抽象函数的对称性、奇偶性与周期性
一、典例分析
1.求函数值
例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ） （A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。
2、比较函数值大小
例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(1998
1x x f =试比较)1998(
f 、)17101(f 、)15
104(f 的大小.
3、求函数解析式
例4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当
0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.
例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.
4)3(2)(2
+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.
4、判断函数奇偶性
例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数
例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.
6、在数列中的应用 例8.在数列{}n a 中，)2(11,31
1
1≥-+=
=
--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第92
92天是星期几？
8、复数中的应用
例10.（市1994年高考题）设)(2
321是虚数单位i i z +-
=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是() （A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7. 9、解“立几”题
例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁
爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()
（A ）1； （B ）2；（C ）3 ； （D ）0.
例题与应用
例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值
例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。
例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，则当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)
(1
x f -
，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.
例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，
求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
例8、 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（）
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称 例9、 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。
例10、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)等于（）
例11、 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（）
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数
二、巩固练习
1、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象（ ）。
A ．关于直线x ＝5对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)=（ ）。
A ．0.5
B ．－0.5
C ．1.5
D ．－1.5
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数 4、f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。
5、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x =
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于()f x 定义域的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期的图像为C:),(x f y =
[]a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他
周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]
??
?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x
)()(kT x f x f x f 2、奇偶函数：
设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称：
①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A --
②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--
③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①
))
(2,)(2(),(),(2
222//B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-
=与点关于直线
成轴对称；0=++C By Ax
②函数))(2()(2)(2
222B A C By Ax A x f B A C By Ax B y x f y +++-=+++-
=与关于直线
0=++C By Ax 成轴对称。
③0))
(2,)(2(0),(2
222=+++-+++-
=B
A C By Ax
B y B A
C By Ax A x F y x F 与关于直线 0=++C By Ax 成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）
若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“同表示周期性，反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -=?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=-?)(x f y =的图象关于直线a x =对称
推论1、b x a f x a f 2)()(=-++?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++-?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1
()y f
x -=图象关于直线y x =对称
推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 （三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1 若函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a ＋x)＝f(a －x) （2）f(2a －x)＝f(x) （3）f(2a ＋x)＝f(－x)
性质2 若函数y ＝f(x)关于点（a ，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a ＋x)＝－f(a －x)（2）f(2a －x)＝－f(x)（3）f(2a ＋x)＝－f(－x)
易知，y ＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a ＝0时的特例。 2、复合函数的奇偶性
定义1、 若对于定义域的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y ＝f[g(x)]为偶函数。 定义2、 若对于定义域的任一变量x ，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y ＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y ＝f(x ＋a)为偶函数，则f(x ＋a)＝f(－x ＋a)；y ＝f(x ＋a)为奇函数，则f(－x ＋a)＝－f(a ＋x)
（3）y ＝f(x ＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y ＝f(x)关于直线x ＝a 轴对称（或关于点（a ，0）中心对称） 3、复合函数的对称性
性质3复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(b －x)关于直线x ＝（b －a ）/2轴对称
性质4、复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(b －x)关于点（（b －a ）/2，0）中心对称 推论1、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝f(a －x)关于y 轴轴对称
推论2、 复合函数y ＝f(a ＋x)与y ＝－f(a －x)关于原点中心对称 4、函数的周期性
若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x ＋a)＝f(x －a) ②f(x ＋a)＝－f(x) ③f(x ＋a)＝1/f(x) ④f(x ＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b|
性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b|
6、函数对称性的应用
（1）若k y y h x x k h x f y 2,2),)(/
/
=+=+=对称，则关于点（,即
k x h f x f x f x f 2)2()()()(/=-+=+
nk x h f x h f x h f x f x f x f n n n 2)2()2()2()()()(1121=-++-+-++++-
（2）例题 1、1)1()(21
21)(=-++=
x f x f a
a a x f x
x
）对称：，关于点（; 2)()(10122
1
4)(1=-++--=+x f x f x x f x x ）对称：，关于（
1)1
()2121)0,(1
1)(=+≠∈+=
x f x f x R x x f （）对称：，关于（αα
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(=-+x f x f 。
3、若)(),()()2()(x f y x a f x a f x a f x f =+=--=则或的图像关于直线a x =对称。设
个不同的实数根，则有n x f 0)(=
na x a x x a x x a x x x x n n n =-+++-++-+=+++)2()2()2(2
2
221121 .
