阿波罗尼斯圆及其应用 数学理论 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明及相关性质 定理：B A ,为两已知点，Q P ,分别为线段AB 的定比为)1(≠λλ的内外分点，则以PQ 为直径的圆O 上任意点到B A ,两点的距离之比为.λ 证 （以1>λ为例） 设λ===QB AQ PB AP a AB ,，则 1 ,1,1,1-=-=+=+=λλλλλλa BQ a AQ a PB a AP . 由相交弦定理及勾股定理知 ,1,1222222222 -=+=-=?=λλλa BC AB AC a BQ PB BC 于是,1,122-=-=λλλa AC a BC .λ=BC AC 而C Q P ,,同时在到B A ,两点距离之比等于λ的曲线（圆）上，不共线的三点所确定的圆是唯一的，因此，圆O 上任意一点到B A ,两点的距离之比恒为.λ 性质1.当1>λ时，点B 在圆O 内，点A 在圆O 外； 当10<<λ时，点A 在圆O 内，点B 在圆O 外。 性质2.因AQ AP AC ?=2 ，过AC 是圆O 的一条切线。 若已知圆O 及圆O 外一点A ，可以作出与之对应的点,B 反之亦然。 性质3.所作出的阿波罗尼斯圆的直径为122-=λλa PQ ，面积为.12 2?? ? ??-λλπa 性质4.过点A 作圆O 的切线C AC (为切点），则CQ CP ,分别为ACB ∠的内、外角平分线。 性质5.过点B 作圆O 不与CD 重合的弦,EF 则AB 平分.EAF ∠
阿氏圆题型的解题方法和技巧 以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现,对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要. 具体内容如下: 阿氏圆定理(全称:阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点Ａ、Ｂ的距离之比等于定比 n m (≠1),则P 点的轨迹，是以定比n m 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简 称阿氏圆. 定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型. PA ＋ｋPB,(ｋ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似 【问题】在平面直角坐标系xOy 中,在x 轴、y 轴分别有点C(m,０）,D(0，ｎ）.点P 是平面内一动点,且ＯP=r,求P Ｃ+kPD 的最小值. 阿氏圆一般解题步骤: 第一步:确定动点的运动轨迹(圆)，以点Ｏ为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步:连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接），即连接O Ｐ、ＯＤ； 第三步:计算出所连接的这两条线段OP 、ＯD 长度； 第四步:计算这两条线段长度的比k ； 第五步:在ＯD 上取点M ，使得O Ｍ：OP ＝OP:OD=k; 第六步:连接CM,与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值. 【补充：若能直接构造△相似计算的，直接计算,不能直接构造△相似计算的，先把k 提到括号外边,将其中一条线段的系数化成 k 1 ,再构造△相似进行计算】
初中数学巧添辅助线解 证几何题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
巧添辅助线解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1= ∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问 例1：如图1AB=AC,BD⊥AC于D。 求证：∠DBC=1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用
三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C= 12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°- 12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC= 12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠ DBC= ∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG= 12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等） 即∠DBC= 12∠BAC 。 证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD
阿波罗尼斯圆性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教A 版124页B 组第3题）已知点M 与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M 的轨迹方程。 （人教A 版144页B 组第2题）已知点M 与两个定点 距离的比是一个正数m,求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m ）。 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点A ，B 距离之比为常数（ ）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆 类型一：求轨迹方程 1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为21，求点M 的轨迹方程 2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA ，试分析M 点的轨迹 3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件 ，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ． B. C. D.9 类型二：求三角形面积的最值 4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰 ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD=3，则 ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时 ABC 面积的最大，m=
