第一章 随机事件与概率
亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策。
──祖冲之 内容提要
1. 事件间的关系与运算（四种关系：包含关系、互不相容、对立和相互独立；三种运算：和、积与差；若干运算规律：交换律、结合律、分配律和对偶律：1111,n n n n
i i i i i i i i A A A A =====
= ） 2. 确定概率的三种方法：频率方法（(()(),n k A P A f A n n ≈=出现的次数)充分大(试验的总次数)
）；古典方法（用于求古典概型的随机试验中各种结果出现的概率：()k A P A n
=（中的样本点数）（样本点总数））； 几何方法（用于求几何概型的随机试验中各种结果出现的概率：()A S A P A S Ω=Ω（的度量）（的度量）
）； 3. 概率的公理化定义及其简单性质
（1） 公理化定义：概率是定义在事件域Φ 上的非负、规范、可列可加的实值函数：
()()()()()o o 1:P A 021
o 3,,()
1212P P A A P A P A A A i j i j ≥Ω==++=?≠ 非负性规范性：可列可加性：
（2） 性质： 11
1111.
()0,2.:,,()3.()()()()()
4.()1(),
5.
6.()()()()()(n n n i i i i n n i i i j i i i P A A P A P A A B P B A P B P A P A P B P A P A P A B P A P AB P A B P A P B P AB P A P A P A A ===≤=?=??= ?????-=-≤=--=-=+-??=- ???∑∑ o o o o o o 1有限可加性若互不相容，则单调性：且（）（）（），加法公式:，一般地
111)()(1)n n i j k i j n i j k n i P A A A P A -<≤≤<<≤=??+++- ???
∑∑
4. 条件概率及三大公式（乘法公式，全概率公式，Bayes 公式）
（1） 条件概率的定义
直观上的定义：已知A 出现的条件下B 发生的概率称为在A 发生的条件下B 的条件概率，记
作()P B A ；数学上的定义：()()()P AB P B A P A =
。 （2） 三大公式 乘法公式：()()()(()0)P AB P A P B A P A =>；一般地，若11()0n P A A -> ，则
()()()1212131211()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A -=
全概率公式：设12,,,n B B B 是样本空间的一个分割，且()0,
1,,i P B i n >= ，则对任意事件A 有 ()()()()()11n n P A P A B P B P A B P B =++ 。
Bayes 公式：设12,,,n B B B 是样本空间的一个分割，且()0,1,,i P B i n >= ，
()0P A >，则 ()()()
()()1()()i i i i n k k
k P A B P B P AB P B A P A P A B P B ===∑
5. 事件独立性与Bernoulli 概型（独立性的实质及应用，Bernoulli 概型的三个模型）
（1） 两事件A 与B 的独立性：事件A 发生与否对事件B 是否发生没有影响，则称A 与B
独立；数学上：A 与B 独立()()(P A B
p A P B ?=；A 与B 独立，且
()()0()P A P B A P B >?=。 一组事件12,,,n A A A 的独立性：若12,,,n A A A 发生与否互相没有影响，则称12,,,n A A A 相互独立；数学上12,,,n A A A 相互独立?
()()(),i j i j P A A P A P A = （称为两两独立）
()()()(),i j k i j k P A A A P A P A P A = （称为三三独立）
????
1212()()()()n n P A A A P A P A P A = ， （称为n n 独立）
（3）试验的独立性
结果独立的试验称为独立试验；
伯努利试验：只有两种结果的试验；
n 重伯努利试验：将伯努利试验独立地进行n 次的试验；
独立试验序列：一系列相互独立的试验。
6. 典型问题
问题1: 事件的表示与运算
问题2: 概率的基本公式及应用
问题3: 古典概型与几何概型的直接计算
问题4: 事件的独立性及其实质
问题5: 乘法公式与交事件的计算
问题6: 全概率公式与Bayes公式
问题7: Bernoulli试验序列的相关结论
手机响了，短信来了：
增字了了歌
她已听不懂课了，
他干脆不来上课了，
上不上课已无所谓了，
这学期概率统计完蛋了。
一、填空题
1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分），则Ω= ；
（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数，则Ω= ；
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果，则
Ω= ；
（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，则Ω= ；
（5）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和，则Ω= ；
（6）将一尺之锤折成三段，观察各段长度，则Ω= ；
（7）在某十字路口，记录一小时内通过的机动车辆数，则Ω= ；
（8）记录某城市一天内的用电量，则Ω= 。
2. 设A，B，C为三件事，用A，B，C的运算关系表示下列各事件。
（1）“A发生，B与C不发生”=；；（2）“A与B都发，而C不发生”=；
（3）“A，B，C中至少有一个发生”=；(4)“A，B，C都发生”=；
（5）“A，B，C都不发生”=；（6）“A，B，C中不多于一个发生”=；
（7）“A，B，C中不多于两个发生”=；（8）“A，B，C中至少有两个发生”=。
3. 在抛三枚硬币的试验中，试写出下列事件的集合表示。
（1）“至少出现一个正面”= ；（2）“最多出现一个正面”= ；
（3）“恰好出现一个正面”= ；（4）“出现三面相同”= 。
4. 设{}11302,1,24
2x x A x x B x x ????Ω=≤≤=<≤=≤
（3）B A = ；（4）AB = 。
5. 设A ，B 为两事件且P （A ）=0.6，P （B ）=0.7，则
（1）当 时，P （AB ）取到最大值，最大值= ；
（2）当 时，P （AB ）取到最小值，最小值= 。
6. 设A ，B ，C 为三件事，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,则A,B,C 至少有一个发生的概率= 。
7. 设P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=6
1,则事件A,B,C 都不发生的概率= 。
8. 在一标准英语词典中有55个由两个不相同的字母所组成的单词，若从26个英文字母中任取两个字母予以排列，则能排成上述单词的概率= 。
9. 在电话号码簿中任取一个电话号码，则后面四个数全不相同的概率（设后面四个数中的每一个数都是等可能地取0，1，… ，9）= 。
10. 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。则
（1）最小号码为5的概率= ；（2）最大号码为5的概率= 。
11. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运过程中所有的标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客能按所定颜色如数得到货的概率= 。
12. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。则
（1）恰有90个次品的概率= ；(2)至少有2个次品的概率= 。
13. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率= 。
14. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱。每个部件用3只铆钉。若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率= 。
15. 10个人随机地围一圆桌而坐，则甲、乙两人相邻而坐的概率= 。
16. 从0,1,2,…,9中任取4个数，则所取的4个数能排成一个四位偶数的概率为
__________.
17. 有5条线段，其长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为__________.
18. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为__________.
19. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为__________.20.
20. 一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾。然后随机把六个头两两相接，六个尾两两相接，则放开手后六根草恰好连成一个环的概率= 。
21．在区间（0，1）中随机地取两个数，则两数之和小于6/5的概率= 。
22. 设A,B 为随机事件，且P(A )=0.5, P(B )=0.6, P(B |A )=0.8,则()P A B = 。
23. 设A,B 为随机事件，且P(A)=0.4, P(B)=0.3, P(A ∪B)=0.6,则P(B A )= 。
24. 设在一次贝努利试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次贝努利试验中，事件A 至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率= 。
25. 已知事件A ，B 满足()()P AB P A B =?，记()P A p =，则()P B = 。
26. 已知()0.7,()0.3P A P A B =-=，则()P AB = 。
27. 已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P AB ===，则()P B A B = 。
28. 已知111(),(),()432
P A P B A P A B ===，则()P A B = 。 29. 掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，则其中有一颗为1点的概率= 。
30. 三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率= 。
31. 设,,A B C 两两独立的事件，且ABC =Φ。若()()()1/2P A P B P C ==<，且()9/16P A B C ??=，则()P A = 。
32. 已知()0.4,()0.7,P A P A B =?=（1）若A 和B 不相容，则()P B = ；
（2）若A 和B 独立，则()P B = ； （3）若A B ?，则()P B = 。
33. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________。
34 设在三次独立试验中，事件A 出现的概率均相等且至少出现一次的概率为
2719 ，则在一次试验中事件A 出现的概率= 。
35. 某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为81
80，则此射手的命中率= 。
36. 同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有2枚正面朝上的概率= 。
37. 某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为__________，第三次才取得正品的概率为__________.
38. 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球，1个白球；第二个箱子中有3个黑球，3个白球；第三个箱子中有3个黑球，5个白球. 现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率为__________；已知取出的球是白球，此球属于第一个箱子的概率为__________.
39. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =__________.
40. 设在一次试验中，事件A 发生的概率为p . 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为__________，而事件A 至多发生一次的概率为_________.
二、 是非题（指出下列命题中哪些正确，哪些不正确，并说明理由。） 1. B B A B A =。
2． B A B A =。 3. C B A C B A = 。
4. ()()
?=B A AB 。
5.AB A B A =?则若,。
6. ?=??=BC A C AB ，则且若。
7. A B B A ??，则若。
8. A B A A B =? ，则若。
9. 设()0P AB =，则（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）()0P A =或()0P B =； （6）()()P A B P A -=。
10. 设()()1/2P A P B ==，则()()P AB P A B =?。
11．设()0P A >，则()()1()
P B p B A P A ≥-。 12. 若A 和B 不相容，且()0P B ≠，则 ()()1()
P A P A B P B =-。 13. 设A ，B 是任意两个事件，切,()0A B P B ?>，则()
()P A P A B ≤。
14. 概率为零的事件与任何事件都是独立的。
15. 设,,A B C 是三个相互独立的事件，则A B -与C 独立。
三、选择题
1. 设A,B 为两事件且P （AB ）=0,则( )。
Ａ. Ａ与Ｂ互斥 Ｂ．ＡＢ是不可能事件
Ｃ．ＡＢ未必是不可能事件 Ｄ．P(A)=0或P （B ）=0
2. 若用事件A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则事件A 表示（ ）。
A ．甲产品滞销，乙产品畅销 B. 甲、乙两产品均畅销
Ｃ. 甲产品滞销 Ｄ．甲产品滞销或乙产品畅销
3. 设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）.
（A ） ()A B B A B -= ; （B ） ()A B B A -= ;
（C ） ()A B AB AB AB -= ; （D ）()()()A B C A C B C -=-- .
5. 设随机事件A 与B 满足A ?B ，则（ ）成立。
A ．P （A
B ?）=P （A ） B. P(AB)=P(A)
C. P(B|A)=P(B)
D. P(B-A)=P(B)-P(A)
5. 设(),(),()P A a P B b P A B c === ，则()P AB 等于（ ）.
（A ）a b -； （B ）c b -； （C ）(1)a b -； （D ）b a -.
6. 设两事件Ａ与Ｂ互斥，且P （A ）＞0，P （B ）＞0，则（ ）正确
A ．A 与
B 互斥 B. A 与B 互容
C. P （AB ）=P （A ）P （B ）
D. P （A-B ）=P （A ）
7. 设两事件Ａ与Ｂ同时发生时，事件C 必发生，则（ ）成立。
A. P(C) ≤P(A)+P(B)-1
B. P(C) ≥P(A)+P(B)-1
C. P(C)=P(AB)
D. P(C)=P(A B ?)
8. 设两事件Ａ与Ｂ满足P(B|A)=1, 则（ ）正确。
A. A 是必然事件
B. P(B|A )=0
C. A ?B
D. A ?B
9. 设A,B 为两事件，则P(A-B)=( )。
A.P(A)-P(B)
B. P(A)-P(B)+P(AB)
C.P(A)-P(AB)
D.P(A)+P(B)-P(AB)
10. 设A,B 为两事件，且0＜P(A)＜1,P(B)＞0,P(B|A)=P(B|A ),则（ ）成立。 A. P(A|B)=P(A |B)
B. P(A|B)≠P(A |B)
C.P(AB)=P(A)P(B)
D. P(AB) ≠P(A)P(B)
11. 设0＜P(B)＜1,且P[(1A +2A )|B]= P(1A |B)+ P(2A |B),则（ ）成立。
A. [(1A +2A )|B ]=P(1A |B )+P(2A )|B )
B. P(1A B +2A B)= P(1A B)+ P(2A B)
C. P(1A +2A )=P(1A |B)+ P(2A |B)
D. P(B)= P(1A )P(B|1A )+ P(2A )P(B|2A )
12. 设,A B 是两个事件，且,()0A B P B ?>，则下列选项必然成立的是( ).
