比例性质及比例线段（初二4.16）
一、知识点与方法概述：
1、比例的性质：
基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.
合比性质：
等比性质：如果，那么.
2、（成）比例线段：
比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.
3、黄金分割：
如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC
是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.
注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.
4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）
推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）
5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.
根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.
已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC
求证：DE=EF
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.
已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF
6、三角形的中位线定理：
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点
求证：BC DE //，BC DE 21=
7、梯形的中位线定理
梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位
线。
梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于
两底和的一半。
已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点
求证：BC AD EF ////，)(2
1BC AD EF +=
.
二、典型例题：
1. 如图，CE 是?ABC 的中线，AC EG BD EF AD CD //,//,21=. 若EF=18cm ，则BG= cm ；若CD=9cm ，则AF= cm.
2. 如图，?ABC 中，E 为BC 上一点，CD 平分ACB ∠交AE 于点
D ，且CD ⊥A
E ，BC D
F //交AB 于F 。若AF=2cm ，则AB= cm.
3. 已知：如图，?ABC 中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D 、E 、F 分别
是AB 、BC 、AC 的中点，求?DEF 的周长.
4. 已知：如图，?ABC 中，BD 、CE 分别
是ABC ∠、ACB ∠的平分线，BD AH ⊥于
H ，CE AF ⊥于F ，若AB=14厘米，AC=9
厘米，BC=18厘米，求FH 的长.
5. 已知：如图，梯形ABCD 中，?=∠=∠45DCB ABC ，
BC AD //，高是h ，中位线长m ，求两底的长.
6. 已知：572z y x ==，设z y x x A ++=，y z x B +=，x
z y x C -+=，那么A 、B 、C 的大小顺序是 .
7. 已知：z y x z y x =+=+2,5114，则z y x ::= .
8. （2002·天津）已知：c b a ,,是正数，且
k b
a c c a
b
c b a =+=+=+，下列四个点中，在正比例函数kx y =的图像上的点的坐标是（ ） A ．（1，
21） B.(1,2) C. （1，2
1-） D.(1,-1)
9. 已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AM AB AB AB AM =+.
10. 如图，
321////l l l ，分别交直线m 于点A 、B 、C ，交直线n 于点D 、
E 、F. 若AB:AC=1:2，那么DE:EF= .
11. 已知：如图，BC EH DF ////，若1:5.1:1::=HC FH AF ，则（1）AE AD = ；（2）AB
DE = .
12．已知：如图，在?ABC 中，BC DE CD EF //,//. 求证：AF ：FD=AD:DB.
13．已知：如图，在?ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE 平分ADC ∠交AC 于E ，若B BAC ∠=∠2，AE=4，CE=3. 求AB 的长.
比的性质和比例线段30题（有答案）1．若==（abc≠0），求的值． 2．已知：（x、y、z均不为零），求的值． 3．已知：，求代数式的值． 4．已知===k，求k的值． 5．已知x：y：z=2：3：4，求的值． 6．已知a：b：c=3：2：1，且a﹣2b+3c=4，求2a+3b﹣4c的值．
7．已知，（1）求的值；（2）若，求x值． 8．已知xyz≠0且，求k的值． 9．若==，求a：b：c的值． 10．已知：==，求的值．11．若=k，且x+y﹣z=5，求x，y，z的值． 12．如果，求k的值．
13．已知线段． （1）若a：b=c：x，求x； （2）若b：y=y：c，求y． 14．已知：=，说明：ab+cd是a2+c2和b2+d2的比例中项． 15．已知：==≠0，求a：b：c的值． 16．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比是3：2，后来又有6名女生参加进来，此时男生与女生人数的比为5：4，求原来各有多少名男生和女生？ 17．已知，求的值． 18．求的值．
19．已知，且b+d+f≠0 （1）求的值； （2）若a﹣2c+3e=5，求b﹣2d+3f的值． 20．已知a、b、c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，==，求△ABC三边的长． 21．已知线段a、b、c满足，且a+2b+c=26． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x． 22．（1）已知a=4，c=9，若b是a，c的比例中项，求b的值． （2）已知线段MN是AB，CD的比例中项，AB=4cm，CD=5cm，求MN的长．并思考两题有何区别． 23．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm． （1）求线段a与线段b的比以及比值； （2）如果线段a，b，c，d成比例，求线段d的长．
