一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.
(1)求证:AE=BF;
(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;
(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.
【答案】(1)(2)见解析;(3)9
【解析】
分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=1
2
AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的
余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;
(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;
(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的长,由GE+ED求出GD的长,根据三角形的面积公式计算即可.
详解:(1)连接BD.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°.
∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴AD=DC=BD=1
2
AC,∠CBD=∠C=45°,
∴∠A=∠FBD.
∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°.
∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB.在△AED和△BFD中,
A FBD
AD BD
EDA FDB
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
,
∴△AED≌△BFD(ASA),∴AE=BF;
(2)连接EF,BG.
∵△AED≌△BFD,∴DE=DF.
∵∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°.
∵∠G=∠A=45°,∴∠G=∠DEF,∴GB∥EF,∴∠FEB=∠GBA.
∵∠GBA=∠GDA,∴∠FEB=∠GDA;
(3)∵AE=BF,AE=2,∴BF=2.在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∴根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2.
∵EB=4,BF=2,∴EF=22
42
+=25.
∵△DEF为等腰直角三角形,∠EDF=90°,∴cos∠DEF=
DE
EF
.
∵EF=25,∴DE=25×
2
=10.
∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,∴△GEB∽△AED,∴
GE
AE
=
EB
ED
,即GE?ED=AE?EB,
∴10?GE=8,即GE=410,则GD=GE+ED=910.
∴119101
109
2252
S GD DF GD DE
=??=??=??=.
点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.
2.矩形ABCD中,点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点,如图1,点A在原点处,点B在y轴正半轴上,点C在第一象限,若点A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,点B随之沿y轴下滑,并带动矩形ABCD在平面内滑动,如图2,设运动时间表示为t秒,当点B到达原点时停止运动.
(1)当t=0时,点F的坐标为;
(2)当t =4时,求OE 的长及点B 下滑的距离; (3)求运动过程中,点F 到点O 的最大距离;
(4)当以点F 为圆心,FA 为半径的圆与坐标轴相切时,求t 的值.
【答案】(1)F (3,4);(2)8-43;(3)7;(4)t 的值为245
或325. 【解析】
试题分析:(1)先确定出DF ,进而得出点F 的坐标; (2)利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°,即可得出结论;
(3)当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,即可得出结论; (4)分两种情况,利用相似三角形的性质建立方程求解即可.
试题解析:解:(1)当t =0时.∵AB =CD =8,F 为CD 中点,∴DF =4,∴F (3,4); (2)当t =4时,OA =4.在Rt △ABO 中,AB =8,∠AOB =90°, ∴∠ABO =30°,点E 是AB 的中点,OE =
1
2
AB =4,BO =43,∴点B 下滑的距离为843-.
(3)当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,∴FO=OE+EF=7.
(4)在Rt △ADF 中,FD 2+AD 2=AF 2,∴AF 22FD AD +,①设AO =t 1时,⊙F 与x 轴相切,点A 为切点,∴FA ⊥OA ,∴∠OAB +∠FAB =90°.∵∠FAD +∠FAB =90°,∴∠BAO =∠FAD .∵∠BOA =∠D =90°,∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ,∴
AB AO FA FE =,∴1853
t
=,
∴t1=24
5
,②设AO=t2时,⊙F与y轴相切,B为切点,同理可得,t2=
32
5
.
综上所述:当以点F为圆心,FA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为24
5
或
32
5
.
点睛:本题是圆的综合题,主要考查了矩形的性质,直角三角形的性质,中点的意义,勾股定理,相似三角形的判定和性质,切线的性质,解(2)的关键是得出∠ABO=30°,解(3)的关键是判断出当O、E、F三点共线时,点F到点O的距离最大,解(4)的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD,是一道中等难度的中考常考题.
3.如图.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动,同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动,点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动,在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设点E、F运动的时间为t (s)(0<t<20).