（A ） ()(|)P A P A B <； （B ） ()(|)P A P A B ≤；
（C ） ()(|)P A P A B >； （D ） ()(|)P A P A B ≥.
13. 下列命题中，正确的是（ ）.
（A ） 若()0P A =，则A 是不可能事件；
（B ） 若()()()P A B P A P B =+ ，则,A B 互不相容；
（C ） 若()()1P A B P AB -= ，则()()1P A P B +=；
（D ） ()()()P A B P A P B -=-.
14. 设12()0,,P B A A >互不相容，则下列各式中不一定正确的是（ ）.
（A ）12(|)0P A A B =； （B ）1212(|)(|)(|)P A A B P A B P A B =+ ；
（C ）12(|)1P A A B =； （D ）12(|)1P A A B = .
15. 设,,A B C 为三个事件且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ）.
（A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立； （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立；
（C ）若()1P C =，则A C -与A 也独立； （D ）若C B ?，则A 与C 也独立.
16. 设A,B 为随机事件，且A ?B, 0＜P(B),则（ ）成立。
A. P(A) ＜P(A|B)
B. P(A) ≤P(A|B)
C. P(A) ＞P(A|B)
D. P(A) ≥P(A|B)
17. 设A,B ，C 为三个独立的随机事件，0＜P(C)＜1,则事件（ ）不独立。 A. B A +与C B.AC 与C C. B A -与C D. AB 与C
18. 设A,B ，C 三个事件两两独立，则A,B ，C 三个事件独立的充分必要条件是（ ）。
A. A 与BC 独立
B. AB 与 A ∪C 独立
C. AB 与AC 独立
D. A ∪B 与A ∪C 独立。
19. 设每次试验成功的概率为(01)p p <<，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为（ ）.
（A ）44610(1)C p p -； （B ）3469(1)C p p -； （C ）4459(1)C p p -；
（D ）3369(1).C p p - 20. 一种零件的加工由两道工序组成. 第一道工序的废品率为1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为（ ）.
（A ）121p p --； （B ）121p p -； （C ）12121p p p p --+；
（D ）12(1)(1).p p -+- 四、计算题
1. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任取200个。（1）求恰有90个次品的概率；(2)求至少有2个次品的概率。
2. 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少？（试给出至少三种解法）
3. 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需 要等 待空出码头的概率。
4. 据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P{孩子得病}=0.6，P{母亲得病│孩子得病}=0.5，P{父亲得病│母亲及孩子得病}=0.4.求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
5. 已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率：
两只都是正品；（2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品；（4）第二次取出的是次品。
6. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率，若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
7. 袋中有10个球，9个是白球，1个是红球，10个人一次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，问第一人，第二人，…，最后一人取得红球的概率各是多少？
8. （1） 设有甲、乙两袋，甲袋中装有n 只白球，m 只红漆；乙袋中装有N 只白球、M 只红球，今从甲袋中任意取一只放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概
率是多少？
（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一只盒子中任取2只球放入第二只盒子中去，然后从第二只盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
9. 设一人群中有37.5%的人血型为A型，20.9%为Ｂ型，33.7%为O型，7.9%为AB型，已知能允许输血的血型配对如下表，现在在人群中任选一人为输血者，再任选一人为需要输
√：允许输血×：不允许输血
10. 某种产品的商标为“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍为“MAXAM”的概率。
11. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
12. 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格，则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格，则第二次及格的概率为p/2。(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次及格，求他第一次及格的概率。
13. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收做B的概率为0.02，而B被误收做A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1，若接受站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？
14. 有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求(1)第一次取到的零件是一等品的概率；(2)第一次取到的零件时一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
15. 设玻璃杯整箱出售，每箱20只，各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，经顾客随机察看4只，若无残次品，则买此箱玻璃杯，否则不买。求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没残次品的概率。
16. 设考生的报名表来自三个地区，分别有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。随机地从一地区，先后任取两份报名表，求：
(1)先取的那份报名表是女生的概率；
(2)已知后取到的报名表是男生的，而先取的那份报名表是女生的概率。
17. 设甲、乙、丙三导弹相同一敌机射击，甲、乙、丙击中敌机的概率分别为0.4,0.5,0.7.
如果只有一弹击中，飞机坠毁的概率为0.2；如果只有两弹击中，飞机坠毁的概率为0.6；
如果只有三弹击中，飞机坠毁的概率为0.9。试求：
（1）飞机坠毁的概率；
（2）如果已知飞机坠毁的概率，求是两弹击中的概率.
18. 某班n 各战士各有1支归个人保管使用的枪,这些枪的外形完全一样,在一次夜间紧急集合中,每人随机地取了1支枪,试求
(1) 至少有1人拿到自己的枪的概率.
(2) 恰好有k 个人拿到自己的枪的概率.
19. 设有N 个袋子，每袋子中装有a 只黑球和b 只白球。从第一袋子中取出一球放入第二袋中，然后从第二袋子中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一袋子中取出一球为黑球的概率是多少?
