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常微分计算题及解答

常微分计算题及解答 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

计算题（每题10分）

1、求解微分方程2

'22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x

y y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d t

x y ==+?????2的通解

5、求解微分方程24y xy x '+=

6、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

-=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程''+-=-y y y e x

'22的通解 8、求方程组dx

dt x y dy

x y =+=+?????234的通解

9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程

2y x dx

-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x

'24的通解 12、求方程组dx

dt x y dy

x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程()x

x y y e '-= 14、试用逐次逼近法求方程

22x y dx

+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x

y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程

x e y y y -=-+''32 的通解

17、求方程组?????-+=-+=y

x dt dy

dt dx x y dt dy dt dx

243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程

2dy

x y dx

=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????.

20、利用逐次逼近法，求方程

22dy

y x dx

=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。

21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计

式：

0|()()|(1)!

n n n ML x x x x n ??+-≤-+。

22、求初值问题

22,(1)0dy

x y y dx

=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区

间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。

23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ?

?-+= ??? 24、2

221dy y dx x y ??+= ?+-??

25、

1210dy x y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x =+- 28、22dy y x dx xy

29、222()0xydx x y dy +-= 30、3(ln )0y dx y x dy

x ++= 312

2ydx xdy

x y -=+ 32、(1)10x

x y

x e dx e dy y ??++-= ??

? 33、2

13dy x y dx x y -+=++34、443

()0x y dx xy dy +-= 35、()22(2)0xy y dx y y x dy -+++=

36、310y y ''+= 37、0y y y y ''''''-+-= 38、23100y y y y ''''''--+= 39、(4)0y y += 40、(6)(4)220y y y y ''--+= 41、(4)0y y ''-= 42、(4)48830y y y y y ''''''-+-+= 43、(4)4640y y y y y ''''''-+-+= 44、x y y xe -''+= 45、234x y y y e '''++=- 46、324(2)x y y y x e '''-+=+

47、2613(52)t x x x e t t '''++=-+ 48、t x x e '''-= 49、22t s as a s e '''++= 50、2441t t x x x e e '''-+=++ 51、410y y '''++=

52、33(5)x y y y y e x -''''''+++=- 53、32sin cos y y x x '''+=+ 54、22225sin (0)x kx k x k kt

k '''++=≠

55、sin cos y y x x ''+= 56、22cos x y y y e x -'''-+= 57、210cos 2x y y y e x -'''-+= 58、sin ,0x x at a ''+=>

59、225cos y y x '''+= 60、4sin 2y y x x ''+= 61、234sin 2y y x '''+=+ 62、224cos x y y y e x '''-+= 63、918cos330sin3y y x x ''+=- 64、sin cos2x x t t ''+=- 65、22cos t x x x te t '''-+= 66、求微分方程22

()01y y y

'''+=-的通解。 67、求1cos x y y xe x x '''=

+的通解。 68、求微分方程20y y

y x x

'''-+=的通解。 69、求微分方程2()0xyy x y yy ''''+-=的通解。 70、求微分方程32sin x y y y e x -'''++=+的通解。 71、求微分方程22144x

y y y e x

'''-+=

的通解。 72、求方程245csc x y y y e x '''-+=的通解。 73、求微分方程2220x y xy y '''+-=的通解。 74、求微分方程22222x y xy y x '''+-=+的通解。 75、利用代换cos u

y x

将方程 cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+= 化简，并求出原方程的通解。

76、求下列线性微分方程组2244(1)22(2)

x y e dt

dy x y dt -?=-+???

?=-??

77、解下列微分方程组1

12222

322(1)

(2)2(3)

dy y y dx dy

y y dx dy y dx ?=-???=-+???=??

的通解。 78、5445dy

y z dx

dz y z dx

?=+???

?=+?? 79、3452dx

x y dt

dy x y dt

?=+???

?=+?? 80、254342x y y x

x y x y

''-=-??

''-=-?

计算题答案

１、解：对应的齐次方程20y xy '+=的通解为2

x y ce -=

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为2

()x y c x e

-=代入方程2

22x

y xy xe

-'+=得

()2c x x '=因此有2()c x x c =+ 所以原方程的通解为2

2()x y x c e -=+

２、解：按初始条件取 0()0y x ≡

3、解：对应的齐次方程为-20y y y '''+= 特征方程为2 +20λλ-=解得 1,-2λ=

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+ 设方程的一个特征解为1x y Ae -=

则 1

x y Ae -'=-，1x y Ae -''= 代入解得1

A =- 从而11

2x y e -=- 故方程的通解为2 11212

x x x y Y y c e c e e --=+=+- 。

4、解：它的系数矩阵是A =????

?0121 特征方程||A E -=--=λλλ

210

或为2-10+9=0 特征根1=1,2=9

原方程对应于1 =1的一个特解为y 1=e t ,x 1=-e t 对应于2=9的一个特解为

y 1=e 9t ,x 1=e 9t

原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+???

--12

21222 5、解：对应的齐次方程20y xy '+=的通解为2x y ce -=

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为2

()x y c x e -=

代入方程24y xy x '+=得2()4x c x e x '=因此有2

()2x c x e c =+

所以原方程的通解为22

(2)x x y e c e -=+ 。

6、解：取20011()0,()()[()]x

n n y x y x y x t y t dt -==+-?

则211

1y ()22

x x x tdt ==-?

