空间内插方法比较-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
一、空间数据的插值
用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，亦既数据集合是由感兴趣的区域内的随机点或规则网点上的观测值组成的。但有时用户却需要获取未观测点上的数据，而已观测点上的数据的空间分布使我们有可能从已知点的数据推算出未知点的数据值。
在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。
空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据，而空间位置越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。下面介绍一些常用的内插方法。
1、边界内插
使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。
边界内插的方法之一是泰森多边形法。泰森多边形法的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。如图4-6-1所示。
泰森多边形的生成算法见§。
2、趋势面分析
趋势面分析是一种多项式回归分析技术。多项式回归的基本思想是用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标X、Y为独立变量，而表示特征值的Z坐标为因变量。
当数据为一维时，可用回归线近似表示为：
其中，a0、a1为多项式的系数。当n个采样点方差和为最小时，则认为线性回归方程与被拟合曲线达到了最佳配准，如图4-6-2左图所示，即：
当数据以更为复杂的方式变化时，如图4-6-2右图所示。在这种情况下，需要用到二次或高次多项式：
（二次曲线）
在GIS中，数据往往是二维的，在这种情况下，需要用到二元二次或高次多项式：
（二次曲面）
多项式的次数并非越高越好，超过3次的多元多项式往往会导致奇异解，因此，通常使用二次多项式。趋势面是一种平滑函数，难以正好通过原始数据点，除非数据点数和多项式的系数的个数正好相同。这就是说，多重回归中的残差属正常分布的独立误差，而且趋势面拟合产生的偏差几乎都具有一定程度的空间非相关性。
3、局部内插
在GIS中，实际的连续空间表面很难用一种数学多项式来描述，因此，往往使用局部内插技术，即利用局部范围内的已知采样点的数据内插出未知点的数据。常用的有线性内插、双线性多项式内插、双三次多项式（样条函数）内插。
(1)、线性内插
线性内插的多项式函数为：
只要将内插点周围的3个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2 。
(2)、双线性多项式内插
双线性多项式内插的多项式函数为：
只要将内插点周围的4个数据点的数据值带入多项式，即可解算出系数a0、a1、a2、a3 。
如果数据是按正方形格网点布置的（如图4-6-3），则可用简单的公式即可计算出内存点的数据值。
设正方形的四个角点为A、B、C、D，其相应的特征值为Z A、Z B、Z C、Z D，P点相对于A点的坐标为dX、dY，则插值点的特征值Z为：
(3)、双三次多项式（样条函数）内插
双三次多项式是一种样条函数。样条函数是一种分段函数，对于n次多项式，在边界处其n-1阶导数连续。因此，样条函数每次只用少量的数据点，故内插速度很快；样条函数通过所有的数据点，故可用于精确的内插，可以保留微地貌特征；样条函数的n-1阶导数连续，故可用于平滑处理。
双三次多项式内插的多项式函数为：
将内插点周围的16个点的数据带入多项式，可计算出所有的系数。
4、移动平均法
在未知点X处内插变量Z的值时，最常用的方法之一是在局部范围（或称窗口）内计算个数据点的平均值。既：
对于二维平面的移动平均法也可用相同的公式，但位置X i应被坐标矢量X i代替。
窗口的大小对内插的结果有决定性的影响。小窗口将增强近距离数据的影响；大窗口将增强远距离数据的影响，减小近距离数据的影响。
当观测点的相互位置越近，其数据的相似性越强；当观测点的相互位置越远，其数据的相似性越低。因此，在应用移动平均法时，根据采样点到内插点的距离加权计算是很自然的。这就是加权移动平均法，即：
其中，λi是采样点i对应的权值，常取的形式有：
加权平均内插的结果随使用的函数及其参数、采样点的分布、窗口的大小等的不同而变化。通常使用的采样点数为6—8点。对于不规则分布的采样点需要不断地改变窗口的大小、形状和方向，以获取一定数量的采样点。
空间内插方法比较(空间统计学)
摘要：空间内插可以分为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。介绍了每一种方法的适用范围、算法和优缺点。指出没有绝对最优的空间内插方法，必须对数据进行空间探索分析，根据数据的特点，选择最优方法；同时，应对内插结果做严格的检验。开发通用空间内插软件、智能化内插以及加强相关基础研究将是空间内插研究的重点。
1 空间内插
根据已知地理空间的特性探索未知地理空间的特性是许多地理研究的第一步，也是地理学的基本问题。常规方法无法对空间中所有点进行观测，但是我们可以获得一定数量的空间样本，这些样本反映了空间分布的全部或部分特征，并可以据此预测未知地理空间的特征。在这一意义上，空间内插可以被定义为根据已知的空间数据估计（预测）未知空间的数据值。其目标可以归纳为：①缺值估计：估计某一点缺失的观测数据，以提高数据密度；②内插等值线：以等值线的形式直观地显示数据的空间分布；③数据格网化：把无规则分布的空间数据内插为规则分布的空间数据集，如规则矩形格网、三角网等。
空间内插对于观测台站十分稀少，而台站分布又非常不合理的地区具有十分重要的实际意义。这些地区的常规观测常常不能满足要求，在这种情况下，利用有限的常规观测估计合理的空间分布，或尽可能地提高数据密度就成为迫切要求。在这些方面，缺值估计和数据格网化将发挥重要的作用。
(1) 缺值估计。各种科学考察中形式多样的短期观测是提高数据观测密度的重要方式，无形中起到了加密台站的作用；而且由于这些考察常常到达人迹罕至的高海拔和极地等区域，有助于了解区域内观测变量的完整空间分布。但是，这些观测序列往往很短，短则数十天，长不过几年。如何利用周围台站的长序列观测资料和短期观测本身的信息，将观测变量插补到长序列是一个重要问题。
(2) 数据格网化。规则格网能够更好地反映连续分布的空间现象，并对他们的变化作出模拟。现代地球科学模型和气候模型，如GCM（一般环流模型），都要求与GIS数据模型和遥感数据高度兼容的空间数据
集。格网化的数据，尤其是规则矩形格网，已成为目前地学模型的主要数据形式。因此，对已知观测台站的观测数据进行空间内插，得到格网化数据是模型的第一步。
空间内插一般包括这样几个过程：①内插方法（模型）的选择；②空间数据的探索分析，包括对数据的均值、方差、协方差、独立性和变异函数的估计等；③内插方法评价；④重新选择内插方法，直到合理；⑤内插。
因此，通过比较而选择一个合用的、适合于数据空间分布特点的内插方法是空间内插的关键。本文将空间内插分类为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法，通过比较研究，指出每一种方法的适用范围、算法和优缺点。
2 空间内插方法比较
空间内插可依据：①确定或随机；②点与面；③全局或局部等标准分类。本文依据内插方法的基本假设和数学本质，把空间内插分类为以下几种方法。
几何方法
