一． 2010 年高考数学辽宁卷试卷分析
试题 各题 试题模 题号
分值
块 试题 各题 试题 题号 分值
模块
考查能力 及思想 数学 方法
及思想 法 本试题考查知识点 集合交集，补集的
概念及运算 本题命题立意
基础考察 本试题考查知识点
本题命题立意
集合模块， 空间想象能 力，推理论 证能力，运
5 分 集合 5 分 复数 集合思想 韦恩图 运算求解能
待定系 复数相等的充要条件，
复数的四则运算 数学能力考查，
知识点交汇处 命题原则 力 数法 基础考察 立体几
算求解能 何
力， 三视图 法 立体几何的三视图， 棱锥的结构特征 15
16
5 分
概率与 5 分
统计 算法及 独立重 互斥事件， 相互独立事件等 集合思想
复试验
基本概念及概率公式 能力考察 叠加法 程序框图的概念， 程序框图
推理论证能
求通项， 求数列通项公式， 等差数列 数学能力考查， 数列，不 力，运算求
均值法 的前 n 项和公式， 以及利用 知识点交汇处
命题原则
程序框
循环控制条
数列求 的识别三种基本逻辑结构， 与数列知识交汇 处思维考察 4 5
5 分 5 分
图 件 和
排列数， 组合数的计算公式 三角函数的图像变换 5 分 等式 解能力， 求最值 均值不等式求最值 三角函 数形结合的 思想 分析问题， 正弦定理，余弦定理，以 12
三角函 解决问题的 边角互 及三角函数的最值，简单 基础考查， 数学能力考查 数学能力考查， 应用意识考查， 知识点交汇处 命题原则 数
平移 列方程 数列性质灵
组和解 活运用 方程组 及三角函数的周期性
基础考察 基础考察
17
分
数
能力
化法
的恒等变换，给值求角 等比数列的通项公式 6 7
5 分 数列 以及前 n 项和公式 等可能事件概率求法，
绘制频率分布直方图 的方法，独立性检验
12
概率统 数据处理能
解析几
18
分
计
力 绘图法
何，解三
数形结合的 数形结 5 分 角形
思想 合 抛物线定义的运用， 斜率概念的理解
基础考察， 知识点
交汇
空间想象能 力，推理论 证能力，运 平面向
运算求解能 处理三 量，解三 力，化归转
角形问 三棱锥的相关概念以及空
向量夹角公式， 三角形面积公式 数学思想考查， 知
识点交汇
12
立体几 算求解能
空间向 间向量方法证明直线垂直， 量法 求直线与平面所成的角， 8
5 分 角形
化思想
题 19
分 何 力， 数学能力考查
待定系
双曲线性质，渐近线，
离心率等问题， 推理论证能 解析几
方程思想， 数法， 12 解析几 力，运算求 “设而 椭圆离心率的基本概念， 9 5 分 何 数形结合 定义法 基本元素之间的关系 数学思想的考查 20 分
何
解能力， 分类讨论 不求”
直线与椭圆的位置关系
数学能力考查 函数与
运算求解能 均值不 函数的求导法则， 导数的几
数学思想， 数学能 导数， 及 力，化归转
等式求 何意义， 导数公式以及利用 力考查， 知识点交 10
11
5 分
不等式 化思想 最直 均值不等式求最直
汇处命题原则
思想，推理 均值法 数学思想考查，
论证能力， 求最值， 导数的相关概念， 用导数判 数学能力考查， 函数与
整体思维能
导数法 导数， 简 力，观察能
求函数 运算求解
12
函数与 能力，创 21
分
导数
新能力 导数法 断函数的性质，解不等式； 判断单 特点： “思路简单，运算麻
创新意识考查， 综合运用能力
考查 充要条件定义定义， 5 分
易逻辑
力 最值
函数的极值，最值定义
数学能力考查
调性 烦”
空间想象能 力，推理论 证能力，分 平面解析几何中同弧上的
推理论证能 相似三 圆周角相同， 相似三角形的 10
平面几 力，运算求 角形性 判定，以及三角形面积公 基础考查， 类讨论思
空间线 立体几
想，有限无 化为平 22
分 何 解能力， 质
式，比例式与乘积式的互化 参数方程，极坐标的基 本概念，以及参数方程
与普通方程的互化 数学能力考查 数学思想， 数学能
力考查， 12 13
5 分 何 限思想 面 三棱锥的几何特征 二项式展开式的通项
公式求常数项
坐标系 10
与参数 化归转化 23
分
方程
思想 二项式 基础考查， 数学思
想考查
坐标法
基础和能力考查 基础考查 5 分
定理
方程思想 公式法 形数结合的 目标函 思想和推理
数的几 均值不等式和均值
10
不等式 分类讨论 综合法， 24
分
不等式的运用， 不等式的性质 14
5 分 不等式 能力
何意义
及线性规划问题
基础考查
以及等式的成立条件
二．知识点分布
四．新课标新增部分内容课时数与在试卷中占分数比例对照表理科文科
题号分值
10
0 题号分值
15
5
理科（180+108+13+8）
算法与框图
课时数课时比例题号分数分数比例
集合复数（1）（2）（2）（9）（15）
（1）
12
3
3.90%
1%
4
15
5
三视图 5
三角函数
函数（6）（16）
（8）（20）
（26）
17
18
5
（7）（16）
（8）（21）
17
18
概率统计36
13
8
11.70%
3.20%
2.6%
3,18
23
17
10
10
代数几何
选修4-4;坐标系与参数方程
选修4-5:不等式选讲
文科（180+72+13+8）
算法与框图
线性规划
数列
24
