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中考数学 圆的综合综合试题附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)

1.如图,在RtΔABC中,∠ABC=90°,AB=CB,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E是AB边上一点(点E不与点A、B重合),DE的延长线交⊙O于点G,DF⊥DG,且交BC于点F.

(1)求证:AE=BF;

(2)连接EF,求证:∠FEB=∠GDA;

(3)连接GF,若AE=2,EB=4,求ΔGFD的面积.

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【答案】(1)(2)见解析;(3)9

【解析】

分析:(1)连接BD,由三角形ABC为等腰直角三角形,求出∠A与∠C的度数,根据AB 为圆的直径,利用圆周角定理得到∠ADB为直角,即BD垂直于AC,利用直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半,得到AD=DC=BD=1

2

AC,进而确定出∠A=∠FBD,再利用同角的

余角相等得到一对角相等,利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等,利用全等三角形对应边相等即可得证;

(2)连接EF,BG,由三角形AED与三角形BFD全等,得到ED=FD,进而得到三角形DEF为等腰直角三角形,利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行,再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等,即可得出结论;

(3)由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中,利用勾股定理求出EF的长,利用锐角三角形函数定义求出DE的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似,由相似得比例,求出GE的长,由GE+ED求出GD的长,根据三角形的面积公式计算即可.

详解:(1)连接BD.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,∴∠A=∠C=45°.

∵AB为圆O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC,∴AD=DC=BD=1

2

AC,∠CBD=∠C=45°,

∴∠A=∠FBD.

∵DF⊥DG,∴∠FDG=90°,∴∠FDB+∠BDG=90°.

∵∠EDA+∠BDG=90°,∴∠EDA=∠FDB.在△AED和△BFD中,

A FBD

AD BD

EDA FDB

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴△AED≌△BFD(ASA),∴AE=BF;

(2)连接EF,BG.

∵△AED≌△BFD,∴DE=DF.

∵∠EDF=90°,∴△EDF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°.

∵∠G=∠A=45°,∴∠G=∠DEF,∴GB∥EF,∴∠FEB=∠GBA.

∵∠GBA=∠GDA,∴∠FEB=∠GDA;

(3)∵AE=BF,AE=2,∴BF=2.在Rt△EBF中,∠EBF=90°,∴根据勾股定理得:EF2=EB2+BF2.

∵EB=4,BF=2,∴EF=22

42

+=25.

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∵△DEF为等腰直角三角形,∠EDF=90°,∴cos∠DEF=

DE

EF

∵EF=25,∴DE=25×

2

=10.

∵∠G=∠A,∠GEB=∠AED,∴△GEB∽△AED,∴

GE

AE

=

EB

ED

,即GE?ED=AE?EB,

∴10?GE=8,即GE=410,则GD=GE+ED=910.

∴119101

109

2252

S GD DF GD DE

=??=??=??=.

点睛:本题属于圆综合题,涉及的知识有:全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理,圆周角定理,以及平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质是解答本题的关键.

2.矩形ABCD中,点C(3,8),E、F为AB、CD边上的中点,如图1,点A在原点处,点B在y轴正半轴上,点C在第一象限,若点A从原点出发,沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动,点B随之沿y轴下滑,并带动矩形ABCD在平面内滑动,如图2,设运动时间表示为t秒,当点B到达原点时停止运动.

(1)当t=0时,点F的坐标为;

(2)当t =4时,求OE 的长及点B 下滑的距离; (3)求运动过程中,点F 到点O 的最大距离;

(4)当以点F 为圆心,FA 为半径的圆与坐标轴相切时,求t 的值.

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【答案】(1)F (3,4);(2)8-43;(3)7;(4)t 的值为245

或325. 【解析】

试题分析:(1)先确定出DF ,进而得出点F 的坐标; (2)利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°,即可得出结论;

(3)当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,即可得出结论; (4)分两种情况,利用相似三角形的性质建立方程求解即可.

试题解析:解:(1)当t =0时.∵AB =CD =8,F 为CD 中点,∴DF =4,∴F (3,4); (2)当t =4时,OA =4.在Rt △ABO 中,AB =8,∠AOB =90°, ∴∠ABO =30°,点E 是AB 的中点,OE =

1

2

AB =4,BO =43,∴点B 下滑的距离为843-.