),212(111a x x a x k n =?-=+=时，必有当
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
2、()()f x a f x b +=+?)(x f y =的周期为a b T -=
3、)()(x f a x f -=+?)(x f y =的周期为a T 2=
4、)
(1
)(x f a x f =
+?)(x f y =的周期为a T 2= 5、)
(1
)(x f a x f -
=+?)(x f y =的周期为a T 2= 6、)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=
+?)(x f y =的周期为a T 3=
7、1
)(1
)(+-
=+x f a x f ?)(x f y =的周期为a T 2=
8、)
(1)
(1)(x f x f a x f -+=
+?)(x f y =的周期为a T 4=
9、)()()2(x f a x f a x f -+=+?)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2
, )2()(,0p T p px f px f p =-
=>则
推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y =周期a T 2=
推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+?)(x f y =周期a T 4=
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
答案
1.求函数值
例1.（1996年高考题）设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（-0.5）
（A ）0.5;（B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.
例2．（1989年市中学生数学竞赛题）已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，
,32)1(+=f 求)1989(f 的值.23)1989(-=f 。
2、比较函数值大小
例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(1998
1x x f =试比较)1998(
f 、)17101(f 、)15
104(f 的大小.
解：))((R x x f ∈ 是以2为周期的偶函数，又1998
1
)(x
x f = 在[]1,0上是增函数，且115
14
19161710<<<<
，).15
104()1998(17101(),1514()1916()171(f f f f f f <<<<∴即
3、求函数解析式
例4.（1989年高考题）设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间
),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.
解：设1211212),12,12(<-<-?+<<-∴+-∈k x k x k k k x
0I x ∈ 时，有22)2()2(121,)(k x k x f k x x x f -=-<-<-∴=得由
)(x f 是以2 为周期的函数，2)2()(),()2(k x x f x f k x f -=∴=-∴.
例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，
.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.
解：当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，
4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f
又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，
[]).
21(4)1(243)4(2)()
4()(2
2
≤≤+--=++--=?-=x x x x f x f x f 有
).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f
4、判断函数奇偶性
例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 解：由)(x f 的周期为4，得)4()(x f x f +=，由)2()2(x f x f -=+得
)4()(x f x f +=-，),()(x f x f =-∴故)(x f 为偶函数.
5、确定函数图象与x 轴交点的个数
例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.
解：由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得
)(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，
,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==
故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.
而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点. 6、在数列中的应用 例8.在数列{}n a 中，)2(11,31
1
1≥-+=
=
--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++
分析：此题的思路与例2思路类似. 解：令,1αtg a =则)4
(1111112απ
αα+=-+=-+=
tg tg tg a a a ?
?
?
???+-=-+=??????+?-=∴+?=---+=
-+=---απαπαπ
απ
απ4)1(11,4)1()
4
2()
4
(
1)
4
(11111122
3n tg a a a n tg a tg tg tg a a a n n n n 于是
不难用归纳法证明数列的通项为：)4
4
(
απ
π
+-
=n tg a n ，且以4为周期.
于是有1，5，9 …1997是以4为公差的等差数列，
1997951a a a a ====∴ ，由4)1(11997?-+=n 得总项数为500项，
.350050011997951=?=++++∴a a a a a
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第92
92天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解：191919191)191(92
91
922909291192920929292
+?++++=+=C C C C
1
)137()137()137()137()1137(9291
92
2
90
9291192920929292+?+?++?+?=+?=∴C C C C
因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数， 故92
92天为星期四. 8、复数中的应用
例10.（市1994年高考题）设)(2
321是虚数单位i i z +-=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()
（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7. 分析：运用i z 2
321+-
=方幂的周期性求值即可. 解：10)1(,11
=?=-∴=--n n n
z z z z z ，
)
(.4)(,,1).