（15）（19）（21）
（5）（20）（21）
（4）
31
31
5
（15）（20）
（21）
18
13
5
课时数课时比例题号分数分数比例定积分
6
3
5 5 3.30%
3.30%
向量（6）
三视图16 5
（10） 5
概率统计8
（13）（18）
（14）（19）
（3）
15
18
5
（13）（18）
（5）（14）（19）
（4）
17
23
5
选修4-4;坐标系与参数方程
选修4-5:不等式选讲
13
8
（17）12
22
5
（3） 5
概率统计
算法
概率分布
计数原理、二项式定理
算法与框图
0.618 法
（11）（17）
（7）
（11）（17）17
（12） 5 （12）
（10）
5
（9） 5 5
三．2010年文，理对照表
理科文科理科文科理科文科2
5
2
6
1
6
1
3
3
10
3
13
相8 8 姊11
4
7 4 不
题号9 9
12
题
号
5
7
题
号10
14
15
18
21
22
23
24
14 12
16
17
19
20
11
同题
16 妹14 同
18
21
17
19
20
题
22
23 题
24
分值69 分值71
47%
分值10 百分比46% 百分比百分比7%
1.试题总体概述
数量的试题在教材中都有原型，例如理第 8 题是由必修 4 第 113 页的例 2 变式迁移得来的；理第 14
13 题是由选修 2—3 中第 35
18 题都是统计试题， 它是由必修 3 和选修 2-3 的两部分统计
2010 年平凡高考辽宁数学试卷情势连结稳定，
主要体现在试卷结构、 题目数量以及题型等方面与 题和文科第 15 题就由必修 5 中第 95 页的思考与讨论改编而成；理第 2009 年基本相同，保证了试题年度间的持续稳定。另外在天下
2010 年全面推进新课程标准的大背
页的一道儿填空题改编过来的。 文理第 和概率知识捏合而成。
景下， 2010 年的辽宁试卷在连结 “稳定 ”的基调下，进一步加深对课程改革的渗透，既体现了知识 运用的矫捷性和创造性，又兼顾了试题的持续和谐与稳定发展。
淡化不等式知识的考查，更强调不等式知识与其它知识的综合考查，但没有直接设置专门的不 等式考查题目；减小对函数及其性质应用的考查，如函数最值问题，而更加重视数形结合解决函数 有关问题，重视以导数为工具研究有关函数的性质；降低了三角函数部分恒等变换公式的应用；理 科试卷数列仅出了两道小题，在解答题中没有出与数列有关的大题，不但没有出现独立的数列解答
题，而且也没有出现在其它解答题中。
另外试卷梯度明显，入手容易，但真正纯粹解决，还需要学生有扎实的基础和顽强的心志。考 试后接触到一些水平不错的孩子，她们大都感觉这份试卷比平时的模拟操练难度要高，阅览量大， 计算量较大。
2.试题的主要独特的地方分析
③ 注重通法，淡化技法
全卷没有直接考查纯记忆的陈述性知识，注重考查知识的运用能力及学生的计算能力和推意见 ① 安身基础，凸起骨干，不追求知识覆盖面
2010 年辽宁数学试题注重考查双基，大都试题的综合性不强。如理科选择题的第
1—10 题、所
证能力等等。因为安身基本方法和通性通法，整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，并且实现相 有的填空题，都只是单纯地考查 1~2 个知识点，没有知识间的交叉；所有解答题及选作题也都只考 识答题低起点、宽进口、逐步深入的格式。
查基本的知识和技术，这些题约占整个试卷的 90%。这些试题凸起体现了考试大纲中
“平稳过渡 ”指
导思惟。
④ 加大了推理证明的考查力度
函数部分二次函数求最值问题没有考，新增内容函数与方程的二分法没有考，利用导数求函数 的极值没有考，理科新增内容积分知识没考。立体几何部分垂直与平行位置关系证明没有考，理科 卷球的有关内容没有考。解析几何中的抛物线有关内容没有考。三角函数部分两角和差倍半及恒等 变换公式没有考。数列部分递推数列没有考。理科排列组合部分二项式定理内容没有考。概率统计 第十八题考查立体几何问题中用反证法证明异面直线 ；理科第二十题考查直线与椭圆问题的直 线斜率定值证明；第二十一题考查构造函数利用导数证明不等式。第十八题打破了常规的立体几何 考查模式，而在第二问中考查了用反证法证明异面直线，爆出大冷门；理科第二十题的第二问考查 直线与椭圆位置关系的直线斜率定值证明，无形中为学生的顺利解题设置了障碍；第二十一题考查 构造函数利用导数证明不等式，提高了学生创造性思维能力的考查。推理与证明力度的加大，需引 部分新增内容茎叶图、回归直线方程、期望与方差没有考。
起我们的重视，要求在平时的教学复习当中增加这种证明题的强化与训练。
⑤突出几何知识块的考查
②传统知识块的考查变化，关注课改，注重教材
2010 年辽宁数学试卷中，对课改中新增内部实质意义给予了足够的重视。诸如算法、三视图、 统计知识、 2×2 列联表及卡方、简单逻辑用语，以及理科的空间向量、等知识在试卷中都有所体现。 突出了对几何相关知识块的考查力度，其中立体几何部分考查总分 22 分，选修内容中几何证明选讲
10 分，坐标系与参数方程
10 分，而第八题三角函数部分考查三
角函数图象 5 分，理科第十二题函数与方程中考查利用函数图象数形结合解决方程问题
