电磁场与电磁波
严肃认真、周到细致、稳妥可靠、万无一失
韩宇南
Email:hanyn@https://www.doczj.com/doc/7c1858398.html,
教材：
谢处方、饶克谨，电磁场与电磁波（第四版），北京：高等教育出版社参考书：
焦其祥，电磁场与电磁波，北京：科学出版社
严琪琪、赵丽珍，电磁场与电磁波全程导学及习题全解，中国时代经济出版社John D.Kraus , Daniel A. Fleisch . Electromagnetics with Application. Beijing:Tsinghua University Press.
第6章时变电磁场
§6.1 法拉第电磁感应定律 §6.2 位移电流 §6.3 麦克斯韦方程组 §6.4 时变电磁场的边界条件 §6.5 时变电磁场的能量与能流 §6.6 复数形式的电磁场 §6.7 波动方程
§6.8 时变电磁场中的位函数
§6.1 法拉第电磁感应定律∫??=Φ?
=S
dS B dt d
dt d εN 匝线圈，看成是由N 个一匝线圈串联而成的，其感应电动势为
Nd dt
εΦ
=?
感应电动势, 定义非保守感应场E 沿闭合路径l 的积分：
l S d d E dl B d S dt dt Φ?=?=??∫∫J G G J G J G v
l S B E dl d S t ??=???∫∫J G
J G J G v
利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为()S S B E d S d S t ??×?=???∫∫J G
J G J G J
G 上式对任意面积均成立，所以B
E t ??×=?
?J G
J G 麦克斯韦第二方程
静电场：
0l E dl ?=∫J G G
v
E ?×=J G 非普适式
§6.1 法拉第电磁感应定律
§6.2 位移电流
位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原理，即
d =?∫S
S J 0
=??J 电荷守恒原理表明
t
q
S
???=?∫S J d t
???
=??ρJ §6.2 位移电流
对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连
续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩充前述的电流概念。
静电场的高斯定律同样适用于时变电场。代入上述电荷守恒定律，得
q S
=?∫ d S D 0
d =??????
???+∫
S
S t D J 相应的微分形式为
=?????
?
??+??t D J 不是由电子运动形成的传导电流或运流电流，而是人为定义的位移电流。
≈
真空电容器中通过的时变电流是什么？
显然，上式中
具有电流密度量纲。t
??D
§6.2 位移电流
t
??=D J d 0d )( d =?+∫S
S J J 0)(d =+??J J 那么，求得
英国物理学家麦克斯韦将
称为位移电流密度，以J d 表示，即t
??D
引入位移电流以后，时变电流仍然是连续的。由于此时包括了传导电流，运流电流及位移电流，因此，上式称为全电流连续性原理。
由定义可见，位移电流密度是电通密度的时间变化率，或者说是电场的时间变化率。
在静电场中，由于
，自然不存在位移电流。0=??t
D
在时变电场中，电场变化愈快，产生的位移电流密度也愈大。在电导率较低的媒质中，c
d J J >>c
d J J <<在良导体中，
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场，因此前述的安培环路定律变为
S
J
J l H d )(d d
?+=?∫∫S
l
S
D
J l H d )(d ???+=?∫∫S
l
t t
??+
=×?D J H 即
上两式称为全电流定律。它表明，时变磁场是由传导电流，运流电流以及位移电流共同产生的。
已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见，时变电场可以产生时变磁场。
电磁感应定律表明，时变磁场可以产生时变电场。因此，麦克斯韦引入位移电流概念以后，预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波。
§6.2 位移电流
由于
0D E P
ε=+JG J G J G 所以位移电流
0D E P
t t t
ε???=+???JG J G J G 两部分：变化的电场—第一项；
电介质极化的电矩变化—第二项
§6.2 位移电流
例6-1 证明通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流的总量为零。
D H J t
??×=+
?JG
JJ G J G 可知，通过任意封闭曲面的传导电流和位移电流为
()c S S D J d S H d S t ???+?=?×?????
?∫∫JG
J G J G JJ G J G v v ()()0S V
H d S H dV ?×?=???×=∫∫JJ G J G JJ G
v 解：根据麦克斯韦方程
c d c S D J d S I I I t ???+?=+=?????
∫JG J G J G G G G v 例6 –2 在无源的自由空间中，已知磁场强度
592.6310cos(31010)(/)
y H e t z A m ?=××?JJ G G
求位移电流密度J d 。 D H t ??×=?JG JJ G 4922.6310sin(31010)(/)
x y z
d x y z
y x x z
e e e D
J H t x y z
H H H H e e t z A m ?????==?×=
?????=?=?××??G G G JG
JJ G G 解：无源的自由空间中J =0
,S V D d S Q dV D ρρ?==??=∫∫JG J G JG v 麦克斯韦第三方程
－微分形式
麦克斯韦第三方程
－积分形式
00
S B d S B ?=??=∫J G J G J G v 麦克斯韦第四方程
－微分形式
麦克斯韦第四方程－积分形式以上适用于时变与非变化的情况，普适式.
静态场中的高斯定理及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立。
6.3.1 麦克斯韦方程组
可见，时变电场是有旋有散的，时变磁场是有旋无散的。但是，时变
电磁场中的电场与磁场是不可分割的，因此，时变电磁场是有旋有散场。
在电荷及电流均不存在的无源区中，时变电磁场是有旋无散的。电场线与磁场线相互交链，自行闭合，从而在空间形成电磁波。时变电场的方向与时变磁场的方向处处相互垂直。
S D
J l H d )(d ???+
=?∫∫S
l
t
S B l E d d ????=?∫
∫S
l
t
d =?∫S
S B q
S
=?∫ d S D 积分形式
全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理高斯定律
t ??+
=×?D J H t ???
