高中数学中数学思想方法的渗透
数学思想蕴含于数学知识中，有相对超脱于我们所学的数学知识。世上没有单纯的知识教学，也没有不包含不含任何数学思想的数学知识，这两者在教学过程中是相辅相成的。数学知识的学习过程，实际上是数学知识与数学思想逐渐形成的过程。
实践证明：高中数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想，方法和手段的现代化。加强数学思想方法的基础教育现代化的关键，特别是对能力的探索与摸索，社会对数学价值的要求。
一．高中数学思想方法对数学教学有着重要的作用
数学思想就是“人对数学知识的本质认识是从木屑具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，他在认识活动中反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。就中学数学知识体系和而言，中学数学思想万万使数学思想中最常见、最基本、比较浅显的内容，例如：统计思想、划归思想、分类思想等。数学思想的高层次的理解，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的差生与发展归律的认识，任何一个数学分支理论的简历，都是数学思想的应用于体现。
所谓数学方法，是指人们从事数学活动的程序，、途径，是实施数学思想的技术手段，也是数学思想的具体化反应所以说，数学思想是内隐的，数学方法是外显的，数学思想比数学方法更深刻，更抽象地反映了数学对象间的内在联系。由于数学史逐层抽象的，数学方法在实际运用中往往具有过程性和层次性特点，层次越低操作性越强。如变换方法包括恒等变换，恒等变换中又分为还原法、配方法、待定系数法等。课件，数学思想与数学方法既有区别又有联系，在解决问题是，总的指导思想是吧问题划归为能解决的问题，二为实现华贵，常用如一般化、特殊化、类比、归纳、恒等变形等方法，这是由长城用华贵方法。一般来说，强调指导思想是称数学思想，强调操作过程是称数学方法。
高中数学就指出数学基础知识是指：数学中的概念、性质、法则、公式、公里、定理及有数学基础内容反映出来的数学思想方法。在高中数学中，主要数学思想有分类思想、几何对应思想、等量思想、函数思想、数形结合思想、统计思想、和转化思想。与之对应的数学方法有理论形成的方法，如观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法，还有解决问题的方法具体方法，如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、缝隙、综合等方法。这些数学思想与方法，在教材的编写中被突出的显现出来。
在高中数学教材中，一方面以抽象性更强的高中数学知识为载体，从更高层次延续初中设计的数学思想方法的学习应用，如函数与映射思想，、、风雷四象、几何对应思想、树形结合思想、统计思想和划归思想等。另一方面结合高中数学知识，减少了一些新的数学思想方法，如向量思想、极限思想、微积分方法等。
二．教师应如何把握数学思想
如果教师在教学中，仅仅依照课本的安排，沿袭着从概念、公式到例题、练习这一传统的教学过程，及时教师讲深讲透，并要求学生记住结论，掌握题型的类型和方法，这样培养出来的学生也只能是“知识型”、“记忆型”的，讲完全被李数学教育的目标。
数学知识本身是非常重要的，但它并不是唯一的决定因素，正真对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终身受益的是数学思想方法。未来社会江旭要大量具有较强数学意识和数学素质的人才。因此向学生渗透一些基本的数学思想方法，是未来社会的要求和国际数学教育发展的必然结果。
三．教师在教学中渗透数学思想方法应遵循以下原则
（1）渗透性原则：数学思想方法是融合在数学知识之中的，所以采用渗透方式要不失时机的抓住机会，密切结合教材，不断地、一点一滴地在线有关数学思想方法逐步的加深学生对数学思想方法的认识。
（2）渐进性原则：数学思想方法的渗透必须结合两个实际，即教材是基于学生实际，不同的教材有不同的要求，不同的学生有不同的要求，要讲究层次，不要超越，要反复多次，小步地渐进。
（3）发展性原则：用渗透方式进行数学思想方法教学，开始时起点要低，但“低”是为了“高”。通过一个阶段的学习，应该在原有的基础上有所提高，要求学生“学会”
并“回学”，在思维素质方面有所发展。
（4）学生参与原则：所谓参与就是要求学生在教学过程中充分发挥他们的主体作用，遵循认识规律，运用他们的器官（五官、收、脑），通过他们的学习活动，去探索数学思想方法。
四．高中数学应如何加强数学思想方法的渗透
（1）提高渗透的自觉性
数学概念、法则、公式、性质等知识明显地卸载教材中，是有“形”的而数学思想方法却隐含在数学知识体系中，是无“形”的并且不成体系的散见与教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧将它作为一个软“任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，作为教师首先是更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，八掌握数学知识和渗透数学思想方法的同时，纳入教学目的，八数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入专研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法的各个因素，对于每一章每一节，都要考录愈合结合具体内容进行数学死穴思想方法的渗透，渗透那些数学思想方法，怎么渗透，渗透到什么程度应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。
（2）把握渗透的可行性
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程，结论推导的过程，方法思考的过程，思路探索的过程，规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
