初中数学复习最值系列之辅助圆（一）
最值问题的必要条件是至少有一个动点，因为是动态问题，所以才会有最值．在将军饮马问题中，折点P就是那个必须存在的动点．并且它的运动轨迹是一条直线，解题策略就是作端点关于折点所在直线的对称即可．
当然，动点的运动轨迹是可以变的，比如P点轨迹也可以是一个圆，就有了第二类最值问题——辅助圆．
在这类题目中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，分析出动点的轨迹图形，将是我们面临的最大的问题．
若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的问题就会变得简单了，比如：如下图，A为圆外一点，在圆上找一点P使得P A最小．
已知圆轨迹类
【2017四川德阳】
如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，∠APB=90°，直线l不经过点C，则AB的最小值为________．
【分析】连接OP，根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可．
连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值．
由定义构造辅助圆
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是以定点为圆心、定值为半径的圆或圆弧．
【2014成都中考】
如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C，则A'C长度的最小值是________．
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，可得MA'=MA=1，所以A'轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧．
连接CM，与圆的交点即为所求的A'，此时A'C的值最小．
构造直角△MHC，勾股定理求CM，再减去A'M即可．
【2016淮安中考】
如图，在R t△A BC中，∠C=90°，A C=6，BC=8，点F在边A C上，并且C F=2，点E 为边B C上的动点，将△C E F沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边A B距离的最小值是_______．
【分析】考虑到将△F CE沿EF翻折得到△F P E，可得P点轨迹是以F点为圆心，F C为半径的圆弧．
过F点作F H⊥A B，与圆的交点即为所求P点，此时点P到A B的距离最小．由相似先求F H，再减去F P，即可得到P H．
【2019扬州中考】
如图，已知等边△A BC的边长为8，点P是A B边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线l是经过点P的一条直线，把△A BC沿直线l折叠，点B的对应点是点B'．当P B=6时，在直线l变化过程中，求△A C B'面积的最大值．
【分析】考虑l是经过点P的直线，且△A BC沿直线l折叠，所以B'轨迹是以点P为圆心，P B为半径的圆弧．
考虑△A C B'面积最大，因为A C是定值，只需B'到A C距离最大即可．过P作作P H ⊥A C交A C于H点，与圆的交点即为所求B'点，先求HB'，再求面积．
【2018相城区一模】
如图，矩形A B CD中，A B=4，BC=8，P、Q分别是直线B C、A B上的两个动点，A E=2，△A EQ沿EQ翻折形成△F E Q，连接P F、P D，则PF+PD的最小值是_________．
【分析】F点轨迹是以E点为圆心，EA为半径的圆，作点D关于B C对称点D'，连接P D'，P F+P D化为P F+P D'．
连接ED'，与圆的交点为所求F点，与B C交点为所求P点，勾股定理先求ED',再减去EF即可．
专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. D ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. C D
证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.
浅谈构造辅助圆解决点的问题 对于数学中较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目，如果可以根据题干中的基本要素，结合到圆的相应理论，合适地画出辅助圆，一般可以变复杂为简单，变困难为基础，发现答题技巧，添加辅助圆的一般过程是：基于“圆的定义”添加辅助圆、通过“圆周角的性质”添加辅助圆、通过圆周角与圆内外角的联系添加辅助圆、基于“弦切角的模型”添加辅助圆、利用“圆幂定理”添加辅助圆、利用“判定四点共圆的理论”添加辅助圆、利用“两圆相切的定义”添加辅助圆、利用“托勒密理论”添加辅助圆。 标签：数学问题添加辅助圆基础题型 从全国高中数学联赛与国际数学奥林匹克中涉及的相关题型来看，可以了解到，数学问题，作为竞赛中最常涉及的内容之一，在数学竞赛中，其地位是数一数二的。对于一些较全面、有简易解题方法且不易看出知识点的题目而言，解题的人哪怕是在灵活运用所学知识与思维逻辑推算方面有着较强的能力，但是难免也会被此绊住脚步。因此，解题者如果可以通过题干基本框架及特征，从而联系到圆的理论应用，合适地添加辅助圆，通常能够变复杂为简单，变困难为基础，从而发现答题的关键出口。本篇文章的中心就是介绍如何利用添加辅助圆来达到解题目的。 在日常的教授课程中，老师们常会根据圆的性质来添加辅助圆，由此便将原有问题变成了辅助圆与直线的公共点的相应问题。 一、根据“在同一个圆内，若两弧相等，则两弧对的圆周角相等”添加辅助圆 题1 如图所示，平行四边形ABCD中，E在AD，延长CE至F点，使得。 （1）证明：； （2）用做图工具在直线AD上取一点P，使∠CPB=∠PDC（作法不需写，保留作图印记） （1）由题目可知AD//BC，所以。 又，所以可以知道，由此可得。 （2）因为P在直线AD上，又AD//BC，所以。若要得，就是要使得，从（1）可以知道条件，则只需，也就是和可以视为弧BC对应的圆周角，因此P 点为的外接圆和AD所相交的点。 解（1）省略。
中考压轴题专题几何（辅助线） 图中有角平分线，可向两边作垂线。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线加一倍。 梯等式子比例换，寻找相似很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，弦高公式是关键。 计算半径与弦长，弦心距来站中间。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内切圆，内角平分线梦园。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 假如图形较分散，对称旋转去实验 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 精选1.如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，DE 垂直平分AC ，垂足为O ，AD ∥BC ，且AB =3，BC =4，则AD 的长为 ． 精选2．如图，△ABC 中，∠C ＝60°，∠CAB 与∠CBA 的平分线AE ，BF 相交于点D ， 求证：DE ＝DF ． 精选3.已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接 D E F
