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第二章 整数规划
§1 概论
1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类
如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o
变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为
21min x x z +=
0,0,
5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4
5
min ,45,021===z x x 。
③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。
例2 原线性规划为
21min x x z +=
0,0,
6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2
3
min ,23,021===z x x 。
若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。
（ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.3 求解方法分类：
（i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。
（iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。
下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。
§2 分枝定界法
对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝，
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这样，许多子集可不予考虑，这称剪枝。这就是分枝定界法的主要思路。
分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。在本世纪六十年代初由Land Doig 和Dakin 等人提出的。由于这方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。目前已成功地应用于求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配问题等。
设有最大化的整数规划问题A ，与它相应的线性规划为问题B ，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是A 的最优目标函数*
z 的上界，记作z ；而A 的任意可行解的目标函数值将是*
z 的一个下界z 。分枝定界法就是将B 的可行域分成子区域的方法。逐步减小z 和增大z ，最终求到*
z 。现用下例来说明：
例3 求解下述整数规划
219040Max x x z +=
???
??≥≤+≤+且为整数0,70
20756792
12121x x x x x x 解 （i ）先不考虑整数限制，即解相应的线性规划B ，得最优解为：
355.8779,8168.1,8092.421===z x x
可见它不符合整数条件。这时z 是问题A 的最优目标函数值*
z 的上界，记作z 。而
0,021==x x 显然是问题A 的一个整数可行解，这时0=z ，是*
z 的一个下界，记作z ，
即3560*
≤≤z 。
（ii ）因为21,x x 当前均为非整数，故不满足整数要求，任选一个进行分枝。设选1
x 进行分枝，把可行集分成2个子集：
44.8092][1=≤x ，514.8092][1=+≥x
因为4与5之间无整数，故这两个子集的整数解必与原可行集合整数解一致。这一步称为分枝。这两个子集的规划及求解如下：
问题1B ： 219040Max x x z +=
??
?
??≥≤≤≤+≤+0
,40702075679212121x x x x x x
最优解为：349,1.2,0.4121===z x x 。
问题2B ： 219040Max x x z +=
???
??≥≥≤+≤+0
,570207567921
2121x x x x x x
最优解为：4.341,57.1,0.5121===z x x 。
再定界：3490*
≤≤z 。
（iii ）对问题1B 再进行分枝得问题11B 和12B ，它们的最优解为
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340,2,4:112111===z x x B
327.14,00.3x 1.43,:122112===z x B
再定界：341340*
≤≤z ，并将12B 剪枝。
（iv ）对问题2B 再进行分枝得问题21B 和22B ，它们的最优解为
083,00.1x 5.44,:222121===z x B 22B 无可行解。
将2221,B B 剪枝。
于是可以断定原问题的最优解为：
340,2,4*21===z x x
从以上解题过程可得用分枝定界法求解整数规划（最大化）问题的步骤为：
开始，将要求解的整数规划问题称为问题A ，将与它相应的线性规划问题称为问题B 。
（i ）解问题B 可能得到以下情况之一：
（a ）B 没有可行解，这时A 也没有可行解，则停止．
（b ）B 有最优解，并符合问题A 的整数条件，B 的最优解即为A 的最优解，则停止。
（c ）B 有最优解，但不符合问题A 的整数条件，记它的目标函数值为z 。
（ii ）用观察法找问题A 的一个整数可行解，一般可取n j x j ,,1,0L ==，试探，求得其目标函数值，并记作z 。以*
z 表示问题A 的最优目标函数值；这时有
z z z ≤≤*
进行迭代。
第一步：分枝，在B 的最优解中任选一个不符合整数条件的变量j x ，其值为j b ，以][j b 表示小于j b 的最大整数。构造两个约束条件
][j j b x ≤ 和 1][+≥j j b x
将这两个约束条件，分别加入问题B ，求两个后继规划问题1B 和2B 。不考虑整数条件求解这两个后继问题。
定界，以每个后继问题为一分枝标明求解的结果，与其它问题的解的结果中，找出最优目标函数值最大者作为新的上界z 。从已符合整数条件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界z ，若无作用z 不变。
第二步：比较与剪枝，各分枝的最优目标函数中若有小于z 者，则剪掉这枝，即以后不再考虑了。若大于z ，且不符合整数条件，则重复第一步骤。一直到最后得到
z z =*为止。得最优整数解n j x j ,,1,*L =。
§3 10?型整数规划
10?型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。这时j x 称为10?变量，或称二进制变量。j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件： 10≤≤j x ，整数
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所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。在实际问题中，如果引入 10?变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。我们先介绍引入10?变量的实际问题，再研究解法。
3.1 引入10?变量的实际问题
3.1.1 投资场所的选定——相互排斥的计划
例 4 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置（点）)7,,2,1(L =i A i 可供选择。规定
在东区。由321,,A A A 三个点中至多选两个； 在西区。由54,A A 两个点中至少选一个；
在南区，由76,A A 两个点中至少选一个。
如选用i A 点，设备投资估计为i b 元，每年可获利润估计为i c 元，但投资总额不能超过B 元。问应选择哪几个点可使年利润为最大？
解题时先引入10?变量)7,,2,1(L =i x i 令
???=.
0,1点没被选中当点被选中当，，i A i A i x 7,,2,1L =i .
于是问题可列写成： i i i x c z ∑==7
1
Max
?????
????=≥+≥+≤++≤∑=10,
11
2
765
43217
1或i i i i x x x x x x x x B x b
3.1.2 相互排斥的约束条件
有两个相互排斥的约束条件
244521≤+x x 或 453721≤+x x 。
为了统一在一个问题中，引入10?变量y ，则上述约束条件可改写为：
??
?
??=?+≤++≤+10)1(453724452121或y M y x x yM x x
其中M 是充分大的数。
约束条件
01=x 或 8005001≤≤x 可改写为
?
?
