束方程（等式或者不等式）组描述其内部运行规则，且有明确的线性优化目标的问题，都可以用线性规划的方法求解。无论这些问题属于哪个领域，只要能满足上述条件，都属于线性规划方法的应用范围。比如一些常见的领域有：企业营销策划、产品生产计划、采购与库存管理、物流管理、理财与投资、人事管理、系统综合评价、工程设计优化、宏观经济运行调控、城市管理、作战规划等。
（2）求解线性规划问题的基本步骤可以总结如下：
①提出并抽象问题
②建立数学模型
③求解
④检验解
⑤解的灵敏度分析
⑥解的回归
①钱辰，李姝.线性规划方法在企业生产中的应用[J].中国高新技术企业，2011,(3)42.
②高红卫，线性规划方法应用详解 [M]，北京，科学出版社，2004.12-15.
1.3 线性规划模型的基本概念
线性规划问题的模型是由一组含有等式、不等式的代数方程以及一个具有求极值关系的目标函数（优化函数）表达式构成的复合式抽象数学模型。
（1）线性规划模型的构成需要具备以下条件：
① 需要求解的问题所包含的每一种资源数量都是确定的，而且每个决策变量也都是确定的，其取值范围也是已知的，并且问题所包含的每一种决策变量与相关资源之间的约束关系、不同决策变量对于某一种资源的需求之和与该资源的现有总量的对应关系（用≤,＝,≥之一来表示）都是确定的。
② 存在一个确定的、期望达到的目标（极大或极小值），并且这个目标可用对全部或部分决策变量与相关价值（费用）系数乘积之和（称为目标函数）来表达。
（2）线性规划模型的一般形式如下：③
目标函数 n n x c x c x c z +++=…(min)max
2211 (1)
约束条件
2
222212*********),(),(b x a x a x a b x a x a x a n n n n ≥=≤+++≥=≤+++
… … … … (2) m n m n m m b x a x a x a ),(2211≥=≤+++
0,,,21≥n x x x (一般为非负性)
其中，j c (j=1,2,…,n) 称为价值(费用)系数或目标函数系数。
j x (j=1,2,…,n ）称为决策变量的非负约束条件，若其取值范围为
（－∞，＋∞）时，则称为任意变量（无约束变量）。
j b (j=1,2,…,n ）称为资源常数或简称约束右端系。
ij a ( i=1,2,…,m ;j=1,2,…,n ）称为技术系数或约束系数。
1.4 建立线性规划模型的一般步骤
建立数学模型是解线性规划问题的第一步，也是关键的一步。一个好的数学模型必须对问题的系统及其同内外部环境的关系进行概括，根据实际需要提的出问题，进行求解。由上述可知，如何确定决策变量、约束条件和目标函数是解决线性规划问题模型的关键。具体的建立步骤如下：
① 根据已知条件设置决策变量。即寻找所要求解或间接求解的未知数并用
j x (j=1,2,…,n ）表示出来。
③孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用[J].商业经济, 2006. (276):18.
②确定目标函数。用上面所确定的变量建立一个线性函数（此处为一次函数），再根据具体问题明确是求目标函数的极大值或是极小值。
③确定资源常量并找出决策变量之间的关系及其与资源约束常量之间的关系，建立等式或不等式线性方程。
④确定决策变量的取值范围。
⑤整理所得到的代数表达式，形成规范的线性规划数学模型。
1.5 线性规划模型的求解方法
线性规划模型建立之后就需要求出个决策变量的最优解以及目标函数的最优值。经过几十年的发展，其解法多样并且逐渐成熟。当决策变量个数比较少时比较常用图解法，即直接根据约束条件在坐标轴上画出可行域并找出最优解。而目前求解线性规划问题的基本方法是单纯行法。它需要将模型的一般形式变换成标准形式后再运用矩阵的计算方式得到最优解。为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。现有的计算机软件基本上是利用上述方法的原理。例如：Excel、MATLAB、LINDO和LINGO等软件。本文后面的案例主要运用软件LINGO 11.0进行求解、分析。
2.线性规划在企业生产计划中的应用
2.1 线性规划在企业生产计划中应用的背景
随着经济全球化的不断发展，企业之间的竞争与合作也日渐成熟与激烈，企业必须不断提高盈利水平，增强其获利能力。即如何应用最小的资源成本获得最大的利益永远是企业发展的核心目的。只有在生产、销售、新产品研发等一系列过程中发挥自己的优势，提高企业效率，降低成本，形成企业的核心竞争力，才能在激烈的竞争中立于不败之地。因此根据市场的需求有计划的生产变成为其必不可少的手段之一，特别是在资源有限的情况下。而实践证明，线性规划模型是制定企业生产计划行之有效地重要方法。过去很多企业在生产、运输、市场营销等方面没有利用线性规划方法进行合理的配置，从而增加了企业的生产负担，使企业的利润不能达到最大化。在竞争日益激烈的今天，如果还按照过去的方式，无疑是会被淘汰的，所以就有必要利用线性规划的知识对战略计划、生产、销售各个环节进行优化从而降低生产成本，提高企业的效率。
此外线性规划问题在农业、工业、服务业、军事、运输和计划管理等多方而都越来越受重视、越来越得到广泛的运用。所以运用线性规划知识统筹企业的生产计划是大势所趋、是合理的。本文中笔者试图通过线性规划具体模型的建立并用计算机软件求解结果，以及对相关参数的分析，阐述线性规划是解决企业生产计划问题的一个有效方法。
2.2 把线性规划运用到企业生产中的作用和意义
把线性规划的知识运用到企业生产中去，可以使企业适应市场激烈的竞争，能够及时、准确、科学、有效地制定生产计划、投资计划以及对资源进行合理配置。其决策理论是建立在严格的理论基础之上，运用大量基础数据，经严格的数学运算得到的，从而在使企业能够在生产的各个环节中统筹兼顾、优化配置，提高了企业的效率。过去企业
在制定计划时，调整分配方面很困难，既要考虑生产成本，又要考虑获利水平，人工测算需要很长时间，不易做到机动灵活。而运用线性规划并配合计算机软件进行测算非常简便易行，在很短时间内选择出最优方案的同时，也提高了企业决策的科学性和可靠性。这对企业是大有益处的。
2.3 针对企业生产计划模型的分析
由上述对线性规划问题和企业之间关系的介绍，可知生产计划问题分析完全符合线性规划建模的条件，可以运用线性规划来分析生产计划方案优化问题。但是，应用线性规划来进行生产计划问题分析，首先要先弄清以下几点：④
（1）必须明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，它是以企业利润作为评价目标值，所寻求的目标是使企业利润最大化的生产计划方案，因此，企业利润最大化应是生产计划决策分析的目标函数。