因此，第二次近似解为 532211

y ()2062430

x x x x x =-++--。

7、解：对应的齐次方程为-20y y y '''+=

特征方程为2 +20λλ-=，得 1,-2λ=对应的齐次方程通解为 -212x x Y c e c e =+ 设方程的一个特征解为-1x y Ae = 则- 1x y Ae '=-,-1x y Ae ''=代入解得-1A =，而- 1-x y e = 故方程的通解为-2-112x x x y Y y c e c e e =+=+-

8、解：由方程解出y ，得y x x p x p

=--2122，代入dx p dy =1得dx x dp

p =即p cx =

故通解为y c x c =--211

22()

9、解：方程化为y x

y x '-=2

对应的齐次方程y x

y '-=20 的通解为y=cx 2

(41)

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x 2 代入方程得

c 1(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (31）

所以原方程的通解为y=(x 2+c)x 2

(11)

10、解：取20010

()0,()()[()]x n n y x y x y x t y t dt -==+-?

则210()2x

x y x tdt ==? 2225

20()2220x t x x y x t dt ????=-=-?? ???????? 因此，第三次近似解为 532211y ()2062430

x x x x x =-++-- 11、解：对应的齐次方程为20y y y '''+-= 特征方程为2+-2=0 解得=1,-2

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+设方程的一个特征解为1x y Ae -=

则1

x y Ae -'=- ,1x y Ae -''=代入解得2A =- 从而12x y e -=-故方程的通解为2122x x x y c e c e e --=+-

12、解：它的系数矩阵是A =????

?0121 特征方程||A E -=--=λλλ

210

或为2-4-5=0 （21）特征根1=-1,2=5

原方程对应于1 =5的一个特解为y 1=e 5t ,x 1=e 5t 对应于2=-1的一个特解为y 2= -e -t ,x 2=e -t

原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+???

--12

21222 13、解：方程化为1

x y y e x

'-=对应的齐次方程 -0y y '=的通解为 x y ce =

用常数变易法，可设非齐次方程的通解为 ()x y c x e =

代入方程得1

()c x x

'=因此有()ln ||c x x c =+

所以原方程的通解为(ln ||) x y e x c =+

14、解：取20010

()0,

()()[()]x

n n y x y x y x t y t dt -==+-?

则3210()3

x y x t dt ==? 2337

220()3363x t x x y x t dt ????=+=+?? ???????

因此，第三次近似解为

15、解：对应的齐次方程特征方程为2 +2=0λλ-解得=1,-2

对应的齐次方程通解为 -2 12x x Y c e c e =+

设方程的一个特征解为-1x y Ae =代入解得1A =

从而- 1x y e = 故方程的通解为-2- 112 x x x y Y y c e c e e =+=++

16、解：对应的齐次方程特征方程为2+-2=0 解得=1,-2

对应的齐次方程通解为

212x x Y c e c e -=+设方程的一个特征解为1x y Ae -=

代入解得32A =- 从而13

x y e -=-

故方程的通解为21123

x x x y Y y c e c e e --=+=+-

17、解：化简有232x x y

y x y '=-??'=-?

它的系数矩阵是A =??????0121 特征方程||A E -=--=λλλ

210

或为2-1=0 （21）特征根1=±1

原方程对应于1 =-1的一个特解为y 1=e -t ,x 1=e -t 对应于2=1的一个特解为y 2=e t ,x 2=3e t

原方程组的通解为x ce ce y ce ce t t

t t

=+=-+???

--12

21222 18、解：因22(,)(1),(,)(1)M x y x y N x y y x =-=-

2M N

xy y x

??==??所以为全微分方程将其分组22()0xy dx yxdy xdx ydy ++-=

原方程可写成 22221

()02

d x y x y +-=

方程的通解为 222212x y x y c c +-==

19、解：0()(0)0x y ?==

20、解：零次近似解为 0()(0)1x y ?==

一次近似解为 23101

()1(1)13

x x s ds x x ?=+-=+-?

二次近似解为 21、证：由0

0()(,())x x x y f s s ds ??=+?

及迭代列

得 0

00|()()||(,())|||x x x x f s s ds M x x ???-≤

≤-?

设 10|()()|||(1)!k

k k ML x x x x k ??+-≤-+

则 0

1|()()||(,())(,())|x k k x x x f s s f s s ds ????+-≤

由归纳法知，对任意n 次近似解，估计式（1）成立。

22、解：1）由存在唯一性定理知，解的定义区间为 0|1|x h +≤

其中220(,)|1|min(,),max ||4x y R b

x h a M x y M

∈+≤==-=。这里1,1a b ==，从而

014h =，即得解的定义区间为 1|1|4

x +≤。

2）求初值问题的二次近似解 0()(1)0y x y ≡-= 则二次近似解为

3）由误差估计公式 1

0|()()|(1)!

n n n ML y x y x x x n +-≤-+

其中L 是李普希兹常数。因为

|2|2f

y y

?=≤?，可取2L =，则有即第二次近似解在存在区间上的误差不超过1

24。

23、解：方程可化为 1

cos dy y y dx x x =-

作变换y u x =，代入方程得到1cos du u x u dx u +=- 进一步化简，得 cos dx

udu x =- 两边积分得 sin ln ||u x C =-+

代回原变量，得原放通解 sin ln ||y

x C x

=-+

24、解：令2,3v y u x =+=-，代入原方程得 2

2dv v du u v ??

= ?+??

这是齐次方程，再作变换v z u =，则方程化为 2

21dz z z u du z ??

+= ?+??