=×?B
E 0
=??B ρ=??D 微分形式
6.3.2 麦克斯韦方程的辅助方程——本构关系
一般而言，表征媒质宏观电磁特性的本构关系为00()D E P B H M J E εμσ?=+??=+??=??JG J G J G
J
G JJ G JJ G J G J G 对于各向同性的线性媒质D E B H
J E εμσ?=??=??=??
JG J G
J
G JJ G J G J G 为了完整地描述时变电磁场的特性，麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方程以及说明场量与媒质特性关系的方程，即
t
???
=??ρ
J 在简单的形式下隐藏着深奥的内容，这些内容
只有仔细的研究才能显示出来，方程是表示场的结构的定律。它不像牛顿定律那样，把此处发生的事件与彼处的条件联系起来，而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系。爱因斯坦（1879-1955）在他所著的“物理学演变”一书中关于麦克斯韦方程的一段评述：“这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件，它是关于场的定量数学描述，方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多。假使我们已知此处的现在所发生的事件，藉助这些方程便可预测在空间稍为远一些，在时间上稍为迟一些所发生的事件”。
麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外，对于人类历史的进程也起了重要作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的“弗曼物理学讲义”中
写道“从人类历史的漫长远景来看──即使过一万年之后回头来看──毫无疑问，在十九世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现，
与这一重大科学事件相比之下，同
一个十年中发生的美国内战（1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而黯然失色”。
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。
无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。
电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
麦克斯韦故事
?麦克斯韦(1831～1879)：英国物理学家，生于英国
一个地主家庭，8岁时，母亲去世，在父亲的诱导下学习科学，16岁时进入爱丁堡大学，1850年转入剑桥大学研习数学，1854年毕业并留校任职。?在全校数学竞赛和诗歌比赛中都取得过第一名，成了有名的“神童”。
?1856年到马里沙耳学院任自然哲学教授。
?1860年到伦敦任皇家学院自然哲学及天文学教授。?1865年辞去教职还乡，专心治学和著述。
?1871年受聘为剑桥大学的实验物理学教授，负责卡文迪许实验室筹建，
?麦克斯韦爱提一些别出心裁的问题，受到挖苦：“如果是你对了，我就把它叫做麦氏公式！”
?读书不大讲系统性。霍普金斯诙谐地说：“小伙子，如果没有秩序，你永远成不了优秀的数学物理家。”?法拉第专于实验探索，麦克斯韦擅长理论概括。1862年，发表了《论物理的力线》，引出了位移电流的概念。麦克斯韦的方程式预见了电磁波的存在。交变的电场会产生交变的磁场，而交变的磁场又会产生交变的电场，交变的电磁场以波的形式，向空间散布开去。年仅31岁。
?“假如散步不带着狗，我就觉得自己很糊涂。”?狗毛磨擦放电要大于猫毛磨擦放电。
§6.4 时变电磁场的边界条件法向分量边界条件
6.4.1 法向条件
1. 电位移矢量D 的法线分量:
?取分界面上点P ，设两种介质中紧靠P 点的电位移矢量分别为与；分界面法线方向由介质2指
向介质1。2D 1D 1
D 2
D h
1?n 1
ε2
εP
2?n
n
?S
??以P 为中心取一小园柱体，上下面与分界面平行，高h 为无限小。
S q S d D s
s
S
?==?∫∫ρS
dS n D dS n D dS n D s
S S
S
h
?=?+?+??∫∫∫∫∫∫??ρ???2
2
1
1
s
ρ
面电荷密度
S
SD SD s n n ?=????ρ21s
n n D D ρ=?21?电位移矢量的法线分量连续是
有条件的。
dS D S
n ∫∫
?1dS
D S
n ∫∫
??
2S
s ?=ρS
dS n
D dS n
D
dS n D s
S S
S
h
?=?+?+??
∫∫∫∫
∫∫??ρ???22
1
1
1
D 2
D h
1?n
1
ε2
εP
2?n
n ?S
?0
=s ρ0
h →()12n n S D D S S
ρ???=??若分界面上没有自由面电荷，则有n
n D D 21=然而D =εE ，所以
n
n E E 2211εε=分界面上有自由面电荷，那么电位移矢量D 的法向分量D n 越过分界面时不连续，有一等于面电荷密度ρS 的突变。
12()S
n D D ρ??=G JG JG
如ρS =0，则法向分量D n 连续；但是，分界面两侧的电场强度矢量的法向分量E n 不连续。
磁感应强度矢量的法向分量的矢量形式的边界条件为
12()0
n B B ??=G J G J G
或者如下的标量形式的边界条件：
n
n B B 21=由于B =μH ，所以
n
n H H 2211μμ=0
S
B d S ?=∫J G J G v
()120n n B B S ???=2
B 1
B h
n
?2
μ1
μS
?2. 磁感应强度B 的法线分量:
磁场感应强度法向分量连续
切向分量边界条件
6.4.2 切向条件120,t t s h lH lH J l ?→????=?12t t s
H H J ?=h
l ?2
H 1
H n
?2
α1
α2
μ1
μ2
211μ
μt
t B B =界面电流为零：l S S D H dl J d S d S t ??=?+??∫∫∫JG
JJ G G J G J G J G v
1. 磁场的切线分量
?磁场强度的切线分量连续是有条件的。
0S D d S t
??→?∫JG
J G 12()S
n H H J ×?=G JJ G JJ G J G h 1
l ?1
ε2
ε1
E 2
E t
?P
2l ?1
α2
αn
?1
?l 2
?l 0
??22112
1
=?+
??
