概率统计单元自测题
皖西学院金融与数学学院编订
第一单元 随机事件及其概率
一、选择题
1、事件A 发生且,B C 都不发生，下列表示不正确的是：( )
① ABC ； ② A B C -- ； ③ ()A B C -+ ； ④ A BC - 2、设,A B 是同一样本空间S 中的任意两个事件，则下列关系一定成立的是( )
①.()A B B A +-= ; ②.()A B B A +-? ; ③.()A B B A -+= ; ④. ()A B B A -+?.
3、从一批产品中随机抽两次，每次抽1件。以A 表示事件“两次都抽得正品”，
B 表示事件“至少抽得一件次品”，则下列关系式中正确的是 ( )
① A B ì； ② B A ì ； ③ A B = ； ④ A B = .
4、设,A B 是同一样本空间S 中的任意两个事件，且()0.6P A = ，()0.7P B = ，则()P AB 的最小值是 ( )
① 0; ② 0.1; ③ 0.42; ④ 0.3
5、同时掷3枚匀称的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为 ( )
① 0.5 ； ② 0.25 ； ③ 0.125 ； ④ 0.375 .
6、设()0.6,()0.7P A P B ==，则()p P AB =的取值范围是（ ） ① 00.3p
＃； ② 00.6p
＃； ③ 0.10.6p
＃； ④ 0.30.6p
＃.
7、设,A B 是互不相容事件，且0()1P B <<。则下列关系不能成立的是 ( ) ① ()()()P AB P A P B =； ②()0P AB = ；③()()()P A B P A P B +=+； ④()1P A B +=.
8、已知A B ì，则下面说法错误的是 ( )
① ()()()P B A P B P A -=- ；②()()()P B A P B P AB -=-；
③ ()()()P AB P A P B =- ； ④ ()()()P BA P B P A =-.
9、设,A B 是互不相容的事件，则下列等式一定成立的是 ( )
①()()()P AB P A P B = ；②()1()P A P B =- ；③()1P AB = ；④()1P A B =U 二、填空题
1、袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设{A = 取得球的号码是偶数} ，{B = 取得球的号码是奇数} ，{C = 取得球的号码小于5} ，问下列运算表示什么事件：
①A B U {= } ②{AB = } ③{AC = } ④{AC = } ⑤{AB = } ⑥{B C =U } ⑦{A C -= } 2、用事件,,A B C 的运算关系式表示下列事件：
① 表示 A 出现，,B C 都不出现； ② 表示 ,A B 都出现，C 不出现； ③ 表示 所有,,A B C 三个事件都出现； ④ 表示 ,,A B C 三个事件中至少有一个出现； ⑤ 表示 三个事件,,A B C 都不出现；
⑥ 表示 三个事件,,A B C 中不多于一个事件出现； ⑦ 表示 三个事件,,A B C 中不多于两个事件出现； ⑧ 表示 三个事件,,A B C 中至少有两个事件出现。
A表示第i次3、一批产品有合格品和废品，从中有放回的抽取三个产品，设
i
A的运算表示下列各个事件：
抽到废品，试用
i
①表示第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
②表示只有第一次抽到废品；
③表示三次都抽到废品；
④表示至少有一次抽到合格品；
⑤表示只有两次抽到合格品；
⑥表示三次中恰好有两次抽到废品；
⑦表示三次中至少有两次抽到废品。
P AB= .
4、已知()
=，()
=，则()
P AB c
P B b
P A a
=，()
5、已知()0.7
P AB= .
-=，则()
P A=，()0.3
P A B
三、计算题
1、从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有一件次品的概率。
2、一个口袋中装有六只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：
①最小号吗是三的概率；
②最大号码是三的概率。
3、掷两颗骰子，求下列事件的概率：
①点数之和为7；
②点数之和不超过5；
③点数之和为偶数；
④点数之积为奇数。
4、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
5、已知A B ì ，()0.4P A = ，()0.6P B = ，求
①(),()P A P B ；②()P A B U ；③()P AB ；④(),()P BA P AB ；⑤()P AB 。
6、设,A B 是两个事件，已知()0.5P A = ，()0.7P B = ，()0.8P A B =U ，试求()P A B - 与()P B A - .