(3)当O 、E 、F 三点共线时,点F 到点O 的距离最大,∴FO=OE+EF=7.

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(4)在Rt △ADF 中,FD 2+AD 2=AF 2,∴AF 22FD AD +,①设AO =t 1时,⊙F 与x 轴相切,点A 为切点,∴FA ⊥OA ,∴∠OAB +∠FAB =90°.∵∠FAD +∠FAB =90°,∴∠BAO =∠FAD .∵∠BOA =∠D =90°,∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ,∴

AB AO FA FE =,∴1853

t

=,

∴t1=24

5

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,②设AO=t2时,⊙F与y轴相切,B为切点,同理可得,t2=

32

5

综上所述:当以点F为圆心,FA为半径的圆与坐标轴相切时,t的值为24

5

32

5

点睛:本题是圆的综合题,主要考查了矩形的性质,直角三角形的性质,中点的意义,勾股定理,相似三角形的判定和性质,切线的性质,解(2)的关键是得出∠ABO=30°,解(3)的关键是判断出当O、E、F三点共线时,点F到点O的距离最大,解(4)的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD,是一道中等难度的中考常考题.

3.如图.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=30cm,点P在AB上,AP=10cm,点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动,同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动,点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动,在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧,设点E、F运动的时间为t (s)(0<t<20).

(1)当点H落在AC边上时,求t的值;

(2)设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.①试求S关于t的函数表达式;②以

点C为圆心,1

2

t为半径作⊙C,当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值.

【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=

2

2

2

9?(02)

7

5050(210)

2

40400?(1020)

t t

t t t

t t t

?<≤

?

?

-+-<≤

?

?

-+<<

??

;②100cm2.

【解析】

试题分析:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2;如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10;

(2)分四种切线讨论a、如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2.b、如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN.c、如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN.d、如图6中,当10<t<20时,重叠部分是正方形EFGH.分别计算即可;

②分两种情形分别列出方程即可解决问题.

试题解析:解:(1)如图1中,当0<t≤5时,由题意得:AE=EH=EF,即10﹣2t=3t,t=2

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如图2中,当5<t<20时,AE=HE,2t﹣10=10﹣(2t﹣10)+t,t=10.

综上所述:t=2s或10s时,点H落在AC边上.

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(2)①如图3中,当0<t≤2时,重叠部分是正方形EFGH,S=(3t)2=9t2

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如图4中,当2<t≤5时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(3t)2﹣1

2

(5t﹣10)2=﹣

7

2

t2+50t﹣50.

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如图5中,当5<t<10时,重叠部分是五边形EFGMN,S=(20﹣t)2﹣

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1

2

(30﹣3t)2=﹣

7

2

t2+50t﹣50.

如图6中,当10

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<t<20时,重叠部分是正方形EFGH,S=(20﹣t)2=t2﹣40t+400.

综上所述:S=

2

2

2

9?(02)

7

5050(210) 2

40400?(1020)

t t

t t t

t t t

?<≤

?

?

-+-<≤

?

?

-+<<

??

②如图7中,当0<t≤5时,1

2

t+3t=15,解得:t=

30

7

,此时S=100cm2,当5<t<20时,

1

2

t+20﹣t=15,解得:t=10,此时S=100.

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综上所述:当⊙C与GH所在的直线相切时,求此时S的值为100cm2

点睛:本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,注意不能漏解,属于中考压轴题.

4.(1)问题背景

如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),求证:2PA=PB+PC.

小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC,这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程:

第一步:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);

第二步:证明Q,B,P三点共线,进而原题得证.

请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.

(2)类比迁移

如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.

(3)拓展延伸

如图③,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=4

3

AC,AB⊥AC,垂足

为A,则OC的最小值为.