5 分，理科
22 分，解析几何考查总分
今年我省理科和文科数学试卷中新增内部实质意义都约占
25%。可谓，对新增内部实质意义基本上
09 年的略高一些。 另外，
试卷中至关 做到了全面覆盖， 但对这些内部实质意义考查的难度要求都比
第十七题（文科第十八题）三角函数部分考查平面几何图形中的三角形问题 12 分。粗略统计总分 的应用，值当咱们每一名同窗深思。第五道函数题，重点考察导数知识。理科解答题与文科解答题 不同点在于 17 题的第 2 问，18 题的第 1 问，19 题纯粹不同， 20 题的前提有所变化， 21 题的第 2 问。理科 21 题与 09 年理科 21 题如出一辙， 但学生解答的很不好， 小我私家感觉这样出题的目的应
该是考察咱们高三教师是否重视高考试题的研究。 20 题和平时训练的模拟题一样， 但因为化成关于
x 的方程，结果没有
本套试卷具有较为合理的覆盖面，调集、复数、经常使用逻辑、线性计划、向量、算法与框图、 排列组合等内部实质意义在选择、填空题中获得了有效的考查；三角函数、概率统计、立体几何、 剖析几何、 函数与导数、 数据排列等骨干知识在解答题中获得考查，
构成试卷的主体内部实质意义。
同时，文、理科试卷都注重了考查知识间的内在联系，在知识点的交汇处设计试题，如理科第
x 和 y 的一元二次方程难度纷歧样，而很多学一辈子时训练的都是转化成关于
获得正确答案，申明复习课只重视题型复习是不够的，应该注重多种解法，必须让学生亲自去做，
只给学生解题思绪是远远不够的。
10
18 题，将概率知识和 题，将算法与排列组合相联合；理第 16 题将数据排列与不等式相联合；理第 现实背景相联合， 并把必修 3 和选修系列 2-3 的统计概率知识联合起来； 如文科 4 题和理科 11 题将 4. 注重考查数学的各种思想和能力
简单逻辑用语同二次函数的最值知识融为一体。
①．数形结合的思想 （一）理科：
3.从学生答题情况分析
4
（5）设 >0,函数 y=sin(
x+ )+2 个单位后与原图像重合，则 的
的图像向右平移 3 3
①文理选择题中调集、复数各一小题，归属基础中的基础，必拿分。数据排列、向量各一小题， 2
4 3 2
最小值是（ A ）
【答案】 C
(B) (C) (D)3
归属中常难度题，尤其向量的知识在整篇试卷中的地位不容小觑，而向量又是同窗们平时极易忽略 的一个重要知识点， 本题目解释题法实在很简单， 就是用三角形的面积公式及向量的数量积的变换， 3
3 【命题立意】 本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性， 识灵活掌握的程度。
考查了同学们对知
但是学生遍及以为运算量大，难以获得正确答案。与前三年另外一不同点是今年选择题中考察了 道圆锥曲线问题，别离是直线与抛物线相交弦长问题和离心率问题，正是泛泛模考、操练中欠缺导 2
4
【 解 析 】 将 y=sin( x+ 个 单 位 后 为 )+2 的 图 像 向 右 平 移
3 3 致这次高考的被打垮。选择题大戏傲然是函数题，考察了
4 道，函数的重要可见一斑！整体看选择
4 3 4 4
y sin[ (x 3k ) ] 2 sin( x ) 2，所以有
=2k , 3 3 3 3
题理科的后 4 个选择题运算量太大，太陡，造成学生浪费过多时间。
3k 3 ≥
2 2
0，所以 k ≥1, 故 ，所以选
C 即 ，又因为 ②四道填空题难度适中，题与题之间难度梯度非常缓和，文科考察了简单的经典概率，线性计 划，等差数据排列，三视图，理科考察了二项式定理，线性计划，三视图，数据排列的递推公式， 2 2
(7)设抛物线 y =8x 的焦点为 F ，准线为 l,P 为抛物线上一点 ,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线 AF 的斜 此次理科填空题独一的难度配置在最后一道儿填空题打破通例， 需要注重均值不等式建立的前提，
率为 - 3 ,那么|PF|= (A) 4 3 【答案】 B
(B)8
(C) 8 3
(D) 16
比较容易出错。
③解答题中， 文数高考题相比较 2009 年文科试题删去数据排列大题， 取而带之的是一道儿等比 选择、等差填空题。大题的第一道儿是三角函数的考察，解题所需主要知识点主如果正弦定理、余 弦定理。第二道大题有关到频坦白方图又涵盖卡方查验。第三必考的立体几何如高考新大纲要求摒 弃二面角，难度降低。第四道圆锥曲线题是一道儿通例题，有必要一提的是向量考点在圆锥曲线中
【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，
考查了等价转化，数形结合的思想。
【解析】 抛物线的焦点 F （2，0），直 线 AF 的方程为 y
3( x 2) ，所以点 A( 2,4 3) 、
P(6, 4 3) 2
2
，从而 |PF|=6+2=8
a
1 ， 则 有 a
1 <2+ 3 ， 即
2
2
a
8 4 3 ( 6
2) ，即有 a< 6
(9)设双曲线的—个焦点为 F ；虚轴的—个端点为 B ，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐
3 1 5 1 2
(A)