是最简单的空间内插方法。几何方法基于“地理学第一定律”的基本假设，即邻近的区域比距离远的区域更相似。几何方法的优点是计算开销少，具有普适性，不需要根据数据的特点对方法加以调整。当样本数据的密度足够大时，几何方法一般能达到满意的精度。几何方法的最大问题是，无法对误差进行理论估计。最常用的几何方法有泰森多边形（最近距离法）和反距离加权方法。
2.1.1泰森多边形（最近距离法）
泰森多边形用于生成“领地”或控制区域。实际上，尽管泰森多边形产生于气候学领域，它却特别适合于专题数据的内插，因为它生成专题与专题之间明显的边界，不会有不同级别之间的中间现象。泰森多边形的算法非常简单，未采样点的值等于与它距离最近的采样点的值。
2.1.2反距离加权方法
反距离加权法是最常用的空间内插方法之一。它认为与未采样点距离最近的若干个点对未采样点值的贡献最大，其贡献与距离成反比。可用下式表示：
(1) 式中，Z是估计值，Zi是第i（i=1，…，n）个样本，Ｄi是距离，p是距离的幂，它显着影响内插的结果，它的选择标准是最小平均绝对误差。Husar等的研究结果表明，幂越高，内插结果越具有平滑的效果。
统计方法
其基本假设是，一系列空间数据相互相关，预测值的趋势和周期是与它相关的其它变量的函数。统计方法的优点是计算开销不大，有一定的理论基础，能够对误差作出整体上的估计。但是，其前提是一定要有好的采样设计，如果采样过程不能反映出表面变化的重要因素，如周期性和趋势，则内插一定不能取得好的效果。常用的统计方法有趋势面方法和多元回归方法。
2.2.1趋势面
趋势面根据有限的观测数据拟合曲面，进行内插。它适用于：①能以空间的视点诠释趋势和残差；②观测有限，内插也基于有限的数据。当趋势和残差分别能与区域和局部尺度的空间过程相联系时，趋势面分析最有用。
趋势面方法可以被定义为：y=Aθ+e (2)
式中，y是n×1维矩阵，对应于n个样本；A是n个样本的坐标矩阵；θ是趋势面参数矩阵。A和θ依赖于趋势面的次数。趋势面的次数是它最重要的特征。
e是残差，通常是一个独立随机变量。当残差是随机独立时，统计检验有效；但实际上，趋势面中的残差常是自相关（特别是趋势面的次数较低时），因此，检验是显着有偏差的。残差的空间自相关可以用随机过程模型模拟。
由于趋势面的以上特性，它的目标有时并非最佳拟合，而是把数据分成区域趋势组分和局部的残差。
2.2.2多元回归
在各种统计方法中，使用较多的是回归分析，其特点是不需要分布的先验知识。
多元回归在数学形式上与趋势面很相似，但是，它们又有着显着的不同。首先，在趋势面分析中，A是坐标矩阵，而在回归分析中，它可以是任意变量。其次，在趋势面方法中，模型的拟合严格地遵从自常数、一次、二次、立方等的顺序，主要的问题是确定模型的次数，因此，趋势面分析有内在的多重共线性问题；而在多元回归中，尽管也存在多重共线性，但它并非内在的，可以通过逐步回归解决，因此，相对于趋势面的选择次数，多元回归的核心问题是选择变量（主成分分析等方法有助于选择变量）和区分模型。
空间统计（Geostatistics）方法
空间统计又称地质统计学，于20世纪50年代初开始形成，60年代在法国统计学家Matheron的大量理论研究工作基础上逐渐趋于成熟。其基本假设是建立在空间相关的先验模型之上的。假定空间随机变量具有二阶平稳性，或者是服从空间统计的本征假设（in trinsic hypothesis。则它具有这样的性质：距离较近的采样点比距离远的采样点更相似，相似的程度、或空间协方差的大小，是通过点对的平均方差度量的。点对差异的方差大小只与采样点间的距离有关，而与它们的绝对位置无关。空间统计内插的最大优点是以空间统计学作为其坚实的理论基础，可以克服内插中误差难以分析的问题，能够对误差做出逐点的理论估计；它也不会产生回归分析的边界效应。缺点是复杂，计算量大，尤其是变异函数（variogram）是几个标准变异函数模型的组合时，计算量很大；另一个缺点是变异函数需要根据经验人为选定。空间统计方法以Kriging及其各种变种（Cokri ging等）为代表。
2.3.1Kriging内插
(1） Kriging内插的公式 Kriging内插由南非地质学家Krige发明，并因此而命名。Matheron给出了Kriging的一般公式。Kriging内插的公式为：
(3) 式中，z(xi)为观测值，它们分别位于区域内xi位置；x0是一个未采样点；λi为权，并且其和等于1。即
(4)选取λi，使z⌒(x0)的估计无偏，并且使方差σ[DD(-*2]⌒[][DD)] 2e小于任意观测值线形组合的方差。
最小方差由下式给定：
(5) 它由下式得到：
(6) 式中，γ(xi，xj)是z在采样点xi和xj之间的半方差（semi-variance），γ(xj,x0)是z在采样点xi和未知点x0之间的半方差，这些量都从适宜的变异函数得到。φ是极小化处理时的拉格朗日乘数。
估计半方差是一个较为复杂的过程，这一过程称为空间数据探索分析（ESDA）。
(2）空间数据探索分析（ESDA）
对于Kriging内插而言，空间数据探索分析的目标是建立半方差γ(h)和点对之间的空间距离h之间的关系，即变异函数。
由于空间统计的本征假设可以表示为以下两个公式：
·任意两个距离为h的两点间的差值的数学期望为0：
EZ(x)-Z(x+h)〕=0 (7)
·任意两个距离为h的两点间的差值的方差最小：
Var〔Z(x)-Z(x+h)〕=E｛ε'(x)-ε'(x+h)〕2｝=2γ(h) (8)
因此，由下式估计半方差γ(h)：
(9) 这一关系即变异函数。它提供了内插、优化采样的有用信息。Kriging内插的第一步是根据样本找到适合的变异函数理论模型。最常用的变异函数模型有：nugget、球面、指数、高斯、阻尼正弦、幂和线形模型。其中，前几种模型在一定的范围内达到极大方差，而线形模型的方差增长没有极限。以下是几种基本变异函数的形式，这些变异函数的特性分别是：
·Nugget模型缺乏空间相关。
·球面模型空间相关随距离的增长逐渐衰减，当距离>θ后，空间相关消失。
·指数模型空间相关随距离的增长以指数形式衰减，相关性消失于无穷远。θ表示距离，在此距离上95%的变量的可变性趋于稳定。
·高斯模型空间相关随距离的增长而衰减，相关性消失于无穷远。曲线起始一段的形状是抛物线，表示变量的空间变化非常平滑。·阻尼正弦模型阻尼正弦模型适宜于周期性变化的空间变量，但其变化强度随距离的增长而衰减。θ表示周期。
·线性模型空间可变性随距离的增长而呈线性地增长，不会在某一距离稳定下来。
变异函数的形式是内插质量的关键。需要注意的是，由于不同的区域有不同的空间模式，因而也就有不同的变异函数。而空间内插都有一个隐含的假定，即空间是连续的，因此，在选择变异函数模型之前，检查数据以确定空间连续性是十分必要的。
2.3.2Cokriging内插
Cokriging （共协kriging）内插的基本原理与Kriging相同，但它通过考虑一个以上变量而优化估计；内插由于考虑了变量之间的关系而得到改善。例如，在估计温度、降水等气候变量时，海拔高度是附加的重要变量。Cokriging内插包括以下过程：①确定多个观测值之间空间相关的特征；②借助于变异函数和交叉变异函数（cross variogram），对相关建模；③利用这些函数估计内插值。
除公式(7)、(8)外，Cokriging引入一个新的假定，即两个变量之间差值的方差最小。
Var〔Z(x)-Zk(x)〕=2γk(h) （10）
式中，Zk(x)是与估计值Z(x)相关的第k个变量。
Cokriging 中引入交叉变异函数，它是两个不同变量之间的相关随距离变化的函数。它与简单变异函数不同，前者的形式是方差，因此总为正或零；而后者的形式为协方差，因此可以为正、负或零。如果两个变量向相反的方向变化，交叉变异函数为负；如果两个变量的变化相独立，交叉变异函数为零。
交叉变异函数的形式为： (11)