(13),(31,31,1min 3B n n k N k k n N k k n n z 故选择最小时即的倍数必须是=∴=∴∈+=∴∈=--∴=
9、解“立几”题
例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()
（A ）1； （B ）2；（C ）3 ； （D ）0.
解：依条件列出白蚁的路线→→→→→CB C C C D D A AA 111111
,1 →→AA BA 立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以
判断每六段是一个周期.
1990=64331+?，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D 点，白蚁在C 点，故所求距离是.2
例题与应用
例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值
例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，则当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)
(1
x f -，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值. 例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10
故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+10
2000
2?
=401个根. 例1、 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（D ） A ．关于直线x ＝5对称 B ．关于直线x ＝1对称 C ．关于点（5，0）对称 D ．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D 。（原卷错选为C ）
例2、 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题） 例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ） A ．偶函数，又是周期函数 B ．偶函数，但不是周期函数 C ．奇函数，又是周期函数 D ．奇函数，但不是周期函数 六、巩固练习
1、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象（ ）。 A ．关于直线x ＝5对称 B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点（5，0）对称
D ．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，
f(x)＝x ，则f(7.5)=（ ）。
A ．0.5
B ．－0.5
C ．1.5
D ．－1.5 3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)， f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。
A ．偶函数，又是周期函数
B ．偶函数，但不是周期函数
C ．奇函数，又是周期函数
D ．奇函数，但不是周期函数
4、f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。
5、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x =
参考答案：D ，B ，C ，T ＝2，-1．
函数的单调性及奇偶性 一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知函数是上的增函数，若，则下列不一定正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 2.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有．若 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 3.已知定义在上的函数满足：对任意不同的x1，x2，都有 ．若，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数单调性的定义 4.函数的单调递减区间是( ) A. B. C. D.无减区间 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 5.函数的单调递减区间是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数的单调性及单调区间 6.函数的单调递增区间是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：含绝对值函数的单调性 7.若是奇函数，则实数a的值为( ) A.1 B.-1
C.0 D.±1 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 8.若是定义在上的偶函数，则a的值为( ) A.±1 B.1 C.-1 D.-3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数奇偶性的性质 9.设是定义在[-2，2]上的奇函数，若在[-2，0]上单调递减，则使成立的实数a的取值范围是( ) A.[-1，2] B. C.(0，1) D.
1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 函数的单调性与奇偶性综合 【课时目标】 1、能准确判断函数的单调性与奇偶性 2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围 3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题 【基础训练】 1、单调性： （1）函数||2x x y +-=，单调递减区间为 （2）函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的取值范围是 （3）已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 ___ （4）已知()f x 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ — 2、奇偶性： （1）下列函数具有奇偶性的有 ①x x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④?? ???<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y （2）函数1()f x x x =-的图像关于__________对称 （3）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =__________ （4）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则_______ 【例题精讲】 例1、已知()f x 是偶函数，而且在0(,)+∞上是减函数．