2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈
阿波罗尼斯圆性质及其应用探究 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一。 1.“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足 ,λ=PB PA 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。 （1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线） 2.阿波罗尼斯圆的证明. . 角坐标系中点为原点建立平面直轴，所在的直线为证明：以AB x AB ()()()， 不妨设y x P a B a A ,,0,,0,-()()22 222222,,,,PA PA PB PA PB x a y x a y PB λλλ??=∴==∴++=-+??Q ()( )()() 0112112222222=-++--+-∴a ax y x λλλλ ( ) () 2 22 2 222222 221211,01112??? ??-=+??? ? ??-+-∴=-+-+-+∴λλλλλλλa y a x a ax y x λλλλλ=??? ??-=+???? ? ?-+-∴PB PA a y a x 的解都满足又以上过程均可逆，2 22 2 221211 .120,11222为半径的圆上运动为圆心，以在以综上，动点-=???? ??-+λλλλa r a C P 3.阿波罗尼斯圆的性质. 性质1 点A 、点B 在圆心C 的同侧； 当1>λ时，点B 在圆C 内，点A 在圆C 外； 当10<<λ时，点A 在圆C 内，点B 在圆C 外。 (). ,1 1 ,012111122222的右侧当然也在点的右侧， 在点点所示，时，如图证明：当A B C a a a a a ∴>-+∴>-=--+>λλλλλλ
高考数学文化内容预测三：阿波罗尼斯圆问题 一、高考考试大纲数学大纲分析及意义： 普通高考考试大纲数学修订,加强了对数学文化的考查。针对这一修订提出以下建议： 建议教师对数学文化这一概念认真学习，结合教材内容学习，特别是教材中渗透数学文化的内容要充分重视，重点研究；结合近年新课标试题中出现的与数学文化有关的试题进行学习，重点关注题源、考法命题形式。 其主要意义为： （1）增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用. （2）能力要求：经命题专家精细加工，再渗透现代数学思想和方法；在内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求. 二、往年新课标高考实例解析及2017年高考数学文化试题预测： 往年新课标高考实例分析： 分析一：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等为背景 近年来在全国高考数学试题中，从《九章算术》中选取与当今高中数学教学相映的题材背景． （1）2015年高考全国卷Ⅰ，此题源于《九章算术》卷第五《商功》之[二五]，将古代文化“依垣”和现代教育元素“圆锥”结合． （2）2015年高考全国卷Ⅱ，此题源于《九章算术》卷第一《方田》之[六]：“又有九十一分之四十九．问约之得几何？”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之”，后人称之为“更相减损术”． （3）2015年高考湖北卷，此题背景源于《九章算术》卷第五《商功》之[一五]．今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何；之[一六]今有鳖臑，下广五尺，无袤；上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．考题将“阳马”，“鳖臑”相结合，以《选修2－1》P109例4为源进行有机整合．巧妙嫁接，精典设问，和谐优美的考题呼之即出. 分析二：课后阅读或课后习题如阿波罗尼圆为背景 从2005-2013年多次涉及考题，全国卷2011年16题以此为命题背景的其他省市：江苏：2008年13题、2013年17题.2009-2013年湖北高考连续出现等等. 数学文化题型背景预测： 预测1：古代数学书籍《九章算术》、《数书九章》等数为背景的数学文化类题目. 预测2：高等数学衔接知识类题目.如微积分、初等数学和高等数学的桥梁，由高中向大学的知识过渡衔接. 预测3：课本阅读和课后习题的数学文化类题目.如必修3中，辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术等。 预测4：中外一些经典的数学问题类题目.如：回文数、匹克定理、角谷猜想、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题值得注意。
巧添辅助线 解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以 归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1=∠β；或把 ∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、 ∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问题常用构 造等腰三角形的方法添加辅助线（如图二） [例题解析] 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。 求证：∠DBC= 1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用 三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=12（180°-∠BAC ）=90°-12 ∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90 ° ∴∠DBC=90° -∠C=90° -(90° - 12∠BAC)= 1 2 ∠BAC 即∠DBC= 1 2 ∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠ A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°