将变量分离，得 22

(1)(0)(1)z du

dz z z z u

+=-≠+ 两边积分得 ln ||2arctan ln ||zu z C =-+

代回原变量，得通解 22arctan

2y x y ce +--+=

此外，0z =即2y =-也是解，它包含在上述通解中。

25、解：首先求线性齐次方程 2

120dy x

y dx x

-+= 的通解。分离变量，得 2

21dy x dx y x -=，两边积分得 1

y Cx e = 设原方程通解为 12()x

y C x x e =，代入原方程，得到 121'()x

C x e

两边积分得 1

()x C x C e -=+于是，所求方程的通解为 1

22x

y Cx e x =+。

26、解：若对调x 与y 的地位，即可把方程化为 1ln dx x dy y y y

=-+

这是以x 为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 0ln dx x dy y y

+= 的通解。分离变量，得

ln dx dy x y y

=-，两边积分得 ln C x y =

为求得原方程通解，设 ()ln C y x y =，代入原方程，得 1

'()ln C y y y

两边积分得 2(ln )()2

y C y C =+所以，所求方程的通解为 ln ln 2C y

x y =+。 27、解：若对调x 与y 的地位，即可把方程化为 12ln dx x

y dy y

=-++ 这是以x 为未知函数的一阶线性方程，先求线性齐次方程 dx x

dy y

=- 的通解。分离变量，得 dx dy x y =-，两边积分得 C x y

= 令 ()

C y x y

=，代入原方程，得 '()2ln C y y y y =+

两边积分得 2()ln C y C y y =+

所以，所求方程的通解为 ln C

x y y y

=+。

28、解：原方程为122dy y dx x y =-，令2z y =，代入上式得1dz z dx x

=- （1）上式两边同乘1x ，并整理得 '

1z x x ??

=- ???

，两边积分得 ln ||z C x x =-

这样，得到线性方程（1）的通解为 ln ||z Cx x x =- 代回原变量，得原方程通解 2ln ||y Cx x x =-

此外，x 出现在分母位置，不可取0。

29、解：因为22(,)2,(,)()M x y xy N x y x y ==-，所以有

(,)(,)

2M x y N x y x y x

??==?? 因此方程为全微分方程。取000,0x y ==，得

于是方程的通解为 3

y x y C -=。 30、解：这里 3(,),(,)ln y

M x y N x y y x x

==+，于是 (,)1(,)M x y N x y y x x ??==?? 因此这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到 3ln 0y dx xdy y dy x ??

++= ???

即 4(ln )04y d y x d += 所以，方程的通解为 4

ln 4

y y x C += 31、解：这里

22(,)y M x y x y =++，22(,)x

N x y x y =++

于是 3222222222

(,)(,)12(1)()M x y N x y y xy x y y x x y x y -??==-+++-

??++ 因此这是一个全微分方程。即

arctan 0y d d x ?

?-= ??

所以，方程的通解为

arctan y

C x

-=。

32、解：这里(,)1,x

y M x y e =+ (,)1x y x N x y e y ??

=- ??

?，经计算知(,)(,)M x y N x y y x ??=?? 这是一个全微分方程。把方程重新分项组合，得到

即 0x y dx d ye ??

+= ? ???

，所以，方程的通解为 x

y x ye C +=。

33、解：将方程改写为 2(1)(3)0x y dx x y dy -+-++=

这里 2(,)1,(,)(3)M x y x y N x y x y =-+=-++

所以

(,)(,)

1M x y N x y y x

??==-?? 这是一个全微分方程。取000,0x y ==，得

23323

x y x xy y =+---于是方程的通解为 23

323

x y x xy y C +---=。 34、解：443(,),(,)M x y x y N x y xy =+=-，

334,M N

y y y x

??==-?? 所以 33345M N

y y y x N xy x ??-+??==--，这样，方程有积分因子 5

1()dx x

x e x μ-?== 原方程两端乘以51

，得到全微分方程 43540dx y y dx dy x x x +-=

即 44(ln ||)04y d x d x ??-= ???

，原方程的通解为 4

4ln ||4y x C x -=。

35、解：22(,)2,(,)M x y xy y N x y y y x =-=++，41,1M N

xy y x

??=-=?? 于是得到然

2(21)2(21)M N

xy y x M y xy y

??-

-??==----，所以，方程有积分因子 2

()dy

y y e

μ-?==

于是原方程可化为 211210x x dx dy y y y ??

??-+++= ? ????

即 2()(ln ||)0x d x d dy d y y ??

-++= ???

，

因而，方程的通解为 2ln ||x

x y y C y -

++= 36、解：令 'y p =，则 "dp y p dy =，代入方程得 31

pdp dy y

两边积分得 2

1Cy p y

+= ，从而将方程降为一阶方程 dy dx =将变量分离，易求得其通解为 2211()Cy Cx C +=+。

37、解：特征方程为 3210λλλ-+-=，因式分解为 2(1)(1)0λλ-+=

特征根为12,31,i λλ==±，故所求通解为 123cos sin x y C e C x C x =++。 38、解：特征方程为 3223100λλλ--+=，因式分解为 2(2)(45)0λλλ+-+=

特征根为12,32,2i λλ=-=±，故所求通解为

22123(cos sin )x x y C e e C x C x -=++。

39、解：特征方程为 410λ+=，特征根为1,23,4,2222

λλ=

±=-±，故所求通解为

1234cos sin cos sin 2222y C x C x e C x C x ????

=+++ ? ? ? ?????

。

40、解：特征方程为 642220λλλ---=，因式分解为

特征根为12345,61,1,i λλλλλ====-=±，故所求通解为

123456cos sin x x y C C e C e C e C x C x -=+++++.