第二单元 条件概率与事件的独立性
一、选择题
1、设,A B 是相互独立的事件，且0()1P B << 。则下列关系不能成立的是 ( )
① ()()()P AB P A P B = ； ② (|)()P A B P A = ； ③ ()()()P A B P A P B +=+ ； ④(|)()P A B P A =.
2、设事件A 与B 互不相容，且()0,()0P A P B >>, 则有 ( )
①()()()P A B P A P B =+U ；②()()()P AB P A P B =；③A B =；④(|)()P A B P A = 3、设事件A 与B 相互独立，且()0,()0P A P B >>, 则下面错误的是 ( )
① (|)()P A B P A =； ②(|)()P B A P B =； ③ ()()()P AB P A P B =； ④()()()P A B P A P B =+U .
4、设()0,()0,()0P A P B P C >>>，,A B 互斥，下列结论不能够成立的是 ( )
① ()()()P A B P A P B +=+ ; ② ()()()P A B P A P B -=- ； ③ ()()|(|)(|)P A B C P A C P B C +=+ ；④ ,A B 一定不独立。
5、设,A B 是互不相容的事件，则下列等式一定成立的是 ( )
①()()()P AB P A P B = ； ②()()()P A B P A P B -=- ； ③()()()P A B P A P B +=+ ； ④(|)()P A B P A = 。
二、填空题
1、设()0.8P A =，()0.4P B =，()0.25P B A =，则()P A B =______________.
2、设A B ì ，()0.3,()0.8P A P B == ，则(|)P A B = .
3、设A B ì，()0.1,()0.5P A P B ==，则()P AB = .
4、已知11
(),(|)43
P A P B A =
= ，则()P AB = .
5、设1()()()4P A P B P C ===
，()0P AB = ，1
()()6
P AC P BC == ，则A ，B ，C 不全发生的概率为 .
6、若事件A 和事件B 相互独立，()P A α= ，()0.3P B = ，()0.7P A B =U ，则α= . 三、计算题
1、某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.
①已知他已投入基金，再购买股票的概率为多少？
②已知他已购买股票，再投入基金的概率为多少？
2、有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐飞机、和坐汽车的概率分别为0.3,0.2,0.4,0.1.若坐火车来，他迟到的概率为0.25，若坐船来，他迟到的概率是0.3，若坐汽车来，他迟到的概率为0.1，若坐飞机来，则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。
3、已知甲袋中装有6只红球，4只白球；乙袋中装有8只红球，6只白球，求下列事件的概率。
①随机的取一只袋，再从该袋中随机的取一只球，该球是红球； ②合并两只口袋，从中随机的取一只球，该球是红球。
4、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“*”和“-”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，而是分别以0.8和0.2的概率收到信号“*”和“-”；同样，当发出信号“-”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“-”和“*”
求①收报台收到信号“*”的概率；②当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率。
5、设某一工厂有,,A B C 三个车间，它们生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占该厂生产螺钉的总产量的25%、35%、40%，每个车间成品中次品的螺钉占该车间生产量的百分比分别为5%、4%、2%.如果从全厂总产品中抽取一件产品，得到了次品。求这件次品依次是车间,,A B C 生产的概率。
6、设事件A 与B 独立，且()P A p = ，()P B q = ，求下列事件的概率：
①A B + ， ②A B + ， ③A B +
7、已知事件A与B独立，且
1
()
9
P AB=，()()
P AB P AB
=，求(),()
P A P B .
8、设甲、乙、丙三人分别独立的同时向同一目标射击各一次，命中率分别为112
,,
323
，求目标被命中的概率。
9、假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生三次故障的概率。
10、设灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
11、设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概
率为19
27
，求事件A在每次试验中的概率()
P A .
12、加工一零件共需经过3道工序，设第一、第二、第三道工序的次品率分别为2%、3%、5%，假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
13、将一枚均匀的硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4至6次出现正面的概率是多少？
14、某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：
①在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；
②在此时刻恰好有一半的电梯正在运行的概率；
③在此时刻所有的电梯都在运行的概率。
第三单元 一维随机变量及其分布
一、判断题
1、设()F x 是随机变量的分布函数，则对0x R ?∈，总有0
0lim ()()x x F x F x +→=.