（3）注重渗透的反复性
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法，对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小姐姐大这类应用题的关键，找到具体数量的对应分率，从而使学生吱吱体验到对应思想和划归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生思想方法得渗透，不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，二是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生正真地有所领悟。
五．在高中数学中渗透数学思想的尝试
数学思想、数学方法横多，这里仅就高中教材中和高考试题中长见的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想做一些探讨。
（1）函数与方程思想：就是用函数的观点、方法研究问题，将费函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的：将问题转化为
函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。高中数学中，方程、
数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；几何量的变化问题也可以通过
对函数值域的考察加以解决。
下面举例说明：
例：已知数列是等差数列，若求？
分析：本体可以找“等差数列中一次每项之和仍称等差数列”的性质求解，但如果能想到是关于的一次函数，其图像直线上的离散点，利用点共线的条件建立方程求解。解：由条件知数列是等差数列，
三点共线列方程
解得：
可见用函数与方程四巷加以解决十分重要
（2）数形结合的思想：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形“就是图形、图像、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以”形“直观地表达数，以”数“精心地研究形。高中数学教材中处处都蕴含着数形结合的思想，下面举例说明；
例：已知实数，满足求的最值。
分析：本体利用数形结合的思想，得出的最值是点与圆上的动点的连线斜率的最值
解：的最值点是点与圆上的动点的连线的最值，如图可知：当过点的直线与圆相切斜率最小；当切是斜率最大，由点到直线的距离等于半径，容易算出
（3）分类讨论的思想：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。分类讨论的原则是不重复、不遗漏，讨论的方法是逐步进行，还必须要注意综合讨论的结果，使解题步骤完整。
下面举例说明：例：解关于的不等式
分析：在解含参数的一元一次不等式、二次不等式是，引起分类讨论的主要原因是对不等式对应的方程的根的大小的判定。
解：将元不等式变形为
当时，原不等式的解为，有，解为或
当时，有，解为或
当时，有，解为或
当时，解为
当时，解为
综上可知，当时，原不等式的解集为；或
当时，原不等式的解集为；或
（4）等价转化的思想：在教学研究中，使一中对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现子数学解题中，就是将原问题精选变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或已与解决的问题，就这一点来说，解题过程是不断转化的过程。高中数学涉及最多的是转化思想，如超越方程代数化、三维空间平面化复数问题实数化敞亮与变量的转化等，，为了实现转化，相应的产生了许多数学方法，如消元法、换元法图像法、待定系数法、配方法等。通过这些方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。
下面举例说明：
例：设不等式对满足的一切实数都成立，求实数的取值玩味。
分析：本体若把不等式看作关于的二次不等式，则求解过程麻烦；若把不等式看作是关于的一次不等式，则可以简化求解过程，这就是常量与变量的转化。
列：令
则原不等式等价于恒成立，
由于是关于的一次函数或常数函数。
故有
即
解之得
所以实数的取值范围是
综上例题可知数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的数学活动过程的数学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。所有在我们的教学活动过程中，我们作为数学思想的传播者应该认真组织好学生，让他们一一中积极的状态，主动地参与我们的数学教学过程来。在这样的气氛下我们的老师即可以启发引导，然后逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。在这个过程中，学生的参与度非常重要，没有学生不参与导我们的教学过程中来，那它就不可能对数学知识、数学思想差生体验，没有了体验那数学思想只能是一种空话。所以在教学过程中我们应该创设能够喜迎学生参与到教学中的来的各种情景，让他们在数学知识的学习过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想的体系。所以说搞好数学思想方法的教学时时代富裕我们的使命，我们责无旁贷。
总之数学思想方法是数学的灵魂和精髓，我们在高中数学教学中，应努力体现你数学思想方法，不识时机的向学生渗透数学思想方法，学生方能在运用数学解决问题自觉运用数学思想方法分析问题、解决问题，这也是素质教育的要求。，
高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.
3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.