?=≤≤108005001或y y
x y
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如果有m 个互相排斥的约束条件：
m i b x a x a i
n in i ,,2,111L L =≤++
为了保证这m 个约束条件只有一个起作用，我们引入m 个10?变量),,2,1(m i y i L =和一个充分大的常数M ，而下面这一组1+m 个约束条件
m i M y b x a x a i i n in i ,,2,111L L =+≤++ （1）
11?=++m y y m L （2）
就合于上述的要求。这是因为，由于（2），m 个i y 中只有一个能取0值，设0*=i y ，
代入（1），就只有*
i i =的约束条件起作用，而别的式子都是多余的。
3.1.3 关于固定费用的问题（Fixed Cost Problem ）
在讨论线性规划时，有些问题是要求使成本为最小。那时总设固定成本为常数，并在线性规划的模型中不必明显列出。但有些固定费用（固定成本）的问题不能用一般线性规划来描述，但可改变为混合整数规划来解决，见下例。
例5 某工厂为了生产某种产品，有几种不同的生产方式可供选择，如选定的生产方式投资高（选购自动化程度高的设备），由于产量大，因而分配到每件产品的变动成本就降低；反之，如选定的生产方式投资低，将来分配到每件产品的变动成本可能增加。所以必须全面考虑。今设有三种方式可供选择，令
j x 表示采用第j 种方式时的产量；
j c 表示采用第j 种方式时每件产品的变动成本； j k 表示采用第j 种方式时的固定成本。
为了说明成本的特点，暂不考虑其它约束条件。采用各种生产方式的总成本分别为
?????=>+= 0 ,00
,j j j j j j x x x c k P 当当 3,2,1=j .
在构成目标函数时，为了统一在一个问题中讨论，现引入10?变量j y ，令
??
??
?==>.00,0,1时种生产方式，即当不采用第时，
种生产方式，即当采用第j x j j x j j y （3） 于是目标函数
)()()(min 333322221111x c y k x c y k x c y k z +++++=
（3）式这个规定可表为下述3个线性约束条件：
3,2,1,=≤≤j M y x y j j j ε （4） 其中ε是一个充分小的正常数，M 是个充分大的正常数。（4）式说明，当0>j x 时j y 必须为1；当0=j x 时只有j y 为0时才有意义，所以（4）式完全可以代替（3）式。 3.2 10?型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解10?型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的n
2个组合。对于变量个数n 较大（例如100>n ），这几乎是不可能的。因此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration ），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然，对
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有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是必要的。
下面举例说明一种解10?型整数规划的隐枚举法。 例6 321523Max x x x z +?=
?????
????=≤+≤+≤++≤?+1
0,,6
43
44223213
221321321或x x x x x x x x x x x x x 求解思路及改进措施：
（i ） 先试探性求一个可行解，易看出)0,0,1(),,(321=x x x 满足约束条件，故为一个可行解，且3=z 。
（ii ） 因为是求极大值问题，故求最优解时，凡是目标值3 （iii ） 改进过滤条件。 （iv ） 由于对每个组合首先计算目标值以验证过滤条件，故应优先计算目标值z 大的组合，这样可提前抬高过滤门槛，以减少计算量。 §4 蒙特卡洛法（随机取样法） 前面介绍的常用的整数规划求解方法，主要是针对线性整数规划而言，而对于非线性整数规划目前尚未有一种成熟而准确的求解方法，因为非线性规划本身的通用有效解法尚未找到，更何况是非线性整数规划。 然而，尽管整数规划由于限制变量为整数而增加了难度；然而又由于整数解是有限个，于是为枚举法提供了方便。当然，当自变量维数很大和取值范围很宽情况下，企图用显枚举法（即穷举法）计算出最优值是不现实的，但是应用概率理论可以证明，在一定的计算量的情况下，完全可以得出一个满意解。 例7 已知非线性整数规划为： 543212 5 242322212328 243Max x x x x x x x x x x z ?????++++= ????? ????≤++≤++≤++++≤++++=≤≤200 5200 62800622400)5,,1(9905433 215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x i x i L 如果用显枚举法试探，共需计算10 510)100(=个点，其计算量非常之大。然而应 用蒙特卡洛去随机计算6 10个点，便可找到满意解，那么这种方法的可信度究竟怎样 呢？ 下面就分析随机取样采集6 10个点计算时，应用概率理论来估计一下可信度。 不失一般性，假定一个整数规划的最优点不是孤立的奇点。 假设目标函数落在高值区的概率分别为0.01，0.00001，则当计算6 10个点后，有 -22- 任一个点能落在高值区的概率分别为 多位）100(9999.099.011000000L ≈?， 999954602.099999.011000000≈?。 解 （i ）首先编写M 文件mente.m 定义目标函数f 和约束向量函数g ，程序如下： function [f,g]=mengte(x); f=x(1)^2+x(2)^2+3*x(3)^2+4*x(4)^2+2*x(5)-8*x(1)-2*x(2)-3*x(3)-... x(4)-2*x(5); g=[sum(x)-400 x(1)+2*x(2)+2*x(3)+x(4)+6*x(5)-800 2*x(1)+x(2)+6*x(3)-200 x(3)+x(4)+5*x(5)-200]; （ii ）编写M 文件mainint.m 如下求问题的解： rand('state',sum(clock)); p0=0; tic for i=1:10^6 x=99*rand(5,1); x1=floor(x);x2=ceil(x); [f,g]=mengte(x1); if sum(g<=0)==4 if p0<=f x0=x1;p0=f; end end [f,g]=mengte(x2); if sum(g<=0)==4 if p0<=f x0=x2;p0=f; end end end x0,p0 toc 本题可以使用LINGO软件求得精确的全局最有解，程序如下： model: sets: row/1..4/:b; col/1..5/:c1,c2,x; link(row,col):a; endsets data: c1=1,1,3,4,2; c2=-8,-2,-3,-1,-2; a=1 1 1 1 1 1 2 2 1 6 2 1 6 0 0 -23- 0 0 1 1 5; b=400,800,200,200; enddata max=@sum(col:c1*x^2+c2*x); @for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j)) @for(col:@bnd(0,x,99)); end §5 指派问题的计算机求解 整数规划问题的求解可以使用Lingo 等专用软件。对于一般的整数规划问题，无法直接利用Matlab 的函数，必须利用Matlab 编程实现分枝定界解法和割平面解法。但对于指派问题等10?整数规划问题，可以直接利用Matlab 的函数bintprog 进行求解。 例8 求解下列指派问题，已知指派矩阵为 ??? ?? ? ? ? ??? ?? ???1096109532485724 679278310283 解：编写Matlab 程序如下： c=[3 8 2 10 3;8 7 2 9 7;6 4 2 7 5 8 4 2 3 5;9 10 6 9 10]; c=c(:); a=zeros(10,25); for i=1:5 a(i,(i-1)*5+1:5*i)=1; a(5+i,i:5:25)=1; end b=ones(10,1); [x,y]=bintprog(c,[],[],a,b); x=reshape(x,[5,5]),y 求得最优指派方案为151********=====x x x x x ，最优值为21。 求解的LINGO 程序如下： model: sets: var/1..5/; link(var,var):c,x; endsets data: c=3 8 2 10 3 8 7 2 9 7 6 4 2 7 5 8 4 2 3 5 9 10 6 9 10; enddata min=@sum(link:c*x); @for(var(i):@sum(var(j):x(i,j))=1); @for(var(j):@sum(var(i):x(i,j))=1); -24- @for(link:@bin(x)); end §6 生产与销售计划问题 6.1 问题实例 例9 某公司用两种原油（A 和B ）混合加工成两种汽油（甲和乙） 。