20. 某人下午5:00下班，他所积累的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
21. （1）设有4个独立工作的元件1，2，3，4。它们的可靠性分别为1234,,,,p p p p 将它们按图1-2（a ）的方式联接（称为并串联系统）；
（2）设有5个独立工作的元件1，2，3，4，5，它们的可靠性均为p ，将它们按图1-2（b ）的方式联接（称为桥式系统），试分别求这两个系统的可靠性。
22. 如果一危险情况C 发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性，在Ｃ发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联联接，它们每一个具有0.96的可靠性（即在情况C 发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为0.9999的系统，则至少需要用多少只开关并联？这里设各开关闭合与否都是相互独立的。
23. 如图1-3，1，2，3，4，5表示继电器接点。假设每一继电器接点闭合的概率为p ，且设各继电器接点闭合与否相互独立，求L 至R 是通路的概率。
24. 设第一只盒子中装有3只篮球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只篮球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。
（1）求至少有一只篮球的概率；（2）求有一只篮球一只白球的概率；
（3）已知至少有一只篮球，求有一只篮球一只白球的概率。
25. A 、B 、C 三人在同一办公室工作。房间里有一部电话，据统计知，打给A 、B 、C 的电话的概率分别为2/5，2/5，1/5。他们三人常因工作外出，A 、B 、C 三人外出的概率分别为1/2，1/4，1/4。设三人的行动相互独立。求
（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率。
若某一时间段打进3个电话，求
（3）这3个电话打给同一个人的概率；
（4）这3个电话打给不相同的人的概率；
（5）这3个电话都打给B ，而B 却都不在的概率。
26. 袋中装有m 只正品硬币、n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽，问这只硬币是正品的概率为多少？
27. 设一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率的概率为1/6。并设击伤两次也会导致潜水艇下沉。求释放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。（提示：先求出击不沉的概率。）
29. 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7。飞机被一人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，或三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。
29. 小王与小李对同一目标轮流射击，当一人没命中目标后，另一人可继续射击，直到有人命中为止，命中目标者为获胜者，设两人命中目标的概率都为p(0 30. 甲,乙两袋中各装有1只白球和1只黑球，从两袋中各取出一球相互交换后放入另一代中，这样进行了若干次。以n n n p ,q ,r 分别记在第n 次交换后甲袋中将包两只白球，一只白球一只黑球，两只黑的概率。试导出n 1n 1n 1p ,q ,r +++用n n n p ,q ,r 表出的关系式。利用它们求n 1n 1n 1p ,q ,r +++的表达式，并讨论当n →∞时的情况。 五、证明题 1. 对任意的事件,,A B C ，证明： （1） ()()()()P AB P AC P BC P A +-≤； （2） ()()()()()()1P AB P AC P BC P A P B P C ++≥++-。 2. 设事件,,A B C 的概率都是1/2，且()()P ABC P A B C =??，证明： 2()()()()1/2P ABC P AB P AC P BC =++-。 3. 证明： （1） ()()()1P AB P A P B ≥+-； （2） 1()()()4 P AB P A P B -≤ ； （3） 1212()()()()(1)n n P A A A P A P A P A n ≥+++-- 。 4. 若()()P A B P A B >，试证()() P B A P B A >。 5. ()k r p k e (0)k!p r p e r!. -λ-λλλ>λ设昆虫生产个卵的概率为常数，又设一个虫能孵化为昆虫的概率为。若卵的孵化是相互独立的，试证：此昆虫的下一代有条昆虫的概率为 6. 设0()1P B <<，试证A 和B 独立的充要条件是()()P A B P A B =。 7. 设0()1P A <<，0()1P B <<，()()1P A B P A B +=，试证A 和B 独立。 8. 设()0P A >，()0P B >，若A 和B 独立，试证A 和B 相容。 第一章随机事件及其概率 典型例题分析 例1填空题 (1)若事件A，B互斥，且，则____________。 (2)若事件A，B相互独立，且，则 _____________。 (3)一个工人生产了3个零件，以事件表示他生产的第i个零件是合格品i=1, 2, 3， 试用，i=1, 2, 3来表示下列事件： 只有第1个零件是合格品_____________；3个零件中只有1个合格品_______________； 3个零件中最多只有2个合格品______________；3个零件都是次品________________； 第1个是合格品，但后两个零件中至少有1个次品_________________； 3个零件中最多有1个次品________________________________________________。 (4)设，则___________； _________________；_______________________________。 (5)设A，B为两事件，且，，则___________。 解(1) 0.6。因为A与B互斥，有。 (2) 0.125。因为A与B独立时，有 。 (3) ；； 法一：考虑逆事件为“3个均为合格品”，故为，法二：直接考虑“3个零件中至少有1件次品”为； ；； 。 (4) ；；。 因为所以；。而，所以。 (5) 。由于， 又且，故。 例2单选题 (1) 已知且，则正确的是( ) A. B. C. D. (2) 已知以及，则= ( ) A. ； B. ； C. ； D. (3) 甲乙两人独立的同时对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现在已知目标被命中，则它是甲射中的概率是( ) A. 0.8； B. 0.65； C. 0.75； D. 0.25 (4) 如果事件A与B同时发生的概率为0，即，则下列情况成立的是( ) A. A与B互斥； B. AB为不可能事件； C. 或； D. AB未必为不可能事件。 解(1) B。因为；而 ，故B为正确答案。 (2) D。由，而 知，故 。 (3) C。设A=“甲命中”，B=“乙命中”，则A+B=“目标被命中”，所求为 随机事件的概率 一、判断题 1. 概率为零的事件一定是不可能事件。 （ ） 2. ()()()B P A P B A P +=?。 （ ） 3. ()()()AB P A P B A P -=- （ ） 4. ()()AB P B A P -=?1 （ ） 5. 若A B ?,则()()AB P B P = （ ） 6. 若()0=AB P （1） 则事件A 和B 不相容 （ ） （2） 则()0=A P 或()0=B P （ ） 二、填空题 1.设事件A ,B 互不相容，()() 2.0,5.0==B P A P ，则()AB P = ，()=?B A P 。 2.已知()(),5.0, 3.0,==?B P A P B A 则=)(A P =)(AB P =)(B A P =)(B A P 3.若()()()3.0, 4.0, 5.0===B A P B P A P ,则()=?B A P ,()=AB P , ()=B A P 三、选择题 1.设事件A ,B 互不相容，()()q B P p A P ==,，则()=B A P A ．()q p -1 B.pq C.q D.p 2.设当事件A 和B 同时出现事件C 也随之出现，则 A ．()() B A P C P ?< B.()()()B P A P C P -≥ C ．()()AB P C P > D.()()AB P C P = 四、设A ，B 是两件事，且()()7.0,6.0==B P A P , 1.