AC ． (1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CPA 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数。 精选4、如图1，Rt △ABC 中，∠ ACB=90°，AC=3，BC=4，点O 是斜边AB 上一动点，以OA 为半径作⊙O 与AC 边交于点P ， （1）当OA=时，求点O 到BC 的距离； （ 2）如图1，当OA= 时，求证：直线BC 与⊙O 相切；此时线段AP 的长是多少？ （3）若BC 边与⊙O 有公共点，直接写出OA 的取值范围； （4）若CO 平分∠ACB ，则线段AP 的长是多少？ ． 精选5．如图，已知△ABC 为等边三角形，∠BDC ＝120°，AD 平分∠BDC ， 求证：BD +DC ＝AD ． E B
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°，
专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵
中考数学几何添加辅助线：倍长中线中线或中点是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。 此法常用于构造全等三角形，利用中线的性质、辅助线、对顶角进而用“SAS”证明对应边之间的关系。 常规的倍长中线可以出全等，但需要证明“三点共线”，遇到“中点+平行”，我们“延长出全等”，而非“倍长出全等”. 用“倍长中线法”作辅助线解几何题，是一种重要的技巧套路。它可以有效地生发出全等、平行等基本条件，关联好多基本图形，帮助解题，大家务必好好掌握。也给我们解题的启示：抓住核心，找到关键，才能快速解题。 逢中点，便倍长，全等观，平行现. 倍长中线法:是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，构造“8字形”的全等三角形。 在与中点有关的线段尤其是涉及线段的等量关系时，倍长中线应用较常见，常见添加如图（AD是底边中线） 典例1．已知：AD是ΔABC的中线，AE=EF．求证：AC=BF． 名师指点： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可．
满分解答： 证明：延长AD 到M ，使AD ＝DM ，连接BM ， ∵AD 是△ABC 中线， ∴CD ＝BD ， ∵在△ADC 和△MDB 中，{CD ＝BD ∠ADC ＝∠MDB AD ＝DM ， ∴△ADC ≌△MDB （SAS ）， ∴BM ＝AC ，∠CAD ＝∠M ， ∵AE ＝EF ， ∴∠CAD ＝∠AFE ， ∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠BFD ＝∠CAD ＝∠M ， ∴BF ＝BM ＝AC ，即AC ＝BF ． 名师点评： 倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角、线段的代换是解决问题的关键． 1．如图，在平行四边形ABCD 中，28CD AD ==，E 为AD 上一点，F 为DC 的中点，则下列结论中正确的是（ ） A ．4BF = B ．2AB C ABF ∠>∠
初中数学巧添辅助线解 证几何题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
巧添辅助线解证几何题 [引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。 一、倍角问题 研究∠α＝2∠β或∠β=1 2 ∠α问题通称为倍角问题。倍角问题分两种情形： 1、∠α与∠β在两个三角形中，常作∠α的平分线，得∠1=1 2 ∠α，然后证明∠1= ∠β；或把∠β翻折，得∠2=2∠β，然后证明∠2=∠α（如图一） 2、∠α与∠β在同一个三角形中，这样的三角形常称为倍角三角形。倍角三角形问 例1：如图1AB=AC,BD⊥AC于D。 求证：∠DBC=1 2 ∠BAC. 分析：∠DBC、∠BAC所在的两个三角形有公共角∠C，可利用
三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C= 12（180°-∠BAC ）=90°-12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90° ∴∠DBC=90°-∠C=90°-(90°- 12∠BAC)= 12∠BAC 即∠DBC= 12∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠ DBC= ∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把∠A 放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。 证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90° ∵AB=AC ∴∠EAG= 12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D ∴∠DBC+∠C=90° ∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等） 即∠DBC= 12∠BAC 。 证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD
中考复习——圆的综合证明题 1．如图，在Rt△ABC中， ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=1 2 ，求 AE AC 的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 4．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点． （1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC?BD的值； 5．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求tan∠CFE的值； 6．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CD =15，BE =10，tanA=512 ，求⊙O 的直径． 7．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ， DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6． （1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ； （2）求CD 的长． 8．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相 交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ． （1）求证：AD 平分∠CAB （2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1． ①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O 的半径． 10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、 D ，且D E =DC ． A B C D E F G H O
2017年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。 梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2. 做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈
25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B