Cokriging内插的关键是估计交叉变异函数，以分析变量自身以及变量之间的空间相关。Cokriging的其它过程都是与Kriging一致的。
函数方法
是使用函数逼近曲面的一种方法。函数方法在空间内插领域大多用于一些特殊场合，如利用高密度的高程数据产生等高线、为提高格网数据的空间分辨率而内插数据等。对于利用有限的观测数据进行缺值预测和内插格网，函数方法多不适合，因为它难以满足内插的精度，也难以估计误差。函数方法的特点是不需要对空间结构的预先估计、不需要做统计假设。缺点是难以对误差进行估计，点稀时效果不好。常用的函数方法有：傅里叶级数、样条函数、双线性内插、立方卷积法等。
2.4.1傅里叶级数
对于周期性的数据序列，如海浪，可以利用傅里叶级数将它们分解为正弦波和余弦波。
2.4.2样条函数方法
样条函数是使用函数逼近曲面的一种方法。样条函数易操作，计算量不大，它与空间统计方法相比具有以下特点，不需要对空间方差的结构做预先估计；不需要做统计假设，而这些假设往往是难以估计和验证的；同时，当表面很平滑时，也不牺牲精度。样条函数适合于非常平滑的表面，一般要求有连续的一阶和二阶导数；它适合于根据很密的点内插等值线，特别是从不规则三角网（TIN）内插等值线。
样条函数的缺点是难以对误差进行估计，点稀时效果不好。样条函数的种类很多，最常用的有B样条、张力样条和薄盘样条等。
2.4.3双线性内插
双线性内插和立方卷积法都主要用于网格数据的内插（重采样），一般很少用于根据离散数据内插空间分布。它使用与待估计网格距离最近的4个网格值，线性内插获得新的网格值。双线性内插方法的优点是数据重采样后的结果较为平滑，没有阶跃效应，
同时具有较高的精度。缺点是网格被平均化，具有低频滤波的效果；边缘被平滑，有些极值丢失了。
2.4.4立方卷积法
是最常使用的网格数据内插方法之一。它使用与待估计网格距离最近的16个网格值，根据立方卷积公式计算输出。立方卷积公式有几个不同版本，有的产生低通滤波的效果，有的产生高通滤波的效果，较好的方法应该在高频信息和低频信息的取舍间取得平衡。立方卷积法的优点是采样结果的统计信息（均值和方差）与原数据的相似程度比其他采样方法高。缺点是数据值被改变，因此不能用于类型数据（专题图）的内插。立方卷积法特别适宜于显着改变了网格尺寸，但要保持原数据统计特性的数据内插，如数字高程数据的重采样。
随机模拟方法
其基本假设与空间统计方法不同，随机模拟认为地理空间具有非平稳性，是空间异质的。它通过空间分布现象的可选的、等概率的、数值表达（地图）来对空间不确定性建模。对应不确定性，可以接受可选的多个答案。与空间统计方法不同，随机模拟方法不是产生唯一的估计结果，它产生一系列可选的结果，它们都与实际数据一致，而且相关模型将它们联系起来。随机模拟方法的最大优点是定义了各种随机变量之间的空间相关，这类相关可以根据相邻数据把高度不确定性的先验分布更新为低不确定性的后验分布。缺点是建模困难，计算量大。常用的随机模拟方法有高斯过程、马尔科夫过程、蒙特卡罗方法、人工神经网络方法等。
确定性模拟
其基本假设是变量的空间分布受物理定律控制，因此，可以使用物理模型或半经验、半物理的模型模拟空间分布。对于这一类内插，常常是使用有限的观测值获得一些必须的经验参数，再把这些参数代入到物理模型之中。典型的例子是，GCM是一个纯物理模型，但它的参数化使用了经验方法。在山区气候变量的内插过程中，也大量使用这种方法。确定性模拟的最大优点即它的确定性，它不依赖或很少依赖观测样本。但空间现象是否可以被确定性地预测以及我们是否可以持这一乐观的信念十分值得怀疑。
综合方法
是以上几种方法的综合。对于空间变量，一般能够用不同的方法分别对结构化变量、随机变量和观测误差（残差）建模。王劲峰把空间变量分解为：
空间变量=趋势+周期+随机+噪声（12）
并分别用统计方法、谱函数、人工神经网络和随机过程建模描述相应的成分。
综合方法还适宜于能够得到辅助性数据，如遥感数据的场合。通过从辅助性数据中提取空间模式，在合理的数据结构，如四叉树的支持下，划分空间同质的区域，从而逼近最佳的预测值。
3结论与建议
结论
（1）空间内插可依据其基本假设和数学本质分类为：几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。
（2）空间内插是极为重要的GIS空间分析方法。对于观测台站稀少，而测点分布又极不合理的地区，空间内插是研究这些区域空间变量空间分布的基本方法，是建立空间模型的前提之一。
（3）空间数据探索分析是分析地理数据的重要工具，它的一个重要目标是估计空间变量的变异函数。变异函数反映空间相关随距离变化的特征，可以用几个基本变异函数模型描述。根据变异函数，可以判断数据是否具有平稳性，是否符合空间统计的本征假设。
（4）本文比较了主要的空间内插方法，分析了各种方法的假设、适用范围、算法和优缺点，并且重点介绍了空间统计方法。必须指出，对于众多的空间内插方法而言，没有绝对最优的空间内插方法，只有特定条件下的最优方法。因此，必须依据数据的内在特征，依据对数据的空间探索分析，经过反复实验，选择最优的空间内插方法。同时，应对内插结果做严格的检验。
对空间内插研究的建议
（1）开发通用空间内插软件。空间内插是地理学的基本问题，也是GIS重要的空间分析方法。但现有的GIS软件中包括的空间内插方法都很少，如ARC/INFO中只有趋势面、Kriging和一些特定用途的函数方法，而且它们的界面不友好，难以使用。因此，应开发具有以下特点的通用空间内插软件：①包括尽可
能多的空间内插例程；②智能化的人机界面，提供友好的人机界面，通过一系列有关用户意图、目标和数据特性的问题，引导用户，使用户选择最适宜的方法；③良好的数据库接口，与GIS的兼容性。利用ODBC（开放数据库互联）等技术手段从各种关系数据库中析取所需数据，生成与GIS兼容的空间数据和属性（表）数据。
（2）智能化。智能化的一个目标是减少内插中的主观性。例如，变异函数模型的选择具有很大的经验成分，变异函数的拟合往往是依据经验，反复实验的结果。应通过人机交互减少这种主观性。智能化的另一个目标是通过人为干预，在内插中考虑非地带性因素的影响。如地下水等埋深线是与河流平行的，地质现象的内插必须考虑断层，人为干预可以对这些非区域化的因子建模。
（3）加强基础研究。空间内插方法都建立在一定的假设基础上，这些假设都有一定的局限性。在这些假设中，我们往往回避的是空间不连续性和空间异质两个问题，如何将地理空间分解为不同区域分区后是否存在界面处的不连续现象如何对空间异质的区域建模都是亟需回答的重要问题。
§空间数据的插值方法
在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。数字高程模型(DEM)，也称数字地形模型(DTM)，是一种对空间起伏变化的连续表示方法。
一、空间数据的插值
在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据，而空间位置越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。下面介绍一些常用的内插方法:边界内插、趋势面分析、局部内插和移动平均法。局部内插包括线性内插、双线性多项式内插、和双三次多项式（样条函数）内插。
二、数字高程模型(DEM)的生成
数字高程模型(DEM)，也称数字地形模型(DTM)，是一种对空间起伏变化的连续表示方法。由于DTM隐含有地形景观的意思，所以，常用DEM，以单纯表示高程。DEM有许多用途。DEM的表示方法有拟合法、等值线、格网DEM和不规则三角网DEM(TIN)。
GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 结合上述分析，在本次实习过程中，我们采用局部分块内插的这4种方法（上文中划横线的方法）进行插值，首先，我们按照默认参数进行插值，目的是粗略比较各种方法的优劣；然后选择出最好的一种方法，对该方法再尝试用不同的权重和点数参数来插值，得出最佳的效果。 三、目标 1、根据带坐标的山东省县域矢量地图（sd_county.shp），完成山东年平均降水量与矢量图的
A B C D O S x y z 图2 A B C D α n a b 龙文学校——您值得信赖的专业化个性化辅导学校 龙文学校个性化辅导教案提纲 教师：_______ 学生：_______ 年级：______ 授课时间：_____年___月___日_____——_____段 一、授课目的与考点分析：向量法求空间距离 能用向量方法解决空间距离问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用. 二、授课内容及过程： 1、点到平面的距离 方法：已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量， 则A 到平面α的距离d =AB n n ? . 2、两条异面直线距离： 方法：a 、b 为异面直线，a 、b 间的距离为：AB n d n ?= . 其中n 与a 、b 均垂直，A 、B 分别为两异面直线上的任意两点 题型1：异面直线间的距离 例1、如图2，正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =。求异面直线BD 和SC 之间的距离？ 题型2：点面距离 如图，在长方体1111ABCD A BC D -，中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AD 上移动.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面1ACD 的距离； （3）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4 π. 解：以D 为坐标原点，直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，设AE x =，则11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C （1）.,0)1,,1(),1,0,1 (,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为
空间坐标计算距离及计算器算角度 在空间中坐标计算距离： 设A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2） |AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2] （工程中Z项为0，开根号时忽略Z的值---数值过小可忽略） |AB|=√[(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ] 角度计算方法： Rab（锐角） Rab=acrtan[（Yb-Ya）/（Xb-Xa）] （计算出来为十进制度表示法，转换为度分秒见下） α=360°-Rab 例：后视点D41（3137842.164,537144.921）前视点D41-1 （3137826.46,537253.133）求S,α。 ①S= √[（Yb-Ya）^2+（Xb-Xa）^2] =109.346m Rab=acrtan[（Yb-Ya）/（Xb-Xa）] =acrtan（108.212/15.704） =acrtan6.890728（最好保留6位） ②计算器算acrtan6.890728 输入6.890728 点计算器上Inv +tan显示atand（6.890728）=81.742736（此时为十进制度数）再点dms（转换度分 秒）=81.4433即为81°44′33″ ③最后α=360°- 81°44′33″=278°15′26″ 计算器算角度转换度分秒 点开始----程序----附件----计算器
这个计算器有两种模式，点《查看》有一个下拉菜单，有标准型和科学型。选择科学型。在输入区下方有一排选项十六进制；十进制；八进制；二进制；角度；弧度；梯度。一般默认就是十进制和角度，如不是则应点上十进制和角度。 例：把18.69和15.5度转换成度分秒（电脑配置的科学计算器可能没有Hyp可少这一步） 先输入18.69---再钩上Hyp---再点dms。这时就显示18.4124， 这就是18度41分24秒。 输入15.5---钩上Hyp---点dms。显示15.3，就是15度30分。 如把度分秒转换为度（接上例） 先输入18.4124---钩上Ⅰnv---再点dms,就转换成度了18.69度。 要求函数值就必须输入度数，输入度数后正弦点sin；余弦点cos ；正切点tan,函数值直接就显示出来了。
学习必备 欢迎下载 向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
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学习必备 欢迎下载 若AB 是平面α的任一条斜线段，则在BOA Rt ? ABO COS ∠? ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z = 则n AB n AC ⊥⊥，.∵(3,4,0)AB =-,(3,0,2)AC =- ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z ?-=???-=?即340320x y x z -+=??-+=? ∴3432y x z x ?=????=?? 取4x =,则(4,3,6)n = ∴(4,3,6)n =是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E =-=--=设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z = 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n ⊥⊥-=?∴?--+=?∴=，
一、单选题 1、对于离散空间最佳的内插方法 是： A．整体内插法 B．局部内插法 C．移动拟合法 D．邻近元法 2、下列能进行地图数字化的设备 是： A.打印机 B.手扶跟踪数字化仪 C.主 机 D.硬盘 3、有关数据处理的叙述错误的 是： A.数据处理是实现空间数据有序化的必要过程 B.数据处理是检验数据质量的关键环节 C.数据处理是实现数据共享的关键步骤 D.数据处理是对地图数字化前的预处理 4、邻近元法 是： A.离散空间数据内插的方法 B.连续空间内插的方法 C.生成DEM的一种方法 D.生成DTM的一种方法 5、一般用于模拟大范围内变化的内插技术是： A.邻近元法 B.整体拟合技术 C.局部拟合技术 D.移动拟合法 6、在地理数据采集中，手工方式主要是用于录入： A.属性数据 B.地图数据 C.影象数 据 D.DTM数据