(B) 3
(C)
(D)
2
【答案】 D
【命题立意】 本题考查了双曲线的焦点、 虚轴、 渐近线、 离心率， 考查了两条直线垂直的条件， 考查了方程和形数结合思想。
(2)构成三棱锥的两条对角线长为 a ，其他各边长为 2，如图所示，此时 a>0;
x 2 y 2
6 2 ）
【解析】设双曲线方程为 1(a 0,b 0) F c,0 ,B(0,b) ，则 （ ）
综上分析可知 a ∈（0, a
2
b 2
b
b b
c a
2
直线 FB ：bx+cy-bc=0 与渐近线 y= x 垂直，所以
1，即 b =ac
（21）（本小题满分 12 分）已知函数 f x ( ) ( 1
a
a x ax 2
1) ln
1 5
1
5 2
2
2
（ ）讨论函数 I f (x) 的单调性； 所以 c -a =ac , e -e-1=0, 即 e
或
e
所以 （舍去）
2
2
a
1 , (0, ) ， a
，求 的取值范围。
（II ）设 .如果对任意 x x | f (x ) f (x ) 4 | x x |
1 x
y 4
2 x y
3 且
z 2x 3y 的取值范围是 _______
1 2
1
2 1 2 （14）已知 ，则 （答案用区间表示） 【答案】（3，8）
2
a 1 x
2ax
a 1 x
解：（Ⅰ） f (x) 的定义域为（ 0，+∞）. f '(x ) 2ax
.
【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。 1 x y 4 【解析】画出不等式组
表示的可行域，在可行域内平移直线 z=2x-3y ，当直
a 0时， f '( x ) ＞0，故
f (x) 在（0，+∞）单调增加；
2 x y 3
当 当
线经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A （3，1）时，目标函数有最小值 经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A （1，-2）时，目标函数有最大值 z=2× 3-3× 1=3；当直线 z=2× 1+3× 2=8.
a 1
时，
f '(x )
＜0，故 f (x) 在（0，+∞）单调减少；
a 1
a f '( x ) =0，解得
当-1＜
＜0 时，令 x
. 2a
②分类讨论的思想 （一）理科：
a 1 a 1 2a 则当 x (0,
＞ ；
) 时， f '( x ) 0 x ( ＜
,
) 时， f '( x ) 0.
2a (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是
a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够
a 1
a 1
2a
故 f (x) 在 (0,
) 单调增加，在 (
, ) 单调减少 .
(A) （0, 6 2 ）
(C) ( 6
2, 6 2） (D) （0, 2 2 ）
2a
【答案】 A
【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为
2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以
下两种情况： （1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为
2，a ，a ，如图，此时 a
（Ⅱ）不妨假设 x
x ，而 ＜ ，由（Ⅰ）知在（ ， ∞）单调减少，从而
a -1 0 + 1 2
x , x (0, ) ， f (x ) f (x ) 4 x x 等价于
1 2 1 2
1 2
2 2
a b 2ab x , x (0, ) f (x ) 4x
f (x ) 4x
1
1
， ①
1 2
2 2 2
2 b
c 2bc a 1
x
令 g( x )
f (x) 4x ，则
g '(x)
2ax 4 2
2
c
a
2ac ①等价于 g(x) 在（0，+∞）单调减少，即
2
2
2
所以 a
b
c
ab bc ac
① a 1
1 1 1 1 1 1
2ax 4 0 . 同理 ②
??6 分
2
2 2
x
a
b
c ab bc ac 1 1 1 2
2
2
)2 2 2
2
4x 1 (2 x 1) 4x 2 (2x 1) 故 a
b c
(
a
2
a b c
从而 2
2
2
2x
1 2x 1
2x
1
1
1
1
ab bc ac 3 6 3
3 3 故 a 的取值范围为（ -∞，-2].
?? 12 分
ab bc ac ③
所以原不等式成立 . ??8 分
（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
2
2
(ac)2
3
时，
2
2
2
1 1 1 a b c
2
当且仅当 a=b=c 时，①式和②式等号成立，当且仅当 a=b=c ，(ab) ( b c)
已知 a,b,c 均为正数，证明： a b
c
(
) 6 3 ，并确定 a,b,c 为何值时，
③式等号成立。
等号成立。 1
即当且仅当 a=b=c= 34 时，原式等号成立。
??