[文件] sxc2jja0001.doc [科目] 数学 [年级] 初二 [章节] [关键词] 比例线段/比例的基本性质 [标题] 比例线段及比例的基本性质 [内容] 教学目标 1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题. 教学重点和难点 重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形. 教学过程设计 一、复习四个数成比例的有关知识 1.四个数a ，b ，c ，d 成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义. 2.比例的基本性质的内容. 二、类比联想、定义比例线段的有关概念 1.复习两条线段的比的有关知识. 投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '中，AB=50，CD=25，A 'B '=20，C 'D '=10.求出' '' 'C B B A BC AB 及的值，并回答它们的大小关系. 答：1 2''''==C B B A BC AB 由此引出比例线段的概念. 2.用类比的方法学习比例线段的概念. （1）比例线段的概念. 在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）比例线段的符号表示及有关名称. ① 四条线段 a ，b ，c ，d 成比例，记作a :b=c :d .组成比例的项是a ，b ，cd ，其中比例外项为a ，b ，比例内项为b ，c ，d 称为a ，b ，c 的第四比例项. ② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a :b=c :d .则线段b 叫a ，c 的比例中项. ③ （3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系.
数学辅导11： 比例的基本性质 一、知识点： 1. 成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段a ，b ，c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2. 比例的性质： （1如果d c b a =，那么bc ad =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)，那么d c b a =. （2如果 d c b a =，那么c d a b =. （3如果d c b a =，那么d b c a =. （4如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-=+-. （5如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么 b a n d b m c a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知71=-a b a ，则b a 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知32=b a ，则=+b b a _________，b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c b a ，则d b c a ++的值为____________. 已知572 c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75== d c b a ，那么d b c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若4 3===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周长为______. （4）已知5 43c b a ==，且6=-+c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么c d c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________. （7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值.
比例线段及比例的基本性质 ［内容］ 教学目标 1理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项 2 ?掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例 3?培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题 教学重点和难点 重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形 教学过程设计 一、复习四个数成比例的有关知识 1四个数a, b, c, d成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义 2比例的基本性质的内容 二、类比联想、定义比例线段的有关概念 1复习两条线段的比的有关知识 投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A BCD 中，AB=50 , CD=25, A B =20, CD =10 求出如及AX BC BC的值，并回答它们的大小关系 AB A'B' 2 答：BC B'C' 1由此引出比例线段的概念 2用类比的方法学习比例线段的概念 (1 )比例线段的概念 在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段， 简称比例线段 (2)比例线段的符号表示及有关名称 ①① 四条线段a, b, c, d成比例，记作ab=c d组成比例的项是a, b, cd,其中比例外项为 a, b,比例内项为b, c, d称为a, b, c的第四比例项 ②② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即ab=c d贝熾段b叫a, c的比 例中项 ③③(3)教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系 AB B'C' 如图5-4中，BC A'B'，即AB , BC , B C , A B四条线段不成线段，而AB , BC ,
第3章 图形的相似 3．1 比例线段 3．1．1 比例的基本性质 1．掌握比例的基本性质及其简单应用． 2．能灵活运用比例的基本性质进行比例式的变形． 3．培养用方程的观点解决问题的思想方法和思维习惯． 阅读教材P62-63，理解并掌握比例的基本性质. 自学反馈 学生独立完成后集体订正 1.下列数字中，成比例的一组是( B ) A ．1，2，3，4 B ．16，8，10，5 C ．8，5，6，10 D ．5，5，6，7 2.（1）比例的基本性质是：如果a b ＝c d ，那么 ； （2）若a b ＝c d ，则b a ＝ ，a c ＝ ． 3.(1)已知3∶25 ＝x ∶2，则x ＝ ； (2)已知a b ＝13，则b a ＝ ，b ＝ ． 活动1 小组讨论 例1 已知四个数a ，b ，c ，d 成比例，即a c b d =.下列各式成立吗？若成立，请说明理由 . 解：由于两个非零数相等，则它们的倒数也相等，因此，由①式可以立即得到②式，即②式成立. 由①式得 ad=bc. 在上式两边同除以cd ，得 .a b c d =