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【答案】(1)证明见解析;(2)OC最小值是32﹣3;(3)3

2

【解析】

试题分析:(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①),只要证明△APQ 是等腰直角三角形即可解决问题;

(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,在△BOQ中,利用三边关系定理即可解决问题;

(3)如图③构造相似三角形即可解决问题.作AQ⊥OA,使得AQ=4

3

OA,连接OQ,

BQ,OB.由△QAB∽OAC,推出BQ=4

3

OC,当BQ最小时,OC最小;

试题解析:(1)将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);

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∵BC是直径,∴∠BAC=90°,

∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC=45°,

由旋转可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,

∵∠PCA+∠PBA=180°,∴∠QBA+∠PBA=180°,∴Q,B,P三点共线,

∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,∴QP2=AP2+AQ2=2AP2,

∴QP=2AP=QB+BP=PC+PB,∴2AP=PC+PB.

(2)如图②中,连接OA,将△OAC绕点A顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,

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∵AB⊥AC,∴∠BAC=90°,

由旋转可得QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC,∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°,∴在Rt△OAQ中,2,AO=3 ,∴在△OQB中,BQ≥OQ﹣2﹣3 ,

即OC最小值是2﹣3;

(3)如图③中,作AQ⊥OA,使得AQ=4

3

OA,连接OQ,BQ,OB.

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∵∠QAO=∠BAC=90°,∠QAB=∠OAC ,∵QA AB OA AC =4

3

, ∴△QAB ∽OAC ,∴BQ=

4

3

OC , 当BQ 最小时,OC 最小,易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ ﹣OB ,∴OQ≥2,] ∴BQ 的最小值为2, ∴OC 的最小值为34×2=32

, 故答案为

32

. 【点睛】本题主要考查的圆、旋转、相似等知识,能根据题意正确的添加辅助线是解题的关键.

5.如图,在Rt △ABC 中,点O 在斜边AB 上,以O 为圆心,OB 为半径作圆,分别与BC ,AB 相交于点D ,E ,连接AD .已知∠CAD =∠B . (1)求证:AD 是⊙O 的切线;

(2)若CD =2,AC =4,BD =6,求⊙O 的半径.

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【答案】(1)详见解析;(235

. 【解析】 【分析】

(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1=∠3,根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ,从而证明AD 为圆O 的切线;(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果 【详解】

(1)证明:连接OD ,

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∵OB=OD,

∴∠3=∠B,

∵∠B=∠1,

∴∠1=∠3,

在Rt△ACD中,∠1+∠2=90°,

∴∠4=180°﹣(∠2+∠3)=90°,∴OD⊥AD,

则AD为圆O的切线;

(2)过点O作OF⊥BC,垂足为F,

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∵OF⊥BD

∴DF=BF=1

2

BD=3

∵AC=4,CD=2,∠ACD=90°

∴AD22

AC CD

5

∵∠CAD=∠B,∠OFB=∠ACD=90°∴△BFO∽△ACD

∴BF

AC = OB AD

即3

425

∴OB=35

2

∴⊙O35.

【点睛】

此题重点考查学生对直线与圆的位置关系,圆的半径的求解,掌握勾股定理,两三角形相似的判定条件是解题的关键

6.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并说明理由;

(2)若AB=2,BC=2,求⊙O的半径.

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【答案】(1)直线CE与⊙O相切,理由见解析;(2)⊙O的半径为

6 4

【解析】

【分析】

(1)首先连接OE,由OE=OA与四边形ABCD是矩形,易求得∠DEC+∠OEA=90°,即OE⊥EC,即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切;

(2)首先易证得△CDE∽△CBA,然后根据相似三角形的对应边成比例,即可求得DE的长,又由勾股定理即可求得AC的长,然后设OA为x,即可得方程

222

3)6)

x x

-=,解此方程即可求得⊙O的半径.

【详解】

解:(1)直线CE与⊙O相切.…

理由:连接OE,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠B=∠D=∠BAD=90°,BC∥AD,CD=AB,

∴∠DCE+∠DEC=90°,∠ACB=∠DAC,

又∠DCE=∠ACB,

∴∠DEC+∠DAC=90°,

∵OE=OA,

∴∠OEA=∠DAC,

∴∠DEC+∠OEA=90°,

∴∠OEC=90°,

∴OE⊥EC,

∵OE为圆O半径,

∴直线CE与⊙O相切;…

(2)∵∠B=∠D,∠DCE=∠ACB,

∴△CDE∽△CBA,

BC AB

DC DE

=, 又CD =AB =2,BC =2, ∴DE =1

根据勾股定理得EC =3, 又226AC AB BC =

+=,…

设OA 为x ,则222(3)(6)x x +=-, 解得6x =

, ∴⊙O 的半径为

6.

