课题1 二阶与三阶行列式；全排列及其逆序数； n 阶行列式的定义；对换. 1、二阶行列式 把二元线性方程组11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （1） 的四个系数按它们在方程组（1）中的位置，排成二行二列的数表 1112 2122 a a a a （2） 其运算表达式11221221a a a a -称为数表（2）的二阶行列式， 记为 11 12 1122122121 22 a a D a a a a a a = =- （3） 理解：（1）数(1,2; 1,2)ij a i j ==称为行列式（3）的元素 或元，即行列式（3）的元素可表为(1,2;1,2)ij a i j ==， 其中i 为行标，j 为列标。元素ij a 位于该行列式（3）的第i 行 第j 列或称为行列式（3）的第(, )i j 元. （2）把11a 到22a 的联线称为主对角线，12a 到21a 的联线称为副对角线，二阶行列式等于各元素主对角线之积减去副对角线各元素之积. （3）行列式表示按某种法则运算的结果. 利用行列式的概念，二元线性方程组（1）的求解过程
可写为 11 1221220a a D a a = ≠，1 121222b a D b a =，11 1 2222 a b D a b =. 所以 11D x D =，2 2D x D =. 自学P 2例1. 2、三阶行列式 定义：设有9个数排成3行3列的数表 11 1213 21 222331 3233 a a a a a a a a a （4） 记为 1112 13 2122 2311223312233131 32 33 a a a D a a a a a a a a a a a a ==+ 132132132231112332122133a a a a a a a a a a a a +---. （5） （5）式称为数表（4）所确定的行列式. 例1 计算三阶行列式 2 22 111a b c a b c . 解 原式=2 22222bc ca ab ba cb ac ++---
9.4 （2）三阶行列式 按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、 三阶行列式的 内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法， 这个 法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的 研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究 三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的 符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数 学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂 问题简单化的数学思想. 三、 教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、 教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 ［说明］ b 2 C 2 b 3 C 3 & 93 C 2 C 3 b i b 2 q C 2 92 b 2 33 b 3 b i C i b 3 C 3 a i b i a 2 b 2 93 b 3 C i C 2 C 3 a i a 2 a 3 b i c i b 2 C 2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗? b 3 C 3
a 3 b s C 3 (i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 a i b i C, a ? b ? C ? a 3 b 3 C 3 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i bl C i 开式 a 2 b 2 C 2 a i b 2C 3 a zd c, a s b? a s b ?? a z b? a i b s C ?变形为: 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将二阶行列式 a i a ? a 3 b i b ? b 3 C i C ? C 3 a i b i C i 表示成几个含有二阶行列式运算的 式子，结果可能不唯一，可以有a 2 b 2 C 2 a i a 3 b 3 C 3 b ? C ? b 3 C 3 b i a 2 a 3 C 2 C 3 C i a ? b ? a 3 b 3 等等. 二、学习新课 1.知识解析 在刚才的实验中，将三阶行列式 阶行列式运算的式子，主要有: a i a 2 a 3 b i C i b ? C ?表示成了含有三个二 b 3 C 3 a i a ? a 3 a i a 2 a 3 a i a ? a 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b i C i b ? C ? b 3 C 3 b ? C ? b i a ? C ? a ? b ? a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b ? C ? bl C i b i C i a i b 3 C 3 a ? a 3 C 3 a 3 b ? C ? a ? C ? a i C i a i C i b ? b 3 a 3 C 3 a 3 C 3 a ? C ? 等等. 事实上，以 ai a 2 a 3 bl b 2 b 3 C i C ? C 3 a i b ? b 3 C 2 C 3 bl a 2 a 3 C 2 C 3 C i a ? b ? a 3 b 3 为例，先将展 b
9.4（1）三阶行列式 一、教学内容分析 三阶行列式是二阶行列式的后继学习，也是后续教材学习中一个有力的工具．本节课的教学内容主要围绕三阶行列式展开的对角线法则进行，如何理解三阶行列式展开的对角线法则和该法则的应用是本节课的重点内容． 二、教学目标设计 经历观察、比较、分析、归纳的数学类比研究，从二阶行列式的符号特征逐步形成三阶行列式的符号特征，从二阶行列式展开的对角线法则逐步内化形成三阶行列式展开的对角线法则，感悟类比思想方法在数学研究中的应用． 三、教学重点及难点 三阶行列式展开的对角线法则、三阶行列式展开的对角线法则形成的过程． 四、教学用具准备 可以计算三阶行列式值的计算器 五、教学流程设计 六、教学过程设计