在①式两边都加上1，得 1 1.a c b d +=+ 由此得到 .a b c d b d ++= (1)比例式与等积式可以互化，将等积式化为比例式时，只要保证在同一积中的两条线段放在同一条“对角线”的两端即可； (2)将比例式化成等积式，利用等式的性质和解方程的观点处理比例式的问题，是一种常用的方法． 例 2 变例：x 2＝y 3＝z 4，且求3x ＋2y －5z 5x －3y ＋6z 的值． 解：设x 2＝y 3＝z 4 ＝k ， ∴则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k. ∴3x ＋2y －5z 5x －3y ＋6z ＝6k ＋6k －20k 10k －9k ＋24k ＝－8k 25k ＝－825 . 遇到连等式时常利用设“k ”法，即引进参数解体． 具体步骤如下： ①设这些相等的比值为k ； ②转化为每个比的前项等于后项的k 倍； ③代入求有关比例式的值． 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 1.下列各组数中，成比例的是（ ） A ．3，6，7，9 B ．2，5，6，8 C ．3，6，9，18 D ．11，12，13，14 2.如果x ﹣2y=0，且y ≠0，那么y x 等于( ) A ．2 B ．2 1 C ．﹣ 2 D ．21- 3.如果mn=ab ，则下列比列式中错误的是( ) A ． b n m a = B ．b n a m = C ．b m n a = D ．n b a m = 4.若5 3=y x ，则x y = ． 5.已知：，则= ． 6.已知三个数1，2，，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是 ． 7.求下列各式中的x 值． (1)5︰x=10︰2； (2)7︰12=14︰2 x ；
4.1比例线段(2) 教学设计及课后反思 一、学情和教材分析： 学习比例线段是为了进一步学习相似三角形而作的准备，相似三角形和相似多边形中的对应边成比例就是用到本节中比例线段的知识，所以本节知识就显得比较重要了。 二、教学目标： 1.了解两条线段的比和比例线段的概念； 2.能根据条件写出比例线段； 3.会运用比例线段解决简单的实际问题。 三、教学重点和难点： 教学重点：比例线段的概念。 教学难点：例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点。 四、教学方法：启发式、讨论式 教学辅助：多媒体 五、教学过程： (一)、复习引入: 1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项。 2.说出比例的基本性质。由ad＝bc可推出哪些比例式？ 3.练习：(1)若3x＝4y，求、、的值。 (2)若＝，求的值。 (3)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。求AB:CD的值。 (4)完成P98网格问题。(问题建立在相似变换基础上，可复习相似变换) （二）、设置问题，探究新课： 如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？ 在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做这两线段的比。记为a：b或 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必须在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。 (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD. 比例线段：一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即=，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 完成P99做一做 （三）、模仿与应用： 例题：已知线段a=10mm，b=6cm，c=2cm，d=3cm.问：这四条线段是否成比例？为什么? 答：这四条线段成比例 ∵a=10mm=1cm ∴＝，＝＝ ∴＝，即线段a、c、d、b是成比例线段。 想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段. 反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种： (1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积。 例3如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。请找出一组比例线段，并说明理由。 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否 成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积 是否等于另两条线段的乘积)
比例性质及比例线段（初二4.16） 一、知识点与方法概述： 1、比例的性质： 基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d. 合比性质： 等比性质：如果，那么. 2、（成）比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. 3、黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC 是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点. 4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例. 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质） 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理） 5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF 6、三角形的中位线定理： 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 已知：如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点 求证：BC DE //，BC DE 21= 7、梯形的中位线定理 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位 线。 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于 两底和的一半。 已知：梯形ABCD 中，BC AD //，E 、F 分别是AB 、CD 的中点 求证：BC AD EF ////，)(2 1BC AD EF += . 二、典型例题： 1. 如图，CE 是?ABC 的中线，AC EG BD EF AD CD //,//,21=. 若EF=18cm ，则BG= cm ；若CD=9cm ，则AF= cm. 2. 如图，?ABC 中，E 为BC 上一点，CD 平分ACB ∠交AE 于点 D ，且CD ⊥A E ，BC D F //交AB 于F 。若AF=2cm ，则AB= cm. 3. 已知：如图，?ABC 中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D 、E 、F 分别 是AB 、BC 、AC 的中点，求?DEF 的周长.