“阿波罗尼斯圆”的应用举例 【例】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果击中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A 、B 的距离之比为 λ（0λ>， 1λ≠） ，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面，我们来研究与此相关的一个问题．已知圆： 221x y +=和点1,02A ??- ??? ，点()1,1B ， M 为圆O 上动点，则2MA MB +的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 10 D. 11答案 C 解析 令2=MA MC ，则12 MA MC =. 由题意可得圆221x y +=是关于点A,C 的阿波罗尼斯圆，且1=2 λ。 设点C 坐标为(),C m n ， 则()()2 2221212 x y MA MC x m y n ??++ ???==-+-。 整理得2222 2421333m n m n x y x y ++-+++=。
由题意得该圆的方程为221x y +=， ∴2224020113m n m n +==+-????? =???? ，解得2{ 0m n =-=。 ∴点C 的坐标为（-2,0）。 ∴2MA MB MC MB +=+, 因此当点M 位于图中的12,M M 的位置时， 2MA MB MC MB +=+的值最小，且为10,故选C. 【练习】 1．设椭圆与双曲线有共同的焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且椭圆长轴是双曲线实轴的2倍，则椭圆与双曲线的交点轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一个圆
定义：已知平面上两点A,B,则所有满足 PA/PB=k 且不等于 1 的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，具体的描述：一动点P 到两定点A、B 的距离之比等于定比m：n，则 P 点的轨迹，是以定比m： n 内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆。该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。 解题策略：利用两边成比例且夹角相等构造相似三角形（简称美人鱼相似） “阿氏圆”一般解题步骤 第一步 :连接动点至圆心0(将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心相连接),则连接 0P、 OB; 第二步 :计算出所连接的这两条线段OP、 OB 长度 ; 第三步 :计算这两条线段长度的比=k; 第四步 :在 0B 上取点 C,使得; 第五步 :连接 AC,与圆 0 交点即为点P. 阿氏圆最值问题例题精讲 例 1:问题提出 :如图 1,在 R△ ABC中 ,∠ ACB=90 ,CB=4,AC=6圆. C 半经为 2,P 为圆上一助点,连结 AP,BP求 AP+ BP 的最小值 尝试解决：为了解块这个间题,下面给出一种解题思路、如图2,连接 CP,在 CB 上取点D,使 CD=1 则有 ,又∵∠ PCD=∠BCP,∴△ PCD △ BCP,
∴，∴ PD=,∴ AP+AP+PD 请你完成余下的思考,并直接写出答案:AP+BP的最小值为。 自主探索 :在“间题提出”的条件不变的情况下,AP+BP的最小值为。 拓展延伸 :已知扇形COD中 ,∠ COD=90 ,0C=6,OA=3,0B=5,点 P 是弧 CD 上一点 ,求 2A+PB 的最小值。 强化训练 向内构造类型 1,如图 ,已知 AC=6,BC=8,AB=10,圆 C 的半经为4,点 D 是圆 C 上的动点 ,连接 AD、 BD, 则 AD+ BD 的最小值为。 2.在 Rt△ABC 中 ,∠ ACB=90° AC=4,BC=3,点 D 为△ ABC内一动点 ,且满足 CD=2， 则 AD+ BD 的最小值为。 3、如图 ,在 R△ ABC中 ,∠C=90° ,CA=3,CB=4⊙.C 的半径为2,点 P 是⊙ C 上一 动点 ,则 AP+ PB 的最小值为。 4、如图 ,四边形 ABCD为边长为 4 的正方形 , ⊙ B 的半径为 2,P是⊙ B 上一动点 ,则 PD+ PC的最小值为。 PD+4PC的最小值为。
初中数学证明题常见辅助线作法规律 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试 初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀 及几何规律汇编 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 初中几何常见辅助线作法歌诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。
八年级数学（上）几何证明中的辅助线添加方法 数学组 田茂松 八年级数学的几何题，有部分题需要做出辅助线才能完成。有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6.特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 常见辅助线的作法举例： 例1 如图1,//AB CD ，//AD BC . 求证：AD BC =. 分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。 证明：连接AC （或BD ） ∵//AB CD , //AD BC （已知） ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4 （两直线平行，内错角相等） 在ABC ?与CDA ?中 ?????∠=∠=∠=∠)(43) ()(21已证公共边已证CA AC ∴ABC ?≌CDA ?（ASA ） ∴AD BC =（全等三角形对应边相等） 例2 如图2,在Rt ABC ?中，AB AC =，90BAC ∠=?，12∠=∠，CE BD ⊥的延长于E .求证：2BD CE =. 分析：要证2BD CE =，想到要构造线段2CE ，同时CE 与ABC ∠的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F . ∵BE CF ⊥ （已知） ∴90BEF BEC ∠=∠=?（垂直的定义） 在BEF ?与BEC ?中， ?????∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE A B C D 1234图1 D A E F 12图2