∫
∫
??dl l E dl l E l l 0
2211=????l E l E t t 1
2
1t 2t l l E dl E dl 0?
??=∫∫
0,0l S B E dl d S h t ??=??=?→?∫∫J G
J G J G v 1212()0
t t
n E E E E ×?==G J G J G
2
21
1εεt
t
D D =
2. 电场的切线分量
6.4.3 没有自由电荷与电流的特殊情况
矢量形式的边界条件为
12121212()0()0()0()0
n H H n E E n B B n D D ×?=×?=??=??=G JJ G JJ G
G J G J G
G J G J G
G JG JG
标量形式的边界条件为
00021212121=?=?=?=?n n n n t t t t D D B B E E H H 理想导体是指σ→∞，所以在理想导体内部不存在电场。00S S
n H J n E n B n D ρ×=×=?=?=G JJ G J G G J G G J G G JG 在时变条件下，理想导体内部也不存在磁场。即所有场量为零。设n 是理想导体的外法向矢量，E 、H 、D 、B 为理想导体外部的电磁场，那么理想导体表面的边界条件为
例6 -3 设z =0 的平面为空气与理想导体的分界面，z <0 一侧为理想导体，分界面处的磁场强度为
0(,,0,)sin cos()
x H x y t e H ax t ay ω=?JJ G G
试求理想导体表面上的电流分布、电荷分布以及分界面处的电场强度。
解：分界面处, 用边界条件
00sin cos()
sin cos()
S z x y J n H e e H ax t ay e H ax t ay ωω=×=×?=?J G G JJ G G G
G
00[sin cos()]sin sin()S z e H ax t ay aH ax t ay t y
ρωω??
?
=?=???JG 由边界条件n ·D =ρS 以及n 的方向可得(Js 沿y 方向，求ρS 不考虑）
(,,0,)sin cos()(,,0,)sin cos()
z z
aH D x y t e ax t ay aH E x y t e ax t ay ωω
ωεω
=?=?,x y z
s x y z
e e e D H H t t x y z
H H H ρ??????×==?×=
?????G
G G JG JJ G JJ G 0
sin cos()(,)
S aH ax t ay c x y ρωω
=
?+交变场取c=0
例6-4证明在无初值的时变场条件下，法向分量的边界条件已含于切向分量的边界条件之中，即只有两个切向分量的边界条件是独立的。因此，在解电磁场边值问题中只需代入两个切向分量的边界条件。
解：在分界面（沿x y 平面）两侧的媒质中，
x y z
x y z
e e e E x y z
E E E ????×=
???G
G G J G B E t
??×=?
?J G
J G ()z y
x z z E E B e e x y t ????=????J G
G G 代入切向分量的边界条件：
1212()0,t t
n E E E E ×?==即有
12()
0z z B B t
?=?1212,x x y y
E E E E ==例6-5 直角坐标系中，H x =0，k, k’为常数。
0sin 'sin()y H H k y t kz ω=??求磁场Hz 分量。
解：方法1：0y y x z z B B B B B
B x y z y z
???????=++=+=?????J G 0'cos 'sin()y z
H H H k k y t kz z y
ω??=?=?????000'cos 'sin()1
'cos 'cos()'
cos 'cos()
z H H k k y t kz dz
H k k y t kz C
k
k H k y t kz k
ωωω=???=???+=??∫交变场取c=0
解：方法2：
()()y y
z z x y z
H H H H D H e e e t y z x x
?????=?×=?+?+?????JG
JJ G G G G H x =0
()y
z x H H e y z
??=?
??G 场仅是y,z,t 的函数
所以，电场只有x 分量。()()(),(0,0)y y x x z z x y z
x x y z y z E E E E E E B e e e t y z z x x y E E e e E E z y
????????=?+?+??????????=?==??J G
G
G G G G
y x
H E t
z
μ
???=
??()
0sin()sin 'y x H H k
E dz t kz k y t
μ
ωωε
?→==
??∫x
z E H t y
μ
???=??()0'1cos()cos 'x
z E H k H dt t kz k y y k
ωμ?→=
=??∫交变场取c=0
22
k ωμε=
例已知内截面为a ×b 的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为
)
sin(πcos 0z k t x a H H z z z ???
?
???=ω)
cos(πsin 0z k t x a H H z x x ???
?
???=ω)
cos(πsin 0z k t x a E E z y y ???
?
???=ω其坐标如图示。试求波导中的位移电流分
布和波导内壁上的电荷及电流分布。波导内部为真空。
a
z y
x
b
x
z
y
x y
z
λg
b
a 磁场线
电场线
?????????
??
?????
解①由前式求得位移电流为
t ??=
D J d ) sin(πsin 0z k t x a
E e z y y ???
?
????=ωεω②
在y = 0的内壁上
y
y y S E ) (εερ=?=E e z
x x z z x y S H H e e H H e J +?=+×=)(在y = b 的内壁上
y
y y S E ) (εερ?=??=E e z
x x z z x y S H H e e H H e J ?=+×?=)(在x = 0 的侧壁上，0
=x H )
sin() sin(00z k t H z k t H z z y z z z x S ??=?×=ωωe e e J ) sin()) sin((00z k t H z k t H z z y z z z x S ??=??×?=ωωe e e J 0
=x H 在x = a 的侧壁上，在x = 0及x = a 的侧壁上，因，所以。
0=y E 0=S ρz
y
x
内壁电流
§6.5 时变电磁场的能量与能流
假设电磁场在一有耗的导电媒质中，媒质的电导率为σ，电场会在此有耗导电媒质中引起传导电流J =σE 。根据焦耳定律，在体积V 内由于传导电流引起的功率损耗是
由麦克斯韦方程式
D J H t
?=?×?