（2）必须明确约束条件。企业的资金，生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多制约因素与生产计划分析密切相关，称为生产计划分析中目标函数的约束条件。约束条件对生产计划分析的影响较大，在不同条件下，决策分析的结论则会不同。比如，就市场需求和企业生产能力之间的关系而言，企业所处状态可有三种类型：①供不应求状态，即市场对产品的需求超过了企业的生产能力；②供过于求状态，即企业生产能力超过了市场需要；③供求平衡波动状态，即供求平衡的状态，或者有时处于不足状态，有时又处于过剩状态。
（3）必须明确单件利润。单件利润不仅牵扯到产品的单件收入，还要牵扯到生产所耗费的各项成本及费用。
建立产品生产计划优化模型的目的，就在于辅助生产管理，从系统全局角度，统筹兼顾。因此，为了挖掘出企业生产管理中的各种潜力，在生产计划上应该是越细致越好。而越细致的计划，起变量的个数必然会越多。因此变量的确定对模型的正确建立起着至关重要的作用。但这样一来就会产生一些问题：当变量细化到一定的程度时，变量太多，不但求解的难度加大，而且有关的市场、企业内部的各种技术经济参数得不到充分的支持，从而给建模带来很大的困难，甚至在应用上与实际信息不协调，变得无从掌握。使建立的模型与实际误差较大；相反的，如果把模型建的很粗放，更是会失去其实用性。因此，正确的做法应该是对上述内容进行合理折衷。
2.4建立生产计划决策分析的线性规划模型
生产计划决策分析的基木方法是以利润最大化作为优化目标，明确未知变量，确定约束条件，建立线性规划模型，最终实现企业效益最大化的生产计划。
其一般模式：目标函数为利润P = 销售收入R－（成本+费用）C
在各约束条件下，使目标函数达到最大值。分析企业实际生产过程中的日产量情况，
x(j=1,2,…,n),建立生产计划决策设模型的未知变量为企业生产的产品种类日产量
j
分析线性规划模型的过程如下：⑤
④王树祥,武新霞,卜少利,线性规划在企业生产计划中的应用及模型的建立和求解[J].2007年管理论丛与教育研究
专刊,2007,(S2):196.
⑤孙庭锋.浅析线性规划在企业生产计划中的应用[J].商业经济, 2006. (276):19.
(1) 目标函数。企业进行生产计划决策的目标值是企业利润最大化。现假设生产各种产品所获得的销售收入j R 与所耗费的产品成本和费用的总和j C 均已知，则可以得出生产计划问题的目标函数为：
∑=-=-++-+-=n
j j j j n n n x C R x C R x C R x C R P 1222111)()()()(max
(2) 原材料约束。无论是生产何种产品都需要消耗一定的原材料，在企业实际中若需耗用多种原材料则可根据原材料的种类，增添相应约束条件即可。建立约束不等式：
11112111b x a x a x a n n ≤++
其中：n a a a 11211,, 分别为生产第1,2,…,n 种产品的单件材料消耗, 1b 为企业每种可用原材料总量。
(3) 生产能力约束。此约束具体表现为企业的可用工作时间或可用设备工时，而企业在一定时期内可用工时是有限的，所以可建立如下约束不等式：
22222221b x a x a x a n n ≤++
其中：n a a a 22221,, 分别为生产第1,2,…,n 种产品的单件消耗工时,1b 为企业的日可用的工时、设备总量。
(4) 市场需求约束。为了说明问题的方便，假设企业生产的产品市场都有需求，即
021≥+++n x x x ，无上限约束。若第j 种产品市场需求有限，最大需求为j D ，则可
增加约束j j D x ≤。
(5) 非负约束。因为生产实际中最多即为不生产产品，所以所有变量
0n),1,2,(≥= j x j 。
2.5 案例及相关分析
为了探讨生产计划决策分析线性规划模型在企业实际中的应用，接下来通过案例建立线性规划模型以及应用软件进行求解并分析模型结果。
实例描述：牛奶生产销售计划⑥
一奶制品加工厂用牛奶生产21,A A 两种普通奶制品，以及21,B B 两种高级奶制品，21,B B 分别是由21,A A 深加工开发得到的。
已知每一桶牛奶可以在甲类设备上用12h 加工成3kg 1A ，或者在乙类设备上用8h 加工成4kg 2A ；深加工时，用2h 并花1.5元加工费，可将1kg 1A 加工成0.8kg 1B ，也可将1kg 2A 加工成0.75kg 2B 。根据市场要求，生产的4种奶制品全部能售出，且每公斤21,A A ,21,B B 获利分别为12元、8元、22元、16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间最多为480h ，并且乙类设备和深加工设备的加工能力没有限制，但甲类设备的数量相对较少，每天至多能加工100kg 1A 。试为该厂制定一个生产计划，是每天的净利润最大，并讨论以下问
⑥何坚勇,最优化方法 [M]，北京:清华大学出版社， 2007.175.
题：
（1） 若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资？
（2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时
几元？ 模型的分析与建立：
这是一个有约束的优化问题，其模型应该包含决策变量、目标函数和约束条件。根据上一节所总结的步骤可分析如下：
决策变量 用决策变量表述生产计划，它并不是唯一的，设21,A A ,21,B B 每天的销售量分别为4321,,,x x x x (kg)。43,x x 也是21,B B 的产量。设工厂用5x (kg)1A 加工成1B ，
6x (kg)2A 加工成2B （增设决策变量5x ，6x 可以使模型表达更清晰）
目标函数 目标函数是每天的净利润z ，即21,A A ,21,B B 的获利之和扣除深加工费，容易写出 6543215.15.11622812z x x x x x x --+++=（元）。 约束条件
原料供应：1A 每天的产量为51x x +(kg)，用牛奶(51x x +)/3(桶)，2A 每天的产量为
62x x +(kg)，用牛奶(62x x +)/4(桶)，两者之和不得超过每天的供应量50(桶)。
劳动时间：每天生产21,A A 的时间分别为4(51x x +)和2(62x x +)，加工21,B B 的时间分别为25x 和26x ，两者之和不得超过总的劳动时间480h 。
设备能力：1A 每天的产量51x x +不得超过甲类设备的加工能力100(kg)。 加工约束：1(kg)1A 加工成0.8(kg)1B ，故3x =0.85x ；类似地4x =0.756x 。 非负约束：654321,,,,,x x x x x x 均为非负。 由此得到如下基本模型：
6543215.15.11622812z max x x x x x x --+++=；
???