中考数几何巧画辅助线的技巧 中考数学少不了几何问题的考察，而涉及作图题，一般都要做辅助线完成，马上就要中考了，下面给大家带来辅助线的画法秘籍，在中考考场，祝你一臂之力！ 基本图形的辅助线的画法 1 三角形问题添加辅助线方法 〔1〕有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 〔2〕含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 〔3〕结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 2 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形〔包括矩形、正方形、菱形〕的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有以下几种，举例简解如下： 〔1〕连对角线或平移对角线； 〔2〕过顶点作对边的垂线构造直角三角形； 〔3〕连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线； 〔4〕连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形； 〔5〕过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3 梯形中常用辅助线的添法 梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：〔1〕在梯形内部平移一腰； 〔2〕梯形外平移一腰； 〔3〕梯形内平移两腰； 〔4〕延长两腰； 〔5〕过梯形上底的两端点向下底作高； 〔6〕平移对角线； 〔7〕连接梯形一顶点及一腰的中点； 〔8〕过一腰的中点作另一腰的平行线； 〔9〕作中位线。 当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。 4 圆中常用辅助线的添法 在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。 要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我
阿波罗尼斯圆性质及其应用 背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一 （人教A版124页B组第3题）已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)点距离的比为，求点M的轨迹方程。 （人教A版144页B组第2题）已知点M与两个定点距离的比是一个正数m,求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（考虑m=1和m）。 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆．（定值为1时是直线，定值不是1时为圆） 定义：一般的平面内到两顶点A，B距离之比为常数（）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆
类型一：求轨迹方程 1.已知点M 与两个定点()0,0O ，()0,3A 的距离的比为2 1 ，求点M 的轨迹方程 2.已知()02>=a a AB ，()0≥=λλMB MA ，试分析M 点的轨迹 3.（2006年高考四川卷第6题）已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件，则点P 的轨迹所包围的图形面积等于（ ） A ． B. C. D.9 类型二：求三角形面积的最值 4.（2008江苏卷）满足条件AB = 2，AC = BC 的?ABC 的面积的最大值是 5.（2011浙江温州高三模拟）在等腰ABC 中，AB=AC ，D 为AC 的中点，BD= 3，则ABC 面积的最大值为 6.在ABC 中，AC=2，AB=mBC(m>1),恰好当B=时 ABC 面积的最大，m= 类型三：定点定值问题
从课本中的阿波罗尼斯圆问题 探讨数学文化在教学中的渗透 靖江市第一高级中学 数学组 印栋 E-mail: yde2003@https://www.doczj.com/doc/7d16968907.html, 邮编：214500 克莱因在其名著《西方文化中的数学》中指出：数学是一种精神，一种理性的精神．正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵．因此，美国数学学会主席魏尔德说：“数学是一种会不断进化的文化”．正是数学与文化以及数学文化的不断交融及相互促进，才使数学在人类文明的发展中起到了举足轻重的作用并获得了如此多的赞誉．在新课程改革中，数学文化不再是被孤立的装饰品，而是渗透在相关模块和专题中． 新课标《苏教版·必修2》在第2章平面解析几何初步第2.2节圆与方程介绍了圆的标准方程和一般方程后编排了这样一道习题： 习题2.2（1）10.已知点)(y x M ，与两个定点)03()00(，，， A O 的距离之比为2/1，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所形成的曲线． 分析：由于有了课上推导圆标准方程的过程可作为参照，大部分学生不需费太多的气力就可以解出上述的问题，解法如下． 解析：由题知2/1/=MA MO ，将距离公式代入可得 12 =， 化简整理即得到该曲线的方程为： 4)1(22=++y x . 因此，所求点M 所形成的曲线是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆（图略）． 这道题实际上源自约公元前262～前190的古希腊人阿波罗尼斯（Apollonius of Perga ，也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”）在其巨著《圆锥曲线论》给出的一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A 、B ，设P 点在同一平面上且满足λ=PB PA /，当λ大于0且λ≠1时，P 点的轨迹是个圆”，这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹”． 同上题一样，我们用解析法完全可以证明：与A 、B 距离之比等于λ的动点轨迹为圆．但如果每题都先用解析法求出圆的方程，再根据圆心及半径作出圆，显然很费事，特别是对一些选择题或填空题如此解法实在小题大做，能 否找出阿 波罗尼斯圆的简捷作法？下述定理可给出明 确答案． 定理：A 、B 为两已知点，P 、Q 分别为 线段A B 的定比为λ(λ≠1)的内、外分点，则以P 、Q 为直径的