41、解：特征方程为 420λλ-=，

特征根为123,41,1,0λλλ=-==（二重），故所求通解为

1234x x y C C x C e C e -=+++.

42、解：特征方程为 43248830λλλλ-+-+=，因式分解为22(1)(23)0λλλ--+=

特征根为1,21λ=-（二重），3,41λ=±，故所求通解为

1234()()x x y e C C x e C C =+++.

43、解：特征方程为 43246410λλλλ-+-+=，即 4(1)0λ-=

特征根为1λ=（四重），故所求通解为

231234()x y e C C x C x C x =+++. 44、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos sin y C x C x =+

由于1-不是特征根，故已知方程有形如 1()x y Ax B e -=+

的特解。将1()x y Ax B e -=+代入已知方程，比较系数得 11

,22

A B ==

即 11

(1)2

x y x e -=+，因此，已知方程的通解为

121

cos sin (1)2

x y C x C x x e -=+++。

45、解：对应齐次方程的特征方程为 22310λλ++=，特征根为 121

1,2

λλ=-=-，

齐次方程的通解为 12

12x x

y C e C e

--=+

由于0,1都不是特征根，故已知方程有形如 1x y A Be =+

的特解。将1x y A Be =+代入已知方程，比较系数得 1

4,6

A B ==-

即 146x y e =-，因而，所求通解为1212146

x x

x y C e C e e --=++-。

46、解：对应齐次方程的特征方程为 2240λλ-+=，特征根为 1,21λ=±，

齐次方程的通解为 12()x y e C C =+ 由于3不是特征根，故已知方程有形如 31()x y e Ax B =+

的特解。将31()x y e Ax B =+代入已知方程，比较系数得 110

,749

A B ==

即 311

107

49x y e x ??=+ ???，因此，已知方程的通解为

3121

10()7

49x x y e C C e x ??=+++ ???。

47、解：对应齐次方程的特征方程为 26130λλ++=，特征根为 1,232i λ=-±，

齐次方程的通解为 312(cos 2sin 2)t y e C t C t -=+

由于1不是特征根，故已知方程有形如 21()t x At Bt C e =++ （1）的特解。求出 21[(2)()]t x At A B t B C e =++++ （2）

21[(4)(22)]t x At A B t A B C e =+++++ （3）

将（1）、（2）、（3）代入已知方程，比较系数得 129211

,,201001000

A B C ===

即 211

29211201001000t x t t e ??=-+ ???

，因此，已知方程的通解为

32121

29211(cos 2sin 2)20

1001000t t x e C t C t e t t -??=++-+ ???。

48、解：对应齐次方程的特征方程为 310λ-=，特征根为 12,311,2λλ==-±，

故通解为 12123cos sin 22t t x C e C C e -??=++ ? ??

? 由于1是一重特征根，所以已知非齐次方程有形如 1t x Ate =

的特解。将1t x Ate =代入已知方程，得 1

A =

即 11

t x te =，因此，所求通解为

12313t t

x C e C C e te -??=+++ ? ???

。 49、解：对应齐次方程的特征方程为 2220a a λλ++=，特征根为 1,2a λ=-（二重）。

① 若1a ≠-，此时齐次方程的通解为过 12()at s C C t e -=+ 由于1不是特征根，故已知方程有形如 1t s Ae = 的特解。

将1t s Ae =代入已知方程，得 21(1)A a =+，即 12

(1)

t s e a =+ 所以，1a ≠-时已知方程的通解为 1221()(1)at t

s C C t e e a -=+++。

② 若1a =-，此时齐次方程的通解为过 12()t s C C t e =+

由于1是二重特征根，故已知非齐次方程有形如 22t s At e = 的特解。

将22t s At e =代入已知方程，得 12

A =，即 221

2t s t e =

所以，1a =-时已知方程的通解为 2121

()2

t s C C t t e =++

50、解：对应齐次方程的特征方程为 2

440λλ-+=，

特征根为 2λ=（二重），故齐次方程的通解为 212()t x C C t e =+ 由于2是二重特征根，1和0不是特征根，故已知非齐次方程有形如

的特解。将221t t x A Be Ct e =++代入已知方程，得 11

,1,42

A B C ===

即 22111

t t x e t e =++，因此，所求通解为

221211

()42

t t t x C C t e e t e =++++。

51、解：对应齐次方程的特征方程为 240λλ+=，特征根为 120,4λλ==-，

齐次方程的通解为 412x y C C e -=+

因为0是一重特征根，故已知非齐次方程有形如 1y Ax =

的特解。将1y Ax =代入已知方程，得 1

A =-

所以，所求通解为 4121

4x y C C e x -=+-。

52、解：对应齐次方程的特征方程为 3

23310λλλ+++=，特征根为 1λ=-（三重），

故通解为 2123()x y C C x C x e -=++ 由于1-是三重特征根，所以已知非齐次方程有形如 31()x y x A Bx e -=+

的特解。将31()x y x A Bx e -=+代入已知方程，得 51

,624

A B =-=

即 3151

()624

x y x x e -=-+，因此，所求通解为 23

1231()(20)24

x x y C C x C x e x x e --=+++-。

53、解：对应齐次方程的特征方程为 230λλ+=，特征根为 120,3λλ==-，

所以对应齐次方程的通解为 312x y C C e -=+

由于i ±不是特征根，所以已知方程有形如 1cos sin y A x B x =+

的特解。将1cos sin y A x B x =+代入已知方程，得 71

,1010

A B =-=

因此，所求通解为31271

cos sin 1010

x y C C e x x -=+-+。

54、解：对应齐次方程的特征方程为 22220k k λλ++=，特征根为 1,2k ki λ=-±，

齐次方程的通解为 ()12cos sin kt x e C kt C kt -=+

由于k i ±不是特征根，所以已知方程有形如 1cos sin x A kt B kt =+ 的特解。将1cos sin x A kt B kt =+代入已知方程，得 2,1A B =-= 因此，所求通解为