?JG
J G JJ G dV
E J dlS E J l d E I dt
l
d E dq dt dW P ?=?=?=?==
()V V D J EdV E H E dV t ????=??×???????
∫∫JG
J G J G J G
JJ G J G 利用矢量恒等式
()()()
E H H E E H ??×=??×???×J G JJ G JJ G J G J G JJ G ()()()
()E H H E E H B H E H t ??×=??×???×???=?????×??
???
J G JJ G JJ G J G J G JJ G J G
JJ G J G JJ G ()V V B D J EdV H E E H dV t t ?????=??+?+??×??????
∫∫J G JG
J G J G JJ
G J G J G JJ G 利用散度定理上式可改写为
()V V B D J EdV H E E H dV t t ?????=??+?+??×??????∫∫J G JG
J G J G JJ
G J G J G JJ G 适合一般媒质的坡印廷定理。
()()S V B D E H d S H E J E dV
t t ???×?=?+?+???∫∫J G JG
J G JJ G J G JJ G J G J G J G v 对于各向同性的线性媒质，即D =εE , B =μH , J =σE , 可知，
1()()22B H H H H H B H t t
t t μμ?????=?=
?=?????J G JJ G JJ G JJ G JJ G JJ G J G JJ G 同理，1()
2
D E D E t t ???=???JG J G JG J G
对于各向同性的线性媒质，坡印廷定理表示如下：
11()221122S V V V E H d S B H D H J E dV t t B H D E dV J EdV
t ?????????×?=?+?+??????
?????????
???=?+?+??????
∫∫∫∫J G JJ G J G J G JJ G JG JJ G J G J G J
G JJ G JG J G J G J G v S E H
=×J G J G JJ G 称为坡印廷矢量，单位是W/m 2。
方向：能量流动的方向
模值：垂直于流动方向的单位面积上流
过的电磁功率.
意义：功率密度，能量流密度，随时间变化。
S
物理意义：穿过闭合面S流入体积V内电磁功率，等于体积V内增加的电磁功率与电阻消耗的热功率之和，是电磁场能量守恒的具体体现。
()∫∫∫?+??
?
????+?=?×?V
V S
dV
J E dV B H D E dt d S d H E K
K K K K K K K K 2
12
1体积V中增加的电磁功率
体积V中转化为焦耳热的电磁功率
流入体积V 的电磁功率
E J
K K S
?l ?坡印廷定理可以写成
()e m S V
V S d S w w dV J EdV t ???=++??∫∫∫J G J G J G J G v 根据能量守恒定理，左边一项必定代表单位时间内穿过体积V 的表面S 流入体积V 的电磁能量。()S
S d S E H d S ??=?×?∫∫J G J G J G JJ G J G
v v 面积分表示单位时间内流出包围体
积V 的表面S 的总电磁能量。
()S
S d S E H d S ?=×?∫∫J G J G J G JJ G J G v v 坡印廷矢量可解释为通过S 面上单位面积的电磁功率。
S E H =×J G J G JJ G
在静电场和静磁场情况下，电流为零, 以及
11/0
22t ED BH ??
??+=????
坡印廷定理只剩一项∮S (E ×H )·d S =0。
表示在场中任何一点，单位时间流出包围体积V 表面的总能量为零，即没有电磁能量流动。
由此可见，在静电场和静磁场情况下，S=E ×H 并不代表电磁功率流密度。
稳恒电场和恒定电流的磁场情况下
11022ED BH t ???
+=?????
由坡印廷定理可知，∫V J ·EdV = -∮S (E ×H )·d S 。
在时变电磁场中，S =E ×H 代表瞬时功率流密度，它通过任意截面积的面积分P =∫S (E ×H )·d S 代表瞬时功率。
在恒定电流场中，S=E ×H 代表通过单位面积的电磁功率流。说明，在无源区域中，通过S 面流入V 内的电磁功率等于V 内的损耗功率。例6-5试求一段半径为b ，电导率为σ，载有直流电流I 的
长直导线表面的坡印廷矢量，并验证坡印廷定理。
解：如图，一段长度为l 的长直导线，其轴线与圆柱坐标系的z 轴重合，直流电流将均匀分布在导线的横截面上，于是有
22
,z z I J I J e E e b b πσπσ===J G G
J G G J G G 在导线表面，
2I H e b
φ
π=G JJ G G 因此，导线表面的坡印廷矢量2
23
2r
I S E H e b σπ=×=?J G J G JJ G G 方向处处指向导线的表面内。将坡印廷矢量沿导线段表面积分,
有
22322222r S S I S d S S e d S bl b l I I R b πσπσπ????=??=?
???
??==????