7、要保证GIS中数据的现势性必须实时进行： A.数据编辑 B.数据变换 C.数据更 新 D.数据匹配 8、下列属于地图投影变换方法的 是： A.正解变换 B.平移变换 C.空间变 换 D.旋转变换 9、以信息损失为代价换取空间数据容量的压缩方法是： A.压缩软件 B.消冗处理 C.特征点筛选 法 D.压缩编码技术 10、表达现实世界空间变化的三个基本要素是。 A. 空间位置、专题特征、时间 B. 空间位置、专题特征、属性 C. 空间特点、变化趋势、属性 D. 空间特点、变化趋势、时间 11、以下哪种不属于数据采集的方式： A. 手工方式 B.扫描方式 C.投影方 式 D.数据通讯方式 12、以下不属于地图投影变换方法的是： A. 正解变换 B.平移变换 C.数值变 换 D.反解变换 13、以下不属于按照空间数据元数据描述对象分类的是： A. 实体元数据 B.属性元数据 C.数据层元数据 D. 应用层元数据 14、以下按照空间数据元数据的作用分类的是： A. 实体元数据 B.属性元数据 C. 说明元数据 D. 分类元数据 15、以下不属于遥感数据误差的是： A. 数字化误差 B.数据预处理误差 C. 数据转换误差 D. 人工判读误差
用向量法求空间距离 湖南省冷水江市七中(417500) 李继龙 在高中立体几何中引入空间向量，为解决立体几何问题提供了一种新的解题方法，有时也能降低解题难度.下面通过例题介绍用向量法求空间距离的方法. 一、 求两点之间的距离 用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离. 例1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是AD 1的中点，Q 是BD 上一点， DQ=4 1 DB ，求P 、Q 两点间的距离. 解 如图1，以1DD DC DA 、、所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 0)4 141(Q )21021(，，、，，P ， 所以)21 －4141(－，，=. 46= ,即P 、Q 两点的距离为4 6. 二、 求点到直线之间的距离 已知如图2，P 为直线a 外一点，Q 为a 上任意一点，PO ⊥a 于点O ，所以点P 到直线a 的距离为|PO|=d . 则有>= < 故>
例2 在长方体OABC-O 1A 1B 1C 1中，OA=2，AB=3，AA 1=2.求点O 1到直线AC 的距离. 解 建立如图3所示的空间直角坐标系，连结AO 1，则A(2，0，0)，C(0，3，0)，O 1(0，0，2). 所以0)32－(AC 2)02－(AO 1，，，，，==. 故 d = 13 286 213168=- = 所以点O 1到直线AC 的距离为13 286 2. 三、 求点到平面的距离 如图4设A 是平面α外一点，AB 是平面α的一条斜线，交平面α于点B ，而是平面α的法向量，那么向量 在方向上的射影长就是点A 到平面α的距离d ，所以 d ==>
一、空间数据的插值 用各种方法采集的空间数据往往是按用户自己的要求获取的采样观测值，亦既数据集合是由感兴趣的区域内的随机点或规则网点上的观测值组成的。但有时用户却需要获取未观测点上的数据，而已观测点上的数据的空间分布使我们有可能从已知点的数据推算出未知点的数据值。 在已观测点的区域内估算未观测点的数据的过程称为内插；在已观测点的区域外估算未观测点的数据的过程称为外推。 空间数据的内插和外推在GIS中使用十分普遍。一般情况下，空间位置越靠近的点越有可能获得与实际值相似的数据，而空间位置越远的点则获得与实际值相似的数据的可能性越小。下面介绍一些常用的内插方法。 1、边界内插 使用边界内插法时，首先要假定任何重要的变化都发生在区域的边界上，边界内的变化则是均匀的、同质的。 边界内插的方法之一是泰森多边形法。泰森多边形法的基本原理是，未知点的最佳值由最邻近的观测值产生。如图4-6-1所示。 泰森多边形的生成算法见§5.7。 2、趋势面分析 趋势面分析是一种多项式回归分析技术。多项式回归的基本思想是用多项式表示线或面，按最小二乘法原理对数据点进行拟合，拟合时假定数据点的空间坐标X、Y为独立变量，而表示特征值的Z坐标为因变量。 当数据为一维时，可用回归线近似表示为： 其中，a0、a1为多项式的系数。当n个采样点方差和为最小时，则认为线性回归方程与被拟合曲线达到了最佳配准，如图4-6-2左图所示，即： 当数据以更为复杂的方式变化时，如图4-6-2右图所示。在这种情况下，需要用到二次或高次多项式： （二次曲线） 在GIS中，数据往往是二维的，在这种情况下，需要用到二元二次或高次多项式：
立体几何空间距离问题 空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离. ●难点磁场 (★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,P A⊥平面ABCD，P A=2c,Q 是P A的中点. 求：(1)Q到BD的距离； (2)P到平面BQD的距离. P为RT△ABC所在平面α外一点,∠ACB=90°(如图) (1)若PC=a，∠PCA=∠PCB=60°，求P到面α的距离及PC和α所成的角 （2）若PC=24，P到AC，BC的距离都是6√10，求P到α的距离及PC和α所成角（3）若PC=PB=PA，AC=18，P到α的距离为40，求P到BC的距离
●案例探究 ［例1］把正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长； (2)折起后∠EOF 的大小. 命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目. 知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式. 错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x 轴、y 轴、z 轴两两互相垂直. 技巧与方法：建系方式有多种，其中以O 点为 原点，以OB 、OC 、OD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向最为简单. 解：如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O —xyz ,设正方形ABCD 边长为a ,则A (0，－22a ,0),B (22a ,0,0),C (0, 22a ,0),D (0,0, 22a ),E (0,－4 2 a , a ),F ( 42a , 4 2 a ,0) 21| |||,cos ,2||,2||8042)42)(42(420) 0,4 2 ,42(),42,42,0()2(23 ,43)420()4242()042(||)1(2 2222-=?>=<== - =?+-+?=?=-==∴=-+++-=OF OE OF OE OF OE a OF a OE a a a a a OF OE a a OF a a OE a EF a a a a a EF ∴∠EOF =120° ［例2］正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1C 1与AB 1间的距离. 命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目. 知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.