()12cos sin 2cos sin kt x e C kt C kt kt kt -=+-+。 55、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos sin y C x C x =+ 因为 1

sin cos sin 22

x x x =

由于2i ±不是特征根，故已知方程有形如 1cos2sin 2y A x B x =+

的特解。将1cos2sin 2y A x B x =+代入已知方程，得 1

0,6

A B ==-

因此，所求通解为121

cos sin sin 26

y C x C x x =+-。

56、解：对应齐次方程的特征方程为 2220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，

齐次方程的通解为 ()12cos sin x y e C x C x =+

由于1i -±不是特征根，故已知方程有形如 1(cos sin )x y e A x B x -=+

的特解。将1(cos sin )x y e A x B x -=+代入已知方程，得 11

,88

A B ==-

因此，所求通解为()121

cos sin (cos sin )8

x x y e C x C x e x x -=++-。

57、解：对应齐次方程的特征方程为 22100λλ-+=，特征根为 1,213i λ=±，

齐次方程的通解为 ()12cos3sin3x y e C x C x =+

由于12i -±不是特征根，所以已知非齐次方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 32911

,,,2633813169

A B C D ===-=-

因此，所求通解为

()123291

1cos3sin3cos2sin 22638813169x y e C x C x x x x ????=+++-+ ? ?????

。

58、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，

所以对应齐次方程的通解为 12cos sin x C t C t =+ I ）若1a =，由于i ±是一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将1(cos sin )x t A t B t =+代入已知方程，得 1

,02

A B =-=

所以，1a =时所求通解为 121

cos sin cos 2

x C t C t t t =+-。

II ）若1a ≠，此时已知方程有形如 2cos sin x C at D at =+

的特解。将2cos sin x C at D at =+代入已知方程，得 2

0,1C D a

==- 所以，1a ≠时所求通解为 122

cos sin sin 1x C t C t at a

=+-

- 59、解：对应齐次方程的特征方程为 2250λλ+=，特征根为 125

0,2

λλ==-，

齐次方程的通解为 5212x y C C e -=+ ，因为 21cos2cos 2

x +=

而0是一重特征根，2i ±不是特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 115

,,1041164

A B C ==-=

因此，所求通解为5212115

cos2sin 21041164x y C C e x x x -=++-+

。 60、解：对应齐次方程的特征方程为 2

40λ+=，特征根为 1,22i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos2sin 2y C x C x =+ 由于2i ±是一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 11

,0,0,816

A B C D =-===

因此，所求通解为

21211

cos2sin 2cos2sin 2816

y C x C x x x x x =+-+。

61、解：对应齐次方程的特征方程为 220λλ+=，特征根为 122,0λλ=-=，齐次方程的通解为 212x y C e C -=+

由于0是一重特征根，2i ±不是特征根，所以已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 311

,,222

A B C ==-=-

因此，所求通解为

21231

(cos2sin 2)22

x y C e C x x x -=++-+。

62、解：对应齐次方程的特征方程为 2220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，

齐次方程的通解为 12(cos sin )x y C x C x e =+

由于1i ±是一重特征根，故已知方程有形如 1(cos sin )x y xe A x B x =+ 的特解。将1(cos sin )x y xe A x B x =+上式代入已知方程，得 0,2A B == 因此，所求通解为

12(cos sin )2sin e x y C x C x e xe x =++。 63、解：对应齐次方程的特征方程为 290λ+=，特征根为 1,23i λ=±，

齐次方程的通解为 12cos3sin3y C x C x =+ 因为3i ±是一重特征根，所以已知方程有形如

的特解。将1(cos3sin3)y x A x B x =+上式代入已知方程，得 5,3A B ==

因此，所求通解为

12cos3sin35cos33sin3y C x C x x x x x =+++。 64、解：对应齐次方程的特征方程为 210λ+=，特征根为 1,2i λ=±，齐次方程的通解为 12cos sin x C t C t =+

因为i ±是一重特征根，而2i ±不是特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 131

,0,,023

A B C D =-===

因此，所求通解为

1211

cos sin cos sin 23

x C t C t t t t =+-+。

65、解：对应齐次方程的特征方程为 2

220λλ-+=，特征根为 1,21i λ=±，

齐次方程的通解为 12(cos sin )t x e C t C t =+ 因为1i ±一重特征根，故已知方程有形如

的特解。将上式代入已知方程，得 11

0,,0,,0,044A B C D E F ======

因此，所求通解为121

(cos sin )(cos sin )4t t x e C t C t te t t t =+++。

66、解：设 ()dp

y p y y p dy '''==? 原方程化为 2201dp p

p dy y

+=- 分解得 0p = 和

201dp p dy y

+=- 由 0p = 得解 y c = 由 201dp p dy y +=- 21dp dy p y -=- 得 2(1)dp p c y dx ==- 2

(1)dy cdx y =- 积分之得 1211c x c y -=+- 或者 22

1y c x c =-+ 故方程的全部解为 12

1y c x c =-+ 和 y c =.