判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明 例2、()f x 是定义在R 的奇函数，且()f x 在0(,)+∞上是增函数，10()f =，则不等式0()()f x f x x --<的解集为_________________ } 练习：已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数，当0 x ≤< ()f x 的图象如右图，则不等式(1)()0x f x -?≤ 变：()f x 是定义在22[,]-的奇函数，且()f x 在02[,]上单调递减，若1()()f m f m -<，则实数m 的取值范围是________________ … 例3、已知函数()1).f x a =≠ （1）若0a >，则()f x 的定义域是 (2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是______________ 例4：（1）函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x · （2）函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x 1 函数单调性(一) (一)选择题 1．函数x x f 3 )(= 在下列区间上不是．．减函数的是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(1，＋∞) 2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋1 B ．x y 2 = C ．y ＝x 2－4x ＋5 D ．y ＝｜x －1｜＋2 3．设函数y ＝(2a －1)x 在R 上是减函数，则有 A ．2 1≥ a B ．2 1≤ a C ．2 1> a D ．2 1< a 4．若函数f (x )在区间[1，3)上是增函数，在区间[3，5]上也是增函数，则函数f (x )在区间[1，5]上( ) A ．必是增函数 B ．不一定是增函数 C ．必是减函数 D ．是增函数或减函数 (二)填空题 5．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝______． 6．若函数x a x f = )(在(1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． 7．函数f (x )＝1－｜2－x ｜的单调递减区间是______，单调递增区间是______． 8．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，那么f (a 2－a ＋1)与)4 3(f 的大小关系是______。 *9．若函数f (x )＝｜x －a ｜＋2在x ∈[0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是______． (三)解答题 10．函数f (x )，x ∈(a ，b )∪(b ，c )的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出如下的判断： 甲说f (x )在定义域上是增函数； 乙说f (x )在定义域上不是增函数，但有增区间， 丙说f (x )的增区间有两个，分别为(a ，b )和(b ，c ) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。 11．已知函数.21 )(-= x x f (1)求f (x )的定义域； (2)证明函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 12．已知函数| |1)(x x f = ． (1)用分段函数的形式写出f (x )的解析式； 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性 一、典例分析 1.求函数值 例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ） （A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5. 例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f = 。 2、比较函数值大小 例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(1998 1x x f =试比较)1998( f 、)17101(f 、)15 104(f 的大小. 3、求函数解析式 例 4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当 0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式. 例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，. 4)3(2)(2 +--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式. 4、判断函数奇偶性 例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性. 5、确定函数图象与x 轴交点的个数 例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 一、选择题 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数2 2)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数1()(1)1x f x x x +=--是偶函数 C ．函数2()1f x x x =+ -是非奇非偶函数 D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2 ()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3．函数11y x x = +--的值域为（ ） A ．( ]2,∞- B ．(] 2,0 C ．[ ) +∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数， 则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2 ()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则2 80b a -<且0a >；(3) 223y x x =--的 递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和2(1)y x = +表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 二、填空题 1．