甲、乙两种汽油含原油的最低比例分别为50％和60％，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A 和B 的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A 。原油A 的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨单不超过1000吨时，超过500吨的部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。该公司应如何安排原油的采购和加工。 6.2 建立模型 （1）问题分析 安排原油采购、加工的目标是利润最大，题目中给出的是两种汽油的售价和原油A 的采购价，利润为销售汽油的收入与购买原油A 的支出之差。这里的难点在于原油A 的采购价与购买量的关系比较复杂，是分段函数关系，能否及如何用线性规划、整数规划模型加以处理是关键所在。 （2）模型建立 设原油A 的购买量为x （单位：吨）。根据题目所给数据，采购的支出)(x c 可表示 为如下的分段线性函数（以下价格以千元/吨为单位）： ?? ? ??≤≤+≤≤+≤≤=15001000,630001000500,810005000, 10)(x x x x x x x c （5） 设原油A 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为11x 和12x ，原油B 用于生产甲、乙两种汽油的数量分别为21x 和22x ，则总的收入为)(6.5)(8.422122111x x x x +++（千元）。于是本例的目标函数（利润）为 )()(6.5)(8.4max 22122111x c x x x x z ?+++= （6） 约束条件包括加工两种汽油用的原油A 、原油B 库存量的限制，原油A 购买量的限制，以及两种汽油含原油A 的比例限制，它们表示为 x x x +≤+5001211 （7） 10002221≤+x x （8） 1500≤x （9） 5.021 1111 ≥+x x x （10） 6.022 1212 ≥+x x x （11） 0,,,,22211211≥x x x x x （12） 由于（5）式中的)(x c 不是线性函数，（5）~（12）给出的是一个非线性规划，而且，对于这样用分段函数定义的)(x c ，一般的非线性规划软件也难以输入和求解。能 不能想办法将该模型化简，从而用现成的软件求解呢？ -25- 6.3 求解模型 下面介绍3种解法 （1）解法一 一个自然的想法是将原油A 的采购量x 分解为三个量，即用321,,x x x 分别表示以价格10千元/吨、8千元/吨、6千元/吨采购的原油A 的吨数，总支出为3216810)(x x x x c ++=，且 321x x x x ++= （13） 这时目标函数（6）变为线性函数： )6810()(6.5)(8.4max 32122122111x x x x x x x z ++?+++= （14） 应该注意到，只有当以10千元/吨的价格购买5001=x （吨）时，才能以8千元/吨的价格购买)0(2>x ，这个条件可以表示为 0)500(21=?x x （15） 同理，只有当以8千元/吨的价格购买5002=x （吨）时，才能以6千元/吨的价格购买)0(3>x ，于是 0)500(32=?x x （16） 此外，321,,x x x 的取值范围是 500,,0321≤≤x x x （17） 由于有非线性约束（15）、（16），因而（7）～（17）构成非线性规划模型。将该模型输入LINGO 软件如下： model: sets: var1/1..4/:y; !这里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22; var2/1..3/:x,c; endsets max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x); y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500; y(2)+y(4)<1000; 0.5*(y(1)-y(2))>0; 0.4*y(3)-0.6*y(4)>0; (x(1)-500)*x(2)=0; (x(2)-500)*x(3)=0; @for(var2:@bnd(0,x,500)); data: c=10 8 6; enddata end 可以用菜单命令“LINGO|Options ”在“Global Solver ”选项卡上启动全局优化选型，并运行上述程序求得全局最有解：购买1000吨原油A ，与库存的500吨原油A 和1000吨原油B 一起，共生产2500吨汽油乙，利润为5000（千元）。 （2）解法二 引入0－1变量将（15）和（16）转化为线性约束。 令11=z ，12=z ，13=z 分别表示以10千元/吨、8千元/吨、6千元/吨的价格采购原油A ，则约束（15）和（16）可以替换为 -26- 112500500z x z ≤≤， （18） 223500500z x z ≤≤， （19） 33500z x ≤， （20） 0,,321=z z z 或1 （21） 式（7）～（14），式（17）～（21）构成混合整数线性规划模型，将它输入LINGO 软件如下： model: sets: var1/1..4/:y; !这里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22; var2/1..3/:x,z,c; endsets max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var2:c*x); y(1)+y(3)<@sum(var2:x)+500; y(2)+y(4)<1000; 0.5*(y(1)-y(2))>0; 0.4*y(3)-0.6*y(4)>0; @for(var1(i)|i #lt# 3:500*z(i+1) @for(var2:@bin(z)); @for(var2:@bnd(0,x,500)); data: c=10 8 6; enddata end （3）解法三 直接处理分段线性函数)(x c 。式（5）表示的函数)(x c 如图1所示。 记x 轴上的分点为01=b ，5002=b ，10003=b 。当x 属于第1个小区间],[21b b 时，记2211b w b w x +=，121=+w w ，0,21≥w w ，因为)(x c 在],[21b b 上是线性的， 图1 分段线性函数)(x c 图形 所以)()()(2211b c w b c w x c +=。同样，当x 属于第2个小区间],[32b b 时， 3322b w b w x +=，132=+w w ，0,32≥w w ，)()()(3322b c w b c w x c +=。当x 属于第3个小区间],[43b b 时，4433b w b w x +=，143=+w w ，0,43≥w w ，)()()(4433b c w b c w x c +=。为了表示x 在哪个小区间，引入0-1变量)3,2,1(=k z k ，当x 在第k 个小区间时，1=k z ，否则，0=k z 。这样，3214321,,,,,,z z z w w w w 应满 -27- 足 11z w ≤，212z z w +≤，323z z w +≤，34z w ≤ （22） 14321=+++w w w w ，0≥k w （4,3,2,1=k ） （23） 1321=++z z z ，10,,321或=z z z （24） 此时x 和)(x c 可以统一地表示为 4324433221115001000500w w w b w b w b w b w x ++=+++= （25） )()()()()(44332211b c w b c w b c w b c w x c +++= 4321200090005000w w w ++= （26） 式（6）～（13），式（22）～（26）也构成一个混合整数线性规划模型，可以用 LINGO 求解。输入的LINGO 模型如下： model: sets: var/1..4/:b,c,y,z,w; !这里y(1)=x11,y(2)=x21,y(3)=x12,y(4)=x22 端点数为4，即分段数为3; endsets data: b=0,500,1000,1500; c=0,5000,9000,12000; z=,,,0; !增加的虚拟变量z(4)=0; enddata max=4.8*(y(1)+y(2))+5.6*(y(3)+y(4))-@sum(var:c*w); y(1)+y(3)<@sum(var:b*w)+500; y(2)+y(4)<1000; 0.5*(y(1)-y(2))>0; 0.4*y(3)-0.6*y(4)>0; w(1) @for(var(i)|i #ne# 1:w(i) @for(var:@bin(z)); End 注：这个问题的关键是处理分段线性函数，我们推荐化为整数线性规划模型的第2和第3种解法，第3种解法更具一般性，其做法如下。 设一个n 段线性函数)(x f 的分点为11+≤≤≤n n b b b L ，引入k w 将x 和)(x f 表示为 ∑+== 1 1 n k k k b w x ∑+== 11 )()(n k k k k b f w x f k w 和0-1变量k z 满足 11z w ≤，212z z w +≤，…，n n n z z w +≤?1，n n z w ≤+1 （27） -28- 121 =+++n z z z L ，10或=k z （28） 1121=++++n w w w L ，0≥k w （1,,2,1+=n k L ） （29） 习 题 二 1. 