分 10
证明：（证法一）
因为 a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式得
2
2
2
2
a
b
c
3(abc) 3
① ③函数与方程的思想
1 1 1 1
3(abc)
3
a b c
（一）理科：
2
2 3
1 1 1 a b c
9(abc)
②
??6 分
2
1
6 所以
（13） (1 x x )( x
) 的展开式中的常数项为 _________. x
【答案】 -5
2 3
2 3 1 1 1 a b c
2
2
2
)2 3(abc ) 9(abc )
.
故a
b
c
(
【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法 1 r r 6 2r
3 2 (x
) 的展开式的通项为 T C ( 1) x ，当 r=3 时， T C
6
20 ，
【解析】 r 1 6 4
2
3
2 3
x
3(abc) 9(abc ) 2 27 6 3
又 ③
4 当 r=4 时， T 5
C
15 ，因此常数项为 -20+15=-5
6
所以原不等式成立 .
?? 8 分
(20)（本小题满分 12 分） 2 3
2 3
当且仅当 a=b=c 时，①式和②式等号成立。当且仅当 3(abc )
9(abc ) 时，③式等号成立。
x 2 y 2
C ：
1(a b 0)
的左焦点为 F ，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A ，B 两点，
1
设椭圆 即当且仅当 a=b=c= 34 时，原式等号成立。 10
?? 分
（证法二）
因为 a ，b ，c 均为正数，由基本不等式得
o
直线 l 的倾斜角为 60 , AF 2FB .
(I)
求椭圆 C 的离心率；
15
1
25 C 的方程 . (II)
如果|AB|= ，求椭圆
4 (1 1 )
1
31
4 4
有 ( 2) 0，所以 q= , S
5
B
，故选 。 所以 1 （20）解：
2
设 A(x , y ), B(x , y ) y 0 y 2 ，由题意知 ＜
， ＞ 0. 1 1 2 2 1 ④化归转化思想
（一）理科：
2
2
（Ⅰ）直线 l 的方程为 y
3 (x c )，其中 c a
b .
4 y
3( x c),
(1O)已知点 P 在曲线 y=
上，a 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 a 的取值
x
e
1
2
2 2
2
4
(3a
b ) y
2 3b cy 3b 0
得
联立 x 2
y 2
1
范围是 a
2
b 2
3 3
(A)[0,
)
(B) [
, ) ( , ] (D) [ , )
4
4 2
2 4 4
2
2
3b (c 2a)
, y 2 3b (c 2a)
【答案】 D
解得 y 1
2 2
2 2 3a b 3a b
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。 因为 AF
2FB ，所以 y 2y .
'
4e x 4
3
1
2 【解析】因为 y
1，即 tan a ≥-1, 所以
。
x
2
x
x
(e
1)
e
2 e 4
2
2
3b (c 2a) 3b (c 2a) 即
2
2 2 2 2 3a b 3a b
（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 c 2
e .
??6 分
得离心率
a 3
已知 P 为半
圆 C ： （ 为参数， ）上的点，点 A 的坐标为（ 1,0），
2
1 3
2 4 3ab
15 （Ⅱ）因为 AB
1 y y ，所以 . 2
1 2 2
3 3a b
4
O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度均为
。
3
（I ）以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 （II ）求直线 AM 的参数方程。 （23）解：
M 的极坐标；
c 2
5 5 15 由 b a .所以 a a=3 b ，得 ，
5 .
得 a 3
3 4 4 （Ⅰ）由已知， M 点的极角为 ，且 M 点的极径等于
，
椭圆 C 的方程为
1 .
3
3
9 5
故点 M 的极坐标为（
，
）.
?? 5 分
3 3
3
（6）设{a }
n
是有正数组成的等比数列， S a a =1, S 7 , S 5 为其前 项和。已知 n
2 4 则
（Ⅱ） 点的直角坐标为（ M , ）， （ ），故直线
的参数方程为
AM A 0,1 n 3 6 6
15
2
31 4 33 4 17 2
（A ）
(B)
(C)
(D)
x 1 ( 1)t
6 【答案】 B
（t 为参数） ??10 分
【命题立意】 本题考查了等比数列的通项公式与前 力。
n 项和公式， 考查了同学们解决问题的能 3 6
y t
1 2 4
2
【解析】由 a a =1 a q 1 a
1
S a (1 q q ) 7 可得 ，因此 ，又因为 ，联力两式 2 4
1
3 1
q 2
综上分析可知 a ∈（0, 6
2 ）
⑤推理论证能力，运算求解能力，
⑥综合运用知识解决问题的能力 运算求解
（一）理科：
(12) (12)有四根长都为 2 的直铁条，若再选两根长都为 a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连
能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则 a 的取值范围是
(A) （0, 6 2 ） (B)（1,2 2 ）
2 ） (D) （0, 2 2 ）
(C) ( 6 2 , 6
【答案】 A
【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为
2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以 下两种情况： （1）地面是边长为 2 的正三角形，三条侧棱长为
2，a ，a ，如图，此时 a
2
2
a 1 ， 则 有
a
1 <2+ 3 ， 即
2
2
a
8 4 3 ( 6 2) 6
2
，即有 a< (2)构成三棱锥的两条对角线长为 a ，其他各边长为 2，如图所示，此时 a>0;
a n n
（16）已知数列
a 满足 a 33, a a n
2n, 则
的最小值为
__________. n 1 n 1 21
2
【答案】
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调
性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
2
【解析】 a =(a -a )+( a -a )+ +( a -a )+ a =2[1+2+ (n-1)]+33=33+ n -n n n n-1 n-1 n-2 ? 2 1 1 ?