???
??
???≥==≤+≤+++++≤+++.0,,,,,,
75.08.0,100)
2(,48022)(2)(4)1(,504
3.6
543216453516562516
251x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s
显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划问题，求出的最优解将给出使净利润最大的生产销售计划，要讨论的问题需考虑参数的变化对最优解和最优值的影响，即灵敏度分析。整理后为：
6543215.15.11622812z max x x x x x x --+++=
???????????≥=-=-≤+≤+++≤+++.
0,,,,,,075.008.0,100,
240232,6003434.6543216453
516521
6521x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s 模型求解：
利用线性规划软件LINGO11.0在该编程区域中编写语言建立模型并求解如下所示：
model:
max =12*x1+8*x2+22*x3+16*x4-1.5*x5-1.5*x6; 4*x1+3*x2+4*x5+3*x6<=600; 2*x1+x2+3*x5+2*x6<=240; x1+x5<=100; x3-0.8*x5=0; x4-0.75*x6=0;
x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;x6>=0; end
程序编程完之后，选择LINGO 菜单中Solve 选项，即可得到结果如表1所示:
表1 计量单位：元
Global optimal solution found.
Objective value: 1730.400 Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 2 Variable
Value Reduced Cost X 1 0.000000 0.8400000 X 2 168.0000 0.000000 X 3 19.20000 0.000000 X 4 0.000000 0.000000 X 5 24.00000 0.000000 X 6 0.000000 0.7600000 Row Slack or Surplus
Dual Price 1 1730.400 1.000000 2 0.000000 1.580000 3 0.000000 3.260000 4 76.00000 0.000000 5 0.000000 22.00000 6
0.000000
16.00000
7 0.000000 0.000000 8 168.0000 0.000000 9 19.20000 0.000000 10 0.000000 0.000000 11 24.00000 0.000000 12
0.000000
0.000000
由表1可知：软件经过2次迭代后即找到全局最优解，目标函数最大值为1730.4，
变量值分别为：0,24,0,2.19,168
,0654321======x x x x x x . 即每天生产销售168(kg)2A 和19.2(kg)1B (不出售1A ,2B )，可获净利润1730.4元。为此，需用8桶牛奶加工成24(kg)1A ，42桶加工成168(kg)2A ，并将得到的24(kg)1A 全部深加工成19.2(kg)1B 。
其中，“Reduced Cost ”表示最优单纯形表中判别数所在行的变量的系数，表示当变量有微小变动时, 目标函数的变化率(最优解中变量的此值自动为零)。其中基变量的Reduced Cost 值应为0，对于非基变量j X , 相应的 Reduced Cost 值表示当某个变量
j X 增加一个单位时目标函数减少的量(max 型问题)。(注：min 型问题时表示当某个变量j X 增加一个单位时目标函数增加的量)。如上例中：变量1x (即1A 每天的生产销售量)对应的Reduced Cost 值为0.84，表示当非基变量1x 的值从0变为 1时(此时假定其他非基变量保持不变,但为了满足约束条件，基变量显然会发生变化)，即1A 每天的生产销售量增加一个单位时，最优的目标函数值z ＝1730.4－0.84＝1729.56（元）。
“Row ”是结果模型的行号，“Slack or Surplus ”的含义为松弛或剩余，也就是限制条件左右两边的差值，对于报告中“<=”小等式右端减去左端差值称为Slack(松弛)；对于模型报告中“>=”小等式，左端减去右端的差值称为Surplus(剩余)。如上例中除非负约束外都属于松弛，且：
第1行松弛变量 =1730.4（模型第一行表示目标函数，所以第二行对应第一个约束）
第2行松弛变量 =0 第3行松弛变量 =0 第4行松弛变量 =76 第5行松弛变量 =0
第6行松弛变量 =0
第7至第12行指非负约束后的变量值，即实际上为所求的最优解。
“Dual Price ” 的含义是影子价格(或对偶价格)表示当对应约束有微小变动时，目标函数的变化率。输出结果中对应于每一个约束有一个影子价格。若其数值为p ，表示对应约束中不等式右端项若增加1个单位，目标函数将增加p 个单位(max 型问题)。显然，如果在最优解处约束正好取等号(也就是“紧约束”，也称为有效约束或起作用约束)，
影子价格值才可能不是0。本例中：第2、3、5、6行是紧约束，对应的影子价格值为1.58、3.26、22、16，表示当紧约束
2) 50436
251
≤+++x x x x 变为 2) 514
36
251
≤+++x x x x 时，目标函数值 z ＝1730.4 +1.58＝1731.98。对第3、5、6行也类似。对于非紧约束(本例中第4行是非紧约束)，Dual Price 的值为0, 表示对应约束中不等式右端项的微小扰动不影响目标函数。
简而言之，从上述运行结果报告中可得：Row 2的松弛值为0，说明第二行的原料约束条件已达到饱和状态(即50桶牛奶全部用完),影子价格为1.58元，意思是说,若能每增加1桶牛奶，原约束的(即在整理前)(1)式的目标利润增加1.58元。但因左右两端需同时乘以12以去分母。因此每增加一桶牛奶的实际利润应为：1.58×12＝18.96(元)。所以在问题（1）“若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资?”中，显然18.96>15,因此投资增加牛奶的供应量是值得的。
Row 3的松弛值也为0，同样表明劳动时间得到充分的利用的饱和状态(480h)，影子价格为3.26元。即工时能力每增加1h ，在原约束的(2)式的目标函数利润增加3.26元。但在整理时式子左右两端需同时除以2，因此实际的目标函数利润为：3.26÷2＝1.63元。所以在问题（2）“若可以聘用临时工人以增加劳动时间，支付给临时工人的工资最多是每小时几元?”中，每小时支付给临时工的工资每小时不超过1.63(元)。
Row 4的松弛值为76,这表明按最优解(X 4=0)安排甲类设备的加工能力时，每天甲类设备有76kg 的加工能力剩余，实际加工为：100－76=24(kg)。因此单纯的增加甲类设备的加工能力对目标函数的最优值不起作用，所以影子价格为0。
同理可知，在Row 5、Row 6中，分别每增加1kg 的21B B 、，其目标函数利润分别增加22、16元。
灵敏度分析：