2、设()F x 是随机变量的分布函数，则()F x 在区间(,)-∞+∞内单调不减。
3、设()f x 是连续型随机变量的密度函数，则()f x 在区间(,)-∞+∞内单调不减。
4、连续型随机变量的分布函数()F x 在区间(,)-∞+∞内总是连续的。
5、连续型随机变量的密度函数()f x 在区间(,)-∞+∞内总是连续的。
6、离散型随机变量的分布函数一定是阶梯形状。
7、设离散型随机变量X 的分布列为(),1,2,i i p P X x i ===L ，则级数i x ∑一定收敛。
8、设离散型随机变量X 的分布列为(),1,2,i i p P X x i ===L ，则级数i p ∑一定收敛。
9、设()F x 、()f x 分别是随机变量X 的分布函数和密度函数，则在()f x 的连续点处总有'()()F x f x =. 二、选择题
1、（多选题）下列各表达式中，能作为随机变量的分布列的是：（ ）
()(),1,2,3,4,5;()(),4,3,2,1;1010
k k
A P X k k
B P X k k -==
====---- ()(),1,2,3,4;10
k
C P X k k -=== 22()(),1,2,;!k e
D P X k k k -===L 11
()()0.30.7,0,1,2;()(),1,2,,10.10
k E P X k k F P X k k -==?===
=L L . 21()(),0,1,2,;33i i G p i =
=L 4421()()(),1,2,3,4.33
i i i i H p C i -== 2、（多选题）下列函数中，能够作为随机变量的密度函数的是 ( )
（A ）11()sin ,22f x x x ππ=-<<； （B ）111()sin ,222
f x x x ππ=-<<；
（C ）()sin ,0f x x x π=<<； （D ）1
()sin ,02f x x x π=<<.
()E ?????<<=它其20,0,cos )(πx x x f ； ()F ?????<<=它其πx x x f 0,0,2
cos )( ； (G)??
???<<-=它其22,0,cos )(ππx x x f ； ()H ???<<=它其10,0,)(x xe x f x . 3、设X 的分布列为01
20.10.30.6X
P ??
???
，则(1.5)F = （ ）
(A) 0.6 (B) 1 (C) 0.3 (D) 0.4. 4、设()F x 为X 的分布函数，则对任意)(,,2121x x x x <有=-)()(12x F x F
（A ）12()P x X x << （B ）12()P x X x ≤< （C ）12()P x X x ≤≤
（D ）12()P x X x <≤
5、设随机变数X 的密度函数是(),()0,f x a x b
x ?≤≤?=??其它
，则下列成立的是 ( )
()
A ()1f x dx +∞
-∞
=?
；()
B ()1b
a
f x dx =?
； ()C ()1a
f x dx +∞
=?
； ()D ()1b
f x dx -∞
=?
6、设随机变量X 的概率密度为2(42),12
()0,K x x x f x ?-<<=??
其它 , 则K =（ ）
()
A 165 ()
B 21 ()
C 43 ()
D 5
4
7、设2~(,)X N μσ则概率()P X μ≤会随μ的增大而 （ ）.
()A 增大 ； ()B 减小 ； ()C 保持不变 ； ()D 不确定.
8、设2~(3,),(53)0.2,X N P X σ--<<-=则(1)P X >-= ( ).
()A 0.2 ； ()B 0.3 ； ()C 0.5 ； ()D 0.7.
9、若2~(,)X N μσ，对于任何实数a ，都有 ( ) （A ）{}{}P X a P X a ≤=≥； （B ）{}{}P X a P X a ≤=≥-； （C ）{}{}P X P X μμ≤=≥； （D ）{}{}P X P X μμ≤=≥-.
10、设~(2,4),~(3,9)X N Y N ，记(3),(4)P X P Y αβ=>=>，则：( )
();
();
();
()A B C D αβαβαβ><=不能确定.