高中常见数学思想方法 方法一 函数与方程的思想方法 函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容.函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展角度拓宽解题思路.方程的思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易，化繁为简的目的.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 【例1】 设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知3121312,0,0a S S =><. （1）求公差d 的取值范围； （2）指出1S 、2S 、…、12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【分析】 （1）利用公式n a 与n S 建立不等式，容易求解d 的范围；（2）利用n S 是n 的二次函数，将n S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时n S 取最大值的函数最值问题. 【解】（1） 由3a ＝12a d +＝12,得到1a ＝12－2d ， 所以12S ＝121a ＋66d ＝12(12－2d )＋66d ＝144＋42d >0， 13S ＝131a ＋78d ＝13(12－2d )＋78d ＝156＋52d <0. 解得：2437 d -<<-. （2）解法一：（函数的思想） n S ＝21115(1)(12)222 na n n d dn d n ++=+- ＝22 124124552222d d n d d ????????---- ? ????????????? 因为0d <，故212452n d ????-- ???????最小时，n S 最大.
高中数学七大数学基本思想方法 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 第二：数形结合思想 （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 （2）从具体出发，选取适当的分类标准。 （3）划分只是手段，分类研究才是目的。 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 第六：有限与无限的思想 （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 第七：或然与必然的思想
数学七大思想方法 1 函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。 2 数形结合思想 （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系； 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。 3 分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。 （2）从具体出发，选取适当的分类标准。 （3）划分只是手段，分类研究才是目的。 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。 4 化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题。 （2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。 5 特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。 6 有限与无限的思想 （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查。 7 或然与必然的思想 （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然。 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。
高中数学课堂中数学文化渗透 发表时间：2014-03-25T14:59:52.250Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2014年2月供稿作者：赵雅琨 [导读] 《数学课程标准》指出：“数学是人类的一种文化”。 赵雅琨河北省邢台市第二中学 摘要：数学作为一种文化，它是学生形成健全人格、获得一种能力的源泉，现在一直强调的一种可持续发展的能力的源泉。基础教育的数学教学中，忽视数学文化的现象比比皆是，著名的数学家柯朗在《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机。数学教学优势竟变成一种空洞的解题训练。数学研究已出现一种过分专门化和过于强调抽象的趋势，而忽视了数学的应用以及和其他领域的联系。”传统的教学要求就是这种解题的训练以及解题技巧的传送。呆板的教学模式限制了学生的自由发展的空间和自主创新意识，从而更为严重的是扼杀了学生青少年时期的个性和创新实践能力，也就自然不利于学生智力和潜能的发挥。 关键词：高中数学、数学文化、渗透 高中数学课程中指出：数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容，这些内容不单独设置，而是渗透在每个模块或专题中。虽未对“数学文化”一词作详细定义，但是通过标准对数学文化的教学要求与说明及其建议的阅读可得出它的科学含义——数学内涵，即通过介绍重要的数学思想、优秀的数学成果、有关人和事的人文精神，贯穿思想品德教育，培养学生的数学意识，用数学的观点观察现实与进行数学交流，培养学生的理性思维，追求创新精神，会欣赏数学美的一种文化现象。 一、利用数学史料进行数学思想渗透 《数学课程标准》指出：“数学是人类的一种文化”。今天，越来越多的人开始关注并认同这一观点。然而许多数学课仅仅是贴标签式的数学史料渗透。坦率地说，这种直白的宣讲是以听课老师为对象，最多只能算是课堂的点缀，至于学生从中能获得多少有益的启示，执教者和听课者似乎都不敢奢望。数学教学中的文化渗透需要教师的文化底蕴作保证，教师对教材的理解，对数学的理解，对教学活动的组织都反映了教师的文化素养，学生与教师的互动活动中，也就受到了教师的潜移默化。当我们的数学课，不再仅将所谓的知识点，作为课堂教学的全部，当我们的数学教师，努力演绎数学文化的厚重与缤纷，用信息的传递数学文化的睿智与豁达，当数学文化的魅力渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学。教师如何充分挖掘数学史料的文化功能，使其成为教学内容的有机组成部分，从而引发学生在文化张力的影响下绽放数学思考的理性之美呢？由此可见,利用数学史料对学生进行数学思想渗透的同时，学生还能受到了人格品行的教育，这充分体现了数学文化强大的教育功能。 二、在教学中有目的地突出数学思想方法的地位与作用 首先突出数学思想方法在数学教育中的地位。