其实，在上述Row 2、 Row 3 、Row 5、Row 6中的松弛变量并不是可以任意增加的，其变化的范围，当数值超过这个范围，所求解的模型中的松弛变量和影子价格就不再准确了。需要重新建立和求解模型。所以分析得到这个变化范围是很必要的，并且称之为灵敏度分析。即灵敏度分析结果表示的是最优基保持不变的系数范围。
同样用上述实例，运用LINGO 11.0中的灵敏度分析功能可以得到表2如下：
表2 Ranges in which the basis is unchanged ： Objective Coefficient Ranges
Variable Current Coefficient
Allowable Increase
Allowable Decrease
X 1 12.00000 0.8400000 INFINITY X 2 8.000000 4.075000 1.050000 X 3
22.00000
9.875000
1.583333
X 4 16.00000 1.013333 INFINITY X 5 -1.500000 7.900000 1.266667 X 6
-1.500000
0.7600000
INFINITY
Right-hand Side Ranges
Row Current RHS Allowable Increase
Allowable Decrease 2 600.0000 120.0000 280.0000 3 240.0000 126.6667 40.00000 4 100.0000 INFINITY 76.00000 5 0.0 INFINITY 19.20000 6 0.0 INFINITY 0.0 7 0.0 0.0 INFINITY 8 0.0 168.0000 INFINITY 9 0.0 19.20000 INFINITY 10 0.0 0.0 INFINITY 11 0.0 24.00000 INFINITY 12
0.0
0.0
INFINITY
其中，上述表格中Current Coefficient 表示当前目标函数系数；Allowable Increase 表示允许增加量；Allowable Decrease 表示允许减少量；Current RHS 表示当前右边常数项；INFINITY 代表该数值可以无穷大(符号为∞，以下都用此符号代替)。
此外，表格的第一部分(Objective Coefficient Ranges)表示目标函数系数的变化范围。如对于变量1x 目标函数系数允许上调范围为0.84，允许下调范围为∞，但需要注意的是本例中该目标函数系数中1x 至4x 代表的是产品售出后的净利润，同样具有非负性。因此只要变量1x 目标函数的系数在[0,12.84]范围内变化时，最优解保持不变。同理可得2x 至4x 的目标函数系数变化范围分别为[6.95,12.075]、[20.417,31.875]、[0,17.013]。而65x x ， 表示的是深加工时的费用，必须是负数。这说明当21,A A ,21,B B 四种产品销售利润在以上范围内变化时，工厂的生产计划不需要改变，即改变生产计划不能增加工厂的利润。
表格的第二部分(Right-hand Side Ranges)的意思是约束条件右边常数的变化范围。如本表格中的Row 2，这一行表示的是生产原料的约束条件，同上可得其取值范围为 [600－280，600＋120](即[320，720])。但需要注意的是该行的“Current RHS ”是600，这是原约束(1)式左右两边同时乘以12整理后的模型中的约束值。因此，在（1）问“若投资15元，可以增加供应1桶牛奶，应否作这项投资？”中，最多每天增加应不超过120÷12＝10(桶)，不然上述生产计划模型的不适合，需要重新求解。Row 3表示的是劳动时间的约束条件，由上表可知，其取值范围是[200,366.667]。但与Row 2相反，
它是原约束(2)式左右两边同时除以2得到的，因此其实际的取值范围应该是[400，733.334]。即在问题（2）中，雇佣临时工最多不能超过733.334－480＝253.334(h)。同理，Row 4的取值范围是[24，﹢∞)。以上说明在取值范围内影子价格和缩减成本系数均小变。
3总结
在企业制定生产计划时，线性规划已成为企业生产经营过程中决策制定的理论依据，生产计划安排是否合理将直接影响到企业的经济效益。本文主要分成两部分来说明述线性规划模型与企业生产计划的决策之间的联系以及求解方法。
其中，第一部分主要介绍了线性规划与线性规划模型的基本理论以及建立和分析线性规划模型基本方法和步骤，为下文提供理论依据；第二部分主要讲述线性规划模型与企业生产计划的决策之间的联系，并通过对典型案例的具体解答和分析的过程说明线性规划模型运用在企业生产计划的决策是合理而且准确的。同时运用线性规划LINGO 11.0软件进行模型求解分析，阐述了此软件对线性规划中目标函数系数及约束条件右边常数的变化对分析造成的影响。说明应用线性规划并配合相关解决此规划的软件进行计算方便易行，为以后再解决分析线性规划如何在企业中安排生产计划决策问题时提供了有力的科学依据和方法，具有一定的应用价值和借鉴意义。
美中不足的是由于本人的专业限制和个人能力有限，无法更加深入系统的研究。因此文中一些不足的地方，敬请谅解！
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致谢
历时将近两个月的时间终于将这篇论文写完，在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在老师和同学的帮助下度过了。尤其要强烈感谢我的论文指导老师—陈燕芬老师，她对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦地行论文的修改和改进。另外，在校图书馆查找资料的时候，图书馆的老师也给我提供了很多方面的支持与帮助。在此向帮助和指导过我的各位老师表示最衷心的感谢！感谢这篇论文所涉及到的各位学者。本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。感谢我的同学和朋友，在我写论文的过程中给予我了很多素材，还在论文的撰写和排版等过程中提供热情的帮助。由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和学友批评和指正！
药厂生产主管工作总结及工作计划 药厂生产主管>工作总结及>工作计划 尊敬的公司领导，同事们： 大家晚上好！我是生产部的副部长xxx,很高兴能在此与大家分享我在过去一年里的工作情况和明年的管理工作计划，请各位领导、同事指正。 （一）2014年工作总结 2014年是公司全面发展的一年，生产管理快速提升的关键一年，生产管理又跨上了一个新的台阶，下面向大家简要总结一下2014年我的工作情况： （1）、生产管理方面： 重点是做好春节加班生产安排、强化车间班组管理、现场基础管理，生产目标的组织落实等，现就具体工作完成情况总结如下： 1、春节假期生产的安排 春节前协调车间生产各项原辅料的到货和做好人员加班安排，在整个春节期间，我也留守公司在岗值守，在公司里度过了一个很有意义的春节，期间重点是做好了车间生产、设备运行、厂区安全巡查和协调，整个春节假期车间生产安全、稳定、可控，保障了产品的销售供应。 2、车间6s现场管理 3月底制定6s现场管理实施方案，重点是开展整理和整顿两个s,并制作下发宣传手册。后续按计划开展；其中4月组织>培训和现场诊断，列出整改清单和组织整改，分阶段进行整理，5月份起结合卫生区域划分和清洁管理清单实施，并制订了相应的管理考核办法，强化车间对现场卫生清洁的管理；6月份继续组织车间主任方面的6s管理的培训，此外，4月份组织生产体系人员前往qc学习交流6s现场管理，较好地促进体系人员（尤其是主任）对6s的认识和工作开展。 