11、（多选题）设X 为某一常用分布，其线性函数(0)Y aX b a =+≠仍保持原来 分布类型的有 （ ）
()A 0-1分布； ()B 二项分布； ()C 泊松分布； ()D 均匀分布； ()E 指数分布； ()F 正态分布.
三、填空题
1、当C =________时，()(0,1,2,3,4)2i
C
P X i i ==
=是某个随机变量的分布列。 2、一口袋中装有6个球，在6个球上分别标有-3，-3,1,1,1,2这样的数字.从袋中任取一球，求取得球上标明数字X 的分布列.______________________ 3、设随机变量X 的分布列是
写出随机变量X 的分布函数。
4、设随机变量(6,)X B p :，已知(1)(5)P X P X ===，则p =__________，
(2)P X ==____________.
5、某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X 表示实验者首次成功所进行的试验次数，求X 的分布列。______________________________
6、设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求方程210t Xt ++=有实根的概率________________.
7、设随机变量X 的分布函数为1(1),0;
()0,
0.x x e x F x x -?-+>=?≤?则X 的密度函数
()f x =_________________；(1)P X ≤=___________；(2)P X >=___________.
8、设随机变量(0,1)X N :，借助正态分布表计算：(2)P X <=_________；
(1)P X >=_________； (1)P X >-=_________；( 1.5)P X <=_________.
9、设2(,)X N μσ:，则(0)Y aX b a =+≠服从的分布是____________________.
10、设随机变量X 在区间[1,2]-上服从均匀分布，随机变量1,0;0,0;1,0.X Y X X >??
==??-
若若若 求
随机变量Y 的分布律___________________.
11、分别写出二项分布(,)B n p 、泊松分布()P λ的分布律_________________、_________________.
12、分别写出均匀分布(,)R a b 、指数分布()E λ和正态分布2(,)N μσ的密度函数_________________、_________________、_________________. 四、解答题
1、一袋中装有5个编号分别为1，2，3，4，5的乒乓球。从中随机抽取3个，以X 表示取出的3个球的最大号码，写出X 的分布列和分布函数。
2、某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X 服从参数4λ=的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？
3、设随机变量X 的密度函数为2,0;
()0,.x x A f x <
分布函数。
4、设随机变量X 的密度函数为(),.x
f x Ae x -=-∞<<+∞ 求
（1）系数A ； （2）(01)P X <<； （3）X 的分布函数.
5、求出与密度函数0.5,0;()0.25,02;0, 2.x e x f x x x ?≤?
=<≤??>?
对应的分布函数()F x 的表达式。
6、设随机变量X 的分布函数为()arctan ,.F x A B x x =+-∞<<+∞求： （1）常数,A B ； （2）(1)P X <； （3）X 的密度函数.
7、设X 的分布列为
求出：以下随机变量的分布列 2(1)2;(2)1;(3)X X X +-+.
8、设X的密度函数为
2,01;
()
0,.
x x
f x
<<
?
=?
?其他
，求以下随机变量的密度函数：2
(1)2;(2)1;(3)
X X X
-+.
第四单元 二维随机变量及其分布
一、判断题
1、由(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y 可以确定唯一的X 或Y 的边缘分布函数。
2、由X 和Y 的边缘分布函数可以确定唯一的(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y .
3、当X 和Y 相互独立时，由X 和Y 的边缘分布函数可以确定唯一的(,)X Y 的联合分布函数(,)F x y .
