高数定理大解析必背

高等数学定理大解析-考研必捋版

（考研大纲要求范围+高数重点知识）

第一章函数与极限

1、函数的有界性

在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界；

有界，却不能断定数列

n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而

●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列

也有可能是收敛的。

4、函数的极限

函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f (x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。

定理（极限的局部保号性）如果lim (x→x0)时f(x)=A，而且A>0（或A<0），就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域

6、极限存在准则

●两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→

∞）（1+1/x）x=1。

●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：

yn ≤xn ≤zn且lim yn = a，lim zn = a，那么lim xn = a，对于

函数该准则也成立。

●单调有界数列必有极限。

7、函数的连续性

●设函数y= f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果

●定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x= f(y)在对应的区间Iy={ y| y = f(x),x ∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是

连续的。

●定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小

值。

●定理（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该

1、导数存在的充分必要条件

●函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0

处的左极限

lim（h→-0） [f(x0+h)- f(x0)]/h及右极限lim（h→+0） [f(x0+ h)- f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存

在相等。

2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函

数f(x)在点x0处连续

≠>在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而

不是充分条件。

少有一点ξ（a<ξ

3、定理（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间（a,b）内可导，且F’(x)在（a,b）内的

每一点处均不为零，那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[ F(b)-F(a)]= f’(ξ)/ F’(ξ)成立。

4、洛必达法则应用条件

●只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、0

0、1∞、∞0等形式。

内的一个点，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x, f(x)< f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值；如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x, f(x)> f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值。

●在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点必定是它的驻点（导数为0的点），但函数的驻点却不一定是极值点。

●定理（函数取得极值的必要条件）设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零，

（1）当f’’(x0)<0时，函数f(x)在x0处取得极大值；

（2）当f’’(x0)>0时，函数f(x)在x0处取得极小值；

●驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。

7、函数的凹凸性及其判定

设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1,x2恒有f

[(x1+x2)/2]<

[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹的；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上

图形是凸的。

●在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，

这些点也要作为分点。

第四章不定积分

1、原函数存在定理

●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I 上存在可导函数F（x），使对任一x∈I都有F’（x）= f(x)；简单的

说连续函数一定有原函数。

●分部积分发

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以

(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质

●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)

dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最

小值，则

m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积

公式S=R2θ/2)

●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲

线的方程）

●平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA（x）dx,

其中A（x）为截面面积）

●功、水压力、引力

●函数的平均值（平均值y=1/(b-a)* ∫abf(x)dx）

●性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的多

元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。

●性质（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之

间的任何值至少一次。

3、多元函数的连续与可导

如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P

续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令f xx(x0,y0)=0=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=C，则f(x,y)在点(x0,

y0)处是否取得极值的条件如下：

（1） AC-B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>

0时有极小值；

（2） AC-B2<0时没有极值；

（3） AC-B2=0时可能有也可能没有。

7、多元函数极值存在的解法

（1）解方程组fx(x,y)=0，fy(x,y)=0求的一切实数解，

●平面薄片的重心坐标（x=1/A∫∫x dσ,y=1/A∫∫y

dσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D的面积。

●平面薄片的转动惯量（Ix=∫∫y2ρ(x,y) dσ, Iy=

∫∫x2ρ(x,y) dσ;其中ρ(x,y)为在点(x,y)处的密度。

●平面薄片对质点的引力（Fx Fy Fz）

2、二重积分存在的条件

当f(x,y)在闭区域D上连续时，极限存在，故函数f(x,y)在D上的

二重积分必定存在。

3、二重积分的一些重要性质

素dxdy换成极坐标系中的面积元素rdrdθ。

高等数学证明方法

（3）反证法 这种证法是从反面考虑问题。先假设在已知条件成立的情况下，要证的结论不成立，而后从已知条件出发，运用基本概念和基本定理，通过逻辑推理导出矛盾（或与已知条件矛盾；或与某一已知概念、公式、公理、定理等矛盾；或自相矛盾等），这样则否定假设，从而肯定原结论正确。 例如，证明不是的多项式. 事实上，利用反证法，设是的多项式，不妨记此多项式为次多项式，即，则有 于是次多项式有无穷多个不同实根，这与次多项式最多只有个不同实根相矛盾，由此证明了不是的多项式. 又如，证明不存在（为自然数）. 事实上，利用反证法，假设存在且设，则有 又因为 所以有 故 这与产生矛盾，因此不存在. （2）分析法 这种方法基本思路是逆着想。先假设结论正确，运用已有的定义、定理、公式、性质，从后向前一步一步地分析，直至推出已知条件，即由结论找需知，再找需知，……，直至已知。这种“执果溯因”的方法，叫做分析法。 分析法是探求证题途径的重要方法之一。它的优点在于思考过程比较自然，目的明确，较为容易找到证明的思路，但缺点是分析的过程叙述起来往往比较繁琐，因而过程多在草稿纸上进行，不正式写出。在实际解题时，特别对于一些较难的问题，常常先用分析法寻找解题的途径，然后再用综合法叙述解题过程，这种方法也可叫做分析综合法。 例如，设在时连续，且；而在时有单调递增导数，试证在时是单调递增的。 事实上，欲证为单调递增，只需证明就行了，而由于 因此就归结为证明. 利用拉格朗日中值定理及已知条件，有 单调递增 因此在时是单调递增的. 又如，用极限定义证明一数列或函数有已知极限时，多采用分析综合法证明。比如证明，其方法如下： ，欲使不等式成立， 由 所以只需，即成立. 取，于是当时，就有，从而保证了希望的不等式成立. 综合以上分析，就有 ，当时，，根据极限定义，有