向量法求空间点到面距离（教案） 新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗？ 对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点 用另一种方法解决。 我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是 一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。 一、复习引入： 1、 空间中如何求点到面距离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、；等体积 方法3、空间向量。 2、向量数量积公式 a · b =a b cos θ（θ为a 与b 的夹角） 二、向量法求点到平面的距离 剖析：如图， BO 平面 ，垂足为O ，则点B 到平面 的距离是线段BO 的长度。 教材分析 重点: 点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤 难点: 找到所需的点坐标跟面的法向量 教学目的 1. 能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。 2. 能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。 3. 加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
若AB 是平面 的任一条斜线段，则在BOA Rt ABO COS ? 如果令平面的法向量为n ，考虑到法向量的方向，可以得到点B 到平面的距离为 BO 因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一 条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的 数量积的绝对值再除以法向量的模 思考、已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的平面的一个法向量? 例1、在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)A B ,(0,0,2)C ,试求平面ABC 的一个法向量. 解:设平面ABC 的一个法向量为(,,)n x y z r 则n AB n AC r u u u r r u u u r ，.∵(3,4,0)AB u u u r ,(3,0,2)AC u u u r ∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0x y z x y z 即340320x y x z ∴3432y x z x 取4x ,则(4,3,6)n r ∴(4,3,6)n r 是平面ABC 的一个法向量. 例2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系C －xyz ． 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)， F(4,2,0)，G(0,0,2)． (2,2,0),(2,4,2),B (2,0,0)EF EG E u u u r u u u r u u u r 设平面EFG 的一个法向量 为(,,)n x y z r 2202420 11(,,1)33 n EF n EG x y x y n r u u u r r u u u r r ，
空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A
第15卷第3期2000年6月 地球科学进展 ADV ANCE IN EARTH SCIEN CES V ol.15 No.3 Jun., 2000 学术论文 空间内插方法比较 李 新,程国栋,卢 玲 (中国科学院寒区旱区环境与工程研究所,甘肃 兰州 730000) 摘 要:空间内插可以分为几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法。介绍了每一种方法的适用范围、算法和优缺点。指出没有绝对最优的空间内插方法,必须对数据进行空间探索分析,根据数据的特点,选择最优方法;同时,应对内插结果做严格的检验。开发通用空间内插软件、智能化内插以及加强相关基础研究将是空间内插研究的重点。 关 键 词:空间内插;空间数据探索分析;地理信息系统 中图分类号:P208 文献标识码:A 文章编号:1001—8166(2000)03-0260-06 1 空间内插 根据已知地理空间的特性探索未知地理空间的特性是许多地理研究的第一步,也是地理学的基本问题。常规方法无法对空间中所有点进行观测,但是我们可以获得一定数量的空间样本,这些样本反映了空间分布的全部或部分特征,并可以据此预测未知地理空间的特征。在这一意义上,空间内插可以被定义为根据已知的空间数据估计(预测)未知空间的数据值。其目标可以归纳为:①缺值估计:估计某一点缺失的观测数据,以提高数据密度;②内插等值线:以等值线的形式直观地显示数据的空间分布;③数据格网化:把无规则分布的空间数据内插为规则分布的空间数据集,如规则矩形格网、三角网等。 空间内插对于观测台站十分稀少,而台站分布又非常不合理的地区具有十分重要的实际意义。这些地区的常规观测常常不能满足要求,在这种情况下,利用有限的常规观测估计合理的空间分布,或尽可能地提高数据密度就成为迫切要求。在这些方面,缺值估计和数据格网化将发挥重要的作用。 (1)缺值估计。各种科学考察中形式多样的短期观测是提高数据观测密度的重要方式,无形中起到了加密台站的作用;而且由于这些考察常常到达人迹罕至的高海拔和极地等区域,有助于了解区域内观测变量的完整空间分布。但是,这些观测序列往往很短,短则数十天,长不过几年。如何利用周围台站的长序列观测资料和短期观测本身的信息,将观测变量插补到长序列是一个重要问题。 (2)数据格网化。规则格网能够更好地反映连续分布的空间现象,并对他们的变化作出模拟。现代地球科学模型和气候模型,如GCM(一般环流模型),都要求与GIS数据模型和遥感数据高度兼容的空间数据集。格网化的数据,尤其是规则矩形格网,已成为目前地学模型的主要数据形式。因此,对已知观测台站的观测数据进行空间内插,得到格网化数据是模型的第一步。 空间内插一般包括这样几个过程〔1〕:①内插方法(模型)的选择;②空间数据的探索分析,包括对数据的均值、方差、协方差、独立性和变异函数的估计等;③内插方法评价;④重新选择内插方法,直到合理;⑤内插。 因此,通过比较而选择一个合用的、适合于数据空间分布特点的内插方法是空间内插的关键。本文将空间内插分类为几何方法、统计方法、空间统计方 中国科学院特别经费支持领域项目“冰冻圈基础研究”(编号:KJ-B-2-102)资助。 第一作者简介:李新,男,1969年10月生于甘肃酒泉,副研究员,主要从事地理信息系统和遥感在冰冻圈和水资源研究中的应用。收稿日期:1999-08-19;修回日期:1999-11-03。
高中数学立体几何 空间距离 1.两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离 【例1】 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； 【规范解答】 (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23 ,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 2 12，即EF =a 22 . 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 2 2 . 【例2】 如图,正四面体ABCD 的棱长为1，求异面直线AB 、CD 之间的距离. 设AB 中点为E ，连CE 、ED . ∵AC =BC ,AE =EB .∴CD ⊥AB .同理DE ⊥AB . ∴AB ⊥平面CED .设CD 的中点为F ,连EF ，则AB ⊥EF . 同理可证CD ⊥EF .∴EF 是异面直线AB 、CD 的距离. ∵CE =23 ,∴CF =FD =2 1,∠EFC =90°,EF = 2221232 2 =??? ??-??? ? ??. ∴AB 、CD 的距离是 2 2 . 【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法： （1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转化为求直线与平面的距离. 例1题图 例2题图