67、解：令,y p y p ''''== 原方程化为

即 11(sin cos )2

x dy c x xe x x dx =++

积分得到 212111sin (cos sin )222x x y c x xe x e x x c ??

=++-+????

68、解：令 y ux = 则 ,2y u xu y u xu '''''''=+=+代入原方程得：

化简得 xu u '''=- 解得 1'c

u x

= 12ln u c x c =+

故通解为 12(ln )y c x c x =+.

69、解：（解法一）将原方程重新改写为 2[()]0x yy y yy ''''+-=

由于 2()yy yy y '''''=+ 令'u yy = 方程化为 du

x u dx

= 分离变量可得 1u c x = 即 1yy c x '= 或者 1ydy c xdx =

两边积分 2212y c x c =+.

（解法二）由于方程两端关于,,y y y '''是二次齐次函数，故可作变换

代入方程后得 22[][]0u u u u u x e e u u x e u e e u '''''??++-??= 消去 22,2()0u e xu x u u ''''++= 不显含u ，令 ()()u p x u p x ''''==

得到伯努利方程 21

2dp p p dx x

-=- 令 12,v p v p p --''==-

所以 121du x p v dx c x

-===+ 两边积分

ln x

u dx c x c ==+? 因此通解为

ln c

u y e e c ===或者改写 2234y c x c =+.

70、解：原方程对应齐次方程特征方程为2320,r r ++=121,2r r =-=-，所以对应齐次

方程通解为 212x x y c e c e --=+

自由项1()1x f x e λ-==- 是单重特征根，1x y Axe -=。

自由项2()sin f x x i λ== 不是特征根 2sin cos y B x C x =+。

故令 ***1

2sin cos x y y y Axe B x C x -=+=++ 代入原方程两端比较系数得 13

1,,1010

A B C ===-

故方程的通解为 21213

sin cos 1010

x x x y xe x x C e C e ---=+-++.

71、解：相应齐次方程的特征方程为2244(2)0,r r r -+=-= 故122r r ==，齐次方程的

通解为 212()x y c x c e =+。

非齐次方程的特解可令为 *2212()()x x y c x xe c x e =?+。

故 221222222()()01()()'()()x x x x

x c x xe c x e c x xe c x e e

x ''??+=??'''+=??

即 2122'()'()0

(1)1

'()(12)2'()(2)c x x c x c x x c x x ?+=???++=??

(1)22?- 得 121'()c x x

= , 代入(1)得 2

()c x x '=. 所以 1122211

(),()ln c x dx c c x x c x x

==-+=-+?.

故原方程的通解为 22121

()(ln )x x y c xe x c e x

=-++-+

2213()ln x x c x c e x e =+-?. 32(1)c c =-。 72、解：设 *2*2*2(),(2()()),(4()())x x x y e u x y e u x u x y e u x u x '''''=?=+=+

代入后得到 ()u x 满足 csc u u x ''+=

其特征方程210r +=，齐次方程的通解为 12sin cos c x c x +。

设特解为*12()sin ()cos u c x x c x x =+。 12(),()c x c x 满足

解得 1

2()cot ()1c x x c x ''==- 于是 1122()lnsin ,()c x x c c x x c =+=-+

所以原方程的通解为 212[(lnsin )sin ()cos ]x yM e c x x c x x =++-。

73、解：令,t d

x e D dt

==，则 2(1)xy Dy x y D D y '''==- 原方程化为

(1)220D D y Dy y -+-=。即 2220d y dy

y dt dt

-=。特征方程为 21220,2,1r r r r +-==-=

通解为 212t t y c e c e -=+ 或 122

y c x x =+。

74、解：令,t

d x

e D dt

==，则原方程化为 22222t d y dy y e dt dt +

-=+，特征根为2,1-。自由项2()2t

f t e λ==不是特征根，故特解*21

t y Ae = 自由项()20f t λ==不是特征根，故特解*

y B =。设 *2*2*224t t

t y Ae B

y Ae y Ae '''=+==。代入方程后 221

42214

t t A e B e A B ?-=+==-

通解为 22121

t t t y c e c e e -=++-

或者 2

122

114

c y c x x x =++-。 75、解：（解法一）由 cos u y x = 两端对x 求导，得

可将原方程化为 "4x u u e += 特征方程为 21,240

2r r i +==±，

齐次方程通解为 12cos 2sin 2u c x c x =+。自由项()1x f x e λ== 不是特征根。

设 *x u Ae = 代入方程解得 1

5A =

其通解为 121

cos 2sin 25

x u c x c x e =++ （12,c c 为任意常数）

原方程的通解为 12cos 2sin 21cos cos 5cos x

x x e y c c x x x =++ 1222cos 2'sin 2('2)cos cos x x e c c x c c x x

=++=。

（解法二）也可由 sec y u x = 代入原放后得方程 4x u u e ''+= 以下解法同解法一。

76、解：由（2）式解得 12dy

x y dt

=+ （3）

代入（1）得到 21

242

t t y y e -''+= 或 248t t y y e -''+= （4）

相应特征方程 21,2402r r i +==±

齐次方程通解为 12cos2sin 2y c t c t =+

自由项2()82t

f t e λ-==- 不是特征根。设 *2t y Ae -= 代入方程（4）得到 22(44)8t t A A e e --+=，得 1A = 。故方程（4）的通解为 212cos2sin 2t y c t c t e -=++