线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割 Ⅰ梳理知识 比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割 1.线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比. 2.比例线段的定义 在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b ＝c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，b 、c 叫做比例的 ，称d 为a 、b 、c 的 . 3.比例的性质 (1)比例的基本性质：如果a ∶b ＝c ∶d ，那么 .特别地，若a ∶b ＝b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若 d c b a =，则 . (3)等比性质：若n m f e d c b a ==== ，且 ，则 . 4.黄金分割 (1)黄金分割的意义：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 . (2)黄金分割的作法 【例题讲解】 例1.(1)已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 . (2)在比例尺为1：n 的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米. 例2.(1)已知x ∶y ∶z ＝3∶4∶5，①求 z y x +的值；②若x ＋y ＋z ＝6，求x 、y 、z. (2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.
第四章图形的相似 1．成比例线段（二） 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础： 这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。学生活动经验基础： 上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。已经感受了数学知识源于生活，用于生活。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 难点处理： 比例的基本性质的推理是本节课的难点，教学中要尽量让学生发扬小组合作的精神，在小组中展开讨论，教师参与指点。 二、教学任务分析 教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。在知识技能方面，要求学生了解线段的比和成比例线段；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。学生经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。 教学目标： （一）知识目标：了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。
比例线段及比例的基本性质 [内容] 教学目标 1．理解比例线段的概念，能说出比例关系式中比例的内项、外项、第四比例项或比例中项. 2．掌握比例的基本性质，初步会用它进行简单的比例变形，并会判断四条线段是否成比例. 3．培养学生将比例式看成是关于末知数的方程的观点，利用方程思想来解决问题. 教学重点和难点 重点是比例线段的概念及基本性质的应用；难点是应用比例的基本性质进行比例变形. 教学过程设计 一、复习四个数成比例的有关知识 1.四个数a ，b ，c ，d 成比例的定义，比例的项、内项及外项的含义. 2.比例的基本性质的内容. 二、类比联想、定义比例线段的有关概念 1.复习两条线段的比的有关知识. 投影：如图5-4，矩形ABCD 与矩形A 'B 'C 'D '中，AB=50，CD=25，A 'B '=20，C 'D '=10.求出''''C B B A BC AB 及的值，并回答它们的大小关系. 答： 12''''==C B B A BC AB 由此引出比例线段的概念. 2.用类比的方法学习比例线段的概念. （1）比例线段的概念. 在四条线段中，如果其中两条线段比等于另外两条线段比，那么这两条线段叫做成比例线段，简称比例线段. （2）比例线段的符号表示及有关名称. ① ① 四条线段 a ，b ，c ，d 成比例，记作a :b=c :d .组成比例的项是a ，b ，cd ，其中比 例外项为a ，b ，比例内项为b ，c ，d 称为a ，b ，c 的第四比例项. ② ② 特殊情况：若作为比例内项的两条线段相同，即a :b=c :d .则线段b 叫a ，c 的比 例中项. ③ ③ （3）教师应强调四条线段才能成比例，而且有顺序关系. 如图5-4中， ''' 'B A C B BC AB ≠，即AB ，BC ，B 'C '，A 'B '四条线段不成线段，而AB ，BC ，
第十八章 相似形——比例线段及相似知识点讲解 【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成n m b a = ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果d c b a = ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ， d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 c b b a =，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 (2)反比性质： c d a b d c b a =?= (3)更比性质: 或 d b c a d c b a =?=或a c b d = (4)合比性质: d d c b b a d c b a ±=±?= (5)等比性质: n m f e d c b a ====...且 b a n f d b m e c a n f d b =++++++++?≠++++......0...