3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O
5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄） 海豚教育个性化教案编号：教案正文： 辅助线的添加 【知识要点】 平面几何是中学数学的一个重要组成部分，证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证明题，往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。 一、三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的 ⅰ可向两边作垂线。 ⅱ可作平行线，构造等腰三角形 ⅲ在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 2. 与线段长度相关的 ⅰ截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可 ⅱ补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可 ⅲ倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。 ⅳ遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。 3. 与等腰等边三角形相关的 ⅰ考虑三线合一 60 ⅱ旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转 二、四边形 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 1、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形 ⅱ．利用两组对边平行构造平行四边形 ⅲ．利用对角线互相平分构造平行四边形 2、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. ⅰ. 作菱形的高； ⅱ．连结菱形的对角线. 3、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：
2017年中考专题复习—辅助圆教学设计 学生情况分析：作为专题复习，初三的学生已经学习了圆的基本知识,掌握了圆的一些有关性质,并对辅助圆有了初步的认识.对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,但从辅助圆这个新的视角解决问题还显得弱了很多.学生对于一些数学问题容易产生想法,但欠缺的是归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会归纳总结,将以前学过的一些知识从一个新的视角研究,简化证明过程.初步形成构造曲线形辅助线的意识. 设计意图：对于平面几何问题,学生常常想到的是构造直线形辅助线来转化条件,从而利用三角形、四边形的知识来解决问题.但辅助线的添加就被局限在直线形,而实际上曲线形辅助线在一些特定条件下,更有利于条件的集中,辅助圆是曲线形辅助线的代表,利用圆，就会让图形的条件更丰富，而学生对此又很少了解，故想借此节课，和学生一起探究，来感受辅助圆的独特.本节课想以一种学生探究，老师引领学生作归纳总结的形式呈现，通过学生思想的碰撞，最终达成共识. 教学目标：1.进一步巩固圆的定义和性质，能够正确利用圆找到符合条件的点所在的位置； 2.通过对例题条件和结论的分析，体会利用圆解决点的轨迹问题，进而掌握利用作圆解决分类讨论问题的方法； 3.逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质. 教学重点：利用辅助圆解决有关问题 教学难点：建立用圆的观点看问题的意识，能够判断出构造圆的条件 教学过程： 画辅助圆即“四点共圆”这类问题一般有两形式：一是要证明某四点共圆（；二是通过某四点共圆来得到一些重要的结果，进而解决问题，下面是与画辅助圆有关的一些基本知识。 1、若干个点与某定点的距离相等，则这些点在同一圆周上（证明多个点到同一个定点的距离相等即可） 2、在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆。（共斜边的两个直角三角形顶点共圆） 3、若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆 4、若点C，D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB，则A，B，C，D四点共圆探究1 1、如图所示，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠BAC=20° ∠CAD=80°，则∠BDC=______度，∠DBC=______度
三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时 A E F A B C D E 1 7-图O
CE 与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， ∵ ?? ???∠=∠=∠=∠)() () (21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE= 2 1 CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ?? ? ??∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1：AB ＝DC ，∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB 。 分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ，所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得证。 证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，连接NB ，NM ，NC 。则AN=DN ，BM=CM ，在△ABN 和△DCN 中 ∵ ?? ???=∠=∠=)() () (已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN 1 11-图D C B A M N
【2017】23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时． （1）求弦AC的长； （2）求证：BC∥PA． 【2016】23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF ∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G． 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BC?BG．
【2014】23、（本题满分是8分） 如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)求AC的长。 A B D O C (第23题图)
【2013】23、（本题满分8分）如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF,并分别延长交直线l 于B 、C 两点， （1）求证：∠ABC+∠ACB=0 90 （2）当⊙O 得半径R=5，BD=12时，求tan ACB 的值. 【2012】23．（8分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ． （1）求证：OM=AN ； （2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长． （第23题图）