用分枝定界法解： 21Max x x z += ??? ? ? ? ???≥≤+?≤+整数21212 121,,0,3121451149x x x x x x x x 2. 试将下述非线性的10?规划问题转换成线性的10?规划问题 3211max x x x x z ?+= ?? ?==≤++?) 3,2,1(103 32321j x x x x j ，或 3. 某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为1021,,,s s s L ，相应的钻探费用为1021,,,c c c L ，并且井位选择上要满足下列限制条件： （1） 或选择1s 和7s ，或选择钻探9s ； （2） 选择了3s 或4s 就不能选5s ，或反过来也一样； （3） 在8765,,,s s s s 中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。 4．有一条河流由于河床泥沙淤结，每当上游发生洪水时，就会破堤淹没两岸，造成人员和财产的损失，为减少总的损失，人们采取破堤泄洪的方法，图2是该河流一岸区域的信息示意图，在该区域边界上有很高的山，使该区域成为封闭区域。区域内又分成十五个小区，每个小区内标有三个数字，分别表示该区域的海拔高度)m (h 、面积 )km (2S 和被完全淹没时土地、房屋和财产等损失总数k （百万元），我们假设 （a ）各小区间有相对高度为1.2m 的小堤相互隔离，例如第一区和第二区之间事实上有海拔5.2m 小堤。 （b ）当洪水淹没一个小区且洪水高于该小区高度m p 时，该小区的损失),(p k f 为该小区的k 和p 的函数： ? ? ?≥≤≤=1,1 0,),(p k p kp p k f （c ）假设决堤口，可选在大堤或小堤的任何地方，决堤口的数量不受限制，但已 经决口，就不能再补合，从河流经大堤决口流入小区的洪水量按决口数成比例分配，如在小区之间小堤开一决口，则假设该两小区之间的这段小堤不复存在，若水位高过小堤，则将自动向邻近最低的小区泄洪，若这样的小区有多块时，则平均泄洪。 求 -29- （1）整个区域全部受损失的最小洪水量Q 。 （2）当洪水量为6/Q ，3/Q 时，分别制定泄洪方案，使总损失最小（在一种方案中，决堤同时进行），并计算出该方案的损失数。 表1 校址选择数据 备选校址 1B 2B 3B 4B 5B 6B 覆盖的居民小区 7 51,A A A 8 521,,A A A A 5 31,,A A A 8 42,A A A 63,A A 8 64,A A A 5．某市为方便小学生上学，拟在新建的8个居民小区821,,,A A A L 增设若干所 -30- 小学，经过论证知备选校址有:621,,,B B B L ,它们能够覆盖的居民小区如表1。 试建立一个数学模型，确定出最小个数的建校地址，使其能覆盖所有的居民小区。 6．某公司新购置了某种设备6台，欲分配给下属的4个企业，已知各企业获得这种设备后年创利润如表2所示，单位为千万元。问应如何分配这些设备能使年创总利润最大，最大利润是多少？ 高低杠 9.4~0.1 9.6~0.1 9.7~0.6 9.9~0.2 9.5~0.1 9.7~0.1 9.8~0.6 10~0.2 8.4~0.1 8.8~0.2 9.0~0.6 10~0.1 8.4~0.15 9.5~0.5 9.2~0.25 9.4~0.1 9.0~0.1 9.2~0.1 9.4~0.6 9.7~0.2 平衡木 8.7~0.1 8.9~0.2 9.1~0.6 9.9~0.1 8.4~0.1 8.8~0.2 9.0~0.6 10~0.1 8.8~0.05 9.2~`0.05 9.8~0.5 10~0.4 8.4~0.1 8.8~0.1 9.2~0.6 9.8~0.2 8.1~0.1 9.1~0.5 9.3~0.3 9.5~0.1 跳马 8.5~0.1 8.7~0.1 8.9~0.5 9.1~0.3 8.3~0.1 8.7~0.1 8.9~0.6 9.3~0.2 8.7~0.1 8.9~0.2 9.1~0.6 9.9~0.1 8.4~0.1 8.8~0.2 9.0~0.6 10~0.1 8.2~0.1 9.2~0.5 9.4~0.3 9.6~0.1 自由体操 8.4~0.15 9.5~0.5 9.2~0.25 9.4~0.1 8.4~0.1 8.8~0.1 9.2~0.6 9.8~0.2 8.2~0.1 9.3~0.5 9.5~0.3 9.8~0.1 9.3~0.1 9.5~0.1 9.7~0.5 9.9~0.3 9.1~0.1 9.3~0.1 9.5~0.6 9.8~0.2 现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上(见表3) ，她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出(见表中第二个数据。例如：8.4～0.15表示取得8.4分的概率为0.15)。试解答以下问题： （1）每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。 （2）若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠的前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90％的把握战胜怎样水平的对手？ -31- 第五章 整数规划 主要内容：1、分枝定界法； 2、割平面法； 3、0－1型整数规划； 4、指派问题。 重点与难点：分枝定界法和割平面法的原理、求解方法，0－1型规划模型的建立及求解步骤，用匈牙利法求解指派问题的方法和技巧。 要 求：理解本章内容，熟练掌握求解整数规划的方法和步骤，能够运用这些方法解决实际问题。 §1 问题的提出 要求变量取为整数的线性规划问题，称为整数规则问题（简称IP ）。如果所有的变量都要求为（非负）整数，称之为纯整数规划或全整数规划；如果仅一部分变量要求为整数，称为混合整数规划。 例1 求解下列整数规划问题 211020m ax x x z += ????? ? ?≥≤+≤+为整数2 1212121,0,13522445x x x x x x x x 如果不考虑整数约束，就是一个线性规划问题（称这样的问题为原问题相应的线性规划问题），很容易求得最优解为： 96m ax ,0,8.421===z x x 。 用图解法将结果表示于图中画“+”号的点都是可行的整数解，为满足要求，将等值线向原点 方向移动，当第一次遇到“+”号点（1,421==x x ）时得最优解为1,421==x x ， 最优值为z=90。 由上例可看出，用枚举法是容易想到的，但常常得到最优解比较困难，尤其是遇到变量的取值更多时，就更困难了。下面介绍几种常用解法。 §2 分枝定界法 分枝定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题。基本思路：设有最大化的整数规划问题A ，与之相应的线性规划问题B ，从解B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优值必是 A 的最优值 * z 的上界，记为 z ；而A 的任意可行解的目标函数值是* z 的一个下界 z ，采 取将B 的可行域分枝的方法，逐步减少z 和增大z ，最终求得*z 。现举例说明： 例2 求解A 219040m ax x x z += ?????? ?≥≤+≤+为整数 21212121,0 ,7020756 79x x x x x x x x 解：先不考虑条件⑤，即解相应的线性规划B （①--④），得最优解 =1x 4.81, =2x 1.82, ① ② ③ ④ ⑤ 四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示： 根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1． 某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数 最少? 五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行 域中的哪一个顶点。 六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。 八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x 1+3x 2，约束形式为“≤”，X 3，X 4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 (1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x 1+2x 2+4x 3 六、已知线性规划问题 应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25 第五章整数规划 1．整数规划的特点 (1)整数规划：决策变量要求取整数的线性规划。 (2)整数规划可分为纯整数规划和混合整数规划。 (3)整数规划的可行域为离散点集。 2．整数规划的建模步骤 整数规划模型的建立几乎与线性规划模型的建立完全一致，只是变量的部分或全体必须限制为整数。 3．