4、设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 、Y 独立与X 、Y 不相关是等价的。
5、如果(,)X Y 的联合密度函数的形式为()(),,;
(,)0,.g x h y a x b c y d f x y ?≤≤≤≤?=??其他，
则X 、Y 独立。
6、设(,)X Y 的联合分布函数和联合密度函数分别为(,)F x y 和(,)f x y ，则在
(,)f x y 的连续点处一定有
2(,)
(,)F x y f x y x y
?=??. 7、设(,)X Y 的联合分布列为(,),1,2,3;1,2,3.ij i j p P X x Y y i j =====如果有且只有一个0ij p =，其他的都0≠，则X 、Y 一定不相互独立。 二、选择题
1、（多选题）设,X Y 相互独立，下列结论成立的是（ ）
1212121222221122121211()(,),(,)(,);()(),()();()(,),(,)(,);()(),()();
()(,),(,)(,);()(,A X B m p Y B n p X Y B m n p B X P Y P X Y P C X R a b Y R c d X Y R a c b d D X E Y E X Y E E X N Y N X Y N F X N λλλλλλλλμσμσμμσσμσ?++?++?+++?++?+++::::::::::::::::由由由由由由222222221212),(,)(,)
Y N aX bY N a b a b μσμμσσ?+++::
2、设(,)X Y 的联合密度为4,01,01;
(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤?=??其他.，则=)2,5.0(F （ ）
0.5
00.500.50.52
02
01
1
()
4;
()
4;()
4;()
4.x x x x y y y y A xydxdy B xydxdy C xydxdy D xydxdy <<<<<<<<<<<
??
??
3、已知(,)X Y 的联合密度(,)f x y 如下，满足X Y 、相互独立的是（ ）
()(,)2,01,01;()(,)2,01,0;A f x y x x y B f x y x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤ ()(,),01,01;
()(,)8,01,0C f x y x y x y D f x y xy x y x =+≤≤≤≤=≤≤≤≤.
4、下列条件中，不能满足,X Y 相互独立的是 （ ）
..(),,(,)()();(),,(,)()();(),,(,)()();
()(,),,(,)()();()(,),,.
X Y X Y ij i j A x y R P X x Y y P X x P Y y B x y R P X x Y y P X x P Y y C x y R F x y F x F y D X Y x y R f x y f x f y E X Y i j p p p ?∈≤≤=≤?≤?∈====?=?∈=??∈=??=?对都有对都有对都有当为连续型时，对都有当为离散型时，对都有
三、填空题
1、设二维随机变量(,)X Y 的分布律为 01
1103112
3
3
X Y
\ ,则X 的边缘分布律为_______________；Y 的边缘分布律为______________；()P X Y ==_________. 2、设(,)X Y 在D 上服从均匀分布，其中D 为21x y y x =+轴，轴及直线所围成的三角形区域，写出(,)X Y 的联合密度函数__________________.
3、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度为26,01;
(,)0,.x y x f x y ?<<<<=??其他 ，
则X 的边缘密度函数()X f x =__________________；Y 的边缘密度函数
()Y f y =_______________.
4、在(0,2)范围内随机取两个数，记为X 和Y ，则()P X Y ==__________；
()P X Y >=_________；(3)P X Y +<=__________；2
1()2
P Y X >
=__________. 5、设(2,0.2),(3,0.2),X b Y b ::且,X Y 相互独立，则X Y +服从的分布是________________；(4)P X Y +==_____________。
6、设(2,1),(5,4),X N Y N ::且,X Y 相互独立，则3Z X Y =-服从的分布是
__________________.
7、设(,)X Y 的联合分布列如下，写出给定1X =(2X =)条件下Y 的条件分布列。
123
10.10.30.22
0.20.050.15
X Y \ ___________________ 、_________________________。 四、解答题
1、一口袋装有编号为1，2，2，3的四个球。从中任取一个球，不放回，再取一个球。以X 、Y 分别表示两次取出的球上的号码. (1)求(,)X Y 的联合分布列； (2)求X 、Y 的边缘分布列； (3)计算概率().P X Y =
2、箱子中装有10件产品，其中2件次品，每次从箱子中任取一件，取2次。定义随机变量X 、Y 如下：
0,0,1,1,X Y ??==????第一次取出正品；第二次取出正品；
第一次取出次品.第二次取出次品.