【2011】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，0 60B =∠,⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D (1) 求证：AP=AC (2) 若AC=3，求PC 的长 【2010】23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE （1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径
2019-2020 年中考数学专题初中几何辅助线的几种常见添法培优试题 一、由角平分线想到的辅助线 1、截取构全等 例1：如图 1， AB∥ CD， BE 平分∠ ABC， CE平分∠ BCD，点 E 在 AD上。求证： BC=AB+CD。例2：已知，如图 2，AB=2AC，∠ BAD=∠ CAD， DA=DB。求证： DC⊥ AC。 例 3：如图 3，在△ ABC中，∠ C=2∠ B， AD平分∠ BAC。求证： AB-AC=CD。 2、角平分钱上的点向角两边作垂线构全等
例1：如图 4，已知 AB>AD，∠ BAC=∠ FAC， CD=BC。求证：∠ ADC+∠ B=180° 例 2：已知，如图5，△ ABC的角平分线BM、 CN相交于点P，求证：∠ BAC的平分线也经过点P。 3、作角平分线的垂线构造等腰三角形 例1：已知，如图 6，∠ BAD=∠ DAC， AB>AC， CD⊥ AD于 D，H 是 BC的中点。 1 求证： DH( AB AC) 例 2：如图 7， AB=AC，∠ BAC=90°， BD平分∠ ABC， CE⊥ BE。求证： BD=2CE。
例 3：已知，如图8，在△ ABC中， AD、 AE分别是△ BAC的内、外角平分线，过顶点B作 BF⊥ AD，交AD的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE于 M。 求证： AM=ME。 例 4：已知，如图9，在△ ABC中， AD平分∠ BAC，AD=AB，CM⊥ AD交 AD延长线于 M。 求证： AM 1 ( AB AC) 。 2 二、截长补短法 例 1：如图 10，正方形 ABCD中， E 为 BC上的一点， F 为 CD上的一点， BE+DF=EF。求∠ EAF的度数。
圆的证明与计算 1、如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）当DE=1，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积． 2、如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，求阴影部分的面积． 3、如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB 于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE． （1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明． （2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．
4、已知：如图，△ABC中，内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE． （1）求证：BF与⊙O相切； （2）若BF=5，cosC=，求⊙O的半径． 5、如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B． （1）求证：DA是⊙O切线； （2）求证：△CED∽△ACD； （3）若OA=1，sinD=，求AE的长． 6、如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD 的平行线交BA延长线于点E． （1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论． （2）若BD=4，求阴影部分面积．
7、如图，△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F． （1）求证：AC是⊙O的切线． （2）若∠C=30°，连接EF，求证：EF∥AB； （3）在（2）的条件下，若AE=2，求图中阴影部分的面积． 8、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AC=3，∠B=30°． ①求⊙O的半径； ②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）
初中常见辅助线作法 任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。每种辅助线作法均配备了例题和练习。 三角形部分 1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某 边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE . 证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N 在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有 AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证 有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证： 1 2 (AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， F G N M E D C B A
中考数学有关圆的证明与计算题型解析 有关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、 特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等． 本节主要对其相应的题型总结归纳如下： 类型一、切线的性质 【例题1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C， 过点C 作CE⊥AB，交⊙O 于点E，垂足为点D. (1) 求证：∠PCB＝∠BAC； (2) 过点B 作BM∥PC 交⊙O 于点M，交CD 于点N，连接AM . ①求证：CN＝BN； ②若cos P = 4/5 , CN = 5 , 求AM 的长 .
例题1图 【参考答案】 (1)证明：如解图1 所示，连接OC，交BM 于点F . 解图1 ∵PC 是⊙O 的切线， ∴OC⊥PC . ∴∠PCO＝90°. ∴∠PCB＋∠BCO＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∴∠ACO＋∠BCO＝90°.
∴∠PCB＝∠ACO. ∵OC＝OA， ∴∠ACO＝∠BAC. ∴∠PCB＝∠BAC. (2) 例题1图①证明： ∵BM∥PC， ∴∠CBM＝∠PCB. ∵CE⊥AB， ∴︵BC＝︵BE . ∴∠BAC＝∠BCE. ∵∠PCB＝∠BAC， ∴∠BCE＝∠PCB＝∠CBM.
∴CN＝BN. ②解： 例题1图∵BM∥PC， ∴∠MBA＝∠P. ∴cos ∠MBA＝cos P＝4/5 . 在Rt △BDN 中， cos ∠MBA＝BD / BN＝4/5，BN＝CN＝5，∴BD＝4. ∴CD＝CN＋ND＝8. 在Rt △OCD 中，设OC＝r， 则OD＝OB－BD＝r－4.