(1)当点H落在AC边上时,求t的值;
(2)设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数表达式;②以
点C为圆心,1
2
t为半径作⊙C,当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值.
【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
;②100cm2.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;
(2)分四种切线讨论a、如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2.b、如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH.分别计算即可;
②分两种情形分别列出方程即可解决问题.
试题解析:解:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意得:AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2
如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.
综上所述:t=2s或10s时,点H落在AC边上.
(2)①如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2
如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2﹣1
2
(5t﹣10)2=﹣
7
2
t2+50t﹣50.
如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣
1
2
(30﹣3t)2=﹣
7
2
t2+50t﹣50.
如图6中,当10
<t<20时,重叠部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.
综上所述:S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(210) 2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
.
②如图7中,当0<t≤5时,1
2
t+3t=15,解得:t=
30
7
,此时S=100cm2,当5<t<20时,
1
2
t+20﹣t=15,解得:t=10,此时S=100.
综上所述:当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值为100cm2
点睛:本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意不能漏解,属于中考压轴题.
4.(1)问题背景
如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),求证:2PA=PB+PC.
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC,这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程:
第一步:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);
第二步:证明Q,B,P三点共线,进而原题得证.
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.
(2)类比迁移
如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如图③,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=4
3
AC,AB⊥AC,垂足
为A,则OC的最小值为.
【答案】(1)证明见解析;(2)OC最小值是32﹣3;(3)3
2
.
【解析】
试题分析:(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①),只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题;
(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,在△BOQ中,利用三边关系定理即可解决问题;
(3)如图③构造相似三角形即可解决问题.作AQ⊥OA,使得AQ=4
3
OA,连接OQ,
BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ=4
3
OC,当BQ最小时,OC最小;
试题解析:(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);
∵BC是直径,∴∠BAC=90°,
∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°,
由旋转可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,
∵∠PCA+∠PBA=180°,∴∠QBA+∠PBA=180°,∴Q,B,P三点共线,
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,∴QP2=AP2+AQ2=2AP2,
∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB,∴2AP=PC+PB.
(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,
∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,
由旋转可得QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC,∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,∴在Rt△OAQ中,2,AO=3 ,∴在△OQB中,BQ≥OQ﹣2﹣3 ,
即OC最小值是2﹣3;
(3)如图③中,作AQ⊥OA,使得AQ=4
3
OA,连接OQ,BQ,OB.
∵∠QAO=∠BAC=90°,∠QAB=∠OAC ,∵QA AB OA AC =4
3
, ∴△QAB ∽OAC ,∴BQ=
4
3
OC , 当BQ 最小时,OC 最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ ﹣OB ,∴OQ≥2,] ∴BQ 的最小值为2, ∴OC 的最小值为34×2=32
, 故答案为
32
. 【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识,能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.
5.如图,在Rt △ABC 中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与BC ,AB 相交于点D ,E ,连接AD .已知∠CAD =∠B . (1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)若CD =2,AC =4,BD =6,求⊙O 的半径.
【答案】(1)详见解析;(235
. 【解析】 【分析】
(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1=∠3,根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ,从而证明AD 为圆O 的切线;(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果 【详解】
(1)证明:连接OD ,
∵OB=OD,
∴∠3=∠B,
∵∠B=∠1,
∴∠1=∠3,
在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,
∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,∴OD⊥AD,
则AD为圆O的切线;
(2)过点O作OF⊥BC,垂足为F,
∵OF⊥BD
∴DF=BF=1
2
BD=3
∵AC=4,CD=2,∠ACD=90°
∴AD22
AC CD
5
∵∠CAD=∠B,∠OFB=∠ACD=90°∴△BFO∽△ACD
∴BF
AC = OB AD
即3
425
∴OB=35
2
∴⊙O35.
【点睛】
此题重点考查学生对直线与圆的位置关系,圆的半径的求解,掌握勾股定理,两三角形相似的判定条件是解题的关键
6.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2,BC=2,求⊙O的半径.