a 33
n
n 1 所以
n
n 33
33
n 2
设 f (n) n 1，令 f (n)
1 0，则 f (n) 在 ( 33, )上是单调递增，
n
在 (0, 33) 上是递减的，因为 n ∈N , 所以当 n=5 或 6 时 f (n) 有最小值。
+
a 53 a 63 21 a n n a 21
5 6
6
又因为
的最小值为
， ，所以， 5 5 6 6 2 6 2
考试题。
高等数学的基本思惟、基本问题为高考题的命制提供背景。这是由两个基来历根基因构成的，
一是高考题要考查学生进一步学习的潜能。高等数学的基本思惟、基本问题可以成为考查潜能的良
好素材。二是出题目者的背景，出题目组成员中大学教师占绝对上风，她们在出题目时不成能不受
自身学术背景和学术乐趣的影响。
4.试题的启示：关注试题来历
试题的基原来历，是高考出题目的主要依据，大大都试题的产生是在课本题目的基础上组合、
加工和发展的结果。
历届高考题目成为新高考题目借鉴，先例可循。在对试题进行预测时，频率最高的一个网站关
键词就是稳定，在稳定的前提下立异。强调稳定，也就是承认出题目是一种自然的发展，不会突变，
出题目不能割断汗青，如应用题的发展史、选择题目的进化史、多学科彼此联系的交互史等。历年
试题呈现一种规律性的工具，它的发展和变化轨迹会给咱们很多启示。作为省自主出题目，更是云
云。只要咱们把自己设想为一个出题目者，作一点换位思考，这个道理也就非常大白了。
平时学生学习中的一些经典试题，有可能会改编成高考试题。对于经典问题不仅生根与咱们教
师的脑筋中，并且高考出题目组成员对这些问题也熟滥于心，对这些试题稍为加工就有可能成为高
2020年高考新课标Ⅲ理科数学试卷及答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8 y x x y ≥??+=?，且*,x y N ∈， 由82x y x +=≥，得4x ≤， 所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数1 13i -的虚部是（ ） A. 310 - B. 110 - C. 110 D. 310 【答案】D 利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为11313 13(13)(13)1010 i z i i i i += ==+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 11i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====
·江西卷(理科数学) 1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算 【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易 【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i. 2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2 x －x )的定义域为( ) A.(0， 1] B.[0， 1] C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞) D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域 【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由2 x －x >0， 得x >1或x <0. 3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝|| 5x ， g (x )＝2 ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数 【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易 【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ????＝1， 得|1| 5 a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1. 4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若2 2 ()c a b ＝－＋6， C ＝π 3 ， 则△ABC 的面积是( ) A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积 【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1 sin 2 ab C . 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( )
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()
(A)k 1
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
2018 年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题，本题共12小题，每小题 5 份，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1i 1. 设z 2i ，则z 1i 1 A.0 B. C.1 D. 2 2 2. 已知集合A x |x2 x 2 0 ，则C R A A. x | 1 x 2 B. x|1x2 C. x|x 1 x|x2 D. x|x 1 x| x 2 3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一杯，实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计和该地图新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.记S n为等差数列a n 的前n项和，若3S3 S2 S4，a1 2，则a5 A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.设函数f x x3 a 1 x2 ax ，若f x 为奇函数，则曲线y f x 在点0,0 处的切 绝密★启用 前 则下面结论中不正确的 是
线方程为 10. 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成。三个半圆 的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC ，直角边 AB,AC ， ABC 的三边所围成的区域 记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。 在整个图形中随机取一点，此点取自的概率分 别记为 p 1, p 2, p 3 ，则 A. y 2x B.y x C.y 2x D. y x 6.在 ABC 中， AD 为BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB 3 1 1 3 A. AB AC B. AB AC 4 4 4 4 3 1 1 3 C. AB AC D. AB AC 4 4 4 4 7.某圆柱的高为 2，地面周长为 16，其三视图如右图，圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点 N 在左视 图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从 M 到N 的路径中， 最短路径的长度为 A.2 17 B.2 5 C.3 D.2 则 FM FN A.5 B.6 C.7 9.已知函数 f e x ,x 0 x ,g x ln x,x 0 fx 围是 A. 1,0 B. 0, 2 2,0 且斜率为 的直线与 C 交于 M ,N 两点， 3 D.8 x a ，若 g x 存在 2 个零点，则 a 的取值范 C. 1, D. 1, 8.设抛物线 C: y 2 4 x 的焦点为 F ，过点
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 （河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、广东、安徽、福建使用） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{ } 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为
高考理科数学试卷及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
2010年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P M = （A ）{}1,2 （B ）{}0,1,2 （C ）{}|03x x ≤< （D ） {}|03x x ≤≤ （2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）12 （3）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为 （4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为 （A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C （5）极坐标方程(1)()0(0)ρθπρ--=≥表示的图形是 （A ）两个圆 （B ）两条直线 （C ）一个圆和一条射线 （D ）一条直线和一条射线 （6）a b 、为非零向量.“a b ⊥”是“函数()()()f x xa b xb a =+-为一次函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
1982年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理科） 一．（本题满分6分） 填表： 解：见上表 二．（本题满分9分） 1．求（-1+i)20展开式中第15项的数值; 2．求3 cos 2x y =的导数 解：1.第15项T 15=.38760)()1(6201461420 -=-=-C i C 2..3 2sin 31)3(3sin 3cos 2)3)(cos 3(cos 2x x x x x x y -='-='=' 三．（本题满分9分）