一、情景引入 1．观察 (1)观察二阶行列式的符号特征： 13 25 02 31 - 612 711 - a b c d (2)观察二阶行列式的展开式特征： 13 112321=?-? 02 013(2)31-=?-?- 612 6(11)712711 =?--?- a b a d c b c d =?-? 2．思考 (1)二阶行列式算式的符号有哪些特征？ (2)你能总结一下二阶行列式的展开式有哪些特征吗？ [说明] (1)请学生观察二阶行列式的符号特征，主要是观察二阶行列式有几个元素，这几个元素怎么分布？从而可以类比得到三阶行列式的符号特征． (2)请学生观察和总结二阶行列式的展开式特征，可以提示学生主要着力于以下几个方面： ① 观察二阶行列式的展开式有几项？ ② 二阶行列式的展开式中每一项有几个元素相乘；这几个元素在行列式中的位置有什么要求吗？ ③ 二阶行列式的元素在其展开式中出现了几次？每个元素出现的次数一样吗？ 二、学习新课 1．新课解析 【问题探讨】 结合情景引入的两个思考问题，教师可以设计一些更加细化的问题引导学生发现二阶行列式的符号特征以及二阶行列式的展开式特征，从而类比得到三阶行列式相应特征．比如教师可以设计如下几个问题： 问题一，通过学习和观察，我们发现二阶行列式就是表示四个数(或式)的特定算式，这四个数分布成两行两列的方阵，那么三阶行列式符号应该有怎么样的特征呢？
精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 二阶三阶行列式 教学目的 1、掌握行列式及算法有关的概念；掌握行列式的初等变换;理解行列式的意义； 2、掌握二阶行列式展开的对角线法则。 教学内容 【知识梳理】 1、掌握行列式展开的对角线法则：11 122122 b b a a b a b a =- 2、二元一次方程组：111222 , a x b y c a x b y c +=??+=?，其中x,y 为未知数，方程组系数不全为0 系数行列式11 22 b b a D a =；11 22 b b x c D c =；1122 c c y a D a = （1）当0D ≠时，方程有唯一解x y D x D D y D ?=????=?? （2）当0D =，0x y D D ==时，方程组有无穷多解； （3）当0D =，,x y D D 中至少有一个不为零，方程组无解. 3、掌握三阶行列式展开的对角线法则，以及按某一行（列）展开的方法； 【典型例题分析】 【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - （3）432101421--
巩固练习1.计算 a b b a log 21log =__________________ 2． y x y x y x y x sin sin cos cos cos cos sin sin +-+- 3．将函数 3sin ()1cos x f x x = 的图像向左平移a （0a >）个单位，所得图像对应的函数为偶函数， 则a 的最小值为___________ 【例2】不解方程，判断下列方程组解的情况 （1）?? ?=-=+1232y x y x （2）???=+=+5918324y x y x 巩固练习：1. 用行列式法求解下列方程组： （1）???=-=+1232y x y x （2）???=-+-=-0 9218.05.1y x y x
§§1.1 二阶与三阶行列式 一． 教学重点： 对角线法则 二．教学目标： 掌握二阶与三阶行列式的定义，计算二阶与三阶行列式子 三．教学过程： 1．引 行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题． 设有二元线性方程组 ?? ?=+=+22221211112111b x a x a b x a x a (1) 用加减消元法容易求出未知量x 1，x 2的值，当a 11a 22 – a 12a 21≠0 时，有 ??? ??? ?--=--=2112221121 12112211222112122211a a a a a b b a x a a a a b a a b x (2) 这就是一般二元线性方程组的公式解．但这个公式很不好记忆，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示(2)这个结果，这就是行列式的起源． 定义1我们称4个数组成的符号 1112 112221222122 a a a a a a a a =- 为二阶行列式． 说明几个问题： 1） 它含有两行，两列．横的叫行，纵的叫列．行列式中的数叫做行列式的元素． 2） 从上式知，二阶行列式是这样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫行 列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积，取负号． 3） 几何描述：二阶行列式—平行四边形面积 由方程(1)我们有 1112121222a a b X Y a a b ??????+= ? ? ??????? 令1121a OA a ??= ???，1222a OB a ??= ???，12b OC b ??= ??? 即 X O A Y O B O C +=。
9.3（1）二阶行列式—--导学案 供稿人—赵艳波 学习目标： 1.了解行列式产生的背景； 2.经历引入二阶行列式的过程； 3.掌握二阶行列式展开法则及用二阶行列式解（系数行列式的值不为零的）二元一次方程组的方法，体验二阶行列式这一特定算式的特征． 学习重点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组． 学习难点：二阶行列式的展开、用二阶行列式解二元一次方程组 学习过程 一 知识链接： 行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中 一种非常有用的工具．行列式概念第一次在西方出现，是1693年在莱布尼茨给洛必达的一系列信中出现的，据此，莱布尼茨得到了发明行列式的荣誉．然而，1683年在日本数学家关孝和（被誉为“算圣”、“日本的牛顿”）的著作《解伏题元法》中就有了行列式的概念． 德国数学家莱布尼茨是与牛顿齐名的微积分的创始人，同时他又是数学史上最伟大的符号学者之一，堪称符号大师，他曾说：“要发明，就要挑选恰当的符号，要做到这一点，就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物内在本质，从而最大限度地减少人的思维劳动”．他创造的数学符号有商“ b a ”、比“a :b ”、相似“∽”、全等“≌”、并“ ”、交“ ”等，最有名的要算积分和微分符号了． 二 新知导学： 1．二阶行列式的引入 设二元一次方程组（*）?? ?=+=+2 221 11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数且不全为零，21,c c 是常数项．） 用加减消元法解方程组（*）．当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解： ??? ? ?? ?--=--=1221122 112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，引入记号21a a 21b b 表示算式1221b a b a -，即 21a a 21b b 1221b a b a -=． 2.行列式的相关概念： 行列式 二阶行列式 行列式的展开式 行列式的值 行列式的元素 对角线法则 = D 2 1a a 2 1b b ，= x D 2 1c c 2 1b b ，= y D 2 1a a 2 1c c ，则当=D 21a a 2 1b b =01221≠-b a b a 时，