3、车间班组建设和管理 3月份起xxx和生产部坚持每周参与化工车间的班组例会，通过参与，逐渐强化班组人员管理意识和责任心，加强与车间班组管理联动与交流；另外，通过建立车间6s、班组管理看板,以看板的形式来带动班组和6s的管理，促进管理交流；8月份以来，通过一系列的班组长培训，进一步强化班组长的管理技能和管理意识，今年我们开始做了，明年我们还会做得更好。 4、生产目标的组织实施 今年主要抓好增产和能耗管理工作。xxx线和xxx线的增产实现，使车间产能大幅度提升，更好地与销售匹配；能耗管理上重点是加强能耗的使用监控和跟进，通过建立能耗看板和月度对比分析小结，让车间更直观地了解生产状况与能耗使用控制情况，及时纠偏来促进管理；3月份又会同财务部制定车间能耗考核标准，并组织车间落实，降低生产成本； 5、建立车间医药应急管理办法和筹备药箱、药品 10月份各车间均筹备了药箱和一些应急药品物资，并制订相应的管理办法，应对车间人员出现伤害时的应急初步处理。 （2）部门工作管理方面： 我以强化人员责任心，细化工作和职责为目标，围绕生产体系2014年管理工作计划安排，协助部门领导开展了如下几项工作： 1、加强体系内部建设 建立生产体系人员信息电子档案和人员管理月报，为员工考核提供参考依据，较好地强化体系内部的管理。另外，7月份组织生产、安全体系的管理交流分享会，通过管理经验分享、>工作体会的交流，和对当下管理集中的问题进行讨论，明确下一步体系管理思路和
线性规划模型及其举例 摘要：在日常生活中，我们常常对一个问题有诸多解决办法，如何寻找最优方案，成为关键，本文提出了线性规划数学模型及其举例，在一定约束条件下寻求最优解的过程，目的是想说明线性规划模型在生产中的巨大应用。 关键词：资源规划；约束条件；优化模型；最优解 在工农业生产与经营过程中，人们总想用有限的资源投入，获得尽可能多的使用价值或经济利益。如：当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多，利润最大）。 一.背景介绍 如果产出量与投入量存在（或近似存在）比例关系，则可以写出投入产品的线性函数式： 1()n i ij j j f x a x ==∑，1,2,,,1i m m =+ (1) 若将（1）式中第（1m +）个线性方程作为待求的目标函数，其余m 个线性方程作为资源投入的限制条件（或约束条件），则（1）式变为： OPT. 1()n j j j f x c x ==∑ ST. 1 n ij j j a x =∑> ( =, < )i b , 1,2,,i m = (2) 0,j x ≥ 1,2,,j n =… （2）式特点是有n 个待求的变量j x （1,2,,j n =…）；有1个待求的线性目标函数()f x ，有m 个线性约束等式或不等式，其中i b （1,2,,i m =…）为有限的资源投入常量。将客观实际问题经过系统分析后，构建线性规划模型，有决策变量，目标函数和约束条件等构成。 1．决策变量（Decision Variable,DV ）在约束条件范围内变化且能影响（或限定）目标函数大小的变量。决策变量表示一种活动，变量的一组数据代表一个解决方案，通常这些变量取非负值。 2．约束条件（Subject To,ST ）在资源有限与竞争激烈的环境中进行有目的性的一切活动，都
第3章线性规划模型的应用 1.某企业制造三种仪器，甲种仪器需要17小时加工装配，8小时检测，售价300元。乙种仪器需要10小时加工装配，4小时检测，售价200元。丙种仪器需要2小时加工装配，2小时检测，售价100元。三种仪器所用的元件和材料基本一样，可供利用的加工装配时间为1000小时，检测时间为500小时。又根据市场预测表明，对上述三种仪器的要求不超过50台、80台、150台。试求企业的最优生产计划。 解：首先将问题中的数据表示到如下表格： i maxZ=300x1+200x2+100x3 17x1+10x2+2x3≤1000 8x1+4x2+2x3≤500 x1≤50 x2≤80 x3≤150 x1,x2,x3≥0 2. 某铸造厂要生产某种铸件共10吨，其成分要求：锰的含量至少达到0.45%，硅的允许范围是 3.25%~5.5%。目前工厂有数量充足的锰和三种生铁可作为炉料使用。这些炉料的价格是：锰为15元/公斤，生铁A为340元/吨，生铁B为380元/吨，生铁C为280元/吨。这三种生铁含锰和含硅量（%）如表3.22所示，问工厂怎样选择炉料使成本最低。 表3.22 成分锰有部分是纯锰，部分是从生铁中提炼出来的，所以改进表格如下：
设铸件中含有三种生铁和锰的量分别为xi（i=1，2，3，4）吨，则数学模型如下： maxZ=340x1+380x2+280x3+15000x4 x1+x2+x3+x4=10 0.45%x1+0.5%x2+0.35%x3+x4≥0.45%*10 4%x1+1%x2+0. 5%x3≥3.25%*10 4%x1+1%x2+0. 5%x3≤5.5%*10 xi≥0（i=1，2，3，4） 3. 某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m，2.1m和1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问应如何下料，可使所用原料最省。 解： 4. 绿色饲料公司生产雏鸡、蛋鸡、肉鸡三种饲料。这三种饲料是由A、B、C三种原料混合而成。产品的规格要求、产品单价、日销售量、原料单价见表3.23、表3.24。受资金和生产能力的限制，每天只能生产30吨，问如何安排生产计划才能获利最大？ 表3.23 产品名称规格要求销售量（吨）售价（百元） 雏鸡饲料原料A不少于50% 5 9 原料B不超过20% 蛋鸡饲料原料A不少于30% 18 7 原料C不超过30% 肉鸡饲料原料C不少于50% 10 8 表3.24
11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=
线性规划模型在生活中的实际应用 一、线性规划的基本概念 线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法.在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源.线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素. 二、线性规划模型在实际问题中的应用 （1）线性规划在企业管理中的应用范围 线性规划在企业管理中的应用广泛，主要有以下八种形式： 1.产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，是获利最大. 2.劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要. 3.运输问题：如何制定运输方案，使总运费最少. 4.合理利用线材问题：如何下料，使用料最少. 5.配料问题：在原料供应的限制下如何获得最大利润. 6.投资问题：从投资项目中选取方案，是投资回报最大. 7.库存问题：在市场需求和生产实际之间，如何控制库存量从而获得更高利益. 8.最有经济计划问题：在投资和生产计划中如何是风险最小 . （2）如何实现线性规划在企业管理中的应用 在线性规划应用前要建立经济与金融体系的评价标准及企业的计量体系，摸清企业的资