在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形 1．; 04 36 323112=-y x Y
2．?? ?φ=φ+=. sin 2, cos 1y x 解：1.得2x-3y-6=0图形是直线 2.化为,14 )1(2 2 =+-y x 图形是椭圆 四．（本题满分12分） 已知圆锥体的底面半径为R ，高为H 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h （如图） 解：设圆柱体半径为r 高为h 由△ACD ∽△AOB 得 .R r H h H =- 由此得),(h H H R r -= 圆柱体体积 .)()(2 2 22 h h H H R h r h V -π=π= 由题意，H ＞h ＞0，利用均值不等式，有 . )(,3 ,,2. 274 274224232222最大时因此当时上式取等号当原式h V H h h h H H R H H R h h H h H H R ==-π=?π?≤?-?-?π?= （注：原“解一”对h 求导由驻点解得） 五．（本题满分15分） 的大小与比较设|)1(log ||)1(log |,1,0,10x x a a x a a +-≠><<（要写出比 较过程） A 2R
2018年普通高等学校招生全国统一考试（I I 卷） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． 12i 12i +=- A ．43i 55 -- B ．43i 55 -+ C ．34i 55 -- D ．34i 55 -+ 2．已知集合(){}22 3A x y x y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，则A 中元素的个数为 A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 3．函数()2 e e x x f x x --=的图像大致为 A B C D 4．已知向量a 、b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 5．双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y x = D ．y x = 6．在ABC △ 中，cos 2C 1BC =，5AC =，则AB = A ．B C D 7．为计算1111112 3 4 99100 S =-+-++-…空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． 1 12 B ． 114 C ． 1 15 D ． 118 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC == ，1AA =1AD 与1DB 所成角的 余弦值为 A ．15 B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2 C ． 3π4 D ．π 11．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则 (1)(2)(3)(50)f f f f ++++=… A ．50- B ．0 C ．2 D ．50 12．已知1F ，2F 是椭圆22 221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在 过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=?，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．1 3 D ．14 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________． 14．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥?? -+≥??-≤? ，，， 则z x y =+的最大值为__________． 15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 16． 已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78 ，SA 与圆锥底面所成角 为45°，若SAB △ 的面积为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为 必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题, 满分120分 第九题是附加题, 满分10分, 不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题, 每小题选对的得3分;不选, 选错或多选得负1分 1．数集X = {（2n +1）π, n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π, k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点, 那么（ C ） （A ）F =0, G ≠0, E ≠0. （B ）E =0, F =0, G ≠0. （C ）G =0, F =0, E ≠0. （D ）G =0, E =0, F ≠0. 3.如果n 是正整数, 那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角, 且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角, 也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题, 每一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,
陕西省高考数学试卷（理科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（） A．若≠﹣，则||=||”B．若=﹣，则||≠|| C．若≠，则||≠||D．||=||，则≠﹣ 2．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x 3．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（x），则y=f（x）的图象可能是（） A．B． C．D． 4．（5分）（x2﹣x﹣4）6（x∈R）展开式中的常数项是（） A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20 5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） A． B．C．8﹣2πD． 6．（5分）函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（） A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
7．（5分）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位， x∈R}，则M∩N为（） A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1] 8．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（） A．11 B．10 C．8 D．7 9．（5分）设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（） A．x和y的相关系数为直线l的斜率 B．x和y的相关系数在0到1之间 C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 D．直线l过点（，） 10．（5分）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（） A．B．C．D． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国一卷）理科数学 一、选择题：（本题有12小题，每小题5分，共60分。） 1、设z= ，则∣z ∣=（ ） A.0 B. C.1 D. 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则 A =（ ） A 、{x|-1
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 8.设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（-2，0）且斜率为 的直线与C 交于M ，N 两点，则 · =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）+x+a ，若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 ( ) A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞） 10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC. △ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3， 则( ) A. p 1=p 2 B. p 1=p 3 C. p 2=p 3 D. p 1=p 2+p 3 11.已知双曲线C ： - y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交 点分别为M ，N . 若△OMN 为直角三角形，则∣MN ∣=( ) A. B.3 C. D.4 12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.若x ，y 满足约束条件 则z=3x+2y 的最大值为 .