∫∫J G J G J G G J G v v 例6 -6一同轴线的内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间为空气，内、外导体均为理想导体，载有直流电流I ，内、外导体间的电压为U 。求同轴线的传输功率和能流密度矢量。
解：分别根据高斯定理和安培环路定律，可以求出同轴线内、外导体间的电场和磁场：
,()
21r U I E e H e a r b b r r n a φπ==< UI S E H e b r n a π=×=J G J G JJ G G 02l E rl ρπε= J G b a Edr U =∫上式说明电磁能量沿z 轴方向流动，由电源向负载传输。通过同轴线内、外导体间任一横截面的功率为 ∫ ∫=?=?=b a S UI rdr a b n r UI dS S P ππ212'2' 这一结果与电路理论中熟知的结果一致。 §6.6 复数形式的麦克斯韦方程6.6.1 正弦电磁场的复数表示法 在直角坐标系中， (,,,)(,,)cos[(,,)] m E x y z t E x y z t x y z ωφ=+[](,,,)Re[(,,)] Re[]Re[]j t m j j t j t m m E x y z t E x y z e E e e E e ωφφωω+===J G (,,,)j m E x y z t E E e φ?= 与电路理论处理相似，利用复数或相量来描述正弦电磁场场量。 电磁场的复数形式 称为E (x, y, z, t )=E m (x, y, z )cos ［ωt +φ(x, y, z )］ 的复数形式。j m E E e φ= 由于 (,,,) (,,)sin[(,,) Re[]m j t m E x y z t E x y z t x y z t j E e ωωωφω?=??+?= (,,,)(,,)m E x y z t j E x y z t ω??? 采用复数表示，正弦量对t 的偏导为该正弦量的复数形式乘以j ω。]),,(Re[),,,(t j e z y x E t z y x E ω =瞬时值： 从形式上讲，只要把微分算子用代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。因此复数形式的Maxwell方程ωj t ?? ?????????=??=???=×?+=×?0 B D B j E D j J H G G G G G G G ρωω????????? =?? =????? =×???+ =×?ρ D B t B E t D J H K K K K K K K 0ρ ω G j J ?=????? ?? ??=??=???=×?+=×?0B D B j E D j J H G G G G G G G ρ ωω忽略. 从形式上讲，只要把微分算子用代替，就可以把时谐电磁场场量之间的线性关系，转换为等效的复矢量关系。因此复数形式的Maxwell方程 j ωt ? ?6.6.2 麦克斯韦方程的复数形式电流连续性方程的复数形式： 6.6.3 复坡印廷矢量 对正弦电磁场，当场矢量用复数表示时： 1()Re[][*] 2 j t j t j t E t Ee Ee E e ωωω?==+J G J G J G J G 1()Re[][*] 2 j t j t j t H t He He H e ωωω?==+JJ G JJ G JJ G JJ G 从而坡印廷矢量瞬时值可写为 22211()()()[*][*] 22 1111 [**][**]2222 11 Re[*]Re[]22 j t j t j t j t j t j t j t S t E t H t Ee E e He H e E H E H E He E H e E H E He ωωωωωωω???=×=+×+=?×+×+?×+×=×+×J G J G JJ G J G J G JJ G JJ G J G JJ G J G JJ G J G JJ G J G JJ G J G JJ G J G JJ G 它在一个周期T =2π/ω内的平均值为 11()Re *Re[] 2T av S S t dt E H S T ??= =×=???? ∫ J G JJ G J G 式中： 1* 2 S E H =×J G J G JJ G S 称为复坡印廷矢量，它与时间t 无关，表示复功率流密度，其实部为平均功率流密度(有功功率流密度)，虚部为无功功率流密度。注意式中的电场强度和磁场强度是复振幅值而不是有效值；E *、H *是E 、H 的共扼复数，S av 称为平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。 §6.7 交变场的位与场考虑媒质均匀、线性、各向同性的的情况，麦克斯韦方程变为 ,0,E H H J E t t B D εμρ ???×=+?×=?????=??=J G JJ G JJ G J G J G J G JG J t ρ???=? ?J G H E A A t t t μ????×=?=??×=??×???JJ G J G J G J G B A =?×J G J G 引入：()0 E A t ??×+=?J G J G 6.7.1 交变场的位函数 根据矢量恒等式▽×(▽φ)=0，可以令 A E t ? ?+=???J G J G 则 A E t ??=??? ?J G J G A 称为矢量位，单位为Wb/m(韦伯/米)；φ称为标量位，单位为V(伏)。 ()0 E A t ??×+=?J G J G 6.7.2 位函数的微分方程 222A A J A t t ?μεμμε??????=?+???+?? ??? ?J G J G J G J G 1()A J t E H A t J t εεμ????×=?×?×=+=?? ??+?????? ? ???????J G JJ G J G J G J J G G 2()A A A ????×=?×??J G J G J G 1矢量位的微分方程 222A J t t A A ?μμεμε?????=???????J J G G J G J G 选择▽·A 的值，使方程简化. A t ?με ???=??J G 洛伦兹规范22 2A A J t μεμ???=??J G J G J G A 的波动方程 A ??=J G 库仑规范 非齐次亥姆霍兹方程 2()A E t A t ρ?ερ?ε??????=?????=???????? ???+??=????J G J G J G 2 标量位的微分方程 A t ?με???=??J G ε ρ ?με ??=????22 2t φ的波动方程 达朗贝尔方程 J t A A μμε?=????22A 的波动方程 而A 和φ的方程变为 2 2 22,A k A J k ρμ??ε ?+=??+=? J G J G 其中k 2=ω2με。采用位函数使电磁场量B 和E 的六个标量分量变为求解A 和φ。标量位φ可以由洛仑兹条件求得：A j ?ωμε??= ?J G ,B A E j A ?ω=?×=???J G J G J G J G 洛仑兹条件变为 A j ωμε???=?J G A A E j A t j ?ωωμε????=???=??J G J G J G J G A B K K ×?=? ω???=A j E K K =+??ωμε?j A K ε ρ εμ?ω?μεμω? =+??=+?2 2 22 J A A K K K 6.7.3 时谐场的达朗贝尔方程 例6 -7已知时变电磁场中矢量位 ， 其中A m 、k 是常数，求电场强度、磁场强度和坡印廷矢量。 sin()x m A e A t kz ω=?J G G 解：cos() cos() x y y m y m A B A e e kA t kz z k H e A t kz ωωμ ?