比例线段练习 １、判断下列四条线段是否成比例 ① a=2，b=5,c=15，d=23； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10 2、已知：ad=bc （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长. 4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE CD AB =，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2 132=+-y x y x ，求x y (3) 若 56=+b b a ，求b a ，b b a - (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求x y 7．将比例式中的x 移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1）a:b=x :c （2） x :a=b:c （3） a:x =b:c 8：若 52===f e d c b a ，求f d ab e c a d b c a 43432,-+-+-- 练习：已知:41:32:51::=z y x , 求z y x z y x 5252+--+的值 9： 若ABC 三边a:b:c=6:4:3,三边上的高分别为h 1、h 2、h 3，求h 1:h 2:h 3的值。 10：已知两地的实际距离是250米，画在地图上的距离（图距）是5厘米，在这样的地图上,图距a=8厘米的两地A,B 的实际距离是多少呢?比例尺是多少？
比例线段与相似性质和判定 一、比例的性质 1．,a c ad bc b d =?=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b d b d a c = ? =(反比定理); 3．a c a b b d c d = ?=(或d c b a =)(更比定理); 4．a c a b c d b d b d ++= ?= (合比定理); 5．a c a b c d b d b d --= ?= (分比定理); 6．a c a b c d b d a b c d ++= ?= --(合分比定理); 7．(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b ++???+= =???=++???+≠?=++???+(等比定理). 二、成比例线段 1．比例线段 对于四条线段a b c d ，，，， 如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a c b d =（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2．比例的项 在比例式a c b d =（::a b c d =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四 比例项． 三条线段a b b c =（::a b b c =）中，b 叫做a 和c 的比例中项． 3．黄金分割 B A C 如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =?）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中 510.6182AC AB AB -=≈，35 0.3822 BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比． 三、平行线分线段成比例定理 1．定理 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例． 2．推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 3．推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 4．三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
九年级数学上册--比例线段教案 【学习目标】 1、能熟记比例的基本性质． 2、能够运用比例的性质进行简单的计算和证明. 【学习重点】 比例的基本性质及其应用. 【学习过程】 一、 知识链接： 1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答下列问题： （1）如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x ，则x = 。 2、上节课学习了两条线段的比，成比例线段 （1）比例线段及其相关概念 “成比例线段”的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做 。 （2） “成比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 线段的比是指 条线段的比的关系，成比例线段是指 条线段之间的关系。 （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性，a :b 和b :a 相等吗？请举例说明。 成比例线段也有顺序性，如 d c b a =能说成是b 、a 、c 、d 成比例吗？请举例说明。 二、 预习交流： （1） 比例的基本性质是： 。 请写出推理过程： ∵d c b a =，在两边同乘以bd 得，a b ? =c d ? ∴ = （2） 合比性质:如果 d c b a =，那么a b b += 请写出推理过程：