代入（3）式得到2212121

cos2sin 2(2sin 22cos22)2

t t x c t c t e c t c t e --=+++-+-

即原方程通解为 1221212()()cos2()sin 2()cos2sin 2t

x t c c t c c t

y t c t c t e

-=++-??=++?。 77、解：由（3）式正是一阶常系数微分方程，特征方程202r r -==，故233x y c e =

代入（2） 2223x dy

y c e dx

+= （4）

特征方程 101r r +==-。而自由项 23()2x f x c e λ== 不是特征根。

设*

x y Ae =，解得： 313A c =。故方程（2）可解出 222313x x y c e c e -=+ 代入（1）式得到 211232

223

x x dy y c e c e dx --=-- （5）

特征方程为 202r r -==

自由项222

()23

x x f t c e e -=--中11λ=-不是特征根，22λ=是单重特征根，

故设特解为 *

x x y Be Dxe -=+。代入（5）得

得 2322

,33

B c D c ==-，

方程（5）的通解为 22112322

x x x y c e c e c xe -=+-

最后可写出方程组的通解为 21

132223223322()33

13x

x x x x y c c x e c e y c e c e y c e --?=-+??

=+??

=???

78、解：系数矩阵5445A ??

= ???

的特征方程是

求得特征值为 121,9λλ==。

相应于11λ=的特征向量a b ?? ???满足 44()044a a A E b b ??????

-== ? ?????????

解之得 1,1a b ==-。

相应于29λ=的特征向量a b ?? ???满足 44(9)044a a A E b b -??????

-== ? ???-??????

解之得1a b ==。

由此得方程组的通解为 9121111x x y C e C e z ??????

=+ ? ? ?-??????

。

79、解：系数矩阵3452A ??

= ???

的特征方程为

求得特征值为 122,7λλ=-=。

相应于12λ=-的特征向量a b ?? ???满足 54(2)054a a A E b b ??????

+== ? ?????????

即5

4b a =-。所以，特征向量可取为 45a b ????= ? ?-????

相应于27λ=的特征向量a b ?? ???满足 44(7)055a a A E b b -??????

-== ? ???-??????

即a b =。所以，特征向量可取为 11a b ????

= ? ?????

由此得方程组的通解为 27124151t t x C e C e y -??????

=+ ? ? ?-??????

。

80、解：把方程组改写为 232x x y y x y =-=-

为系数矩阵2312A -??

= ?-??

的特征方程223det()1012A E λλλλ---=

=-=-- 解之，得特征值为 121,1λλ==-。相应于11λ=的特征向量a b ??

???

满足

13013a b -????= ???-????解之得3a b =。不妨取1b =，则3a =。那么，对应的解为 31t x e y ????= ? ?????

相应于11λ=-的特征向量a b ?? ???满足 33033a b -????

= ???-????

解之得a b =。不妨取1a b ==。那么，对应的解为 11t x e y -????

= ? ?????

于是，方程组的通解为 123111t t x C e C e y -??????

=+ ? ? ???????

。

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程证明题及答案

证明题（每题10分） 1、设函数f (t)在[,)0+∞上连续且有界，试证明方程 dx dt x f t +=()的所有解均在[,)0+∞上有界. 证明：设x=x(t)为方程的任一解，它满足某初始条件x(t 0)=x 0,t 0∈[0+∞) 由一阶线性方程的求解公式有 y x y e f s e ds x x s x x x ()()() ()=+---?000 现只证x(t)在[t 0,+∞)有界，设|f(t)|≤M ,t ∈[0+∞) 于是对t 0≤t<+∞有 ||||()y y e M x x ≤+--00|()|()f s e ds M s t x x -? ≤|x 0|+Me -t e ds s t t ? ≤|x 0|+M[10--e t t () ] ≤|x 0|+M 即证 2、设函数f (x),p(x)在[,0+∞）上连续，且b x f a x p x <>=+∞ →|)(|0)(lim 且 (a,b ,为 3、设函数f (x)在[,0+∞）上连续，且lim ()x f x b →+∞ =又a >0 4、设函数y (x)在[,)0+∞上连续且可微，且lim['()()]x y x y x →+∞ +=0试证lim ()x y x →+∞ =0 5、若y 1(x ),y 2(x )为微分方程0)()()(21=+'+''x p x y x p y 的两个解，则它们的朗斯基行列式为w y y ke p x dx (,) ()121==? -其中k 为由y 1(x ),y 2(x )确定的常数 6、求微分方程()()'x y xyy x 2 2 2 12-'-=的通解 7、解方程xdx x y dx x y dy x y + +--+=()()22 0 8、解方程()()'x y xyy x 2 2 2 12-'-= 9、解方程xdx x y dx x y dy x y + +--+=()()22 10、解方程2 3 ()()0yy y y ''''-+= 11、已知()f x 是连续函数。（1）求初值问题0 '() |0x y ay f x y =+=??=?的解()y x ，其中a 是正常数。（2）若|()|f x k ≤（k 为常数），证明当0x >时有|()|(1)ax k y x e a -≤-。 12、已知当1x >-时()f x 具有一阶连续导数，且满足()01()()01(0)1 x f x f x f t dt x f ? +-=?+??=??