【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O的半径为
6 4
【解析】
【分析】
(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;
(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OA为x,即可得方程
222
3)6)
x x
-=,解此方程即可求得⊙O的半径.
【详解】
解:(1)直线CE与⊙O相切.…
理由:连接OE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB,
∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC,
又∠DCE=∠ACB,
∴∠DEC+∠DAC=90°,
∵OE=OA,
∴∠OEA=∠DAC,
∴∠DEC+∠OEA=90°,
∴∠OEC=90°,
∴OE⊥EC,
∵OE为圆O半径,
∴直线CE与⊙O相切;…
(2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA,
∴
BC AB
DC DE
=, 又CD =AB =2,BC =2, ∴DE =1
根据勾股定理得EC =3, 又226AC AB BC =
+=,…
设OA 为x ,则222(3)(6)x x +=-, 解得6x =
, ∴⊙O 的半径为
6.
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.
7.如图,四边形为菱形,且,以
为直径作
,与
交于点.请
仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作图痕迹)
(1)在如图中,过点作边上的高. (2)在如图中,过点作
的切线
,与
交于点.
【答案】(1)如图1所示.(答案不唯一),见解析;(2)如图2所示.(答案不唯一),见解析. 【解析】 【分析】
(1)连接AC 交圆于一点F ,连接PF 交AB 于点E,连接CE 即为所求. (2)连接OF 交BC 于Q ,连接PQ 即为所求. 【详解】
(1)如图1所示.(答案不唯一)
(2)如图2所示.(答案不唯一)
【点睛】
本题考查作图-复杂作图,菱形和圆的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
8.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.
(1)求证:EF与⊙O相切;
(2)若AE=6,sin∠CFD=3
5
,求EB的长.
【答案】(1)见解析(2)3 2
【解析】
【分析】
()1如图,欲证明EF与O相切,只需证得OD EF
⊥.
()2通过解直角AEF可以求得AF10.
=设O的半径为r,由已知可得△FOD∽△FAE,
继而得到OF OD
AF AE
=,即
10r r
106
-
=,则易求
15
AB AC2r
2
===,所以153
EB AB AE6
22 =-=-=.【详解】
(1)如图,连接OD,
OC OD =,
OCD ODC ∠∠∴=. AB AC =, ACB B ∠∠∴=, ODC B ∠∠∴=, OD //AB ∴,
ODF AEF ∠∠∴=, EF AB ⊥,
ODF AEF 90∠∠∴==,
OD EF ∴⊥,
OD 是O 的半径,
EF ∴与O 相切;
()2由()1知,OD//AB ,OD EF ⊥.
在Rt AEF 中,AE 3
sin CFD AF 5
∠==,AE 6=, 则AF 10=,
OD //AB ,
∴△FOD ∽△FAE ,
OF OD
AF AE
∴
=, 设O 的半径为r , 10r r
106
-∴
=, 解得,15
r 4
=
, 15AB AC 2r 2
∴===
, 153EB AB AE 622
∴=-=
-=. 【点睛】
本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.
9.我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是AFB的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.
(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.
(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.
(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.
【答案】(1)见解析;(2)结论AE=EC+CB不成立,新结论为:CE=BC+AE,见解析;(3)AH313.
【解析】
【分析】
(1)在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,证明△FAG≌△FBC,根据全等三角形的性质得到FG=FC,根据等腰三角形的性质得到EG=EC,即可证明.
(2)在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,证明△FCG≌△FCB,根据全等三角形的性质得到FG=FB,得到FA=FG,根据等腰三角形的性质得到AE=GE,即可证明.
(3)分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.
【详解】
解:(1)如图2,
在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC , ∵点F 是AFB 的中点,FA =FB , 在△FAG 和△FBC 中,
,FA FB FAG FBC AG BC =??
∠=∠??=?