中考几何题证明思路总结 、证明两线段相等 1. 两全等三角形中对应边相等。 2. 同一三角形中等角对等边。 3. 等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4. 平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5. 直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6. 线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7. 角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8. 过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 、证明两角相等 1. 两全等三角形的对应角相等。 2. 同一三角形中等边对等角。 3. 等腰三角形中,底边上的中线（或高平分顶角。 4. 两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5. 同角（或等角的余角（或补角相等。 6. 同圆（或圆中,等弦（或弧所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹 的 弧对的圆周角。
三、证明两直线平行
1. 垂直于同一直线的各直线平行。 2. 同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3. 平行四边形的对边平行。 4. 三角形的中位线平行于第三边。 5. 梯形的中位线平行于两底。 6. 平行于同一直线的两直线平行。 7. 一条直线截三角形的两边（或延长线所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1. 等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2. 三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。 3. 在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。 4. 邻补角的平分线互相垂直。 5. 一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。 6. 两条直线相交成直角则两直线垂直。 7. 利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8. 利用勾股定理的逆定理。 9. 利用菱形的对角线互相垂直。 10. 在圆中平分弦（或弧的直径垂直于弦。
阿氏圆题型的解题方法和技巧对于此类问以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，. 题的归纳和剖析显得非常重要具体内容如下：的距离P到两定点A、B(阿氏圆定理全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点mm nn的两个分点的连内分和外分定线段是以定比之比等于定比≠(1)，则P点的轨迹，AB简线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，称阿氏圆．1)P≠，(k定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB. 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型 PA+kPB,(k≠1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型 母子三角形相似阿氏圆基本解法：构造是平面n).点PC(m，0)，D(0，轴分别有点问题【】在平面直角坐标系xOy中，在x轴、y. ，求PC+kPD的最小值内一动点，且OP=r 阿氏圆一般解题步骤：若圆已经画出则可省为半径画圆；(，以点O为圆心、r)第一步：确定动点的运动轨迹(圆) 略这一步 OD；即连接OP、的线段的固定端点与圆心相连接第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1)，长度；OP、OD第三步：计算出所连接的这两条线段；第四步：计算这两条线段长度的比k OM:OP=OP:OD=k，使得；第五步：在OD上取点M. 即所求的最小值P交点即为点．此时CMCM第六步：连接，与圆O提到先把k直接计算，【补充：若能直接构造△相似计算的，不能直接构造△相似计算的，1，再构造△相似进行计算】括号外边，将其中一条线段的系数化成k 1 习题的中点，将线段为BDACB=90°，D为AC的中点，MRt【旋转隐圆】如图，在△ABC中，∠，那么在旋转，BC=3点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4AAD绕 ___________. CM长度的取值范围是过程中，线段2BD为△ABC内一动点，满足CD=2，则AD+ABC1.Rt△中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D3_______. 的最小值为上任取一，在⊙A与°，⊙ABC相切于点E2.如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为603________. 的最小值为点P，则PDPB+2