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【点睛】

此题考查了切线的判定与性质,矩形的性质,相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用,注意辅助线的作法.

7.如图,四边形为菱形,且,以

为直径作

,与

交于点.请

仅用无刻度的直尺按下列要求画图.(保留作图痕迹)

(1)在如图中,过点作边上的高. (2)在如图中,过点作

的切线

,与

交于点.

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【答案】(1)如图1所示.(答案不唯一),见解析;(2)如图2所示.(答案不唯一),见解析. 【解析】 【分析】

(1)连接AC 交圆于一点F ,连接PF 交AB 于点E,连接CE 即为所求. (2)连接OF 交BC 于Q ,连接PQ 即为所求. 【详解】

(1)如图1所示.(答案不唯一)

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(2)如图2所示.(答案不唯一)

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【点睛】

本题考查作图-复杂作图,菱形和圆的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

8.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作FE⊥AB于点E,交AC的延长线于点F.

(1)求证:EF与⊙O相切;

(2)若AE=6,sin∠CFD=3

5

,求EB的长.

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【答案】(1)见解析(2)3 2

【解析】

【分析】

()1如图,欲证明EF与O相切,只需证得OD EF

⊥.

()2通过解直角AEF可以求得AF10.

=设O的半径为r,由已知可得△FOD∽△FAE,

继而得到OF OD

AF AE

=,即

10r r

106

-

=,则易求

15

AB AC2r

2

===,所以153

EB AB AE6

22 =-=-=.【详解】

(1)如图,连接OD,

中考数学 圆的综合综合试题附详细答案

OC OD =,

OCD ODC ∠∠∴=. AB AC =, ACB B ∠∠∴=, ODC B ∠∠∴=, OD //AB ∴,

ODF AEF ∠∠∴=, EF AB ⊥,

ODF AEF 90∠∠∴==,

OD EF ∴⊥,

OD 是O 的半径,

EF ∴与O 相切;

()2由()1知,OD//AB ,OD EF ⊥.

在Rt AEF 中,AE 3

sin CFD AF 5

∠==,AE 6=, 则AF 10=,

OD //AB ,

∴△FOD ∽△FAE ,

OF OD

AF AE

=, 设O 的半径为r , 10r r

106

-∴

=, 解得,15

r 4

=

, 15AB AC 2r 2

∴===

, 153EB AB AE 622

∴=-=

-=. 【点睛】

本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等,正确添加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.

9.我们知道,如图1,AB是⊙O的弦,点F是AFB的中点,过点F作EF⊥AB于点E,易得点E是AB的中点,即AE=EB.⊙O上一点C(AC>BC),则折线ACB称为⊙O的一条“折弦”.

(1)当点C在弦AB的上方时(如图2),过点F作EF⊥AC于点E,求证:点E是“折弦ACB”的中点,即AE=EC+CB.

(2)当点C在弦AB的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若成立说明理由;若不成立,那么AE、EC、CB满足怎样的数量关系?直接写出,不必证明.

(3)如图4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为2,过⊙O上一点P作PH⊥AC于点H,交AB于点M,当∠PAB=45°时,求AH的长.

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【答案】(1)见解析;(2)结论AE=EC+CB不成立,新结论为:CE=BC+AE,见解析;(3)AH313.

【解析】

【分析】

(1)在AC上截取AG=BC,连接FA,FG,FB,FC,证明△FAG≌△FBC,根据全等三角形的性质得到FG=FC,根据等腰三角形的性质得到EG=EC,即可证明.

(2)在CA上截取CG=CB,连接FA,FB,FC,证明△FCG≌△FCB,根据全等三角形的性质得到FG=FB,得到FA=FG,根据等腰三角形的性质得到AE=GE,即可证明.

(3)分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.

【详解】

解:(1)如图2,

中考数学 圆的综合综合试题附详细答案

在AC 上截取AG =BC ,连接FA ,FG ,FB ,FC , ∵点F 是AFB 的中点,FA =FB , 在△FAG 和△FBC 中,

,FA FB FAG FBC AG BC =??