在新课程的数学教学目的中明确提出：数学思想方法作为基础知识的一部分，因此，在教学中要强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，如函数、空间观念、数形结合、向量、统计、随机观念、算法等一些概念和基本思想要贯穿于数学教学的始终。数学思想方法与知识技能相比，是相对较隐性的，是高一层次的，因此，在教学中要加强对数学思想方法的理解，重视对数学本质的认识。在理解概念、性质、公式和定理等知识形成的过程中，要引导学生认识和体会蕴涵在其中的数学思想方法;在学生探索和实践过程中，要让学生领悟和体会数学思想方法的地位，帮助学生形成正确的数学观，促进学生数学文化水平的提高。其次突出揭示数学知识中所蕴涵的数学思想方法。在展示数学知识的产生、发展和应用的过程中，要结合内容努力揭示其所蕴涵的类比化归、数形结合、归纳演绎等数学思想方法，引导学生领悟、明晰数学思想方法，让学生学会“数学思考”，用数学的思考方式去解决问题、认识世界。在教学中要注意沟通各知识之间的联系，适当地揭示知识中所蕴涵的归纳演绎思想方法。在讲授幂函数、指数函数、对数函数的性质时，应指出每类函数性质的特点及它们之间内在的联系;指出每类函数性质都是用归纳思想方法而得出的，即从几个代表性的函数图像归纳出这类函数的一般性质。但这仅是感性认识，必须向学生说服单靠这样归纳得出结论还不够严谨，还必须通过严格的演绎思想方法进行推理论证，然后上升到理性认识。 三、在教学中有意识地体现数学的美学价值 数学中处处有美。在教学中要认真发掘美育资源,以数学严谨的结构、完美的体系以及灵活多变的方法技巧作为审美、鉴美的切入点,在数学知识的引入中、数学问题的解决中,让学生享受到数学的简单美、和谐统一美、应用功能美等,让学生在美的熏陶中愉快地学习。①体现数学的简单美。爱因斯坦说过:“美,本质上终究是简单性。”数学的公式在形式上体现出朴素、简单,但其底蕴是深厚的。如欧拉给出的公式V-E+F=2,堪称简单美的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚,但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式,一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性。函数这一简洁的概念刻画出的数学现象能让学生体会到函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型,能让学生感悟到通过建立数学模型来刻画和研究客观世界变化规律的数学原理、思想、方法,能让学生学会动用函数思想来理解和处理现实生活和社会中的简单问题，让学生在掌握知识的同时享受到数学的这种形式简洁、内容深刻、作用大的简单美。②体现数学的和谐统一美。和谐统一体现于数学的很多方面。在解析几何中,不同的圆锥曲线如椭圆、双曲线和抛物线,可以用一个统一的定义,即:平面上到定点和到定直线的距离的比为常数e的动点的轨迹。③体现数学运用的功能美。数学运用具有广泛的适用性,它不仅运用于科学技术中,也被用到了文学、艺术及日常生活之中。如将数学透视理论的精神注入绘画艺术之中,创设有别于中世纪的全新的绘画风格;在人物画的绘画创作中、在二胡琴杆与琴弦滑动的“千斤”的调试中都体现了“黄金分割”的优势;数列在购房贷款的分期付款中显示出极大的作用……要让学生感受到数学运用的功能美,体会到数学的价值和数学的魅力。 总之，课堂教学渗透数学文化知识，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以丰富学生的知识体系，完善学生的认知结构，培养学生的问题意识及解决问题的能力，提升学生的数学素养，让学生真正意义上理解数学、掌握数学、欣赏数学。
等价转化思想方法 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。 等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。 Ⅰ、再现性题组： 1. f(x是R上的奇函数，f(x＋2＝f(x，当0≤x≤1时，f(x＝x，则f(7.5等 于_____。 A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利
目录 前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案……………………………………
前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳 和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思 想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。
数学文化渗透高中数学教学的研究 龙海君 内蒙古通辽市扎鲁特旗第一中学 029100 摘要：伴随教育研究与实践的推进，应试教育下的以分定优劣的高中数学教学形态已经没落。继而“数学文化”这一词汇，强势进入数学教育研究者和实践者的视野，并发挥出极大的影响。数学文化渗透入高中数学教学，为高中数学教育打开了一方新天地。 关键字：数学文化；数学教学；意义；对策 一、数学文化在高中数学教学中的价值 1.渗透数学文化易于激发学习热情、激活学生思维 数学文化作为联结自然科学与人文精神的文化存在，以一种潜移默化的方式激励着学习者的智力挖掘，培养理性、思辨精神和敢于突破、力求创新的精神。把数学文化带入高中数学教学课堂，让程式化的思维在追溯数学历史渊源、体悟数学美学的过程中，走向开放、包容、多元。由此，渗透入数学文化的数学教学不再是传授“夺分秘诀”的僵化模式，而是激发学生的学习热情、激活学生的开放性思维。 2.渗透数学文化有益教学相长 将数学文化渗透入高中数学教学的又一显著成效就是建立起良性交往的新型师生关系，让教学相长成为可能并发挥作用。一方面，受教育的一方即学生，通过数学文化的浸染逐步养成自主学习、探究学习的习惯，对数学学习提出更高的要求；另一方面，实施教育的一方即老师，为了满足学生对于吸收数学文化的需求，以及更准确、更贴切地阐述数学文化，必须不断提高自身教育教学水平、提升数学文化素养。由此可见，在高中数学教学中渗透数学文化是实现教学相长的有效途径，也会把教育教学提高到新的层次。 二、高中数学教学中渗透数学文化的方法 1.合理安排课程设计，融入数学文化 教师在教学过程中应当依据当时当地学生的智力发展状况和知识积累情况，合理安排课程设计，注重在知识生成的过程中渗透数学文化、在训练学生演绎运算能力的同时培养数学思维。例如在学习选修三“三等分角和数域扩充”这一章节时，教师可先介绍古希腊三大几何作图问题，让学生给予他们公允的判断，再指导学生突破尺规的限制，学习三等分角的作图方法，找出自己的做法和古希腊三大几何作图问题之间的异同。
前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 4