【关键字】初中 巧添辅助线解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。 [例题解析] 一、倍角问题 例1：如图1，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D。 求证：∠DBC=∠BAC. 分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用 三角形内角和来沟通∠DBC、∠BAC和∠C的关系。 证法一：∵在△ABC中，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠BAC）=90°-∠BAC。 ∵BD⊥AC于D ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°-∠BAC)= ∠BAC 即∠DBC= ∠BAC 分析二：∠DBC、∠BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ?∠BAC” 中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把?∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折构造2∠DBC求解。 证法二：如图2，作AE⊥BC于E，则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG=∠BAC ∵BD⊥AC于D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等） 即∠DBC=∠BAC。 证法三：如图3，在AD上取一点E，使DE=CD 连接BE ∵BD⊥AC ∴BD是线段CE的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C ∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC= ∠BAC 说明：例1也可以取BC中点为E，连接DE，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质求解。同学们不妨试一试。 例2、如图4，在△ABC中，∠A=2∠B 求证：BC2=AC2+AC?AB 分析：由BC2=AC2+AC?AB= AC（AC+AB），启发我们建立两个相似 的三角形，且含有边BC、AC、AC+AB.又由已知∠A=2∠B知， 建立以AB为腰的等腰三角形。 证明：延长CA到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA
超级名圆——阿波罗尼斯圆 一、问题背景 1.（苏教版选修2-1，P63例2）求平面内到两个定点A,B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹. 【解】以B A ,所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 令a AB 2=,则B A ,两点的坐标分别为()()0,,0,a a -. 设M 点坐标为()y x ,，依题意，点M 满足 2=MB MA , 由2 2 22)(,)(y a x MB y a x MA +-=++=得2)()(2 2 22=+-++y a x y a x ， 化简整理，得0310332 2 2 =+-+a ax y x ， 所以动点M 的轨迹方程为0310332 22=+-+a ax y x . 2.(苏教版必修2，P112第12题)已知点M(x,y)与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为1:2， 那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线. 【解】由两点间距离公式得22y x MO += ，22)3(y x MA +-=， 则2:1)3(:2 222=+-+y x y x ，化简得4)1(2 2 =++y x ， 即点M 是以（-1，0）为圆心,2=r 的圆.（图略） 二、阿波罗尼斯圆 阿波罗尼斯（Apollonius of Perga Back ）,古希腊人（262BC~190BC ），与阿基米德、欧几里德一起被誉为古希腊三大数学家，他写了八册《圆锥曲线论》（Conics ），其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，如切线、共轭直径、极与极轴、点到锥线的最短与最长距离等，圆锥曲线的性质几乎囊括殆尽，阿波罗尼斯曾研究了众多的平面轨迹问题，阿氏圆是他的论著中的一个著名问题： 已知平面上两定点A 、B ，则所有满足 ()1≠=λλPB PA 的点P 的轨迹是一个以定比n m :内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆. 这是著名的阿波罗尼斯轨迹定理，以内外分点为直径的圆被后人称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆) 【知识背景】 阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。 【定 义】 阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。即： )1(≠=k k PB PA ，如下图所示： 上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。 【几何证明】 证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理
若AD 是∠BAC 的角平分线，则有： CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。 知识点2：外角平分线定理及其逆定理 若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有 CD BD AC AB = 。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD BD AC AB = ，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。 【阿氏圆的证明】 有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。