在什么条件下()AB P 取到最大值，最大值是多少？ 2.在什么条件下()AB P 取到最小值，最小值是多少？ 课后作业题 1．下列事件中，随机事件的个数为() ①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③抛一枚硬币，出现正面；④一个三角形的大边对大角，小边对小角． A．1B．2 C．3D．4 2．“连续掷两个质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有() A．6个B．12个 C．24个D．36个 3.掷一个质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为1}，事件F＝{向上的点数为5}，事件G＝{向上的点数为1或5}，则有() A．E?F B．G?F C．E∪F＝G D．E∩F＝G 4.下列概率模型： ①在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点； ②某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环； ③某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲； ④一只使用中的灯泡的寿命长短； ⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”． 其中属于古典概型的是________． 5.盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已 知P(A)＝3 10，P(B)＝ 1 2，则这3个球中既有红球又有白球的概率是________． 6、掷一枚骰子，有下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}． (1)用样本点表示事件A∩B，事件B∩C； (2)用样本点表示事件A∪B，事件B∪C； (3)用样本点表示事件D－，事件A－∩C，事件B－∪C，事件D－∪E－. 习题1（随机事件及其运算） 一．填空题 1. 设A ，B ，C 是三个随机事件，用字母表示下列事件： 事件A 发生，事件B ，C 不都发生为 ； 事件A ，B ，C 都不发生为 ； 事件A ，B ，C 至少一个发生为 ； 事件A ，B ，C 至多一个发生为 . 2. 某人射击三次，用A i 表示“第i 次射击中靶”(i =1,2,3).下列事件的含义是： 1A 表示 ； 321A A A 表示 ； 321321321A A A A A A A A A ++表示 ； 321A A A 表示 . 3. 在某学院的学生中任选一人，用A 表示“选到的是男生”，用B 表示“选到的是二年级的学生”，用C 表示“选到的是运动员”。则式子ABC=C 成立的条件是 . 二．选择题 1. 在事件A ,B ,C 中，B 与C 互不相容，则下列式子中正确的是（ ）. ① A BC A = ； ② A BC A = ； ③ Φ=BC A ； ④ Ω=BC A . 2. 用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ ）. ① “甲产品滞销，乙产品畅销”； ② “甲、乙产品都畅销”； ③ “甲产品滞销或乙产品畅销”； ④ “甲、乙产品都滞销”. 3. 若概率0)(=AB P ，则必有（ ）. ① Φ=AB ； ② 事件A 与B 互斥； ③ 事件A 与B 对立； ④ )()()(B P A P B A P += . 三．解答题 1. 将一枚骰子掷两次，记录点数之和，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为偶数}；=B {点数之和能被3整除}. 2. 将一枚骰子掷两次，观察点数的分布，写出样本空间Ω及事件=A {点数之和为6}；=B {点数之差为2}. 3. 某城市发行日报和晚报两种报纸。有15%的住户订日报，25%的住户订晚报，同时订两种报纸的住户有8%，求下列事件的概率：C ={至少订一种报}；D ={恰订一种报}；E ={不订任何报}. 4. 若已知,2.0)(,0)()(,3.0)()()(======BC P AC P AB P C P B P A P 求概率)(ABC P ；)(C B A P ；).(C B A P 第一章 随机事件及其概率 1. 1) {}01001,,,.n n n n Ω=L 2) {}{}10,11,12,13,,10.n n Z n Ω==∈≥L 3) 以"'',''"+-分别表示正品和次品，并以""-+--表示检查的四个产品依次为次品，正品，次品，次品。写下检查四个产品所有可能的结果S ，根据条件可得样本空间Ω。 , ,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,. , ,,,S ++--++-++++-+++++---+--++-+-+-++?? =? ?-+---+-+-++--+++-------+--+---++??++--++-++++-+++++--+-+-+-++?? Ω=? ?-+---+-+-++--+++--?? 4) {}22(,)1.x y x y Ω=+< 2. 1) ()A B C ABC --=， 2) ()AB C ABC -=， 3) A B C A B C ++=U U ， 4) ABC ， 5) ()A B C ABC Ω-++=， 6) ()AB BC AC AB BC AC Ω-++=++， 7) ()ABC A B C Ω-=U U ， 8) AB AC BC ++. 3. 解：由两个事件和的概率公式()()()()P A B P A P B P AB +=+-，知道 ()()()() 1.3(),P AB P A P B P A B P A B =+-+=-+ 又因为()(),P AB P A ≤ 所以 （1）当()()0.7P A B P B +==时，()P AB 取到最大值0.6。 （2）当()1P A B +=时，()P AB 取到最小值0.3。 4. 解：依题意所求为()P A B C ++，所以 ()()()()()()()() 1111 000(0()()0)44485.8 P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC P ABC P BC ++=++---+=++---+≤≤==Q 5. 解：依题意， ()()() () ()()()() ()()()() ()()0.70.5 0.25. ()()()0.70.60.5 P B A B P BA P B A B P A B P A B P BA BA BA A P A P B P AB P A P BA P A P B P AB ++= = ++=+=+---= ==+-+-Q 6. 解：由条件概率公式得到111()1()()(),(),34 12()2 P AB P AB P A P B A P B P A B ==?=== 所以1 111 ()()()().4 6123 P A B P A P B P AB +=+-=+-= 7. 解： 随机事件的概率 一.选择题 1把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A.对立事件 B .不可能事件C.互斥但不对立事件 D .以上 均不对 【答案】C 【解析】本题要区分互斥”与对立”二者的联系与区别，主要体现在： (1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事 件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能 同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生. 事件甲分得红牌”与乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生，所以应选C. 2. 甲乙两人独立的解同一道题,甲乙解对的概率分别是p i,p2,那么至少有1人解对的概 率 是 (D ) A. P1 P2 B. P1 P2 C. 1 P1 P2 D.1 (1 P1)(1 P2) 【答案】D 【解析】：这是考虑对立事件，两人都没做对的概率为(1 P1) (1 P2)，至少有 1人做对为1 (1 P1)(1 P2) 3. 甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意 将这4个队分成两个组(每组两个队)进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A . D. 