=?×==???=??J G J G G G JJ G G 0,A C t ? με??=???==?J G 如果假设过去某一时刻，场还没有建立，则C =0。cos() x m A E e A t kz t ?ωω?=???=???J G J G G 坡印廷矢量的瞬时值为 2()()() [cos()]cos()cos() x y m m z m S t E t H t k e A t kz e A t kz k e A t kz ωωωμωωμ =×??=??×???? ?? =?J G J G JJ G G G G 小结 时变场 波动方程达朗贝尔方程坡印亭定理麦克斯韦方程 坡印亭矢量 时谐场亥姆霍兹方程 达朗贝尔方程平均坡印亭定理 麦克斯韦方程复数形式 作业： P189至P190：4.9;4.10;4.16下周三交 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 一、名词解释 1.通量、散度、高斯散度定理 通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负） 散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。 高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。 2.环量、旋度、斯托克斯定理 环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。其物理意义随A 所代表的场而定，当A为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。 旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。 斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。 3.亥姆霍兹定理 在有限区域V内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域V的闭合 面S上矢量场的分布）唯一的确定。 说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度 4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场 力：电场对电荷的作用称为电力。 磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。 洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。 5.电偶极子、磁偶极子 电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。 磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。 6.传导电流、位移电流 传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。 位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。 7.全电流定律、电流连续性方程 全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。 电流连续性方程： 8.电介质的极化、极化矢量 电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子， 这种现象称为电介质的极化。 极化矢量P：单位体积内的电偶极矩矢量和。 9.磁介质的磁化、磁化矢量 磁介质的磁化：当把一块介质放入磁场中时，它也会受到磁场的作用，其中也会形成一个个 小的磁偶极子，这种现象称为介质的磁化。 一、填空 1.方程▽2φ=0称为静电场的（拉普拉斯（微分））方程 2.在静电平衡条件下，导体内部的电场强度E 为（0） 3.线性导电媒质是指电导率不随（空间位置）变化而变化 4.局外电场是由（局外力）做功产生的电场 5.电感线圈中的磁场能量与电流的平方（成正比） 6.均匀平面电磁波中，E 和I 均与波的传播方向（垂直） 7.良导体的衰减常数α≈（β≈2ωμγ ） 8.真空中，恒定磁场安培环路定理的微分形式（▽x B=0μJ ） 9.在库伦规范和无穷远参考点前提下，面电流分布的矢量的磁位公式 （A=?R Idl 40 πμ）公式3-43 10.在导体中，电场力移动电荷所做的功转化为（热能） 11. 在静电平衡条件下，由导体中E=0，可以得出导体内部电位的梯度为（0 ）（p4页） 12.电源以外的恒定电场中，电位函数满足的偏微分方程为----- （p26 页） 13.在无源自由空间中，阿拉贝尔方程可简化为----------波动方程。 瞬时值矢量齐次 （p145页） 14.定义位移电流密度的微分表达式为------------ t ??D =0εt ??E +t P ?? （p123页） 15.设电场强度E=4，则0 P12页 16.在单位时间内，电磁场通过导体表面流入导体内部的能量等于导线电阻消耗的（热能） 17.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度） 18.电流连续性方程的积分形式为（???s dS j =-dt dq ） 19.两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的） 20.单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度） 21.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs ） 22.矢量磁位A 和磁感应强度B 之间的关系式：（ B =▽ x A ） 23.E （Z ，t ）=e x E m sin （wt-kz-错误！未找到引用源。）+ e y E m cos （wt-kz+错误！未找到引用源。），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是 90％确定） 24.相速是指 均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 25.电位移矢量D=ε0E+P 在真空中 P 的值为（0） 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 电磁场与电磁波复习 第一部分 知识点归纳 第一章 矢量分析 1、三种常用的坐标系 （1）直角坐标系 微分线元：dz a dy a dx a R d z y x → → → → ++= 面积元：?????===dxdy dS dxdz dS dydz dS z y x ，体积元：dxdydz d =τ （2）柱坐标系 长度元：?????===dz dl rd dl dr dl z r ??，面积元??? ??======rdrdz dl dl dS drdz dl dl dS dz rd dl dl dS z z z r z r ????，体积元：dz rdrd d ?τ= （3）球坐标系 长度元：??? ??===?θθ? θd r dl rd dl dr dl r sin ，面积元： ?? ? ??======θ ?θ? θθθ??θθ?rdrd dl dl dS drd r dl dl dS d d r dl dl dS r r r sin sin 2，体积元：?θθτd drd r d sin 2= 2、三种坐标系的坐标变量之间的关系 （1）直角坐标系与柱坐标系的关系 ?? ?? ??? ==+=?????