高中数学常用的数学思想 一、函数与方程思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y ＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f-1(x)的单调性、 奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 例设f(x)＝lg 124 3 ++ x x a ，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。 【分析】当x∈(-∞,1]时f(x)＝lg 124 3 ++ x x a 有意义的函数问题，转化为1＋2x＋4x a>0 在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。 【解】由题设可知，不等式1＋2x＋4x a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：(1 2 )2x＋( 1 2 )x＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t＝(1 2 )x, 则t≥ 1 2 ，又设g(t)＝t2＋t＋a，其对称轴为t＝－ 1 2
高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范
高中数学七大基本思想方法讲解 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用 （2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础 高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查 第二：数形结合思想： （1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面 （2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系 数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化 第三：分类与整合思想 （1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法 （2）从具体出发，选取适当的分类标准 （3）划分只是手段，分类研究才是目的 （4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性 （5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性 第四：化归与转化思想 （1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法 （3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化 第五：特殊与一般思想 （1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识 （2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论 （3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程 （4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程 （5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向 第六：有限与无限的思想： （1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路 （2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向 （3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用 （4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查 第七：或然与必然的思想： （1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性 （2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然 （3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点 第一：函数与方程思想 （1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、
赏析数学史在高考试题中的渗透 --从数学文化视角解读2017最新高考考纲变化 温馨提示： 2016年10月8号，教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》，特别提出要关注数学文化。前面我连续写了《什么是数学文化？》、《数学文化的四个层次》、《数学文化的人本特性》三篇文章，对数学文化作了一个系统的梳理。梳理过后，我想大部分老师还是想急切知道数学文化到底如何在考题中体现出来。事实上，在此之前，各省份的高考试题就已经在这方面有所体现，也出现了一些渗透数学文化的精彩题目。分析这些高考试题，会发现目前大致出现了以下六种方式:①渗透数学史；②渗透数学名题；③渗透数学精神；④渗透数学美；⑤渗透数学应用；⑥渗透数学语言。故下一步我将分别从这六个方面进行论述。 本期先谈高考试题中数学史的渗透。 赏析数学史在高考试题中的渗透 中国数学文化历史悠久，在长期发展中，形成了“注重归纳”、“强 调实用”、“讲究算法”的独特特点。另外我国数学家的优秀研究品质、 研究特点和研究成果对学生影响不可忽视。把数学史作为数学文化的载 体，以数学史为背景进行命题是最近几年高考试题渗透数学文化的一个 特色。 例1.（2015年全国卷一卷6题） 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思 为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米 堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，
问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（） 赏析：这个问题源于生活中谷物储存，与立体几何体积求解的基础知识结合起来，这样设计可以让学生体会到我们古代数学的优秀传统——数学要关注生产、生活等社会问题，引导学生了解数学文化，体会数学知识在认识世界中的工具作用。体现了数学文化“以数化人”的功能。 例2.（2015年全国二卷8题） 程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的（） 赏析：题目中的“更相减损术”是解决“求两个数的最大公约数”问题，外国的欧几里德算法也可以解决这个问题，但是我国的发现比外国的算法更简单，操作起来更方便，更符合算法的要求。这样设计，不仅可以让学生理解数学文化，形成理性思维，同时也能学生感受我国古代数学的成就，增强爱国情怀。 例3.（2011年湖北理科13题） 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为___________________.