源.首先通过建网、建库、查询、数据采集、文件转换等，把整个系统的各有关部分的特征进行量化，建立数学模型，即把组成系统的有关因素与系统目标的关系，用数学关系和逻辑关系描述出来，然后白较好的数学模型编制成计算机语言，输入数据，进行计算，不同参数获取的不同结果与实际进行分析对比，进行定量，定性分析，最终作出决策.
线性规划模型在实际生活中的应用 【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题,其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下,按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知
摘要 线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。 关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法
ABSTRCT Linear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method
目录 摘要 ---------------------------------------------------1 引言 ---------------------------------------------------2 一线性规划的概念 -------------------------------------3 二线性规划的实际应用 ----------------------------------4 （ （四）体育上的应用 1.合理安排比赛问题 -------------13 2.选拔选手问题 -----------------14 （五）旅行上的问题:旅行背包问题 ------------------------15 （六）航空上的问题:航空时间安排问题 --------------------16 （七）城市规划的应用:设施布点问题 ----------------------18 （八）日常生活上的应用 1.食用油的结构优化问题 ---------19 2.饮食问题 ---------------------21 （九）农业上的应用:农业种植问题 ------------------------23 三总结及参考文献 --------------------------------------25 线性规划的实际应用模型 王丽娜 （渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）
摘要：本文从运筹学的角度分析线性规划的实际应用模型，随着人类社会的进步，科学 技术的发展，经济全球化进程的日益加快，线性规划在实际中的应用越来越广泛，主要应用 于经济与管理,军事,金融,体育,旅行,航空,城市规划,日常生活,农业九大方面，因此，线性 规划作为一门科学已被人们广泛接受，并已日益成为人类社会和经济生活中一种不可或缺的 工具。 关键词：运筹学线性规划分析模型 Zhe model in practical application of linear programming Wang lina (Department of Mathematics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:This article analyse the practical application of linear programming from the sight of operational research,with the advancement of human society,the development of science and technology and the faster grogramming has wider application in the practical,has been applied to nine aspects,in econemy,management,military,finance,physical education,travelling,airline,city planning,daily life, agriculture.The examples will be given to show the application in the nine aspects given abo。 Key word:operational research ,linaear programming, analy ,model 引言 线性规划是运筹学的一个重要分支。也是研究较早的，发展较快 的,应用较广而比较成熟的一个分支。
诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日
摘要：在企业生产过程中，生产资源的分配直接影响到企业的经济效益。因此，企业在制定生产计划时，人力物力和时间等资源的优化配制是首要面对的关键问题，而建立线性规划模型则是目前解决该问题的有效方法之一。本文旨在针对上述有限资源条件的约束下，通过建立相应的线性规划模型来制定生产计划以实现企业资源最优化、利益最大化，同时利用LINGO 11.0软件求解线性规划模型并分析在某些资源变动时对该模型所产生的影响并寻求最优生产方案。 关键词：企业生产计划；线性规划；数学模型；LINGO 11.0
Abstract：In the enterprise production process, the allocation of production resources directly affects the economic efficiency of enterprises. Therefore, enterprises in the development of production plan, formulated to optimize the resources of manpower and time is the key problem of face. And to establish the linear programming model is one of the effective ways to solve the problem. This paper aimed at the limited resource constraints, by establishing linear programming model corresponding to make production plan in order to realize the maximization of enterprise resource optimization, interest, and using LINGO11.0 software to solve the linear programming model and analysis the influence on the model in some resource changes and seek the optimal production plan. Key words：Production plan；Linear programming；Mathematical model； LINGO 11.0 目录