∵d c b a =，在两边同时加上1得，a b + =c d + . 两边分别通分得： a b c d b d ++= 思考：请仿照上面的方法，证明“如果d c b a =，那么d d c b b a -=-”． （3） 等比性质： 猜想n m f e d c b a =???===（0≠+???+++n f d b ），与n f d b m e c a +???++++???+++相等吗？能否证明你的猜想？（引导学生从上述实例中找出证明方法） 等比性质：如果n m d c b a =???==（0≠+???++n d b ），那么n d b m c a +???+++???++＝b a ． 思考：等比性质中，为什么要0≠+???++n d b 这个条件？ 三、 巩固练习： 1.在相同时刻的物高与影长成比例，如果一建筑在地面上影长为50米，高为1.5米的测竿的影长为 2.5米，那么，该建筑的高是多少米？ 2．若:2(4):4x x =-则x = 3．若 2x =0234x y z ==≠，则2x y z x --= 四、 本课小结： 1．比例的基本性质：a :b =c :d ? ； 2. 合比性质：如果 d c b a =，那么 ； 3. 等比性质：如果n m d c b a =???==（0≠+???++n d b ）， 五、 布置作业： 课本习题
数学辅导11：比例的基本性质 一、知识点： 1.成比例线段：线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =，那么这四条线段a ，b ， c ， d 叫做成比例线段，简称比例线段. 2.比例的性质： （1d c b a =，那么b c a d =；如果bc ad =(a ，b ，c ，d 都不为0)， 那么d c b a =. （2d c b a =，那么c d a b =. （3d c b a =，那么d b c a =. （4d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a -=-,d c d c b a b a +-= +-. （5)0(≠+++===n d b n m d c b a ΛΛ，那么b a n d b m c a =++++++ΛΛ. 二、典型例题： （1）已知 71=-a b a ，则b a 的值为___________________.已知38=+y y x ，则y x =_______________. 已知 32=b a ，则=+b b a _________， b b a -=______________. （2）已知)0(53≠+==d b d c b a ，则 d b c a ++的值为____________. 已知572c b a ==，则a c b a -+=______________. 已知75==d c b a ，那么d b c a 3232--=_____________. （3）在△ABC 与△DEF 中，若4 3 ===FD CA EF BC DE AB ，且△ABC 的周长为36cm ，则△DEF 的周 长为______. （4）已知543c b a ==，且6=-+ c b a ，则a =__________. （5）如果d c b a =（0≠+b a ，0≠+d c ），那么c d c a b a +=+成立吗？请说明理由. （6）已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中cm a 3=，cm b 2=，cm c 6=，则线段d =___________. （7）已知2:4:3::=c b a ，且182=-+c b a ，求c b a 23+-的值. 练习
《成比例线段》基于标准的教学设计 教材来源：义务教育课程标准实验教科书，北京师范大学出版社 教学内容来源：九年级数学（上册）第4单元第1课 教学主题：《成比例线段》课时：第2课时 授课对象：九年级学生 设计者：刘金金 目标制定的依据： 1.课程标准的相关要求 新课程标准明确指出：数学教学的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验 2.教材分析 教科书在学生认识线段的比的基础上，进一步提出了本节课的具体要求：理解并掌握比例的基本性质及其简单应用。学好了本节课，既承接了全等三角形的内容，又为本章的后续学习相似三角形和相似多边形奠定了基础。 3.学情分析 学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，初步掌握了解决有关比的问题的方法。各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。 学习目标： 1、知道线段的比的概念，会计算两条线段的比。 2、理解成比例线段的概念。 3、掌握成比例线段的判定方法。 学习重点： 1、1线段的比和成比例线段，以及比例线段的基本性质。 2、用引入比值K的方法，探索比例的性质。 评价任务： 1、引导发现，探索讨论 ⑴引导学生充分经历数学知识的形成与运用过程。学生通过这一过程，让已经存在于学生头脑中的那些不那么正规的数学知识和数学体验上升发展为科学论证，从中感受到发现的乐趣，增进学习数学的信心，形成创新意识。 (2) 鼓励学生自主探索与合作交流。有效的数学学习过程，不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。 (3) 通过一题多用、一题多变、一题多解，加强解题思路的分析，把学生从题海中联