求解整数规划的常用方法 1)分支定界法 没有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划问题为问题B，从解问题B开始，若其最优解不符合A的整数条件，那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界，记作，而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个 下界，分支定界法就是将B的可行域分成子区域的方法，逐步减小和增大， 最终求得z*。 将要求解的整数规划问题称为问题A，将与它相应的线性规划问题称为问题B。 (1)解与整数规划问题A相应的线性规划问题B，可能得到以下几种情况之一： ①B没有可行解，A也没有可行解，停止计算。 ②B有最优解，并符合问题A的整数条件，则此最优解即为A的最优解，停止计算。 ③B有最优解，但不符合A的整数条件，记它的目标函数值为。 (2)用观察法找问题A的一个整数可行解，求得其目标函数值，并记作。 以z*表示问题A的最优目标数值，则≤z*≤。 下面进行迭代。 分支，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量x i ，其值为b i 。 构造两个约束条件 x j ≤[b j ] ① 和 x j ≥[b j ]+1 ② 其中[b j ]为不超过b j 的最大整数。 将这两个约束条件分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。不考虑整数约束条件求解这两个后继问题。 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果。 第一步：先不考虑整数约束，变成一般的线性规划问题，用图解法或单纯形法求其最优解，记为 ) ； 第二步：若求得的最优解，刚好就是整数解，则该整数就是原整数规划的最优解，否则转下步； 第三步：对原问题进行分支寻求整数最优解。 第四步：对上面两个子问题按照线性规划方法求最优解。若某个子问题的解是整数解，则停止该子问题的分支，并且把它的目标值与上一步求出的最优整数解相比较以决定取舍；否则，对该子问题继续进行分支。 科学出版社《运筹学》教材 第一章引言 第二章线性规划，姜林 第三章对偶规划，姜林 第四章运输问题，姜林 第五章整数规划，姜林 第六章非线性规划，姜林 第七章动态规划，姜林 第八章多目标规划，姜林 第九章图与网络分析，熊贵武 第十章排队论，熊贵武 第十一章库存论，王勇 第十二章完全信息博弈，王勇 第十三章不完全信息博弈，王勇 第十四章决策论与影响图 第十五章运筹学模型的计算机求解 成年人每天需要从食物中摄取的营养以及四种食品所含营养和价格见下表。问 如何选择食品才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？ 食品名称热量(kcal) 蛋白质(g) 钙（mg）价格（元）猪肉1000 50 400 14 鸡蛋800 60 200 6 大米900 20 300 3 白菜200 10 500 2 营养需求量 2000 55 800 解：设需猪肉、鸡蛋、大米和白菜各需 x1,x2,x3,x4斤。则热量的需求量为： 2000 20090080010004 3 2 1 x x x x 蛋白质 某工厂要做100套钢架，每套有长 3.5米、2.8米和2根2.4米的圆钢组成（如右图）已知原 料长12.3米，问应如何下料使需用的原材料最省。 解：假设从每根 12.3米的原材料上截取 3.5米、2.8米和2根2.4 米，则每根原材料需浪费 1.2米，做100套需浪费材料 120米，现 采用套裁的方法。 方案一二三四五六3.5 2.8 2.4 0 0 5 0 4 0 1 2 1 1 3 0 2 0 2 2 1 1 合计剩余 12 0.3 11.2 1.1 11.5 0.8 11.9 0.4 11.8 0.5 12.2 0.1 现在假设每种方案各下料x i （i=1、2、3、4、5、6），则可列出方程： minZ=0.3x 1+1.1x 2+0.8x 3+0.4x 4+0.5x 5+0.1x 6 约束条件： x 3+x 4+2x 5+2x 6=100 4x 2+2x 3+3x 4+x 6=100 5x 1+x 3+2x 5+x 6=200 ,,,800 50030020040055 102060503000 2009008001000. .23614min 4 3214 3 2 1 4 32 14 32 14321x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x z 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A & B C D E 甲 9 4 6 8 5 \ 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 ' 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 ； 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 64 10 154062415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ?? ? 31234311546233 5 3 5? ?? ?? ? ?→ ?? ? ?? ? m=5=n ，得最优解。解矩阵*0001000100X 0000101 00010000?? ? ? ?= ? ? ??? 。 割平面法 求解整数规划问题： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x214 4x1+2x218 x1,x20，且为整数 解：首先，将原问题的数学模型标准化，这里标准化有两层含义：（1）将不等式转化为等式约束，（2）将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数，以便于构造切割平面。从而有： Max Z=3x1+2x2 2x1+3x2+x3=14 2x1+x2+x4=9 x1,x20，且为整数 利用单纯形法求解，得到最优单纯形表，见表1： 表1 C B X B b 3 2 0 0 j 最优解为：x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4 根据上表，写出非整数规划的约束方程，如：x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1) 将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式，即： (1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2 把整数及带有整数系数的变量移到方程左 边，分数及带有分数系数的变量称到方程右边，得： x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2) 由于原数学模型已经“标准化”，因此，在整数最优解中，x2和x4也必须取整数值，所以(2)式左端必为整数或零，因而其右端也必须是整数。又因为x3,x40，所以必有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)<1 由于(2)式右端必为整数，于是有： 1/2-(1/2x3+1/2x4)0 (3) 或 x3+x4 1 (4) 这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程，它是用非基变量表示的，如果用基变量来表示割平面约束方程，则有： 2x1+2x211 (5) 从图1中可以看出，(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域，使点E，2)成为可行域的一个极点。 第六章整数规划 用图形将一下列线性规划问题的可行域转换为纯整数问题的可行域(在图上用“×”标出)。 1、 max z=3x1+2x2 . 2x1+3x2≤12 2x1+x2≤9 x1、x2≥0 解： 2、 min f=10x1+9x2 . 5x1+3x2≥45 x1≥8 x2≤10 x1、x2≥0 求解下列整数规划问题 1、 min f=4x1+3x2+2x3 . 2x1-5x2+3x3≤4 4x1+x2+3x3≥3 x2+x3≥1 x1、x2、x3=0或1 解：最优解（0，0，1），最优值：2 2、 min f=2x1+5x2+3x3+4x3 . -4x1+x2+x3+x4≥2 -2x1+4x2+2x2+4x2≥4 x1+x2-x2+x2≥3 x1、x2、x3、x3=0或1 解：此模型没有可行解。 3、max Z=2x1+3x2+5x3+6x4 . 