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高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

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若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过 程中体现出来的基本思路，适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证，那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑 在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式，移项即可。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗 尔定理的结果。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子 是哪个函数求导后，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现 场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁。当然，构造辅助函 数远比破案要简单，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值 换成x，再对得到的函数求不定积分。 2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。 几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的.较为 陌生。实际上，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公 式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急 功近利的心态只关注结论怎么用，而不关心结论怎么来的，那很可 能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动。 这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习，那些真题中 未考过的重要结论的证明，有可能考到，不要放过。 当然，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写 出一个极限式子。该极限为“0分之0”型，但不能用洛必达法则， 因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。 利用数学上常用的拼凑之法，加一项，减一项。这个“无中生有” 的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限，不难得出结果。再由x0的任意性，便得到了 f(x)*g(x)在任意点的导数公式。 类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续，结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面，并把

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微积分基本定理的证明

理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林

摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明

ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof

初中数学所有几何证明定理

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积化和差 1 ? sin a in a = c[sin( a+ B ) sin( a- B )] cos a os a=~Ssin( a+ B -sin( a- B )] 1 cos a os a = c[cos( a+ B + COS(a- B )] 1 sin a in a=,-s[cos( a+ B - cos( a- B )] 倍角公式(部分)：很重要！ sin2 a = 2 2sin a sin a= ? (tan a+ cot ao cos2 a ==cos2a- sin2a= 2cos2a-1 = 1- 2sin2a tan2 a= 2ta n a 1-tan2a 、函数 函数的特性：

高等数学定理及性质集锦

专升本高数定理及性质集锦 1、数列极限的存在准则 定理1（两面夹准则）若数列{x n},{y n},{z n}满足以下条件： （1），（2），则 定理2 若数列{x n}单调有界，则它必有极限。 2、数列极限的四则运算定理 （1） （2） （3）当时， 推论：（1） （2），（3） 3、当x→x0时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是 这就是说：如果当x→x0时，函数f（x）的极限等于A，则必定有左、右极限都等于A。 反之，如果左、右极限都等于A，则必有。 4、函数极限的定理 定理1（惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。 定理2（两面夹定理）设函数在点的某个邻域内（可除外）

满足条件： （1），（2），则有。 5、无穷小量的基本性质 性质1有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； 性质2有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 性质3有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 性质4无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。 6、等价无穷小量代换定理： 如果当时，均为无穷小量，又有且 存在，则。 7、重要极限Ⅰ 8、重要极限Ⅱ是指下面的公式： 9、（2）（3） 10、函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。

定理1（四则运算）设函数f（x），g（x）在x0处均连续，则 （1）f（x）±g（x）在x0处连续， （2）f（x）·g（x）在x0处连续 （3）若g（x0）≠0，则在x0处连续。 定理2（复合函数的连续性）设函数u=g（x）在x= x0处连续，y=f（u）在u0=g（x0）处连续，则复合函数y=f[g（x）]在x= x0处连续。 定理3（反函数的连续性）设函数y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少） 11、闭区间上连续函数的性质 在闭区间[a，b]上连续的函数f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1（有界性定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）必在[a，b]上有界。 定理2（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。 定理3（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数C，在[a，b]上至少存在一个ξ，使得 f（ξ）=C. 12、零点定理如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号，则在[a， b]内至少存在一个点ξ，使得f（ξ）=0. 13、初等函数的连续性 定理初等函数在其定义的区间内连续。 利用初等函数连续性的结论可知：如果f（x）是初等函数，且x0是定义区间内的点，则 f（x）在x0处连续 也就是说，求初等函数在定义区间内某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。 14、可导与连续的关系 定理如果函数y=f（x）在点x0处可导，则它在x0处必定连续。 15、由上一个定理可知：若函数f（x）在x0不连续，则f（x）在x0处必定不可导。 16、导数的计算 a、导数的四则运算法则 设u=u（x），v=v（x）均为x的可导函数，则有 （1）（u±v）'=u'±v' （2）（u·v）'=u'·v+u·v' （3）（cu）'=c·u' （4） （5） （6）（u·v·w）'=u'·v·w+u·v'·w+u·v·w'

关于高等数学常见中值定理证明及应用

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

(word完整版)高等数学公式定理整理

高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α

积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1x2,那么就是单调减少函数。 3.奇偶性

高等数学-中值定理证明

第三章中值定理证明

1.闭区间上连续函数定理① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ① ② ③ ④ 3.积分中值定理 ① ② 不等式证明思路 ①构造函数（利用极值） ②拉格朗日中值定理 ③函数凹凸性定义

1.若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0 f f ξλξ'+=2.设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)() b a ae be e a b ξξ-=--3.设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得：()0 F ξ''=4.设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+.