函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是____________________。 2．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1||)(2 -+=x x x f ， 那么0x <时，()f x = . d d 0 t 0 t O A ． d d 0 t 0 t O B ． d d 0 t 0 t O C ． d d 0 t 0 t O D ． 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像： []b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]? ??++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 2、奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++-- ③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),b a y b x a F y x F =--= （2）轴对称：对称轴方程为：0=++C By Ax 。 ①))(2,)(2(),(),(2222//B A C By Ax B y B A C By Ax A x B y x B y x A +++-+++-=与点关于 教学容概要 教学容 【知识精讲】 一、常见的抽象函数模型： ① 正比例函数模型：()0,≠=k kx x f ┄┄┄()()()y f x f y x f ±=±。 ② 幂函数模型：()2 x x f =┄┄┄()()()y f x f xy f ?=；() ()y f x f y x f =??? ? ??。 ③ 指数函数模型：()x a x f =┄┄┄()()()y f x f y x f ?=+；()()() y f x f y x f = -。 ④ 对数函数模型：()x x f a log =┄┄()()()y f x f xy f +=；()()y f x f y x f -=??? ? ??。 ⑤ 三角函数模型：()x x f tan =┄┄┄()()()()() y f x f y f x f y x f ?-+= +1。 如何利用函数单调性解题是历年高考和模考的重点，其中利用函数单调性解不等式是一个重点中的难点，如何攻克这个难点呢？一个词：去壳。 二、奇偶函数的性质： 奇函数：（1）()()f x f x -=-； （2）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =； （3）图像关于原点对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相同； 偶函数：（1）()()f x f x -=； （3）图像关于y 轴对称； （4）y 轴左右两侧的单调性相反； 三、函数单调性的逆用： 若()f x 在区间D 上递增，则1212()()f x f x x x .(1x 2,x D ∈). 四、不等式恒成立问题的解法 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 通过上面的等价转化，转换为函数求最值的问题。 【经典例题】 函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用 例1、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且()x f y =的图象关于直线2 1=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_______________. 【考点分析】本题考查函数的周期性 解析：()()00f f -=-得()00f =，假设()0f n = 因为点（n -，0）和点（1,0n +）关于12x =对称，所以()()()10f n f n f n +=-=-= 因此，对一切正整数n 都有：()0f n = 从而：()()()()()123450f f f f f ++++=。本题答案填写：0 例2、（2006福建卷）已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设63(),(),52a f b f ==5(),2 c f =则 （A ）a b c << （B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 解：已知()f x 是周期为2的奇函数，当01x <<时，()lg .f x x = 设644()()()555a f f f ==-=-，311()()()222b f f f ==-=-，51()()22 c f f ==<0，∴c a b <<，选D. 例3、（安徽卷理）函数()f x 对于任意实数x 满足条件()() 12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。 【考点分析】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。 解析：由()()12f x f x +=得()() 14()2f x f x f x +==+，所以(5)(1)5f f ==-，则()()115(5)(1)(12)5 f f f f f =-=-==--+。 【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一 般都比较灵活。本题应直观理解()() 12f x f x += “只要加2，则变倒数，加两次则回原位” 则一通尽通也。 例4、设()f x 是()+∞∞-,上的奇函数，()()x f x f -=+2，当0≤x ≤1时，()x x f =，则f （）等于（ ） A.0.5 B.－0.5 D.－ 一、函数的奇偶性 奇偶性定义:设函数()()y f x x D =∈,任取x D ∈,有()()f x f x =-,则称函数()y f x =为偶函数； ()()f x f x =--,则称函数()y x =为奇函数. 性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言; (2)由()()()()()f x f x f x f x =-=--知,若,x D ∈则x D -∈,因此,函数()f x 的定义域D 关于原点对称是函数()f x 为偶(奇)函数的必要条件(非充分) (3)若0D ∈,则()00f =是()f x 为奇函数的必要条件(非充分) (4)常数函数()()f x c x R =∈一定()0f x =是偶函数;若0c =则()f x 既是偶函数又是奇函数;函数()f x 既是偶函数又是奇函数?()0f x =(x D ∈,其中D 是关于原点对称的任何一个非空数集) (5)奇偶函数的图像特征:函数()f x 是奇函数?