===z z x y y x r z z r y r x arctan ,sin cos 22??? （2）直角坐标系与球坐标系的关系 ? ?? ? ?? ??? =++=++=?????===z y z y x z z y x r r z r y r x arctan arccos ,cos sin sin cos sin 2 222 22?θθ?θ?θ （3）柱坐标系与球坐标系的关系 ?? ? ? ???=+=+=?????===??θθ??θ2 2'2 2''arccos ,cos sin z r z z r r r z r r 3、梯度 （1）直角坐标系中： z a y a x a grad z y x ??+??+??=?=→→→ μ μμμμ （2）柱坐标系中： z a r a r a grad z r ??+??+??=?=→→→ μ ?μμμμ?1 （3）球坐标系中： 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 一、填空题 ⒈电场强度的方向与( )的受力方向相同。 ⒉电偶极子产生的电场为（）。 ⒊无限长带线电荷密度为τ的导线周围电场强度为( )。 ⒋静电场中，选定Q点为电位参考点，则空间任一点P的电位值为( )。 ⒌电力线的微分方程为( )。 ⒍球坐标系中电力线的微分方程为( )。 ⒎静电场中，电通密度与电场强度、极化强度之间的关系式为( )。 ⒏各向同性的线性介质中，极化强度与电场强度的关系为( )。 ⒐极化电介质中电通密度与电场强度和极化强度的关系式为( )。 ⒑静电场中媒质分界面上的衔接条件为( )和( )。 ⒒静电场中导体与电介质分界面上电位表示的衔接条件为( )和( )。 ⒓真空中半径为a的孤立导体球的电容量为( )。 ⒔半径为a的球形区域内均匀分布有电荷体密度为ρ，则此球内电场为( )。 ⒕静电场中电位函数的泊松方程为( )。 ⒖同轴电缆内外导体半径分别为a和b，电压为U，中间介质介电常数为ε，则中间介质的电场强度为( )。 ⒗内外半径分别为a和b的同心球面间电容量为( )。 ⒘已知带电体上连续电荷分布密度函数和电位分布，计算静电能量的公式为( )。 ⒙已知n个分离带电体上电荷量和电位分布，计算总的静电能量的公式为( )。 ⒚已知静电场分布区域中电场强度分布以及区域媒质介电常数，总的静电能量计算公式为( )。 ⒛电荷为q的带电体在电场中受到电场力为( )。 21静电场中，对带电荷量不变的系统，虚位移法计算电场力的公式为( )。 22静电场中，对电位不变系统，虚位移法计算电场力的公式为( )。 23在自由空间中，电荷运动形成的电流称为( )。 24恒定电场中电流连续性方程为( )。 25恒定电流指的是( )。 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 1、时变电磁场的激发源是（ ）。 A ．电荷和电流 B ．变化的电场和磁场 C ．同时选择A 和B 2.坡印廷矢量S 的瞬时表示为__________________，平均值为________________。 3.位移电流的表达式为（ ） A ．J D =????S t D ·ds B ．J D =t D ?? C ．J D =????-S t D ·ds D ．J D =t D ??- 4.在理想介质中，波阻抗为（ ） A ．实数 B ．虚数 C ．复数 D ．零 5.电磁波的传播速度等于___________。P159 6.时变电磁场中的感应电动势，包括发电机电动势和变压器电动势二部分，它们产生的条件 是( )。 A. 导体回路和磁场随时间变化 B. 只要磁通随时间变化 C. 导体回路运动和磁场随时间变化 D. 导体回路运动切割磁力线和磁通随时间变化 7.由动态位A 和?求E 和H 的关系式是( )。 A. E =?-?，B =?·A B. E =?-?-t A ?? 和B =??A C. E=??+t A ?? 和B =??A D. E =?-?-t A ?? ，B =-??A P156 8.平面电磁波的波阻抗等于( )。 A.με B. με 1 C.με1 P159 D. ε μ 9. 电磁感应定律的本质就是变化的磁场产生 。 10.全电流定律的微分方程为（ ） A ．▽×H=J C B ．▽×H=J+t D ?? C ．▽×H=t D ?? D ．▽×H=0 11.达朗贝尔方程(动态位) 12.什么是传导电流？在时变场中，传导电流是否保持连续？ 13. 坡印亭矢量 14. 用场的观点分析静电屏蔽、磁屏蔽和电磁屏蔽，对屏蔽材料有什么要求？ 静电屏蔽p51：利用导体在静电场中达到平衡状态时具有（1）导体内电场为0；（2）导体为等位体；（3）电荷只分布在导体表面。故把导体空腔接地，可把导体内外的场分割为两个互不影响的独立系统，达到屏蔽的目的。（把不可受外界电场影响的带电体或不希望去影响外界的带电体用一接地的金属壳罩起来，以隔绝有害的静电影响） 磁屏蔽P138：利用高磁导率材料具有低磁阻的特性，将其制成有一定厚度的外壳，起磁分路作用，使壳内设备少受磁干扰，达到磁屏蔽。 电磁屏蔽p207：一方面利用电磁波在金属表面产生涡流，从而抵消原来的磁场；另利用电磁波在金属表面产生反射损耗和透射波在金属内的传播过程中衰减产生吸收损耗，达到屏蔽作用。 屏蔽材料：静电屏蔽——金属 磁屏蔽 ——铁磁性材料 电磁屏蔽——良导体 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 电磁场与电磁波课程知识点汇总和公式 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 电磁场与电磁波课程知识点总结与主要公式 1 麦克斯韦方程组的理解和掌握 （1）麦克斯韦方程组 ??????=?=??=?=?????-=???- =?????+=???+ =??s s l s l s s d B B Q s d D D s d t B l d E t B E s d t D J l d H t D J H 0 )( ρ 本构关系： E J H B E D σμε=== （2）静态场时的麦克斯韦方程组（场与时间t 无关） ????=?=??=?=??=?=??=?=??s s l l s d B B Q s d D D l d E E I l d H J H 0 000 ρ 2 边界条件 （1）一般情况的边界条件 n n n sT t t s n s n n s n t t n B B B B a J H H J H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )())(0 )==-?=-=-?=-=-?==-? （（ρρ （2）介质界面边界条件（ρs = 0 J s = 0） n n n t t n n n n t t n B B B B a H H H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )(0 )0 )(0 )==-?==-?==-?==-? （（ （1）基本方程 00 2 2 =?==?- =?=?=??=?=??? ??A A p s l l d E Q s d D D l d E E ???ε ρ ?ρ 本构关系： E D ε= （2）解题思路 ● 对称问题（球对称、轴对称、面对称）使用高斯定理或解电位方程（注 意边界条件的使用）。 ● 假设电荷Q ——> 计算电场强度E ——> 计算电位φ ——> 计算能 量ωe =εE 2/2或者电容（C=Q/φ）。 （3）典型问题 ● 导体球（包括实心球、空心球、多层介质）的电场、电位计算； ● 长直导体柱的电场、电位计算； ● 平行导体板（包括双导体板、单导体板）的电场、电位计算； ● 电荷导线环的电场、电位计算； ● 电容和能量的计算。 