【答案】：D乙 1 2 【解析】：甲，乙两队分别分到同组的概率为R=丄，不同组概率为R=-，又T 3 3 各队取胜概率为1，二甲、乙两队相遇概率为P=1 ---，故选D. 2 3 3 2 2 2 2 4. (2010 ?辽宁)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为- 3 第一章 随机事件与概率 一、填空题 1．（1990年数学一）设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4，0.3和0.6若B 表示B 的对立事件，那么积事件AB 的概率P AB （） =_________． 【解题分析】要求P AB （）时,一般应想到AB A B A AB =-=-，这是事件的差与事件的积之间常见的转化关系，AB A ?而,所以有, () ()()P AB P A P AB =-,这时只需要求出 ()P AB 即可. 解: ()()()()P A B P A P B P AB =+- ， 又 () ()()P AB P AB P A +=， 所以 () ()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= . 本题用文氏图考虑求解思路更为直观,见图10-1. 图10-1 注:本题()0.4P A =是多余的. 2．（1991年数学四）设A ，B 为随机事件，()0.7,P A =()0.3P A B -=,则 () P AB =________． 【解题分析】 要求() P AB ,由于AB AB 与是对立事件,只要求出()P AB 即可.利用关系A B A AB -=-，()()()P A B P A P AB -=-，可得()P AB . 解:由题设()()() 0.7,0.3P A P A B P AB =-==， 利用公式 AB AB A +=，知 ()()()0.70.30.4P AB P A P AB =-=-=, 故 () ()110.40.6P AB P AB =-=-=． 本题也可利用图10-1考虑求解思路. 3．（2000年数学一）设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为1 9 ，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则()P A =________． 试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、，则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D) 0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3 (B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) 1．把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是() A．对立事件B．互斥但不对立事件 C．不可能事件D．以上都不对 2．(2020·湖北省实验中学等六校联考)某射击手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.20,0.30，0.10.则该射手在一次射击中成绩不够8环的概率为() A．0.30 B．0.40 C．0.60 D．0.90 3．(2019·九江统考)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从4个阴数中随机抽取2个数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是() A.12 B.23 C.14 D.13 4．若某公司欲从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.23 B.25 C.35 D.910 5．(2019·福州模拟)从大小相同的红、黄、白、紫、粉5个小球中任选2个，则取出的两个小球中没有红色的概率为( ) A.25 B.35 C.56 D.910 6．10张奖券中只有3张有奖，5人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是( ) A.310 B.112 C.12 D.1112 7．袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( ) A.435 B.3135 C.1835 D.2235 8．(多选)某展会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能的随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则( ) A ．P 1·P 2＝16 B ．P 1＝P 2＝12 C ．P 1＋P 2＝56 D ．P 1>P 2 9．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A ) 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第一章 随机事件及其概率（一） 一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件 （B ）必然事件 （C ）随机事件 （D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A AB - （B ）()A B B ?- （C ）AB （D ）AB 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C ] （A ）二人都没射中 （B ）二人都射中 （C ）二人没有都射着 （D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D ] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销”； （D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则AB 表示 [ A ] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞< 九年级数学随机事件与概率同步练习题 一、选择题 1.下列事件中，是确定性事件的是 A.明日有雷阵雨 B.小明的自行车轮胎被钉子扎坏 C.小红买体育彩片 D.抛掷一枚正方体骰子，出现点数7点朝上 2.下列事件中，属于不确定事件的有 ○1太阳从西边升起;○2任意摸一张体育彩票会中奖;○3掷一枚硬币，有国徽的一面朝下;○4小勇长大后成为一名宇航员。 A.○1○2○3 B .○1○3○4 C.○2○3○4 D.○1○2○4 3.下列成语所描述的事件是必然事件的是 A.水中捞月 B.守株待兔 C.水涨船高 D.画饼充饥 4.下列说法正确的是 A.随机的抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面一定朝上 B.从1、2、3、4、5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大 C.某彩票的中奖率为36%，说明买100张彩票，有36张中奖 D. 打开电视，中央一套正在播放《新闻联播》 5.有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同;事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面的点数为偶数。下列说法正确的是 A.事件A、B都是随机事件 B.事件A、B都是必然事件 C.事件A是随机事件，事件B是必然事件 D.事件A是必然事件，事件B是随机事件 6.一个不透明的布袋中有30个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到红球，则红球有 A.15个 B. 20个 C. 29个 D.30个 二、填空题 7.从数1、2、3、4、5中任取两个数字，得到的都是偶数，这一事件是_____。 8.一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相同的三个球，从中任取一球得到红球与得到蓝球的可能性___ __ 。 9.小明参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，今从中任选一个，选中_____的可能性较小。 10.3张飞机票2张火车票分别放在五个相同的盒子中，小亮从中任取一个盒子决定出游方式，则取到_____票的可能性较大。 11.