A B C D m n 1 图向量法求空间距离 向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。 1.异面直线n m 、的距离 分别在直线n m 、上取定向量,,b a 求与向量b a 、都垂直的向量，分别在 n m 、上各取一个定点B A 、，则异面直线n m 、的距离 d 等于在上的射影长，即| |n d = 证明：如图1，设CD 为公垂线段，取b a ==, | |||)(?=?∴?++=?∴++= | |||||n n AB d ?= =∴ 2平面外一点P 到平面α的距离 如图2，先求出平面α的法向量，在平面内任取一定 点A ，则点p 到平面α的距离d 等于在上的射影长，即| |n d = 因为空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表示，所以在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把相关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。 [例 1] 如图3，已知正三棱柱111C B A ABC -的侧棱长为2， 底面边长为1，M 是BC 的中点，当1AB MN ⊥时，求点1A 到平面AMN 的距离。 图2 A B C M N 1 A 1 B 1 C 图3
几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法： 解：当1AB MN ⊥时，如图4 ， 、)0,0,0(A )81 ,1,0()0,43,43()2,21,23(1N M B 、、、)2,0,0(1A ，则 )2,0,0(),0,4 3,43( ),8 1 ,41,43(1==- =AA AM MN ， 设向量),,(z y x n =与平面AMN 垂直，则有 )0()1,1,3(8 ),81,83( 8183 0434********>-=-=∴?????? ?-==?=???????=+=++-??????⊥⊥z z z z z n z y z x y x z y x AM n MN n 取)1,1,3(0-=n 向量1AA 在0n 上的射影长即为1A 到平面AMN 的距离，设为d ，于是 5 5 21)1()3(|)1,1,3()2,0,0(||||,cos |||2 2201011011= +-+-?= =>
向量法求空间距离（教师用） 淄博五中 孙爱梅 一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离. 二．难点：异面直线及点面距离求法. 三．知识点及例题 【知识点一】 两点的距离公式应用 空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2）， 则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2. 〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长. 解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1） ∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23 ） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键. 【知识点二】通过向量求空间线段的长. ｜a →｜＝a →2 〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度. 解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →） ＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， ∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12 ＝68，∴｜CD →｜＝217.
空间距离 常见问题： （1）点到平面的距离；（2）两条异面直线的距离；（3）与平面平行的直线到平面的距离；（4）两平行平面间的距离。 一、点到平面的距离 求解点到平面的距离常用的方法有以下几种： 1、由已知的或可以证明垂直的关系，则垂线段的长度就是点到平面的距离。 2、过点作已知平面的垂线，可以找到垂足的位置，从而得到点到平面的距离。例如在正三棱锥中，求顶点到底面的距离，可以过正三棱锥的顶点作底面的垂线，垂足为底面正三角形的中心，然后通过计算求得距离。又例如若已知所在的平面与已知平面垂直，可以过点作两平面交线的垂线，此点与垂足间的距离即为点到平面的距离。 3、用等体积法求解点面距离。 例1、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，,22,2,51===AA BC AB E 在AD 上，且AE=1，F 在AB 上，且AF=3，（1）求点1C 到直线EF 的距离；（2）求点C 到平面EF C 1的距离。 解：（1）连接FC,EC, 由已知FC=22， 41=∴FC ,3482511=++=EC , 1091=+=EF 10 104 1023416102cos 1212121-=??-+=?-+=∠FC EF EC FC EF EFC 10 1031011sin 1=-=∠∴EFC 610 10341021sin 21111=??=∠?=∴?EFC FC EF S EFC 设1C 到EF 的距离为d ，则510610 1212,621===∴=?EF d d EF （2）设C 到平面EF C 1的距离为h
EFC C EF C C V V --=11 131311CC S h S EFC EF C ?= ?∴?? 又451212221132125=??-??-??-?=?EFC S 3 246224111 =?=?=∴??EF C EF C S CC S h 二、两条异面直线的距离 1、对于特殊的图形，可以作出异面直线的公垂线段并证明，然后算出公垂线段的长度。 2、转化为两个平行平面的距离，再转化为点面的距离进行计算。 例3、三角形ABC 是边长为2的正三角形， ?P 平面ABC ，P 点在平面ABC 内的射影为 O ，并且PA = PB = PC =3 。求异面直线PO 与BC 间的距离。 分析：过点P 作平面ABC 的垂线段PO ，但是必须了解垂足O 的性质，否则计算无法进行。为此连结OA ，OB ，OC （如图）． 则由PA ＝PB ＝PC 可得OA ＝OB ＝OC ，即O 是正三角形ABC 的中心．于是可以在直角三角 形PAO 中由PA =2 6 3 ,OA = 2 3 3 ，得PO =2 3 3 。有了以上基础，只要延长AO ，交BC 于D ，则可证明OD 即为异面直线PO 与BC 间的距离，为 3 3 。 三、直线到平面的距离 直线到平面的距离是过直线上任意一点向平面作垂线所得垂线段的长度，一般求解都是转化为求点到平面的距离。 例4、已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点。求11C B 到平