例 ： a b ρ r ε ρs r S a b ε q l 球对称 轴对称 面对称 电磁波考题整理 一、填空题 1. 某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度）形式。 2. 电流连续性方程的积分形式为（??? s dS j dt dq） 3. 两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的）。 4. 单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度）。 5. 静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D12ρs） 6. 矢量磁位A和磁感应强度B之间的关系式：（=▽ x A） 7. （Z，t）（）+ （），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为：（圆极化）（应该是 90％确定） 8. 相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 9.根据电磁波在波导中的传播特点，波导具有（）滤波器的特点。（，，三选一） 10.根据电与磁的对偶关系，我们可以由电偶极子在远区场的辐射场得到（磁偶极子）在远区产生的辐射场 11. 电位移矢量ε0在真空中 P的值为（0） 12. 平板电容器的介质电容率ε越大，电容量越大。 13.恒定电容不会随时间（变化而变化） 14.恒定电场中沿电源电场强度方向的闭合曲线积分在数值上等于电源的（电动势） 15. 电源外媒质中电场强度的旋度为 0。 16.在给定参考点的情况下，库伦规范保证了矢量磁位的（散度为零） 17.在各向同性媚质中，磁场的辅助方程为(εE, μH, σE) 18. 平面电磁波在空间任一点的电场强度和磁场强度都是距离和时间的函数。 19. 时变电磁场的频率越高，集肤效应越明显。 20. 反映电磁场中能量守恒与转换规律的定理是坡印廷定理。 二、名词解释 1. 矢量：既存在大小又有方向特性的量 2. 反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比 3. 波：电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直的均匀平面电磁波 4. 无散场：散度为零的电磁场,即·=0。 5. 电位参考点：一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取点为参考点时，P点处的电位为=；当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便，此时=。 6. 线电流：由分布在一条细线上的电荷定向移动而产生的电流。 7.磁偶极子：磁偶极子是类比而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子场。磁偶极子受到力矩的作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态。利用这个道理，可以进行磁场的测量。但由于没有发现单独存在的，故我们将一个载有的圆形作为的模型。 8. 电磁波的波长：空间相位变化所经过的距离称为波长，以表示。按此定 第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 电磁场与电磁波课程知识点总结与主要公式 1 麦克斯韦方程组的理解和掌握 （1）麦克斯韦方程组 ??????=?=??=?=?????-=???- =?????+=???+ =??s s l s l s s d B B Q s d D D s d t B l d E t B E s d t D J l d H t D J H 0 )( ρ 本构关系： E J H B E D σμε=== （2）静态场时的麦克斯韦方程组（场与时间t 无关） ????=?=??=?=??=?=??=?=??s s l l s d B B Q s d D D l d E E I l d H J H 0 000 ρ 2 边界条件 （1）一般情况的边界条件 n n n sT t t s n s n n s n t t n B B B B a J H H J H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )())(0 )==-?=-=-?=-=-?==-? （（ρρ （2）介质界面边界条件（ρs = 0 J s = 0） n n n t t n n n n t t n B B B B a H H H H a D D D D a E E E E a 21212121212121210 )(0 )0 )(0 )==-?==-?==-?==-? （（ （1）基本方程 00 2 2 =?==?- =?=?=??=?=??? ??A A p s l l d E Q s d D D l d E E ???ε ρ ?ρ 本构关系： E D ε= （2）解题思路 ● 对称问题（球对称、轴对称、面对称）使用高斯定理或解电位方程（注 意边界条件的使用）。 ● 假设电荷Q ——> 计算电场强度E ——> 计算电位φ ——> 计算能 量ωe =εE 2/2或者电容（C=Q/φ）。 （3）典型问题 ● 导体球（包括实心球、空心球、多层介质）的电场、电位计算； ● 长直导体柱的电场、电位计算； ● 平行导体板（包括双导体板、单导体板）的电场、电位计算； ● 电荷导线环的电场、电位计算； ● 电容和能量的计算。 例 ： ρ s 球对称 轴对称 面对称 第4章 时变电磁场 在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。 在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。 电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。 本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。 4. 1 波动方程 由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。 在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为 t ε ???=?E H （4.1.1） t μ???=-?H E （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4） 对式（4.1.2）两边取旋度，有 ()()t μ ? ????=-???E H 将式（4.1.1）代入上式，得到 22()0t με?????+=?E E 利用矢量恒等式2 ()()????=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到 22 20t με??-=?E E （4.1.5） 此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。 同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为 22 20t με??-=?H H （4.1.6） 无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。 在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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