第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。 (1)????? ? ?≥=++≤++≥++++=无约束 3213213213213 21,0,5343 32243422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ????? ? ?≤≥≤++≥-+-=++++=0 ,0,8374355 22365max 3213213213213 21x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束 (3)?? ??? ??? ???==≥=====∑∑∑∑====) ,,1;,,1(0) ,,1(),,1(min 1 111n j m i x n j b x m i a x x c z ij m i j ij n j i ij m i ij n j ij (4)???????????=≥++==<=<=∑∑∑===),,,,1(0),,2,1() ,,1(min 1 211111n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n j i j ij n j j j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； (4)任何线性规划问题具有唯一的对偶问题。 3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。
单纯形法在线性规划中的应用 摘要 求解线性规划问题，就是在各项资源条件的限制下，如何确定方案，使预期的目标达到最优。本文重点介绍了求解线性规划问题目前最常见的两种方法，图解法和单纯形法。图解法适合于只含两个变量的线性规划问题，文中只做了简单的描述。而单纯形法是求解线性规划问题的通用方法，适合于求解大规模的线性规划问题，本文作了重点描述，对单纯形法中的基本概念如基变量、非基变量、基向量、非基向量、可行基以及基本可行解等概念作了详细的陈述，在此基础上，介绍了线性规划问题的标准化、单纯形法的基本原理、确定初始可行解、最优性检验、解的判别、基本可行解的改进、换入变量的确定-最大增加原则、换出变量的确定-最小比值原则、表格单纯形法、大M法、两阶段法等。 关键词：线性规划图解法单纯形法基变量基向量可行基基本可行解
正文 引言 在生产管理和经济活动中，经常遇到这些问题，如生产计划问题，即如何合理利用有限的人、财、物等资源，以便得到最好的经济效果；材料利用问题，即如何下料使用材最少；配料问题，即在原料供应量的限制下如何获取最大利润；劳动力安排问题，即如何用最少的劳动力来满足工作的需要；运输问题，即如何制定调运方案，使总运费最小；投资问题，即从投资项目中选取方案，使投资回报最大等等。对于这些问题，都能建立相应的线性规划模型。事实上，线性规划就是利用数学为工具，来研究在一定条件下，如何实现目标最优化。 解线性规划问题目前最常见的方法有两种，图解法和单纯形法。单纯形法是求解线性规划问题的通用方法。 1 线性规划问题的求解方法 1.1 图解法解线性规划问题 只含两个变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解，步骤如下： (1)以变量x 1为横坐标轴，x 2 为纵坐标轴，适当选取单位坐标长度建立平面 坐标直角坐标系。由变量的非负性约束性可知，满足该约束条件的解均在第一象限内。 (2)图示约束条件，找出可行域（所有约束条件共同构成的图形）。 (3)画出目标函数等值线，并确定函数增大（或减小）的方向。 (4)可行域中使目标函数达到最优的点即为最优解。 然而，图解法虽然直观、简便，但当变量数多于三个以上时，其实用意义不大。
线性规划在运输问题中的应用 【摘要】用运筹学的思想探讨运筹学课程的教学方法。运筹学中的指派问题、最短路问题，最小费用流问题可转化为运输问题或转运问题，从而可以统筹安排这些教学内容，为提高教学效果，减少教学时间找出更优的教学方法。 【关键词】运输问题；转运问题；运筹学；线性规划；教学方法 引言： 随着我国国民经济的不断发展，企业之间的交易活动更加频繁,同地区、不同地区、甚至跨国的交易活动也不断发生，运输则成为交易的活动重点了。交通运输作为国民经济的一个重要部门，作为人类进步、社会发展的一个重要推动力，其发展模式正在对环境产生越来越重要的影响。传统的运输方式已经不能满足环境保护、经济发展以及交通运输本身发展的需求，探寻与环境、资源条件相适应的运输是非常重要的一个问题。人们在运输方面趋利避害建立更好的运输方法，让交通运输的方法达到一个更高的水平。 1．线性规划简介 线性规划法是解决多变量最优决策的方法，是在各种?相互关联的多变量约束条件下，解决或规划一个对象的线性目标函数最优的问题，即给与一定数量的人力、物力和资源，如何应用而能得到最大经济效益。当资源限制或约束条件表现为线性等式或不等式，目标函数表示为线性函数时，可运用线性规划法进行决策。线性规划法就是在线性等式或不等式的约束条件下，求解线性目标函数的最大值或最小值的方法。其中目标函数是决策者要求达到目标的数学表达式，用一个极大?或极小值表示。约束条件是指实现目标的能力资源和内?部条件的限制因素，用一组等式或不等式来表示。线性规划是决策系统的静态最优化数学规划方法之一。它作为经营管理决策中的数学手段，在现代决策中的应用是非常广泛的，它可以用来解决科学研究、工程设计、生产安排、军事指挥、经济规划；经营管理等各方面提出的大量问题。? 最近几年，我国物流产业快速发展，形成了物流热。在物流作业的管理活动中，有着大量的规划问题，物资的合理调运就是其中一个比较重要的问题。求物资调运的最优调运方案，就是要在满足各种资源限制的条件下，找到使运输总费用最小的调运方案。? 2.线性规划在运输中的应用 在现实的生产经营、商品销售、经济建设和物资管理过程中，常常会遇到各类物资的分配和调运问题，即将各种生产资料或生活资料消耗品从供给基地调运到需求基地，这里就需要如何根据现有条件科学、合理的安排调运方案，提高运输经济效益。这就是属于线性规划中网络配送的以最小的成本完成货物的运输问题。运输问题就是讨论有关物资调运的问题，即将数量和单位运价都给定的某种物资从供应站运送到消费站，要求在供给和需求平衡的同时，制定出流量与流向，使总运输成本最低。运输问题是特殊的线性规划问题，根据问题的要求，建立数学模型，用表上作业法或线性规划软件求解，即可得出最佳的调运方案，取得了较好的经济效益。在运输问题中，确定的需求限制占据着重要的地位，即必须确定需求以及相应地确定需求的约束条件。? 3.运输问题的特征? 运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心（出发地）的任何产品运送到每一个接收中心（目的地）。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。运输问题在供应量和需求量两方面都做出了如下的假设：需求假设。每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应量都必须配送到目的地。与之类似，每一个目的地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出发地满足成本假设。从任何一个出发地到任何一个目的地的货物配送成本和所配送的数量成线性比例关系。因此，这个成本就等于配送的单位成本乘以所配送的数量。运输问题所需要的数据仅仅是供应量、需求量和单位成本，这些就是模型参数。如果一个问题可以完全描述成如下表所示的参数