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程试题

常微分方程基本概念习题附解答

§1.2 常微分方程基本概念习题及解答 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=| )1(|ln 1+x c 3．dx dy =y x xy y 32 1++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=3 1x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 211 u - du=sgnx x 1dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

常微分方程证明题

常微分方程试题——证明题证明题 1. 试证：如果)(t ?是 AX dt dX =满足初始条件η?=)(0t 的解，那么 η ?)(exp )(0t t A t -=. 2. 设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 3. 假设m 不是矩阵A 的特征值，试证非齐线性方程组 mt Ce AX dt dX +=，有一解形如：mt Pe t = )(?，其中P C ,是常数向量. 4. 设(,)f x y 及y f ??连续,试证方程0 ),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖与x 的积分因子. 5. 设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞ →x f x ，求证：方程) (d d x f y x y =+的任意解)(x y y = 均有0 )(lim =+∞ →x y x . 6. 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解. 7. n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解. 8. 设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应一阶齐次线性方程于区间I 上的一个非零解。则含有任意常数C 的表达式： )()(x x C y ψ?+= 是一阶非齐次线性方程于区间I 上的全部解的共同表达式。 9. 设n n ?矩阵函数)(1t A ，)(2t A 在（a , b ）上连续，试证明，若方程组 X t A dt dX )(1=与 X x A dt dX )(2=有相同的基本解组，则)(1t A ≡)(2t A 。 10. 证明：一个复值向量函数)()()(t iv t u t X +==?是（LH ）的解的充要条件，它的实部)(t u 和虚部)(t v 都是（LH ）的解。

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程计算题word

常微分方程习题集（3）（三）、计算题 1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ； 2. 解方程： 024=++xy xy dx dy ； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：； 6. 解方程： x y x y y x tan =-'； 7. 解方程：； 8. 解方程：y y x e y ' ='； 9. 解方程：xy x y y x dx dy 3225423++-=； 10. 解方程：y x y y xy dx dy 22 ++-=； 11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='； 13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程： x x x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3 432842y xy x y y x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：； 18. 解方程：04)4(=+x x ； 19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：； 22. 解方程：6244x y y x =+' ； 23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ； 24. 解方程：； 25. 解方程：021 212 2=++'x y y ； 26. 解方程：04)3() 5(=-x x ；

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一．填空题（共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分练习题

习题四随机变量的数字特征一、填空题 1.若随机变量X 服从区间[a,b]的均匀分布，则E X =______, D X =_____ 2.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)( X-2)]=1,则λ=___ 3.设随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，k,b 为常数，则有E(k X+b )=_______ D(k X+b )=__________ 4.若随机变量X 服从二项分布B(n,p )，且EX=6，DX=3.6，则n =______, p =____ 5.设随机变量X 1,X 2,X 3互相独立,且X 1～U(0,6),X 2～N(0,),X 2 23～P(3),记Y= X 1-2X 2+3X 3，则E(Y)=__,D （Y ）=___. 6*.设X 与的联合分布律为：则Y X 与Y 的联合相关系数 XY ρ=____________ 7. 设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布，则随机变量 1,0,,Y ?? =??? 若X>0若X=0-1若X<0，则方差D(Y)= . 8*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若Z=X-0.4，则Y 与Z 的相关系数为。 9*.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX 2=EY 2=2,则E(X+Y)2= . 10.随机变量X 服从参数为λ的指数分布，则{P X > = 。二、选择题 1.设随机变量X 的概率密度函数为f （x ）=0.10.100 0x e x x ??>??≤?? ，则E （2X+1）=【】 A 1.2 B 41 C 21 D 20 2. 设X 是随机变量，EX=1，DX=3，则E[3(X ?2+2)]= 【】 A 18 B 9 C 30 D 36 3.设X 是随机变量，EX=μ，DX=σ2，则对任意常数C ，必有【】 A E(X-C)2=EX 2-C 2 B E(X-C)2=E(X-μ)2 C E(X-C)2≤E(X-μ)2 D E(X-C)2≥E(X-μ)2

常微分方程计算题及答案.

计算题（每题10分） 1、求解微分方程2 '22x y xy xe -+=。 2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy +=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+ -=的通解 4、求方程组dx dt y dy dt x y ==+?????2的通解 5、求解微分方程 '24y xy x += 6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy -=通过点(1,0)的第二次近似解。 7、求解方程 ''+-=-y y y e x '22的通解 8、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????234的通解 9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程 2y x dx dy -=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解 12、求方程组dx dt x y dy dt x y =+=+?????2332的通解 13、求解微分方程 x y y e x (')-= 14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy +=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解 16、求解方程 x e y y y -=-+''32 的通解

17、求方程组?????-+=-+=y x dt dy dt dx x y dt dy dt dx 243452的通解 18、解微分方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程 2dy x y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ????. 20、利用逐次逼近法，求方程 22dy y x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ???。 21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ?与精确解()x ?有如下误差估计式： 1 0|()()|(1)! n n n ML x x x x n ??+-≤-+。 22、求初值问题 22,(1)0dy x y y dx =--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。 23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ??-+= ??? 24、2 221dy y dx x y ??+= ?+-?? 25、 21210dy x y dx x -=-= 26、ln (ln )0y ydx x y dy +-= 27、'2ln y y y y y x = +- 28、22dy y x dx xy -=

常微分方程期中考试试卷(2015)

13级常微分方程期中考试试卷班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________，则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。

常微分方程期末试题答案

2005——2006学年第二学期数学专业常微分方程课程试卷（A ）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y ' 连续是保证方程 ),(d d y x f x y =初值唯一的充分条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(2 1y y x y '+ '=的通解是221 C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()() x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --

二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）? =x x p d )(e μ （B ）? =x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）（A ）可分离变量方程（B ）线性方程（C ）全微分方程（D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-= 'x y y （ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=,12 15．求方程 0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解解：取()()x y y x N x y y x M ln ,,,3 +== 则()()x y x N y x M x y 1 ,,==，于是原方程为全微分方程所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1 3 1

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