2017年9月13日15:53:58 由于本人最近在学习线性代数，刚学，很多东西不懂。于是边学边总结经验。 三阶行列式比二阶行列式计算难一些。于是总结计算方法如下。 二阶行列式 要计算三阶行列式的前提条件是，你要会计算二阶行列式 如下就是一个二阶行列式 222112 11a a a a 二阶行列式的计算方法非常简单，就是对角线互乘. 然后主对角线乘积(a 11a 22)减去副对角线乘积(a 12a 21). 222112 11a a a a =a 11a 22-a 12a 21 会了二阶行列式之后，你会发现二阶行列式其实不难。但是三阶行列式其实跟二阶行列式相比，难度就不在一个等级。我通过看书自学，发现有两个比较好的办法去解决这个问题。 方法一：对角线 只不过这次对角线比较多，而且比较繁琐 3332 312322 211312 11a a a a a a a a a 这个行列式中，我们计算，如果是用对角线去计算的话。方法如下 a 11a 22a 33 + a 12a 23a 31 + a 13a 21a 32 – a 13a 22a 31 – a 12a 21a 33 – a 11a 23a 32 例题 2 131323 21=1*3*2 + 2*1*3 + 3*2*1 – 3*3*3 – 2*2*2 – 1*1*1 = -18 理解对角线的关键在哪里呢？？？ 这里也是我做这个文档的原因。因为我发现很多教材包括我看到的，都是让你圈让你找。。。其实都太繁琐。我理解之后发现其实只有两个字就可以理解对角线。那就是——位移。 当然我发现更多的教材，对于基础问题，它都不怎么提及。你看吧。看得懂是你的悟性。看不懂来报我们的辅导班……这个怪现象真的容易把你带进沟你，因为所有的东西都涉及商业利益的时候，其实你看到的都不是真相，看到的只是教材编辑者想给你看到的。 是的。比如说a 12a 21a 33的时候，你可以通过对角线找到a 12a 21但是你怎么确定a 31的位置?关键其实只要把第三列整体移动到第一列前面就可以了。别的以此类推。 方法二：转换为二阶行列式 因为二阶行列式很简单，非常容易计算，虽然我们有了方法一可以解决大部分问题，但是有的时候还是计算太麻烦了。于是我们要升级方法。让原本可以解决的问题，我们用更简便的方法解决它。已达到省时省力的效果学习也事半功倍。
9.4 （2）三阶行列式按一行（或一列）展开 一、教学内容分析 三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法 则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法.本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则. 二、教学目标设计 ⑴ 掌握余子式、代数余子式的概念； ⑵ 经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法； ⑶体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想. 三、教学重点及难点 三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定. 四、教学过程设计 一、情景引入 【实验探究1】 （1）将下列行列式按对角线展开： （2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式 a1 b1 c1 a2 b2 C2表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？ a3 b3 C3 ［说明］
(i)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的 知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三 G C 2 C 3 等等. 二、学习新课 1 .知识解析 阶行列式运算的式子，主要有: 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式 的？ a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 与相应的二阶行列式间的关系. 阶行列式 (2)将三阶行列式 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 式子，结果可能不唯一，可以有 表示成几个含有二阶行列式运算的 a i b i a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 b i a 2 C 2 a 3 C 3 C i a 2 b 2 a 3 b 3 在刚才的实验中，将三阶行列式 a i b i C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 表示成了含有二个二 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 a i a 2 a 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b i C i b 2 C 2 b 3 C 3 b 2 C 2 b i a 2 C 2 a 2 b 2 a i b 3 C 3 a 3 C 3 C i a 3 b 3 b 2 C 2 bi C i b i C i a i b 3 C 3 a 2 a 3 C 3 a 3 b 2 C 2 a 2 C 2 b 2 a i C i b 3 a i C i a 3 C a 3 C 3 a 2 C 2 等等. 事实上，以 ai bi a 2 b 2 a 3 b 3 C i C 2 C a i b 2 C 2 b 3 C 3 bi a 2 C a 3 C 3 C i a 2 a 3 b 2 b 3 为例，先将展 开式 a i bi C i a 2 b 2 C 2 a 3 b 3 C 3 a a b 2C i a 2b i C 3 a 〔b 3C 2 变形为: C i C 2 C b i