浅谈空间距离的几种计算方法 【摘要】 空间的距离是从数量角度进一步刻划空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量，是平面几何与立体几何中研究的重要数量．空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点和热点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，一般是将问题最终转化为求线段的长度。在解题过程中，要充分利用图形的特点和概念的内在联系，做好各种距离间的相互转化，从而使问题得到解决。 【关键词】 空间距离：点线距离点面距离异面直线距离公垂线段等体积法【正文】 空间距离是衡量空间中点、线、面、体之间相对位置关系的重要的量。空间距离的求解是高中数学的重要内容，也是历年高考考查的重点。空间距离主要包括：（1）两点之间的距离；（2）点到直线的距离；（3）点到平面的距离；（4）两条异面直线的距离；（5）与平面平行的直线到平面的距离；（6）两平行平面间的距离。 这六种距离的计算一般常采用“一作、二证、三计算”的方法求解。对学生来说是较难掌握的一种方法，难就难在“一作”上。所谓的“一作”就是作出点线或点面距中的垂线段，异面直线的公垂线段。除非有相当的基本功，否则这种方法很难运用自如，因此就需要进行转化来求解这些空间距离。下面就介绍几种常见的空间距离的计算方法，使得有些距离的计算可以避开作(或找)公垂线段、垂线段的麻烦，使空间距离的计算变得比较简单。 一、两点之间的距离 两点间的距离的计算通常有两种方法： 1、可以计算线段的长度。把要求的线段放入某个三角形中，用勾股定理或余弦定理求解。 2、可以用空间两点间距离公式。如果图形比较特殊，便于建立空间直角坐标系，可写出两点的坐标，然后代入两点间距离公式计算即可。
向量法求空间距离 广州市第78中学数学科 黄涛 教学重点难点 重点：掌握由向量数量积推导距离公式 难点：空间向量的投影的理解，灵活运用数形结合的思想，空间直角坐标系的 建立，求法向量，向量的选取。 教学方法、教学手段 采用启发诱导式教学，并结合实践探索，互动教学。 因为要充分体现数形结合思想，有大量的图形对比引导，以多媒体展示作为黑板板书补充。 教学目标： (1) 知识目标：理解向量数量积与射影的关系，基本掌握用数量积公式的变形求空间距离的方法和步骤 (2) 能力训练目标：培养动手能力，计算表达能力，空间想象能力 (3) 创新素质目标：通过立体几何向量方法解题体会知识之间的内在联系，事物内在的本质联系，懂得通过思维的拓展从事物的广泛联系中寻找解决问题的方法 (4) 情感目标：化繁为简，化难为易，在师生共同探索中建立学生学习数学的信心和热情 教学过程： 一．复习引入 1．如右图中正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则点D 1到平面BB 1C 1C 的距离是_______,直线B 1C 1与B 1C 的距离是_________. 2.点C 1到平面AB 1C 的距离又是______,体对角线BD 1与面对角线B 1C 的距离是__________. 分析：以第一题找具体线段方法求距离很困难，提出能否避开“作图”这一难点，不通过找具体的线段求解，而用“数”来求解？ 3.我们已经学习了向量的数量积为0可证垂直，| |||,cos b a b a b a ??>=<可求夹角， 221221221)()()(||z z y y x x a a a -+-+-==? 可以求两点间的距离，射影公式>
摘要 本文首先对空间插值的的理论基础包括空间插值的必要性以及目标等几个方面进行了介绍；在此基础上，对空间插值的几种方法包括反距离加权法、克里格法、泰森多边形法、样条函数法等进行了探讨和研究，对方法的适用范围、优缺点、插值精度等方面进行了总结；对反距离加权法和克里格法等的实现方法进行了研究；论文最后对空间内插的方法选择进行了归纳总结,并对空间内插今后有待进一步研究的方面以及发展应用方向进行了展望。 关键词：空间内插克里格反距离加权 Abstract Firstly,theoretical basis,including the necessity of spatial interpolation, aim etc., is specifically introduced in this paper. Beside this, we have done studies and researches on several methods of spatial interpolation, e.g.Inverse Distance Weighted、Kriging、Thiesen、Spline, concluded on the range、merit and shortcoming,interpolation accuracy and so on. The thesis it makes research on the programming process of Inverse Distance Weighted and Kriging etc, The end of the paper gives a summary to the methods selection of spatial interpolation, and outlooks the further research and probable application to be developed in spatial interpolation. Keywords:Spatial Interpolation Kriging Inverse Distance Weighted 0 前言：在地理信息系统(GlS)中，我们获得的空间数据往往是离散点的形式，或者是分区数据的形式。由于观测到的数据往往不能满足要求，最理想的方法就是调查地理空间所有样本的信息，以穷尽样本属性值的方式来获得详尽的地理信息。但这种方法从时间、经济角度上来说是行不通的，也是不现实的。我们可以从离散分布的数据开始来构造一个连续的表面，但是问题在于如何构建一个连续的数据表面。GIS空间内插方法为实现这个目的提供了有效的手段，它利用有限的观测数据，估计合理的空间分布、提高数据密度，获得完整空间信息分布，以填补缺失的数据，得到密集的数据分布。此外，由于数据集的来源、采样点的数据类型不同，如何选择适当的内插方法成为迫切需要解决的问题，如若选择了不适当的内插方法将会直接导致对数据的错误内插，从而造成了对实际情况错误的认识。每种内插方法都有各自的应用范围和优缺点，它们很大程度上依赖于采样数据原始的数学特征，不同的研究目的对内插都有特殊的要求。针对某一特定的数据集，如何来选择最有效的内插方法，是一个重要的、极富挑战性的任务。 本文试图从GIS空间内插方法的理论基础、实际效果两个方面比较几种常用的内插方法的实现原理及其基本的适用条件，并对空间内插今后有待进一步研究的方面进行了展望。 1空间内插方法的划分和分析 空间插值方法可以分为全局方法和局部方法两类。全局方法用研究区每个可利用的控制点来构建一个方程或一个模型，而后该模型可用于估算未知点的数值；局部方法是用控制点的样本来估计未知点的值。