函数()f x 图像关于原点对称； 函数()f x 是偶函数?函数()f x 图像关于y 轴对称. (6)奇偶函数的运算性质:设()()1f x x D ∈为奇函数,()()2g x x D ∈为偶函数,12,D D D =则在D 上有: (7)多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为奇函数?偶次项系数全为0； 多项式函数()230123n n f x a a x a x a x a x =++++为偶函数?奇次项系数全为0. 二、函数的单调性 单调性定义(唯一证明方法):对于区间D 上的函数()f x ,在D 上任取两个1212,,,x x x x < 若()()120,f x f x -<称()f x 在区间D 上是增函数,区间D 成为函数()f x 的单调增区间; 若()()120,f x f x ->称()f x 在区间D 上是减函数,区间D 成为函数()f x 的单调减区间. 性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数()f x 在整个定义域上单调,则称()f x 为单调函数. (2)函数单调性二个等价形式： ① ()() ()121200f x f x x x ->?>;若()f x 在R 上单调递减,则________. (4)设12,,x x D ∈则()()()()1212(0)x x f x f x f x --> 1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 函数单调性 证明格式： ① 取任意两个数12,x x 属于定义域D ，且令12x x <（反之亦可）； ② 作差12()()f x f x -并因式分解； ③ 判定 12()()f x f x -的正负性，并由此说明函数的增减性； 例 1 用定义法判定下列函数的增减性： ① y x =； ②2y x =； ③3y x =； ④y = ⑤1 y x = ； 练习：1. 判断函数()f x = 2.证明函数 3()f x x x =+在R 上是增函数； 例 2 已知函数 1 ()(0)f x x x x =+>，求证：函数的单调减区间为(0,1]，增区间为[1,)+∞，并画出图像； 练习：证明函数 x x x f 2 )(+ =在),2(+∞上是增函数。 3.复合函数的单调性 复合函数的单调性判断（同增异减）：构造中间过度函数，按定义比较函数大小并确定函数的单调性； 例 3 判断函数的单调性： （1 ） ()f x = （2 ）()f x =； （3） 2 1 ()2 f x x = +； 练习：① y = ②2 13y x = -； ③ 2 154y x x = +-； ④ y ； 4.函数的单调性的等价关系 设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --时，()1f x >且对任意的,a b 都有()()()f a b f a f b +=? (1)求证： (0)1f = ； (2)求证：对任意的x R ∈恒有 ()0f x > ； (3)求证：f(x)是R 上的增函数 ； (4)若2()(2)1f x f x x ?->,求x 的取值范围 相关练习 1、设 ()f x 的图像关于原点对称，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ?<的解集是………………( ) A {}|303x x x -<<>或 B {}|303x x x <-<<或 C {}|33x x x <->或 D {}|3003x x x -<<<<或 2、若 )(x f 的图像关于y 轴对称，且在[)+∞,0上是减函数，则235()(2)2 2 f f a a -++与的大小关系…( ) A )2 3(-f >)25 2(2++a a f B )23 (-f <)25 2(2++a a f C ) 23 (-f ≥ )2 5 2(2++a a f D 3() 2f -≤25(2)2 f a a ++ 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (ｋ≠0) f(x+y)＝f(x)＋ｆ（y) 幂函数 ｆ（ｘ)=x n f(xy)=f （x)f(y) ［或) y (f )x (f )y x (f = ] 指数函数 f(ｘ）=a x (a>０且a ≠1） ｆ(x+y ）=f(x ）ｆ(ｙ) [) y (f )x (f )y x (f = -或 对数函数 f(x ）=lo ｇa ｘ (a 〉0且ａ≠1) f(xy)=f(x ）+ｆ(y) ［)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x ）=si ｎx f （ｘ)=cosx f(ｘ+T ）=f(x ） 正切函数 f(x ）＝ｔanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(ｘ)＝co ｔx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 1。已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠，求证()f x 为偶函数。 证明：令x =0， 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……① 在①中令y ＝0则2(0)f =２(0)f ∵(0)f ≠0∴(0)f =１∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。 ２．奇函数()f x 在定义域(-1,1)内递减，求满足2 (1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。 解：由2 (1)(1)0f m f m -+-<得2 (1)(1)f m f m -<--,∵()f x 为函数,∴2 (1)(1)f m f m -<- 又∵()f x 在（—1，1)内递减,∴2 21111110111m m m m m -<--? 3。如果()f x =2 ax bx c ++(a 〉0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小 解:对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2 ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f （2）最小，f （1)=f (3)∵在［２,+∞）上,()f x 为增函数 ∴f （3）〈f （4),∴f (2）〈f (1）〈f (4） 4。 已知函数f (x ）对任意实数ｘ,y ,均有ｆ(x +y )＝f (x )＋f (y ),且当x >0时，f (ｘ)＞０，f (－1）=－2,求f (x )在区间［－2，1]上的值域。 分析:由题设可知，函数f (x )是的抽象函数，因此求函数f （x ）的值域,关键在于研究它的单调性。 解：设，∵当 ,∴ ， ∵, ∴ ，即,∴f （x )为增函数. 