按照放回抽样和不放回抽样分别写出(,)X Y 的联合分布。
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤
课程号： 《概率论与数理统计》自测试卷 考试形式：闭卷考试 考试时间：120分钟 专业 班号 学号 姓名 得分 注意：所有答案请写在答题纸上，写清题号，否则无效。 一、填空题（本题20分，每题5分，共4题） 1、已知P(A)=0.4，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则P(AUB)= __0.9 ； 2、某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为 15 16 ，则此前锋在一次射门中进球的概率为 12； 3、设随机变量X 服从参数为λ的Poisson 分布， 已知E(X)+ D(X) =5，则参数λ等于 _2.5 ； 4、假设来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96） (3.04, 6.96) . 【解答】 1、 已知P(A)=0.4，，P(B)=0.5, 若A 与B 互不相容，则由有限可加性有P(AUB)=0.4+0.5=0.9 2、 某国奥队前锋在4次射门中至少命中1次的概率为 1516，则1516 =1-4 (1)p -，从而此射手在一次射击中命中的概率为p= 1 2 。 3、 由Poisson 分布数学期望和方差的性质有E(X)+ D(X) =5 即λλλ+==25，从而，λ=2.5. 4、来自正态总体(,100)N μ 的容量为100的样本，样本均值为5x =,则总体均值μ的置信度为0.95 的 双侧置信区间为（已知分位点0.025Z =1.96 ）在方差已知的条件下是??± ?X ，代入数据得置信区间(5-1.96, 5+1.96) =(3.04, 6.96) 。 二、选择题（本题20分，每题5分，共4题） 1、一酒鬼带着n 把钥匙回家,只有一把是门钥匙。他随手摸1把，总共摸了n 次，(提示：酒鬼的特征是失忆即无记忆性，每次可能重复摸到任何一把钥匙)。设随机变量X 为摸到门钥匙的总次数，则X 服从的分布为____C______
高考专题突破六高考中的概率与统计问题 题型一离散型随机变量的期望与方差 例1 某品牌汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示．已知分9期付款的频率为0.2.4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为1.5万元；分12期或15期付款，其利润为2万元．用η表示经销一辆汽车的利润. 付款方式分3期分6期分9期分12期分15期 频数4020 a 10b (1)求上表中的a，b值； (2)若以频率作为概率，求事件A“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用分9期付款”的概率P(A)； (3)求η的分布列及期望E(η)． 解(1)由 a 100＝0.2，得a＝20. 又40＋20＋a＋10＋b＝100，所以b＝10. (2)记分期付款的期数为ξ，ξ的可能取值是3,6,9,12,15. 依题意，得 P(ξ＝3)＝40 100＝0.4，P(ξ＝6)＝20 100＝0.2，P(ξ＝9)＝0.2， P(ξ＝12)＝10 100＝0.1，P(ξ＝15)＝10 100＝0.1. 则“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位分9期付款”的概率为P(A)＝0.83＋C13×0.2×(1－0.2)2＝0.896. (3)由题意，可知ξ只能取3,6,9,12,15. 而ξ＝3时，η＝1；ξ＝6时，η＝1.5；ξ＝9时，η＝1.5；ξ＝12时，η＝2；ξ＝15时，η＝2. 所以η的可能取值为1,1.5,2，且P(η＝1)＝P(ξ＝3)＝0.4，P(η＝1.5)＝P(ξ＝6)＋P(ξ＝9)＝0.4，P(η＝2)＝P(ξ＝12)＋P(ξ＝15)＝0.1＋0.1＝0.2. 故η的分布列为 η1 1.5 2 P 0.40.40.2 所以η的期望E(η)＝1×0.4＋ 思维升华离散型随机变量的期望和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；
《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，
D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
中考复习之专题六统计与概率 教学准备 一. 教学内容： 复习六统计与概率 二. 教学目标： （1）从事收集、整理、描述和分析的活动，能计算较简单的统计数据． （2）通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果． （3）会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据． （4）在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度．（5）探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度．（6）通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题． （7）通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差．（8）根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流． （9）能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法． （10）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题． （11）在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表和画树状图）计算简单事件发生的概率．（12）通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值． （13）通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题． （14）认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。 三. 教学重点与难点： 1. 学会选择合适的调查方式 2. 会利用抽样调查的结果计算或估计总体 3. 了解平均数、中位数、众数的意义，会求一组数据的平均数、中位数、众数。 4. 了解必然事件与随机事件，并能确定它们发生机会的大小。 通过实例进一步丰富对概率和统计的认识，并能解决一些实际问题． 四.知识要点： 知识点1、调查收集数据过程的一般步骤 调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论． 知识点2、调查收集数据的方法 普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的． 知识点3、统计图 条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额． 知识点4、总体、个体、样本、样本容量 我们把所要考查的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考查对象叫做个体．从总体中取出的一部分