线性规划模型在实际生活中的应用【摘要】线性规划在实际生活中扮演着很重要的角色，研究对象是计划管理工作中有关安排和估值的问题, 其广泛应用于经济等领域，是实际生活中进行管理决策的最有效的方法之一。解决的主要问题是在给定条件下, 按某一衡量指标来寻找安排的最优方案。本文通过对例题利用线性规划分析，如何合理的分配利用，最终找到最优解使企业利润最大，说明了线性规划在实际生活中的应用，而且对线性规划问题模型的建立，模型的解进行了分析，运用图解法和单纯形法解决问题。 【关键词】线性规划、建模、实际生活、图解法、单纯形法 前言：线性规划（Linear programming,简称LP）是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法。英文缩写LP。它是运筹学的一个重要分支，广泛应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出的最优决策，提供科学的依据。 在实际生活中，经常会遇到一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源取得最大的效益的问题，而这正是线性规划研究的基本内容，它在实际生活中有着非常广泛的应用．任何一个组织的管理者都必须对如何向不同的活动分配资源的问题做出决策，即如何有效地利用人力、物力完成更多的任务，或在预定的任务目标下如何耗用最少的人力、物力去实现目标。在许多情况下，大量不同的资源必须同时进行分配，需要这些资源的活动可以是不同的生产活动，营销活动，金融活动或者其他一些活动。随着计算技术的不断发展，使成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题能迅速地求解，更为线性规划在经济等各领域的广泛应用创造了极其有利的条件。线性规划已经成为现代化管理的一种重要的手段。本文运用常用的图解法和单纯形法解决利润最大化决策问题，贴近生活，很好的吧线性规划应用到生活实践中。 1、简单线性问题步骤简单介绍 建模是解决线性规划问题极为重要的环节，一个正确的数学模型的建立要求建模者熟悉线性规划的具体实际内容，要明确目标函数和约束条件，通过表格的形式把问题中的已知条件和各种数据进行整理分析，从而找出约束条件和目标函数。 1.1 从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤； （1）根据影响所要达到目的的因素找到决策变量； - 1 -
第二章 线性规划 本章内容重点： 线性规划模型 解的主要概念 线性规划应用——建模 一. 线性规划模型 引例： （1）用一块边长为a 的正方形铁皮做一容器，应如何裁剪，使做成的容器的容积最大？ （2）某企业计划生产甲、乙两种产品。这两种产品都要分别在A 、B 、C 、D 四种不同设备上加工。按工艺资料规定，生产每件产品甲需占用设备分别为2、1、4、0小时，生产每件产品乙需占用设备分别为2、2、0、4小时。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为12、8、16、12小时，又已知每生产一件产品甲企业能获得2元利润，每生产一件产品乙企业能获得3元利润，问该企业应如何安排生产，使总的利润收入最大？ 讨论：（1）可用微积分的方法解决； （2）复杂一些 目标： 最大 2 132x x z +=
例2.1:某工厂拥有A 、B 、C 三种类型的设备，生产甲、乙两种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示： 问题：工厂应如何安排生产可获得最大的总利润？ 解：设变量xi 为第i 种（甲、乙）产品的生产件数（i ＝1，2）。根据题意，我们知道两种产品的生产受到设备能力（机时数）的限制。对设备A ，两种产品生产所占用的机时数不能超过65，于是我们可以得到不等式：3 x1 + 2 x2 ≤ 65； 对设备B ，两种产品生产所占用的机时数不能超过40，于是我们可以得到不等式：2 x1 + x2 ≤ 40； 对设备C ，两种产品生产所占用的机时数不能超过75，于是我们可以得到不等式：3x 2 ≤75 ；另外，产品数不可能为负，即 x 1 ,x 2 ≥0。同时，我们有一个追求目标，即获取最大利润。于是可写出目标函数z 为相应的生产计划可以获得的总利润：z =1500x 1+2500x 2 。综合上述讨论，在加工时间以及利润与产品产量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放在一起，可以建立如下的线性规划模 ????? ????≥≤≤≤+≤+0 ,1241648212222121 2121x x x x x x x x
生产计划制定 生产计划工作，关系着一个生产系统能否在一段较长时间内发挥其应有作用的问题。一般说来，它包括对企业的生产品种进行预测，对人力和物质资源进行合理调配和使用，达到最有效地生产出所需产品。用较专门的行话来说，生产计划要寻求这样的一种生产率。它能满足需求，同时又使因劳动力变动所发生的费用以及存贮费用均能降到最低限度。 生产计划工作常被称之为综合进度安排，以资区别于实现生产计划所使用的日程计划(作业进度表)。综合进度安排所涉及的都是--些比较大的、总的计划项目的安排，例如考虑所生产产品的品种与类别、进行特种销售、现有人力(工作能力，的变化趋势，资源供应来源 的变动，等等。进行长的计划安排的目的，是为了在-定期间内最有效地按排系统的能力，包括人力，材料与设备。综合计划的运用，乃是通过安排-一个标明各个确切的项目和生产日期的主进度表。根据主进度表，可以制订日程计划，开出具体的工作单和投料安排。 一、生产计划的策略 生产计划工作可以有两种作用。一种是只起消极被动的作用，即企业只是单纯地响应和试图满足对产品的需求。另一种作用是积极主动的作用，亦即企业力图影响或控制(操纵)需求。 □对需求的消极响应 在很多情况下企业往往是"被动"的，只是满足既经提出的需求，并不企图去改变需求。一个新建的资本不雄厚的企业，可能没有足够
的资金与人力去改变价格。而另一种情况是一个迅速发展中的公司，其新产品有需求量很大的市场，它的主要问题是如何尽量地增加产量，和获得扩大生产所需的资金。第三种情况是许多企业进行着经济上的竞争，在产品分工上相对协调，各个企业的产量在整个市场中所占的比重不大，每个企业仅能获得合理的利润，并且各自能在接近最优生产率的情况下从事生产和经营。 在企业只起被动作用的场合中，企业力图改变下列因素(变量，的大小及其组合以满足需求，这些变量(因素，是劳动力的多少，存贮水平，生产率，订立分包合同与产品品种搭配。 有时用纯策略和混合策略的术语来说明如何运用这些变量。"纯策略"的含意，是指在只改变一个变量(其他变量保持不变)情况下的生产输出。例如，当需求变化时，劳动力可以增加或减少，它与需求直接有关。这种策略特别适合于劳动量大的产品。另一个纯策略是在保持其它变量不变情况下改变生产率。而且劳动力变动的结果将会引起停工(工时利用不充分)或加班加点(负载过重)的现象。 其余的纯策略是通过调节存储来满足需求，需求大时动用存储，需求小时补足存储，利用分包合同可以做到使储备降到最低的情况下满足需求，或用来解决"高峰懦求。例如，使生产设备保持恒定的生产率以满足最低需求量，对于超过这需求量的部分则通过分包合同来解决。改变产品的搭配可以使其它变量保持稳定。往往会发生产品品种供需不协调的情形。某些产品需求大，另一些需求量小。因此，要根据需求的变化重新分配各品种生产所需的资源，以平衡协调供需