在条件中,令y ＝－x ,则，再令x ＝ｙ=０,则f (０）=２ f (0)，∴f （0）＝0,故ｆ（－ｘ)＝f (x ）,ｆ(x )为奇函数， ∴f (1）=－f （－1）＝2,又f （－２)＝２ f （－1）=-４， ∴ｆ(x ）的值域为［－4，2]。 专项5函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合 有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的 内容应该说是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学來说，十分头疼，在这一章节内容上, 我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。 第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础题，同学 们一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的/(G )的问题，这里的。代指一个确切的常数，我们可以不求出另 一 ?段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果讣我们求的于(G )中的。不在己经解析式的 定义域上，对于比定义域右端点值大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上, 比如，题目让我们求/(13),我们通过分析发现该函数的周期为2,而我们只知道XG (0,2).上的解析式，那么我们就 可以“退周期”，即/(13) = /(2x6+l) = /(l),即只需要求出这个/(I)就是了，同理，对于比定义域小的，我们用 同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。 第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经 常出现，而且不算是超纲内容，这一点需要大家知道，不能因为函数教材屮没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需 要大家知道，那就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推到这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这 些结论，希望大家都记住。 如果一个函数满足= + 则这个函数就是以。为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，弦/都 是这个函数的周期，也就是说/(x) = f(ka + x), /(x) = f(ka-x), /(x) = f(x-a),还有一?些有关周期的拓展定义: 第三个问题，是有关于图像的问题，特别是图像的做法，有很多是需要掌握对称性规律的，相关的对称性规律结论请 回顾复习专项4,专项4屮有比较基础的对称性总结函数关于兀轴、y 轴、坐标原点对称的规律；特别强调下列三种函 数l.f(x)l,/(lg(x)l),/(g(lxl))，这三种绝对值加到不同地方的函数图像本身的对称性规律要掌握好。 奇函数、偶函数、反函数和一些常见的函数，如对号函数等的对称性 对于耍求函数有几个零点或者两个函数有几个交点的问题，作图是最主耍的方法，作图的吋候，一定要按照我们学过 的函数图像的三种变换进行画图，从授基本的图形开始画，通过平移、对称一步一步的得到我们想要的函数图像，做 图的过程小，如果有带有绝对值，一定要想着使丿IJ 相应带有绝对值的作图规律，坚决不允许通过描点连线的方式进行 作图。 下面开启做题Z 旅，下面的这些题，淘汰、更换历经了很长时间，不论简单还是难度稍微大些，都是非常好的试题， 一定要认认真真完成，对于错题，还要进行总结分析。 1. /⑴为奇函数,g ⑴= /(x) + 9,g(2) = 3,则/(2)= _______________ 2. .f(x)为定义在/?上的奇函数，当xhO 时，/(Q = 2" + 2x + b ，则/(-1)= _____________ ①弘+沪_卍)；②弘+沪命；③弘+沪 1 /(x ) ,则函数/(兀)的周期为2a 。 函数的奇偶性与单调性 一.知识总结 1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称） (1)为奇函数;为偶函数; (2)奇函数在原点有定义 (3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和 即（奇）（偶）. 2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义) (1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为 上增函数,若时有,称为上减函数. (2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则. 3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|. 二.例题精讲 【例1】已知定义域为的函数是奇函数. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的 取值范围. 解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0， 即 又由f（1）= -f（-1）知 （Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得： ， 即：， 整理得 上式对一切均成立， 从而判别式 【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间. 解：依题意有而 故解得 从而。 令，得或。 由于在处取得极值， 故，即。 （1）若，即，则当时，； （2）当时，；当时，； 从而的单调增区间为； 单调减区间为 若，即，同上可得， 的单调增区间为；单调减区间为 【例3】(理)设函数,若对所有的,都有 成立,求实数的取值范围. (文)讨论函数的单调性 （理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a 令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1， (i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax． (ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数， 又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]． 解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． 对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a函数的单调性与奇偶性综合
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