概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
一、单项选择题 1 已知随机变量X 在（1，5）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<1）之间服从均匀分布，则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量（X ，Y ）在（X>0,Y>0,X+Y<2）之间服从均匀分布，则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件，在下列各式中，成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ，且X 、Y 相互独立，则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间（0，2）的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为（ C ） A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间（1，3）的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为（ B ） A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数，则f (x )值的范围必须（ B ）。 (A) 0≤ f (x ) ≤1； (B) 0≤ f (x )； (C ）f (x ) ≤1； (D) 没有限制
1. 某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一 个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 2. 甲、乙、丙、丁四人排成一行，则甲、乙都不在两端的概率为( ) A．1 12B． 1 6 C．1 24D． 1 4 3. 已知x、y的取值如下表所示： x0134 y0.9 1.9 3.2 4.4 从散点图分析，y与x线性相关，且y^＝0.8x＋a，则a＝( ) A．0.8 B．1 C．1.2 D．1.5 4. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示; 若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( ) A、3 B、4 C、5 D、6 5. 为了解某校高三学生身体状况，用分层抽样的方法抽取部分男生和女 生的体重，将男生体重数据整理后，画出了频率分布直方图，已知图中 从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，若全校 男、女生比例为3：2，则全校抽取学生数为________． 6.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) （A）1 10（B）1 8 （C）1 6 （D）1 5
7.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点 D 在函数1,0()1 1,02 x x f x x x +≥?? =?-+
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.
概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 专题六、概率统计 1、计数原理、二项式定理 热点一 两个原理、排列与组合 例１、从A ，B ，C ，D ，E 五名学生中选出四名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中A 不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为( )． A ．24 B ．48 C ．72 D ．120 变式训练：1、若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )． A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 2、现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同取法的种数为( )． A ．232 B ．252 C ．472 D ．484 3、将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有________种． 热点二 求展开式中的指定项 例２、在6 2x x ? ?- ?? ?的二项展开式中，常数项等于_________． 变式训练：1、8 的展开式中常数项为( )． A ．3516 B ．358 C ．35 4 D ．105 2、若1n x x ? ?+ ?? ?的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数 为_________． 3、在5 212x x ? ?- ?? ?的二项展开式中，x 的系数为( )． A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－40 热点三 求展开式中的各项系数的和 例３、若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2 变式训练：1、若(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. 2、若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________. 课外训练： 一、选择题 1 ．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5,则=a （ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1- 2 ．用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 （ ） A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 3 ．