绝密★启用前 2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 -（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 5 16 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图，图中空白框中应填入
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（I 卷）试题及解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 若1z i =+,则22z z -= ( ) D.2 解析：把Z=1+i ，代入计算 222(1)2(1)(1)(12)(1)(1)112z z i i i i i i -=+-+=++-=+-+=--= 正解答案为D 或者 22222211(1)1(11)12z z z z z i -=-+-=--=+--= 这里是凑好了一个完成平方的形式，正好抵消了1 点评：这是复数的计算题，掌握复数的运算法则就可以，属于送分题。 2.设集合{}240A x x =-≤，{}20B x x a =+≤，且{}21A B x x =-≤≤，则a = ( ) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析：解不等式，集合{|22}A x x =-≤≤ 集合{|/2}B x x a =≤- 而 {}21A B x x =-≤≤，由此可以看出交集的下限是A 集合的-2，上眼1应该 是B 集合的，也集12a - = ，解得a=-2。正确答案为B
3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一 个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底 面正方形的边长的比值为（ ） A. 51- B. 51- C. 51+ D. 51+ 解析： 设正四棱锥的顶点为H ，底面正方形为ABCD ，中心为O ，AB 的中点F ，则求x=HF/AB 的值，示意图。 面积关系：21*2 HAB OH S AB HF ?==， 三角形HOF 为直角三形，由勾股定理：22214HF OH AB =+ 则，2211*24 HF AB HF AB =+ 把x=HF/AB 代入式中 24210x x --= 解得154 x += 点评：不要被金子塔吓着，其实题目和它没什么关系，就是考查正四棱锥的几何关系，不题不算难，但过程还是有点复杂，对四棱锥的结构一定要非常熟悉，思
全国卷理科数学高考试 卷 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
全国1卷 2018年普通高等学招生全国统一考试理科数学 一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。 1、设z=，则|z|= A、0 B、 C、1 D、 2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则A= A、{x|-1
A、y=-2x B、y=-x C、y=2x D、y=x 6、在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则= A、-- B、-- C、-+ D、- 7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正 视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为 A、 B、 C、3 D、2 8.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·= 9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零 点，则a的取值范围是 A. [-1，0） B. [0，+∞） C. [-1，+∞） D. [1，+∞）
绝密★启用前 2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若z=1+i，则|z2–2z|= A．0 B．1 C．2D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A．51 4 - B． 51 2 - C． 51 4 + D． 51 2 + 4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温 度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20) i i x y i=得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+ D ．ln y a b x =+ 6．函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 7．设函数()cos π ()6 f x x ω=+在[]π,π-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为 A ． 10π 9 B ． 7π6 C ．4π3 D ．3π2 8．2 5()()x x y x y ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 9．已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=
高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）
2008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 2 4πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3 4π3 V R = n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(012)k k n k k n P k C p p k n -=-=，，，， 一、选择题 1．设集合{|32}M m m =∈-< 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I卷 一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}, B={（x, y）|x∈A, y∈A, x-y∈A}, 则B中所含元素的个数为 （A）3 （B）6 （C）8 （D）10 2、将2名教师, 4名学生分成2个小组, 分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组有1名教师和2名学生组成, 不同的安排方案共有 （A）12种（B）10种（C）9种（D）8种 3、下面是关于复数z= 2 1i -+ 的四个命题 P1：z=2 P2: 2z=2i P3:z的共轭复数为1+i P4：z的虚部为-1 其中真命题为 （A）. P2 ,P3 （B）P1 ,P2 （C）P2,P4 （D）P3,P4 4、设F1, F2是椭圆E: 2 2 x a + 2 2 y b =1 (a＞b＞0)的左、右焦点, P 为直线 3 2a x=上的一点, 1 2 PF F △是底角为30°的等腰三角形, 则E的离心率为 （A） 1 2 （B） 2 3 （C） 3 4 （D） 4 5 5、已知{ n a}为等比数列, 2 1 4 = +a a, 8 6 5 - = ?a a, 则 = + 10 1 a a （A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7 6、如果执行右边的程序图, 输入正 整数)2 (≥ N N和实数 n a a a? , , 2 1 , 输入A, B, 则 （A）A+B为的 n a a a? , , 2 1 和 第1页，共10页 第2页， 共10页 （B ） 2 A B +为n a a a ?,,21的算式平均数 （C ）A 和B 分别是n a a a ?,,21中最大的数和最小的数 （D ）A 和B 分别是n a a a ?,,21中最小的数和最大的数 7、如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 8、等轴双曲线C 的中心在原点, 焦点在x 轴上, C 与抛物线 x y 162=的准线交于A , B 两点, 34=AB , 则C 的实轴长 为 （A ）2 （B ） 22 （C ） 4 （D ）8 9、已知w ＞0, 函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ 单调递减, 则ω 的取值范围是 （A ）]45,21[ （B ）]43,21[ （C ）]2 1 ,0( （D ） (0,2] 10、已知函数x x x f -+= )1ln(1 )(, 则)(x f y =的图像大致为 O O O O 11 11 11 11 x y x y x y x y ） （A ） （B ） （C ） （D高考新课标理科数学试卷及答案
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