∠=∠??=?

∴△FAG ≌△FBC (SAS ), ∴FG =FC , ∵FE ⊥AC , ∴EG =EC ,

∴AE =AG+EG =BC+CE ;

(2)结论AE =EC+CB 不成立,新结论为:CE =BC+AE , 理由:如图3,

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在CA 上截取CG =CB ,连接FA ,FB ,FC , ∵点F 是AFB 的中点, ∴FA =FB , FA FB =, ∴∠FCG =∠FCB ,

在△FCG 和△FCB 中,,CG CB

FCG FCB FC FC =??

∠=∠??=?

∴△FCG ≌△FCB (SAS ),

∴FG =FB , ∴FA =FG , ∵FE ⊥AC , ∴AE =GE ,

∴CE =CG+GE =BC+AE ;

(3)在Rt △ABC 中,AB =2OA =4,∠BAC =30°,

∴1

2232

BC AB AC =

==,, 当点P 在弦AB 上方时,如图4,

中考数学 圆的综合综合试题附详细答案

在CA 上截取CG =CB ,连接PA ,PB ,PG , ∵∠ACB =90°, ∴AB 为⊙O 的直径, ∴∠APB =90°, ∵∠PAB =45°, ∴∠PBA =45°=∠PAB , ∴PA =PB ,∠PCG =∠PCB ,

在△PCG 和△PCB 中, ,CG CB PCG PCB PC PC =??

∠=∠??=?

∴△PCG ≌△PCB (SAS ), ∴PG =PB , ∴PA =PG , ∵PH ⊥AC , ∴AH =GH ,

∴AC =AH+GH+CG =2AH+BC , ∴2322AH =+,

∴31AH =, 当点P 在弦AB 下方时,如图5, 在AC 上截取AG =BC ,连接PA ,PB ,PC ,PG ∵∠ACB =90°, ∴AB 为⊙O 的直径, ∴∠APB =90°,

∵∠PAB =45°, ∴∠PBA =45°=∠PAB , ∴PA =PB ,

在△PAG 和△PBC 中,

,AG BC PAG PBC PA PB =??

∠=∠??=?

∴△PAG ≌△PBC (SAS ), ∴PG =PC , ∵PH ⊥AC , ∴CH =GH ,

∴AC =AG+GH+CH =BC+2CH , ∴2322CH ,

=+ ∴31CH =-,

∴(

)

233131AH AC CH =-=-

-=+,

即:当∠PAB =45°时,AH 的长为31- 或3 1.+

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【点睛】

考查弧,弦的关系,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等,综合性比较强,注意分类讨论思想方法在解题中的应用.

10.如图,已知△ABC 内接于⊙O ,BC 交直径AD 于点E ,过点C 作AD 的垂线交AB 的延长线于点G ,垂足为F .连接OC . (1)若∠G=48°,求∠ACB 的度数; (2)若AB=AE ,求证:∠BAD=∠COF ;

(3)在(2)的条件下,连接OB ,设△AOB 的面积为S 1,△ACF 的面积为S 2.若

tan ∠CAF=1

2

,求12S S 的值.

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【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4

【解析】

【分析】

(1)连接CD,根据圆周角定理和垂直的定义可得结论;

(2)先根据等腰三角形的性质得:∠ABE=∠AEB,再证明∠BCG=∠DAC,可得

CD PB PD

==,则所对的圆周角相等,根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论;

(3)过O作OG⊥AB于G,证明△COF≌△OAG,则OG=CF=x,AG=OF,设OF=a,则

OA=OC=2x-a,根据勾股定理列方程得:(2x-a)2=x2+a2,则a=3

4

x,代入面积公式可得结

论.

【详解】

(1)连接CD,

∵AD是⊙O的直径,

∴∠ACD=90°,

∴∠ACB+∠BCD=90°,

∵AD⊥CG,

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,

∵∠BAD=∠BCD,

∴∠ACB=∠G=48°;

(2)∵AB=AE,

∴∠ABE=∠AEB,

∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,由(1)得:∠G=∠ACB,

∴∠BCG=∠DAC,

∴CD PB

=,

∵AD是⊙O的直径,AD⊥PC,

∴CD PD

=,

∴CD PB PD

==,

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