设m 为正整数,2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ,21()m x y ++展开式 的二项式系数的最大值为b ,若137a b =,则m = （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 第一次 1．6个毕业生，两个留校，另4人分配到4个不同单位，每单位1人.则分配方法有___________种. 2．平面上有12个点，其中任意三点都不在一条直线上，这些点可以确定_______条不同的直线. 3．若随机试验E是：在六张卡片上分别标有数字0，1，2，3，4，5，从中任意依次取出两张,取后不放回，组成一个二位数，则E的样本空间中基本事件个数是______________ 4．由0，1，2，3，4，5六个数字可以构成多少个不能被5整除的六位数. 5．一项工作需5名工人共同完成，其中至少必须有2名熟练工人.现有9名工人，其中有4名熟练工人，从中选派5人去完成该项任务，有多少种选法. A表示“第i个零件是正品”()4,3,2,1=i.试用i A表示事件A: 6．设有四个零件.事件 i “至少有一个次品”,B:“至多一个次品” 1．下列诸结论中, 错误的是( ) )(A 若0)(=A P 则A 为不可能事件 )()()()(B A P B P A P B ≥+ )()()()(A P B P A B P C -≥- )()()()(BA P B P A B P D -=- 2．设事件B A ,互斥 ,q B P p A P ==)(,)(, 则)(B A P 等于 ( ) q A )( q B -1)( p C )( p D -1)( 3．已知 ===)(,18.0)(,72.0)(A P B A P AB P 则 ___________ 4．将3个球随机地放入4个盒子中，记事件A 表示：“三个球恰在同一盒中” .则)(A P 等于 _________________ 5．8件产品中有5件是一级品，3件是二级品，现从中任取2件，求下列情况下取得的2件产品中只有一件是一级品的概率：( 1 ) 2件产品是无放回的逐次抽取；( 2 ) 2件产品是有放回的逐次抽取. 6．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人2 0分钟，过时就可离去.试求这两人能会面的概率. 专题六 概率与统计 第2讲 统计与统计案例训练 文 一、选择题 1.(2015·重庆卷)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下： 则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 C.21.5 D.23 解析 由茎叶图，把数据由小到大排列，处于中间的数为20，20，所以这组数据的中位数为20. 答案 B 2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( ) A.p 1＝p 2＜p 3 B.p 2＝p 3＜p 1 C.p 1＝p 3＜p 2 D.p 1＝p 2＝p 3 解析 由于三种抽样过程中每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3. 答案 D 3.(2016·山东卷)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( ) A.56 B.60 C.120 D.140 解析 由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，∴人数是200×0.7＝140人，故选D. 答案 D 4.某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表： 现已求得上表数据线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( ) A.84分钟 B.94分钟 C.102分钟 D.112分钟 解析 由表中数据得：x ＝20，y ＝30，又b ^＝0.9，故a ^＝30－0.9×20＝12，∴y ^ ＝0.9x ＋12.将x ＝100代入线性回归方程，得y ^ ＝0.9×100＋12＝102.∴预测加工100个零件 概率统计(2009.6.9计算机,机械.经管) 一、填空题(3×10分) 1.设A,B为相互独立的两事件,P(A)=0.7,P(B)=0.8,则事件A,B至多有一个发生的概率为 . 2.设某学习小组有10位同学,其中4位女生,6位男生,今任选3位组成一个代表队,则代表队由1位女生和2位男生组成的概率为 . 3.设P(A-B)=0.5,P(AB)=0.3,则P(A)= . 4.设X~U(1,5),则P(X<3)= . 5.设,且E(X)=100.则 . 6.设，，…,独立同N(, )分布,,则 . 7.设X服从指数分布,且,则X的概率密度函数为 . 8.设X与Y为任意两随机变量,DX=1,DY=4,,则D(X-Y)= . 9.设,,为总体X的一组简单随机样本，E(X)=μ，则下列统计量 , , 中有个是μ的无偏估计量. 10.设事件A在某试验中发生的概率,独立地进行试验,直到A发生为止,记X 为试验的次数,则X的分布律为 , . 二、解答题(5×3分) 1.某人投篮的命中率为0.7,独立地投篮10次.记X为命中的次数.(1)写出X 的分布律;(2)求至少命中一次的概率. 2.设随机变量X的分布律为 X-2-101 P0.10.20.30.4 求的数学期望EY及方差DY. 3.设，，…, 为总体X的简单随机样本,已知EX=2,DX=4,利用独立同分布中心极限定理求的概率. 三、解答题(6×3＋8×2分) 1.设连续性随机变量X的分布函数为. (1)求X的概率密度函数;(2)求. 2.设有一批同类产品，由甲、乙、丙三个车间生产，所占比例分别为批 量的25%，35%，40%，且甲、乙、丙三厂产品的次品率分别为5%，4%，2%. 现在从这批产品中任取一件。(提示:分别以A,B,C表示取到甲、乙、丙车间的产品;D表示取到次品) (1) 求取出的产品为次品的概率； (2) 已知所取的产品为次品，求该产品是丙车间生产的概率。 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=- 概率论与数理统计自测题（含答案，先自己做再对照） 一.单项选择题 设A^B 互为对立事件?且P （A ） >0. P A. P(A\B) = 0 B ? P (B|A) =0 C. P (AB) =0 D. P (AU5) =1 2- A. 3. A. 设A. B 为两个随机事件，且P(AB) >0, P (A) B. P (AB) C. P (A|B) D. 1 设随机变量X 在区间［2, 4］上服从均匀分布，则 P{2专题六 概率统计专题复习
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