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增加到14人，其中任取7名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是_____ 12.在线段AB上任三点x1、x2、x3，则x2位于x1与x3之间的可能性__ ___填写“大于”、“小于”或“等于”x2位于两端的可能性。 13.明天的太阳从西方升起”这个事件属于事件用“必然”、“不可能”、“不确定”填空。 三、解答题 14.在一个不透明的口袋中，装着10个大小和外形完全相同的小球，其中有5个红球，3个蓝球，2个黑球，把它们搅匀以后，请问：下列哪些事件是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是不确定事件. 1从口袋中任意取出一个球，它刚好是黑球. 2从口袋中一次取出3个球，它们恰好全是蓝球. 3从口袋中一次取出9个球，恰好红，蓝，黑三种颜色全齐. 4从口袋中一次取出6个球，它们恰好是1个红球，2个蓝球，3个黑球. 新 15.1已知：甲篮球队投3分球命中的概率为，投2 分球命中的概率为，某场篮球比赛在离比赛结束还有1min，时，甲队落后乙队5分，估计在最后的1min，内全部投3分球还有6次机会，如果全部投2分球还有3次机会，请问选择上述哪一种投篮方式，甲队获胜的可能性大?说明理由. 2现在“校园手机”越来越受到社会的关注，为此某校九年级1班随机抽查了本校若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了统计图如图所示，图②表示家长的三种态度的扇形图 习题一随机事件与概率计算 1.写出下列随机试验的样本空间：； （1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子； （3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止； （4）在某十字路口，一小时内通过的机动车辆数。 2.在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示： A=“至少出现一个正面”； B=“最多出现一个正面”； C=“恰好出现一个正面”； D =“出现三面相同”。 3.对飞机进行两次射击，每次射一次弹，设A={恰有一弹击中飞机}，B={至少有一弹击中飞机}，C={两弹都击中飞机}，D={两弹都没击中飞机}。又设随机变量X为击中飞机的次数，试用X表示事件A，B，C，D。进一步问A，B，C，D中哪些是互不相容的事件？哪些是对立的事件？ 4．试问下列命题是否成立？ （1）A—（B—C）=（A—B）∪C； （2）若AB≠?且C A ,则BC=?； （3）（A∪B）—B=A； （4）（A—B）∪B=A。 5.抛两枚硬币，求至少出现一个正面的概率。 6.任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率。 7.掷两颗骰子，求下列事件的概率： （1）点数之和为7； （2）点数之和不超过5； （3）两个点数中一个恰是另一个的两倍。 8.从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率： （1）全是黑桃； （2）同花； （3）没有两张同一花色； （4）同色。 9.设5个产品中3个合格品、2个不合格品。从中不返回地任取2个，求取出的2个全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？ 10.从n个数1,2，……，n中任取2个，问其中一个小于k（1 第26章 随机事件的概率 姓名_____________ 一、选择题： 1. 设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，从中任意取出1只，是二等品的概率是（ ）A ．121 B.61 C.41 D.12 7 2. 某电视台举行歌手大奖赛，每场比赛都有编号1~10号，共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答，在某场比赛中，前两位选手分别抽走了2号题，7号题，第3位选手抽到8号题的概率是（ ）A ．101 B ．91 C ．81 D ．7 1 3. 下列说法正确的是（ ） A ． 在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同 B ． 一个游戏的中奖率是1%，买100张奖券，一定会中奖 C ． 一副扑克牌中，随意提取一张是红桃K D ． 一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是5 3 4. 某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，不含辣椒的概率是（ ） A ．87 B ．76 C ．81 D ．7 1 二、填空题： 5. 同时掷两颗大小不同的骰子，则点数和为5的概率是_________ 6. 从一副拿掉大、小王的扑克牌中，任抽取一张则抽到红心的概率是_________抽到黑桃的概率为_____抽到红心3的概率为______ 7. 从小明、小亮、小丽3名同学中选1人当语文课代表，选中小丽的概率为_______，小丽不被选中的概率为_________ 8. 英文“概率”是这样写的“Probability ”，若从中任意抽出一个字母，则（1）抽到字母b 的概率为___（2）抽到字母w 的概率为____ 三、解答题: 9. 小王制定一个玩飞行棋的游戏规则为：抛掷两枚均匀的正四面体骰子（四面依次标上数字1、2、3、4），掷得点数之和为5时才“可以起飞”，请你根据该规则计算“可以起飞” 第三章概率 3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 A级基础巩固 一、选择题 1．下列事件中，不可能事件为( ) A．三角形内角和为180° B．三角形中大边对大角，大角对大边 C．锐角三角形中两个内角和小于90° D．三角形中任意两边的和大于第三边 解析：若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A、B、D均为必然事件． 答案：C 2．下列说法正确的是( ) A．任何事件的概率总是在(0，1]之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 解析：由概率与频率的有关概念知，C正确． 答案：C 3．“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( ) A．不可能事件 B．必然事件 C．可能性较大的随机事件 D．可能性较小的随机事件 解析：掷出的3枚骰子全是6点，可能发生．但发生的可能性较小． 答案：D 4．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( ) A．3件都是正品B．至少有一件是次品 C．3件都是次品D．至少有一件是正品 解析：12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件． 答案：D 二、填空题 5．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，不同的结果共有____________个． 解析：结果：(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)． 答案：3 6．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验． 解析：设进行了n次试验，则有10 n ＝0.02，得n＝500，故进行了500次试验． 答案：500 7．下列事件： ①在空间内取三个点，可以确定一个平面； ②13个人中，至少有2个人的生日在同一个月份； ③某电影院某天的上座率会超过50%； ④函数y＝log a x(0 第3章概率 § 3.1随机事件及其概率 重难点：根据随机事件、必然事件、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画实际生活中发生的随机 现象，理解频率和概率的区别和联系. 考纲要求：①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. 经典例题：某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下 （1） 试计算男婴 ）; （2） 该市男婴岀生的概率是多少？ § 2.1抽样方法 当堂练习： 1 ?下面事件：①在标准大气压下，水加热到 80°C 时会沸腾；②掷一枚硬币，出现反面；③实数的绝对值不小于零。是不 可能事件的有（ ） A.②； B .①； C .①②； D .③ 2?