∴△FAG ≌△FBC (SAS ), ∴FG =FC , ∵FE ⊥AC , ∴EG =EC ,
∴AE =AG+EG =BC+CE ;
(2)结论AE =EC+CB 不成立,新结论为:CE =BC+AE , 理由:如图3,
在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC , ∵点F 是AFB 的中点, ∴FA =FB , FA FB =, ∴∠FCG =∠FCB ,
在△FCG 和△FCB 中,,CG CB
FCG FCB FC FC =??
∠=∠??=?
∴△FCG ≌△FCB (SAS ),
∴FG =FB , ∴FA =FG , ∵FE ⊥AC , ∴AE =GE ,
∴CE =CG+GE =BC+AE ;
(3)在Rt △ABC 中,AB =2OA =4,∠BAC =30°,
∴1
2232
BC AB AC =
==,, 当点P 在弦AB 上方时,如图4,
在CA 上截取CG =CB ,连接PA ,PB ,PG , ∵∠ACB =90°, ∴AB 为⊙O 的直径, ∴∠APB =90°, ∵∠PAB =45°, ∴∠PBA =45°=∠PAB , ∴PA =PB ,∠PCG =∠PCB ,
在△PCG 和△PCB 中, ,CG CB PCG PCB PC PC =??
∠=∠??=?
∴△PCG ≌△PCB (SAS ), ∴PG =PB , ∴PA =PG , ∵PH ⊥AC , ∴AH =GH ,
∴AC =AH+GH+CG =2AH+BC , ∴2322AH =+,
∴31AH =, 当点P 在弦AB 下方时,如图5, 在AC 上截取AG =BC ,连接PA ,PB ,PC ,PG ∵∠ACB =90°, ∴AB 为⊙O 的直径, ∴∠APB =90°,
∵∠PAB =45°, ∴∠PBA =45°=∠PAB , ∴PA =PB ,
在△PAG 和△PBC 中,
,AG BC PAG PBC PA PB =??
∠=∠??=?
∴△PAG ≌△PBC (SAS ), ∴PG =PC , ∵PH ⊥AC , ∴CH =GH ,
∴AC =AG+GH+CH =BC+2CH , ∴2322CH ,
=+ ∴31CH =-,
∴(
)
233131AH AC CH =-=-
-=+,
即:当∠PAB =45°时,AH 的长为31- 或3 1.+
【点睛】
考查弧,弦的关系,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等,综合性比较强,注意分类讨论思想方法在解题中的应用.
10.如图,已知△ABC 内接于⊙O ,BC 交直径AD 于点E ,过点C 作AD 的垂线交AB 的延长线于点G ,垂足为F .连接OC . (1)若∠G=48°,求∠ACB 的度数; (2)若AB=AE ,求证:∠BAD=∠COF ;
(3)在(2)的条件下,连接OB ,设△AOB 的面积为S 1,△ACF 的面积为S 2.若
tan ∠CAF=1
2
,求12S S 的值.
【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4
【解析】
【分析】
(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论;
(2)先根据等腰三角形的性质得:∠ABE=∠AEB,再证明∠BCG=∠DAC,可得
CD PB PD
==,则所对的圆周角相等,根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论;
(3)过O作OG⊥AB于G,证明△COF≌△OAG,则OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则
OA=OC=2x-a,根据勾股定理列方程得:(2x-a)2=x2+a2,则a=3
4
x,代入面积公式可得结
论.
【详解】
(1)连接CD,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ACD=90°,
∴∠ACB+∠BCD=90°,
∵AD⊥CG,
∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,
∵∠BAD=∠BCD,
∴∠ACB=∠G=48°;
(2)∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,由(1)得:∠G=∠ACB,
∴∠BCG=∠DAC,
∴CD PB
=,
∵AD是⊙O的直径,AD⊥PC,
∴CD PD
=,
∴CD PB PD
==,