5x1+3x2+3x3+x4≤30 2x1+5x2-x2+3x2≤20 -x1+3x2+5x2+3x2≤40 3x1-x2+3x2+5x2≤25 x1、x2、x3、x3=正整数 解：最优解（0，3，4，3），最优值：47 4、 min z =8x1 +4 x2+3 x3+5 x4+2 x5＋3 x6＋4 x7＋3 x8+4 x9+9 x10+7 x11+ 5 x12 +10 x13+4 x14+2 x15+175 x16+300 x17+375 x18 +500 x19 约束条件x1 + x2+x3≤30 x4+ x5＋ x6-10 x16≤0 x7+ x8＋ x9-20 x17≤0 x10+ x11＋ x12-30 x18≤0 x13+ x14＋ x15-40 x19≤0 x1 + x4+ x7+x10+ x13＝30 x2 + x5+ x8+x11+ x14＝20 x3 + x6+ x9+x12+ x15＝20 x i为非负数（i=1,2…..8） x i为非负整数（i=9,10…..15） x i为为0－1变量（i=16,17…..19） 解：最优解（30，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，0，20，20，0，0，0，1），最优值：860 一餐饮企业准备在全市范围内扩展业务，将从已拟定的14个点中确定8个点建立分店，由于地理位置、环境条件不同，建每个分店所用的费用将有所不同，现拟定的14个店的费用情况如下表： 《运筹学》课程学习指南 第二章线性规划模型 （一）学习指导 1．本章的学习内容 1）线性规划模型及其单纯形法 2）线性规划的对偶理论及其灵敏度分析 3）线性规划问题案例建模及讨论 4）递阶练习 2．本章的教学目的 1）掌握线性规划问题数学模型的基本形式； 2）比较熟练地使用单纯形法； 3）了解使用LINGO软件求解线性规划模型的过程； 4）能够利用LINGO软件进行初步的灵敏度分析及拓展研究； 5）具备基本的建模能力。 3．本章的教学重点 1）单纯形法的步骤； 2）利用LINGO软件进行灵敏度分析； 3）基本问题的建模及利用LINGO软件求解并拓展分析。4．本章的教学难点 1）确定入基变量和出基变量的原则； 2）原问题变量与对偶变量之间的关系； 3）利用LINGO软件进行灵敏度分析并对结果给予解释； 4）建立实际问题的数学模型。 5．本章的计划学时数 本章共计10学时，具体分配如下： 1）线性规划模型实例：2学时 2）线性规划问题的数学模型：2学时 3）求解线性规划模型的单纯形法及LINGO程序：2学时 4）线性规划的对偶理论、灵敏度分析及其应用：2学时 5）线性规划问题案例建模及讨论：2学时 （二）学习建议 1．对前期基础扎实，准备继续深造学生的学习建议 1）准确、熟练运用单纯形法求解线性规划模型； 2）掌握相关的理论推导、证明； 3）能够准确地建立一般问题的线性规划模型。 2．对于热衷于运筹学的应用，准备参加数学建模竞赛学生的学习建议1）掌握单纯形法的基本步骤及解题思路； 2）能够对较为复杂实际问题建立线性规划模型； 3）熟练应用LINGO软件求解线性规划问题； 4）能够对实际问题进行拓展研究。 3．对于其他学生的学习建议 1）掌握单纯形法的基本步骤及解题思路并熟练计算； 2）能够准确地建立简单问题的线性规划模型。 第三章线性规划模型 （一）学习指导 1．本章的学习内容 1）运输问题的数学模型 2）表上作业法 第五章 整数规划练习题答案 一. 判断下列说法是否正确 1. 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时，任何一个可行整数解的目标函数值是 该问题目标函数值的下界。() 2. 用割平面法求解整数规划时，构造的割平面有可能切去一些不属于最优解的整数解。() 3. 用割平面法求解纯整数规划时，要求包括松弛变量在内的全部变量必须取整数值。() 4. 指派问题数学模型的形式与运输问题十分相似，故也可以用表上作业法求解。() 二. 设有五项工作要分派给五个工人，每人的作业产值如下表所示，为了使总产值最大，问 应如何分配这五项工作，并求得最大产值。 工作 工人 A B C D E 甲 9 4 6 8 5 乙 8 5 9 10 6 丙 9 7 3 5 8 丁 4 8 6 9 5 戊 10 5 3 6 3 答案： 设原矩阵为A ，因求极大问题，令B=[M-a ij ]，其中M=Max {a ij }=10，则： 16425105 3140 42 13251042510424003B 1 3752102 6410 1540 62 415151 3045 020305 7470574704646111-?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =→→- ? ? ?- ? ? ? ? ? ??????? --- m 4n 5l m 4 4 21342132432431541545235234 6 4 64 6 4 6=<===? ??? ? ??? ? ? ? ?→→????→?? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? 031023 4003115406020303535?? ? ? ? ? ? ??? 教学基本文件模板 课程教学大纲： 《运筹学》课程教学大纲 课程编号： 课程名称：运筹学/Operational Research 课程总学时/学分：72/4 （其中理论60学时，实验12学时） 适用专业：适用本科四年制信息管理与信息系统专业 一、课程简介 本课程的授课对象是信息管理与信息系统专业本科生，属管理类专业专业基础必修课。《运筹学》是以定量分析为主来研究经济管理问题，将工程思想和管理思想相结合，应用系统的、科学的、数学分析的方法，通过建模、检验和求解数学模型获得最优决策方案。本课程的主要内容包括线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、动态规划、网络分析等与经济、管理和工程领域密切相关的运筹学分支的基本模型、方法和应用。运用科学的模型化方法来描述、求解和分析问题，从而支持决策。 二、教学目的和任务 本课程旨在使同学们正确、全面地掌握各级管理工作中已被广泛应用、发展比较成熟的最优化理论与方法，并能运用所学理论和方法解决管理工作中出现的各种优化问题，为后续课程奠定定量分析基础。在已学过高等数学、微积分、线性代数等课程基础上学习本课程，通过教授、自学、复习、作业练习、辅导、上机等教学环节达到上述目的。学习中要注意到学科系统性，数学概念和逻辑的严密性、准确性和完整性，但不偏重纯数学方法论证。注重基本概念、基本思路、基本方法、算法步骤的掌握，了解各种方法特点和实用价值，提高建立模型、分析求解能力和技巧。应注重实际应用中建立模型，选择可行求解的理论方法，运用计算机工具求解这三方面训练的有机结合。 三、教学基本要求 信息管理与信息系统专业的学生应系统地学习《运筹学》的全部内容。系统掌握线性规划、运输问题、目标规划、整数规划、动态规划、图与网络分析的理论和方法；能借助Excel、Lingo等电子计算手段，运用所学理论和方法解决实际问题。通过该课程的学习，进一步培养学生的分析问题和解决问题的能力。四、教学内容与学时分配 绪论（2学时） 第一节运筹学的定义与发展简史 1、运筹学名称的来历； 2、运筹学的发展简史。 第二节运筹学研究的基本特征与基本方法 运筹学（Operational Research）复习资料 第一章绪论 一、名词解释 1.运筹学：运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 二、选择题 1.运筹学的主要分支包括（ABDE ） A图论B线性规划C非线性规划D整数规划E目标规划 2. 最早运用运筹学理论的是（ A ） A . 二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B . 美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C . 二次世界大战期间，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D . 50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 第二章线性规划的图解法 一、选择题/填空题 1.线性规划标准式的特点： （1）目标函数最大化（2）约束条件为等式（3 决策变量为非负（4 ) 右端常数项为非负2. 在一定范围内，约束条件右边常数项增加一个单位： （1）如果对偶价格大于0，则其最优目标函数值得到改进，即求最大值时，最优目标函数值变得更大，求最小值时最优目标函数值变得更小。 （2）如果对偶价格小于0，则其最优目标函数值变坏，即求最大值时，最优目标函数值变小了；求最小值时，最优目标函数值变大了。 （3）如果对偶价格等于0，则其最优目标函数值不变。 3.LP模型（线性规划模型）三要素： （1）决策变量（2）约束条件（3）目标函数 4. 数学模型中，“s·t”表示约束条件。 5. 将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左端加上松弛变量。 6. 将线性规划模型化成标准形式时，“≥”的约束条件要在不等式左端减去剩余变量。7．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是A -16- 第二章 整数规划 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21min x x z += 0,0, 5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5 min ,45,021===z x x 。 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21min x x z += 0,0, 6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3 min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.3 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝， 运筹学知识点： 绪论 1.