下面事件：①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上；②异性电荷，相互吸引；③在标准大气压下，水在 0°C 结 冰，是随机事件的有（ ） A.②； B .③； C .①； D .②、③ 3?某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示 则年降水量在[，] （范围内的概率为（ ） A. 0.41 B . 0.45 C . 0.55 D . 0.67 4.下面事件：①如果a ， b € R ，那么a ? b=b ? a ；②某人买彩票中奖；③ 3 +5 > 10;是必然事件有（ ） A.①； B .②； C .③； D .①、② 5?下列叙述错误的是（ ） A. 频率是随机的，在试验前不能确定，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 B. 若随机事件A 发生的概率为P A ，则0岂p A 叩 C. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 D. 5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到有奖奖券的可能性相同 6?下列说法： ① 既然抛掷硬币出现正面的概率为 0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上； 1 ② 如果某种彩票的中奖概率为 ，那么买1000张这种彩票一定能中奖； 10 ③ 在乒乓球、排球等比赛中，裁判通过让运动员猜上抛均匀塑料圆板着地是正面还是 反面来决定哪一方先发球，这样做不公平； 1 ④ 一个骰子掷一次得到2的概率是-，这说明一个骰子掷6次会岀现一次2 . 6 其中不正确的说法是（ ） A.①②③④ B .①②④ C .③④ D.③ 7?下列说法：（1）频率是反映事件发生的频繁程度， 概率反映事件发生的可能性的大小； （2 ）做门次随机试验，事件A m 发生的频率 就是事件的概率；（3）百分率是频率，但不是概率；（4）频率是不能脱离具体的 n 次试验的实验值，而概 n 率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； （5）频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值. 其中正确的是（ ） A. （ 1） （ 4） （ 5） B. （2） （4） （5） C . （ 1） （ 3） （4） D. （1） （3） （5） &下面语句可成为事件的是（ ） A .抛一只钢笔 B.中靶 C .这是一本书吗 D.数学测试，某同学两次都是优秀 9 .同时掷两枚骰子，点数之和在 2L12点间的事件是 ____________ 事件，点数之和为12点的事件是 _______ 事件，点数之和 必修3 习题一 随机事件及其概率 一、填空题 1．设随机试验E 对应的样本空间S ,与其任何事件不相容的事件为φ，而与其任何事件相互独立的事件为φP （A|B ）=1, 则A 、B 两事件的关系为 A=B ；设E 为等可能型试验，且S 包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。 2．若A 表示某甲得100分的事件，B 表示某乙得100分的事件，则 （1）A 表示 甲未得100分的事件； （2）A B ?表示 甲乙至少有一人得100分的事件； （3）AB 表示 甲乙都得100的事件； （4）AB 表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB 表示 甲乙都没得100分的事件； （6）AB 表示 甲乙不都得100分的事件； 3．若事件,,A B C 相互独立，则()P A B C ??= ()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P C P B P C P A P B P C ++---+。 4．若事件,A B 相互独立，且()0.5,()0.25,P A P B ==则 ()P A B ?=0.625。 5．设111()()(),()()(),(),4816 P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======则 ()P A B C ??=167；()P ABC =169 ；(,,)P A B C =至多发生一个43；(,,P A B C =恰好发生一个）163 ；(|)P A A B C ??=74。 6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。 7．将 C ，C ，E ，E ，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE 的概率为11260 。 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概 第一章 随机事件及其概率 习题一 一、填空题 1．设样本空间}20|{≤≤=Ωx x ，事件}2 3 41|{ },121|{<≤=≤<=x x B x x A ，则B A Y 1 3{|0}{| 2}42x x x x =≤<≤≤U , B A 113{|}{|1}422 x x x x =≤≤< 课后作业 1．下列事件中是必然事件的是（） A．﹣a是负数 B．两个相似图形是位似图形 C．随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上 D．平移后的图形与原来对应线段相等 【考点】X1：随机事件． 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案． 【解答】解：A、﹣a是非正数，是随机事件，故A错误； B、两个相似图形是位似图形是随机事件，故B错误； C、随机抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上是随机事件，故C错误； D、平移后的图形与原来对应线段相等是必然事件，故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2．已知实数a＜0，则下列事件中是必然事件的是（） A．a+3＜0B．a﹣3＜0C．3a＞0D．a3＞0 【考点】X1：随机事件． 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，可得答案． 【解答】解：A、a+3＜0是随机事件，故A错误； B、a﹣3＜0是必然事件，故B正确； C、3a＞0是不可能事件，故C错误； D、a3＞0是随机事件，故D错误； 故选：B． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即 随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球，闭上眼从袋中摸出一个球，则下列事件发生概率最小的是（） A．摸出的球颜色为绿色B．摸出的球颜色为蓝色 C．摸出的球颜色为白色D．摸出的球颜色为黑色 【考点】X4：概率公式． 【分析】由袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球，利用概率公式即可求得：摸出的球颜色为绿色、蓝色、白色、黑色的概率，比较概率的大小，即可求得答案． 【解答】解：∵袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个蓝球， ∵共有3+3+6=12种情况， ∵P（摸出的球颜色为绿色）==，P（摸出的球颜色为蓝色）==，P（摸出的球颜色为白色）=0，P（摸出的球颜色为黑色）==． ∵下列事件发生概率最小的是C． 故选C． 【点评】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率=所求情况数与总情况数之比． 4．一个不透明的布袋里装有6个黑球和3个白球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出一个球，是白球的概率为（） A．B．C．D． 【考点】X4：概率公式． 【分析】直接根据概率公式即可得出结论． 【解答】解：∵个不透明的布袋里装有6个黑球和3个白球， ∵中任意摸出一个球，是白球的概率==． 故选B． 【点评】本题考查的是概率公式，熟知概率=所求情况数与总情况数之比是解答此题的关键． 第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2( 5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。概率 随机事件及其概率章习题
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