5.若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

关于高等数学常用公式大全

高数常用公式 平方立方： 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2 A )=2cos 1A - cos( 2 A )=2cos 1A + tan( 2 A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2 b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos ) sin(+ 积化和差 sinasinb = -21 [cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21 [cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21 [sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1 [sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π -a) = cosa cos(2π -a) = sina sin(2π +a) = cosa cos(2 π +a) = -sina sin(π-a) = sina c os(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式

高等数学重要定理及公式

高等数学重要定理及公式

作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word 及MathType 输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 1.矩阵与其转置矩阵关系：E A AA =* 2.矩阵行列式：*1 1A A A =- 1*-=n A A *1*)(A k kA n -= ? ? ??? ?????=-=-<=n A r n n A r n A r A r )(,1)(,11)(,0)(* 3.矩阵与其秩：{}()min (),()()()() (,)()() (,)max(()()) r AB r A r B r A B r A r B r A B r A r B r A B r A r B ≤+≤+≤+≥+ 4.齐次方程组0=Ax ：非0解?线性相关?n A R =)( 5.非齐次方程组b Ax =：有解??=)()(A R A R 线性表出 6.相似与合同：相似—n 阶可逆矩阵A,B 如果存在可逆矩阵P 使得B AP P =-1 则A 与B 相 似，记作：B A ~；合同—A,B 为n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵C 使得AC C B T =则称A 与B 合同。（等价，A 与B 等价—A 与B 能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：λαα=A ，求解过程：求行列式0=-A E λ 中参数λ即为特征值，再求解0)(=-x A E i λ即可求出对应的特征向量。矩阵A 的特征值与A 的主对角元及 行列式之间有以下关系：? ? ? ???????==∑∑A a n n ii n i λλλλ...2111。上式中∑==n i ii a A 1)(tra 称为矩阵的迹。 8.特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A 的互异特征值对应的特征向 量线性无关；若n 阶矩阵的特征值都是单特征根，则A 能与对角矩阵相似；n 阶矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A 的每一个i k 重特征根，齐次方程组0)(=-x A E i λ的基础解析由i k 个解向量组成即对应每一个i k 重特征根i λi i k n A E R -=-)(λ。 9.实对称矩阵的特征值都是实数，如果A 为一个实对称矩阵，那么对应于A 的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n 阶实对称矩阵A 都存在一个n 阶正交矩阵C ，使得 AC C AC C T 1-=为对称矩阵。

高数中需要掌握证明过程的定理

高数中的重要定理与公式及其证明（一） 考研数学中最让考生头疼的当属证明题，而征服证明题的第一关就是教材上种类繁多的定理证明。如果本着严谨的对待数学的态度，一切定理的推导过程都是应该掌握的。但考研数学毕竟不是数学系的考试，很多时候要求没有那么高。而有些定理的证明又过于复杂，硬要要求自己掌握的话很多时候可能是又费时又费力，最后还弄得自己一头雾水。因此，在这方面可以有所取舍。 应深受大家敬佩的静水深流力邀，也为了方便各位师弟师妹复习，不才凭借自己对考研数学的一点了解，总结了高数上册中需要掌握证明过程的公式定理。这些证明过程，或是直接的考点，或是蕴含了重要的解题思想方法，从长远来看都是应当熟练掌握的。 由于水平有限，总结不是很全面，但大家在复习之初，先掌握这些公式定理证明过程是必要的。 1）常用的极限 0ln(1)lim 1x x x →+=，01lim 1x x e x →-=，01lim ln x x a a x →-=，0(1)1lim a x x a x →+-=，201cos 1lim 2x x x →-= 【点评】：这几个公式大家在计算极限的过程中都再熟悉不过了，但有没有人想 过它们的由来呢？事实上，这几个公式都是两个重要极限1 lim (1 )x x x e →+=与0sin lim 1x x x →=的推论，它们的推导过程中也蕴含了计算极限中一些很基本的方法技 巧。 证明： 0ln(1)lim 1x x x →+=：由极限1 0lim(1)x x x e →+=两边同时取对数即得0ln(1)lim 1x x x →+=。 01 lim 1x x e x →-=：在等式0ln(1)lim 1x x x →+=中，令ln(1)x t +=，则1t x e =-。由于极限过程是0x →，此时也有0t →，因此有0 lim 11 t t t e →=-。极限的值与取极限的符号是无关的，因此我们可以吧式中的t 换成x ，再取倒数即得01 lim 1x x e x →-=。 01lim ln x x a a x →-=：利用对数恒等式得ln 0011 lim lim x x a x x a e x x →→--=，再利用第二个极限可得ln ln 0011lim ln lim ln ln x a x a x x e e a a x x a →→--==。因此有01 lim ln x x a a x →-=。

大学高数常用公式大全

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

证明微积分基本公式

定义（定积分） 设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。 上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定： （1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ； （2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。 可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。 定理1（可积的必要条件） 如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。 定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。 引理（微分中值定理） 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。 设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。 证明：