运筹学的起源 2.运筹学的特点 第一章线性规划及单纯形法 1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。 2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。 3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。 线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。 4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负 5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量 6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系 7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解 8.用图解法只有解决两个变量的决策问题 9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。 10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。 11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。 12.单纯形法的计算过程，可能出计算题 13.入单纯形表前首先要化成标准形式。 14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。 15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。 16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表 17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合 第二章 整数规划 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.3 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21m i n x x z += 0,0, 5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5 min ,45,021===z x x 。 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21m i n x x z += 0,0, 6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3 min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2min ,1,121===z x x 。 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.4 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子 第五章整数规划 一、填空题 1．用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的（）。 2．在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为（）。 3．已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P。（）。 4．在0 - 1整数规划中变量的取值可能是（）或（）。 5．对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其解中取值为1的变量数为（）个。 6．分枝定界法和割平面法的基础都是用（）求解整数规划。 7．若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时，得到最优单纯形表中，由X。所在行得X1+1／7x3+2／7x5=13／7，则以X1行为源行的割平面方程为（）。 8．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为（）。 9．用（）求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。 10．求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是（）。 11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是（）。 12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是（）。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为（）个. 二、单选题 1．整数规划问题中，变量的取值可能是（）。 A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能 2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A（）。 A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划 3．下列方法中用于求解分配问题的是（）。 A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法 三、多项选择 《运筹学》综合练习题 第一章线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页1.1题 2、教材44页1.4题 3、教材45页1.8题 4、教材46页1.13题 5、教材46页1.14题 6、补充：判断下述说法是否正确 ●LP问题的可行域是凸集。 ●LP问题的基本可行解对应可行域的顶点。 ●LP问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 ●若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. ●求解LP问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 " - ' = j j j x x x ,其中∶ ≥ " ' j j x x ,在用单纯 形法求得的最优解中,不可能同时出现 " ' j j x x . ●当用两阶段法求解带有大M的LP模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可断言原LP模型 一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n个计量站B1，B2…B n，各站目前尚未被利用的能力为b1，b2…b n（吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m口调整井A1，A2…A m，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a1，a2…a m（吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i到B j的距离d ij已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米。从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于0.2%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元/万立方米。试问在满足环保要求的条件下，每厂各应处理多少污水，才能使总的污水处理费用为最小?建立线性规划模型。 第 1 页共 6 页 作业题答案 第二章单纯形法 3.两阶段法求解： 解：引入松弛变量x3，x4≥0，人工变量x5，x6≥0,得第一阶段模型： Min z= x5+x6 s.t. x1+2x2-x3+x5＝80 3x1+x2-x4+x6＝75 x1, x2, X3, X4X5, X6≥0 目标函数求minZ，根据min（-4，-3）=-4得x1为换入变量，θ=min{80/1,75/3}=25得到x6为换 min（-5/3，-1/3）=-5/3,得x2为换入变量，θ=min{55/(5/3),25/(1/3)}=33得到x5为换出变量。 所有Cj-Zj≥0，取得最优解，人工变量x5=x6=0，故有最优解，转入第二阶段： 目标函数变为 Min z= 4x1 +6x2 所有检验数非负，故已取得最优解（x1，x2，x3，x4）=（14，33，0，0），MinZ=4*14+6*33=254. 4、M法求解，并讨论 解：引入松弛变量x4和x5，x6，人工变量x7，得到线性规划标准形： max z= 10x1+15x2+12x3 -Mx7 s.t. 5x1+3x2+x3+x4=9 -5x1+6x2+15x3 +x5=15 2x1+x2+x3 -x6+x7= 5 x1, x2, x3x4x5x6X7≥0 构造初始单纯形表： Max(Cj-Zj)=（10+2M，15+M，12+M）=10+2M，选择x 做换入变量，根据最小比值法 1 则θ=min{9/5,5/2}=9/5,选择x4做换出变量，在（1，1）处进行基变换得： Max(Cj-Zj)=（10+3M/5）>0，选择x 做换入变量，根据最小比值法则 3 θ=min{(9/5)/(1/5),24/16,(7/5)/(3/5)}=3/2,选择x5做换出变量，在（2，3）处进行基变换得： 所有检验数≤0，所以已得最优解。注意到人工变量x7≠0，故没有可行解。 第五章整数规划 §1整数规划的数学模型及特点 要求一部分或全部决策变量必须取整数值得规划问题称为整数规划。 其模型为： Max(或min)z= s.t 若要求决策变量只能取值0或1的整数规划称为0-1型整数线性规划。 §5 指派问题 一．指派问题的标准形式及数学模型 在现实生活中，有各种性质的指派问题。例如，有若干项工作需要分配给若干人（或部门）来完成；有若干项合同需要选择若干个投标者来承包；有若干班级需要安排在各教室上课等等。诸如此类的问题，它们的基本要求是在满足特定的指派要求条件下，使指派方案的总体效果最佳。由于指派问题的多样性，有必要定义指派问题的标准形式。 指派问题的标准形式（以人和事为例）是：有n个人和n件事，已知第i个人作第j件事的费用为，要求确定人和事之间的一一对应的指派方案，是完成这n件事的总费用最少。 为了建立标准指派问题的数学模型，引入个0-1变量： 这样，问题的数学模型可写成 （5.1） s.t （5.3） 其中，（5.1）表示每件事必优且只有一个人去做，（5.2）表示每个人必做且只做一件事。 注：○1指派问题是产量（）、销量（）相等，且==1，i，j=1,2,…n的运输问题。 ○2有时也称为第i个人完成第j件工作所需的资源数，称之为效率系数（或价值系数）。并称矩阵 C= =（5.5） 为效率矩阵（或价值系数矩阵）。 并称决策变量排成的n×n矩阵 X== （5.6） 为决策变量矩阵。 (5.6)的特征是它有n个1，其它都是0。这n个1位于不同行、不同列。每一种情况为指派问题的一个可行解。共n!个解。 其总的费用 z =C⊙X 这里的⊙表示两矩阵对应元素的积，然后相加。 问题是：把这n个1放到X的个位置的什么地方可使耗费的总资源最少？（解最优）例1已知效率矩阵 C= 则 X（1）=，X（2）= 都是指派问题的最优解 例12/P-149：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成营业，商业公司决定由 《运筹学》课程练习题 第一章 线性规划及单纯形法 1、教材43页——44页1.1题 2、教材44页1.4题 3、教材45页1.8题 4、教材46页1.13题 5、教材46页1.14题 6、补充：判断下述说法是否正确 ● LP 问题的可行域是凸集。 ● LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。 ● LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。 ● 若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解. ● 求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令 "-'=j j j x x x ,其中∶ ≥"' j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现 "' j j x x . ● 当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零， 则可断言原LP 模型一定有最优解。 7、补充：建立模型 （1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。按规划要求，每口井只能属于一个计量站。假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。 （2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。从第一个工厂排出的污水流到第二个 第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。 第二章 整数规划 §1 概论 1.1 定义 规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类： 1o 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2o 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2 整数规划特点 （i ） 原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况： ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 例1 原线性规划为 21m in x x z += 0,0, 5422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：4 5 min ,45,021===z x x 。 ③有可行解（当然就存在最优解），但最优解值变差。 例2 原线性规划为 21m in x x z += 0,0, 6422121≥≥=+x x x x 其最优实数解为：2 3 min ,23,021===z x x 。 若限制整数得：2m in ,1,121===z x x 。 （ii ） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1.3 求解方法分类： （i ）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （ii ）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （iii ）隐枚举法—求解“0-1”整数规划： ①过滤隐枚举法； ②分枝隐枚举法。 （iv ）匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。 （v ）蒙特卡洛法—求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 §2 分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题），这称为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝， 第二章整数规划 （部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 则称为整数线性规划。 目前所流行的求解整数规划的方法， 往往只适 目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。 1.2 整数规划的分类 如不加特殊说明，一般指整数线性规划。对于整数线性规划模型大致可分为两类: 1。 变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。 2。 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。 1.2整数规划特点 （i ）原线性规划 有最优解， ① 原线性规划最优解全是整数， ② 整数规划无可行解。 例1原线性规划为 min § 2分枝定界法 对有约束条件的最优化问题（其可行解为有限数）的所有可行解空间恰当地进行系 统搜索，这就是分枝与定界内容。通常，把全部可行解空间反复地分割为越来越小的子 集，称为分枝；并且对每个子集内的解集计算一个目标下界（对于最小值问题） ，这称 为定界。在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解集目标值的那些子集不再进一步分枝， §1概论 1.1定义 规划中的变量 变量限制为整数， 用于整数 线性规划。 当自变量限制为整数后， 其整数规划解出现下述情况: 则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 4X 2 5, X 1 c 5 . X 1 0,x 2 -,mi nz 4 ③有可行解（当然就存在最优解） 例2原线性规划为 min 2X 2x i 其最优实数解为: 0, X 2 0 5 O 4 ，但最优解值变差。 其最优实数解为: X 1 X i 6, X 2 0,X 2 X i 0, 3 . —,mi X 2 3 O 2 2 若限制整数得： （ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。 1. 3 求解 方法分类： （i ）分枝定界法一可求纯或混合整数线性规划。 （ii ） 割平面法一可求纯或混合整数线性规划。 （iii ） 隐枚举法一求解“ 0-1 ”整数规划： ① 过滤隐枚举法； ② 分枝隐枚举法。 （iv ） 匈牙利法一解决指派问题（“ 0-1 ”规划特殊情形）。 （V ）蒙特卡洛法一求解各种类型规划。 下面将简要介绍常用的几种求解整数规划的方法。 X i 1,X 2 1,min z z X-I X 2第五章整数规划
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